5 平衡中的临界问题

【专题概述】1.临界状态：物体由某种物理状态变化为另一种物理状态时，中间发生质的飞跃的转折状态，通常称之为临界状态。

2.临界问题：涉及临界状态的问题叫做临界问题。

3. 解决临界问题的基本思路（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程,找出临界状态。

（2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。

（3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题4.三类临界问题的临界条件（1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。

（2）绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零页脚内容1（3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达最大值临界现象是量变质变规律在物理学上的生动体现。

即在一定的条件下，当物质的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点常称为临界点，这种现象也就称为临界现象.如:静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度;振动中的临界脱离；碰撞中的能量临界、速度临界及位移临界；电磁感应中动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；光电效应中的极限频率；带电粒子在磁场中运动的边界临界；电路中电学量的临界转折等.解决临界问题，一般有两种方法，第一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。

【典例精讲】典例1：倾角为θ=37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ=0.5。

现给A施加一水平力F，如图所示。

设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等（sin37°=0.6，cos37°=0.8），如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是（）页脚内容2A.3B.2C.1D.0.5典例2：如图所示，物体A的质量为2 kg，两轻绳AB和AC(L AB＝2L AC)的一端连接在竖直墙上，另一端系在物体A上．现在物体A上施加一个与水平方向成60°角的拉力F，要使两绳都能伸直，试求拉力F 大小的取值范围．(g取10 m/s2)典例3：一个质量为1kg的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6N，g=10m/s2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ，正确的是（）页脚内容3A.μ=，θ=0B.μ=，tanθ=页脚内容4C.μ=，tanθ=D.μ=，tanθ=典例4：拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图).设拖把头的质量为m,拖杆质量可以忽略;拖把头页脚内容5与地板之间的动摩擦因数为常数,重力加速度为g,某同学用该拖把在水平地板上拖地时,沿拖杆方向推拖把,拖杆与竖直方向的夹角为.(1)若拖把头在地板上匀速移动,求推拖把的力的大小.(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为页脚内容6.已知存在一临界角,若,则不管沿拖杆方向的推力多大,都不可能使拖把从静止开始运动.求这一临界角的正切页脚内容7.典例5：如图所示,质量为m的物体,放在一固定斜面上,当斜面倾角为时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F的水平向右恒力,物体可沿斜面匀速向上滑行.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当斜面倾角增大并超过某一临界角页脚内容8时,不论水平恒力F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行,试求: (1)物体与斜面间的动摩擦因数;(2)这一临界角的大小.典例6 如图所示,两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上,两根长度均为l的轻绳一端系在小环上,另一端系在质量为M的木块上,两个小环之间的距离也为l,小环保持静止.页脚内容9试求:(1)小环对杆的压力;(2)小环与杆之间的动摩擦因数至少为多大?【总结提升】所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最佳结果所需满足的极值条件.求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。

页脚内容10物理方法包括（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。

数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值。

一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。

在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定,但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。

对于不确定的临界状况、可以采用假设的方法来处理运用假设法解题的基本步骤是：1．明确研究对象；2．画受力图；页脚内容113．假设可发生的临界现象；4．列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解．【专练提升】1、如图所示，木块A放在水平桌面上，木块左端用轻绳与轻质弹簧相连，弹簧的左端固定，用一轻绳跨过光滑定滑轮，一端连接木块右端，另一端连接一砝码盘(装有砝码)，轻绳和弹簧都与水平桌面平行，当砝码和砝码盘的总质量为0.5 kg时，整个装置静止，弹簧处于伸长状态，弹力大小为3 N，若轻轻取走盘中的部分砝码，使砝码和砝码盘的总质量减小到0.1 kg，取g＝10 m/s2，此时装置将会出现的情况是( )A．弹簧伸长的长度减小B．桌面对木块的摩擦力大小不变C．木块向右移动D．木块所受合力将变大2、(多选)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )A．绳OO′的张力也在一定范围内变化B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化3、质量为m＝0.8 kg的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角37°，PB沿水平方向，质量为M＝10 kg的木块与PB相连，静止于倾角为37°的斜面上，如图所示．(取g＝页脚内容1210 m/s2，sin 37°＝0.6)求：(1)轻绳PB拉力的大小；(2)木块所受斜面的摩擦力和弹力大小．4. 如下图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α＝60°，两小球的质量比为( )页脚内容13A．B．页脚内容14C．D．5.某同学设计了一个验证平行四边形定则的实验，装置如下图所示．系着小物体m1、m2的细线绕过光滑小滑轮与系着小物体m3的细线连接在O点，当系统达到平衡时绕过滑轮的两细线与竖直方向夹角分别为37°和53°，则三个小物体的质量之比m1∶m2∶m3为(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8)( )A．3∶4∶5 B．4∶3∶5C．4∶5∶3 D．3∶5∶46．有三个质量相等、半径为r的圆柱体，同置于一块光滑圆弧曲面上，为了使下面两圆柱体不致分开，页脚内容15则圆弧曲面的半径R最大是多少？平衡中的临界问题答案【典例精讲】典例1思路点拨：若物体刚好不下滑，此时静摩擦力沿斜面向上，达到最大值，根据平衡条件和摩擦力公式求出F与G的比值最小值；同理，物体刚好不上滑时求出F与G的比值最大值，得到F与G的比值范围。

【答案】A；页脚内容16页脚内容17典例2【答案】33 N ≤F ≤33N典例3【答案】B 。

【解析】拉力斜向上比较省力，设夹角为θ；此时，对物体受力分析，受拉力、重力、支持力和摩擦力，根据平衡条件，有：页脚内容18典例4【答案】（1）（2）【解析】(1)拖把头受到重力、支持力、推力和摩擦力处于平衡,设该同学沿拖杆方向用大小为F的力页脚内容19(2)若不管沿拖杆方向用多大的力不能使拖把从静止开始运动,应有页脚内容20这时(1)式仍满足.联立(1)(5)式得(6)现考察使上式成立的角的取值范围.注意到上式右边总是大于零,且当F无限大时极限为零,页脚内容21有使上式成立的角满足页脚内容22,这里是题中所定义的临界角,即当时,不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把.页脚内容23临界角的正切为典例5【答案】（1）（2）页脚内容24角页脚内容25典例6【答案】(1)(2).【解析】因为作用在M的两根轻绳长度均为l,且两个小环之间的距离也为l,两个小环的质量均为m,故两个小环对杆的压力大小相等,设每个小环对杆的压力大小为页脚内容26,【专练提升】1、【答案】B页脚内容272、【答案】BD3、【答案】(1)6 N (2)64.8 N 76.4 N【解析】(1)对点P受力分析如图所示页脚内容28根据共点力作用下物体的平衡条件得：F B－F A sin 37°＝0F A cos 37°－mg＝0联立解得：F B＝＝N ＝6 N故轻绳PB拉力的大小为6 N页脚内容29(2)对木块受力分析如图所示4、【答案】A【解析】由F N与F T水平方向合力为零可知，F N＝F T；竖直方向有2F T cos 30°＝m1g，又F T＝m2g，从而2m2g页脚内容30×＝m1g，解得＝页脚内容315、【答案】B6、【答案】(2＋1)r【解析】设下面圆柱对上面圆柱的支持力为F，圆弧曲面对下面圆柱的支持力为F N，对上面圆柱受力分析，有2F cos 30°＝mg①对整体受力分析有页脚内容322F N cos θ＝3mg②下面两圆柱恰好不分开时，对下面右侧圆柱受力分析，如图所示，页脚内容33。