椭圆的定义及其标准方程
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质
椭圆是平面上一个动点到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在直角坐
标系中，椭圆的标准方程为：
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]
其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
下面我们将详细介绍椭圆的标准方
程及其性质。
首先，我们来看椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程是一个二次方程，其中x和
y的平方项系数分别为a的平方和b的平方。
通过这个方程，我们可以轻松地确定
椭圆的长短半轴，进而画出椭圆的图形。
其次，让我们来了解一下椭圆的性质。
椭圆有许多独特的性质，这些性质在数
学和实际应用中都有着重要的作用。
首先，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这个性质被称为椭圆的定义性质。
其次，椭圆的长半轴和短半轴的长度决定了椭圆的形状，长短半轴之比称为离心率，离心率越接近于零，椭圆形状越接近于圆。
另外，椭圆还有对称性，关于x轴、y轴和原点对称的性质。
除此之外，
椭圆还有着许多其他有趣的性质，如切线与法线的性质、椭圆的焦点和直径等。
总之，椭圆的标准方程及性质是数学中一个重要的概念，它不仅有着丰富的数
学内涵，而且在物理、工程等领域都有着广泛的应用。
通过学习椭圆的标准方程及性质，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，为解决实际问题提供数学工具和思路。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆的定义与标准方程
∴b = a c = 5 4 = 9
2 2 2 2 2
x y + =1 ∴ 所求的椭圆的标准方程为 25 9
2
2
两个焦点的坐标分别是（ ，－2）、（0 （2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），
3 5 并且椭圆经过点 2 , 2
椭圆的焦点在y轴上 轴上， 解：∵ 椭圆的焦点在 轴上，
2 2
(3)两个焦点分别是F 2,0)、 (2,0),且过 (3)两个焦点分别是F1(2－2,0)、F2(2,0),且过 两个焦点分别是 5 3 x2 )点 P( , )点； + y = 1
10 6
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－ (4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3). 经过点P(
y2 x2 + =1 9 4
y P F
O
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 b a y
F P x
F
x
O
F
F1 ( -c , 0 )，F2 ( c , 0 )
F1 ( 0 , - c )，F2 ( 0 , c )
F1 F1F2
a 2 = b2 + c 2
F2
F1 ( 0 , - c )，F2 ( 0 , c )
F1
F2
2.判定下列椭圆的焦点在什么轴上，写出焦点 坐标
x y + =1 25 16
x y + =1 144 169
2 2
2
2
答：在 X 轴上,（-3，0）和（3，0） 轴上 （ ， ） ， ） 轴上,（ ， ） 答：在 y 轴上 （0，-5）和（0，5） ， ）
椭圆的标准方程的再认识：
椭圆的定义及其标准方程说课稿
《椭圆的定义及其标准方程》说课稿各位评委、各位老师大家好，今天我说课的课题是《椭圆的定义及其标准方程》。
我将从以下几个方面来说明。
【教材分析】一、教材的前后联系及地位作用本节课是高中新课程人教A版数学选修1—1第二章第一单元《椭圆的定义及其标准方程》的第一课时.本节的内容是继学习圆之后运用“曲线和方程”理论解决具体二次曲线的又一实例.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础.因此，这节课有承前启后的作用，是本节乃至本章的重点.二、课标要求：“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程。
”三、教学目标基于新课标的要求，结合本节内容的地位,我提出教学目标如下:（一）知识与技能：1。
了解椭圆的实际背景,经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；2.使学生理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导过程。
（二）过程与方法:1.让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；2。
学会用运动变化的观点研究问题,提高运用坐标法解决几何问题的能力.(三）情感态度与价值观:1.通过主动探究、合作学习,感受探索的乐趣与成功的喜悦;培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神.2。
通过椭圆知识的学习,进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美;提高学生的审美情趣.四、教学重点、难点椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石;椭圆标准方程是研究几何性质的根本依据，椭圆的几何性质是通过研究它的方程展开的，因此椭圆定义和标准方程是为本节课的重点.【学生情况分析】一、在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。
椭圆及其标准方程
y y y F1
O O O
y M M
O F2
y F2 xx x
O
x F1
x
方案一
方案二
二、椭圆方程的推导
解：以直线F1F2为x轴，
y M( x , y ) x
线段F1F2的中垂线为y 轴， 建立平面直角坐标系xoy， F2 F1 0 则F1、F2 的坐标分别为 （-c,0）, (c,0). 设M (x, y) 是椭圆上任意一点， 由椭圆的定义得： | MF 1 | | MF 2 | 2a 由于 所以
1. 改变两图钉之间的距离，使其与绳长 相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
一、椭圆的定义
文字表述： • 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）点的集合叫椭圆。 （2 a） • 定点Fc）
M
符号表述： |MF1|+|MF2|=2a
(a>c)
F1
注意:椭圆定义中的关键点： （1）动点P满足| PF1 |+ | PF2 |=2a． （2） 平面内. ---这是大前提 （3）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
F2
求圆的方程的步骤有哪些？ 建系 设点 列式
化简
验证
求椭圆的方程：
1.当椭圆定义中的常数为定值时， 焦距的变化与椭圆形状的变化有何影响？
2.将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持 不变，纵坐标变为原来的一半，求所得 的曲线的方程，并说明它是什么曲线？
a 2 c 2 b2 (a b 0)
四、例题讲解
例 1： 二、椭圆的定义
是命题乙的 命题甲 : 动点P到两定点A、B的距离之和 PA PB 2a,
椭圆及其标准方程(一)
讲授新课
已知B、 是两个定点 是两个定点， 例4 已知 、C是两个定点，|BC|＝6，且 ＝ ， △ABC的周长等于 ，求顶点 的轨迹 的周长等于16，求顶点A的轨迹 的周长等于 方程. 方程
讲授新课
已知B、 是两个定点 是两个定点， 例4 已知 、C是两个定点，|BC|＝6，且 ＝ ， △ABC的周长等于 ，求顶点 的轨迹 的周长等于16，求顶点A的轨迹 的周长等于 方程. 方程 A B C
对椭圆及其标准方程的理解： 对椭圆及其标准方程的理解： 椭圆标准方程 标准方程中 哪个分母大， ⑴椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点 就在相应的哪条坐标轴上； 就在相应的哪条坐标轴上； 始终满足c 焦点在x ⑵a、b、c始终满足 2＝a2－b2，焦点在 、 、 始终满足 轴上为(－ 轴上为(0, 轴上为 －c,0)、(c,0)，在y轴上为 －c)、 、 ， 轴上为 、 (0, c)； ；
(5)3x + 4y = 2
2 2
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解： 对椭圆及其标准方程的理解：
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解： 对椭圆及其标准方程的理解： 椭圆标准方程 标准方程中 哪个分母大， ⑴椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点 就在相应的哪条坐标轴上； 就在相应的哪条坐标轴上；
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x
|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c) ＋ ＝
讲授新课
椭圆及其标准方程
第一节 椭圆1．椭圆的定义(1) 第一定义：|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+ （21,F F 为焦点，c F F 2||21=为焦距） 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．（2）第二定义：)10(,||<<=e e dPF注：第二定义中焦点与准线应对应2．椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标原点）(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx a y ，其中a ，b 满足： ．说明：（1）焦点在22,y x 分母大的对应的坐标轴上； （2）222c b a +=及c b a ,,的几何意义 （3）标准方程的统一形式：),0,0(122n m n m nymx≠>>=+适用于焦点位置未知的情形（4）参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 3．椭圆的几何性质(对12222=+by ax ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；(4)离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 椭圆的准线方程为 ．【课前预习】1．若方程11322=-+-k ykx为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是_______________2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是43，则此椭圆的标准方程是_____________3．若椭圆1222=+myx的离心率为21，则实数=m ______4．已知21,F F 为椭圆1422=+yx的左、右焦点，弦AB 过1F ，则AB F 2∆的周长为______85．已知椭圆121622yx+=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若6||2=MF ，则|ON|的长等于 .1 【例题讲解】例1：根据下列条件求椭圆方程（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3，0），求椭圆的方程； （2）中心在原点的椭圆，一条准线方程为5=y ，且它的离心率55=e ；（3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（4）中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，经过两点)2,3(),1,6(21--P P 小结：求椭圆的方法 例2：（1）椭圆1162522=+yx上一点P 到它的左焦点1F 的距离为6，则点P 到椭圆右准线的距离为_________（2）已知21,F F 是椭圆148:22=+yxC 的焦点，在C 上满足21PF PF ⊥的点P 的个数为________2小结：（3）椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，这个椭圆的方程是_________________1129,19122222=+=+yxyx（4）已知椭圆192522=+yx的焦点21,F F ，P 是椭圆上一点，9021=∠PF F ，则=∆21PF F S _______变式1： 6021=∠PF F ，则=∆21PF F S _______变式2：θ=∠21PF F ，则=∆21PF F S _______变式3：已知椭圆12222=+bya x的焦点21,F F ，椭圆上存在一点P ，使6021=∠PF F ，则离心率e 的取值范围是____________ 例3：关于离心率的运算（1）设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点B A ,，若1ABF ∆为正三角形，则椭圆的离心率为_________ （2）在平面直角坐标系中，椭圆12222=+by ax (a ＞b ＞0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .（3）在ABC ∆中，187cos ,-==B BC AB ，若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e=(4) 以椭圆12222=+by ax 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则e 的取值范围是_______________1215<<-e小结： 例4：（最值问题） （1）设P 是椭圆1162522=+yx上任意一点，F A ,分别为椭圆的左顶点和右焦点，则AFPA PF PA ⋅+⋅41的最小值为________-9变式：P 为椭圆13422=+yx上任一点，A 为右顶点，B 为下顶点则AB PA ⋅最大值为________（2）椭圆1162522=+yx内有两点)0,3(),2,2(B A P 为椭圆上一动点则||35||PB PA +的最小值为____319变式：若)0,3(-C 则||||PC PA +最大值为__________510+例5：设椭圆()22221,0x y a b ab+=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率2e =，点2F 到右准线为l 的距离为1）求,a b 的值；（2）设,M N 是l 上的两个动点，120F M F N ⋅=，证明：当M N 取最小值时，12220F F F M F N ++=。
椭圆的定义与标准方程
谢谢指导！
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得 了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
2013年12月2日凌晨，嫦娥三号月球探测器由长征 火箭发射升空，并准确送入地月转移轨道，正式开启 中国首次地外天体软着陆之旅。这是中国在深空探测 领域迈出的最新步伐。
压扁
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
((21))因因||MMFF11||++||MMFF22||==46=>||FF11FF22||==44，，故故点点MM的的轨轨迹迹不为是椭椭圆。 圆(是线段F1F2)。
(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆。
椭圆在坐标系下有什么样的方程？ y
o
x
椭圆标准方程的推导：
求椭圆的方程可分为哪几步？建立角坐标系设点坐标列等式
化简方程
所谓椭圆的标准方程，指的就是 焦点在坐标轴上，且两焦点的中点 为坐标原点得到的方程.
椭圆标准方程的推导：
取焦点F1、F2 所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立直角坐标系。
设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)， 椭圆上的点与两个定点F1，F2的距离之和为 2a(a 0) ，
2.1.1椭圆的定义与标准方程
萧山三职 楼钦
圆锥曲线的由来
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线， 并且获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平 面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的 平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭 圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时， 得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿 波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲 线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
椭圆及其标准方程
3.中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两 中心在原点，焦点在坐标轴上， 中心在原点
, ( 点 P(1 6),Q − 2,− 3)
是两个定点， 例2：已知 、C是两个定点，|BC|＝6，且 ：已知B、 是两个定点 ＝ ， ∆ABC的周长等于 ，求顶点 的轨迹方程。 的周长等于16，求顶点A的轨迹方程 的轨迹方程。 的周长等于
椭圆及其标准方程
定义： 定义：平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常 大于|F 数（大于 1F2|)的点的轨 的点的轨 迹叫做椭圆 椭圆。 迹叫做椭圆。 由 P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ ｝
y M
F1
o
F2
x
(a2－c2) x2+a2y2=a2(a2－c2) b2
x2 y2 + 2 =1 (其中a2＝c2＋b2, 其中 2 a b
Байду номын сангаас
a>b>0)
y x + 2 =1 2 a b
(其中a2＝c2＋b2,a>b>0) 其中
2
2
y F2
M
o
F1
x
练习1：求下列椭圆的焦点坐标： 练习 ：求下列椭圆的焦点坐标：
x2 y2 1. + =1 25 9
x2 y2 2. + =2 28 36
( ± 4, 0) (0, ± 4 )
2 ± ,0 4
3. 4x2+8y2=1
例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程： ：求适合下列条件的椭圆的标准方程： 1. 两个焦点的坐标分别是 －4, 0)、( 4, 0)，椭 两个焦点的坐标分别是( 、 ， 圆上一点P到焦点距离的和等于 到焦点距离的和等于10； 圆上一点 到焦点距离的和等于 ； 2. 两个焦点的坐标分别是 0，－ 、( 0，2)， 两个焦点的坐标分别是( ，－ ，－2)、 ， ， 并且椭圆经过点 − 3, 5