重点班高三数学自主练习5

1 2015届高三数学自主练习（五） 一、填空题

1、命题“21,1xx”的否定为________________________． 答案 21,1xx 2、下表表示y是x的函数，则函数的值域是________.

x 0y 2 3 4 5 答案 {2,3,4,5}

3、已知六个点11(,1)Ax,12(,1)Bx,23(,1)Ax,24(,1)Bx,35(,1)Ax,36(,1)Bx (123456xxxxxx,615xx)都在函数f(x)=sin(x+3)的图象C上,如果这六个点中不同两点的连线的中点仍在曲线C上,则称此两点为“好点组”,则上述六点中好点组的个数为_________.(两点不计顺序) 【答案】11

4、2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是 原式＝2cos30°－20°－sin 20°sin 70° ＝2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70° ＝3cos 20°cos 20°＝3. 5、已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于 . 答案 322 解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4，所以 tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4

＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322. 6、一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案 16

解析 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝12a， 2

∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y＝ae－bt＝18a， e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.

7、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，且|φ|f(x)的单调递增区间是________. 答案 [kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z

解析 由函数的图象可得14T＝23π－512π，

∴T＝π，则ω＝2. 又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，

∴φ＝－π3＋2kπ，k∈Z， 取k＝0，即得f(x)＝2sin(2x－π3)， 其单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.

8、若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________. 解析 ∵f(－x)＝k－2－x1＋k·2－x＝k·2x－12x＋k， ∴f(－x)＋f(x)＝k－2x2x＋k＋k·2x－1·1＋k·2x1＋k·2x2x＋k ＝k2－122x＋11＋k·2x2x＋k. 由f(－x)＋f(x)＝0可得k2＝1，∴k＝±1. 9、已知函数sin()xfxx,下列命题正确的是____.(写出所有正确命题的序号) ①()fx是奇函数; ②对定义域内任意x,()fx<1恒成立; ③当32x 时,()fx取得极小值; ④(2)(3)ff; ⑤当x>0时,若方程|()fx|=k有且仅有两个不同的实数解,()则·cos=-sin. 【答案】②④⑤ 3

10、设函数f(x)＝sin θ3x3＋3cos θ2·x2＋tan θ，其中θ∈0，5π12，则导数f′(1)的取值范围是________. 答案 [2，2] 解析 ∵f′(x)＝sin θ·x2＋3cos θ·x，

∴f′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sinθ＋π3. ∵θ∈0，5π12，∴θ＋π3∈π3，3π4， ∴sinθ＋π3∈22，1.∴f′(1)∈[2，2]. 11、如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是________． 解析：因为l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，所以过A作l2的垂线，交l2、l3分别于点D、E，如图，则∠BAD＝∠BAC＋∠CAE，即∠

BAD＝60°＋∠CAE，记正三角形ABC的边长为a，两边取余弦得1a＝cos 60°·cos ∠CAE－sin

60°sin ∠CAE，即1a＝12×3a－32×a2－32a整理得，3a2－9＝1，解之得，a＝2213.

12、已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是________. 因为函数y＝f(x)关于y轴对称，所以函数y＝xf(x)为奇函数. 因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，且当x∈(－∞，0)时， [xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，则函数y＝xf(x)在(－∞，0)上单调递减； 因为y＝xf(x)为奇函数，所以当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减. 因为1<20.2<2,0所以0所以b>a>c.

13已知函数11,(1)()4ln,(1)xxfxxx则方程()fxax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围

是（注：e为自然

对数的底数） 4

. 14、设m∈N，若函数()21010fxxmxm存在整数零点，则m的取值集合为 ▲ ． 解 当x∈Z，且x≤10时，10mx∈Z．若m=0，则x= -5为函数f(x)的整数零点． 若m≠0，则令f(x)=0，得m=210101xx∈N．注意到-5≤x≤10，且10x∈N，得x∈{1，6，9，10}，此时m∈{3，223，14，30}．故m的取值集合为{0，3，14，30}． 二．解答题 15、设命题p：函数f(x)＝a－32x是R上的减函数，命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在[0，a]上的值域为[－1,3]，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围． 解 ∵f(x)＝a－32x是R上的减函数，

∴0∵f(x)＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域为[－1,3]， 则2≤a≤4. ∵“p且q”为假，“p或q”为真，∴p、q为一真一假． 若p真q假，得32

若p假q真，得52≤a≤4， 综上可知：a的取值范围是32，2∪52，4. 16、如图，以Ox为始边作角α与β（0） ，它们终边分别单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（53，54）. 5

（1）求tan112cos2sin的值； （2）若OP·0OQ，求)sin(. 2．（1）2518；（2）725. 【解析】 试题分析：（1）点P的坐标为（53，54），由三角函数定义得53cos，54sin，由二倍角公式，同角间基

本关系式将原式化为22cos，代入可求得原式值；（2）由OP·0OQ，知两向量夹角为090，即2，那么3sinsin()cos25，同理4cos5，将)sin(用两角和的正弦公式展开，将三角函数值代入可得. 试题解析：解：（1）由三角函数定义得53cos，54sin 2分

∴原式22cos2coscossin)cos(sincos2cossin1cos2cossin2 4分

2·（53）2=2518 6分

（2）OP·0OQ，∴2 8分 ∴2，∴3sinsin()cos25

54sin)2cos(cos 11分

∴sincoscossin)sin(

25753)53(5454 14分

考点：1.任意角的三角函数的定义；2.倍角公式；3.两角和的正弦公式；4.同角三角函数的基本关系式.

17、设向量a(cossin)，，b(cossin)，，其中0π． （1）若ab，求3ab的值； 6

（2）设向量c03，，且a + b = c，求，的值． 18、如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，1AB，2BC，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MNBC.