第02讲-数学-1
二年级下册数学期末复习专题讲义(知识点归纳+典例讲解+同步测试)-1.数据收集整理人教版
二年级下册数学期末复习专题讲义-1.数据收集整理【知识点归纳】1.用画“正”字的方法收集数据。
2.用统计图表来表示数据的情况。
3.根据统计图表可以做出一些判断。
4.数据收集---整理---分析表格。
【典例讲解】例1．淘气练书法的时候不小心把表格弄脏了，请你帮他算一下故事书有（）本。
A. 292B. 293C. 392【答案】A【解析】【解答】935-212-431=723-431=292（本）故答案为：A。
【分析】故事书的本数=总数-文艺书的本数-科技书的本数，据此解答。
例2．下图是三年级一班评选三好学生情况统计表。
刘青比王宇少5票。
【答案】错误【解析】【解答】解：由题可知，一笔代表1票，则数得刘青25票、王宇有35票，35-25=10票，即刘青比王宇少10票。
故“刘青比王宇少5票”这个说法是错误的。
故答案为：错误。
【分析】此题中票数的多少能反映出不同学生得票数量的比较，根据“刘青比王宇少的票数=王宇的票数-刘青的票数”计算即可。
例3．人正常的眨眼可以消除眼睛的疲劳．如果眨眼次数过少，对眼睛的健康不利．下表是人在正常状态下每分钟眨眼的次数．状态平常写字看书玩手机游戏每分钟眨眼次数 24 18 15 10从上表可以看出，在________状态下，眼睛最容易疲劳，看书状态下眨眼的次数比写字时眨眼次数少________%．【答案】玩手机游戏；16.67【解析】【解答】解：从表中的数据可以看出，在玩手机游戏状态下，眼睛最容易疲劳，看书状态下眨眼的次数比写字时眨眼次数少（18-15）÷18≈0.1667=16.67%。
故答案为：玩手机游戏；16.67。
【分析】因为眨眼次数过少，对眼睛的健康不利，所以每分钟眨眼次数越少，眼睛越容易疲劳；看书状态下眨眼的次数比写字时眨眼次数少百分之几=（写字时眨眼的次数-看书状态下眨眼的次数）÷写字时眨眼的次数。
例4．下面是某市今年9月份天气情况统计表．天气晴阴多云雨天数 4 5绘制成统计图如下：（1）请把统计表和统计图填完整．（2）该市9月中________的天数最多，________最少．（3）你还获得什么信息？【答案】（1）解：统计表如下：天气晴阴多云雨天数18 4 3 5绘制成统计图如下：（2）晴；多云（3）解：得到的信息还有：①晴天比阴天多：18﹣4＝14（天）；②多云比雨天少：5﹣3＝2（天）．【解析】【分析】（1）根据统计表中的数据可知，阴天有4天，雨天有5天，观察统计图可知，纵轴每格代表2天，根据统计表中的数据将统计图补充完整，观察统计图可知，晴天有18天，多云有3天，将两个数据补充到统计表中；（2）对比9月份4种天气的天数，即可得到哪种天数最多，哪种天数最少，据此解答；（3）从统计图中，可以获得的信息还有：①晴天比阴天多几天；②多云比雨天少几天，据此列式解答。
数学教案 三年级-1 间隔问题
教案第一课时第二课时本讲教材答案呈现问题1. 间隔数：180÷9＝20（个）灯的盏数：20＋1＝21（盏）答：这段距离一共装了21盏警示灯。
2. 段数：24＋1＝25（段）火腿的长度：25×5＝125（毫米）答：这根火腿原来长125毫米。
3. 100×4＝400（米）答：这艘游轮一圈有400米。
4. 1个间隔的台阶数：36÷（5－1）＝9（级）1层走到第9层的台阶数：9×（9－1）＝72（级）答：一共需要走72级台阶。
5.敲1个间隔用的时间：8÷（5－1）＝2（秒）敲10下用的时间：2×（10－1）＝18（秒）答：18秒敲完。
大胆闯关1. 间隔数：8＋1＝9（个）距离：9×3＝27（米）答：两个珊瑚之间的距离是27米。
2. 切的次数：8－1＝7（次）切8段的时间：7×4＝28（分）答：切完这根鱿鱼须一共需要28分钟。
3. 12×2＝24（米）答：它们围成的圆圈总长24米。
4. 1个间隔需要的时间：4÷（3－1）＝2（秒）第1层游到第9层的时间：2×（9－1）＝16（秒）答：需要16秒。
5．45÷3＝15（组）（15－1）×2＝28（片）答：这个本子内共夹进28片树叶。
拓展延伸1.锯1根木头用的时间：24÷4＝6（分）锯1次用的时间：6÷（3－1）＝3（分）8根木头每根锯成6段用的时间：（6－1）×8×3＝120（分）答：共需要120分钟。
2. 120÷6＝20（棵）答：一共要栽20棵树。
补充题目1、小马虎从1层开始爬楼梯，且速度保持不变，他爬到5层用了7分钟。
又过了21分钟，他爬到了第几层？答案：4个间隔需要7分钟21÷7＝3（个）3×4＝12（个）5＋12＝17（层）答：他爬到了第17层。
小奥 41 奥数 一年级 教案 第02讲 排序 教师版
第二讲 排序梅舜旭知道，我们用来表示时间的单位有很多，有秒、分钟、小时，还有年、月、日等等，请给下面的12个时间单位按照从小到大排个顺序。
在我们通常表示时间的单位里，秒钟是最小的，简称秒。
一秒钟就是钟表“嘀嗒”一下，你可以眨一下眼睛，或者按一下电视机遥控器，再或者在电脑上点一下鼠标，当然，还可以用一秒钟亲一下妈妈。
比秒稍大一些的单位是分钟，简称分，1分=60秒。
在一分钟里，我们可以上个厕所，或者读一段课文，我们平时上一节课就是40分钟。
其实一分钟还可以干很多事情，例如拍手，大家不妨试一试，一分钟你能拍多少次手？比分钟再大一些的单位是小时，简称时，1小时=60分。
在一小时里，我们可以看两集动画片，也可以写完今天的作业。
我们每天晚上睡觉，要睡8~10个小时，这样才能保证第二天的体力。
比小时还大的单位就是日了，我们也常说天，这两个单位是一样的，1天就是1日，1日就是1天，1天=24小时。
一天的时间我们可以做很多事，比如去欢乐谷好好玩一趟，再比如和同学一起去烧烤，等等等等，每天的生活都应当是丰富多彩的，可不能光拿着书本学习哦！比天大一些的单位是星期，也叫周，或者礼拜，1星期=7天。
我们的生活就是一个7日接着另一个7日，每一周我们都在学校里上5天课，再休息周末两天。
比星期大一些的还有旬，1旬=10天，一个月是30天左右，所以我们常常把一个月分成上旬、中旬、下旬。
比旬再大一些的就是月了，一个月有30天左右，有的月大，有的月小，这个我们到二年级会详细学到。
比月稍大一些的就是季度了，一个季度是3个月，这样的话一年有4个季度。
所以我们经常听到新闻里面说第三季度我们国家又怎么样了，就是这个意思。
比季度再大一些的是学期，从上学开始，我们就用这样一个特殊的词来计算时间。
如果不上课外班的话，一年有两个学期，一个学期大约是5个月，还有寒假和暑假两个假期。
现在是刚开学，也就是一个学期的开始，到学期中或者学期末的时候我们会有期中、期末考试，来检验大家的学习情况。
初一数学启航班第1讲教案—有理数的基本概念(一) (2)
初一数学启航班第2讲教案—有理数的基本概念（二）
一、倒数
⑴定义：若1ab =，则a ，b 互为倒数（分子分母颠倒位置）
⑵注意点
①倒数成对出现
②1和-1的倒数是其本身，0没有倒数
③小数和带分数求倒数的时候，要先化成假分数例如：11,0.2
3二、相反数
⑴定义：仅有符号不同的两个数（一正一负）
注意：0的相反数是0（相反数是其本身的数）
⑵性质：①成对出现
②在数轴上到原点的距离相等，且关于原点对称：,a a -在数轴上的表示
③最重要：若a ，b 互为相反数，则0
a b +=⑶求法：添“—”号：对任意一个数a 的相反数是-a
a 可以表示任何一个数
⑷多重符号化简：奇负偶正（数的是负号个数）
三、绝对值⑴定义：表示一个数字在数轴上的点到原点的距离（本质是一种求到原点距离的运算）⑵符号：||⑶代数意义：①正数的绝对值是本身②0的绝对值是0③负数的绝对值：相反数
⑷非负性：||0a ≥当且仅当0a =时取等号
⑸比较大小
①两个正数
②一正一负：正数>0>负数
③两个负数：绝对值大的反而小
（也可以利用之前将的数轴）,0,0,0||0,0,0,0,0a a a a a a a a a a a a a a >⎧≥>⎧⎧⎪====⎨⎨⎨-<-≤⎩⎩⎪-<⎩。
第一单元_第02课时_ 在直线上表示数 例3(教学课件)-六年级数学下册人教版
1
2.5
﹣0.5
1.5
0
-4
1
-2
2.5
-0.5
1.5
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
比较两个负数的大小：负号后面的数大，这个负数就小；负号后面的数小，这个负数就大。
2.怎样比较负数的大小？
﹣5 〇﹣4
﹣5在﹣4的左边，所以﹣5＜﹣4
5>4
＜
3.如果把一个人先向东走5 m记作+5 m，那么这个人又走-4 m是什么意思？这时他距离出发点有多远？在直线上表示出来。
1
2
3Байду номын сангаас
4
东
西
-4
5
-5
正
负
0右边的数都是正数，正数都大于0。 0左边的数都是负数，负数都小于0。 0是正数和负数的分界线。负数＜0＜正数
在直线上表示数
－1.5
1.5
从起点到－1.5处，应向西走1.5米。
用有正数和负数的直线可以表示距离和相反的方向。
西
东
回顾与反思：
1.在直线上表示下列各数。
﹣4
2.完成《分层练习》相关习题。
1.如图所示，小明家、学校和少年宫在同一条直线上，向东记为正。小明家在学校的西面400米处，少年宫在学校的东面600米处，如果小明从学校出发，先向西走500米，在向东走700米，这时小明在少年宫的东面还是西面？距离少年宫有多远？
要求：请你先独立画一画，完成后在小组内交流。
画一条直线，以大树为起点（0）,向东为正,向西为负。
在直线上表示数
-3
-2
-1
数学史 第一讲 数学的起源和早期发展 课件
• 亚里士多德（前384－前332）曾指出，今天十进制的 广泛采用，只不过是我们绝大多数人生来具有10个手 指这样一个解剖学事实的结果。 • 《周易。系辞下传》有“上古结绳而治，后世圣人，易 之以书契”之说。 • 南美印加部落用来记事的绳结，称为基普。
• 直到距今大约五千多年前，出现了书写记 数以及相应的记数系统。如古埃及的象形 数字、巴比伦的qi形数字、中国甲骨文数 字等等。 • 记数系统的出现使数和数的书写运算成为 可能，初等算术应运而生了。
主要工作和特点 1、采用60进制为主的记数系统。对60以内的 整数采用简单十进累计法，对大于59的数采用 六十进制的位值记法。他们还巧妙地将位置记 法推广到整数以外的分数。 例： 2、在算术方面，他们长于计算，创造了很多 成熟的算法。 例：开方根。
3、他们编制了很多数学用表，如乘法表、倒 数表、平方表、立方表、平方根表、立方根 表三、甚至还有指数对数表等等。 4、在代数领域达到了相当高度，能有效地处 理二元二次方程和一些简单的三次方程。 例： 5、在几何领域掌握了三角形、梯形等平面图 形面积和棱柱、平截头方锥等一些立体图形 的体积公式，还会利用图形相似性的概念。
2. 形的概念 • 最初的几何知识是从人们的直觉中萌发出来的。 从自然界中提取几何形式，并且在器皿制作、 建筑设计及绘画装饰中加以再现。 • 据亚里士多德的研究，古埃及几何学产生于尼 罗河泛滥后土地的重新丈量。 • 古印度的几何学的起源和宗教实践密切相关。 • 古中国的几何学的起源更多地和天文观测相联 系。
在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。
主要工作和特点 1、十进制记数系统，但没有位值的概念。单位 分数被广泛使用。 例：整数和单位分数的表示。 莱茵德纸草书上有一张形如2/(2p+1)(p从2到 50)的分数分解成单位分数之和的表。 2、在古埃及数学中，埃及算术主要是加法， 而乘法是加法的重复。 例：乘法和除法。
高考调研北师大版数学选修2-3-2-1-1高考调研精讲精练
(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1 开始可一一列出．
(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0，29]这一范围内变 化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
【点评】 解答此类问题的关键是掌握离散型随机变量的 关键点是可以“一一罗列出”， 这就说明试验的结果是有限 的，这点是区别于非离散型随机变量的关键．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
【解析】 (1)X的可能取值为1，2，3，…，10，X＝k(k＝ 1，2，…，10)表示取出编号为k号的球．
(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，X＝k表示取出k个红 球，(4－k)个白球，其中k＝0，1，2，3，4.
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
(3)投一颗骰子出现的结果是 1 点，2 点，3 点，4 点，5 点， 6 点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
(4)属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是 随机变量．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
探究1 解答本类题目的关键在于分析变量是否满足随机试 验的结果，预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中 哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．
课时学案
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
题型一 随机变量的概念 例1 指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变 量，并说明理由． (1)某人射击一次命中的环数； (2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； (3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)； (4)某个人的属相随年龄的变化．
第1讲计数原理二项式定理
第1讲计数原理二项式定理计数原理是组合数学中的一个重要分支，它研究的是对一些数量进行计数的方法和原理。
而二项式定理是计数原理的一个经典定理，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
二项式定理是由法国数学家帕斯卡在17世纪提出的，他是计数原理的奠基人之一、二项式定理的具体内容是指出了如何求一个二项式的n次方。
一个n次方的二项式可以表示为(a+b)^n，其中a和b是任意常数。
二项式定理告诉我们可以通过展开这个二项式，得到它的展开式。
(a+b)^n的展开式的一般形式是：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n)b^n其中C(n,0),C(n,1),C(n,2),...,C(n,n)被称为组合数，它表示从n 个元素中取k个元素的组合数。
组合数的计算可以借助计数原理中的排列组合问题来解决。
组合数C(n,k)的计算公式为：C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)其中n!表示n的阶乘，k!表示k的阶乘。
阶乘是一个非常重要的数学概念，它表示从1到一些正整数的连乘积。
阶乘的计算可以通过递归或迭代的方式进行。
二项式定理通过组合数的计算，将一个n次方的二项式展开为多个项的和，其中每个项都包含了a和b的不同次数的幂。
这个展开式的应用非常广泛，几乎涉及到了所有领域的数学问题。
在代数中，二项式定理可以求解多项式的展开式，简化复杂表达式的计算。
在概率论中，二项式定理可以用来计算事件的可能性，求解二项分布等概率分布。
在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数，求解排列组合问题。
总之，二项式定理是计数原理中的一个重要定理，它通过组合数的计算，将一个n次方的二项式展开为多个项的和。
二项式定理的应用涉及到了代数、概率论、组合数学等多个领域。
深入理解和掌握二项式定理，对于推导和解决各种数学问题都具有重要意义。
[原创]2021年 《南方新中考》 数学 第一部分 第二章 第1讲 第1课时 一元一次方程和二
(2)设需调配 36 座客车 m 辆，22 座客车 n 辆， 依题意，得 36m＋22n＝218. ∴n＝109－1118m. 又∵m，n 均为正整数，
∴mn＝＝53.， 答：需调配 36 座客车 3 辆，22 座客车 5 辆.
解：去分母，得 6x－3(x－2)＝6＋2(2x－1)， 去括号，得 6x－3x＋6＝6＋4x－2， 移项，得 6x－3x－4x＝6－6－2， 合并同类项，得－x＝－2， 系数化为 1，得 x＝2.
4.(2020 年江苏连云港)解方程组x2＝x＋1－4y＝y. 5，
解：x2＝x＋1－4y＝y. 5，
答：购买篮球 20 个，购买足球 40 个.
4.(2017 年广东)学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新 进的图书.若男生每人整理 30 本，女生每人整理 20 本，共能整 理 680 本；若男生每人整理 50 本，女生每人整理 40 本，共能 整理 1240 本.求男生、女生志愿者各有多少人？
解：设男生志愿者有 x 人，女生志愿者有 y 人，
x＋3y＝4，① 2x－y＝1 ②
时，下列方法中无法消元的是(
)
A.①×2－② C.①×(－2)＋② 答案：D
B.②×(－3)－① D.①－②×3
2.方程 2x＋y＝5 的正整数解有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.无数个
答案：B
3.(2020 年四川凉山)解方程：x－x－2 2＝1＋2x－3 1.
1.(2020 年湖南株洲)关于 x 的方程 3x －8 ＝x 的解为 x ＝
________.
答案：4
2.(2020 年天津)方程组x2－x＋y＝y＝－41， 的解是(
高考调研精讲精练人教数学选修2-1(B版)第1章
汈A1.11．1.1命题要点1命题：能判断真假的语句叫做命题．要点2真命题：判断为真的命题叫真命题．要点3假命题：判断为假的命题叫假命题．要点4命题的表示：一般用小写英文字母表示，如p，q，r，…1．如何判定一个语句是否是命题？答：①并非所有陈述句都是命题，凡是在陈述句中含有比喻，形容词等词义模糊不清的(即美丽”，“小红长得很．美”，就不不能判断真假)，都不是命题，如：“小红长得象天仙一样．．．．．是命题．②(在陈述句中)有一些科学猜想，如“哥德巴赫猜想”，虽然现在还不能确定其真假，但随着时间的推移，总能确定其真假，所以它们也是命题．③疑问句(如：明天会放假吗？)，祈使句(如：希望明天会放假)，感叹句(如：放假真好呀！)都不是命题.题型一命题的概念例1判断下列语句是不是命题．(1)x2－1＝0，(2)x2＋1＝0，(3)y＝x2(x∈R)是幂函数．(4)《高考调研》是最实用的参考书吗？(5)请给我买本《高考调研》！解析(1)陈述句，但不能判断真假，∴不是命题．(2)陈述句，对所有的实数x，x2＋1一定不为0，能判断真假，∴是命题(假命题)．(3)陈述句，能判断真假，是命题(真命题)．(4)疑问句，不是命题．(5)祈使句，不是命题．探究1判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假，一般地，陈述句“π是有理数”，反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗？”都叫命题；而祈使句“求证2是无理数”，疑问句“π是无理数吗？”感叹句“向抗洪英雄学习！”就不是命题．思考题1判断下列语句是不是命题．(1)（－3）2＝－3.(2)平面内不相交的两直线平行．(3)x>0.(4)数学好学吗？(5)并非所有的学生都喜欢数学．解析(1)是(2)是(3)不是(4)不是(5)是题型二命题真假的判断例2下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．①等边三角形难道不是等腰三角形吗？②垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？③一个实数不是正数就是负数．④大角所对的边大于小角所对的边．⑤若x＋y为有理数，则x、y也都是有理数．解析①通过反意疑问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题．②疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．③是假命题．数0既不是正数也不是负数．④是假命题．没有前提条件在同一个三角形中．⑤是假命题．如x＝3，y＝－ 3.答案①③④⑤，①探究2命题真假性的判断：(1)从方法上判定一命题为真命题需要严格推证，判定一命题为假命题只需举出一个反例即可，解决这类题目的难点是相关知识点的掌握．(2)认真审题，找出被判断对象应满足的条件及满足此条件时会有的结论，为叙述的通顺，必要时可添加一些词语，但不可改变原命题．思考题2判断下列语句，哪些是命题？若是命题，指出是真命题，还是假命题？(1)空集是任何非空集合的真子集．(2)三角函数是周期函数吗？(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0(4)灰太狼真坏呀！(5)3x≤5解析(1)是命题，是真命题．(2)疑问句，没有对三角函数是否是周期函数作出判断，故不是命题．(3)是命题，因为Δ＝16－28＝－12<0，所以是真命题．(4)感叹句，不是命题．(5)不能判断真假，不是命题．题型三命题的结构分析例3指出下列命题的条件与结论．(条件：p，结论：q)(1)负数的平方是正数．(2)正方形的四条边相等．(3)质数是奇数．(4)矩形是两条对角线相等的四边形．解析(1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”，p为：“一个数是负数”；q为：“这个数的平方是正数”．(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．p为：“一个四边形是正方形”；q为：“这个四边形的四条边相等”．(3)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”．p为：“一个自然数是质数”；q为：“这个自然数是奇数”．(4)可表述为：“若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．”p为：“四边形的两条对角线相等”；q为：“这个四边形是矩形”．探究3一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．思考题3(1)将下列命题改写成“若p，则q”的形式．①奇函数的图像关于原点对称．②当p>0时，p2>p.解析 ①若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．②若p>0，则p 2>p.(2)将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．①当a>b 时，1a <1b.②在△ABC 中，当sinA ＝sinB 时，A ＝B.解析 ①若a>b ，则1a <1b，假命题．②在△ABC 中，若sinA ＝sinB ，则A ＝B 真命题．1．一般地，判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题．2．一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假．1.下列语句是命题的是________．①矩形不是平行四边形②lg2是有理数③请坐④2010年7月1日是中国共产党90岁生日答案①②④2．下列语句中，不能成为命题的是()A．5>12B．x>0C．若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条中线交于一点答案 B3．给出下列四个命题：①梯形的对角线相等；②对任意实数x，均有x＋2>x；③不存在实数x，使x2＋x＋1<0；④有些三角形不是等腰三角形．其中所有真命题的序号为________．答案②③④课时作业(一)1．下列语句中是命题的是( )A ．|x ＋a|B ．0∈ZC ．集合与简易逻辑D ．灰太狼真坏呀！ 答案 B2．下列语句是命题的是( ) A ．偶函数的和是偶函数吗？ B ．sin45°＝ 3.C ．参加2010年南非世界杯的足球队员．D ．x 2－4x －3＝0. 答案 B3．下列语句：①空集是任何集合的真子集；②x>2；③△ABC 的面积；④高一年级的学生．其中不是命题的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 答案 D4．若M 、N 是两个集合，则下列命题中真命题是( ) A ．如果M ⊆N ，那么M ∩N ＝M B ．如果M ∩N ＝N ，那么M ⊆N C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝M D ．如果M ∪N ＝N ，那么N ⊆M 答案 A5．(2010·衡水市联考卷)已知直线m ，n 及平面α，β，则下列命题正确的是( ) A.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αn ∥β⇒α∥β B.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ∥n ⇒n ∥αC.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αα⊥β⇒m ∥β D.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 答案 D解析 若m ⊆β，n ⊆α，有可能α与β相交，故选项A 错；选项B 中，n 有可能在平面α内；选项C 中，m 有可能在平面β内．故选D.6．(2010·湖北卷)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ； 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案 C解析 对于①，由公理“平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，此时AB 平行于CD ，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a ，b 都平行于平面γ，显然此时直线a ，b 可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④，选C.7．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a>1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④9．命题：“一个正整数不是合数就是素数”．条件p：________，结论q：________，是________命题．答案一个数是正整数它不是合数就是素数假解析该命题可变为“若一个数是正整数，则它不是合数就是素数”，所以条件p为“一个数是正整数”，结论q为“它不是合数就是素数”．因为正整数1不是合数也不是素数，所以是假命题．10．判断下列命题的真假．(1)在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB.________(2)直线的倾斜角越大，则其斜率也越大．________答案(1)真命题(2)假命题11．如果命题“若x∈A，则y＝log a(x2＋2x－3)为增函数”是真命题，试求集合A满足的条件．解析当a>1时，A⊆(1，＋∞)，当0<a<1时，A⊆(－∞，－3)12．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)相似三角形的对应角相等．(2)当a>1时，函数y＝a x是增函数．解析(1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，结论q：对应角相等．(2)若a>1，则函数y＝a x是增函数．条件p：a>1结论q：函数y＝a x是增函数．1．1.2量词要点1全称命题：“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M 中的所有x，p(x)”的命题．用符号简记为∀x∈M，P(x)．要点2存在性命题：“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．1．全称命题的特征是什么？答：特征是“全”：全部、所有、任意、每一个等．由于自然语言的不同，同一个全称命题可以有不同的表述方法．如命题：正方形都是矩形．也是全称命题，只不过省去了全称量词“所有”．2．存在性命题的特征是什么？答：特征是“存在”，即有，不是全部．常用的存在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的等．题型一全称命题与存在性命题的辨析例1判断下列命题是否是全称命题或存在性命题．(1)有一个实数a，a不能取对数．(2)所有不等式的解集A，都有A⊆R.(3)有的向量方向不定．(4)自然数的平方是正数．解析因为(1)(3)含有存在量词，所以命题(1)(3)为存在性命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(4)均含有全称量词，故为全称命题．综上所述：(1)(3)为存在性命题，(2)(4)为全称命题．探究1判断命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．思考题1判断下列命题哪些是全称命题，哪些是存在性命题：(1)对顶角相等．(2)如果方程f(x)＝0有实根，那么函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．(3)负数没有对数．(4)存在a＝1且b＝2使a＋b＝3成立．答案(1)，(2)，(3)是全称命题；(4)是存在性命题题型二全称命题与存在性命题真假的判断例2试判断以下命题的真假：(1)有的正方形不是矩形；(2)有理数是实数；(3)∀x∈R，x2＋2>0；(4)∀x∈N，x4≥1；(5)∃x0∈Z，x03<1；(6)∃x0∈Q，x02＝3.解析(1)假命题，所有的正方形都是矩形．(2)真命题，所有的有理数都是实数．(3)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(4)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(5)由于－1∈Z，当x0＝－1时，能使x03<1.所以命题“∃x0∈Z，x03<1”是真命题．(6)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x 0∈Q ，x 02＝3”是假命题．探究2 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p(x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．思考题2 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)p ：所有的单位向量都相等；(2)p ：任一等比数列{a n }的公比q ≠0； (3)p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋3≤0；(4)p ：存在等差数列{a n }，其前n 项和S n ＝n 2＋2n －1.解析 (1)p 是全称命题，是假命题．若两个单位向量e 1，e 2方向不相同时，虽然有|e 1|＝|e 2|，但e 1≠e 2. (2)p 是全称命题，是真命题．根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项a n ≠0，所以其公比q ＝a n ＋1a n≠0(n ＝1，2，3，…)．(3)p 是存在性命题，是假命题．因为对于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2>0恒成立． (4)p 是存在性命题，是假命题．对于任一等差数列{a n }(首项a 1，公差d)，其前n 项和为：S n ＝na 1＋12n(n －1)d ＝d2n 2＋(a 1－d2)n.因此不可能是S n ＝n 2＋2n －1这种形式(含常数项)．1．全称命题与存在性命题的表述方法？同一个全称命题、存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结如下．在实际应用中可以灵活选择．1.给出下列几个命题：①末位数是0的整数，能被5整除；②梯形的对角线互相平分；③每个奇函数的图象都过原点；④有些二次函数的图象与x轴相交．其中全称命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．下列命题中，是真命题的是( ) A ．每个偶函数的图象都与y 轴相交 B ．∀x ∈R ，x 2>0 C ．∃x 0∈R ，x 02≤0D ．存在一条直线与两个相交平面都垂直 答案 C3．(2010·湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R ，2x >0 答案 C解析 选项A ，lg x ＝0⇒x ＝1；选项B ，tan x ＝1⇒x ＝π4＋kπ(k ∈Z )；选项C ，x 3>0⇒x>0；选项D ，2x >0⇒x ∈R ，故选C.课时作业(二)1．下列全称命题中假命题的个数( ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )； ②对所有的x ∈R ，x>3；③对任意一个x ∈Z ，2x 2＋1为奇数； ④任何直线都有斜率．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①②④是假命题．2．下列命题为存在性命题的是( ) A ．偶函数的图象关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．不相交的两条直线是平行直线 D ．有大于等于3的实数 答案 D3．(2010·辽宁卷)已知a>0，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f(x)≤f(x 0)B ．∃x ∈R ，f(x)≥f(x 0)C ．∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)D ．∀x ∈R ，f(x)≥f(x 0) 答案 C解析 由题知：x 0＝－b2a 为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f(x)≥f(x 0)，因此∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)是错误的，选C.4．下列命题正确的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＝0 B ．∃x ∈R ，－x ＋1≥0 C ．∀x ∈N *，log 2x>0D ．∃x ∈R ，cosx<2x －x 2－3 答案 B解析 ∵x ＝－1时，－x ＋1＝0，故选B.5．下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使x2>3B．对有些x∈R，使x2>3C．任选一个x∈R，使x2>3D．至少有一个x∈R，使x2>3答案 C6．下列命题中是全称命题且是真命题的个数是()①每一个二次函数的图象都开口向上②存在一条直线与两个相交平面垂直③存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6<0成立A．0 B．1C．2 D．3答案 A7．下列命题中是存在性命题且是真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0.②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数．③∃x∈{x|x是无理数}，x3是无理数．A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析①②③均是存在性命题，且都为真命题．故选D.8．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．∃x，y∈R，使x2＋y2≥2xyC．∀x>0，y>0，使x2＋y2≥2xyD．∃x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy答案 A9．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＝0；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案 A解析①中只有当x＝2或x＝1是方程的根所以①为假命题；②中x＝±2为无理数故②也为假命题；③中方程无解；④中不等式解集为{x|x∈R且x≠1}故选A.10．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题：(1)自然数的平方大于零________；(2)存在一对整数，使2x＋4y＝3________．答案(1)∀x∈N，x2>0；(2) ∃x，y∈Z，使2x＋4y＝311．用量词符号“∀”“∃”表示以下命题．(1)有一个向量a，a的方向不能确定．(2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解．解析(1)∃a∈{向量}，使a的方向不能确定．(2)∃f(x)∈{函数}，使f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∀a，b，c，∈R，方程ax2＋bx＋c＝0都有解．12．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)，∀x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)<1恒成立，求实数a的取值范围．解析∵(x－a)⊙(x＋a)<1∴(x －a)[1－(x ＋a)]<1 ∴－x 2＋x ＋a 2－a －1<0 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0∵∀x ∈R ，上述不等式恒成立．∴Δ<0即1－4(－a 2＋a ＋1)<0解得－12<a<32，∴ 实数a 的取值范围是(－12，32)．13．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)a>0且a ≠1，则对任意x ，a x >0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tanx 1<tanx 2； (3)∃T ∈R ，使得|sin(x ＋T)|＝|sinx|； (4)∃x 0∈R ，使得x 02＋1<0.答案 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题． 解析 (1)∵a x >0(a>0且a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan0＝tan π， ∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期． ∴命题(3)为真命题． (4)对任意x ∈R ，x 2＋1>0. ∴命题(4)是假命题．1．2基本逻辑联结词1．2.1“且”与“或”要点1p且q：用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p∧q.要点2p或q：用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p∨q.要点3“且”“或”的真值表p∧qp∨q可简记为：一真即真，同假才假．1．“且”、“或”、分别对应集合中的哪些运算？答：交、并2．对于命题“x2－1＝0的解为x＝±1”，很多人理解为它是由命题p：“x2－1＝0的解是x＝1”与命题q：“x2－1＝0的解是x＝－1”用“或”连结成的新命题p∨q，这样理解正确吗？答：不正确，按此方法p和q都是假命题，∴p∨q是假命题，而原命题应是真命题，导致矛盾．故这样理解是错误的，其原因是原命题是一个整体，它只是一个简单命题，不是p∨q.本题中p∨q应为：“x2－1＝0的解是x＝1”或“x2－1＝0的解是x＝－1”．题型一含“且”、“或”命题的写法及真假的判定例1分别写出由下列各组命题的构成的“p∧q”，“p∨q”形式的命题，并判断真假．(1)p：2是无理数，q：2大于1(2)p：6<6，q：6＝6(3)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分(4)p：奥巴马是白人，q：奥巴马是联合国秘书长解析(1)p∧q：2是无理数且大于1，真命题p∨q：2是无理数或大于1，真命题(2)p∧q：6<6且6＝6，假命题p∨q：6≤6，真命题(3)p∧q：平行四边形的对角线相等且互相平分，假命题p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分，真命题(4)p∧p：奥巴马是白人且是联合国秘书长，假命题p∨q：奥巴马是白人或是联合国秘书长，假命题探究1利用“且”、“或”连结两个简单命题p、q，即可组成新命题“p∧q”或“p∨q”，其真假的判定依据真值表．思考题1分别指出下列命题构成的“p或q”“p且q”形式命题的真假．①p：x2≥0；q：3>5；②p：4是27的约数；q：1是x2－3x＋2＝0的根；③p：x2－x＋1≥0；q：|x|－b<0(b>0)的解集是{x|－b<x<b}．解析①因p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假．②因p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假．③因p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真．例2指出下列命题的形式及真假．(1)24是8和6的倍数；(2)2≤3；(3)1既不是质数也不是合数；(4)斜三角形的内角是锐角或是钝角．解析(1)“p∧q”形式．其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．真命题(2)是“p∨q”形式，其中p：2<3，q：2＝3.真命题(3)是“p∧q”形式，其中p：1不是质数，q：1不是合数．真命题(4)是“p∨q”形式，其中p：斜三角形的内角是锐角．q：斜三角形内角是钝角．假命题探究2判断含有“且”“或”的命题的真假的方法步骤为：(1)分析命题的结构，找出组成它的命题p和q；(2)利用数学知识，判断命题p和q的真假；(3)利用真值表判定该命题的真假．思考题2写出下面命题的形式并判断真假．(1)a2－a＋1≥0，(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．解析(1)p∨q：p：a2－a＋1>0，q：a2－a＋1＝0，真命题．(2)p∨q：p：集合A是A∩B的子集；q：集合A是A∪B的子集．因为命题q是真命题，所以命题p∨q是假命题．(3)p∨q：p：周长相等的两个三角形全等；q：面积相等的两个三角形全等．因为命题p、q都是假命题，所以命题p∨q是假命题．题型三利用命题的真假求参数范围例3命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．思路分析解答本题可先求p ，q 中的a 的范围，再利用p ∨q 为真，p ∧q 为假，构造关于a 的不等式组，求出适合条件的a 的范围．解析 设g(x)＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a<2，所以命题p ：－2<a<2. 函数f(x)＝－(5－2a)x 是减函数． 则有5－2a>1，即a<2. 所以命题q ：a<2.又由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎨⎧－2<a<2a ≥2，此不等式组无解，(2)若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤－2或a ≥2a<2，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a|a ≤－2}．探究3 (1)利用命题的真假求参数，实际就是已知命题p ∧q 真，p ∨q 真等不同的条件，求命题中涉及的参数的范围．(2)分清p ∧q ，p ∨q 的不同情况，p ∧q 为真，则p 真，q 也真；若p ∨q 为真，则p 、q 中至少有一个为真，若p ∧q 为假，则p 、q 中至少有一个为假．思考题3 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，命题q ：不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1<0对任意的实数x 恒成立．若“p ∨q ”为假，求实数m 的取值范围．解析 p ：∵x 2＋mx ＋1＝0有两不等根∴Δ>0即：m 2－4>0，∴m<－2或m>2 设A ＝{m|m<－2或m>2}q ：∵mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1<0恒成立．∴①若m ＝0，－2x ＋1<0不恒成立．②若m ≠0，则⎩⎨⎧m<0Δ<0⇒x<－1，综上m<－1.记B ＝{m|m<－1}．∵p ∨q 为假，∴p 假q 假∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2m ≥－1，∴－1≤m ≤2.1．真值表是根据简单命题的真假来判断p∧q，p∨q型命题真假的依据．2．利用真值表与电路联系，加强对真值表的理解．3．给出一个复合命题能说出构成它的简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”，能判断其真假，并能利用真值表判断复合命题的真假. 1.命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是________．答案p∧q解析△ABC是等腰直角三角形是由△ABC是等腰三角形与△ABC是直角三角形用“且”联结而成，是p∧q命题．2．“ab≠0”是指()A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a、b至少有一个不为0 D．a、b不都是0答案 A解析当a＝0时不合题意，b＝0也不合题意，∴a≠0且b≠0.3．设有2011个命题p1，p2，…，p2011，满足：若命题p i为真命题，则命题p i＋4为真命题；已知p1∧p4为假命题，p3∨p4为真命题，则p2011是________命题．答案真解析2011除以4余3，∴p2011与p3真假相同，由已知p1，p4均为假命题，再由p3∨p4为真命题，知p3为真命题．4．若p：∅{∅}，q：∅∈{∅}，写出由其构成的“p∨q”“p∧q”形式的新命题，并判断其真假．分析写出“p∨q”“p∧q”形式的新命题，就是把命题p、q用联结词“或”“且”联结起来；要判断“p∨q”“p∧q”的真假，关键是看p、q的真假，然后利用真值表判断“p∨q”“p∧q”的真假．解析p∨q：∅{∅}或∅∈{∅}；因为∅∈{∅}为真命题，所以“p∨q”为真．p∧q：∅{∅}且∅∈{∅}；因为p、q都为真命题，所以“p∧q”为真．课时作业(三)1．对命题p ：A ∩Ø＝Ø，命题q ：A ∪Ø＝A ，下列判断正确的是( ) A ．p 且q 为假 B ．p 或q 为假C ．p 且q 为真；p 或q 为假D ．p 且q 为真；p 或q 为真 答案 D解析 由题意知，p 真，q 也真．故p 且q 为真，p 或q 为真． 2．下列为假命题的是( ) A ．3是7或9的约数B ．两向量平行，其所在直线平行或重合C ．菱形的对角线相等且互相垂直D ．如果x 2＋y 2＝0，则x ＝0且y ＝0 答案 C解析 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故对于“且”形式的命题C ，其一为假必为假．A 、B 、D 皆真．3．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b ，则a ＋c>b ＋c ”；其中假命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 A解析 命题①②③都正确．4．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列结论中正确的是( ) A ．“p ∨q ”为假 B ．“p ∨q ”为真 C ．“p ∧q ”为真 D ．以上都不对 答案 B解析 ∵p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，故选B. 5．如果命题p ∨q 为真命题，“p ∧q ”为假命题，那么( ) A ．命题p ，q 都是真命题 B ．命题p ，q 都是假命题C ．命题p ，q 只有一个是真命题D ．命题p ，q 至少有一个是真命题 答案 C解析 “p ∨q ”为真，则至少p 、q 有一真，p ∧q 为假，则至少p 、q 有一假，∴p 、q 一真一假，故选C.6．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ”，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1 答案 A解析 ∵x 2－a ≥0在x ∈[1，2]上恒成立， ∴a ≤x min 2，∴p ：a ≤1；由Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，∴q ：a ≥1或a ≤－2.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2，∴a ＝1或a ≤－2，故选A.7．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P(x ，y)是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1) 答案 C解析 点p(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3y ＝－x2，可验证各选项中，只有C 成立．8．选用“∧”、“∨”填空，使下列命题成为真命题．(1)x ∈(A ∪B)，则x ∈A________x ∈B ；(2)x ∈(A ∩B)，则x ∈A________x ∈B ； 答案 ∨；∧9．命题p ：如果两三角形全等，则这两个三角形相似；q ：如果两三角形相似，则这两三角形全等．在命题“p ∧q ”“p ∨q ”中，真命题是________，假命题是________．答案 p ∨q ，p ∧q 解析 由题意知，p 真q 假．10．分别用“p ∨q ”、“p ∧q ”填空：(1)命题“集合A B ”是________的形式；(2)命题“（x －1）2＋4≥2”是________的形式； (3)命题“60是10与12的公倍数”是________的形式 . 答案 (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∧q11．若命题p ：a ∈{a ，b}，q ：{a}⊆{a ，b}，则：①p ∨q 为真；②p ∨q 为假；③p ∧q 为真；④p ∧q 为假．以上对复合命题的判断正确的是________．答案 ①③解析 因为命题p ：a ∈{a ，b} 是真命题，命题q ：{a}⊆{a ，b}是真命题，所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题．12．已知命题p ：1∈{x|x 2<a}，q ：2∈{x|x 2<a} (1)当a 为何值时，“p 或q ”为真命题； (2)当a 为何值时，“p 且q ”为真命题 .解析 当a>1时，1∈{x|x 2<a}成立，命题p 为真； 当a ≤1时，p 为假；当a>4时，2∈{x|x 2<a}成立，q 为真； 当a ≤4时，q 为假． ∴(1)当a>1时，p 或q 为真；(2)当a>4时，p 且q 为真．13．命题p ：函数g(x)＝lg(x 2＋2ax ＋4)的值域为R . 命题q ：函数f(x)＝－(5－2a)x 是增函数． 若p 或q 为假，求实数a 的取值范围． 解析 ∵p 或q 为假，∴p 假q 假 p 为假，则4a 2－4×4<0，∴a 2<4 即－2<a<2；q 为假，则5－2a>1，∴a<2，∴－2<a<2. ∴实数a 的取值范围(－2，2)．1．2.2“非”(否定)要点1对一个命题p否定，就得到一个新命题綈p，读作“非p”或“p的否定”．要点2真值表：p与綈p真假性相反，一个为真，另一个必为假．要点3存在性命题的否定．存在性命题p：∃x∈A，p(x)，它的否定是綈p：∀x∈A，綈p(x)，即否定存在性命题时，将存在量词变为全称量词，再否定它的性质，即存在性命题的否定是全称命题．要点4全称命题的否定．全称命题q：∀x∈A，q(x)，它的否定是綈q，∃x∈A，綈q(x)，即否定全称命题时，将全称量词变为存在量词，再否定它的性质，即全称命题的否定是存在性命题．1．“x＝0或x＝1”的否定是“x≠0或x≠1”吗？答：不是，应是“x≠0且x≠1”．2．“x，y全为0”的否定是“x，y全不为0”吗？答：不是，应是“x，y不全为0”．题型一命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)3是9的约数或18的约数；(2)菱形的对角线相等且互相垂直；(3)方程x2＋x－1＝0有两实根符号相同或绝对值相等；(4)a>0或b≤0.解析(1)命题的否定是：3不是9的约数，也不是18的约数；(2)命题的否定是：菱形的对角线不相等或不互相垂直；(3)方程x2＋x －1＝0的两实数根符号不相同且绝对值不相等；(4)a≤0且b>0.探究1“p∨q”命题的否定为“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”命题的否定为“(綈p)∨(綈q)”．思考题1写出下列命题的否定．(1)a2＋b2<0或a2＋b2≥0；(2)集合中的元素是确定的且是无序的；(3)8是12的约数或9是质数；(4)∅＝{0}且∅⊆∅.解析(1)a2＋b2≥0且a2＋b2<0；(2)集合中的元素是不确定的或是有序的；(3)8不是12的约数且9不是质数；(4)∅≠{0}或∅⃘∅.题型二全称命题的否定例2(1)写出下列全称命题的否定．p：∀x>1，log2x>0.(2)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0(3)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．綈p：∃x∈R，sinx≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≤1C．綈p：∃x∈R，sinx>1D．綈p：∀x∈R，sinx>1。