2011届高三数学下册复习检测试题2
数学_2010-2011学年江苏省某校高三(下)开学练习数学试卷(含答案)
2010-2011学年江苏省某校高三（下）开学练习数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. 若1+2i 1+i=a +bi(a,b ∈R)，则a +b 的值是________．2. 如图程序运行结果是________．3. 已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若m >1且a m−1−a m 2+a m+1=0，S 2m−1=38，则m =________．4. 已知sinα⋅cosα1−cos2α=1，tan(α−β)=−23，则tan(β−2α)等于________．5. 在区间[−π, π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f(x)=x 2+2ax −b 2+π2有零点的概率为________．6. 设直线3x +4y −5=0与圆C 1:x 2+y 2=4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧AB̂上，则圆C 2的半径的最大值是________． 7. 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的高为10cm ，体积为1000π3cm 3．则制作该容器需要铁皮面积为________cm 2（衔接部分忽略不计，√2取1.414，π取3.14，结果保留整数）8. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=1+a n 1−a n(n ∈N ∗)，则a 3的值为________，a 1⋅a 2⋅a 3•…•a 2007的值为________．9. y =x 3+ax +1的一条切线方程为y =2x +1，则a =________．10. 如图，平面α⊥平面β，α∩β=直线l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是________；①．当|CD|=2|AB|时，M ，N 两点不可能重合②．M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交③．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 ④．当AB ，CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行．11. 已知函数f(x)=|x 2−2|，若f(a)≥f(b)，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a, b)所围成区域的面积为________．12. 在等腰梯形ABCD 中，AB // CD ，且AB >CD ．设以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1⋅e2=________．13. 设x1，x2是a2x2+bx+1=0的两实根；x3，x4是ax2+bx+1=0的两实根．若x3<x1<x2<x4，则实数a的取值范围是________．14. 一个半径为1的小球在一个棱长为4√6的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是________．二、解答题（共10小题，满分90分）15. 已知以角B为钝角的△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，m→=(a,2b)，n→= (√3,−sinA)，且m→⊥n→．（1）求角B的大小；（2）求cosA+cosC的取值范围．16. 如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC= 4，作BB1 // AA1，分别交A1D1，AD1于点B1，P，作CC1 // AA1，分别交A1D1，AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC−A1B1C1．（1）求证：AB⊥平面BCC1B1；（2）求四棱锥A−BCQP的体积；（3）求平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值．17. 已知a∈R，函数f(x)=xln(−x)+(a−1)x．(1)若f(x)在x=−e处取得极值，求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[−e2, −e−1]上的最大值g(a)．18. 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，̂中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．当垃圾处理厂建在的AB(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧AB̂上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．19.如图，已知圆G ：(x −2)2+y 2=r 2是椭圆x 216+y 2=1的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点， （1）求圆G 的半径r ；（2）过点M(0, 1)作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切． 20. 已知数列a n 满足a n+1=|a n −1|(n ∈N ∗)， （1）若a 1=54，求a n ；（2）是否存在a 1，n 0(a 1∈R, n 0∈N ∗)，使当n ≥n 0(n ∈N ∗)时，a n 恒为常数．若存在求a 1，n 0，否则说明理由；（3）若a 1=a ∈(k, k +1)，(k ∈N ∗)，求a n 的前3k 项的和S 3k （用k ，a 表示） 21. 已知矩阵M =[1a21]，其中a ∈R ，若点P(1, 7)在矩阵M 的变换下得到点P ′(15, 9)．（1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量α．22. 过点P(−3, 0)且倾斜角为30∘的直线和曲线{x =t +1ty =t −1t （t 为参数）相交于A ，B 两点．求线段AB 的长．23.如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP =m ．(I)试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60∘；(II)在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q ⊥AP ，并证明你的结论． 24. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：（1）求q 2的值；（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；（3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．2010-2011学年江苏省某校高三（下）开学练习数学试卷答案1. 22. 343. 104. 185. 1−π46. 17. 4448. −12,39. 210. ②11. π212. 113. a>114. 72√315. 解：（1）∵ m→⊥n→．∴ m→⋅n→=0，得√3a−2bsinA=0由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，代入得：√3sinA−2sinBsinA=0，sinA≠0，∴ sinB=√32，B为钝角，所以角B=2π3．（2）（理科）∵ cosA+cosC=2cos A+C2cos A−C2=√3cos(C−π6)（或：cosA+cosC=cosA+cos(π3−A)=cosA+12cosA+√32sinA=√3sin(A+π3)）由（1）知A∈(0,π3)，A+π3∈(π3,2π3)，∴ sin(A+π3)∈(√32,1]故cosA+cosC的取值范围是(32，√3]16. （1）证明：在正方形ADD1A1中，因为CD=AD−AB−BC=5，所以三棱柱ABC−A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．因为AB=3，BC=4，所以AB 2+BC 2=AC 2，所以AB ⊥BC ． 因为四边形ADD 1A 1为正方形，AA 1 // BB 1， 所以AB ⊥BB 1，而BC ∩BB 1=B ， 所以AB ⊥平面BCC 1B 1．（2）解：因为AB ⊥平面BCC 1B 1， 所以AB 为四棱锥A −BCQP 的高．因为四边形BCQP 为直角梯形，且BP =AB =3，CQ =AB +BC =7， 所以梯形BCQP 的面积为S BCQP =12(BP +CQ)×BC =20． 所以四棱锥A −BCQP 的体积V A−BCQP =13S BCQP ×AB =20．（3）解：由（1）、（2）可知，AB ，BC ，BB 1两两互相垂直．以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B −xyz ，则A(0, 0, 3)，B(0, 0, 0)，C(4, 0, 0)，P(0, 3, 0)，Q(4, 7, 0)， 所以AP →=(0,3,−3)，AQ →=(4,7,−3)， 设平面PQA 的一个法向量为n 1=(x, y, z)． 则{n 1⋅AQ →=0.˙即{3y −3z =04x +7y −3z =0.令x =−1，则y =z =1． 所以n 1=(−1, 1, 1)．显然平面BCA 的一个法向量为n 2=(0, 1, 0)． 设平面PQA 与平面BCA 所成锐二面角为θ． 则cosθ=cos <n 1，n 2>=|n 1||n 2|˙=√33． 所以平面PQA 与平面BCA 所成锐二面角的余弦值为√33． 17. 解：(1)f ′(x)=ln(−x)+a ，由题意知x =−e 时，f ′(x)=0，即：f ′(−e)=1+a =0， ∴ a =−1，∴ f(x)=xln(−x)−2x ，f ′(x)=ln(−x)−1， 令f ′(x)=ln(−x)−1=0，可得x =−e ， 令f ′(x)=ln(−x)−1>0，可得x <−e ， 令f ′(x)=ln(−x)−1<0，可得−e <x <0，∴ f(x)在(−∞, −e)上是增函数，在(−e, 0)上是减函数. (2)f ′(x)=ln(−x)+a ， ∵ x ∈[−e 2, −e −1]， ∴ −x ∈[e −1, e 2]，∴ ln(−x)∈[−1, 2]，①若a ≥1，则f ′(x)=ln(−x)+a ≥0恒成立， 此时f(x)在[−e 2, −e −1]上是增函数， f max (x)=f(−e −1)=(2−a)e −1，②若a ≤−2，则f ′(x)=ln(−x)+a ≤0恒成立， 此时f(x)在[−e 2, −e −1]上是减函数， f max (x)=f(−e 2)=−(a +1)e 2，③若−2<a <1，则令f ′(x)=ln(−x)+a =0可得x =−e −a ， ∵ f ′(x)=ln(−x)+a 是减函数，∴ 当x <−e −a 时，f ′(x)>0，当x >−e −a 时，f ′(x)<0， ∴ f(x)在(−∞, −e −a ),(−e −a , +∞)上左增右减， ∴ f max (x)=f(−e −a )=e −a ，综上：g(a)={(2−a)e −1,a ≥1,−(a +1)e 2,a ≤−2,e −a ，−2<a <1.18. 解:(1)由题意知AC ⊥BC ，BC 2=400−x 2， y =4x 2+k400−x 2(0<x <20)， 其中当x =10√2时，y =0.065， 所以k =9，所以y 表示成x 的函数为y =4x 2+9400−x 2(0<x <20). (2)y =4x 2+9400−x 2， 则y′=−8x3−9×(−2x)(400−x 2)2=18x 4−8(400−x 2)2x 3(400−x 2)2，令y ′=0得18x 4=8(400−x 2)2，所以x 2=160，即x =4√10，当0<x <4√10时，18x 4<8(400−x 2)2，即y ′<0所以函数为单调减函数， 当4√10<x <20时，18x 4>8(400−x 2)2，即y ′>0所以函数为单调增函数． 所以当x =4√10时，即当C 点到城A 的距离为4√10时， 函数y =4x 2+9400−x 2(0<x <20)有最小值．19. 解：（1）设B(2+r, y 0)，过圆心G 作GD ⊥AB 于D ，BC 交长轴于H 由GD AD=HB AH得√36−r2=y 06+r，即y 0=√6+r √6−r而点B(2+r, y 0)在椭圆上，y 02=1−(2+r)216=12−4r−r 216=−(r−2)(r+6)16(2)由（1）、（2）式得15r 2+8r −12=0， 解得r =23或r =−65（舍去）（2）设过点M(0, 1)与圆(x −2)2+y 2=49相切的直线方程为：y −1=kx(3)则23=√1+k 2，即32k 2+36k +5=0(4)解得k 1=−9+√4116，k 2=−9−√4116将（3）代入x 216+y 2=1得(16k 2+1)x 2+32kx =0，则异于零的解为x =−32k16k 2+1设F(x 1, k 1x 1+1)，E(x 2, k 2x 2+1)， 则x 1=−32k 116k 12+1，x 2=−32k216k 22+1则直线FE 的斜率为：k EF =k 2x 2−k 1x 1x 2−x 1=k 1+k 21−16k 1k 2=34于是直线FE 的方程为：y +32k 1216k 12+1−1=34(x +32k116k 12+1)即y =34x −73则圆心(2, 0)到直线FE 的距离d =|32−73|√1+916=23故结论成立．20. 解：（1）a 1=54，a 2=14，a 3=34，a 4=14，∴ a 1=54，n ≥2时，a n ={14，n =2k34，n =2k +1，其中k ∈N ∗（2）因为存在a n+1=|a n −1|={a n −1，a n ≥1−a n +1，a n <1，所以当a n ≥1时，a n+1≠a n①若0<a 1<1，则a 2=1−a 1，a 3=1−a 2=a 1，此时只需：a 2=1−a 1=a 1，∴ a 1=12故存在a 1=12，a n =12，(n ∈N ∗)②若a 1=b ≥1，不妨设b ∈[m, m +1)，m ∈N ∗，易知a m+1=b −m ∈[0, 1)， ∴ a m+2=1−a m+1=1−(b −m)=a m+1=b −m∴ b =m +12，∴ a 1=m +12，n ≥m +1时，a n =12，(m ∈N ∗)③若a 1=c <0，不妨设c ∈(−l, −l +1)，l ∈N ∗，易知a 2=−c +1∈(l, l +1]， ∴ a 3=a 2−1=−c ，a l+2=−c −(l −1)∈(0, 1]∴ c =−l +12，∴ a 1=−l +12(l ∈N ∗)，n ≥l +2，则a n =12故存在三组a 1和n 0:a 1=12时，n 0=1；a 1=m +12时，n 0=m +1；a 1=−m +12时，n 0=m +2其中m ∈N ∗（3）当a 1=a ∈(k, k +1)(k ∈N ∗)时，易知a 2=a −1，a 3=a −2，a k =a −(k −1)，a k+1=a −k ∈(0, 1)，a k+2=1−a k+1=k +1−a ， a k+3=1−a k+2=a −k ，a k+4=1−a k+3=k +1−a ， a 3k−1=a −k ，a 3k =k +1−a∴ S 3k =a 1+a 2+...+a k +a k+1+a k+2+a k+3+a k+4+...+a 3k−1+a 3k =a +(a −1)+(a −2)+...+k +1−a =k 22+k(a +32) 21. 解：（1）由[1a 21][17]=[159]，∴ 1+7a =15⇒a =2．（2）由（1）知M =[1221]，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−2−2λ−1|=(λ−1)(λ−1)−4=λ2−2λ−3，令f(λ)=0，得矩阵M 的特征值为−1与3． 当λ=−1时，{−2x −2y =0−2x −2y =0⇒x +y =0，∴ 矩阵M 的属于特征值−1的一个特征向量为[1−1]；当λ=3时，{2x −2y =0−2x +2y =0⇒x =y ，∴ 矩阵M 的属于特征值3的一个特征向量为[11]．22. 解：直线的参数方程为 {x =−3+√32s y =12s（s 为参数），曲线{x =t +1t y =t −1t 可以化为 x 2−y 2=4．将直线的参数方程代入上式，得 s 2−6√3s +10=0．设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2，∴ s 1+s 2=6√3，s 1⋅s 2=10． ∴ AB =|s 1−s 2|=√(s 1+s 2)2−4s 1s 2=2√17．23. 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，P(0, 1, m)，C(0, 1, 0)，D(0, 0, 0)，B 1(1, 1, 2)，D 1(0, 0, 2)． 所以BD →=(−1,−1,0)，BB 1→=(0,0,2)， AP →=(−1,1,m)，AC →=(−1,1,0)．又由AC →⋅BD →=0，AC →⋅BB 1→=0知AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 设AP 与面BDD 1B 1所成的角为θ， 则sinθ=cos(π2−θ)=|AP →|⋅|AC →|˙=√2⋅√2+m 2=√32， 解得m =√63．故当m =√63时， 直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60∘；(2)若在A 1C 1上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ， 则Q(x,1−x,2),D 1Q →=(x,1−x,0)．依题意，对任意的m 要使D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ．等价于D 1Q →⊥AP →⇔D 1Q →⋅AP →=0⇔−x +(1−x)=0⇔x =12即Q 为A 1C 1的中点时，满足题设的要求． 24. 解：（1）设该同学在A 处投中为事件A ， 在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P(A)=0.25，P(A ¯)=0.75，P(B)=q 2，P(B ¯)=1−q 2．根据分布列知：ξ=0时P(A ¯B ¯B ¯)=P(A ¯)P(B ¯)P(B ¯)=0.75(1−q 2)2=0.03， 所以1−q 2=0.2，q 2=0.8；（2）当ξ=2时，P 1=P =(A ¯BB ¯+A ¯B ¯B)=P(A ¯BB ¯)+P(A ¯B ¯B) =P(A ¯)P(B)P(B ¯)+P(A ¯)P(B ¯)P(B)=0.75q 2(1−q 2)×2=1.5q 2(1−q 2)=0.24当ξ=3时，P 2=P(AB ¯B ¯)=P(A)P(B ¯)P(B ¯)=0.25(1−q 2)2=0.01，当ξ=4时，P 3=P(A ¯BB)P(A ¯)P(B)P(B)=0.75q 22=0.48，当ξ=5时，P 4=P(AB ¯B +AB)=P(AB ¯B)+P(AB)=P(A)P(B ¯)P(B)+P(A)P(B)=0.25q 2(1−q 2)+0.25q 2=0.24随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63； （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过的概率为P(B ¯BB +BB ¯B +BB)=P(B ¯BB)+P(BB ¯B)+P(BB)=2(1−q 2)q 22+q 22=0.896；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72． 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大．。
【数学】河北省石家庄市2011届高三第二次模拟考试(文)
试卷类型：B2011年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数 学(文科)说明：1．本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题． 2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率 是p ，那么n 次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n p k(1-p)kn - (k=0，l ，2，…，n)球的表面积公式S=4πR 2其中R 表示球的半径 球的体积公式V=34πR 3其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的． 1．cos600=A ．12-B C ．12 D ．2．设集合A {1,2,3,5,7},B {Z |16},x x ==∈<≤全集,U A B = 则U C =A B A ．{1，4，6，7} B ．{2，3，7} C ．{1， 7} D ．{1}3．6(2展开式中含3x 项的系数为 A ．-1 B ．1 C ．0 D ． 25．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若27915,a a a ++=则11S 的值为 A ．552B ．50C ．55D ．110 6．设m 、n 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．,,m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥ B ．,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥C ．,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥D ．//,,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥7．设{(,)|()()0},D x y x y x y =-+≤记“平面区域D 夹在直线1y =与([1,1])y t t =∈-之间的部分的面积”为S ，则函数()S f t =的图象的大致形状为8．表面积为16π的球内切于正三棱柱111ABC A B C -的各个面，则该项棱柱的体积为A ．．． D ．9．对于非零向量m ，n ，定义运算“*”： ||||sin ,m n m n θ*=⋅其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a b c 、、，下列结论正确的是 A ．若,a b a c *=*则b c =B ．()()a b c a b c *=*C ．()a b a b *=-*D ．()a b c a c b c +*=*+*10．将5名同学分到A B 、两个小组，每组至少1人，其中甲同学不分在则A 组，则不同的分配方案的种数为A ．6种B ．15种C ．8种D ． 12种11．若函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(2)f x -，且当1x ≠时其导函数()f x '满足(1)()(),x f x f x ''->若12,a <<则A ．2(log )(2)(2)a f a f f <<B ．2(2)(log )(2)a f f a f <<C ．2(2)(2)(log )a f f f a <<D ．2(log )(2)(2)a f a f f <<12．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则||||AB CD 的值为 A ．16 B ．4 C ．116 D ．14二、填空题：本大题共4小题，每小题5分；共20分．13.某校老、中、青老师的人数分别为80、160、240．现要用分层抽样的方法抽取容量为60的样本参加普通话测试，则应抽取的中年老师的人数为 ． 14．已知α为第四象限角，3cos 5α=，则tan 2α= ．15．若函数()f x =2log (42)x +，则不等式11()2fx -≤的解集为 ． 16．已知双曲线22184x y -=的左焦点为F ，ABC ∆的三个顶点均在其左支上，若FA FB FC −−→+−−→+−−→=0，则||||||FA FB FC−−→+−−→+−−→= ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分l0分) 已知函数2()cos()cos (R)3f x x m x m π=--∈的图象经过点3(0,).2P - (I)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ) ∆ABC 内角A B C 、、的对边长分别为，若()1,2f B b c =-==求a 的值．18．(本小题满分12分)小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为111,236、、现对三只小白鼠注射这种药物．（I ）求这三只小白鼠表现症状相同的概率；（II ）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率．19．(本小题满分l2分)已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足22(N n n S a n n *=-∈⋅） （I ）设n b =2n a +，求数列}{n b 的通项公式； （II ）若数列{}n c 满足n c 2log ,n b 求数列{}nnc b 的前n 项和n T .20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==SB =,120,BAD E ∠= 在棱SD 上，且3SE ED =．（I ）求证：SD ⊥平面;AEC（II ）求直线AD 与平面SCD 所成角的大小．21．(本小题满分l2分)已知函数32()3(R R)f x x ax b a b =-+∈∈，． (I) 设0,a >求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 设1,a =-若方程()f x =0在[-2，2]上有且仅有一个实数解，求b 的取值范围．22．(本小题满分l2分)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB 面积的最大值．2010-2011年度石家庄市第二次模拟考试文科数学答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. (A 卷答案):1-5 ACCBC 6-10DCABC 11-12 AB (B 卷答案):1-5 ABBCB 6-10DCACB 11-12 AC二、填空题: 本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．20 14.24715. {|12}x x <≤ 16.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 解：（Ⅰ）∵()13022f m =--=-，∴1m =．…………………2分 ∴()2π3πcos cos cos 323f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故函数()f x 的最小正周期为2π．…………………………5分 （Ⅱ）解法一：()π3f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．……………………7分 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，∴21322a a =+-⨯， 即2320a a -+=，故1a =或2a =．……………………………10分 解法二：()π32f B B ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．……………………7分由正弦定理得：1πsin sin 6a A ==，∴sin 2C =， ∵0πC <<，∴π3C =或2π3． 当π3C =时，π2A =；当2π3C =时，π6A =,故1a =或2a =．…………………10分 18..(本小题满分12分)解：（Ⅰ用(12,3)i A i =，表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用(12,3)i B i =，表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用(12,3)i C i =，表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝. 则三只小白鼠反应相同的概率1111222333()P P A BC A B C A B C =++……………………3分33311112366⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………………6分 （Ⅱ）三只小白鼠反应互不相同的概率为323123()P A P A B C =……………………9分111162366=⨯⨯⨯=.…………………………12分19. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）∵22n n S a n =-()*n ∈N ，∴当2n ≥时，()11221n n S a n --=--．两式相减得1222n n n a a a -=--，即122n n a a -=+()2n ≥．……………3分 又12a =,可知0n a >， ∴当2n ≥时，1111224222n n n n n n b a a b a a ----++===++（常数）， ∴{}n b 是以1124b a =+=为首项，2为公比的等比数列，∴12n n b +=． (6)分（Ⅱ）∵122log log 21n n n c b n +===+，∴112n n n c n b ++=，………………8分 则2312312222n n n n n T ++=++++ ，……① 3412123122222n n n n n T +++=++++ ，……② 两式相减得，23412121111222222n n n n T +++=++++- ………………………10分211111424212n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--1211114222n n n +++=+--23342n n ++=-． ∴13322n n n T ++=-．………………12分20.(本小题满分12分） 解：（Ⅰ）在平行四边形ABCD 中，由1AD =，2CD =，120BAD ∠=︒， 易知CA AD ⊥，又SA ⊥平面ABCD ，…………………2分SD 在平面ABCD 上的射影为AD ，∴SD AC ⊥，在直角三角形SAB 中，易得SA =在直角三角形SAD 中，60=∠ADE ，2SD =，又3SE ED =，∴21=DE ，可得AE ===. ∴SD AE ⊥，……………………5分又∵A AE AC = ，∴SD ⊥平面AEC ．……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,SD ⊥平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面SCD , 过A 作AF EC ⊥于F ,则AF ⊥平面SCD .可得ADF ∠为直线AD 与平面SCD 所成的角．…………………8分因为AC =,2AE =,所以2CE ==,所以AC AE AF CE ⨯==…………………10分在Rt ADF ∆中，sin AF ADF AD ∠==直线AD 与平面SCD 所成角的大小为arcsin5.……………………12分 解法二：依题意易知CA AD ⊥，SA ⊥平面ACD ．以A 为坐标原点，AC 、AD 、SA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则易得())()(0,0,0,,0,1,0,A C D S ，（Ⅰ）由:3SE ED =有30,4E ⎛ ⎝⎭，…………………3分易得00SD AC SD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而SD ⊥平面ACE ．……………………6分 （Ⅱ）设平面SCD 的法向量为(),,x y z =n则0,0.DC y SD y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，令1z =,得()=n ，…………9分从而0111cos ,5||||AD AD AD ⋅++⋅<>=== n n n ，……………11分所以AD 与平面SCD所成角大小为．………………12分 21.（本小题满分12分）解：（I ）)2(363)(2a x x ax x x f -=-='，………………2分 因为0>a ，所以02>a当x 变化时，)(x f ，)(x f '的变化情况如下表： 当2x a >或0x <时，()0f x '>； 当02x a <<时，()0f x '<.所以，当0>a 时，函数)(x f 的单调递增区间是)0(，-∞和)2(∞+，a ， 单调递减区间是)20(a ，．……………………6分 （II ）b x x x f ++=233)(，)2(363)(2+=+='x x x x x f ，]22[，-∈x 当x 变化时，)(x f ，)(x f '的变化情况如下表：因为方程0)(=x f 在区间]22[，-有且仅有一个实数解，而204+<+b b ， 所以0=b ，…………………10分或40,200.b b +<⎧⎨+≥⎩所以方程0)(=x f 在区间]22[，-有且仅有一个实数解时，b 的取值范围是0=b 或420-<≤-b .……………………12分22. （本小题满分12分）解：解：（I ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2212491a a b =⎪⎨⎪+=⎪⎩，得216a =，212b =. 所以椭圆的方程为2211612x y +=.…………………3分 设直线AB 的方程为y kx t =+(依题意可知直线的斜率存在)，设1122(,),(,)A x y B x y ，则由2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484480k xktx t +++-=,由∆>，得221216b k <+，122212283444834kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设()00,T x y 002243,3434kt tx y k k =-=++,易知00x ≠，由OT 与OP 斜率相等可得0032y x =，即12k =-，所以椭圆的方程为2211612x y +=，直线AB 的斜率为12-.……………………6分 （II ）设直线AB 的方程为12y x t =-+，即220x y t +-=，知识改变命运，学习成就未来联系方式 QQ:1365602590 邮箱：zxjkw@第 11 页 共 11 页 由2212 1.1612y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 得22120x tx t -+-=， 224(12)0t t ∆=-->，44t -<<.………………8分12212,12.x x t x x t +=⎧⎨⋅=-⎩.||AB === 点P 到直线AB的距离为d =于是PAB ∆的面积为122PAB S ∆==………………10分 设43()8128256f t t t t =-+-+，所以322()4241284(2)(4)f t t t t t '=-+-=-+-，其中44t -<<.在区间(2,4)-内，'()0f t <，()f t 是减函数；在区间(4,2)--内，'()0f t >，()f t 是增函数.所以()f t 的最大值为(2)432f -=，于是PAB S ∆的最大值为18.…………………12分。
江西省重点中学盟校2011届高三第二次联考数学试卷(文)
江西省重点中学盟校2011届高三第二次联考数学(文科)试卷主命题：鹰潭一中 丁加发 辅命题： 余江一中 严银斌 宜春中学 程继红第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）2．设复数1z bi =+()b R ∈且||2z =，则复数的虚部为（ ）A． C ．1± D．3．定义在R 上的偶函数满足：对任意12,[0,)x x ∈+∞，且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-4．已知向量(2,1)a = ，10a b ⋅=，||a b += ，则||b =（ ）A．5 D ．255. 已知命题:p “[]0,1,xx a e ∀∈≥”，命题:q “2,40x R x x a ∃∈++=”，若命题“p q ∧” 是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(4,)+∞B ．[1,4]C ． [,4]eD ．(,1]-∞ 6．若某多面体的三视图（单位：cm ）如下图所示， 则此多面体的体积是（ ）A ．12cm 3B ．23cm 3C ．56cm 3D ．78cm 37．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )8.过点M （-2，0）的直线m 与椭圆22x +y 2=1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k ≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 ( ) A. 2 B. －2 C. 21 D. －21 9.下面命题：① 当0x >时，x x212+的最小值为2； ②过定点P （2,3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③ 将函数x y 2cos =的图象向右平移6π个单位，可以得到函数)62sin(π-=x y 的图象； ④已知ABC ∆,60,4A a ∠== ，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（ ）A ．① ② ④B ．② ④C ．② ③D ．③ ④10．已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数226sin )(+-=a x a x g π)0(>a若存在12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．14[,]23 B ．1(0,]2 C ．24[,]33 D ．1[,1]2第Ⅱ卷 （共100分）二、填空题（每小题5分，共25分）11．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，点O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到点O 的距离大于1的概率为 。
2011届高三数学下册第三次调研考试题
徐州市2011届高三年级第三次调研考试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ▲ ．2．在空间直角坐标系O xyz -中，点(4,3,7)P -关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 ▲ ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+=⎨+>⎩≤为奇函数，则a b += ▲ ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中， 共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面 积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间 一组的频数为 ▲ .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ▲ ．6．若1cos 3α=，则cos(2)sin()sin()tan(3)2ααααπ-⋅π+π+⋅π-的值为 ▲ ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S ＝ ▲ .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ▲ ．9．若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ▲ ．10．已知二次函数2()()f x ax x c x =-+∈R 的值域为[0,)+∞，则22c a a c+++的最小值 为 ▲ ．(第5题)11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1P A P B P C ===cm ，则球的表面积为 ▲ 2cm ．12．如图，过点(5,4)P 作直线l 与圆22:25O x y +=交于,A B 两点，若2PA =，则直线l 的方程为 ▲ ．13.如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，2CA CB ==，若2AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角等于 ▲ ．14.若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域．．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知函数22()sin ()cos ()sin cos 63f x x x x x ππ=-+-+⋅，x ∈R .(1) 求()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值；(2) 求()f x 在[0,]π上的单调增区间.16. (本小题满分14分)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，24AB BC ==，3CD =，E 为AB 中点，过E 作EF CD ⊥,垂足为F ，如（图一），将此梯形沿EF 折成一个直二面角A EF C --，如 （图二）.(1)求证：BF ∥平面ACD ； (2)求多面体ADFCBE 的体积.FC(第13题)EB A(第12题)(图一)BCDE F A (图二)BACFDE17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：22(1)16x y -+=与点(1,0)A -,P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C ．(1) 求曲线C 的方程；（2）曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为,M N ，连接,QM QN ,分别交 直线x t =（t 为常数，且2t ≠）于点,E F ，设,E F 的纵坐标分别为12,y y ，求12y y ⋅的值（用t 表示）.18．(本小题满分16分)如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块ABCD ，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN 为函数29y x =12()33x ≤≤的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l （宽度不计），直路l 与曲线段MN 相切（切点记为P ），并把该地块分为两部分．记点P 到边AD 距离为t ，()f t 表示该地块在直路 l 左下部分的面积． （1）求()f t 的解析式； （2）求面积()S f t =的最大值．(第17题)(第18题)19．(本小题满分16分)设函数2()ln f x x a x =-与1()g x x a=的图象分别交直线1x =于点,A B ，且曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线平行（斜率相等）． （1）求函数()f x ,()g x 的表达式；（2）当1a >时，求函数()()()h x f x g x =-的最小值；（3）当1a <时，不等式()()f x m g x ⋅≥在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围．20. (本小题满分16分)已知各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，且102q <<. （1）在数列{}n a 中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；(2)若11a =，且对任意正整数k ，12()k k k a a a ++-+仍是该数列中的某一项. (i)求公比q ；(ii)若1log 1)n n a b +=-，12n n S b b b =+++，12n n T S S S =+++,试用2011S 表示2011T .徐州市2011届高三年级第三次调研考试数学Ⅰ答案及评分标准一、填空题：1． 1i - 2．(4,3,7)-- 3．0 4．50 5．16 6．13 7．502 8．23910．10 11．32π 12．4y =或4091640x y --= 13.3π 14. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦二、解答题:15. (1)1cos(2)1cos(2)133()sin 2222x x f x x π2π--+-=++………………………………2分 11(sin 2cos2)2x x =+-)14x π=-+，………………………………4分 当2242x k ππ-=π+，即3,8x k k π=π+∈Z 时，……………………………………6分()f x的最大值为12+.………………………………………………………………8分 (2)由222242k x k ππππ--π+≤≤，即3,88k x k k πππ-π+∈Z ≤≤，又因为0x π≤≤，所以所求()f x 的增区间为3[0,],[,π]88π7π.……………………14分16.（1）连接EC ，交BF 于点O ，取AC 中点P ，连接,PO PD ，可得PO ∥AE ，且12PO AE =，而DF ∥AE ，且12DF AE =，所以DF ∥PO ， 且DF PO =，所以四边形DPOF 为平行四边形，所以FO ∥PD ，即BF ∥PD ，又PD ⊂平面ACD ，BF ⊄平面ACD ，所以BF ∥平面ACD .……………………………………………8分(2)二面角A EF C --为直二面角，且AE EF ⊥，所以AE ⊥平面BCFE ， 又BC ⊂平面BCFE ，所以AE BC ⊥，又BC BE ⊥，BE AE E =，所以BC ⊥平面AEB ，所以BC 是三棱锥C ABE -的高，同理可证CF 是四棱锥C AEFD -的高，……………………………………………10分 所以多面体ADFCBE 的体积111110222(12)2232323C ABE C AEFD V V V --=+=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=.………………14分17. (1)连接RA ，由题意得，RA RP =，4RP RB +=，所以42RA RB AB +=>=，…………………………………………………………2分由椭圆定义得，点R 的轨迹方程是22143x y +=.……………………………………4分(2)设M 00(,)x y ，则00(,)N x y --，,QM QN 的斜率分别为,QM QN k k ， 则002QM y k x =-，002NQ y k x =+，………………………………………………………6分 所以直线QM 的方程为00(2)2y y x x =--，直线QN 的方程00(2)2y y x x =-+，…8分 令(2)x t t =≠，则001200(2),(2)22y y y t y t x x =-=--+，……………………………10分 又因为00(,)x y 在椭圆2200143x y +=，所以2200334y x =-， 所以222022********(3)(2)34(2)(2)444x t y y y t t x x --⋅=-==----，其中t 为常数.……14分 C F D E A OP18.（1）因为29y x=，所以229y x '=-，所以过点P 的切线方程为222()99y x t t t -=--，即22499y x t t=-+，…………2分令0x =，得49y t=，令0y =，得2x t =.所以切线与x 轴交点(2,0)E t ，切线与y 轴交点4(0,)9F t .………………………4分①当21,41,912,33t tt ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤即4192t ≤≤时，切线左下方的区域为一直角三角形， 所以144()2299f t t t =⨯⨯=.…………………………………………………………6分 ②当21,41,912,33t tt ⎧⎪>⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤ 即1223t <≤时，切线左下方的区域为一直角梯形， 22144241()()12999t t f t t t t --=+⋅=，……………………………………………………8分 ③当21,41,912,33t tt ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤即1439t <≤时,切线左下方的区域为一直角梯形, 所以221499()(2)12224t t f t t t t -=+⋅=-.综上229142,,439441(),,9924112,.923t t t f t t t t t ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪<⎪⎩≤≤≤≤……………………………………………………10分(2)当1439t <≤时, 29()24f t t t =- 29444()4999t =--+<，……………………………12分当1223t <≤时, 241()9t f t t -=21144(2)999t =--+<，………………………………14分所以max 49S =．…………………………………………………………………………16分19．（1）由2()ln f x x a x =-，得22()x af x x-'=，………………………………………2分由1()g x x a ='()g x =．又由题意可得(1)(1)f g ''=，即222a a a --=，故2a =，或12a =．………………………………………………4分所以当2a =时，2()2ln f x x x =-,1()2g x x =当12a =时，21()ln 2f x x x =-，()2g x x =6分（2）当1a >时，21()()()2ln 2h x f x g x x x x =-=--212(1)(1)'()22x x h x x x x -+=--+=-1)=⎣⎦，………………………………………8分由0x >0>，故当(0,1)x ∈时，()0h x '<,()h x 递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>,()h x 递增, 所以函数()h x 的最小值为13(1)12ln1122h =--+=．…………………10分（3）12a =，21()ln 2f x x x =-,()2g x x =当11[,)42x ∈时, 21()ln 2f x x x =-,2141'()2022x f x x x x -=-=<，()f x 在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，111()()ln 20242f x f =+>≥，………………………12分当11[,)42x ∈时，()2g x x ='()20g x ==>，()g x 在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数， 1()()122g x g =-≤，且1()()04g x g =≥．……14分 要使不等式()()f x m g x ⋅≥在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，当14x =时，m 为任意实数；当11(,]42x ∈时，()()f x m g x ≤，而min1()()21()()2f f xg x g ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.所以m .……………………………………………………………16分 20.⑴由条件知：11-=n n q a a ，102q <<，01>a ，所以数列{}n a 是递减数列，若有k a ，m a ，n a ()k m n <<成等差数列，则中项不可能是k a （最大），也不可能是n a （最小），………………………………2分若 k n km n k m q q a a a --+=⇔+=122，（*）由221m k q q -<≤, 11>+-kh q，知(* )式不成立，故k a ，m a ，n a 不可能成等差数列. ………………………………………………4分 ⑵(i)方法一： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=--=----++45)21()1(21121121q q a q q q a a a a k k k k k ，……6分由)1,41(45)21(2∈++-q 知， 121k k k k k a a a a a ++---<<<，且>>>--++++3221k k k k k a a a a a … ，………………………………………………8分 所以121+++=--k k k k a a a a ，即0122=-+q q ， 所以12-=q ，………………………………………………………………………10分方法二：设12k k k m a a a a ++--=，则21m k q q q ---=，…………………………………6分由211,14q q ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭知1m k -=，即1m k =+， ……………………………………8分以下同方法一. …………………………………………………………………………10分 (ii) nb n 1=，………………………………………………………………………………12分 方法一：n S n 131211++++= ，)131211()31211()211(1n T n +++++++++++=nn n n n n )1(3221--++-+-+=)1433221()131211(nn n n -++++-++++= )]11()411()311()211[(nnS n -++-+-+--=)]13121()1[(n n nS n +++---=)]131211([nn nS n ++++--=n n S n nS +-=(1)n n S n =+-，所以2011201120122011T S =-.…………………………………………………16分方法二：11111312111++=++++++=+n S n n S n n 所以 1(1)(1)1n n n S n S ++-+=，所以1(1)1n n n n S nS S ++-=+， 12112+=-S S S ， 123223+=-S S S ， … … 1)1(1+=-++n n n S nS S n ，累加得n T S S n n n +=-++11)1(，所以1(1)1(1)(1)()1n n n n n T n S n n S n n S b n +=+--=+-=++--1(1)()11n n S n n =++--+ (1)n n S n =+-， 所以2011201120122011T S =-. ……………………………………………………16分徐州市2011届高三年级第三调研考试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在下面A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分． A ．选修4－1：几何证明选讲如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG切圆O 于点G ． （1）求证：△DFE ∽△EFA ；（2）如果1FG =，求EF 的长．B ．选修4—2 矩阵与变换设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 轴方向伸长为原来5倍的伸压变换． （1）求直线4101x y -=在M 作用下的方程； （2）求M 的特征值与特征向量．C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的方程为2=8sin 15ρρθ-，曲线 2C 的方程为,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．（1）将1C 的方程化为直角坐标方程；(第21—A 题)（2）若2C 上的点Q 对应的参数为34απ=，P 为1C 上的动点，求PQ 的最小值． D ．选修4—5：不等式选讲设函数()11f x x x =-++，若不等式2()a b a b a f x +--⋅≤对任意,a b ∈R 且0a ≠恒成立，求实数x 的范围． 22．（本小题满分10分）如图， 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =,4BC =，5=AB ，14AA =． (1)设AD AB λ=,异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为925，求λ的值； (2)若点D 是AB 的中点，求二面角1D CB B --的余弦值．23．（本小题满分10分）在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字． （1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？（2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为0,1,2，则相邻的组为0,1和1,2，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．徐州市2011届高三年级第三次调研考试数学Ⅱ（附加题）答案及评分标准21．【选做题】A ．选修4－1：几何证明选讲(1)因为EF ∥CB ，所以BCE FED ∠=∠，又BAD BCD ∠=∠，所以BAD FED ∠=∠，又EFD EFD ∠=∠，所以△DEF ∽△EFA ．……………………………………6分 （2）由（1）得，EF FDFA EF=，2EF FA FD =⋅． 因为FG 是切线，所以2FG FD FA =⋅，所以1EF FG ==．…………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换（1）1005⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．………………………………………………………………………2分 (第22题)BAC A 1D B 1C 1设(,)x y ''是所求曲线上的任一点，1005x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以,5,x x y y '=⎧⎨'=⎩所以,1,5x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入4101x y -=得，421x y ''-=，所以所求曲线的方程为124=-y x ．……………………………………………4分 （2）矩阵M 的特征多项式1()(1)(5)005f λλλλλ-==--=-， 所以M 的特征值为5,121==λλ．………………………………………………6分当11=λ时，由111λ=M αα，得特征向量110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；当52=λ时，由222λ=M αα，得特征向量201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．………………………10分C ．选修4－4：坐标系与参数方程（1）228150x y y +-+=．…………………………………………………………4分 （2）当34απ=时，得(2,1)Q -，点Q 到1C所以PQ1．………………………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲 由2()a b a bf x a +--≥，对任意的,a b ∈R ，且0a ≠恒成立，而223a b a ba b a baa+--++-=≤，()3f x ≥，即113x x -++≥，解得32x -≤，或32x ≥，所以x 的范围为33,22x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥． …………10分22．(1)以1,,CA CB CC 分别为x y z ,,因为3AC =,4BC =，14AA =，所以(300)A ，，， (0,4,0)B ，(000)C ，，，1(0,0,4)C =， 所以1(3,0,4)AC =-，因为AD AB λ=，所以点(33,4,0)D λλ-+，所以(33,4,0)CD λλ=-+，因为异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为925，所以 19|cos ,|25AC CD <>==，解得12λ=．……………4分(2)由（1）得1(044)B ，，，因为 D 是AB 的中点，所以3(20)2D ，，，所以3(20)2CD =，，，1(044)CB =，，，平面11CBB C 的法向量 1n (1,0,0)=， 设平面1DB C 的一个法向量2000(,,)x y z =n ，则1n ，2n 的夹角（或其补角）的大小就是二面角1D CB B --的大小,由2210,0,CD CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0000320,2440,x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令04x =，则03y =-，03z =，所以2n (4,3,3)=-，12122cos ||||⋅<>===⋅，n n n n n n所以二面角1D B C B --． …………………………………10分23.（1）要想组成的三位数能被3整除，把0,1,2,3，…，9这十个自然数中分为三组：0,3,6,9；1,4,7；2,5,8．若每组中各取一个数，含0，共有1112332236=C C C A 种；若每组中各取一个数不含0，共有11133333=162C C C A 种； 若从每组中各取三个数，共有322233223=30A +C A A 种.所以组成的三位数能被3整除，共有36+162+30=228种.………………………6分 （2）随机变量ξ的取值为，的分布列为：所以ξ的数学期望为77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………………………10分。
天津市第二十中学2011届高三2月月考数学试题
天津市第二十中学2011届高三2月月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．1、 已知复平面XOY 内的平面向量,,OA OC AB表示的复数分别为-2+ i,3+2i, 1+5i,则向量BC 表示的复数为（ ）A 、4-5iB 、4-4iC 、 2+8iD 、3-2i 2、设集合A={ x │2x x - ＜0，x ∈R},N={x ││x ︱＜2,x ∈R } ，则（ ）A 、 N MB 、M ∩N=MC 、M ∪N=MD 、M ∪N=R3、若1a ＜1b＜ 0 ，则下列结论不正确的是（ ） A 、2a ＜b 2 B 、 ab ＜b 2 C 、 b a a b+＞2 D 、︳a ∣ + ︳b ∣＞︳a+b ∣4、直线12,l l 互相平行的一个充分条件是（ ）A 、 12,l l 都平行于同一个平面B 、12,l l 与同一个平面所成的叫相等C 、1l 平行于2l 所在的平面D 、12,l l 都垂直于同一个平面5、若二项式2)nx的展开式的第5项是常数项，则自然数n 的值为（ ） A 、6 B 、10 C 、 12 D 、15 6、已知()sin cos ,()12f x x x f π=+则的值为（ ）122A B C 、， D 、7、函数y=log 2(1-x)的图象是（ ）8、131lim (2)333n n n n n n n x n +→∞=-+- 则实数x 的取值范围是（ ） A 、[-1，5] B 、（-1，5） C 、[-1，5] D 、（-5，5）9、设函数2322,2()42,2x x f x x x x a+⎧>-⎪=--⎨≤⎪⎩在2x =处连续，则a =(A)12-(B)14-(C)14(D)1310、已知函数y=f(x)是R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若f （a ）≥f （2），则实数a 的取值范围是（ ）A 、a ≤2B 、 a ≤-2或a ≥2C 、a ≥-2D 、 -2≤a ≤2 11、如图，E 、F 分别是三棱锥P-ABC 的棱AP 、BC 的中点， PC=10,AB=6,EF=6则异面直线XB 与PC 所成角 A 、 60° B 、45° C 、30° D 、120°12、圆心在抛物线y 2=2x(y ＞0)上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的方程是（）22222222120,2104110,204A x y x y B x y x y C x y x D x y x y +---=++-+=+-+=+--+=、、、、二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13、若n S 是数列{}n a 的前n 项和，n S =2n ，则567a a a ++=14若x,y 满足28,39,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 则z=x+2y 的最大值为15、从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是_________.16、若对n 个向量12,a a …n a 存在n 个不全为零的实数12k k 、…n k ，使得2112k a k a ++ …n n k a=0成立，则称向量12,a a …n a 为“线性相关”，依此规定，能说明123(1,0),(1,1),(2,2)a a a ==-=“线性相关”的实数12k k 、、3k 依次可以取_____________________（写出一组数就可）。
2011届高三数学下册复习检测试题1
2011高考数学萃取精华30套（1）1．重庆一模21．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由。
21．（12分）解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =+=+(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）22．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上。
2011届高三数学下册专题检测试题3
2011届高三数学下册专题检测试题3DA．[－34，0]B．[－33，33]C．[－3，3]D．[－23，0]5．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)6．若直线xa－yb＝1(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－2x＋2y＝0的圆心，则3a＋b的最小值为() A．8 B．4＋2 3C．4 3 D．4＋ 37．(2010年高考广东卷)已知圆心在x轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．8．设直线l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则直线l 1的方程为________________．9．(2010年天津一中质检)两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为________．10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和直线l 2：2x ＋my －1＝0，分别根据下列情况求实数m 与n 的取值．(1)l 1与l 2平行； (2)l 1与l 2垂直．11．如图，直角三角形ABC的顶点A的坐标(－2,0)，直角顶点B的坐标为(0，－22)，顶点C在x轴上．(1)求BC边所在直线的方程；(2)圆M是△ABC的外接圆，求圆M的方程．12．已知曲线x2＋y2－4x－2y－k＝0表示的图象为圆．(1)若k＝15，求过该曲线与直线x－2y＋5＝0的交点、且面积最小的圆的方程；(2)若该圆关于直线x＋y－4＝0的对称圆与直线6x＋8y－59＝0相切，求实数k的值．第2讲椭圆、双曲线、抛物线1．(2010年高考课标全国卷)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.6B. 5C.62 D.522．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是() A．4 B．6C．8 D．123．(2010年高考天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.x236－y2108＝ 1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝ 1D.x 227－y 29＝1 4．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．7C ．6D ．55．(2010年河北邢台一中模拟)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．86．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为() A．4,8 B．2,6C．6,8 D．8,127．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．8．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝__________.9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交该抛物线于A、B两点．若椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点与点F重合，右顶点与A、B构成等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为__________．10．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．11．(2010年高考课标全国卷)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；(2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标．。
四川省成都市【七中】2011届高三数学“二诊”模拟检测 理
成都七中2011届高中毕业班第二次诊断性模拟检测数 学（理科）一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1、函数y =）A {|22}x x -<<B {|22}x x -<≤C {|22}x x x <->或 D{|22}x x x <-≥或2、下列命题中为假命题的是（ ）A 3434><或B 命题“若220x y +=，则,x y 全为0。
”的否命题 C 78≤ D 命题“若0,0a ab ==则。
”的逆命题3、若复数2ω=2ω的共轭复数是（ ）A12-+B12--C12+ D12-规定，上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去3000元后的余数。
若某人在某月的个人所得税是368.2元，则他那个月的工资、薪金收入是（ ）A 7788元B 5788元C 6788元D 8788元 5、函数21(0)y x x =-<的反函数为（ ）A 1)y x =≥B 1)y x =>C 1)y x =>- D 1)y x =>-6、已知111cos ,cos()714ααβ=+=-，且,[0,]2παβ∈，则β的值为（ ）A3πB4πC6πD12π7、已知向量,,a b c 两两所成的角相等，且||1,||2,||3a b c ===，则||a b c ++= （ ）A 6BC 6D 68、当点(,)x y 在以原点为圆心，a 为半径的圆上运动时，点(,)x y xy -的轨迹方程是（ ） A 222x y a += B 222x y a -= C 222x y a += D 222x y a -= 9、2011年寒假，5名学生志愿者到四川省自贡市盐业历史博物馆、恐龙博物馆和彩灯博物馆参加接待工作，每个博物馆至少分配一名志愿者，则甲、乙两人被分到同一博物馆的概率是（ ） A325B625C350D11510、已知双曲线22221(0)x y a b ab-=>>，当1()a b a b +-取得最小值时双曲线的离心率为（ ）A2B2C2D11、定义在R 上的函数()||xxf x e e x -=++，则满足(21)(3)f x f -<的x 的取值范围是（ ）A (2,1)-B [2,1)-C [1,2)-D (1,2)- 12、定义：若平面点集A 中的任一点00(,)x y ，总存在正实数r ，使得集合{(,)|}x y r A <⊆，则称A 为一个开集。
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2011届高三综合测试卷
2011届高三数学综合测试卷一、选择题：1设等差数列{}n a 的公差d ≠0，14a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =(A) 3或-1(B) 3或1 (C) 3 (D) 12已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C) (1,2)-(D) (2,1)-3从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为 (A)12(B)13 (C) 14 (D) 16 4已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =5．6已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅<的点M 的概率为（ ）A ．23B ．63C ．63D ．127．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1,()()f f x f x '=为的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足1(2)1,1b f a b a ++<+则的取值范围是（ ）A ．11(,)53B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．1(,5)3D ．(,3)-∞ 8.已知点(3,3)A ，O 为坐标原点，点(,)P x y 的坐标x ，y 满足303200x y x y ⎧-≤⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩，则向量 OA在向量OP 方向上的投影的取值范围是 （ ） A.[3,3]- B.[3,3]- C.[3,3]- D.[3,3]-9对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是 (A) 2n(B) 2(2n -1) (C) 2n (D) 2n 210 定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中x ∈R . 设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，若用123,,d d d 分别表示不等式()()f x g x >，方程()()f x g x =，不等式()()f x g x <解集区间的长度，则当02011x ≤≤时，有（A ）1231, 2, 2008d d d === （B ）1231, 1, 2009d d d ===（C ）1233, 5, 2003d d d === （D ）1232, 3, 2006d d d ===二、填空题11．阅读如图所示的程序框图，运行该程序后输出的k 的值是 ．12函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，*135,16,n N a a a ∈=+=若则 ，数列{}n a 的通项公式为 ．13设正实数a b 、满足等式21a b +=，且有22142a b t -≤-恒成立，则实数t 的取值范围是14 已知()nx x 2323+展开式中各项的系数和比各项二项式系数和大992，则展开式中系数最大项为_______________15 对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -中的逆序数为 .三 解答题16在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC 的形状．17 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是： 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1D 1和CC 1的中点． （Ⅰ）求证：EF//平面ACD 1；（Ⅱ）求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；（Ⅲ）在棱BB 1上是否存有一点P ，使得二面角P —AC —B 的大小为30°？若存有，求出BP 的长；若不存有，请说明理由．19 已知函数2()ln 20)f x a x a x =+-> (.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围.20 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点61(,)22P ，离心率为22，动点(2,)(0).M t t >（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．21 有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a (,1,2,3,,, 3)m k n n =≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列． （Ⅰ）证明1122m d p d p d =+ （3m n ≤≤，12,p p 是m 的多项式），并求12p p +的值； （Ⅱ）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d (每组数的个数构成等差数列)．设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S ．（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式1(6)50n n S d ->成立的所有N 的值．。
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2011高考数学萃取精华30套（2）
1．杭州二模
21． (本小题满分14分)
设双曲线2222byax=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，
P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的
两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.
(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|OP|2 =
|OQ·OR| ( O为坐标原点)；
(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、
虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；
解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = ab(x – a ),
解得：OR= (bakab,bakkab), 同理可得OQ= (bakab,bakkab),
∴|OQ·OR| =|bakabbakab+bakkabbakkab| =|bka|)k1(ba222222. 4分
设OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:
m2 =22222kabba, n2 = 222222kabbak,
∴ |OP|2 = :m2 + n2 = 22222kabba+ 222222kabbak=222222kab)k1(ba ,
∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 .
∴无论P点在什么位置，总有|OP|2 = |OQ·OR| . 4分
（2）由条件得：222222kab)k1(ba= 4ab, 2分
即k2 = 22a4ababb4> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 417 2分
22. (本小题满分12分)
已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.
(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.
(2) 对任意n a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)
解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分
（2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,
∴ 当n a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n n n – ( n + a)n. 2分
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n +
1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分
( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分
∵( n + a ) > n ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分
2．杭州一模
21. (本小题满分12分)
已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v[–1，1］，
都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？
(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]xxxx，是否满足题设条件？
解： (1) 若u ,v [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，
取u = 43[–1，1]，v = 21[–1，1],
则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 45| u – v | > | u – v |，
所以p( x)不满足题设条件.
（2）分三种情况讨论：
10. 若u ,v [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；
20. 若u ,v [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；
30. 若u[–1，0]，v[0，1]，则：
|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;
40 若u[0，1]，v[–1，0], 同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
22. (本小题满分14分)
已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1xx(x –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).
(1) 求证：| ac | 4;
(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.
(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
证：(1) ∵ tR, t –1,
∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 0 ，
∵ c 0, ∴c2a2 16 , ∴| ac | 4.
(2) 由 f ( x ) = 1 – 1x1,
法1. 设–1 < x1 < x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1– 1x12–1 + 1x11= )1x)(1x(xx1221.
∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,
∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x 0时，f ( x )单调递增.
法2. 由f ` ( x ) = 2)1x(1> 0 得x –1,
∴x > –1时，f ( x )单调递增.
（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | |a|4 > 0 ,
∴f (| c | ) f (|a|4) = 1|a|4|a|4= 4|a|4
f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a||a|+ 4|a|4> 4|a||a|+4|a|4=1.
即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
3．南通二模
19．（本小题满分15分）
设定义在R上的函数43201234()fxaxaxaxaxa（其中ia∈R，i=0,1,2,3,4），
当
x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．
（1） 求f (x)的表达式；
（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横
坐标都在区间2,2上；
（3） 若+212(13),(N)23nnnnnnxyn，求证：4()().3nnfxfy
解：（1）31().3fxxx…………………………5分
（2）20,0,2,3或20,0,2,.3…………10分
（3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3nnfxfyff……15分
20．（本小题满分13分）
设M是椭圆22:1124xyC上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对
称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C
运动时，求动点E的轨迹方程．
解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),MxyNxyxyExy
则111111(,),(,),(,),PxyQxyTxy……1分
22
11
22
22
1,(1)1241.(2)124xyxy
………………………………………………………3分
由（1）－（2）可得1.3MNQNkk………………………………6分
又MN⊥MQ，111,,MNMQMNxkkky所以11.3QNykx
直线QN的方程为1111()3yyxxyx，又直线PT的方程为11.xyxy……10
分
从而得1111,.22xxyy所以112,2.xxyy
代入（1）可得221(0),3xyxy此即为所求的轨迹方程.………………13分