选修22第一章导数及其应用测试题及答案
增城市高中数学选修《导数及其应用》检测题
(考试时间：100分钟，满分100分)
命题人：增城中学 邓城
2007.4.2
学
校：
班级： 姓名： 学号： 成绩：
一、选择题(每题 4分，共32分)
1•
满足f(x) = f (x)的函数是 ()
A f(x) = 1 — X B f(x) = X C f(x) = 0 D f(x)= 1
3
2•曲线y = 4x - x在点(一1, — 3
)处的切线方程是 ()
A y = 7x 4 B y = 7x 2 C y = x-4 D
y = x-2
f (x0 h) - f (x0 -h)
3.已知函数y= f(x)在区间(a, b)内可导，且xo€ (a, b)，贝U ljm - - =()
A f (xo) B 2f (xo) C — 2f (xo) D 0
4•函数f(x) = x3 — 3x+1在闭区间［-3, 0］
上的最大值、最小值分别是 ()
A 1 , — 1 B 3, - 17 C 1, —17 D 9, — 19
5. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若 f(x)、g(x)满足f(X)= g (x)，贝U ()
A f(x)=g(x) B f(x)— g(x)为常数函数 C f(x)=g(x)=0 D
f(x)+g(x)
为常数函数
A (— 3, 0) U (3, + 旳 B (— 3, 0) U (0, 3) C (―汽―3) U (3, + 旳 D (―汽―3)
U (0, 3)
二填空题(每题4分，共24分)
9•某物体做直线运动，其运动规律是 S=t2+| ( t的单位是秒，S的单位是米)，则它在4
秒末
8设f(x), g(x)分别是定义在 当 x <0
时，
f (x)g(x) + f(x)g (x)>0
.
且g(— 3) = 0,则不等式
f(x)g(x)<0
的解集是
6•
函数f (x)的定义域为开区间
(a,b)，导函数f 0x)在(a,b)
内的图象如图所示，则函数
R
上的奇函数和偶函数,
2
10•过点P (- 1 , 2)且与曲线 y=3x-4x+2在点M (1 , 1
)处的切线平行的直线方程是
3 2
11函数f(x) = 2x -6x m(m为常数) 在［-2,2］上有最大值3
，那么此函数在［-2,2］上
的最小值为 __________
12. 周长为20
cm
的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 ____________
13. (理)求由曲线 y=cosx， x = 0,x=2二，y = 0所围成的图形面积为 ________ .
(文)设函数f X二cos0”* V若fx・* x是奇函数，则
14
.
设函数f (x) = xm ax的导数为f/(x) = 2x-1，则数列、禺"N )的前n项和是
三•解答题(共44分)
15 (本小题满分10分)已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0,-3)
，且 在该点处
的切线与直线 2x+y=0平行.
⑴求f(x)的解析式； ⑵求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间
.
16 (本小题满分10
分)
3 2
已知f(x)=x +ax +bx+c,在x= 1与x=- 2时，都取得极值。
⑴求a, b的值；
1 1
⑵若x ［ — 3, 2］都有f(x)> 恒成立，求c的取值范围。
c 2
17(本小题满分12分)已知a
为实数，f (x) = (x2 - 4)(x - a)。
⑴求导数f仪);
⑵若f《-1) = 0 ,求f (x) 在［ — 2, 2］上的最大值和最小值；
⑶若f (x)在(―汽—2)和［2 , +刃上都是递增的，求 a的取值范围。
18(本小题满分12分)
已知函数f(x) = ln(x+1) — x.
⑴求函数f(x)的单调递减区间；
1
⑵若x -1，证明：1 In(x • 1)岂x •
x+1
解法二：令f致)=0即3x2 - 2ax - 4二0,由求根公式得
x
1,2
(治
：：X2)
附参考答案:
13. (理)4 (文)~6 14.
三、解答题：
2
15.解：⑴设 f(x)=ax +bx+c，则 f 仅)=2ax+b
.
所以 f(x)= x2-2x-3.
⑵ g(x)=f(x2)=x4 — 2X2 — 3, g 仪)=4x3— 4x=4x(x— 1)(x+1).列表:
x (-m,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1)
1
(1,+m)
f (x) 一 0 + 0 一 0 +
f(x)
/ /
由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+旳.
16. 解: a= 3 , b=— 6.由 f(x) min 一 7+ol-
l 得—X M 或 c
•」
2
2 c 2 2 2
17.
解：⑴由原式得 f (x) = x3「ax2「4x 4a, ••• f (x) = 3x2「2ax「
4.
1 1
⑵由 f ^1) = 0 得 a =，此时有
f (x) = (x2 - 4)(x ), f (x) = 3x2 - x - 4
.
小
4 4 50 9
由 f ^-1 ) = 0 得 x =或 x=-1，又
f()= , f (-1) = ,f(-2) = 0, f ⑵=0,
3 3 27 2
9 50
所以f(x)在［—2,2］上的最大值为 —,最小值为
2 27
⑶解法一 :f (x) = 3x2 -2ax -4的图象为开口向上且过点(0, — 4)的抛物线，由条件得
f C-2) _0, f ⑵ _0,
所以a的取值范围为[—
2,2].
7 0)= 2a + b 二 0, 3 = 1,
* f
(0)
=—2,即* b= -2, 解得』 b= -2,
J(0) = -3, ^c — —3. & = -3.
由题设可
得:
、选择题:
1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D
、填空题:
125
9. - 10. 2x-y+4=0
11. -37 12.
4000
~2T~
二
cm
即'豊4寰0
• — 2< a<
2.
所以 f gx) = 3x? 一 2ax -4.在-::,x1 I和 X2,亠「］上非负
.
由题意可知，当x冬2或x疑 时，f致)为，
从而 xi=
2, X2<2,
2
即」普 +12^a+6解不等式组得—2 w aw 2. a2 12 乞
6— a.
••• a的取值范围是［—2,2］.
18.
— 1 x
解：⑴函数f(x)的定义域为(-1「：)• f (x) = — 1 =— 。由f(x)<0及x>— 1 ,
x+1 x + 1
得x>0• •当x€( 0,+^)时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为(0,+^). ⑵证明：由⑴知，当
x€ (— 1, 0)时，f致)>0，当x€( 0,+^)时，f致)v 0, 因此，当 x -1 时，f (x) w
f(0)
，即
In (x 1)-x w 0.・. In (x 1)zx
.
综上可知，当x •-1时，有1 In(x・1)_x •
x+1
1
令
g(x) = In(x 1)
1
1
则
g (x)=
当 x€ ( — 1, 0)时，g (x) v0,当 x€( 0,
1
2
"
(x 1)
+ 8)时,
x
2
•
(x 1)
g (x)
>
0.
当 x —1 时，g(x) > g(0)，即
ln(x 1) 1 1
> 0,
x+1
ln( x 1) _ 1 -
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念
第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数的观点A 级基础稳固一、选择题1． y＝ x2在 x＝ 1 处的导数为 ()A． 2x B． 2 C． 2＋ x D． 1分析：由于 f(x)＝ x2，x＝ 1，因此y＝ f(1＋x)－ f (1)＝ (1＋x)2－ 1＝ 2x＋ (x)2，所以y＝(2＋x)＝ 2.x答案： B2．一物体运动知足曲线方程s＝4t2＋ 2t－ 3，且 s′(5)＝ 42(m/s)，其实质意义是 () A．物体 5 秒内共走过42 米B．物体每 5 秒钟运动42 米C．物体从开始运动到第 5 秒运动的均匀速度是42 米/秒D．物体以 t＝ 5 秒时的刹时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的行程为42 米分析：由导数的物理意义知，s′ (5)＝ 42(m/s)表示物体在t＝ 5 秒时的刹时速度．答案： D3．设函数 f (x)在点 x0邻近有定义，且有 f(x0＋x)－ f(x0 )＝ a x＋ b(x)2，(a，b 为常数 )，则 ()A． f′ (x)＝ a B． f′ (x)＝ bC． f′ (x0)＝ a D． f′ (x0)＝ b分析：由于 f′(x＝f（ x0＋x）－f（x）＝0)xa x＋ b（x）2＝(a＋ b x)＝ a，因此 f′(xx0)＝a.答案： C4．已知 y＝x＋ 4，则 y′|x1＝ ________．＝555A. 2B. 10C. 5 D．－10分析：由题意知y＝1＋x＋ 4－ 1＋ 4＝5＋x－5，y＋－5＋－5所以＝5x1＝5x＝. 所以 y′|xx x＝xx＝5x （ 5＋ x ＋5） 10.答案： B5．假如某物体做运动方程为s ＝ 2(1－ t 2)的直线运动 (s 的单位为 m ， t 的单位为 s)，那么 其在 1.2 s 末的刹时速度为 ()A ．－ 4.8 m/sB ．－ 0.88 m/sC ． 0.88 m/sD ． 4.8 m/s解 析 ： 运 动 物 体 在1.2s 末 的 瞬 时 速 度 即 为 s 在 1.2 处 的 导数 ， 所 以f （ 1.2＋ t ）－ f （ 1.2）＝t222[1－（ 1.2＋t ） ]－ 2×（ 1－ 1.2 ）＝2(－ 答案： A 二、填空题6．设函数t － 2.4)＝－ 4.8(m/s)．f(x)知足f （ 1）－ f （ 1－ x ）＝－ 1，则 f ′(1)＝ ________．x分析： f （ 1）－ f （ 1－ x ） ＝ f （ 1－ x ）－ f （ 1）＝ f ′(1)＝－ 1.x－ x答案：－ 17．函数 f(x)＝ x 2＋ 1 在 x ＝ 1 处可导，在求 f ′(1)的过程中，设自变量的增量为x ，则函数的增量y ＝ ________．分析：y ＝ f(1＋ x)－ f(1) ＝－ (1 2＋ 1)＝2 x ＋ ( x)2.答案： 2 x ＋ (x)28．某物体做匀速直线运动，其运动方程是 s ＝ vt ，则该物体在运动过程中其均匀速度与任何时辰的刹时速度的大小关系是________．s （ ＋t ）－ s （ t ）分析： v 0＝＝ s t 0＝ttv （ t 0＋ t ）－ v （ t 0）＝v tt＝ v.t答案：相等三、解答题19．利用导数的定义，求函数y ＝ x 2＋ 2 在点 x ＝ 1 处的导数． 解：由于y ＝ 1 2＋2 － 1 ＝（ x ＋ x ） x 2＋ 2－ 2x x －（x ） 2，因此y ＝－ 2x － x ，（ x ＋ x ） 2· x 2 x （ x ＋ x ） 2· x 2因此 y ′＝y ＝ － 2x － x2＝－ 23，（ x ＋2xx ） · xx因此 y ′|x ＝1＝－ 2.10．在自行车竞赛中，运动员的位移与竞赛时间t 存在关系 s(t)＝ 10t ＋ 5t 2(s 的单位是 m ，t 的单位是 s)．(1)求 t ＝ 20，t ＝ 0.1 时的s 与s ；t(2)求 t ＝ 20 时的速度．解： (1) 当 t ＝ 20， t ＝ 0.1 时，s ＝ s(20＋ t)－ s(20)＝ 10(20＋ 0.1)＋ 5(20＋ 0.1)2－ (10 ×20＋ 5× 202)＝ 1＋ 20＋ 5×0.01＝21.05.因此s 21.05 ＝ 210.5.＝ 0.1ts（ ＋ t）＋（＋ t） 2－ 10t － 5t 2(2)v ＝＝10 t 5 t ＝tt5（t ） 2＋ 10 t ＋ 10tt(5 t ＋ 10＋ 10t)＝ 10＋ 10t ，t＝因此 t ＝ 20 时的速度即为10＋ 10×20＝ 210(m/s)．B 级 能力提高1．某物体运动规律是 s ＝ t 2 － 4t ＋ 5，若此物体的刹时速度为 0，则 t ＝ ()A ．3B ．2.5C ．2D ．1分析： s ＝ (t ＋ t)2－ 4(t ＋t) ＋ 5－ ( t 2－ 4t ＋ 5)＝ 2t t ＋ ( t)2－ 4 t ，由于 v ＝st＝ 2t － 4＝ 0，因此 t ＝ 2.答案： C2．婴儿从出生到第24 个月的体重变化如下图，第二年婴儿体重的均匀变化率为________kg/ 月．分析：第二年婴儿体重的均匀变化率为14.25－ 11.25＝ 0.25(kg/月 )．24－ 12答案： 0.253．若一物体运动方程是 (s 的单位是 m ， t 的单位是 s)3t 2＋ 2（ t ≥3），s ＝29＋ 3（ t － 3） 2（ 0≤t ＜ 3） .求： (1) 物体在 t ∈内的均匀速度；(2) 物体的初速度v 0；(3) 物体在 t ＝ 1 时的刹时速度．解： (1) 由于物体在 t ∈内的时间变化量为t ＝ 5－3＝ 2，物体在 t ∈内的位移变化量为：＝ × 2＋ 2－ (3 ×32＋ 2)＝ 3×(52－ 32s 3 5 )＝ 48，因此物体在 t ∈上的均匀速度为 s 48 ＝ 24(m/s)．＝ 2t (2) 求物体的初速度 v 0 即求物体在 t ＝ 0 时的刹时速度．由于物体在 t ＝ 0 邻近的均匀变化率为s （ ＋）－ （ ） ＝＝ ftftt29＋ 3[（ 0＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 0－ 3） 2＝ 3t － 18.t因此物体在 t ＝ 0 处的刹时变化率为，s (3 t － 18)＝－ 18，t ＝即物体的初速度为－ 18 m/s.(3)物体在 t ＝ 1 时的刹时速度即为函数在 t ＝ 1 处的刹时变化率．由于物体在 t ＝ 1 邻近的均匀变化率为：s （ ＋ ）－ （ ）＝ f 1 t f 1 ＝ tt29＋ 3[（ 1＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 1－ 3） 2t － 12，＝ 3t因此物体在 t ＝ 1 处的刹时变化率为：s ＝ (3 t － 12)＝－ 12.t即物体在 t ＝ 1 时的速度为－ 12 m/s.。
高中数学(人教A版,选修22)第一章 导数及其应用 章末归纳总结+综合检测(2份)22 综合检测1
第一章综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·天津红桥区高二段测)二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，故选A.2．(2013·华池一中高二期中)曲线y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x －4 [答案] B[解析] ∵y ′＝1x 2，∴y ′|x ＝12＝4，∴k ＝4，∴切线方程为y ＋2＝4(x －12)，即y ＝4x －4.3．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3 B ．f (x )＝－cos x C ．f (x )＝sin x －x D ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1x在x ＝0没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B. 4．(2013·北师大附中高二期中)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)，∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3][答案] D[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D.5．(2013·武汉实验中学高二期末)设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] A[解析] f (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f ′(x )的图象在(－∞，0)上，f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．(2012·陕西文，9)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点[答案] D[解析] 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x )＝0可得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >2时 f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点．7．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 [答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称，∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)，∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.8．(2013·武汉实验中学高二期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数，∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2. 10．(2013·河南安阳中学高二期末)f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )[答案] A[解析] 令F (x )＝xf (x )，(x >0)，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴F (a )>f (b )，即af (a )>bf (b )，与选项不符；由于xf ′(x )＋f (x )≤0且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f (x )x ≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴f (a )>f (b )， ∴bf (a )>af (b )，结合选项知选A.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )> f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2013·华池一中高二期中)已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．[答案] 57[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.14．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (1)<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)<0，f (1)>0， ∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.15．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为______．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝⎛⎭⎫2，12. 故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ，∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)(2014·北京海淀期中)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x (x >0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0， 所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2(a ＋1)x ＋2a x ＝2(x －1)(x －a )x (x >0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2(x －1)2x ≥0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e 2e －2.20．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.21．(本题满分12分)(2014·荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中期中联考)已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1，a 为常数．(1)若a ＝92，求函数f (x )在[1，e ]上的值域；(e 为自然对数的底数，e ≈2.72)(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 在[1,2]上为单调减函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)由题意f ′(x )＝1x －a(x ＋1)2，当a ＝92时，f ′(x )＝1x －92(x ＋1)2＝(x －2)(2x －1)2x (x ＋1)2.∵x ∈[1，e ]，∴f (x )在[1,2)上为减函数，[2，e ]上为增函数，又f (2)＝ln2＋32，f (1)＝94，f (e )＝1＋92e ＋2，比较可得f (1)>f (e )，∴f (x )的值域为[ln2＋32，94]．(2)由题意得g ′(x )＝1x －a(x ＋1)2＋1≤0在x ∈[1,2]上恒成立，∴a ≥(x ＋1)2x ＋(x ＋1)2＝x 2＋3x ＋1x ＋3恒成立，设h (x )＝x 2＋3x ＋1x＋3(1≤x ≤2)，∴当1≤x ≤2时，h ′(x )＝2x ＋3－1x 2>0恒成立，∴h (x )max ＝h (2)＝272，∴a ≥272， 即实数a 的取值范围是[272，＋∞)．22．(本题满分14分)(2014·北京海淀期中)如图，已知点A (11,0)，直线x ＝t (－1<t <11)与函数y ＝x ＋1的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记△APH 的面积为f (t )．(1)求函数f (t )的解析式； (2)求函数f (t )的最大值．[解析] (1)由已知AH ＝11－t ，PH ＝t ＋1，所以△APH 的面积为f (t )＝12(11－t )t ＋1，(－1<t <11)．(2)解法1：f ′(t )＝3(3－t )4t ＋1， 由f ′(t )＝0得t ＝3，函数f (t )与f ′(t )在定义域上的情况如下表：所以当t ＝解法2.由f(t)＝12(11－t)t＋1＝12(t＋1)，－1<t<11，2(11－t)设g(t)＝(11－t)2(t＋1)，－1<t<11，则g′(t)＝－2(11－t)(t＋1)＋(11－t)2＝(t－11)(t－11＋2t＋2)＝3(t－3)(t－11)．g(t)与g′(t)在定义域上的情况见下表：所以当t＝3所以当t＝3时，函数f(t)取得最大值12g(3)＝8.一、选择题1．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析]y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5[答案] D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f′(x)＝0的实数根，∴a＝5.3．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是()A．5，－15 B．5，－4C．－4，－15 D．5，－16[答案] A[解析] ∵y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.4.⎠⎛241xd x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x ，所以 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.5．(2013·吉林白山一中高二期末)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e)>f (d )[答案] C[解析] 由图可知f ′(x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上取正值，在(c ，e)上取负值，故f (x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上单调递增，在(c ，e)上单调递减，∵a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，故选C.6．已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) [答案] B[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)， ∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()[答案] D[解析] A 中，当f (x )为二次函数时，f ′(x )为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f (x )的单调性为增、减、增，故f ′(x )的值应为正负正，因此D 一定是错误的．8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是()[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.9．如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18J B ．0.26J C ．0.12J D ．0.28J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx ，当F (x )＝1时，x ＝0.01m ，则k ＝100，∴W ＝∫0.060100x d x ＝50x 2|0.06＝0.18.10．(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.11．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.12．(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n 2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎨⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B.二、填空题13．(2014·杭州七校联考)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________．[答案] (0,1)[解析] f ′(x )＝3x 2－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值， ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.14．(2013·泰州二中高二期中)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________.[答案] 5[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是f ′(x )＝0的根，即f ′(－3)＝0， ∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.15．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是__________________． [答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n ＝n ·x n －1(1－x )－x n .f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1. 在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n . ∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)． 令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n ， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和为2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2.16．(2014·哈六中期中)已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图象，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，f (x ＋3)>0，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f (x ＋3)<0.(2) 由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1) 三、解答题17．(2013·四川达州诊断)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数．(1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )， 令f ′(x )＝0得x ＝±b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f (－b )>0，f (b )<0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．18．在曲线y ＝x 3(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴围成图形的面积为112，试求过切点A 的切线方程．[解析] 设切点A (x 0，x 30)，切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.∴切线的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 03.依题意S ＝∫x 00x 3d x －12×(x 0－2x 03)·x 3＝14x 40－16x 40＝112x 40＝112， ∵x 0≥0，∴x 0＝1.∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.19．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(23)＝3×(23)2＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表： ∵f (23)＝9527，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4， ∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.20．(2013·海淀区高二期中)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值． [解析] (1)f ′(x )＝a 2x 2－4ax ＋b ， 由题意f ′(0)＝b ＝3.(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，∴f′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.①当a＝1时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：②当a＝3时，f′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1.21．(2013·武汉实验中学高二期末)已知曲线f(x)＝ax2＋2在x＝1处的切线与直线2x－y ＋1＝0平行．(1)求f(x)的解析式；(2)求由曲线y＝f(x)与y＝3x、x＝0、x＝1、x＝2所围成的平面图形的面积．[解析](1)由已知得：f′(1)＝2，求得a＝1，∴f(x)＝x2＋2.(2)由题意知阴影部分的面积是： S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x＝(13x 3＋2x －32x 2)|10＋(32x 2－13x 3－2x )|21＝1. 22．(2013·福州文博中学高二期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)， 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)． (3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a， 即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)．。
高中数学第一章 导数及其应用测试题 A选修22 试题(共5页)
文昌中学高中数学选修2-2?第一章导数(dǎo shù)及其应用?测试题一选择题〔每一小题5分，一共60分〕1、函数，那么其单调递增区间是( )2、点P在曲线上挪动，设点P处切线的倾斜角为，那么α的取值范围是( )3、，函数在上是单调增函数，那么a的最大值是( )A. 0B. 1C. 2D. 34.函数在[0，3]上的最大值、最小值分别为( )5、设，那么( )6、设函数且为函数的极值，那么有( )C. 当0a>时，为极大值C. 当时，(0)f为极小值7、设函数，，那么在[0，1]上的最大值为( )A. 0B. 1C.D.8、曲线上一点M处的切线与垂直，那么此切线方程只能是( )9、,那么以下各命题中正确的命题是( )时，；时，时，1'()f xx=；0x<时，无意义(yìyì)时，都有1 '()f xx=D. 因为时无意义，所以对不能求导10、，那么( )A. 0B. 1C.D.11、设函数是一次函数，，那么( )12、函数在(0，1)内有极小值，那么( )二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13、 .14、函数,那么曲线()y f x=在处的切线方程为 .15、设，那么()f x单调增区间为_____________。
16、，那么_____________。
三、解答题〔每一小题10分，一共40分〕17、函数的图像经过点(0，1)，且在1x=处的切线方程是。
(1) 求()y f x=的解析式； (2) 求()y f x=的单调区间。
18、当时，求证(qiúzhèng)：。
19、，，(1) 求()f x的解析式。
(2) 求()f x的最小值，并求此时与的夹角大小。
20、函数在上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程(f āngch éng)有三个根，它们分别是。
(1)求c 的值； (2)求证：高中数学测试题〔四〕答案：一、DDDAB BDDCB BD 二、13.14.15.16.三、17.解：(1)，又在1x =处的切线方程是2y x =-，切点坐标为且，，，。
(完整版)数学选修2-2练习题及答案
目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
学高二数学苏教版选修22第1章导数及其应用本章练测Word版含解析
第1章 导数及其应用（苏教版选修2-2）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数()2π2)(x x f =的导数是 .2.函数xx x f -⋅=e)(的一个单调递增区间是 .3.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =4．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为 .5.曲线y =－2－4x +2在点（1，－3）处的切线方程是 .6.函数y =x +2cos x 在[0,上取得最大值时，x 的值为 .7．函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则= .8．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大. 9．函数f (x )的定义域为开区间（a ,b ），导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极值点的个数是 .10．已知sin (ππ)1cos xy x x=∈-+，，，当2y '=时，x = .11．对正整数n ，设曲线)1(x x y n-=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的n 12.已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，不等式恒成立. 若，，，则a 、b 、c 的大小关系 是 .13. 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，，且 g (－3)＝0，则不等式的解集是 . 14.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为 . 二、解答题（共90分）15．（14分）求下列函数的导数： (1)y =5－4；(2)y =3+x cos x ；(3)y =tan x ；(4)y =x ；第1章导数及其应用（苏教版选修2-2）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．8． 9． 10． 11． 12． 13．14．二、解答题15.16．17.18.19.20.第1章 导数及其应用（苏教版选修2-2）答案一、填空题1.x x f 2π8)(=' 解析：()∴==,π4π2)(222x x x f =⨯='x x f 2π42)(x 2π8;或()()=⋅='⋅⋅='π2π4π2π22)(x x x x f x 2π8. 2．（ 解析：∴=⋅=-.e e)(x xx x x f []2e e e 1)(x x x x x f ⋅-⋅='，()[]1,0e e 12<∴>⋅-x x x x. 或().1 ,0e .0e )1(1e e 1)(<∴>>⋅-=-⋅⋅+⋅='----x x x x f x x x x Θ ∴ 函数xx x f -⋅=e )(的单调递增区间是（.3.41解析：设切点),(00y x P .因为错误!未指定书签。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题： 利用定积分定义计算： （1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx． 解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的
选修2-2第一章导数及其应用测试题
新课改高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题（时间120分钟，分值150分）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y2、()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定3、y = ）A ．23xB ．213x C ．12- D 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭6、已知()53sin f x x x -=+，则()f x '等于（ ） A ．653cos xx --- B ．63cos x x -+ C ．653cos x x --+ D ．63cos x x --7、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( ) A.(1,0) B.(2,8) C.(2,8)和(1,4)-- D.(1,0)和(1,4)--8、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+的值等于( ) A.1 B.52 C.3 D.09、函数())0f x x =>的导数是（ ） AB C D 10．下列结论中正确的是（ ）A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值11．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能12、设()0sin f x x =，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，L ，()()1n n f x f x +'=，n ∈N ，则()2005f x =（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -二、填空题1、已知a 为实数，()()()24f x x x a =--，且()10f '-=，则a =___________． 2、函数xy x e =-上某点的切线平行于x 轴，则这点的坐标为__________． 3、在曲线323610y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程是____________．4、已知='+=)0(,cos sin )(f x x xe x f x 则__________三、解答题1、当实数a 为何值时，复数i a a a a z )23(222+-+-=（1）表示实数；(2)表示虚数；（3）表示纯虚数；（4）对应的点在第三象限；（5）对应的点在直线x y =上.1、求曲线32y x =在点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程．2．已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+在点( 1 , 0 ) 处相切, 求a , b , c 的值.x yO图1 x y O A x y O B x y O C y O Dx3．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. （Ⅰ）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（Ⅱ）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程.4、已知函数))(2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆41:22=+y x C 相切,求a 的值5、设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12.(1)求a ,b ,c 的值;(2)设2()()f x g x x=,当0x >时,求()g x 的最小值.8.已知函数11()ln()x f x x x =+-+ （1）求()f x 的单调区间；（2）求曲线()y f x =在点（1，1()f ）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有1ln ln b a b a-≥-．9.直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k 的值.。
新人教版数学选修22《导数及其应用》章节测试题
《导数及其应用》章节测试题得分一、选择题(共12小题，每题5分,共60分)1.函数y=x2cosx的数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A.y′=2xcosx－x2sinxB.′y=2xcosx+x2sinx22C.′y=xcosx－2xsinxD.y′=xcosx－xsinx2.以下中正确的选项是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A.数零的点必定是极点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】B.假如在x0邻近的左f'(x)0，右f'(x)0，那么f(x0)是极大C.假如在x0邻近的左f'(x)0，右f'(x)0，那么f(x0)是极小D.假如在x0邻近的左f'(x)0，右f'(x)0，那么f(x0)是极大3.曲y cosx(0x 3)与坐成的面是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】2A.4B.5C.3D.2b5E2RGbCAP 24.函数f(x)3x3[0,1]的最大是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】4x，x1A.1B.C.0D.-1p1EanqFDPw2假如10N的力能使簧10cm，在性限度内将簧从均衡地点拉到离均衡地点6cm，战胜力所做的功⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】C.0.26JD.0.18J DXDiTa9E3d6.出以下命：⑴若b0，f(x)>0；⑵24;⑶f(x)的原函数f(x)dx sinxdxa0a a TF(x)，且F(x)是以T周期的函数，f(x)dx f(x)dx；此中正确命的个数⋯【】0 TA.1B.2C.3D.0RTCrpUDGiT7.若函数 3 2 mx 1是R上的函数，数m的取范是⋯⋯⋯【】f(x)x x1) B.( , 1 1 1A.(, ) C.[,) D.(,]3 3 3 38. 0<a<b，且f(x)＝a b 11xx，以下大小关系式建立的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】.a bA.f(a)<f( )<f( ab)B. f()<f(b)<f(ab)5PCzVD7HxA2 2C. f(a b a b)<f(ab)jLBHrnAILg ab)<f( )<f(a) D.f(b)<f(2 29. 函数f(x)ax 2,0)内是减函数，a,b足⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】b在区(Ａ．a 0且b0 Ｂ．a 0且bR Ｃ．a 0且b0 Ｄ．a 0且bR10. f (x)与g(x)是R定在上的两个可函数，若f(x) 与g(x)足f(x) g(x)，f(x)与g(x)足⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】xHAQX74J0XＡ．f(x) g(x) Ｂ．f(x) g(x) 常数函数Ｃ．f(x) g(x) 0 Ｄ．f(x) g(x) 常数函数11.(2007江)已知二次函数f(x) 2 bxc的数 f (x) ，f(0 ) 0 ，于随意数x，有axf(x)≥0， f (1)的最小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】f (0) LDAYtRyKfEＡ． 3 Ｂ．5Ｃ．23 2Ｄ．212.(2007江西理)函数f (x)是R上以5周期的可偶函数，曲y f(x) 在x5 的切的斜率（）Ａ．1Ｂ．0 Ｃ．1Ｄ．5 5 5二、填空(共4 小，每小5 分,共20分)13．10.曲y=2x3－3x2共有____个极.14．已知f(x)一次函数，且 1 ，f (x)=_______..f (x) x 2 f(t)dt1f(1 2t) f(1)15. 若f(x) e x ，lim ___________.tt 016.已知函数f(x)3 2bx c在x2获得极，而且它的象与直y 3x3在点（1，x ax0）相切，函数f(x)的表达式__ __m 2.Zzz6ZB2Ltk三、解答题（共74分）17．（本小分10分）一物体沿直以速度v(t) 2t 3 （t 的位:秒,v 的位:米/秒）的速度作速直运，求物体从刻t=0秒至刻t=5秒运的行程?dvzfvkwMI130处的切线l18.（本小题满分12分）已知曲线y=x+x－2在点1 平行直线P4x－y－1=0，且点P0在第三象限,⑴求P的坐标;⑵若直线l l1, 且l也过切点0求直线l的方程.P,19.（本小题满分12分）已知函数 3 2 ,试判f(x)ax(a1)x 48(a2)xb的图象对于原点成中心对称断f(x)在区间4, 4上的单一性,并证明你的结论.rqyn14ZNXI120．（本小题满分14分）已知函数f(x) lnx(x0),函数g(x)af (x)(x0)f (x)⑴当⑵若x 0 时,求函数yg(x)的表达式;a 0 ,函数yg(x)在(0, )上的最小值是2,求a的值;⑶在⑵的条件下,求直线y 2 x 7 与函数y g(x)的图象所围成图形的面积.3 621．（本小题满分12分）设a≥0，f(x)x1 2 lnx2alnx(x0)．（Ⅰ）令F(x) xf (x)，议论F(x)在(0，∞)内的单一性并求极值；（Ⅱ）求证：当x 1时，恒有x 2 1．lnx2alnx22．（本小题满分14分）已知函数f(x) e x kx，x R（Ⅰ）若k e，试确立函数f(x)的单一区间；（Ⅱ）若k 0，且对于随意x R，f(x) 0恒建立，试确立实数k的取值范围；n（Ⅲ）设函数F(x) f(x) f( x)，求证：F(1)F(2)F(n)(e n12(nN)．2)。