基于最优控制理论的控制系统研究
基于LQR的直线一级倒立摆最优控制系统研究
Ｒｅｅ ｒｈ ｏ ｎ ｏ ｔ ｌ ｉｅ ｒｉｖ ｒｅ ｅ ｄ ｌｍ ｏ ｔｏ ｙ ｔｍ ａ ｅ ｎ Ｌ ｓａ ｃ ｎａ ｐｉ ｎ ａ ｅｔｄ ｐ ｎ ｕｕ ｃ ｎｒ ｌ ｓｅ ｂ ｓｄ ｏ ＱＲ ｍａ ｌ ｎ ｓ
ＸＮ ｉ —ｕ Ｃ Ｅ ｉ ｏ ｇＪＡ Ｇ Ｍｉｇ ＩＧ Ｊ ｇｈ ， Ｈ Ｎ Ｑ — ｎ ，Ｉ Ｎ ｎ ｎ ｇ
力 ， 为 小 车位 置 ， 为 摆 杆 与
垂 直 向上方 向 的夹 角 ， ０为摆 杆 与垂 直 向下 方 向 的 夹 角 （ 虑 考 到摆 杆初 始位 置 为竖直 向下 ） 。
图 １ 直 线 一 级 倒 立 摆 系 统
０ ｌ
然不 稳定 的系统 ， 立 摆 系 统 通 常 用来 检 验 控 制 策 倒 略 的效果 ， 是控 制理 论研 究 中较 为理想 的实 验装 置 。 又 因其与 火箭 飞行 器及单 足 机器人 有很 大 的相 似之
维普资讯
２０ ０ ７年 第 ６期
工 业 仪 表 与 自动 化 装 置
・３ ・
基 于 ＬＱＲ 的 直 线 一 级 倒 立 摆 最 优 控 制 系 统 研 究
邢景虎 ， 陈其工 ， 江 明
（ 安徽 工程 科技 学 院 电气传 动与控 制 安徽 省 高校重 点 实验 室 ， 徽 芜湖 ２ １０ ） 安 ４ ００ 摘 要 ： 理 论和 实践 上对 直线 一级 倒立摆 作 了深 入 的研 究。 用牛 顿一 欧拉 方 法建 立 了倒 立摆 从 的数 学模 型 ， 此基 础 上 采 用 线 性 二 次 型 最 优 控 制 方 法 设 计 了倒 立摆 的 控 制 器。 通过 固高 公 司 在
现代控制理论最优控制课件
04 离散时间系统的最优控制
CHAPTER
离散时间系统的最优控制问题的描述
定义系统
离散时间系统通常由差分方程描述，包括状 态转移方程和输出方程。
确定初始状态
最优控制问题通常从一个给定的初始状态开 始，我们需要确定这个初始状态。
确定控制输入
在离散时间系统中，控制输入是离散的，我 们需要确定哪些控制输入是可行的。
工业生产领域
02 现代控制理论在工业生产领域中也得到了广泛的应用
，如过程控制、柔性制造等。
社会经济领域
03
现代控制理论在社会经济领域中也得到了广泛的应用
，如金融风险管理、能源调度等。
02 最优控制基本概念
CHAPTER
最优控制问题的描述
确定受控系统的状态和输入，以便在 给定条件下使系统的性能指标达到最 优。
LQR方法
利用LQR（线性二次调节器）设计最优控制 器。
线性二次最优控制的应用实例
经济巡航控制
在航空航天领域，通过线性二次最优控制实现燃料消 耗最小化。
电力系统控制
在电力系统中，利用线性二次最优控制实现稳定运行 和最小化损耗。
机器人控制
在机器人领域，通过线性二次最优控制实现轨迹跟踪 和避障等任务。
03
02
时变控制系统
04
非线性控制系统
如果系统的输出与输入之间存在 非线性关系，那么该系统就被称 为非线性控制系统。
这类系统的特点是系统的参数随 时间而变化。
静态控制系统
这类系统的特点是系统的输出与 输入之间没有时间上的依赖关系 。
发展历程
古典控制理论
这是最优控制理论的初级阶段，其研究的主 要对象是单输入单输出系统，主要方法是频 率分析法和根轨迹法。
最优控制理论及应用
的控制律，使被控对象按预定要求运行，并使给
定的某一性能指标达到极小值（或极大值）
2019年3月10日
2
最优控制理论与应用
二 最优控制问题 1 例子 飞船软着陆问题 宇宙飞船在月球表面着陆
时速度必须为零，即软着陆，这要靠发动机的推
力变化来完成。问题是如何选择一个推力方案，
使燃料消耗最小。
m 飞船的质量，h 高度，v 垂直速度， g 月球重力加速度常数，M 飞船自身质量 F 燃料的质量
最优控制理论与应用
最优控制理论与应用
第一章 最优控制问题的一般概念 第二章 最优控制的变分方法 第三章 极小值原理及其应用 第四章 线性二次型问题的最优控制 第五章 动态规划
2019年3月10日
1
最优控制理论与应用
第一章 最优控制问题的一般概念
一 基本概念
最优控制理论中心问题：
给定一个控制系统（
已建立的被控对象的数学模型），选择一个容许
2019年3月10日
24
最优控制理论与应用
2.2 欧拉方程
(2)有等式约束泛函极值的必要条件 定理2.4 设有如下泛函极值问题：
min J ( x( )) g( x, x, t )dt
x(t ) t0 tf
s.t.
f ( x, x, t ) 0
其中， f=0为系统运动的微分方程，g(x,x,t)及x(t)在[t 0 ,t f ] 上连续可微，t 0 及t f 给定。 x，x，f R n 已知x(t 0 ) x 0 , x(t f ) x f , x(t) n , 则极值轨线x * (t) 满足如下欧拉方程
控制约束
0 u(t ) umax
任务：满足控制约束条件下，求发动机推力的 最优变化律，使登月舱由初始出发点到达目标处 （末态），并使性能指标达到极值（燃耗量最小）
最优控制问题介绍
最优控制问题介绍最优控制问题是现代控制理论的核心内容之一，它研究的主要问题是如何在满足一定约束条件下，使得某一性能指标达到最优。
这类问题广泛存在于各个领域，如航天工程、经济管理、生态系统等。
通过对最优控制问题的研究，我们可以更加科学、合理地进行决策，实现资源的优化配置，提高系统的运行效率。
一、最优控制问题的基本概念最优控制问题通常可以描述为一个动态系统的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个控制策略，使得系统从初始状态出发，在给定的时间内，通过控制输入，使得系统的某一性能指标达到最优。
这个性能指标可以是时间最短、能量消耗最小、误差最小等。
为了解决这个问题，我们首先需要建立系统的数学模型。
这个模型应该能够准确地描述系统的动态行为，包括状态方程、输出方程以及约束条件等。
然后，我们需要定义一个性能指标函数，这个函数描述了我们希望优化的目标。
最后，我们通过求解一个优化问题，找到使得性能指标函数达到最优的控制策略。
二、最优控制问题的分类根据系统的动态特性和性能指标函数的不同，最优控制问题可以分为多种类型。
其中，最常见的包括线性二次型最优控制问题、最小时间控制问题、最小能量控制问题等。
1. 线性二次型最优控制问题：这类问题中，系统的动态特性是线性的，性能指标函数是状态变量和控制输入的二次型函数。
这类问题在实际应用中非常广泛，因为许多实际系统都可以近似为线性系统，而二次型性能指标函数可以方便地描述许多实际优化目标。
2. 最小时间控制问题：在这类问题中，我们的目标是使得系统从初始状态到达目标状态的时间最短。
这类问题通常出现在对时间要求非常严格的场合，如火箭发射、紧急制动等。
3. 最小能量控制问题：这类问题的目标是使得系统在完成指定任务的过程中消耗的能量最小。
这类问题在能源有限的系统中尤为重要，如无人机、电动汽车等。
三、最优控制问题的求解方法求解最优控制问题的方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：解析法是通过求解系统的动态方程和性能指标函数的极值条件，得到最优控制策略的解析表达式。
最优控制问题的稳定性分析
最优控制问题的稳定性分析在控制理论中，最优控制是指在给定系统和目标函数的情况下，通过选择最佳的控制策略以最小化或最大化目标函数。
而稳定性分析则是对系统的动态行为进行评估，以确定系统是否趋向于稳定状态。
因此，最优控制问题的稳定性分析是对最优控制理论与稳定性理论的结合应用。
为了进行最优控制问题的稳定性分析，我们可以采用如下的模型和方法。
模型建立：首先，需要建立最优控制问题的动力学模型和目标函数。
动力学模型可以是基于物理方程、差分方程或微分方程等。
而目标函数则是描述系统优化目标的数学表达式，可以是最小化误差、最大化效能等。
线性系统稳定性分析：在稳定性分析中，线性系统是最常见的研究对象。
我们可以通过线性化的方法，将非线性系统转化为线性系统，然后利用线性系统稳定性分析的方法来判断最优控制问题的稳定性。
常用的线性系统稳定性分析方法包括根轨迹法、频率响应法和状态空间法等。
非线性系统稳定性分析：对于非线性系统的稳定性分析，可以通过利用李雅普诺夫方法进行评估。
李雅普诺夫方法基于函数的变化率来衡量系统的稳定性。
通过构造适当的李雅普诺夫函数，可以判断系统在某种条件下是否稳定。
Lyapunov稳定性分析方法可以进一步细分为解析法和数值法两种。
解析法是通过数学推导，构造出合适的Lyapunov函数和不等式，利用解析解进行稳定性分析。
数值法则是通过数值计算，利用差分方程或微分方程的数值解进行稳定性分析。
鲁棒稳定性分析：除了对最优控制问题进行基本稳定性分析外，还需要考虑外界扰动或系统参数变化对系统稳定性的影响。
因此，鲁棒稳定性分析方法被广泛应用于最优控制问题的研究。
鲁棒稳定性分析方法可以通过系统的特性不变集、边界Lyapunov函数等进行评估。
实例分析：为了更好地理解最优控制问题的稳定性分析，我们可以通过一个具体的实例进行分析。
以经典的倒立摆问题为例，我们可以建立摆杆的动力学模型，并定义目标函数为使摆杆保持垂直的控制策略。
然后，我们可以利用线性化方法将系统转化为线性系统，并利用线性系统稳定性分析的方法来评估最优控制问题的稳定性。
最优控制理论在液压站节能上的研究与应用
Ｓ● Ｌ● Ｃ０ Ｎ ＶＡＬＬＥＹ
最优控制理论在液压站节能上的研究与应用
张 晶莹
（ 莱 芜钢铁 集 团银 山型钢 有 限公 司宽厚 板厂 ， 山东莱 芜 摘 要
Байду номын сангаас
２ ７ １ １ Ｏ ４ ）
４ ３ ０ ０ ｍ ｍ宽厚板 中液压 站按 照原始 设 计 的泵体 数量 与 实际产量 下 需要 的压 力和 流量存 在优化 的 空间 ， 根 据 最
１ 概论
宽厚 板 生 产 线 液 压 站 共 有 近 ２ Ｏ余 套 ， 总装机 容量 １ ２ １ ７ １ ｋ Ｗ ， 运 行容量 ８ ６ １ １ ｋ Ｗ 。在 “ 三待 ”期 间 ， 往往 因工 艺 需要 不停
主泵 ， 而经过观察 ， 仅 使用 １ 台 主泵 即可 满足 现 场 使 用 的压 力
液 压 站 一键 式 改造 项 目满足 现 场 设备及 人 员 的 安全 要 素。 以双 边 剪液 压 站说 明选取 主泵 数量 的设 计原则 。
一
的可达 １ ０ ｈ ， 每 小时 消耗 电能达 ８ ６ １ １ ０ ｋ Ｗ ｈ ， 如 果每 年 的 “ 三待” 时 间超 过 ３ ０ ０ ｈ ， 则 会 导致 ２ ５ ８ ３ ３ ０ ０ ｋ ｗ ｈ的 电能浪 费 。 另 外经 过 观 察 ， 液 压 站 的运 行主 泵 数 量相 对 于 当 前 的生 产 节 奏具 备被优 化 的 空间 。
要求 ， 但 是经 常 是 工 作 中的 主泵 全 部在 运 转 ， 导 致 多 余 的油 泵 在 空转 ， 使 电 能 白白浪 费 ， 由于 “ 三待 ” 的时间 ， 短至 １ ｈ ， 长
图 １恒 压 变量 泵 的压 力 流量 曲线
最优控制的现状
最优控制的研究现状李志平（湖南铁路科技职业技术学院 湖南 株洲 412000）摘 要： 根据最优控制的现状，给出最优控制的状态空间模型和性能指标；在当前的控制系统领域中，介绍几种最优控制方法；对其今后的发展方向和面临的困难提出一些看法。
关键词： 最优控制；性能指标；最优控制方法中图分类号：TF062 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2012）1120004－01最优控制理论[1]是现代控制理论的一个重要部分，这个系统，都可利用动态规划的方法来解决最优控制问题。
目前随从上个世纪50年代发展起来的理论正逐渐称为现代控制理论的着计算机的实现，用动态规划的方法来处理问题变得更加广核心。
最优控制理论的主要内容就是在一定的约束条件下，寻泛。
求出能够满足一个容许控制规律使得动态系统的性能指标达到在当前的控制系统领域中，有几种最优控制方法应用的比最优值，并使得系统从初态转移到终态时使其性能指标达到极较广泛，下面就将这些最优控制的方法和研究现状做一个简单值。
的介绍。
2.1 神经网络优化[2]1 最优控制的状态空间模型及性能指标神经网络优化方法的研究适用于判断网络的稳定性，主要为了更好的理解，考虑如下控制系统的状态空间模型是起源于Hopfield引入Lyapuov能量函数来判断的。
根据神经网络的理论，对应于系统稳定平衡点的是神经网络能量函数的极小点，这样我们就可以根据求系统的平衡点来求解能量函数的极小点。
要最终达到系统的平衡点也就是函数的极小值，就需要随着时间的变化，函数的运动轨迹是朝着能量函数减小的的地方偏。
我们可以考虑将能量函数的较小点看成是网络动力系统的稳定吸引子，这样就可以使系统达到所期望的极小。
神经网络优化算法其中 和 的函数内容是根据控制系统的类型或者要求来定的，一般为 和 连续的标量函数，是可微分的；开始时间为 和终止时间为 ， 是在这段时间内的动态系统的状态曲线。
最优控制理论的主要内容就是在一定的约束条件下，寻求出能够满足一个容许控制规律 使得动态系统的性能指标达到最优值，并使得系统状态 从初态 转移到终态 时使其性能指标达到极值。
最优控制问题的鲁棒性分析
最优控制问题的鲁棒性分析最优控制问题一直以来都是控制理论研究中的重要方向。
在实际应用中，由于存在各种不确定性因素，控制系统的鲁棒性分析变得尤为关键。
本文将就最优控制问题的鲁棒性进行分析，探讨常见的鲁棒控制设计方法，并探讨其优劣势。
1. 引言最优控制问题旨在找到满足给定性能指标的最优控制器，使得系统在约束条件下达到最佳性能。
然而，在实际应用中，控制系统通常受到各种不确定性的干扰，如参数变化、外部扰动等，这些因素可能导致控制系统性能下降甚至失效。
因此，研究最优控制问题的鲁棒性，即控制器对系统的鲁棒性能，对于实际应用具有重要意义。
2. 最优控制问题的建模最优控制问题通常可以通过数学建模进行求解。
常见的建模方法包括最小二乘法、动态规划、线性二次型控制等。
在建模过程中，需要准确地描述系统的动态特性和性能指标，以便得到准确的最优控制器设计。
3. 鲁棒控制设计方法为了提高控制系统的鲁棒性，研究人员提出了许多鲁棒控制设计方法。
常见的方法包括H∞控制、μ合成控制、鲁棒最小二乘法等。
这些方法各有特点，旨在通过优化控制器的设计，使系统对于各种不确定性因素具有较好的适应性。
3.1 H∞控制H∞控制是一种基于无穷范数的优化方法，主要用于线性系统的鲁棒性设计。
它通过优化系统的输出反馈控制器，使系统对于所有可能的不确定性因素都具有较好的鲁棒性。
H∞控制方法在理论上具有较好的性能保证，但在实际应用中往往需要较高的计算复杂度。
3.2 μ合成控制μ合成控制是一种基于复杂变量的优化方法，可以用于非线性系统的鲁棒性设计。
它通过优化控制器的频域响应特性，使系统对于不确定性因素具有较好的鲁棒性。
μ合成控制方法在非线性系统的鲁棒性设计上具有较好的适用性，但在实际应用中需要较为复杂的数学运算。
3.3 鲁棒最小二乘法鲁棒最小二乘法是一种基于统计学的优化方法，主要用于控制系统中存在参数不确定性的情况。
它通过优化系统的参数估计方法，使系统对于参数变化具有较好的鲁棒性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基于最优控制理论的控制系统研究
控制系统是现代物理学、工程学、计算机科学等领域中经常被应用到的一种理论体系，它的目的是通过调节或管理一系列输入、变量，来使某个系统处于一个期望的状态。
但是，由于任何一种物理系统都包含各种量的耗散和不确定性，使得控制系统设计中遇到大量的复杂数学问题。
然而，最优控制理论就是为解决这种复杂的控制问题而被发明的。
最优控制理论是一种数学理论，它着重于如何在某个系统中找到一种最佳的控制策略。
这个最佳策略可以是一个瞬时策略（只考虑当前时刻内的最佳方法），也可以是一个持续策略（要考虑对未来的影响）。
不过，这种最佳化过程可以被论证为一种非常复杂的问题，并且不能通过常规的优化方法来解决。
最初，最优控制理论被发明的目的是研究飞行器的控制问题，但在过去几十年中，这种理论已经在各种领域用于各种系统，如经济学、生态学、生物学、环境科学等等。
不仅如此，很多开发环境和软件都使用了最优控制理论来实现系统优化和改进。
最优控制理论的具体应用方法是通过构建一个数学模型来描述受控系统，然后设计一种控制策略，使得系统包含的优化指标能够最大化或最小化。
这个方法的难点在于如何建立合适的模型和求解优化问题，需要广泛的数学、计算机科学以及物理学等相关学科的基础知识。
如果说最优控制理论是控制系统的摇脚石，那么现代控制系统工程则是最优控制理论的实践体现。
现代控制系统工程不仅汇聚了最优控制理论的诸多先进成果，同时，将这些理论和实际工程技术相结合，开创了许多新的研究方向，推动了控制科学的快速发展。
控制系统工程在工业自动化、航空航天、机器人、能源、交通等领域中有着广泛的应用，包括惯性导航、自动驾驶、电力系统、化工反应器、智能家居等。
工业
自动化和机器人制造业的迅速发展，控制科学学科的全面发展和深入研究，以及国家经济与科技的不断发展，使得控制系统工程成为了一个备受瞩目的新兴产业。
最优控制理论的成功应用使得工程师们能够研发出更有效率、精确、智能和安全的动态控制器。
从设计的高级数学方程到可视化人机界面，现代控制系统工程的含金量已经跻身于国际领先水平。
这一切都表明，无论是从理论研究还是从实践应用的角度，最优控制理论在当代控制科学发展中都扮演着重要的角色。