选修22 导数及其应用典型例题

第一章导数及其应用

1.1 变化率与导数

【知识点归纳】

1.平均变化率：

2.瞬时速度：

3.导数及导函数的概念：

4.导数的几何意义：

拓展知识：

5.平均变化率的几何意义：

6.导数与切线的关系：

【典型例题】

题型一求平均变化率：

例 1.已知函数2

()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x

??=_______.

变式训练：

1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2

s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v .

2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π=

附近的平均变化率，并比较他们的大小.

题型二实际问题中的瞬时速度

例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）

（1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t

??；（3）求质点M 在t=2时的瞬时速度.

题型三求函数的导数及导函数的值

例 3求函数1y x x

=-在1x =处的导数.

题型四曲线的切线问题

例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程.

（2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程.

（3）求曲线321()53f x x x =

-+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.

1.2 导数的计算

【知识点归纳】

1.常见函数的导数：

2.基本初等函数的导数公式：

3.导数的运算法则：

4.复合函数的导数：

【典型例题】

题型一基本初等函数导数公式运用

例1 给出下列结论： ①1(cos )sin 662ππ

'=-=-；②若21y x

=，则32y x -'=-；③若()3f x x =，则[(1)]3f ''=；

④.若y =y '= 其中正确的是_________________.

题型二导数运算法则的应用

例 2 求下列函数的导数：

（1）5312

53y x x =+；（2）lg x y x e =-；（3cos x ；（4）sin cos 22x x y x =-.

变式训练：判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正.

222

1cos 2(1cos )sin ()x x x x x x x +++'=

题型三复合函数求导的应用

例 7 求下列函数的导数.

（1）3(1cos 2)y x =+；（2）21sin

y x

变式训练：求函数2(2y x =-

题型四切线方程及应用

例4 曲线sin x y x e =+在点（0，1）处的切线方程是？

变式训练：曲线32y x x =+-在P 处的切线平行于直线41y x =-，则点P 的坐标为_________.

题型五利用导数求参数问题

例5 若曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是20x y -=，则实数a=_________

变式训练：若函数()x

e f x x

=在x=a 处的导数值为函数值互为相反数，求a 的值

题型六对数求导数的应用（选讲）

例6 求下列函数的导数

（1）(1)(2)(3)(3)y x x x x =--->；

（2）(1)(2)(3)1()212

x x x y x x +++=>-+；

题型七求导数的实际应用

1.3 导数在研究函数中的应用

1.3.1 函数的单调性与导数

【知识点归纳】

1.函数的单调性与其导数的关系：

2.利用导数求函数的单调区间：

3.导数的绝对值的大小与图像的关系（选讲）：

【典型例题】

题型一里用导数的信息确定函数大致图像

例1 已知导函数()f x '的下列信息：

当23x <<时，()0f x '<；当3x >或2x <时，()0f x '>；

当3x =或2x =时，()0f x '=；

试画出函数f （x ）图像的大致形状.

题型二判断或者证明函数的单调性

例2 试判断函数()ln f x x x =+在其定义域上的单调性.

变式训练：证明：函数ln ()x f x x

在区间（0，2）上是单调递增函数.

题型三求函数的单调性

例3 确定函数32()267f x x x =-+的单调区间.

变式训练：求函数3y x x =-的单调性.

题型四含有参数的函数的单调性

例4 已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-，讨论f （x ）的单调性.

变式训练：已知函数1()2

ax f x x +=

+在(2,)-+∞内单调递增，求实数a 的取值范围.

1.3.2 导数的极值与导数

【知识点归纳】

1.导数的极值的概念：

2.导数的极值的判断和求法：

【典型例题】

题型一求函数的极值

例1 求下列函数的极值：

（1）2

76y x x =-+；（2）2ln y x x =.

变式训练：设32

()1f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(1)2,(2)f a f b ''==-，其中常数,a b R ∈.

（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.

（2）设()()x

g x f x e -'=，求函数()g x 的极值.

题型二判断函数极值点的情况

例2 判断下列函数有无极值，若有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由.

（1）31()43f x x =+；（2）321()43

f x x x x =++；（3）23()1(2)f x x =--.

变式训练：设函数2

()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠.证明：当0ab >时，函数f （x ）没有极值点，当0ab <时,函数f （x ）有且只有一个极值点，并求出极值.

题型三导函数的图像与函数极值的关系例3 函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f ′（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有极小值点的个数为（）

A 1个 B.2个 C.3个 D.4个

题型四极值的逆向问题

例4 已知函数44

()ln (0)f x ax x bx c x =+->在x=1处取得极值-3-c ，其中a ，b 为常数.

（1）试确定a ，b 的值.

（2）讨论函数f （x ）的单调区间.

综上：

若说明函数没有极值，一般不讨论有无导数，而是在区间上只有一个单调性，没有“拐点”.

1.3.3 函数的最大小值与导数

【知识点归纳】

1.最大小值与极值的关系：

2.求最大小值的步骤：

3.开区间的最值问题：

【典型例题】

题型一利用导数求函数最值问题

例1 求函数543

()551f x x x x =+++在区间[1,4]-上的最大值和最小值.

变式训练：设函数3()(0)f x ax bx c a =++≠为奇函数，其图像在(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导数的最小值为-12.

（1）求a ，b ，c 的值.

（2）求函数f （x ）的单调递增区间，并求函数f （x ）在[-1,3]上的最大小值.

题型二含参数最值问题

例 2 设a 为常数，求函数3

()3(01)f x x ax x =-+≤≤的最大值.

变式训练：1.设3211()232

f x x x ax =-

++ （1）若f （x ）在2(,)3

+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. （2）当02a <<时,f （x ）在[1,4]上的最小值为163-，求f （x ）在该区间上的最大值.

题型三由函数的最值求参数的值

例3 设213a <<，函数323()(11)2

f x x ax b x =-+-≤≤的最大值为1，最小值为2-，求a ，b 的值.

1.4 生活中的优化问题

【知识点归纳】

利用求函数的最大小值的方法求实际应用中的最优化问题

函数的极值与端点值的比较

【典型例题】

题型一利润最大问题

例 1 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x （单位：元, 021x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.

（1）将一星期的商品销售利润表示成x 的函数

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大

变式训练：某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交m （3≤m ≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x （9≤x ≤11）元时，一年的销售量为(12-x)2万件．

（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （m ）．

题型二用料最省、费用最低问题

例2如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．（Ⅰ）求x，y的关系式，并求x的取值范围；

（Ⅱ）问x，y分别为多少时用料最省？

变式训练：

题型三面积、体积最值问题

例 3如图在二次函数2

()4f x x x =-的图像与x 轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个内接矩形的最大面积.

变式训练：请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

x y

1.5 定积分的概念

【知识点归纳】

定积分的概念：

定积分的性质：

【典型例题】

题型一利用定义计算积分

例 1利用定积分定义，计算

21(32)x dx +?

题型二求曲边梯形的面积

例 2利用定积分的定义求出直线x=1，x=2和y=0及曲线3y x =围成的图形的面积.

1.6 微积分基本定理【知识点归纳】

1.牛顿—莱布尼茨公式：

2.定积分的取值：

3.定积分的一些性质：

【典型例题】

题型一求简单函数的定积分

例1 求下列函数的定积分：

（1）

()

x dx

?；（2）2

sin xdx

?；（3

）

?；

题型二求分段函数的定积分

例2 求函数

,[0,1]

(),[1,2]

2,[2,3]

x x

f x x x

?∈

=∈

?∈

在区间[0，3]上的定积分.

变式训练：求定积分：（1）22

01x dx -?；（2）

题型三定积分的实际应用

例 3 汽车以每小时36 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车的减速度为21.8 /a m s =刹车，求从开始停车到停车，汽车的走过的距离.

变式训练：等比数列{}n a 中，36a =，前三项和3304s xdx =

?，则公比q 的值是多少？

1.7 定积分的简单应用

【知识点归纳】

1.常见的平面图形的面积求法：

2.定积分在物理公式中的应用：

【典型例题】

题型一用定积分求平面图形的面积

例 1 求曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积.

变式训练：求由抛物线22,15

x y y x =

=-所围成的图形的面积

例 2 求正弦曲线3sin ,[0,

]2y x x π=∈和直线32

x π=及x 轴所围成的平面图形的面积.

变式训练：求由曲线222,24y x x y x x =-=-所围成的图形的面积

题型二用定积分求变速直线运动的距离

例 3 有一两汽车以每小时36km 的速度形式，在B 出以22 /m s 的加速度减速停车，问从开始刹车到停车一共行驶多少的路程.

题型三用定积分解决变力作功问题

例 4 有一个长为25cm 的弹簧，若以100N 的力，则弹簧伸长到30cm ，求弹簧由25cm 伸长到40所做的功.

人教版数学选修2-2：导数及其应用测试题

《导数及其应用》一、选择题 1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线2 1y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. B. C. D. 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ?? ??12，14 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（）（A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（）（A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

新课标人教A版高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结

高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：

6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤（“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 a b dx b a -=?1 性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥?b a dx x f ①推广：1212[()()()]()()()b b b b m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±± ±=±± ±????

导数及其应用经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可导，且(2)f '=，求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二导数的几何意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二函数单调性的应用考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二求函数的单调区间及逆向应用例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组]及答案一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

(完整)高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。（1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）极值的求法与极值的性质（2）由导数求最值（3）单调区间零点驻点拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间零点驻点拐点————草图（2）草图——讨论题型二：利用导数解决恒成立的问题例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=．（1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数；（2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（3）证明：3()2 f x ≥．解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值（2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围解：讨论点x=1/e 1/e

高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc

数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()

3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数

(完整版)函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈．（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。（Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或因为0t ≠，以下分两种情况讨论：（1）若0,,2 t t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。（2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x

导数及导数应用专题练习题

高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十）一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线斜率为（） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为 ( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ． y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为0,4π?????? ，则点P 的横坐标的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--??? ? D ．1,12?????? 5. 已知23 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++ ++，则(0)f '=（）． A ．n B ．1n - C ．(1)2 n n -D ．1 (1)2n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5