2017-2018年湖南省衡阳市衡阳县三中高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)
衡阳县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
衡阳县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列命题的说法错误的是（ ）A ．若复合命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题B ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x+1≤0D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0” 2． 设方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数为m ，则m 不可能等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-4． 执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于（ ）A ．19B ．42C ．47D ．895． 已知空间四边形ABCD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且4AC =，6BD =，则（ ） A ．15MN << B ．210MN << C ．15MN ≤≤ D ．25MN <<6． 如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y=x 轴对称D ．关于直线y=﹣x 轴对称8． 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．9． 已知函数f （x ）=，则=（ ）A ．B ．C ．9D ．﹣910．已知三棱锥A ﹣BCO ，OA 、OB 、OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）A ．B ．或36+C ．36﹣D ．或36﹣11．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ． =﹣0.2x+3.3B ． =0.4x+1.5C ． =2x ﹣3.2D ． =﹣2x+8.612．设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n二、填空题13．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________． 14．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为__________.15．向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x ，y ），且∥，则x ﹣y= ．16．函数的单调递增区间是 ．17．函数f （x ）=x 2e x 在区间（a ，a+1）上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ．18．在复平面内，记复数+i 对应的向量为，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为 ．三、解答题19．已知函数f （x ）=的定义域为A ，集合B 是不等式x 2﹣（2a+1）x+a 2+a ＞0的解集．（Ⅰ） 求A ，B ；（Ⅱ） 若A ∪B=B ，求实数a 的取值范围．20．解不等式|2x ﹣1|＜|x|+1．21．设a ＞0，是R 上的偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：f （x ）在（0，+∞）上是增函数．22．已知矩阵A ＝，向量＝.求向量，使得A 2＝.23．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++<．24．已知椭圆C ：+=1（a ＞b＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．衡阳县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：A ．复合命题p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个命题为假命题，因此不正确； B ．由x 2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确； C ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x+1≤0，正确；D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”，正确．故选：A ．2． 【答案】A【解析】解：方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数可化为函数y=|x 2+3x ﹣3|与y=a 的图象的交点的个数，作函数y=|x 2+3x ﹣3|与y=a 的图象如下，，结合图象可知， m 的可能值有2，3，4； 故选A ．3． 【答案】C【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．当0a >（如图1）、0a =（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2y ax x =+图象相切时，916a =-，切点横坐标为83，函数2y ax x =+图象经过点(2,0)时，12a =-，观察图象可得12a ≤-，选C ． 4． 【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得 k=1 S=1满足条件k ＜5，S=3，k=2 满足条件k ＜5，S=8，k=3 满足条件k ＜5，S=19，k=4 满足条件k ＜5，S=42，k=5不满足条件k ＜5，退出循环，输出S 的值为42． 故选：B ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S ，k 的值是解题的关键，属于基础题．5． 【答案】A 【解析】试题分析：取BC 的中点E ，连接,ME NE ，2,3ME NE ==，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以15MN <<，故选A ．考点：点、线、面之间的距离的计算．1【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题． 6． 【答案】 D【解析】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D ．7． 【答案】A【解析】解：方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）可化为（x+a ）2+y 2=a 2，圆心为（﹣a ，0），∴方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆关于x 轴对称，故选：A ．【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．8． 【答案】C【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时，||3{3,2,1,0}y x =-∈---，所以A B ={2,1,0}--，故选C ．9． 【答案】A【解析】解：由题意可得f （）==﹣2，f[（f （）]=f （﹣2）=3﹣2=，故选A ．10．【答案】D【解析】【分析】由于长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），有空间想象能力可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，故MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可． 【解答】解：因为长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或．故选D11．【答案】A【解析】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；回归直线方程经过样本中心，把=3，=2.7，代入A成立，代入D不成立．故选：A．12．【答案】D【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．二、填空题13．【答案】【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（－x）（e－x＋a e x）＝x（e x＋a e－x），∴a（e x＋e－x）＝－（e x＋e－x），∴a＝－1.答案：－10,114．【答案】()【解析】15．【答案】﹣12．【解析】解：∵向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x，y），且∥，∴==，解得x=﹣6，y=6，x﹣y=﹣6﹣6=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．16．【答案】[2，3）．【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得1＜x＜3，则y=，本题即求函数t在（1，3）上的减区间．利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3），故答案为：[2，3）．17．【答案】（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．【解析】解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），令y′=0，则x=0或﹣2，﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，∴0或﹣2是函数的极值点，∵函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1，∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．18．【答案】2i．【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为（+i）（cos60°+isin60°）=（+i）（）=2i，故答案为2i．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i）（cos60°+isin60°），是解题的关键．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵，化为（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴函数f（x）=的定义域A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；由不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0化为（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，又a+1＞a，∴x＞a+1或x＜a，∴不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集B=（﹣∞，a）∪（a+1，+∞）；（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B．∴，解得﹣1≤a≤1．∴实数a的取值范围[﹣1，1]．20．【答案】【解析】解：根据题意，对x分3种情况讨论：①当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，则x不存在，此时，不等式的解集为∅．②当时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，解得x ＞0，又，此时其解集为{x|}．③当时，原不等式可化为2x ﹣1＜x+1，解得，又由，此时其解集为{x|}，∅∪{x|}∪{x|}={x|0＜x ＜2}；综上，原不等式的解集为{x|0＜x ＜2}．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，涉及分类讨论的数学思想，关键是用分段讨论法去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．21．【答案】【解析】解：（1）∵a ＞0，是R 上的偶函数．∴f （﹣x ）=f （x ），即+=，∴+a •2x =+，2x （a ﹣）﹣（a ﹣）=0，∴（a ﹣）（2x+）=0，∵2x+＞0，a ＞0，∴a ﹣=0，解得a=1，或a=﹣1（舍去）， ∴a=1；（2）证明：由（1）可知，∴∵x ＞0，∴22x ＞1， ∴f'（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增；【点评】本题主要考查函数单调性的判断问题．函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负．22．【答案】＝【解析】A 2＝.设＝.由A 2＝，得，从而解得x ＝-1，y ＝2，所以＝23．【答案】（1）131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭或；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭或；（2）由于{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，其前项和为()1114414n -<+.考点：数列与裂项求和法．124．【答案】【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的离心率为，即有=，即a=c，b==c，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x2+y2=b2，直线y=x+与圆相切，则有=1=b，即有a=，则椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0），由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称，即有+=0，即+=0，即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，判别式△=16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，即为t2﹣2k2＜1②x1+x2=，x1x2=，③y1=kx1+t，y2=kx2+t，代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0，将③代入，化简可得t=2k，则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）．即有直线l恒过定点（﹣2，0）．将t=2k代入②，可得2k2＜1，解得﹣＜k＜0或0＜k＜．则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．。
湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文科)试卷(解析版)
2018-2019学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下列语句中哪个是命题（ ）A. 张三是“霸中”学生啊！B. 张三在八中学习快乐吗？C. 张三可以考上清华大学D. 张三高考数学成绩不超过 150 分【答案】D【解析】【分析】根据命题的定义可以得到正确答案.【详解】命题是可以判断真假的语句，一般惊叹句，疑问句，祈使句都不是命题，所以选D.【点睛】本题主要考查了命题的概念，属于容易题.2.“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】“”即为“”。
所以当“”时“”成立，反之不一定成立。
因此“”是“”的充分不必要条件。
选B。
3.已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A. ∀x∉R，2x=5B. ∀x∈R，2x≠5C. ∃x0∈R，2=5D. ∃x0∈R，2≠5【答案】D【解析】试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．解：∵命题是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得：￢p为∃x0∈R，2≠5，故选：D．考点：全称命题；命题的否定．4.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：椭圆上的点到两个焦点距离之和等于，所以到另一个焦点的距离为.考点：椭圆定义．5.函数f（x）= x2+在x=1处的切线的斜率为（ ）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义可知，求导后计算即可.【详解】因为,所以，故选B.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于容易题.6.已知双曲线的一条渐近线与直线x y+2=0垂直，则它的离心率为（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程知渐近线方程为，其中一条与直线x﹣y+2=0垂直，可知，即可计算离心率.【详解】由双曲线可知渐近线方程为，且一条渐近线与直线x﹣y+2=0垂直，所以，，即.故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线，离心率，属于中档题.7.过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（ ）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条【答案】D【解析】【分析】过点（0，1）作直线，可以有两条抛物线的切线有一个公共点，也可以过（0，1）作与抛物线对称轴平行的直线，也仅有一个公共点.【详解】因为（0，1）在抛物线外部，可以过该点作抛物线的两条切线，符合题意，过（0，1）作抛物线对称轴的平行线，也符合题意，因此，过（0，1有3条直线与抛物线仅有一个公共点.故选D.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题.8.已知函数，的导函数为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选9.P是椭P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设中点坐标为，则，因在椭圆上，故而可求的关系式即中点的方程.详解：中点坐标为，则，因在椭圆上，故，故选B.点睛：求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.10.设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A. B. C. 6 D. 10【答案】C【解析】根据双曲线的定义，联立解得，由于，故为直角三角形，故面积为.11.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则（ ）A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】设，根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再根据，判断点是重心，进而求的值，最后根据抛物线的定义求得答案.【详解】设,抛物线焦点坐标，准线方程因为所以点是重心，故，而.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，重心的性质，属于中档题.12.P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（ ）A. 直线PA1与PA2的斜率之和为定值B. 直线PA1与PA2的斜率之和为定值2C. 直线PA1与PA2的斜率之积为定值D. 直线PA1与PA2的斜率之积为定值2【答案】C【解析】【分析】验证直线PA1与PA2的斜率之积为定值即可.【详解】设则即，，故选C.【点睛】本题主要考查了类比的思想，双曲线的简单性质，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“若a＞2，则a2＞4”的逆否命题可表述为：_____．【答案】“若a2≤4，则a≤2”．【解析】【分析】根据逆否命题的定义即可写出.【详解】因为原命题为“若a＞2，则a2＞4”，所以逆否命题为“若a2≤4，则a≤2”.【点睛】本题主要考查了命题的逆否命题，属于中档题.14.已经抛物线方程y2=4x，则其准线方程为_____．【答案】x=﹣1【解析】【分析】根据抛物线的标准方程可知，写出其准线即可.【详解】由抛物线方程可知，所以准线方程为，故填.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的简单性质，属于中档题.15.函数f（x）=ax3+x+1在x=1处的切线与直线4x﹣y+2=0平行，则a=_____．【答案】1【解析】【分析】由题意知，f（x）在x=1处的切线的斜率为4，根据导数的几何意义即可求解.【详解】因为f（x）在x=1处的切线与直线4x﹣y+2=0平行，所以f（x）在x=1处的切线的斜率为4又，所以，解得，故填1.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.16.已知椭圆C:的左右焦点分别为，,点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________【答案】【解析】连接,由为中位线，可得 ,,圆，可得且，由椭圆的定义可得，可得，又，可得，即有，即为，化为，即，，即有，则，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知含有量词的两个命题p和q，其中命题p：任何实数的平方都大于零；命题q：二元一次方程2x+y=3有整数解．（Ⅰ）用符号“∀”与“∃”分别表示命题p和q；（Ⅱ）判断命题“（￢p）∧q”的真假，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）（￢p）∧q”为真.【解析】【分析】（1）根据命题可知p是全称命题，q是存在性命题，即可用符号写出命题（2）p为假命题，￢p真，q 是真命题，故可判定（￢p）∧q”为真.【详解】（Ⅰ）命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃x0，y0∈Z，2x0+y0=3；（Ⅱ）p为假，则￢p为真，又q为真，∴“（￢p）∧q”为真．【点睛】本题主要考查了含有量词的命题，复合命题真假的判定，属于中档题.18.已知函数（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图像在处的切线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用函数乘积的求导法则求导即可；（2）先求得在1处的导数值得切线斜率，进而得切线方程.试题解析：（1）;（2）切线斜率，所以切线方程.19.设命题：对任意实数，不等式恒成立；命题:方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由不等式恒成，可得立，从而可得命题为真命题的的取值范围；（2）结合（1）所求的的取值范围，根据双曲线的定义求出为真时满足当，由是的充分条件，等价于，解不等式即可得结果.试题解析：（1）不等式恒成立，当时，为真命题.（2）因为方程表示焦点在轴上的双曲线.，得；当时，为真命题.是的充分条件，综上，的取值范围是.20.已知点A（﹣，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2．（1）求点C的轨迹方程；（2）点C的轨迹与经过点（2，0）且斜率为1的直线交于D、E两点，求线段DE的长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义，先判断轨迹，再写出方程（2）根据直线与双曲线相交，利用弦长公式求解即可.【详解】（1）∵点A（﹣，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2．|AB|=2＞2，∴C的轨迹方程是以A（﹣，0）和B（，0）为焦点的双曲线，且a=1，c=，∴C的轨迹方程是（2）∵C的轨迹方程是2x2﹣y2=2，经过点（2，0）且斜率为1的直线方程为y=x﹣2．∴联立，得x2+4x﹣6=0，设D（x1，y1）、E（x2，y2），则x1+x2=﹣4，x1x2=﹣6，∴|DE|=．故线段DE的长为．【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，弦长公式，属于中档题21.抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，准线与圆相切.（1）求抛物线的方程；（2）已知直线和抛物线交于点，命题:“若直线过定点，则”，请判断命题的真假，并证明.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程为：x2=2py，p＞0，由已知条件得圆心（0，0）到直线l的距离，由此能求出抛物线线C的方程；（Ⅱ）设直线m：y=kx+1，交点A，B联立抛物线C的方程，得x2-4kx-4=0，△=16k2+16＞0恒成立，由此利用韦达定理能证明命题P为真命题试题解析：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：，其准线的方程为：∵准线圆相切∴解得p=4故抛物线线C的方程为：………….…5分（Ⅱ）命题p为真命题……………………………………６分直线m和抛物线C交于A，B且过定点（0，1），故所以直线m的斜率k一定存在，………………………7分设直线m：，交点，，联立抛物线C的方程，得，恒成立，………8分由韦达定理得………………………………………9分=∴命题P为真命题.………………………………………12分.考点：直线与圆锥曲线的综合问题22.已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）已知、是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线的斜率为定值。
湖南省衡阳县四中高二上学期期中考试数学(文)试题
参考答案一、 选择题二、 填空题（13） -1； （14）. 6； （15）. )1(11≠--=q qqa a S n n ； （16）.<；三、解答题（17）. ①原不等式可化为：3x 2-7x-10>0则方程3x 2-7x-10=0的两根为x 1=310,x 2=-1 ∴不等式的解集为｛x|-1<x<310} 原不等式等价于(x-1) (2x+1)≦0且2x+1≠0则方程(x-1)(2x+1)=0的两根为x 1=21-,x 2=1∴不等式的解集为｛x|21-<x ≦1}（18）. （Ⅰ）由正弦定理得：BbA a sin sin =，由a=1,b=2,A=︒45 代入公式，即Bsin 245sin 1=︒，解得sinB=1（Ⅱ）由（1）知，B=︒90∴C=︒-︒-︒9045180=︒45 ∴cosC=22 (19). （Ⅰ）设等差数列的公差为d∵a 7=13,a 2=3,则a 7-a 2=5d=10 ∴ d=2,又a 1=1∴an=a 1+(n-1)d=1+（n-1）*2=2n-1 （Ⅱ）由（1）知：d=2∴S 8=8*1+2*2)18(*8-=64(20). （Ⅰ）22319111(2)(8)a a a a d a a d =⇒+=+20,1d d d d ⇒=⇒==，因为公差不为0，所以1d =。
所以n a n =...6分（Ⅱ）12(12)(1)(1)221222n n n n n n nS +-++=+=-+-...12分(21).（Ⅰ）∵矩形熊猫居室的总面积=AB*AD=24平方米，设AD=x 米 ∴AB=x24米（2≦x ≦6） （Ⅱ）由题意得：墙壁的总造价函数y=)6(3000)2423(1000xx x x +=⨯+⨯ 其中2≦x ≦6（Ⅲ）由y=)6(3000x x +≧xx 1623000•⨯=24000 当且仅当xx 16=，即x=4时取等号； ∴x=4时，y 有最小值24000；所以，当x=4时，墙壁的总造价最低 (22)（Ⅰ）原不等式等价于)1(22m x mx -+-<0若对所有实数x 恒成立，当且仅当m<0，且)1(44m m --=∆<0. 解得：Φ∈m（Ⅱ）设f(m)=)12()1(2---x m x ，当]2,2[-∈m 时，f(m)<0恒成立当12-x =0时，只有x=1才能使得f(m)<0在上恒成立当12-x ≠0时，f(m)是关于m 的一次函数，要使f(m)<0在上恒成 立，当且仅当()()1222032201220)2(0)2(⎪⎩⎪⎨⎧+----⇔⎩⎨⎧- x x x x f f 由（1）得，231231+- x 由（2）得，271x ,271+---或x 取交集得231271++- x 且x ≠1 ∴x 的取值范围是{x |231271++- x }。
湖南省衡阳市高二上学期期中数学试卷(理科)
湖南省衡阳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·泉州模拟) 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF=60°，则|FR|等于（）A .B . 1C . 2D . 42. （2分） (2019高一上·鲁山月考) 已知，且，则函数与函数的图像可能是（）A .B .C .D .3. （2分）设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1 ，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为（）A .B .C .D .4. （2分）在棱长为2的正方体△ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、CD的中点，则点B到截面AMC1N 的距离为（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·长沙模拟) 设点、均在双曲线上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（）A .B . 4C .D . 以上都不对6. （2分） (2017高一上·延安期末) 已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是（）A . m∥nB . n⊥mC . n∥αD . n⊥α7. （2分）已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高二下·浙江月考) 定点，动点Q在圆上，线段的垂直平分线交于点M（O为坐标原点），则动点M的轨迹是（）A . 圆B . 直线C . 双曲线D . 椭圆9. （2分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA= ，则PC与平面ABCD所成角的大小为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°10. （2分）圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面的中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹的长度为（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二下·鹤壁月考) 设双曲线的右焦点为F,右顶点为A,过F 作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B作AC的垂线交轴于点D,若点D到直线BC的距离小于，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1 ，F2 ， P是C1与C2在第一象限的交点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1 ， e2 ，则e1•e2的取值范围是（）A . （，+∞）B . （，+∞）C . （，+∞）D . （0，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·上海期末) 已知向量，则向量的单位向量 ________．14. （1分） (2018高二上·江苏月考) 已知椭圆的离心率为 , 为左顶点,点在椭圆上,其中在第一象限, 与右焦点的连线与轴垂直,且 ,则直线的方程为________.15. （1分） (2016高一上·盐城期中) 下列四个命题：①定义在R上的函数f（x）满足f（﹣2）=f（2），则f（x）不是奇函数②定义在R上的函数f（x）恒满足f（﹣x）=|f（x）|，则f（x）一定是偶函数③一个函数的解析式为y=x2 ，它的值域为{0，1，4}，这样的不同函数共有9个④设函数f（x）=lnx，则对于定义域中的任意x1 ， x2（x1≠x2），恒有，其中为真命题的序号有________（填上所有真命题的序号）．16. （1分）圆E：（x+2）2+y2=4，点，动圆P过点F（2，0），且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程是________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高二下·正阳开学考) 已知双曲线C的方程为：﹣ =1（1）求双曲线C的离心率；（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2 ）的双曲线的方程．18. （15分） (2019高二下·上海月考) 在三棱柱中，是正三角形，，点在底面上的射影恰好是中点，侧棱和底面成角.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的大小.19. （5分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l：（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．20. （10分） (2016高二下·南城期末) 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED= ，⊙O的半径为3，求OA的长．21. （5分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿AE折起到△B1AE 的位置，使平面B1AE⊥平面AECD，F为B1D的中点．（1）证明：B1E∥平面ACF；（2）求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值．22. （10分） (2020高二下·浙江期中) 如图，过点作直线l交抛物线C：于A，B两点（点A在P，B之间），设点A，B的纵坐标分别为，，过点A作x轴的垂线交直线于点D.（1）求证：；（2）求的面积S的最大值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
2017-2018年湖南省衡阳市祁东二中高一(上)期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年湖南省衡阳市祁东二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U=R，N={x|﹣3＜x＜0}，M={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣3＜x＜0}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x＜﹣3} 2．（5分）已知函数f（x）=|x|，则下列哪个函数与y=f（x）表示同一个函数（）A．B．C．D．3．（5分）函数y=的定义域为（）A．（，1）B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）4．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2 B．y=﹣x3C．y=﹣lg|x|D．y=2x5．（5分）设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是：（）A．（1），（3）B．（2），（4）C．（1），（2），（3） D．（1），（2），（3），（4）7．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c8．（5分）函数f（x）=x2﹣4x+3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为﹣1，则不等式log a（x﹣1）≤0的解集为（）A．（2，3]B．（4，5]C．（3，5]D．（1，2]9．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个 C．8个 D．1个10．（5分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f （x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）=x2（x≥0）存在“和谐区间”B．函数f（x）=2x（x∈R）不存在“和谐区间”C．函数（x≥0）存在“和谐区间”D．函数f（x）=log2x（x＞0）不存在“和谐区间”12．（5分）定义一种运算a⊗b=，令f（x）=（3+2x﹣x2）⊗|x﹣t|（t为常数），且x∈[﹣3，3]，则使函数f（x）的最大值为3的t的集合是（）A．{3，﹣3}B．{﹣1，5}C．{3，﹣1}D．{﹣3，﹣1，3，5}二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，OA=OB=2，∠AOB=45°其原来平面图形面积是．14．（5分）函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）满足关系式f（a x+2）=x+5（a＞0且a≠1），则函数f（x）恒过定点．16．（5分）给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①函数y=f（x）的定义域是R，值域是；②函数y=f（x）的图象关于y 轴对称；③函数y=f（x）的图象关于坐标原点对称；④函数y=f（x）在上是增函数；⑤函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1．其中正确命题的序号是．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）.17．（10分）（1）（2）0+2﹣2×（2）﹣（）；（2）（）0.5+（）﹣2π0+4﹣lne5+lg200﹣lg2．18．（12分）设集合．（1）化简集合P，并求当x∈Z时，P的真子集的个数．（2）若P∩Q=Q，求实数k的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=（log2x）2﹣2alog2x+b（x＞0），当x=时，f（x）有最小值﹣1．（1）求a与b的值；（2）求满足f（x）＜0的x的取值范围．20．（12分）2016年9月，第22届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行，在会展期间某展销商销售一种商品，根据市场调查，每件商品售价x（元）与销量t（万元）之间的函数关系如图所示，又知供货价格与销量呈反比，比例系数为20．（注：每件产品利润=售价﹣供货价格）（1）求售价15元时的销量及此时的供货价格；（2）当销售价格为多少时总利润最大，并求出最大利润．21．（12分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f （x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx（1）若f（x）是偶函数，求实数m的值．（2）当m＞0时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的范围．2017-2018学年湖南省衡阳市祁东二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U=R，N={x|﹣3＜x＜0}，M={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣3＜x＜0}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x＜﹣3}【解答】解：由图象知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（C U M），又M={x|x＜﹣1}，∴C U M={x|x≥﹣1}∴N∩（C U M）=[﹣1，0）故选：C．2．（5分）已知函数f（x）=|x|，则下列哪个函数与y=f（x）表示同一个函数（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，函数g（x）==x（x≥0），与f（x）=|x|x∈R的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于B，函数h（t）==|t|（t∈R），与f（x）=|x|x∈R的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，函数s（x）==|x|（x≠0），与f（x）=|x|x∈R的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数f（x）==|x|（x≠0），与f（x）=|x|x∈R的定义域不同，不是同一函数．故选：B．3．（5分）函数y=的定义域为（）A．（，1）B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【解答】解：要使原式有意义，需要log0.54x﹣3＞0，即0＜4x﹣3＜1，解得：，所以原函数的定义域为（，1）．故选：A．4．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2 B．y=﹣x3C．y=﹣lg|x|D．y=2x【解答】解：四个函数中，A，C是偶函数，B是奇函数，D是非奇非偶函数，又A，y=x2在（0，+∞）内单调递增，故选：C．5．（5分）设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选：C．6．（5分）某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是：（）A．（1），（3）B．（2），（4）C．（1），（2），（3） D．（1），（2），（3），（4）【解答】解：由该几何体的正视图和侧视图均为已知图所示，所以该几何体是由上下两部分组成的，其上面是一个球，根据长对正，宽相等的原则，底面图形的长和宽应该相等故该几何体的俯视图（1）、（3）皆有可能．（2）中的正视图和侧视图不是轴对称图形，（4）中正三角形的底边和高不相等，不满足要求故选：B．7．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选：B．8．（5分）函数f（x）=x2﹣4x+3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为﹣1，则不等式log a（x﹣1）≤0的解集为（）A．（2，3]B．（4，5]C．（3，5]D．（1，2]【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+3，函数f（x）的对称轴为x=2，f（2）=﹣1，f（0）=f（4）=3，又∵函数f（x）=x2﹣4x+3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为﹣1，∴a的取值为[2，4]；∴函数y=log a（x﹣1）为增函数，不等式log a（x﹣1）≤0⇒0＜x﹣1≤1⇒1＜x≤2，故解集为（1，2]．故选：D．9．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个 C．8个 D．1个【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x=1时y=0；x=10时y=1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．10．（5分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，|x|=x，此时y=a x（0＜a＜1）；当x＜0时，|x|=﹣x，此时y=﹣a x（0＜a＜1），则函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是：，故选：D．11．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f （x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）=x2（x≥0）存在“和谐区间”B．函数f（x）=2x（x∈R）不存在“和谐区间”C．函数（x≥0）存在“和谐区间”D．函数f（x）=log2x（x＞0）不存在“和谐区间”【解答】解：A中，当x≥0时，f（x）=x2在[0，2]上是单调增函数，且f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，∴存在“和谐区间”，原命题正确；B中，当x∈R时，f（x）=2x在[1，2]上是单调增函数，且f（x）在[1，2]上的值域是[2，4]，∴存在“和谐区间”，原命题错误；C中，当x≥0时，f（x）=≤2在[0，1]上是单调增函数，且f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，∴存在“和谐区间”，原命题正确；D中，当x＞0时，f（x）=log2x是单调增函数，假设存在[a，b]满足题意，则f （a）=2a，且f（b）=2b，即log2a=2a，且log2b=2b；∴22a=a，且22b=b，即4a=a，且4b=b；这与函数的单调性矛盾，∴假设不成立，即函数不存在“和谐区间”，原命题正确；故选：B．12．（5分）定义一种运算a⊗b=，令f（x）=（3+2x﹣x2）⊗|x﹣t|（t为常数），且x∈[﹣3，3]，则使函数f（x）的最大值为3的t的集合是（）A．{3，﹣3}B．{﹣1，5}C．{3，﹣1}D．{﹣3，﹣1，3，5}【解答】解：y=3+2x﹣x2在x∈[﹣3，3]上的最大值为3，所以由3+2x﹣x2=3，解得x=2或x=0．所以要使函数f（x）最大值为3，则根据定义可知，当t＜1时，即x=2时，|2﹣t|=3，此时解得t=﹣1．当t＞1时，即x=0时，|0﹣t|=3，此时解得t=3．故t=﹣1或3．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，OA=OB=2，∠AOB=45°其原来平面图形面积是4．【解答】解：设原图形为△A′OB′，∵OA=2，0B=2∠AOB=45°∴OA′=4，OB′=2，∠A′OB′=90°∴Rt△A′OB′的面积为S=×4×2=4．故答案为：4．14．（5分）函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是[1，2）．【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a如图所示：由图象可知当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a ＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故答案为：[1，2）15．（5分）已知函数f（x）满足关系式f（a x+2）=x+5（a＞0且a≠1），则函数f（x）恒过定点（3，5）．【解答】解：设a x+2=t，则x=log a（t﹣2），∴f（t）=log a（t﹣2）+5，∴f（x）=log a（x﹣2）+5，∴函数f（x）恒过定点（3，5），故答案为：（3，5）16．（5分）给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①函数y=f（x）的定义域是R，值域是；②函数y=f（x）的图象关于y 轴对称；③函数y=f（x）的图象关于坐标原点对称；④函数y=f（x）在上是增函数；⑤函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1．其中正确命题的序号是④⑤．【解答】解：函数f（x）=x﹣{x}的图象如下图所示由题意知，{x}﹣＜x≤{x}+，则得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣，]，则命题①为假命题；由于k∈Z时，f（k）=k﹣{k}=k﹣k=0，但由于f（x）∈（﹣，]，故函数不是中心对称图形，故命题③为假命题；由于{x}﹣＜x≤{x}+，则得到f（x）=x﹣{x}为分段函数，且在（﹣，]为增函数，故命题④为真命题．进而可得：函数图象不可能关于y轴对称，故命题②为假命题；f（x+1）=|（x+1）﹣{x+1}|=|x﹣{x}|=f（x），所以周期为1，故⑤成立．正确的命题为④⑤，故答案为：④⑤．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）.17．（10分）（1）（2）0+2﹣2×（2）﹣（）；（2）（）0.5+（）﹣2π0+4﹣lne5+lg200﹣lg2．【解答】解：（1）．（2）原式=．18．（12分）设集合．（1）化简集合P，并求当x∈Z时，P的真子集的个数．（2）若P∩Q=Q，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由得，2﹣5≤2﹣x≤22，∴﹣5≤﹣x≤2，解得﹣2≤x≤5，∴P={x|﹣2≤x≤5}；当x∈Z时，则P={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}共8个元素，故集合P的真子集的个数为28﹣1=255；（2）∵P∩Q=Q，∴Q⊆P；当Q=∅时，满足Q⊆P，此时则有k+1＞2k﹣1，即k＜2；当Q≠∅时，由于Q⊆P，则有，解之得，∴2≤k≤3；综上，实数k的取值范围是k≤3．19．（12分）设函数f（x）=（log2x）2﹣2alog2x+b（x＞0），当x=时，f（x）有最小值﹣1．（1）求a与b的值；（2）求满足f（x）＜0的x的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=（log2x）2﹣2alog2x+b=（log2x﹣a）2+b﹣a2（x＞0），当x=时，f（x）有最小值﹣1，∴，解得：；（2）由（1）得：f（x）=（log2x）2+4log2x+3，f（x）＜0即（log2x+3）（log2x+1）＜0，解得：＜x＜，故取值范围是（，）．20．（12分）2016年9月，第22届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行，在会展期间某展销商销售一种商品，根据市场调查，每件商品售价x（元）与销量t（万元）之间的函数关系如图所示，又知供货价格与销量呈反比，比例系数为20．（注：每件产品利润=售价﹣供货价格）（1）求售价15元时的销量及此时的供货价格；（2）当销售价格为多少时总利润最大，并求出最大利润．【解答】解：（1）每件商品售价x（元）与销量t（万件）之间的函数关系为t=20﹣x（0≤x≤20），设价格为y，则y=，x=15时，t=5万件，y=4万元；（2）总利润L=（x﹣）t=xt﹣20=x（20﹣x）﹣20≤﹣20=80，当且仅当x=10元时总利润最大，最大利润80万元．21．（12分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f （x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t＞0．22．（12分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx（1）若f（x）是偶函数，求实数m的值．（2）当m＞0时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的范围．【解答】解：（1）若f（x）是偶函数，则有f（﹣x）=f（x）恒成立，即：log2（4﹣x+1）﹣mx=log2（4x+1）+mx．于是2mx=log2（4﹣x+1）﹣log2（4x+1）=﹣2x，即是2mx=﹣2x对x∈R恒成立，故m=﹣1．（2）当m＞0时，y=log2（4x+1），在R上单增，y=mx在R上也单增所以f（x）=log2（4x+1）+mx在R上单增，且f（0）=1，则可化为=f （0），又f（x）单增，得，换底得：2（log2x）2﹣2log2x+=0，令t=log2x，则t∈[0，]，问题转换化为2t2﹣2t+=0在t∈[0，]，有两解，即=﹣2t2+2t，令y=﹣2t2+2t，则y=﹣2t2+2t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，函数取得最大值，当t=时，函数取得最小值﹣，t=0时，函数值为0，故0≤＜，解得＜m≤2，故求m的范围为＜m≤2。
湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文科)试卷 Word版含解析
2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学 高二上学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．下列语句中哪个是命题 A ．张三是“霸中”学生啊！ B ．张三在八中学习快乐吗？ C ．张三可以考上清华大学D ．张三高考数学成绩不超过 150 分 2．“0x >”是“10x +>”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 3．已知命题 ，，则为 A ．，=5 B ．∀x ∈R ， C ．，=5 D ．，≠54．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离 A ．2 B ．3 C ．5 D ．75．函数f （x ）=﹣x 2+在x=1处的切线的斜率为 A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．16．已知双曲线的一条渐近线与直线x ﹣y+2=0垂直，则它的离心率为 A ． B ． C ． D ．1 7．过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线共有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 8．已知函数()cos 1x f x x =+， ()f x 的导函数为()'f x ，则'2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2π-B ．1π-C ．πD ．2π9．P 是椭P 作椭圆长轴的垂线,垂足为点M ,则PM 的中点的轨迹方程为 A ． B ． C ． D ．10．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 A ． B ． C ．6 D ．1011．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若，则 A ．6 B ．4 C ．3 D ．212．P 为椭圆 上异于左右顶点A 1、A 2的任意一点，则直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P 为双曲线上异于左右顶点A 1、A 2的任意一点，则A ．直线PA 1与PA 2的斜率之和为定值B ．直线PA 1与PA 2的斜率之和为定值2C ．直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值D ．直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值2二、解答题13．已知含有量词的两个命题p 和q ，其中命题p ：任何实数的平方都大于零；命题q ：二元一次方程2x+y=3有整数解．（Ⅰ）用符号“∀”与“∃”分别表示命题p 和q ； （Ⅱ）判断命题“（￢p ）∧q”的真假，并说明理由． 14．已知函数()2ln .f x x x = （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图像在1x =处的切线方程.15．设命题p ：对任意实数x ，不等式220x x m -+≥恒成立；命题q :方程221(0)x y t m t m-=>-表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分条件，求实数t 的取值范围.此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号16．已知点A （﹣，0）和B （，0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2． （1）求点C 的轨迹方程；（2）点C 的轨迹与经过点（2，0）且斜率为1的直线交于D 、E 两点，求线段DE 的长． 17．抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴正半轴上，准线l 与圆224x y +=相切. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知直线l 和抛物线C 交于点,A B ，命题P ：“若直线l 过定点（0，1），则 7OA OB ⋅=-”， 请判断命题P 的真假，并证明.18．已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点. （1）求椭圆的方程；（2）已知、是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点. ①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.三、填空题19．命题“若a ＞2，则a 2＞4”的逆否命题可表述为：_____． 20．已经抛物线方程y 2=4x ，则其准线方程为_____．21．函数f （x ）=ax 3+x+1在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行，则a=_____．22．已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ,点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆： 222x y b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，则223a e b+的最小值是______________2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学 高二上学期期中考试数学（文科）试题数学 答 案参考答案 1．D 【解析】 【分析】根据命题的定义可以得到正确答案. 【详解】命题是可以判断真假的语句，一般惊叹句，疑问句，祈使句都不是命题，所以选D. 【点睛】本题主要考查了命题的概念，属于容易题. 2．B【解析】“10x +>”即为“1x >-”。
2017-2018年湖南省衡阳市祁东二中高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)
2． （5 分）命题“对任意的 x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（ A．不存在 x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在 x∈R，x3﹣x2+1≤0
C．对任意的 x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．存在 x∈R，x3﹣x2+1＞0 3． （5 分）已知 p：x2﹣x＜0，那么命题 p 的一个必要不充分条件是（ A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C． ＜x＜ D． ＜x＜2 ）
}为调和数列且 x1+x2+…+x20=200，则 x5+x16=
第 2 页（共 16 页）
15． （5 分）某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比， 而每月库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 千米处建 仓库，这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项费用之和 最小，仓库应建在离车站 千米处．
A．150 B．160 C．170 D．180 6． （5 分）已知实数 x，y 满足： A．6 B．4 C．﹣2 D．﹣4 ，则 z=2x+y 的最小值为（ ）
7． （5 分）如图，从高为 h 的气球（A）上测量铁桥（BC）的长，如果测得桥头 B 的俯角是 α，桥头 C 的俯角是 β，则该桥的长可表示为（ ）
2017-2018 学年湖南省衡阳市祁东二中高二（上）期中数学试卷 （理科）
一、选择题：每小题 5 分，共 60 分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请把符合要求的选项填到指定的答题框中，否则不给分． 1． （5 分）若 a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（ A． B． C．|a|＞|b| D．a2＞b2 ） ）
9． （5 分）设数列{an}的通项公式为 an=n2+bn，若数列{an}是单调递增数列，则 实数 b 的取值范围为（ ） C． （﹣3，+∞） D． （﹣ ，+∞） 则实数
2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二数学上期中考试(理)试题(含答案)
2017年下期衡阳市八中高二期中考试数学试题请注意：时量120分钟 满分100分或120分 特别提示：第？题和第？题为创新班加试试题（试题、答题卡、答案分做电子版，另所有客观题答案务必做成表格形式放在答案文档的第一行）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆命题是 A. 若b a >，则c b c a +≤+ B. 若c b c a +≤+，则b a ≤ C. 若c b c a +>+，则b a > D. 若b a ≤，则c b c a +≤+ 【答案】C【解析】命题“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，所以命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆命题是若c b c a +>+，则b a >，选C. 2．抛物线y x 42=的准线方程是A ．1=yB ．1-=yC ．1-=xD ．1=x 【答案】B【解析】抛物线y x 42=中24, 2p p =∴=，准线12py =-=-. 3．双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程是 A ．169y x =±B ．169x y =±C ．43y x =±D ．43x y =±【答案】C【解析】双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程为221690x y ±=，故选C 。
4．已知向量()1,a m =， (),1b m =，则“1m =”是“//a b ”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1m =时， a b =可以推出//a b ， 当//a b 时，211,1,1mm m m =⇒==±不能推出 1.m = 所以，“1m =”是“//a b ”成立的充分不必要条件. 选A.5. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【答案】D6．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为A.B. C.D. 56【答案】C【解析】由已知得6m =±，当6m =，则圆锥曲线是椭圆，1,a b c ==，离心c e a ==；当6m =-时则是双曲线，1,a b c ==ce a== C. 7．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为 A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】A8．命题p ：“x R ∃∈”，使20x<，命题q ：“2a >，2b >是4ab >成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是A. p q ⌝∧B. p q ∧C. p q ∨D. p q ⌝∨ 【答案】B【解析】对,20x x R ∀∈>恒成立,所以命题p 是假命题. 由不等式的乘法性质可知充分性成立. 所以命题q 为真命题. 所以B 选项错. 选B. 9．函数sin cos y x x x =+的图像大致为A. B. C. D.【答案】D 【解析】()01f =，排除,A C ， ()'cos f x x x =，显然在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上， ()'0f x >， ∴函数为递增，排除C,故选D.10．抛物线26x by =-的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则双曲线的离心率为A.B. 3C.D. 【答案】C【解析】因抛物线的准线是32b y =，故1233,,,22b b B x C x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2x ==，由题设若AOC BOC ∠=∠可得3A O Cπ∠=，则3332b =⇒=，即222223313316c a a c a -=⇒=，所以e ==C 。
高二第一学期期中考试数学试卷含答案
高二数学第一学期期中考试试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)(每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案写在题号前) 1. 已知数列{a n }的通项公式为n n a n -=2，则下列各数中不是数列中的项的是( ) A.2 B.40 C.56 D.90 2. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若12231a ==S ，，则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14 3. 若0<<b a ，则下列不等式一定成立的是( ) A.b a22> B.a 2ab > C.ab b 2> D.b <a4. 等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 4这三项构成等比数列，则公比q=( ) A.1 B.2 C.1或2 D.1或21 5. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 1=，a n n 2a 1=+，则S 5=( ) A.32 B.48 C.62 D.93 6. 若椭圆122=+kyx 的离心率是21，则实数k 的值为( ) A.3或31 B.34或43 C.2或21 D.32或237. 已知双曲线C ：12222=-bya x ()0,0a >>b 的一条渐近线方程为x 3y =，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线方程为( )A.16222=-y x B.12622=-y x C.1322x=-y D.13yx 22=-8. 若关于x 的不等式a xx ≥+4对于一切∈x （0，+∞）恒成立，则实数x 的取值范围是( )A.(-∞，5]B.(-∞，4]C.(-∞，2]D.(-∞，1] 9. 已知椭圆12222=+bya x ()0a >>b 的两个焦点分别为F F 21,，若椭圆上存在点P 使得∠PFF 21是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0，22) B.(22，1) C.(0，21) D.(21，1)10. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()02y 2>=p px 上任意一点，M 是线段PF 的中点，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.22B.1C.2D.2 二、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)11. 在数列0，41，83，…，2n 1-n ，…中，94是它的第______项.12. 在等差数列{a n }中，542a =+a ，则=a 3______.13. 请写出一个与1322=-yx 有相同焦点的抛物线方程：____________.14. 椭圆14222=+ayx 与双曲线12222=-y a x 有相同的焦点，则实数a=______. 15. 函数()()111>-+=x x x x f 的最小值是______；此时x=______. 16. 要使代数式01a 2<-+ax x 对于一切实数x 都成立，则a 的取值范围是______.17. 已知椭圆的两个焦点1222=+yxFF 21,，点P 在椭圆上，且PF PF21⊥，则PF2=______.18. 在数列{a n }中，5,12113-==a a ，且任意连续三项的和均为11，则a 2019=______；设S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得100≤S n 成立的最大整数n=______.三、解答题(本大题共5小题，共70分)19. 设{a n }是等差数列，-101=a ，且a a a a a a 6483102,,+++成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值.20. 已知数列{a n }的前n 项和n n S n +=2，其中N n +∈. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设12+=nn b ，求数列{b n }的前n 项和T n .21. 已知函数()R a ax x f x ∈-=,22.（Ⅰ）当a=1时，求满足()0<x f 的x 的取值范围； （Ⅱ）解关于x 的不等式()a x f 32<.22. 已知抛物线C ：()022>=p px y ，经过点（2，-2）. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线02=--y x 与抛物线相交于B A ,两点，求证：OA ⊥OB .23. 已知椭圆C ：的右焦点为12222=+by a x ()，且经过点，01F ().10，B （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线()2:+=x k y l 与椭圆C 交于两个不同的点N M ,，若线段MN 中点的横坐标为32-，求直线l的方程及ΔFMN的面积.。
衡阳县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
衡阳县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若a ＞0，b ＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．52． 已知α∈（0，π），且sin α+cos α=，则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．3． 已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={x ∈R|x ≥3}，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{0，1，2}4． 复数i i -+3)1(2的值是（ ）A ．i 4341+-B ．i 4341-C ．i 5351+-D ．i 5351-【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．5． 抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ） A ．（0，）B ．（，0）C ．（0，4）D ．（0，2）6． 下列说法正确的是（ ）A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.7． 定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c的值是（）A．1 B．±2 C．或3 D．1或28．设函数f（x）=的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣D．a＞﹣9．在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（）A．13 B．26 C．52 D．5610．抛物线y=﹣8x2的准线方程是（）A．y=B．y=2 C．x=D．y=﹣211．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日12．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．已知函数y=log（x2﹣ax+a）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是．14．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．15．台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C点，这时观测站与台风中心的距离AC等于km．16．下列说法中，正确的是．（填序号）①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称； ③y=（）﹣x是增函数；④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0．17．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 18．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 .三、解答题19．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由；20．如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且sinB=，cos ∠ADC=﹣．（Ⅰ）求sin ∠BAD 的值；（Ⅱ）求AC 边的长．21．已知，其中e 是自然常数，a ∈R（Ⅰ）讨论a=1时，函数f （x ）的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f （x ）＞g （x ）+．22．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x af x b+-+=+.（1）当1a b ==时，求满足()3xf x =的x 的取值；（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数①存在t R ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；②若函数()g x 满足()()()12333xx f x g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.23．设圆C 满足三个条件①过原点；②圆心在y=x 上；③截y 轴所得的弦长为4，求圆C 的方程．24．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足=3，其中=（2x+3，y），=（2x﹣﹣3，3y）．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程．衡阳县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：∵a ＞0，b ＞0，a+b=1，∴y=+=（a+b ）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．∴y=+的最小值是4． 故选：C ．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．2． 【答案】D【解析】解：将sin α+cos α=①两边平方得：（sin α+cos α）2=1+2sin αcos α=，即2sin αcos α=﹣＜0，∵0＜α＜π，∴＜α＜π，∴sin α﹣cos α＞0，∴（sin α﹣cos α）2=1﹣2sin αcos α=，即sin α﹣cos α=②，联立①②解得：sin α=，cos α=﹣，则tan α=﹣． 故选：D ．3． 【答案】B【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A 中，但不在集合B 中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B ）∩A ，又A={1，2，3，4，5}，B={x ∈R|x ≥3}，∵C U B={x|x ＜3}，∴（C U B ）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}． 故选B ． 【点评】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．4． 【答案】C【解析】i i i i i i i i i i 53511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+．5． 【答案】D【解析】解：把抛物线y=x 2方程化为标准形式为x 2=8y ， ∴焦点坐标为（0，2）． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．6． 【答案】C 【解析】考点：几何体的结构特征. 7． 【答案】D【解析】解：∵当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|． 当1≤x ＜2时，2≤2x ＜4，则f （x ）=f （2x ）=（1﹣|2x ﹣3|），此时当x=时，函数取极大值； 当2≤x ≤4时， f （x ）=1﹣|x ﹣3|；此时当x=3时，函数取极大值1；当4＜x ≤8时，2＜≤4，则f （x ）=cf （）=c （1﹣|﹣3|）， 此时当x=6时，函数取极大值c ．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c ）共线，∴=，解得c=1或2．故选D．【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．8．【答案】C【解析】解：当x≥时，f（x）=4x﹣3≥2﹣3=﹣1，当x=时，取得最小值﹣1；当x＜时，f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，即有f（x）在（﹣∞，）递减，则f（x）＞f（）=a﹣，由题意可得a﹣≥﹣1，解得a≥﹣．故选：C．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．9．【答案】B【解析】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4，故数列的前13项之和S13====26故选B【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．10．【答案】A【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=∵抛物线方程开口向下，∴准线方程是y=，故选：A．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．11．【答案】C【解析】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．【答案】B【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）|}将x2﹣y=0代入x2+y2=1，得y2+y﹣1=0，△=5＞0，所以方程组有两组解，因此集合M∩N中元素的个数为2个，故选B．【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题二、填空题13．【答案】a≤4．【解析】解：令t=x2﹣ax+a，则由函数f（x）=g（t）=log t 在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，解得a≤4，故实数a的取值范围是a≤4，故答案为：a≤4【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．14．【答案】．【解析】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外区域D：表示正方形OABC，（如图）其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）．因此在区域D内随机取一个点P，则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分∵S正方形OABC=22=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•22=4﹣π∴所求概率为P==故答案为：【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．15．【答案】25【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km，由正弦定理可得AC==25km，故答案为：25．【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．16．【答案】②④【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误；②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确；③y=（）﹣x是减函数，故错误；④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确．故答案为：②④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．17．【答案】1 2考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．18．【答案】12【解析】考点：分层抽样三、解答题19．【答案】【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．（2）当0a =时，()ln f x bx x =-．假设存在实数b ，使()(]()ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3，11()bx f x b x x-'=-=．………7分 ①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4()e 13,f x f be b e==-==（舍去）．………8分 ②当10e b <<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ∴2min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，满足条件．……………………………10分③当1e b ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4()e e 13,ef xg b b ==-==（舍去），………11分综上，存在实数2e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()f x 最小值是3．……………………………12分20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=，所以cosB=…又cos ∠ADC=﹣，所以sin ∠ADC=…所以sin ∠BAD=sin （∠ADC ﹣∠B ）=×﹣（﹣）×=…（Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理，得，解得BD=…故BC=15，从而在△ADC 中，由余弦定理，得AC 2=9+225﹣2×3×15×（﹣）=，所以AC=…【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（1）a=1时，因为f （x ）=x ﹣lnx ，f ′（x ）=1﹣， ∴当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减． 当1＜x ≤e 时，f ′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增．所以函数f （x ）的极小值为f （1）=1．（2）因为函数f （x ）的极小值为1，即函数f （x ）在（0，e]上的最小值为1． 又g ′（x ）=，所以当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，此时g （x ）单调递增．所以g （x ）的最大值为g （e ）=，所以f （x ）min ﹣g （x ）max ＞，所以在（1）的条件下，f （x ）＞g （x ）+．【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．22．【答案】（1）1x =-（2）①()1,-+∞，②6【解析】试题解析：（1）由题意，131331x xx +-+=+，化简得()2332310x x ⋅+⋅-= 解得()13133x x=-=舍或，所以1x =-（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1133033x x x x a ab b-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x xa b ab --++-=要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且 解得：11{{ 33a a b b ==-==-或，因为()f x 的定义域是R ，所以1{ 3a b =-=-舍去 所以1,3a b ==，所以()13133x x f x +-+=+①()131********x x x f x +-+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭对任意1212,,x x R x x ∈<有：()()()()211212121222333313133131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭因为12x x <，所以21330x x->，所以()()12f x f x >，因此()f x 在R 上递减．因为()()2222f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，即220t t k +-<在时有解所以440t ∆=+>，解得：1t >-，所以的取值范围为()1,-+∞②因为()()()12333x xf xg x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=-即()33xxg x -=+所以()()222233332x x x xg x --=+=+-不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立， 即()()23323311x xx x m --+-≥⋅+-，即：93333x xx xm --≤+++恒成立令33,2x x t t -=+≥，则9m t t≤+在2t ≥时恒成立令()9h t t t =+，()29'1h t t=-，()2,3t ∈时，()'0h t <，所以()h t 在()2,3上单调递减()3,t ∈+∞时，()'0h t >，所以()h t 在()3,+∞上单调递增所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤ 所以，实数m 的最大值为6考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。