圆的一般方程
圆的标准方程和一般方程
圆的标准方程和一般方程圆是平面上一点到定点的距离等于定长的点的集合，是平面几何中非常重要的图形之一。
在代数几何中，我们通常会用方程来描述圆的性质和特点。
本文将介绍圆的标准方程和一般方程，帮助读者更好地理解和掌握圆的代数表达方法。
首先，让我们来看看圆的标准方程。
对于平面上的一个圆，假设圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²。
其中，（x，y）为平面上任意一点的坐标。
这个方程描述了平面上任意一点到圆心的距离平方与半径平方之间的关系，从而确定了圆的位置和形状。
接下来，我们来讨论圆的一般方程。
一般方程的形式为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
其中D、E、F为常数。
通过一般方程，我们可以得到圆的圆心和半径。
具体来说，可以通过以下步骤完成：1. 将一般方程化为标准方程的形式，即完成平方项的配方。
2. 通过比较标准方程和一般方程的系数，得到圆心的坐标（a，b）和半径的值r。
需要注意的是，一般方程中的系数D、E、F的取值会影响到圆的位置和形状，因此在使用一般方程时需要格外小心，确保计算的准确性和可靠性。
在实际问题中，我们经常需要根据已知条件来确定圆的方程。
例如，已知圆上的三点坐标，我们可以通过代数方法求解出圆的标准方程或一般方程。
这需要运用到代数方程的解法和圆的性质，是对数学知识的综合运用和实际问题的抽象化处理。
总之，圆的标准方程和一般方程是描述圆形在代数上的重要工具，它们可以帮助我们更好地理解和分析圆的性质。
在学习和工作中，我们需要熟练掌握这些方程的推导和运用，从而更好地解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解圆的代数表达方法，对圆的标准方程和一般方程有更清晰的认识。
让我们共同努力，提高数学水平，更好地应用数学知识解决实际问题。
4.1.2圆的一般方程
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
2 2 2
2 2
展开
x y 2ax 2by (a b r ) 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0)
（a）2+（b）2=r2 a=4 （1-a）2+（1-b）2=r2 解得 b=-3 （4-a）2+（2-b）2=r2 r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二： 几何方法
分别说出下列圆的圆心与半径 (1) 圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . (2) 圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0） 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
的曲线是圆呢？
思考
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2) x y 2 x 4 y 6 0 配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
圆的一般方程
练习 P124—B组 3 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程
练习 P124—B组 1
小结 1、 x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（4） x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
方程 (1)x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
4.1.2圆的一般方程
圆心 半径
定位条件 定形条件
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
பைடு நூலகம்
课堂快练
1.圆心在原点,半径是3的圆的方程. 2.圆心在(3,4),半径是 的7 圆的方程. 3.经过点P(5,1),圆心在点C(4,1)的圆的方程.
圆的标准方程和一般方程
§4-1 圆的标准方程和一般方程
1.圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆的方程可表示为,称为圆的标准方程.
2.圆的一般方程为,其中圆心是，半径长为.
圆的一般方程的特点：
① x 2
② 3.③解出另外,4.点M （1（2（31.圆22(2)(3)2x y -++=的圆心和半径分别是(）.
A ．(2,3)-，1
B ．(2,3)-，3
C ．
(2,3)-．(2,3)-2.方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是 A.114
m << B.1m >
C.14
m < D.1m <() 3.若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）.
A.30x y --=
B.230x y +-=
C.10x y +-=
D.250x y --=
4.
. 5.(1).(2).6.7.求经过8.如图12.曲线A.直线B.直线C.D.0）中心对称
3.若实数,x y 满足224240x y x y ++--=，则
（）.
3 B.1
4 C.3
D.14-
4.画出方程22
+=+所表示的图形,并求图形所围成的面积.
x y x y
5.设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4-7m2+9=0,若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.
6.已知线段AB的端点B的坐标是（6，3），端点A在圆上()22
14
++=运动，求线段
x y
AB。
圆的一般方程1
（2）没有形如 xy 的二次项．
（3）D2 + E2 - 4F > 0
圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程 理论的运用．
②式无解, 不表示任何图形
2 2
x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0
2 2
①
形 如 x y Dx Ey F 0 E 4F 0 D 的方程，
叫做圆的一般方程。
同步卫星运行轨道示意图
同步轨道
同步轨道
二元二次方程Ax2＋Bxy+Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 【问题】
圆的标准方程： （x－a）2＋（y－b）2 ＝ r 2
展开，得 x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0
任何圆的方程都可以通过展开化成形如：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
思考：
反过来，形如①的方程的曲线是不是圆？
左边配方，得
D E D E 4F x＋ ＋ y＋ ＝ 2 2 4
【小结】
（1）圆的一般方程及其特点． （2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方 程，求圆心坐标和半径． （3）用待定系数法求圆的方程．
2 2
2
2
②
Ⅰ.当 D2 + E2 － 4F > 0时，
表示以
Ⅱ.当 D2 +
E D , 2 2
为圆心，2
=
1
D2 E2 4F为半径的圆。
4.1.2圆的一般方程
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
作业：124页 A组 3、4、5、6. B组 1、2、3.
1 D 2 + E 2 - 4F （1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2 （2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的关系:
(4)要学会根据题目条件 ,恰当选择圆方程 2 2 （5）x +y -3xy+5x+2y=0 不是 形式:(怎样选择?)
本节课所用的数学方法及数学思想： 思考：圆的一般方程与圆的标准方程在应用上
一、数学方法： 有何区别？
配方法（求圆心及半径）
（ 1）
二、数学思想方法：
（21 ） 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 、转化与化归思想和分类讨论的思想
的曲线是圆呢？
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
D E ,- ） 2 2
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
（ 1）
１．根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。
（5）x +y -3xy+5x+2y=0 不是
圆的一般式方程配方
圆的一般式方程配方
(x-a)²+(y-b)²=r²
其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
下面我们来讨论如何将一般式方程配方。
一、配方圆心坐标(a,b)：
1.根据一般式方程，将右边的r²移到左边，变成(x-a)²+(y-b)²-
r²=0。
2.将(x-a)²+(y-b)²用二次整式展开得到：
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² - r² = 0。
3.通过对比整理得到：
x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0。
所以，圆的一般式方程配方的第一步就是确定圆心的坐标。
二、配方半径r：
r=√[(x0-a)²+(y0-b)²]
所以，配方半径r的第一步就是确定圆上的其中一点坐标。
三、总结：
配方圆的一般式方程的步骤包括确定圆心坐标(a,b)和半径r。
确定圆心坐标需要将一般式方程展开整理，确定圆上其中一点坐标可以通过已知条件或者其他几何知识来求解。
一旦确定了圆心坐标和半径，就可以得到圆的一般式方程。
需要注意的是，圆的一般式方程有时候也可以配方成其他形式，例如标准式方程(x-h)²+(y-k)²=r²或截距式方程(x-h)²+(y-k)²=p(x-a)²+q(y-b)²，但配方圆的一般式方程的原理和步骤基本相同。
4.1.2圆的一般方程
解析 由圆的一般方程的形式知，
a＋2＝a2，得a＝2或－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋52y＋ ＝0，
∵D2＋E2－4F＝12＋22－54× ＜0， 2
∴a＝2不符合题意.
2
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
∴过O、A、B的圆方程为:
A. .O
.B .C
x
x2 y2 8x 6y 0
将C(7，1)代入方程：72 12 8 7 61 0成立.
∴ O、A、B、 C 四点共圆，圆心(4 ， 3) ，半径5 .
圆(心x(
4D)2，
E( y)
、 3半)2径
5D2
2
.
E
2
4F
.
22
2
例1.判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1
E2 4F 2
为半径的圆；
(2) 当 D2 E2 4F 0 时，
方程只有实数解
x
D 2
、y
E 2
，方程表示一个点
(
D 2
，
E 2
)
；
(3) 当 D2 E2 4F 0 时，
方程没有实数解 ，因而它不表示任何图形 .
综上：当 D2 E2 4F 0 时，
方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示一个圆，
圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径， 而圆的一般方程和 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0比较突出了方 程形式上的特点（：1） x2 和 y2 的系数相同且不为0 ，即A=C≠0；
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第 1 页 共 12 页 4.1.2 圆的一般方程 知识点 圆的一般方程 思考1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ 答案 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆， 对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形． 思考2 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？ 答案 对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得
(x＋D2)2＋(y＋E2)2＝D2＋E2－4F4， ①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以(－D2，－E2)为圆心，12D2＋E2－4F为半径长的圆； ②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D2，y＝－E2，它表示一个点(－D2，－E2)； ③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形． 梳理 方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－D2，－E2)
D2＋E2－4F>0 表示以(－D2，－E2)为圆心，以12D2＋E2－4F为半径的圆
类型一 圆的一般方程的概念 例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径． 解 由表示圆的条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<15，
即实数m的取值范围为(－∞，15)． 第 2 页 共 12 页
圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m. 反思与感悟 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法 (1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解． 跟踪训练1 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________． (2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 答案 (1)(－2，－4) 5 (2)9π 解析 (1)由圆的一般方程的形式知， a＋2＝a2，得a＝2或－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0， ∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×52＜0， ∴a＝2不符合题意． 当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， ∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为(－k2，－1)， 由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－k2＋1＋1＝0，得k＝4， ∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为1242＋22＋16＝3， ∴该圆的面积为9π. 类型二 求圆的一般方程 例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的方程； (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 解 (1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 第 3 页 共 12 页
由题意，得 22＋22＋2D＋2E＋F＝0，52＋32＋5D＋3E＋F＝0，32＋－12＋3D－E＋F＝0， 解得 D＝－8，E＝－2，F＝12. 即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6. 引申探究 若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？
解 ∵kAB＝3－25－2＝13，AB的中点坐标为(72，52)， ∵AB的垂直平分线方程为y－52＝－3(x－72)．
联立 y＝－x，y－52＝－3x－72，得 x＝132，y＝－132， 即圆心C的坐标为(132，－132)， r＝ 132－22＋－132－22＝ 3702， ∴圆C的方程为(x－132)2＋(y＋132)2＝1852. 反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程． 解 方法一 (待定系数法) 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 第 4 页 共 12 页
将P，Q的坐标分别代入上式， 得 4D－2E＋F＋20＝0， ①D－3E－F－10＝0. ② 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③ 由已知得|y1－y2|＝43，其中y1，y2是方程③的根， ∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④ 联立①②④解得
D＝－2，E＝0，F＝－12或 D＝－10，E＝－8，F＝4.
故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 方法二 (几何法) 由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0， ∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上， 设其坐标为(a，a－1)． 又圆C的半径长 r＝|CP|＝a－42＋a＋12. ① 由已知得圆C截y轴所得的线段长为43，而圆心C到y轴的距离为|a|，
∴r2＝a2＋(432)2， 代入①整理得a2－6a＋5＝0， 解得a1＝1，a2＝5， ∴r1＝13，r2＝37. 故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37. 类型三 与圆有关的轨迹方程 例3 已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程． 解 设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为C(3,3)．
因为CM⊥AM，所以kCM·kAM＝－1， 第 5 页 共 12 页
即y－3x－3·y＋5x＋3＝－1， 即x2＋(y＋1)2＝25. 所以弦PQ的中点M的轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)． 反思与感悟 求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明． (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得P点的轨迹方程． 易错警示 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点． 跟踪训练3 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程． 解 设点M(x，y)，点P(x0，y0)，
则 x＝x02，y＝y02，∴ x0＝2x，y0＝2y. ∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上， ∴x20＋y20－8x0－6y0＋21＝0， ∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0，
即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋214＝0.
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( ) A．8π B．4π C．2π D．π 答案 C 解析 原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2， ∴半径r＝2，∴圆的面积为S＝πr2＝2π. 2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( ) A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0 C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0 第 6 页 共 12 页
答案 C 解析 圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．由
k＝2－04－3＝2，可知C正确． 3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( ) A．m≤2 B．m＜12 C．m＜2 D．m≤12 答案 B 解析 由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，
即m＜12. 4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为( ) A．－2,4,4 B．－2，－4,4 C．2，－4,4 D．2，－4，－4 答案 A
解析 由方程得圆心坐标为(－a，b2)，半径为r＝ 4a2＋b2－4c2.由已知，得－a＝2，b2＝2，4a2＋b2－4c2＝2，解得a＝－2，b＝4，c＝4.
5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．
解 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝x0＋x2，3＝y0＋y2， 于是有x0＝8－x ，y0＝6－y. ① 因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4， 即(x0＋1)2＋y20＝4， ② 把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4， 整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.