平衡中的临界和极值问题

【例1】一质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

【分析】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态。此时是θ最大。

【解答】依题意，

mgsinθ=μmgcosθ

tgθ=μ

∴θ≤arctgμ

说明：tgθ=μ是一重要临界条件。其意义是：tgθ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力；tgθ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力；tgθ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；

①、将物体静止置于斜面上，如tgθ≤μ，则物体保持静止；如tgθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。

②、将物体以一初速度置于斜面上，如tg<μ，则物体减速，最后

F

静止；如tgθ=μ，则物体保持匀速运动；如tgθ>μ，

则物体做加速运动。

因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何

运动的一个条件。

练习：如图，质量为m的三角形尖劈静止于斜面上，上表面水平。今在其上表面加一竖直向下的力F。则物体：

A、保持静止；

B、向下匀速运动；

C、向下加速运动；

D、三种情况都要

可能。

【解答】A。

【例2】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为α的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动摩擦因数为μ（μ

【解析】以B为研究对象，由平衡条件得

T=m B g

再以A为研究对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用．假设A处于临界状

态，即A受最大静摩擦作用，方向如图

所示，根据平衡条件有：

N=mgcosθ

T-f m-mgsinθ=0

f m=μN

或：T+f m-mgsinθ=0

f m=μN

综上所得，B的质量取值范围是：

m（sinθ-μcosθ）≤m B≤m(sinθ+μcosθ)

说明：本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时．要在物体临界问题下，确定可能的运动趋势．

【例2】如图所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面．

【解析】以球为研究对象，如图所示。有

N1sinθ=G

N1cosθ=N2

sinθ=(R-h)/R

再以整体为研究对象得：N2=F

即F=√h(2R-h)·G/(R-h)

说明：球体刚好离开地面，有地面对球的支持力为零，但系统又平衡．

【例3】如图所示，重为G 的物体放在水平

面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=1/√

3，物体做匀速直线运动。求牵引力F 的最小值

和方向角θ。

解：物体的受力图如图。建立坐标系，有：

Fcos θ-μN=0 ①

Fsin θ+N-G=0 ②

由①、②消去N 得：

F=μG ／(cos θ+μsin θ) 令tg φ=μ，则cos θ+μsin θ=√1+μ2cos(θ-φ)

∴ F= 当θ=φ时，cos(θ-φ)取极大值1，F 有最小值。 F min = =G/2

tg φ=μ=1／√3 φ=300

∴ θ=300

点评：此例给出了求解极值问题的一种方法：函数法。此例中，F

的大小随θ的变化而变化，要求F 的极小值，就要根据题意求出F 随

θ而变的函数关系式，再利用函数的单调性，讨论F 的极值。

()

φθμμ-+cos 12G

2

1μμ+G

此例中三角函数的变换是一种常用的方法，应牢记。

【解法二】将四力平衡转化为三力平衡，用图象法

求解。 将N 与f 合成为一全反力R 。tg Φ=f/N=μ。可见，N 变化会一个起f 变、R 变，但R 的方向是不变的。 物体处于平衡状态，R 、F 、G 的合力必为0，三力构成一封闭三角形。由图法可知，当F 垂直于R 时，F 最小。

此时，θ=Φ=arctg(1/√3)=300

F min =Gsin Φ=G/2 点评：此例将四力平衡转化为三力平衡求解，这是解决多力平衡问题的一种方法。

摩擦角：tg φ=f/N=μ，φ称为摩擦角。在外部条件不变的情况下，f 与N 的合力的大小可能会发生变化，但此合力的方向不变。

练习：如图，重为G 的木块，在力F 的推动下沿水

平地面匀速滑动。若木块与地面间的动摩擦因数为μ，F 与水平方向成α角。试说明：若α超过某一个值时，不论推力F 多大，木块都不可能滑动，并求出这个角度。

【分析】F 斜向下，可分解为竖直分力F 1和水平分力F 2。F 1的作用是增大摩擦力f ，F 2使物体运动。如α较大，则F 1较大，F 2较小，增加的f 大于F 2，物体无法运动，产生“自锁”现象。只有α小于某一值时，才能推动木块。

【解】木块受力如图。

由平衡条体有：Fcos α=μ(G+Fsin α)

F=μG ／(cos α-μsin α)

其中tg φ=1/μ

∴ 当α=φ=arctg1/μ时，F →∞

三、能力训练

A 组

1．如图所示，平台重600N ，滑轮重不计，要使系统

保持静止，人重不能小于： （B ）

A ．150N

B ．200N

C ．300N

D ．600N

2、放在斜面上的物体，受到一个与斜面平行的外力作用，当这个外

力的大小分别为60N 和10N 时，物体都能保持匀速直线

运动，当这个物体在取消上述外力作用后沿斜面自静止

下滑时，则它受到摩擦力的大小可能是： （B ）

A ．35N

B ．25N

C ．10N

D ．0

3．如图所示，定滑轮光滑，货物质量为m ，滑轮离地面高度为4m ， ())sin(1sin cos cos sin 122αφμμαφαφμμ-+=-+=G

G