泛函分析讲义

第三章赋范空间

3.1.范数的概念

“线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。

为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？

3.1.1. 向量的长度

为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。

图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向

矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,,,)n x x x x 的如下三种长度（称为“范数”）：

● 2-范数（也称为欧氏范数）

：2x =

● 1-范数：11

n k k x x ==∑；

● ∞-范数：1max k k n

x x ∞≤≤=。

图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆”图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式

下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。

我们注意到：通常将2 或3 中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的长度。由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。因此，长度是比距离更本质的概念。

3.1.2. 范数的定义

我们希望将向量范数的概念推广到（以函数空间为原型的）无限维线性空间的场合。

定义3.1.1.设X 是数域F 上的线性空间，?是定义在X 上、取值为实数的函数。如果下列条件满足：

（1）正定性：对于任意x X ∈，都有0x ≥，并且等号成立当且仅当0x =；

（2）正齐性：对于任意x X ∈，F α∈，都有x x αα=?；

（3）三角不等式：x y x y +≤+；

则称?是X 上的范数（norm ）。称赋予了范数的线性空间为赋范线性空间（normed linear space ），或者简称为赋范空间（normed space ）。

图3.1.1. 三角不等式示意图

3.1.3. 常用的范数

下面列出常用的赋范空间。

例3.1.1：设X 是数域F 上的紧度量空间，用()F C X 表示定义在X 上、在F 中取值的全体连续映射的集合。可以在()F C X 上定义如下范数：对于()F f C X ∈，

{}sup ():f f x x X =∈。

例3.1.2：对于1p ≤<∞，可以在()p L X 上定义如下范数：对于()p f L X ∈，

()1/()p p p X f f x dx =?。

例3.1.3：可以在()L X ∞上定义如下范数：对于()f L X ∞∈，

{}sup ():f ess f x x X ∞

=∈。 注释：函数的1-范数、2-范数、∞-范数分别是向量的1-范数、2-范数、∞-范数的自然推广。（为什么？）

例3.1.4：对于1p ≤<∞，可以在p l 上定义如下范数：对于1{}p k k x x l ∞

==∈，

1/1p p k p k x x ∞=??=????∑。

例3.1.5：可以在l ∞上定义如下范数：对于1

{}k k x x l ∞∞==∈，

{}sup :k x x k ∞=∈ 。

上述五种范数是泛函分析中最重要的范数，我们将其称为标准范数。 例3.1.6：设(),X ?是赋范线性空间，Y 是X 的线性子空间，Y ?是范数?在Y 上的限制，则Y ?是Y 上的范数。

上述例子表明：可以从较大的赋范线性空间出发，“从大到小”地构造许许多多较小的赋范线性空间。

例 3.1.7：设()1,X ?和()2,Y ?是同一个数域上的赋范线性空间，则在笛卡尔积

X Y ?上可以定义如下范数：对于任意(,)x y X Y ∈?，

12(,)x y x y =+， 则?是X Y ?上的范数。

上述例子表明：可以从较小的赋范线性空间出发，“从小到大”地构造无穷无尽的赋范线性空间。

范数就像灵魂一样重要：有范数的元素就有了精气神；反之，没有范数的元素就像是孤魂野鬼，完全没有实在感。

3.2.范数的基本性质

赋范线性空间具有许多独特的性质，这些性质在研究其分析性质时特别有用。

3.2.1.范数诱导度量

一方面，赋范空间是线性空间。另一方面，下列定理告诉我们：赋范空间还是度量空间。因此，赋范空间是线性空间与度量空间的合体，是为求解算子方程而生的。

定理3.2.1.设(),X ?是赋范空间，定义映射:d X X ?→ 如下：对于任意,x y X ∈，

(,)d x y x y =-，

则(,)X d 是度量空间。以下称该度量为范数诱导度量，称相应的度量空间为诱导度量空间。

下面列出常用的范数诱导度量。

例3.2.1：可以用n 维向量空间n F 上的2-范数2?诱导n F 上的如下度量：对于任

意1212(,,,),(,,,)n n n x x x x y y y y F ==∈ ，

1/2221(,)n k k k d x y f g x y =??=-=-????

∑。 例3.2.2：可以用例3.1.1中定义的范数?诱导()F C X 上的如下度量：对于任意,()F f g C X ∈，

{}(,)sup ()():d f g f g f x g x x X =-=-∈。

例3.2.3：对于1p ≤≤∞，可以用()p L X 上的范数p ?诱导()p L X 上的如下度量：

对于任意,()p f g L X ∈，

1/(,)()()p

p p X d f g f g f x g x dx ??=-=-???。 例 3.2.4：对于1p ≤≤∞，可以用p l 上的范数p ?诱导p l 上的如下度量：对于

{},{}p n n x x y y l ==∈，

1/1(,)p p k k p k d x y x y x y ∞=??=-=-????∑。

上述度量都是第二章最后一节介绍的标准度量，由此可见：范数与度量是紧密联系在一起的。

3.2.2. 极限运算律

赋范空间满足下列极限运算交换律。

定理3.2.2：设(),X ?是数域F 上的赋范空间，则下列性质成立：

（1）极限运算-代数运算交换律：设{}n x 和{}n y 是X 中的收敛序列，,F αβ∈，则

lim()lim lim n n n n n n n x y x y αβαβ→∞→∞→∞

+=+。 （2）极限运算-范数运算交换律：设{}n x 是X 中的收敛序列，则

lim lim n n n n x x →∞→∞

=。 赋范空间的上述性质使极限运算变得十分便捷。

3.2.3. 范数的等价性

我们知道，在同一个线性空间上可以赋予各种不同的范数。于是，就自然产生了如下问题：

赋范空间的分析性质是否会随着范数的改变而改变？

为了回答上述问题，我们希望将某个线性空间上的所有可能的范数划分为若干类，使得（a ）来自同一类中的两个范数对应的赋范空间的分析性质完全相同，（b ）来自不同类中的两个范数对应的赋范空间的分析性质不完全相同。为了实现这个目的，数学家给出了如下定义。

定义3.2.1.设1?和2?是线性空间X 上的两个范数。如果存在正数m 和M ，使得

所有x X ∈均满足

121m x x M x ≤≤， 则称1?与2?等价。

这个等价关系是标准的等价关系，即是同时满足自反性、对称性和传递性。按照这个等价关系，就可以将同一个线性空间上的所有范数分为若干等价类。下

列定理表明：属于同一等价类的两个范数对应的赋范空间的确具有完全相同的分析性质。

定理3.2.3.设1?和2?是线性空间X 上的两个等价范数。1d 和2d 分别表示由1?和2?诱导的度量。

（1） 设{}k x 是X 中的序列，则12d d k k x x x x ??→???→。

（2） 设{}k x 是关于1d 的Cauchy 列?{}k x 是关于2d 的Cauchy 列。

（3） 1(,)X d 完备?2(,)X d 完备。

3.2.

4. 扩张子空间

为了求得线性算子方程的通解，我们希望从它的一组解出发，通过代数运算和极限运算产生它的全部解。为此，现引入如下定义。

定义3.2.2.设X 是赋范空间，S 是X 的非空子集，则S 的扩张集Sp S 定义为由S 的

全体有限线性组合组成的集合的闭包，即是

1:,,,Sp k j j j j j S x X x x k x S F αα=??=∈=∈∈∈????

∑ 。 由此可见，Sp S 是由S 中元素通过代数运算和极限运算能够产生的最大集合。扩张集有下列重要性质。

定理3.2.4.Sp S 是X 的包含S 的、最小的闭线性子空间。

3.2.5. Riesz 引理

Riesz 引理是由匈牙利数学家Riesz （1880-1956）发现的，对揭示无限维赋范线性空间与有限维线性空间的本质区别具有重要作用。

Riesz 引理：设X 是赋范空间，Y 是X 的闭线性真子空间，01α<<。则存在x X ∈，

使得（1）1x =，（2）对于所有的y Y ∈，都有x y α->。

图3.1.3. 匈牙利数学家Riesz

3.3.有限维赋范空间

有限维线性空间是最简单的线性空间。实际上，根据定理 2.1.2，有限维线性空间的代数结构已经完全清楚了。这一节的目的是研究有限维赋范空间的分析结构。

可以将有限维线性空间视为度量空间，理由如下：设X 是n 维线性空间，{}12,,,n e e e 是X

的基，则可以定义X 上的如下范数：对于X 中任意元素

1n k k k x e λ==∑，令

1/2

21n k k x λ=??=????

∑。 这样定义的范数值将会随着基的改变而改变。然而，我们有如下惊人的结论： 定理3.3.1.同一个有限维线性空间上的所有范数均等价。

综合定理3.2.3和3.3.1可知：有限维赋范线性空间的分析性质是完全确定的，不依赖于范数的选择。因此在处理实际问题时，可以根据需要选择合适的范数。

对于有限维线性空间，我们还有如下进一步的结论：

定理3.3.2.有限维赋范空间是完备的，即是说其诱导度量空间是完备的。

综上所述，数域F 上的n 维线性空间与n F 不仅具有相同的代数结构，而且具有相同的分析性质。实际上，矩阵论的一部分内容，就是研究n F 的分析性质。

最后，我们还有

定理3.3.3.赋范空间的有限维子空间是闭集。

综上所述，有限维赋范空间的代数结构和分析结构都是十分简单的，是完全被人类所掌握。

3.4.无限维赋范空间

3.4.1. 无限维的烦恼

众所周知，“无限”比“有限”要复杂得多。因此自然可以想象：无限维赋范空间将失去有限维赋范空间的许多优美性质。实际上，我们有与定理3.3.1至定理3.3.3完全对立的下列结论。

定理3.4.1.同一个无限维线性空间上的某些范数不等价。

定理3.4.2.无限维赋范空间不一定是完备的。

定理3.4.3.赋范空间的无限维子空间不一定是闭集。

甚至对于无限维赋范空间X 而言，形如{}:1x X x ∈≤、{}:1x X x ∈=之类的集合都不再是闭集，这极大地妨碍了极限运算的实施。看来，最一般的无限维赋范空间已经超出了人类的认知能力。

3.4.2. Banach 空间

由于泛函分析的主要目的是求解算子方程，因此研究重点是完备的赋范空间。为了纪念波兰数学家Banach 在泛函分析领域的卓越贡献，后人就将这类空间称为Banach 空间。

定义3.4.1.完备的赋范空间称为Banach 空间。

图3.4.1. 泛函分析之父，波兰数学家Banach

下面的实例充分表明：常用的赋范空间都具有完备性，都是Banach 空间。 例3.4.1.有限维赋范空间是Banach 空间。

例3.4.2.设X 是紧度量空间，则()F C X 是Banach 空间。

例3.4.3.设1p ≤≤∞，则()p L X 是Banach 空间。

例3.4.4.设1p ≤≤∞，则p l 是Banach 空间。

例3.4.5.设X 是Banach 空间，Y 是X 的线性子空间，则Y 是Banach 空间?Y 是闭集。

前面提到，为了求解一般的线性算子方程，需要研究函数空间中函数项级数的收敛性。在Banach 空间上，就有如下很实用的级数收敛判别法。

定理3.4.4.设1k k x ∞=∑是Banach 空间上的级数。如果正项级数1k k x ∞=∑收敛，则1k

k x ∞

=∑亦收敛。