全称量词 存在量词 课堂作业
全称量词与存在量词及命题练习
全称量词与存在量词练习(25分钟50分)1.(5分)给出以下命题：①任意x∈R，有x2>x；②存在α∈R，使得3α2＝α；③存在a∈R，使得x2＋a2＋1＝0.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3B解析：①中，当x＝0时，x2＝x，故为假命题；②中，当α＝0时，3α2＝α成立，故为真命题；③中，由于x2≥0，a2≥0，x2＋a2＋1＞1，所以是假命题，故选B.2．(5分)给出下列四个命题：①平行四边形的对角线相互平分；②矩形都不是梯形；③存在x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意两个全等三角形的面积相等．其中全称量词命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4C解析：①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．3．(5分)下列全称量词命题中真命题的个数为()①负数的绝对值是它的相反数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2－2ab≥0；③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1 B．2C．3 D．4C解析：①②③为真命题．4.(5分)有下列四个命题：p 1：存在x ∈{x |x <－2}，x 2＜1；p 2：存在x ∈{x |1<x <9}，x 2＝4；p 3：任意x ∈{x |x >0}，x ＋1＜0；p 4：任意x ∈{x |1<x <2}，x 2＜4.其中为真命题的是________．p 2，p 4 解析：p 2，p 4是真命题，p 1，p 3是假命题．5.(5分)对任意x ＞3，x ＞a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．{a |a ≤3} 解析：对任意x ＞3，x ＞a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3.实数a 的取值范围是{a |a ≤3}．6.(5分)已知命题p ：存在c ＞0，使0＜3－c ＜1，命题q ：任意x ∈R ，方程x 2＝2c －3有两个不等实数根，若p 和q 都是真命题，则实数c 的取值范围为________．{c |2＜c ＜3} 解析：因为p 和q 都是真命题，所以⎩⎨⎧0＜3－c ＜1，2c －3＞0，解得2＜c ＜3.故实数c 的取值范围为2＜c ＜3.7.(10分)判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，并判断其真假．(1)存在一个三角形，其内角和不等于180°；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2. 解：(1)是存在量词命题，是假命题．(2)是全称量词命题，是假命题．(3)是存在量词命题，是假命题．8.(10分)已知命题p ：“任意x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2－a ≥0”，命题q：“存在x0∈R，x20＋2x0＋1－a＝0”，若命题p，q都是真命题，求实数a 的取值范围．解：由p，q都是真命题，知p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1，2]恒成立，所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋1－a＝0有实根，所以Δ＝4－4(1－a)≥0，即a≥0.综上，实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}．全称量词命题和存在量词命题的否定练习(30分钟60分)1.(5分)命题“∀x∈R，x2－x＋2＜0”的否定是()A．∃x∈R，x2－x＋2＜0B．∀x∈R，x2－x＋2≥0C．∃x∈R，x2－x＋2≥0D．∀x∈R，x2－x＋2<0C解析：“＜”的否定是“≥”，全称量词命题的否定是存在量词命题．2．(5分)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则命题p的否定是()A．∀x∈A，2x∈BB．∀x∉A，2x∉BC．∃x∉A，2x∈BD．∃x∈A，2x∉BD解析：命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，其命题的否定应为∃x∈A，2x∉B，选D.3．(5分)命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根”，则“非p”形式的命题是()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根C解析：命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即¬p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根．4．(5分)命题“∀n∈N*，2n∈N*且n2≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，2n ∉N*且n2>nB．∀n∈N*，2n ∉N*或n2>nC．∃n∈N*，2n∉N*且n2>nD．∃n∈N*，2n ∉N*或n2>nD解析：“∀n∈N*，2n∈N*且n2≤n”的否定为“∃n∈N*，2n ∉N*或n2>n”，全称量词命题的否定为存在量词命题，故选D.5．(5分)已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，则下列选项中的命题为真命题的是()A．∀x1∈A，∀x2∈B, x1≤x2B．∃x1∈A，∀x2∈B, x1≤x2C．∀x1∈A，∃x2∈B, x1≥x2D．∃x1∈A，∃x2∈B, x1≤x2D解析：把集合A和B表示在数轴上，由图可知，只有D正确．6.(5分)命题“零与任意实数的积都为零”的否定为________________．有的实数与零的积不是零解析：命题“零与任意实数的积都为零”即“任意的实数与零的积都是零”，是全称量词命题，其否定为存在量词命题“有的实数与零的积不是零”．7.(5分)已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．{m|3≤m<8}解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.8.(12分)命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数．(1)写出命题p的否定；(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？解：(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组x－a≤0，x－b>0的解集不为空集，通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b<a.9.(13分)已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2x＋a－3＝0”，若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围．解：由题意知p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，则a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋a－3＝0有实根，所以Δ＝4－4(a －3)≥0，即a≤4.综上，实数a的取值范围为{a|a≤1}．。
高中数学全称存在量词命题练习及答案
高中数学全称存在量词命题练习及答案1．命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是（ ）. A ．x R ∀∈，12x x +> B ．x R ∃∈，12x x +< C ．x R ∃∈，12x x+>D ．x R ∀∈，12x x+<2.命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A.存在x 0∈R ，使得＜0 B.对任意x ∈R ，都有x 2＜0 C.存在x 0∈R ，使得≥0 D.不存在x ∈R ，使得x 2＜03.命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是（ ） A.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根 B.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根 C.存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根 D.存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根4.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是（ ） A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D.∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 5.写出下列全称命题的否定：（1）p ：所有能被3整除的整数都是奇数； （2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p ：对任意x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3.6．将下列命题用“∀”或“∃”表示． （1）实数的平方是非负数；（2）方程()22100ax x a ++=<至少存在一个负根.7.命题p ：∃m 0∈R ，使方程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“p ”形式的命题是（ ） A.∃m 0∈R ，使得方程x 2＋m 0x ＋1＝0无实根 B.对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C.对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D.至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 8.命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（ ）A.对任意实数x ，都有x ＞1B.不存在实数x ，使x ≤1C.对任意实数x ，都有x ≤1D.存在实数x ，使x ≤19.若命题p ：∃x 0∈[－3,3]，＋2x 0＋1≤0，则对命题p 的否定是（ ） A.∀x ∈[－3,3]，x 2＋2x ＋1＞0B.∀x ∈（－∞，－3）∪（3，＋∞），x 2＋2x ＋1＞0C.∃x ∈（－∞，－3）∪（3，＋∞），＋2x 0＋1≤0D.∃x 0∈[－3,3]，＋2x 0＋1＜010.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 11.下列命题正确的是（ ） A ．4,1x x ∀∈≥ZB ．200,3x x ∃∈=QC ．2,210x x x ∀∈-->RD ．00,0x x ∃∈≤N12.已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“（p ）∧（q ）为真命题”； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________． 13.写出下列存在量词命题的否定． （1）p ：∃x 0∈R ，＋2x 0＋2≤0； （2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有一个素数含三个正因数．14.已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立. （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围.15.设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 答案1．命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是（ ）. A ．x R ∀∈，12x x +> B ．x R ∃∈，12x x +< C ．x R ∃∈，12x x+>D ．x R ∀∈，12x x+<【答案】D【解析】命题的否定为:∃改为∀,≥改为<,故否定形式为x R ∀∈，12x x+<,故选D. 2.命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A.存在x 0∈R ，使得＜0 B.对任意x ∈R ，都有x 2＜0 C.存在x 0∈R ，使得≥0 D.不存在x ∈R ，使得x 2＜0 【答案】A【解析】由含有全称量词的命题的否定形式可知，该命题的否定为：存在x 0∈R ，使得＜0. 3.命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是（ ） A.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根 B.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根 C.存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根 D.存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根 【答案】D【解析】任意对应存在，有正实根的否定是无正实根．故命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是“存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根”． 4.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是（ ） A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D.∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 【答案】D【解析】因为全称命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是：∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2.故选D.5.写出下列全称命题的否定：（1）p ：所有能被3整除的整数都是奇数； （2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p ：对任意x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3.【答案】（1）p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数． （2）p ：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆． （3）p ：∃x 0∈Z ，的个位数字等于3. 6．将下列命题用“∀”或“∃”表示． （1）实数的平方是非负数；（2）方程()22100ax x a ++=<至少存在一个负根.【答案】（1）x ∀∈R ，20x ≥；（2）0x ∃<，()22100ax x a ++=<．【解析】（1）原命题为全称命题，可改写为“x ∀∈R ，20x ≥”； （2）原命题为特称命题，可改写为“0x ∃<，()22100ax x a ++=<”.7.命题p ：∃m 0∈R ，使方程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“p ”形式的命题是（ ） A.∃m 0∈R ，使得方程x 2＋m 0x ＋1＝0无实根 B.对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C.对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D.至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 【答案】B【解析】由存在量词命题的否定可知，命题的否定为“对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根”．故选B. 8.命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（ ） A.对任意实数x ，都有x ＞1 B.不存在实数x ，使x ≤1 C.对任意实数x ，都有x ≤1 D.存在实数x ，使x ≤1 【答案】C【解析】存在量词命题的否定是全称命题，故选C.9.若命题p ：∃x 0∈[－3,3]，＋2x 0＋1≤0，则对命题p 的否定是（ ） A.∀x ∈[－3,3]，x 2＋2x ＋1＞0B.∀x ∈（－∞，－3）∪（3，＋∞），x 2＋2x＋1＞0C.∃x ∈（－∞，－3）∪（3，＋∞），＋2x 0＋1≤0D.∃x 0∈[－3,3]，＋2x 0＋1＜0 【答案】A【解析】存在量词命题的否定是全称命题，故选A.10.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B【解析】量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.11.下列命题正确的是（ ） A ．4,1x x ∀∈≥ZB ．200,3x x ∃∈=QC ．2,210x x x ∀∈-->RD ．00,0x x ∃∈≤N【答案】D【解析】对于A ，取0x =，可知401<，即A 错误；对于B ，由203x =，可得03x =±3B 错误；对于C ，因为在一元二次不等式2210x x ->中，240∆=+>，所以该不等式存在解，不是恒成立，比如取0x =时，不等式不成立，即C 错误； 对于D ，当00x =时，00x ≤成立，即D 正确. 故选：D. 12.已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“（p ）∧（q ）为真命题”； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】②【解析】命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错误；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则（p ）∧（q ）为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2⇏a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误． 13.写出下列存在量词命题的否定． （1）p ：∃x 0∈R ，＋2x 0＋2≤0； （2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有一个素数含三个正因数． 【答案】（1）p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0. （2）p ：所有的三角形都不是等边三角形． （3）p ：每一个素数都不含三个正因数．14.已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立. （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(][),22,-∞-+∞；（2）52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞；（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥， 由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a 的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.15.设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【解析】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， 而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤， 所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立， 只需()2min10x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤，即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤，综上，1m <或524m <≤.。
2.3.1全称量词命题与存在量词 命题练习含解析
2.3.1全称量词命题与存在量词命题练习（含解析）2.3.1全称量词命题与存在量词命题小练习一、单项选择题1.下列语句不是全称量词命题的是()A. 任何一个实数乘以零都等于零B. 自然数都是正整数C. 高一(1)班绝大多数同学是团员D. 每一个实数都有大小2.下列命题中，真命题的个数为()①p：x∈R，x2－x＋≥0；②q：所有的正方形都是矩形；③r：x∈R，x2＋2x＋2≤0；④s：至少有一个实数x，使x2＋2＝0.A. 1B. 2C. 3D. 43.若“ x∈R，kx2－kx－2≥0”是假命题，则实数k的取值范围是()A. (－8，0)B. [－8，0)C. [－8，0]D. (－8，0]4.命题“ x∈[－1，2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤5二、多项选择题5.下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是()A. 所有的正方形都是矩形B. 有些梯形是平行四边形C. x∈R，3x＋2>0D. 至少有一个整数m，使得m22x －1＋3x2B. 空集是任何一个非空集合的真子集C. x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－1|0.8.已知命题p：x∈，a≥3x－1，命题q：x0∈R，x＋4x0＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________；若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是________．四、解答题9.已知命题p：“ x∈R，使x2－4x＋2m＝0”为假命题．(1) 求实数m的取值集合B；(2) 设A＝{x|2a0，故③是假命题；易知②是真命题，④是假命题．故选B.3.若“ x∈R，kx2－kx－2≥0”是假命题，则实数k的取值范围是()A. (－8，0)B. [－8，0)C. [－8，0]D. (－8，0]【解析】由题意，得“ x∈R，kx2－kx－20 D. 至少有一个整数m，使得m20”为存在量词命题，取x＝0，则3×0＋2>0，该命题为真命题，故C满足要求；对于D，命题“至少有一个整数m，使得m22x－1＋3x2B. 空集是任何一个非空集合的真子集C. x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－1|2x－1＋3x2化为x2－2x＋1>0，当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故A是假命题；对于B，空集是任何一个非空集合的真子集，故B是真命题；对于C，当x＝0时，|x－1|0.【解析】命题“负数的平方是正数”是全称量词命题，故①错误；当a ＝1时，3a＝3为质数，故②正确；当m＝0时，函数y＝1是常数函数，不是一次函数，故③错误；当x＞2时，x－2＞0，x－1＞0，所以x2－3x＋2＝(x－2)(x－1)＞0，故④正确．故答案为：②④．8.已知命题p：x∈，a≥3x－1，命题q：x0∈R，x＋4x0＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________；若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】若命题p：x∈，a≥3x－1为真命题，则a≥(3x－1)max＝2，所以若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(－∞，2)．若命题q：x0∈R，x＋4x0＋a＝0为真命题，则Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是[2，4]．故答案为：(－∞，2) [2，4]．四、解答题9.已知命题p：“ x∈R，使x2－4x＋2m＝0”为假命题．(1) 求实数m的取值集合B；(2) 设A＝{x|2a2，即实数m的取值集合为B＝(2，＋∞)．(2) 因为A＝{x|2a<x因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A B，则2a≥4，即a≥2.所以实数a的取值范围是2≤a<3.10.已知集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ ．(1) 若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；(2) 若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．【解析】(1) 因为命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，所以B A.又B≠ ，所以，解得2≤m≤4.(2) 因为命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠ ．因为B≠ ，所以m≥2，所以，解得2≤m≤6.。
高考数学专项： 全称量词与存在量词(习题作业)解析版
1.5全称量词与存在量词一、单选题1．命题“R x ，0x x ．”的否定是（）A ．R x ，0x xB ．R x ，0x xC ．R x ，0x xD ．R x ，0x x 【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.【详解】因为存在量词命题的否定是全称存在量词命题，所以命题“R x ，0x x ．”的否定是“R x ，0x x ”.故选：B2．命题“0x ，2560x x ”的否定为（）A ．0x ，2560x x B ．0x ，2560x x C ．00x ，200560x x D ．00x ，200560x x 【答案】C【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可.【详解】根据全称命题的否定可得，命题“0x ，2560x x ”的否定为“00x ，200560x x ”.故选：C3．命题“ 21,3,320x x x ”的否定为（）A ． 20001,3,320x x x B ． 21,3,320x x x C ． 21,3,320x x x D ． 20001,3,320x x x 【答案】A【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为 20001,3,320x x x .故选：A4．命题“ 0,a ，sin a a ”的否定形式是（）A ． 0,a ，sin a aB ． 0,a ，sin a aC ． ,0a ，sin a aD ． ,0a ，sin a a【答案】A【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】特称命题的否定是全称命题，命题“ 0,a ，sin a a ”的否定形式是 0,a ，sin a a .故选：A.5．命题 :15p x x x ，245x x ，则命题p 的否定是（）A ． 15x x x ，245x xB ． 15x x x ，245x xC ． 15x x x ，245x xD ． 15x x x ，245x x 【答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题 15x x x ，245x x 是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即 15x x x ，245x x ，故选：B6．已知命题2:0,0p x x x ，则p 为（）A ．20,0x x xB ．20,0 x x xC ．20,0 x x xD ．20,0x x x 【答案】C【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题2:0,0p x x x ，则p 为20,0 x x x .故选：C7．若命题“x R ，都有2410mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围为（）A ．40mB ．0mC ．4mD ．40m 【答案】C【分析】根据全称命题的否命题为真，即方程有解的条件求实数m 的范围即可．【详解】解：由题意得R x ，使得2410mx x ，当0m ，14x符合题意；当0m ，只要1640m 即可，解得4m ，综上：4m ．故选：C ．8．已知2:R,40p x x x a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ． 0,4B ． ,4C ． ,0D ．4, 【答案】B【分析】根据特称命题为真命题转化为方程有实数根，结合一元二次方程有实数解的条件即可求解.【详解】因为2:R,40p x x x a 是真命题，所以方程240x x a 有实数根，所以2440a ，解得4a ，故实数a 的取值范围为 ,4 .故选：B.9．已知命题“200014(2)04R,x x a x”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ． ,0B ． 0,4C ． 4,D ．0,4【答案】D【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，命题“200014(2)04R,x x a x ”是假命题则该命题的否定“214(2)0R,4x x a x >”是真命题，所以2(2)40a <，解得04a ；故选：D.10．已知命题“存在{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A ． 3,6B ． ,36,C ． 3,6D ．,36, 【答案】D【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和否命题真假的关系即可求解.【详解】由已知命题“存在{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是假命题，等价于“任意的{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是真命题，又因为12x ，所以336x ，要使3x m ，则需3m 或6m .所以实数m 的取值范围为 ,36, .故选：D.11．命题“2R,10x x ax ”为假命题的一个必要不充分条件是（）A ．[2,2]aB ．(2,1)aC ．[2,3]aD ．(2,3)a 【答案】C【分析】先将命题“R x ，210x ax ”为假命题转化“x R ，210x ax ”为真命题，求出其充要条件，再利用数集间的包含关系进行求解.【详解】命题“R x ，210x ax ”为假命题，即命题“x R ，210x ax ”为真命题，则 2Δ=40a ，解得22a ，对于A ：[2,2]a 是命题“2R,+1<0x x ax ”为假命题的充要条件，即选项A 错误；对于B ：(2,1) 是[2,2] 的真子集，所以(2,1)a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B 错误；对于C ：[2,2] 是[2,3] 的真子集，所以[2,3]a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C 正确；对于D ：(2,3) 与[2,2] 无包含关系，所以(2,3)a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D 错误.故选：C.12．若 :1,5p x ，240ax x 是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．925aB ．116aC ．5aD ．5a 【答案】C【分析】利用参变量分离法可得出241a x x ，当1,5x 时，求出241x x的取值范围，即可得出实数a 的取值范围.【详解】对任意的 1,5x ，240ax x ，则241a x x，因为 1,5x ，则1115x，则2419,525x x ，5a .故选：C.二、多选题13．下列说法正确的是（）A ．22,2 B ．“R x ，210x x ”的否定是“R x ，210x x ”C ．“212x ”是“1x ”的充分不必要条件D ．“a b ”是“22ac bc ”的必要不充分条件【答案】ACD【分析】根据元素和集合的关系判断A ；根据全称量词命题的否定可判断B ；根据充分条件以及必要条件的判断可判断C ，D.【详解】对于A ， 2,2的元素是 2,2，故 22,2 ，正确；对于B ，“R x ，210x x ”为全称量词命题，它的否定是“R x ，210x x ”，B 错误；对于C ，由212x ，可得312212,22x x ，则1x 成立，当1x 时，比如取2x ，推不出212x 成立，故“212x ”是“1x ”的充分不必要条件，C 正确；对于D ，当a b 时，若0c =，则22ac bc 不成立，当22ac bc 成立时，则0c ，则20c ，故a b ，故“a b ”是“22ac bc ”的必要不充分条件，D 正确，故选：ACD14．下列命题中，是真命题的有（）A ．命题“1x ”是“2320x x ”的充分不必要条件B ．命题2:R,10p x x x ，则2:R,10p x x xC ．命题“1x ”是“210x -¹”的充分不必要条件D ．“2x ”是“2320x x ”的充分不必要条件【答案】ABD【分析】根据判断充分不必要条件的逻辑关系分别判断A ，C ，D ；根据全称命题的否定形式可判断B.【详解】对于A ，当1x 时，2320x x 成立，反之，当2320x x 时，解得1x 或2x ，不一定是1x ，故“1x ”是“2320x x ”的充分不必要条件，A 正确；对于B ，命题2:R,10p x x x 为全称命题，其否定为特称命题，即2:R,10p x x x ，B 正确；对于C ，1x 推不出210x -¹，因为1x 时，210x -=，当210x -¹时，一定有1x 且1x ，故命题“1x ”是“210x -¹”的必要不充分条件，C 错误；对于D ，解2320x x 可得1x 或2x ，故2x 时，一定有2320x x 成立，当2320x x 时，也可能是1x ，不一定是2x ，故“2x ”是“2320x x ”的充分不必要条件，D 正确，故选：ABD15．下列说法正确的是（）A ．命题2000:,220R p x x x ，则命题p 的否定是2R,220x x x B ．全称命题“2R,2x x x ”是真命题.C ．命题“2000,10R x x x ”是假命题D ．集合 28120A x x x .集合260C x ax x ，若A C C ，则a 的取值范围是124a【答案】AC【分析】A 选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；B 选项，举出反例；C 选项，由根的判别式得到210x x 恒成立，C 错误；D 选项，根据交集结果得到C A ，分C 和C 两种情况，分类讨论，得到a 的取值范围.【详解】A 选项，命题p 的否定是2,220 R x x x ，A 正确；B 选项，当2x 时，22x x ，故B 错误；C 选项，对于21y x x ，2Δ(1)41130 ，故对任意的x ，210x x ，C 正确；D 选项，因为A C C ，所以C A ，又 2,6A ，当C 时，若6C ，则36660a ，解得0a ，此时 6C ，满足C A ，若2C Î，则4260a ，解得1a ，此时 3,2C ，不满足C A ，当C 时，Δ12400a a ，解得124a ，综上，a 的取值范围为0a 或124a ，D 错误.故选：AC16．下列命题为真命题的是（）A ．若2:,2n p n N n ，则2:,2n p n N n ；B ．若0,0a b c d ，则a b d c；C ．使不等式110x成立的一个充分不必要条件是1x 或1x D ．若,,(1,2)i i i a b c i 是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ”是“不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集相等”的充分不必要条件【答案】BC【分析】A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论；B 选项：由不等式的同向可乘性可以判断；C 选项：通过检验就可以判断；D 选项：通过分析不等式以及充分不必要条件就可以判断.【详解】A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论，所以命题p :n N ,22n n .则p :N n ,22n n ，A 是假命题；B 选项：0,0c d a b ∵，0,0c d ac bd 0cd ∵又，,ac bd a b cd cd d c即，a b d c，B 是真命题；C 选项：若1x 或1x ，则110x 成立，故满足充分性；当110x时，1x 或0x ，不满足必要性，C 是真命题；D 选项：设1112220a b c m m a b c ，则121212,,a ma b mb c mc 所以不等式21110a x b x c 等价于22220m a x b x c .若0m ，此时 22220m a x b x c 等价于22220a x b x c ，此时两者解集相等；若0m ，此时22220m a x b x c 等价于22220a x b x c ，此时两者解集不相等；若不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集为 ，则两个不等式的系数没有关系.所以“111222a b c a b c ”是“不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集相等”的既不充分也不必要条件，D 是假命题.故选：BC.【点睛】关键点睛：解决本题，一是理解命题，二是要怎么样处理充分性以及必要性，三是要推理正确.17．下列命题是真命题的是（）A ．x R ，x xB ．x R ，x xC ．x R ，2350x xD ．x R ，2350x x 【答案】ABD【分析】利用绝对值的性质可判断A 选项的正误；取0x ，可判断B 选项的正误；取0x ，可判断C 选项的正误；取5x ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A ：当0x 时，x x ；当0x 时，0x x x ；综上所述：x R ，x x ，故A 正确；对于B ：当0x 时，满足x x ，故B 正确；对于C ：当0x 时，23550x x ，故C 错误；对于D ：当5x 时，23550x x ，故D 正确；故选：ABD ．18．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ð，则下列关系一定正确的是（）A ．x U ，x A 且xB B ．x A ，x BC ．x U ，x A 或x BD ．x U ，x A 且x B【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ð，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ，x A 且x B ，A 正确；因A B ，必有x A ，x B ，B 正确；若AU B ð，则()()U U A B 痧，此时x U ，[()()]U U x A B 痧，即x A 且x B ，C 不正确；因A B ，则不存在x U 满足x A 且x B ，D 不正确.故选：AB19．下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立”的充分不必要条件的有（）A ．04mB ．02mC ．14mD ．16m 【答案】BC【分析】对m 讨论：0m ；0m ，Δ0 ；0m ，结合二次函数的图象，解不等式可得m 的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立，当0m 时，原不等式即为10 恒成立；当0m 时，不等式210mx mx 对R x 恒成立，可得Δ0 ，即240m m ，解得：04m .当0m 时，21y mx mx 的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m 的取值范围为： 0,4.所以“关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立”的充分不必要条件的有02m 或14m .故选：BC.20．下列说法正确的是（）A ．“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a 不成立”B ．“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a 成立”C ．命题“ 12x x x ，x 为真命题的一个充分不必要条件是7aD ．已知a ，b R ，则“a b ”是 成立的充要条件【答案】BC【分析】对四个选项一一验证：对于A 、B ：利用存在命题的否定直接判断；对于C ：先求出4a ，即可判断；对于D ：由0,0a b .故D 错误即可判断.【详解】对于A 、B ：因为“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a成立”，所以A 错误，B 正确；对于C ：命题“ 12x x x ，x 为真命题，则4a ，所以7a 是一个充分不必要条件.故C 正确；对于D ：当0,0a b .故D 错误.故选：BC三、填空题21．请把命题“勾股定理”写成含有量词的命题：_____________.【答案】对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方【分析】根据勾股定理的内容，结合任意性的定义进行求解即可.【详解】在任意的直角三角形中，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方，故答案为：对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方22．命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是_______．【答案】所有的正整数，它的算术平方根不是正整数【分析】根据特称命题的否定即可得.【详解】解：命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是：“所有的正整数，它的算术平方根不是正整数”.故答案为：所有的正整数，它的算术平方根不是正整数.23．“所有的自然数都大于零”的否定是_______．【答案】存在一个自然数小于或等于零【分析】根据全称命题的否定形式为对应的特称命题进行改写.【详解】替换量词并否定结论，“所有的自然数都大于零”的否定是“存在一个自然数小于或等于零”．故答案为：存在一个自然数小于或等于零24．将“方程210x 无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．【答案】2R ,10x x 【分析】根据全称量词命题的形式改写即可．【详解】由已知，“方程210x 无实根”是全称量词命题，故可改写为：2R ,10x x ，故答案为：2R ,10x x ．25．命题“x R ，20x x ”的否定是______．【答案】R x ，20x x 【分析】由全称量词命题的否定形式即可得答案.【详解】命题“x R ，20x x ”的否定是“R x ，20x x ”.故答案为：R x ，20x x 四、解答题26．已知命题22:,20p x x x a R ，命题p 为真命题时实数a 的取值集合为A ．(1)求集合A ；(2)设集合 231B am a m ∣，若A 是B 的真子集，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 11A aa ∣；(2)01m ．【分析】(1)命题为真命题，即方程2220x x a 有根，则2Δ440a ，解出即可.(2)因为A 是B 的真子集，列不等式组解出即可.【详解】（1）由命题p 为真命题，得2Δ440a ，得11a11A a a ∣（2）A ∵是B 的真子集．23111231m m m m，解得01m ．27．写出下列命题的否定，并判断它们的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)三个连续整数的乘积能被6整除;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)至少有一个整数2,1n n 是4的倍数.【答案】(1)所有实数都不是无限不循环小数，假命题(2)存在三个连续整数的乘积不能被6整除，假命题(3)任意一个三角形都是中心对称图形，假命题(4)任意整数2,1n n 不是4的倍数，真命题【分析】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，以及命题的形式直接写出命题的否定，并判断真假即可.【详解】（1）命题的否定为：“所有实数都不是无限不循环小数”，是无限不循环小数，所以其为假命题；（2）命题的否定为：“存在三个连续整数的乘积不能被6整除”，因为三个连续整数中必有一个能被2整除，一个能被3整除，则三个连续整数的乘积一定能被6整除，所以其为假命题；（3）命题的否定为：“任意一个三角形都是中心对称图形”，因为等边三角形不是中心对称图形，所以其为假命题；（4）命题的否定为：“任意整数2,1n n 不是4的倍数”，当2,Z n k k 时，22141n k 不是4的倍数；当21,Z n k k 时，2214()2n k k 不是4的倍数，所以其为真命题.28．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)R x ，使43x x ；(3)R x ，有12x x .【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析.【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;对(2)举例说明43x x 不成立;对(3)举例说明12x x 成立.【详解】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：R x ，有43x x ．因为当2x 时，42352 ，所以“R x ，有43x x ”是假命题．（3）命题的否定：R x ，使12x x ．因为当2x 时，121322x ，所以“R x ，使12x x ”是真命题．29．写出下列命题的否定，并判断真假.(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形.【答案】(1)命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.(2)命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题(3)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题(4)命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.【分析】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可.【详解】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.（2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.30．已知全集U R ，集合{|13}A x x ，集合{|21}B x m x m ．(1)若A B B I ，求实数m 的范围；(2)若1x A ，2x B ，使得12x x ，求实数m 的范围．【答案】(1)1(,)3(2)(,2)【分析】（1）可先求出A B B ∩，即B A 时m 的范围，即可求解；（2）先得到A B ，再列出不等式，即可求解【详解】（1）若A B B ∩，则B A ，当B 时，则21m m ³-，13m ，当B 时，则212113m m m m，则m 不存在，综上，13m ，A B B ∩，实数m 的范围为1(,)3 ．（2）1x A ∵，2x B ，使得12x x ，A B ，且A ，则2113m m ，2m ，实数m 的范围为(,2) ．31．已知集合 25A x x ， 121B x m x m ，且B .(1)若命题p ：“x B ，x A ”是真命题，求m 的取值范围；(2)若命题q ：“x A ，x B ”是真命题，求m 的取值范围．【答案】(1)2,3(2)2,4【分析】（1）根据命题p 为真命题，得到,B A B ，从而得到不等式组，求出m 的取值范围；（2）根据命题q 为真命题，得到A B ，从而得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】（1）命题p ：“x B ，x A ”是真命题，故,B A B ，所以12112215m m m m，解得23m ，故m 的取值范围是 2,3.（2）由于命题q 为真命题，则A B ，因为B ，所以121m m ，所以2m ,当2m 时，一定有13m ，要想满足A B ，则要满足15m ，解得4m ，故A B 时，24m ，故m 的取值范围为 2,4.32．已知命题:q “x 满足22x ，使220x x a ”，(1)命题:p “ 2R,140x x a x ”，若命题,p q 中至少一个为真，求实数a 的范围.(2)命题:21p a x a ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的范围.【答案】(1) 3a a 或 1a ；(2)1,2【分析】（1）先求出命题,p q 为真和假时a 的取值范围，由此可得命题,p q 都为假命题时a 的取值范围，进而即可求解；（2）记 1,8,2,1A B a a ，由题意可得BA ，由集合的包含关系，分类讨论即可求解；【详解】（1）命题:q “x 满足22x ，使220x x a ”，为真命题时，22a x x ，令 22,22f x x x x ，则 18f x ，所以18a ，所以命题q 为假时，则1a 或8a ，命题:p “ 2R,140x x a x ”，为真命题时，21440a ，解得3a 或5a ，所以命题q 为假时，则35a ，又因为命题,p q 都为假命题时，3518a a a或，即31a ，所以命题,p q 中至少一个为真时，实数a 的范围是 3a a 或 1a ；（2）由（1）可知：命题q 为真命题时，18a ，记1,8,2,1A B a a 因为p 是q 的充分不必要条件，所以B A ，当B 即21a a ，也即1a 时，满足条件；当B 时，212118a a a a ，解得112a ；综上可知：实数a 的范围是1,233．已知命题:p x R ，2210ax x +-=为假命题．(1)求实数a 的取值集合A ；(2)设集合 64242B x m x m ，若“x A ”是“x B ”的必要不充分条件，求m 的取值范围．【答案】(1)1A a a (2)3m 或m 1【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即Δ0 求解即可；（2）根据题意先求得B A ，再分情况求得m 的范围即可．【详解】（1）解：命题p 的否命题为R x ，2210ax x 为真，0a 且Δ440a ，解得1a ．∴ 1A a a ．（2）解：由64242m x m 解得32m x m <<，若“x A ”是“x B ”的必要不充分条件，则B A ，∴当B 时，即32m m ，解得m 1 ；当1m 时，21m ，解得3m ，综上：3m 或m 1 ．34．已知命题p ：“x R ，使不等式220x x m 成立”是假命题．(1)求实数m 的取值集合A ；(2)若:44q m a 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1),1 (2),5 【分析】（1）把特称命题转化为全称命题，即可根据一元二次不等式恒成立问题得出答案；（2）利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果.【详解】（1）命题p ：“x R ，使不等式220x x m 成立”是假命题，则“x R ，使不等式220x x m 恒成立”是真命题，故440m ，解得1m ，故 ,1m ，即 ,1A .（2）由于命题：:44q m a ，整理得：44a m a ，由小问1得p ：1m ，由于q 是p 的充分不必要条件，所以41a ，解得5a ，故实数a 的取值范围为 ,5 .35．已知命题：“0x R ，使得2002430x mx m ”为真命题．(1)求实数m 的取值的集合A ；(2)设不等式()(3)0x a x a 的解集为B ，若x A 是x B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 1A m m 或 3m ；(2)(,2][3,) ．【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【详解】（1）命题“0x R ，使得2002430x mx m ”为真命题，所以2(2)4(43)0m m ，即2430m m ，解之得1m £或3m ，所以实数m 的取值的集合 1A m m 或 3m ；；（2）不等式()(3)0x a x a 的解集为 3B x a x a ，因为x A 是x B 的必要不充分条件，所以B A ，则3a 或31a ，所以3a 或2a ，故实数a 的取值范围为(,2][3,) ．。
全称量词与存在量词(有答案)
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科教师上课日期上课时间课题9.1 全称量词与存在量词知识点一、全称量词与全称命题1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“_______”表示． 2．含有_____________的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为________________.知识点二、存在量词与特称命题1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做____________，用符号“_______”表示．2．含有_______________的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立，记为：________________”.知识点三、含有一个量词的命题的否定类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1x 0－1＝0；(3)对任意向量a ，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1.【自主解答】 (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a |＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题． 变式：判断下列命题的真假：(1)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(2)∀x ∈(0，π2)，cos x ＜1；(3)∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝0；(4)至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3. 【解】 (1)∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，∴原命题是假命题． (2)由y ＝cos x 在(0，π2)的单调性．∴∀x ∈(0，π2)，cos x ＜1为真命题．(3)由于3x ＋4＝5成立时，x ＝13∉Z ，因而不存在x ∈Z ，使3x ＋4＝5.所以特称命题“∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝5”是假命题．(4)由于取a ＝1，b ＝1，c ＝1时，a 2＋b 2＋c 2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3”是真命题.类型二 含有一个量词的命题的否定例2、写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0；【错因分析】错解中只否定了命题的结论，忘记了转换量词．【正解】命题的否定：∃x0∈R，若y＞0，则x20＋y≤0.。
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 学案(含答案)
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题学案（含答案）2.32.3全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题22..3.13.1全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题学习目标1.理解全称量词.全称量词命题的定义.2.理解存在量词.存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假知识点全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有.任意.每一个存在.有的.有一个符号命题含有全称量词的命题称为全称量词命题含有存在量词的命题称为存在量词命题一般形式xM，pxxM，px思考1全称量词命题中的“x，M与px”表达的含义分别是什么答案元素x可以表示实数.方程.函数.不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围px表示集合M的所有元素满足的性质如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“xN，x0”思考2“一元二次方程ax22x10有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题请改写成相应命题的形式答案是存在量词命题，可改写为“存在xR，使ax22x10”1“三角形内角和是180”是全称量词命题2“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题3“xR，x211”是真命题4存在量词命题“xR，x21,3x40成立；2对所有实数a，b，方程axb0恰有一个解；3有些整数既能被2整除，又能被3整除；4某个四边形不是平行四边形解1全称量词命题，表示为xx|x1,3x40.2全称量词命题，表示为a，bR，方程axb0恰有一解3存在量词命题，表示为xZ，x既能被2整除，又能被3整除4存在量词命题，表示为xy|y是四边形，x不是平行四边形反思感悟判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题跟踪训练1判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题1凸多边形的外角和等于360；2矩形的对角线不相等；3若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；4有些实数a，b能使|ab||a||b|；5方程3x2y10有整数解解1可以改为所有的凸多边形的外角和等于360，故为全称量词命题2可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题3若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题4含存在量词“有些”，故为存在量词命题5可改写为存在一对整数x，y，使3x2y10成立故为存在量词命题二.全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例2判断下列命题的真假1xZ，x30.解1因为1Z，且1311，所以“xZ，x30”是假命题反思感悟判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言1要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使px成立即可，否则命题为假2要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，px都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使px不成立即可跟踪训练2试判断下列命题的真假1xR，x212；2直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；3存在一对整数x，y，使得2x4y6.解1取x0，则x2112，所以“xR，x212”是假命题2与x 轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题3取x3，y0，则2x4y6，故为真命题三.依据含量词命题的真假求参数的取值范围例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B，若命题p“xB，xA”是真命题，求m 的取值范围解由于命题p“xB，xA”是真命题，所以BA，B，所以m12m1，m12，2m15，解得2m3.延伸探究1把本例中命题p改为“xA，xB”，求m的取值范围解p为真，则AB，因为B，所以m2.所以2m15，m2或22m15，m2，解得2m4.2把本例中的命题p改为“xA，xB”，是否存在实数m，使命题p是真命题若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由解由于命题p“xA，xB”是真命题，所以AB，B，所以m12m1，m12，2m15，解得m，所以不存在实数m，使命题p是真命题反思感悟依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法1首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意2其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式组求参数的取值范围跟踪训练3若命题“xR，x24xa0”为真命题，求实数a的取值范围解命题“xR，x24xa0”为真命题，方程x24xa0存在实数根，则424a0，解得a4.1多选下列命题是全称量词命题的是A任意一个自然数都是正整数B有的菱形是正方形C梯形有两边平行DxR，x210答案AC 解析选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题2下列命题中是存在量词命题的是A任何一个实数乘以0都等于0B任意一个负数都比零小C每一个正方形都是矩形D一定存在没有最大值的二次函数答案D解析D选项是存在量词命题3下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是A每个二次函数的图象都开口向上B存在一条直线与已知直线不平行C对任意实数a，b，若ab0，则abD 存在一个实数x，使等式x22x10成立答案C解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数yax2bxca0的图象开口向下，也应排除，故应选C.4命题pxR，x22x50是________填“全称量词命题”或“存在量词命题”，它是________命题填“真”或“假”答案存在量词命题假解析命题p是存在量词命题，因为方程x22x50的判别式22450解析一次函数ykx2的图象过点0,2，若恒过第三象限，则k0.1知识清单1全称量词命题.存在量词命题的概念2含量词的命题的真假判断3依据含量词的命题的真假求参数的取值范围2常见误区有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体.全部”，存在量词命题强调“个别.部分”。
1.5 全称量词与存在量词(解析版).pdf
1.5 全称量词与存在量词A 组-[应知应会]1．（2019秋•埇桥区期末）将命题“”改写成全称命题为 222x y xy +…()A ．对任意,,都有成立x y R ∈222x y xy +…B ．存在,,使成立x y R ∈222x y xy +…C ．对任意,,都有成立0x >0y >222x y xy +…D ．存在,,使成立0x <0y <222x y xy +…【分析】直接把命题改写成含有全称量词的命题即可．【解答】解：命题“”是指对任意,,都有成立,222x y xy +…x y R ∈222x y xy +…故命题“”改写成全称命题为：对任意,,都有成立．222x y xy +…x y R ∈222x y xy +…故选：．A 2．下列全称命题的否定形式中,假命题的个数是 ()（1）所有能被3整除的数能被6整除（2）所有实数的绝对值是正数（3）,的个位数不是2．x Z ∀∈2x A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】（1）写出原命题的否定形式,再举例判断即可；（2）写出原命题的否定形式,再举例,,不是正数,判断即可；00x R =∈|0|0=（3）由,,,,,,,,,,可知,的个位数不是2,写出其否定形式,可判断（3）．200=211=224=239=2416=2525=2636=2749=2864=2981=x Z ∀∈2x 【解答】解：（1）“所有能被3整除的数能被6整除”的否定形式为“能被3整除的数不能被6整除”正确,如3,是能被3整除,不能被6整除的数,故（1）的否定∃形式正确；（2）所有实数的绝对值是正数,其否定为：,,不是正数,故（2）的否定形式正确；00x R ∃=∈|0|0=（3）因为,,,,,,,,,,200=211=224=239=2416=2525=2636=2749=2864=2981=所以,的个位数不是2的否定形式为：,的个位数是2,错误．x Z ∀∈2x x Z ∃∈2x综上所述,以上全称命题的否定形式中,假命题的个数是1个,故选：．B3．下列特称命题中假命题的个数是 ()①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】①从实数的组成可知②从三角形的类型入手③正方形是特殊的菱形,一一进行判断即可．【解答】解：在①中若,是无限不循环小数,故真；x π=在②中若边长为3.4.5的三角形不是等腰三角形,故真；在③中有一个内角为90度的菱形是正方形,故真；其中①②③全是真命题．故选：．A 4．（2020•广元模拟）已知集合,,,下列命题为假命题的是 2{|28}A x x x =-…{2B =-0}()A ．,B ．,C ．,D ．,0x A ∃∈0x B ∈0x B ∃∈0x A ∈x A ∀∈x B ∈x B ∀∈x A∈【分析】先求出集合,再根据,之间的关系即可求解结论．A AB 【解答】解：因为集合；2{|28}{|24}A x x x x x =-=-………,,{2B =- 0}A ⊆,；x A ∴∀∈x B ∈故选：．C 5．命题“对任何,”的否定是 ．x R ∈|2||4|3x x -+->【分析】利用全称命题的否定是特称命题,可求命题的否定．【解答】解：因为命题为全称命题,根据全称命题的否定是特称命题得到命题“对任何,”的否定是：存在,使得．x R ∈|2||4|3x x -+->x R ∈|2||4|3x x -+-…故参考答案为：存在,使得．x R ∈|2||4|3x x -+-…6．（2019秋•长宁区期末）命题“若,则”是真命题,则实数的范围是 ．1x >x a >a 【分析】根据命题是真命题,转化为两个集合之间的关系建立条件关系即可得到结论．【解答】解：“若,则”是真命题,1x >x a >则,,,(1)(a +∞⊆)+∞,1a ∴…即实数的取值范围是,a 1a …故参考答案为：．1a …7．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：∀∃（1）任意实数的平方大于或等于0；（2）对任意实数,二次函数的图象关于轴对称；a 2y x a =+y （3）存在整数,,使得；x y 243x y +=（4）存在一个无理数,它的立方是有理数．【分析】利用全称量词、存在量词的意义即可得出命题．【解答】解：（1）,则,为真命题；x R ∀∈20x …（2）,则二次函数的图象关于轴对称,为真命题；a R ∀∈2y x a =+y （3）,,使得,为假命题；x ∃y Z ∈243x y +=（4）,使得,为真命题．0R x Q ∃∈ð30x Q ∈8．判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定：（1）：对任意的,都成立；p x R ∈210x x ++=（2）,．:p x R ∃∈2250x x ++>【分析】利用全称命题和特称命题的定义分别判断,然后写出它们的否定．【解答】解：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,：存在一个,使成立,即“,使成立”；p ⌝x R ∈210x x ++≠x R ∃∈210x x ++≠（2）由于“”表示存在一个实数,即命题中含有存在量词“存在一个”,x R ∃∈x 因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,：对任意一个都有,即“,”．p ⌝x 2250x x ++…x R ∀∈2250x x ++…9．（2019秋•怀仁市校级期末）写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）,方程必有实根；:p x R ∀∈20x x m +-=（2）,使得．:q x R ∃∈210x x ++…【分析】命题的否定即命题的对立面．可根据如下规则书写：“全称量词”与“存在量词”正好组成了意义相反的表述．如“对所有的都成立”与“至少有一个⋯不成立”；“都是”与“不都是”等,所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．⋯【解答】解：（1）．方程无实数根；:p m R ⌝∃∈20x x m +-=由于当时,方程的根的判别式△,1m =-20x x m +-=0<方程无实数根,故其是真命题．∴20x x m +-=（2）,使得；:q x R ⌝∀∈210x x ++>由于,22131(024x x x ++=++>故其是真命题．B 组-[素养提升]（2019秋•沈阳期末）设,,若是真命题,则实数的取值范围是 ．:p x R ∀∈20x x a ++…p a 【分析】由含参不等式恒成立问题,得：,等价于△,解不等式即可得的取值范围．x R ∀∈20x x a ++…0…a 【解答】解：若,,是真命题,则△,解得；:p x R ∀∈20x x a ++...140a =- (1)4a …故的取值范围是：；a 14a …故参考答案为：．14a …知识改变命运。
全称量词与存在量词
x M,p(x) x M,p(x)
结论
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论
全称命题 p :
它的否定p :
x M,p(x)
全称命题பைடு நூலகம்否 定是特称命题
x0
M,p(x
)
0
探究2
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数；x M,p(x)
(x)
x2
bx
x
b 2
2
b2 4
,
最小值为
b2 4
,
令t
x2
bx, 则f
(f
(x))
f
(t) t 2
bt
t
b 2
2
b2 4
,t
b2 4
,当
b 0时, f ( f (x))的最小值为 b2 ,所以"b 0"能推出" f ( f (x))的最 4
2 特称命题p： x∈M，p(x) 它的否定 p ： x∈M， p(x)
全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题.
例1写出下列全称命题的否定： 1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；
2）p:每一个四边形的四个顶点共圆 3）p:对任意x Z，x2的个位数字不等于3。 解：1）p : 存在一个能被3整除的整数不是奇数.
它的否定 p : x0 M,p(x0 )
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下
面的结论：
特称命题 p : x0 M,p(x0)
典型例题：全称量词与存在量词
全称量词与存在量词
例1判定下列命题的真假：
1∃∈Q，使2=2；
2∃∈R，使2<1;
3∀∈N，有3＞2；
4∀∈R,有21>0
分析：要判定一个特称命题真，只要在限定集合中至少找到一个=0值，使中的每一个验证中一个=0，使p0为假．
解：1∵使2=2成立的实数只有2
±∉Q，∴没有一
±，而2
个有理数，使2=2可见命题“∃∈Q，使2=2”是假命题．
2由于∈R，取=-1，满足3＜1因此命题“∃∈R，使2<1”
是真命题．
3∵=1时，3＞2不成立．∴命题“∀∈N，有3＞2”是假命题．
4由于对∀∈R，都有2≥0⇒21≥1>0．因此命题“∀∈R,有21>0”是真命题．
例2．试写出下列命题的否定，并判断其真假：
1命题P：所有的菱形都是正方形．
2命题q：对任何实数，总有2一21≥0成立．
3命题r：至少有一个实数，使2-2=0成立．
4命题s：∃∈R，使2＋2＋2≤0成立．
分析：1、2是全称命题，其否定应为特称命题．3、4是特称命题，其否定应为全称命题．
解：l¬P：∃一个菱形，它不是正方形．
∵由两个全等的等边三角形拼成的菱形就不是正方形，
∴¬p是真命题．
2q：∃∈R．、2-21＜0．
∵2-21=-12≥0对∀∈R都成立．∴¬q是假命题．
3¬r：∀∈R，2-2≠0．
∵存在=2
±，使2-2=0，∴¬r是假命题．
4¬S：∀∈R，2＋2＋2＞0．
∵2＋2＋2=＋12＋1，12≥0，∴对∀∈R，都有2＋2＋2=≥1＞0
可见¬S是真命题．。
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课时作业7全称量词命题和存在量词命题的否定知识点一命题的否定1.写出下列命题的否定．(1)13，1.414，2，π都是无理数；(2)3≥2；(3)方程x2＝－1没有实数根．解(1)13，1.414，2，π不都是无理数．(2)3<2.(3)方程x2＝－1有实数根.知识点二全称量词命题的否定2.写出下列全称量词命题的否定：(1)每一个四边形的四个顶点共圆；(2)所有自然数的平方都是正数；(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)对任意实数x，x2＋1≥0.解(1)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(2)有些自然数的平方不是正数．(3)存在实数x0不是方程5x－12＝0的根．(4)存在实数x0，使得x20＋1＜0.3．写出下列全称量词命题p的否定，并判断p的否定的真假．(1)p：∀x＞0，x＋1x≥2；(2)p：所有矩形的对角线相等；(3)p：不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根．解(1)綈p：∃x0＞0，x0＋1x0＜2.假命题．(2)綈p：有的矩形的对角线不相等．假命题．(3)綈p：存在实数m0，使x2＋x－m0＝0没有实数根．真命题.知识点三存在量词命题的否定4.写出下列存在量词命题p的否定，并判断其否定的真假．(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些自然数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形．解(1)綈p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.(假)(2)綈p：所有的自然数都不是奇数．(假)(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形．(假)5．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x，y∈Z，2x＋y＝3.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．6．(1)已知对任意的x∈[1,3]，都有m≥x，求实数m的取值范围；(2)已知存在实数x∈[1,3]，使m≥x，求实数m的取值范围．解(1)由于对任意的x∈[1,3]，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.(2)由于存在实数x∈[1,3]，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.7．已知函数y＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x0，使不等式m－x20＋2x0－5＞0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋y>0可化为m>－y，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－x20＋2x0－5>0可化为m>x20－2x0＋5，若存在一个实数x0，使不等式m>x20－2x0＋5成立，只需m>y min.又y＝(x－1)2＋4，∴y min＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．一、选择题1．已知命题p ：∀x >0，(x ＋1)e x >1，则綈p 为( )A ．∃x ≤0，(x ＋1)e x ≤1B ．∃x ＞0，(x ＋1)e x ≤1C ．∀x ＞0，(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，(x ＋1)e x ≤1答案 B解析 全称量词命题的否定是存在量词命题．因此綈p 为∃x ＞0，(x ＋1)e x ≤1.故选B.2．命题“∃x ∈∁R Q ，x 3∈Q ”的否定是( )A ．∃x ∉∁R Q ，x 3∈QB ．∃x ∈∁R Q ，x 3∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q答案 D解析 存在量词命题的否定是全称量词命题．故选D.3．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，n ＜x 2答案 D解析 根据含有量词的命题的否定，故选D.4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为( )A ．∀x ∈A,2x ∉B B ．∀x ∉A,2x ∉BC ．∃x ∉A,2x ∈BD ．∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 “任意”的否定是“存在”，则命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 的否定是綈p ：∃x ∈A,2x ∉B .故选D.5．下列四个命题中的真命题为( )A ．∃x ∈Z,1＜4x ＜3B ．∃x ∈Z,5x ＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0 答案 D解析 由1＜4x ＜3，得14＜x ＜34，这样的整数x 不存在，故A 为假命题；由5x ＋1＝0，得x ＝－15∉Z ，故B 为假命题；由x 2－1＝0，得x ＝±1，故C 为假命题；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74＞0，故选D. 6．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：能被2整除的数是偶数；綈p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；綈p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃n ∈N,2n ≤100；綈p ：∀n ∈N,2n >100.答案 C解析 C 中綈p ：所有的三角形都不是正三角形，故选C.二、填空题7．命题“∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＞3”的否定是________．答案 ∃x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3解析 “任意x ∈R ”的否定为“存在x ∈R ”，“|x －2|＋|x －4|>3”的否定为“|x －2|＋|x －4|≤3”．8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [3,8)解析 ∵p (1)是假命题，p (2)是真命题．∴⎩⎨⎧ 3－m ≤0，8－m ＞0，解得3≤m ＜8. 9．设命题p ：c 2＜c 和命题q ：对∀x ∈R ，函数y ＝x 2＋4cx ＋1的值都大于0，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是________．答案 －12＜c ≤0或12≤c ＜1解析 p ：0＜c ＜1；q ：由Δ＜0知－12＜c ＜12.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜c ＜1，c ≥12或c ≤－12，得12≤c ＜1. 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ≤0或c ≥1，－12＜c ＜12，得－12＜c ≤0.综上12≤c ＜1或－12＜c ≤0.三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解(1)綈p：∃x∈R，x2－x＋14<0，假命题．∵∀x∈R，x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，∴綈p是假命题．(2)綈q：有的正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0，∴綈r是真命题．11．已知函数y＝x2－2x＋3，x∈[0,3]，若m－y>0有解，求实数m的取值范围．解∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，x∈[0,3]．∴当x＝1时，y min＝2；当x＝3时，y max＝6，又m＞y有解，只需m＞y min，即m＞2.。
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全国名校高中数学优质课时作业（附详解）
第一章 1.4 1.4.1 1.4.2
全称量词 存在量词 课堂作业
1．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
答案：C
2．下列命题中全称命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不
相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①②是全称命题，③是特称命题．
答案：C
3．下列命题中，假命题是( )
A．∀x∈R,3x－2>0 B．∀x∈N*，(x－2)2>0
C．∃x∈R，lg x0≤2 D．∃x∈R，tan x0＝2
解析：特殊值验证x＝2时，(x－2)
2
＝0，
∴∀x∈N*，(x－2)
2
>0是假命题，故选B．
答案：B
4．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________.
解析：a
∵g(x)
min
>g(3)＝3，
∴a≤3.
答案：(－∞，3]
5．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断真假：
(1)实数的平方大于或等于0；
(2)存在一对实数(x0，y0)，使2x0－y0＋1<0成立；
全国名校高中数学优质课时作业（附详解）
(3)勾股定理．
解：(1)这是全称命题，隐藏了全称量词“所有的”．
∀x∈R，x2≥0.它是真命题．
(2)∃x
0∈R，y0∈R,2x0－y0
＋1<0.它是真命题．
如x＝0，y＝2时，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．
(3)这是全称命题，所有直角三角形都满足勾股定理：
∀Rt△ABC，a，b为直角边长，c为斜边长，a2＋b2＝c2.它是真命题．