圆的方程-般方程
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圆的一般方程
解：设P(x, y),则Q（2x 2,2 y） Q在圆x2 y2 1上 （2x 2）2 (2 y)2 1即（x 1）2 y2 1
4
1．本节的重点是圆的一般方程与如何由圆的一般方程求圆的 圆心坐标和半径长(配方法)．我们要理解关于二元二次方程表示圆 的条件：
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，通过配方可化为 x＋D2 2＋y＋E2 2＝D2＋E42－4F.
1．圆 x2＋y2＋2x－2y＝0 的周长为( C )
A. 2π
B．2π
C．2 2π
D．4π
2．x2＋y2－x＋y＋k＝0 表示一个圆，则 k 的取值范围为( D )
A．k≤12
B．k＝12
C．k>12
D．k<12
4．直线 y＝－x＋b 经过 x2＋y2－8x＋2y＋8＝0 的圆心，则 b ＝____3____.
3．用待定系数法求圆的方程时，要根据题目条件，灵活选用 方程形式，选取不同的形式，计算的繁简程度会不同．
选用方程形式的一般原则是： (1)由已知条件易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方 程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b， r.
(2)已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，那么可采用圆 的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，E，F.
法三：AB 的中垂线方程为 y－1＝－12(x－0)，BC 的中垂线方 程为 y－2＝13(x＋2)，联立解得圆心坐标为(－2,2)．
设圆半径为 r，则 r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10， ∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
变式．已知圆过两点 A(3,1)、B(－1,3)，且它的圆心在直线 3x －y－2＝0 上，求此圆的方程．
当 D2＋E2－4F<0 时，方程无轨迹；
4
1．本节的重点是圆的一般方程与如何由圆的一般方程求圆的 圆心坐标和半径长(配方法)．我们要理解关于二元二次方程表示圆 的条件：
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，通过配方可化为 x＋D2 2＋y＋E2 2＝D2＋E42－4F.
1．圆 x2＋y2＋2x－2y＝0 的周长为( C )
A. 2π
B．2π
C．2 2π
D．4π
2．x2＋y2－x＋y＋k＝0 表示一个圆，则 k 的取值范围为( D )
A．k≤12
B．k＝12
C．k>12
D．k<12
4．直线 y＝－x＋b 经过 x2＋y2－8x＋2y＋8＝0 的圆心，则 b ＝____3____.
3．用待定系数法求圆的方程时，要根据题目条件，灵活选用 方程形式，选取不同的形式，计算的繁简程度会不同．
选用方程形式的一般原则是： (1)由已知条件易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方 程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b， r.
(2)已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，那么可采用圆 的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，E，F.
法三：AB 的中垂线方程为 y－1＝－12(x－0)，BC 的中垂线方 程为 y－2＝13(x＋2)，联立解得圆心坐标为(－2,2)．
设圆半径为 r，则 r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10， ∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
变式．已知圆过两点 A(3,1)、B(－1,3)，且它的圆心在直线 3x －y－2＝0 上，求此圆的方程．
当 D2＋E2－4F<0 时，方程无轨迹；
圆的一般方程ppt课件
x2 + 3y2 − 2x + 4y + 5 = 0不是圆的一般方程；
对于D，因为方程x2 + y2 − 3xy − 12 = 0中存在xy项，所以方程
x2 + y2 − 3xy − 12 = 0不是圆的一般方程.故选BCD.
课中探究
探究点二 求圆的一般方程
例2（1） 已知△ ABC的三个顶点为A 4,3 ，B 5,2 ，C 1,0 ，求△ ABC外接
又圆心在第二象限，所以D
= 2，E =
−4，
故圆C的一般方程为x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0.
课中探究 （2）圆C关于直线x − y = 0对称的圆的一般方程. 解： 由（1）知圆C的圆心为C −1,2 ，设它关于直线x − y = 0对称的点为
C′ m, n ，则
m−1 − n+2 = 0,
半径的圆，我们把方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D2 + E2 − 4F > 0 叫作圆的
一般方程.
课前预习
（1）圆的一般方程的特点是:①x2和y2的系数都是__1_;②没有__x_y_这样的二次
项;③D2 + E2 − 4F__>_0.
（2）方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0并不一定表示圆,当其系数满足
解得m < 1.故选B.
课中探究
（2）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有( BCD )
A.x2 + y2 − 2x + 4y + 3 = 0
B.x2 + y2 − 2x + 2y + 7 = 0
圆的一般方程
，
1 3 □2
D2＋E2－4F
.
(2)当 D2＋E2－4F＝0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示点 . 2 2 5 □ D ＋ E －4F<0 (3)当
4 □
D E － ，－ 2 2
时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0 不表示任何图形．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2 ＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：
3．(教材改编，P123，T1)圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0 的圆 心和半径长分别为( A．(4，－6)，16 C．(－2,3)，4 ) B．(2，－3)，4 D．(2，－3)，16
课堂互动探究
探究1 求：
圆的一般方程的定义
例 1 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆， (1)实数 m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
1．判断二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0； ②B＝0； 二看它能否表示圆． 此时判断 D2＋E2－4AF 是否大于 0； 或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．
2．求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点 M 的坐标(x，y)． (2)列出点 M 满足条件的集合． (3)用坐标表示上述条件，列出方程 f(x，y)＝0. (4)将上述方程化简． (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的 点．
解 0， 将 P，Q 的坐标分别代入上式，
4D－2E＋F＋20＝0， ① 得 D－3E－F－10＝0， ②
圆的一般方程
因 ， D2 + E2 − 4F > 0 ， 程 1 表 一 圆 此 当 时 方 （） 示 个 ， 方 （） 做 的 般 程 程 1 叫 圆 一 方 .
一般方程突出了方程形式上的特点： 一般方程突出了方程形式上的特点：
(1)x 2 和y 2的系数相同，不等于0； (2)没有xy这样的二次项.
以上两点是二元二次方程Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的 必要条件，但不是充分条件. 必要条件，但不是充分条件
已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0）距离的比为 ／2 例3.已知一曲线是与两定点 ， ）距离的比为1／ 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线. 分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型， 分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应 按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出. 按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出. 是曲线C的任意一点 解：设点M(x,y)是曲线 的任意一点，也就是 属于集合 设点 是曲线 的任意一点，也就是M属于集合 OM P＝ M ＝1 2 AM ( x 2＋y2 ) ＝ 1 所适合的条件可以表示为: 点M所适合的条件可以表示为 所适合的条件可以表示为 2 ① 2 (x －3 )＋y 2 ＋ x2 ＋ y 2 1 式两边平方得： 将①式两边平方得： 2 2＝ 4 ( x －3) ＋y
小结： 小结： 1.用待定系数法求圆的方程的步骤： 1.用待定系数法求圆的方程的步骤： 用待定系数法求圆的方程的步骤 （1）根据题意设所求圆的方程为标准式或一般方程； 根据题意设所求圆的方程为标准式或一般方程； 的方程； （2）根据条件例出关于a，b，r或D﹑E﹑F的方程； 的值， （3）解方程组，求出a，b，r或D﹑E﹑F的值，代入所设方程即 解方程组， 得.
一般方程突出了方程形式上的特点： 一般方程突出了方程形式上的特点：
(1)x 2 和y 2的系数相同，不等于0； (2)没有xy这样的二次项.
以上两点是二元二次方程Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的 必要条件，但不是充分条件. 必要条件，但不是充分条件
已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0）距离的比为 ／2 例3.已知一曲线是与两定点 ， ）距离的比为1／ 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线. 分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型， 分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应 按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出. 按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出. 是曲线C的任意一点 解：设点M(x,y)是曲线 的任意一点，也就是 属于集合 设点 是曲线 的任意一点，也就是M属于集合 OM P＝ M ＝1 2 AM ( x 2＋y2 ) ＝ 1 所适合的条件可以表示为: 点M所适合的条件可以表示为 所适合的条件可以表示为 2 ① 2 (x －3 )＋y 2 ＋ x2 ＋ y 2 1 式两边平方得： 将①式两边平方得： 2 2＝ 4 ( x －3) ＋y
小结： 小结： 1.用待定系数法求圆的方程的步骤： 1.用待定系数法求圆的方程的步骤： 用待定系数法求圆的方程的步骤 （1）根据题意设所求圆的方程为标准式或一般方程； 根据题意设所求圆的方程为标准式或一般方程； 的方程； （2）根据条件例出关于a，b，r或D﹑E﹑F的方程； 的值， （3）解方程组，求出a，b，r或D﹑E﹑F的值，代入所设方程即 解方程组， 得.
圆的一般式方程
2 y 2 Dx Ey F 0 x
复习回顾:
圆的标准方程的形式是怎样的？
2 ( y b) 2 2 ( x a) r
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a, b
r
想一想，若把圆的标准方程 2 ( y b) 2 2 ( x a) r
展开后，会得出怎样的形式？
(1) x y 6 x 0,
2 2
(2) x y 2by 0,
2 2
(3) x y 2ax 2 3ay 3a 0
2 2 2
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
(3)圆心(a, 3a), 半径 | a | .
求过三点A(0,0), B(6,0), C (0,8)的圆的方程.
化简得x2+y2+3x-2y-18=0, 点C在曲线上,并且曲线为圆C内部的一段圆弧. y B A P C M O
x
例题. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，
求光线l 所在直线的方程.
A(-3，3) • C(2, 2) (1) 入射光线及反射光线与 • x轴夹角？斜率？. (2)点P关于x轴的对称点Q在 反射光线所在的直线l 上. (3)圆心C到l 的距离等于 圆的半径.
2 2 2
(3)x y 2ax b 0________
2 2
(2)圆心为(1, 2), 半径为 11 的圆.
(3)当a, b不同时为0时，表示 圆心为( a, 0), 半径为 a 2 b 2的圆 当a, b同时为0时，表示点（0,0）。
复习回顾:
圆的标准方程的形式是怎样的？
2 ( y b) 2 2 ( x a) r
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a, b
r
想一想，若把圆的标准方程 2 ( y b) 2 2 ( x a) r
展开后，会得出怎样的形式？
(1) x y 6 x 0,
2 2
(2) x y 2by 0,
2 2
(3) x y 2ax 2 3ay 3a 0
2 2 2
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
(3)圆心(a, 3a), 半径 | a | .
求过三点A(0,0), B(6,0), C (0,8)的圆的方程.
化简得x2+y2+3x-2y-18=0, 点C在曲线上,并且曲线为圆C内部的一段圆弧. y B A P C M O
x
例题. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，
求光线l 所在直线的方程.
A(-3，3) • C(2, 2) (1) 入射光线及反射光线与 • x轴夹角？斜率？. (2)点P关于x轴的对称点Q在 反射光线所在的直线l 上. (3)圆心C到l 的距离等于 圆的半径.
2 2 2
(3)x y 2ax b 0________
2 2
(2)圆心为(1, 2), 半径为 11 的圆.
(3)当a, b不同时为0时，表示 圆心为( a, 0), 半径为 a 2 b 2的圆 当a, b同时为0时，表示点（0,0）。
圆的一般式方程配方
圆的一般式方程配方
(x-a)²+(y-b)²=r²
其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
下面我们来讨论如何将一般式方程配方。
一、配方圆心坐标(a,b)：
1.根据一般式方程，将右边的r²移到左边，变成(x-a)²+(y-b)²-
r²=0。
2.将(x-a)²+(y-b)²用二次整式展开得到：
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² - r² = 0。
3.通过对比整理得到：
x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0。
所以，圆的一般式方程配方的第一步就是确定圆心的坐标。
二、配方半径r：
r=√[(x0-a)²+(y0-b)²]
所以，配方半径r的第一步就是确定圆上的其中一点坐标。
三、总结：
配方圆的一般式方程的步骤包括确定圆心坐标(a,b)和半径r。
确定圆心坐标需要将一般式方程展开整理，确定圆上其中一点坐标可以通过已知条件或者其他几何知识来求解。
一旦确定了圆心坐标和半径，就可以得到圆的一般式方程。
需要注意的是，圆的一般式方程有时候也可以配方成其他形式，例如标准式方程(x-h)²+(y-k)²=r²或截距式方程(x-h)²+(y-k)²=p(x-a)²+q(y-b)²，但配方圆的一般式方程的原理和步骤基本相同。
圆的一般式方程
确定圆的一般方程只要确定方程中的三个 , 常数D, E, F .
思考 本题能否利用圆的标准方程求解 ? 还 有其他方法吗 ?
例 4 某 圆拱梁 的示意图 如图2 2 4 所示.该圆拱 的跨度 AB是 36m, 拱高OP 是 6m, 在建造时, 每隔 3m 需用一个支柱支撑, 求 支 柱A2 P2的长 精确到0.01m .
x a 2 y b2 r 2 展开, 得 将圆的标准方程
x 2 y 2 2ax 2by a 2 b2 r 2 0.
由此可见,圆的方程具有如下形式 : x 2 y 2 Dx Ey F 0,
2
其中D, E, F为常数 .
那么 形如2的方程是否表示圆 , ?
D E 个点 , ; 2 2 3当 D 2 E 2 4 F 0 时, 方程 2无实数解, 不表示任
何图形 .
方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 D2 E 2 4 F 0 叫做例3 已知ABC顶点坐标为A4,3, B5,2, C 1,0 , 求ABC外接圆的方程.
自学检测：P102页练习5题
D E 1当 D E 4F 0 时, 方程 2 表示以 , 2 2 1 为圆心, D 2 E 2 4 F 为半径的圆 ; 22 2当 D E 2 4 F 0 时, 方程 2只有一解, 表示一
2 2
学习目标：
1、掌握圆的一般方程，并能由方程确定圆心坐 标和半径； 2、能根据已知条件选择圆的方程的形式，运用待 定系数法求圆的方程。
自学指导：
1、圆的一般方程是怎么样的？它有什么限制条件吗？ 2、圆的一般方程与圆的标准方程有何异同？它们可以 相互转化吗？ 3、课本上的例4与前面的例2有什么共同点吗？
圆的一般方程
(b)没有x y项 (c)D2 +E2 -4F＞0
【变式 1】 方程 x2＋y2＋x＋2y＋a－1＝0 表示圆，试求实数 a 的范围．
解 由方程表示圆得， D2＋E2－4F＝12＋22－4(a－1)＝9－4a＞0，
9 解得a＜ ， 4
9 即a的取值范围是 ( , ) . 4
课前探究学习
课堂讲练互动
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x y Dx Ey F 0
2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
探究：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线是圆呢？
思考
(1) x y 2 x 4 y 1 0
设圆的方程为 ( x 8) ( y 3) r
2 2
2
把点(5,1)代入得r 13,
2
( x 8) ( y 3) 13
2 2
故圆的方程为 x y 6x 8 y 0
2 2
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一 般方程用待定系数法求解. 求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 . 练习：
2 2
2
(或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r（或D，E ，F）的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F ），写出标准方程（或一 般方程）
2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a 2 ＝0的距离为 ，则a的值为( )． 2 1 A．－2或2 B. 或 3 C．2或0 D．－2或0
4.1.2圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程
复习引入
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
圆心C(a,b),半径r
把（x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子？
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
由于a, b, r均为常数
小结
x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
D E D2 + E 2 - 4F x+ + y+ = 2 2 4
2
2
（1）当
D2 + E 2 - 4F 0
r=
时，表示圆，
D2 + E 2 - 4F 2
D E 圆心 - , - 2 2
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组 解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
写出圆的标准方程
作业
课本P134 习题 A组 4（用两种方法）
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
解法2：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
2 2
x + y + Dx + Ey + F = 0( D + E - 4F 0)
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 + 12 + 5D + E + F = 0 2 2 7 + ( 1) + 7D - E + F = 0 22 + 82 + 2 D + 8E + F = 0
复习引入
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
圆心C(a,b),半径r
把（x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子？
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
由于a, b, r均为常数
小结
x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
D E D2 + E 2 - 4F x+ + y+ = 2 2 4
2
2
（1）当
D2 + E 2 - 4F 0
r=
时，表示圆，
D2 + E 2 - 4F 2
D E 圆心 - , - 2 2
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组 解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
写出圆的标准方程
作业
课本P134 习题 A组 4（用两种方法）
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
解法2：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
2 2
x + y + Dx + Ey + F = 0( D + E - 4F 0)
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 + 12 + 5D + E + F = 0 2 2 7 + ( 1) + 7D - E + F = 0 22 + 82 + 2 D + 8E + F = 0
圆的一般方程
（2）2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0
不是
（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy (4)点
A(3,5) 是圆
2 - 4 x - 8 y - 80 = 0 的一条弦的中点, 2 + y x
则这条弦所在的直线方程是
x + y -8 = 0
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一 般方程用待定系数法求解. 求过三点A(0,0), B(6,0),C(0,8)的圆的方程 . 练习：
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
10. [课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x 2 2 D + E - 4 F 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径) 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
的曲线是圆呢？
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0
不是
（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy (4)点
A(3,5) 是圆
2 - 4 x - 8 y - 80 = 0 的一条弦的中点, 2 + y x
则这条弦所在的直线方程是
x + y -8 = 0
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一 般方程用待定系数法求解. 求过三点A(0,0), B(6,0),C(0,8)的圆的方程 . 练习：
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
10. [课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x 2 2 D + E - 4 F 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径) 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
的曲线是圆呢？
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(