数学压轴题解题方法及例题

考数学压轴题解题方法

解答题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等．它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性．一般地，解题设计要因题定法，无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则；简单化原则、和谐化原则等.

(一)解答综合、压轴题，要把握好以下各个环节：

1.审题：这是解题的开始，也是解题的基础.一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.

审题思考中，要把握"三性"，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性．解题实践表明：条件暗示可知并启发解题手段，结论预告并诱导解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息．这一步，不要怕慢，其实"慢"中有"快"，解题方向明确，解题手段合理得当，这是"快"的前提和保证．否则,欲速则不达.

2.寻求合理的解题思路和方法：破除模式化、力求创新是近几年中考数学试题的显著特点，解答题体现得尤为突出，因此，切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法，而应从各个不同的侧面、不同的角度，识别题目的条件和结论，认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，谨慎地确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃．

（二）题型解析

类型1 直线型几何综合题

这类题常见考查形式为推理与计算.对于推理，基本思路为分析与综合，即从需要证明的结论出发逆推，寻找使其成立的条件，同时从已知条件出发来推导一些结论，再设法将它们联系起来.对于计算，基本思路是利用几何元素（比如边、角）之间的数量关系结合方程思想来处理.

例1（2007·四川内江）如图1，在中，，，，动点（与点A、C不重合）在边上，交于点．

（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长；

（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长；

（3）试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长．

分析：（1）中面积相等可以转化为" 与△ACB的面积比为1：2"，因为△ECF ∽△ACB，从而要求长，只要借助于相似比与面积比的关系即可得解.因为相似三角形对应边成比例，从而第(2)题可利用比例线段来找线段间关系，再根据周长相等来建立方程.第（3）题中假设存在符合条件的三角形，根据相似三角形中对应边成比例可建立方程.

解：（1）因为△ECF的面积与四边形EABF的面积相等,所以S△ECF:S△ACB ＝1:2，又因为EF∥AB，所以△ECF∽△ACB.所以 . 因为CA＝4，所以CE ＝ .

（2）设CE的长为x，因为△ECF∽△ACB，所以 . 所以CF= . 根据周长相等可得： .解得 .

（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：

①如图2，假设∠PEF＝90°，EP＝EF.由AB＝5，BC＝3，AC＝4，得∠C＝90°，

所以Rt△ACB斜边AB上高CD＝ .设EP＝EF＝x，由△ECF∽△ACB，得

，即 .解得，即EF＝ .

当∠EFP＝90°，EF＝FP时，同理可得EF＝ .

②如图3，假设∠EPF＝90°，PE＝PF时，点P到EF的距离为 .

设EF＝x，由△ECF∽△ACB，得

，即 .解得，即EF＝ .

综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF＝或EF ＝ .

特别提示：因为等腰直角三角形中哪条边为斜边没有指明，所以需要就可能的情形进行讨论.

跟踪练习1 （2007·山东烟台）如图4，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E 是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE 的中点．

(1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．

(2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

参考答案：1、（1）四边形EGFH是平行四边形.只要说明GF//EH，GF = EH 即可.

（2）点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形.利用全等可得BE=CE，从而得EG = EH.

根据EGFH是正方形，可得EG =EH ，∠BEC = 90°.因为G、H分别是BE、CE的中点，所以EB = EC.

因为F是BC的中点，

类型2 .圆的综合题

常见形式为推理与计算综合，解答的基本思路仍然是分析-综合，需要注意的是，因为综合性比较强，解答后面问题时往往需要充分利用前面的结论，这样才会简便.

例2（2007·广东茂名）如图5，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧的中点，AC交BD于点E，AE＝2，EC＝1．

（1）求证：∽ .

（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明

并求出它的面积；若不是，请说明理由．

（3）延长AB到H，使BH ＝OB．求证：CH是⊙O的切线．

分析：（1）只要证即可，（2）要判断是梯形，只要说明DC∥AB即可，注意到已知条件中数量关系较多，考虑从边相等的角度来说明：先求DC，再说明OBCD是菱形（3）要证明"CH是⊙O的切线"，只要证明∠OCH= 即可.

解：（1）因为C是劣弧的中点，所以．因为∠DCE=∠ACD，

所以∽．

（2）四边形ABCD是梯形.

证明：连接，由⑴得 .因为，所以．由已知 .因为是⊙O的直径，所以，所以．所以 . 所以 .所以四边形OBCD是菱形．所以，所以四边形ABCD 是梯形．

过C作CF垂直AB于点F，连接OC，则，所以．

所以CF=BC×sin60 =1.5.

所以．

（3）证明：连接OC交BD于点G，由（2）得四边形OBCD是菱形，

所以且．又已知OB＝BH，所以BH平行且等于CD.所以四边形BHCD是平行四边形.所以．所以 .所以CH是⊙O的切线．

特别提示：在推理时，有时可能需要借助于计算来帮助证明，比如本题中证明DC∥AB.

跟踪练习2.

（2007四川绵阳）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC = 60 ，

P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，

过点C的切线CD交PQ于D，连结OC．

（1）求证：△CDQ是等腰三角形；

（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．

参考答案：2（1）由已知得∠ACB = 90 ，∠ABC = 30 ，∴∠Q = 30 ，∠BCO = ∠ABC = 30 ．

∵CD是⊙O的切线，CO是半径，∴CD⊥CO，∴∠DCQ =30 ，∴∠DCQ =∠Q，

故△CDQ是等腰三角形．

（2）设⊙O的半径为1，则AB = 2，OC = 1，AC = AB∕2 = 1，BC = ．

∵△CDQ≌△COB，∴CQ = BC = ．于是AQ = AC + CQ = 1 + ，

进而AP = AQ∕2 =（1 + ）∕2，∴BP = AB－AP =（3－）∕2，

PO = AP－AO =（－1）∕2，∴BP:PO = ．

类型3. 含统计（或概率）的代数（或几何）综合题

这类题通常为知识串联型试题，因此只要逐个击破即可.

例3．（2007·江西）在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：

①②③④

小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：

（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定是等腰三角形吗？说说你的理由；

（2）请你用树形图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使不能构成等腰三角形的概率．

分析：（1）只要说明BE=CE即可，从而考虑证明 .（2）如果不一定成立，那么未必是等腰三角形.再根据概率定义即可得解.

解：（1）能．理由：由，，

，

得． .

是等腰三角形．

（2）树形图：

所有可能出现的结果（①②）（①③）（①④）（②①）（②③）（②④）（③①）（③②）（③④）（④①）（④②）（④③）.

抽取的两张纸片上的等式有12种等可能性结果，其中不能构成等腰三角形的有4种（（①③），（③①），（②④），（④②）），所以使不能构成等腰三角形的概率为．

特别提示：不能得到" "有两种情形，一是"边边角"不能得全等，二是只能得到相似.

跟踪练习3.（2007 辽宁沈阳）．如图所给的A、B、C三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A、B、C三个几何体的主视图分别是A1、B1、C1；左视图分别是A2、B2、C2；俯视图分别是A3、B3、C3．

（1）请你分别写出A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3图形的名称；

（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A1、A2、A3的三张卡片放在甲口袋中，画有B1、B2、B3的三张卡片放在

乙口袋中，画有C1、C2、C3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．

①通过补全下面的树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；

②小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？

解：（1）A B C

（2）①树状图：

参考答案：3（1）由已知可得A1、A2是矩形，A3是圆；B1、B2、B3都是矩形；

C1是三角形，C2、C3是矩形．

（2）①补全树状图如下：

由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是1227＝49

②游戏对双方不公平．由①可知，P（小刚获胜）＝49。三张卡片上的图形名称完全不同的概率是19，即P（小亮获胜）＝19，这个游戏对双方不公平．

类型4. 图形中的函数(方程）

这类题通常需要利用方程与函数的思想来处理，具体的说，往往通过线段成比例或者面积公式等来建立关系式，再通过解方程或者利用函数性质来得到解决.

例4．（2007·山西临汾）如图，已知正方形与正方形的边长分别是和，它们的中心都在直线上，，在直线上，与相交于点，，当正方形沿直线以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形也绕以每秒顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．

（1）在开始运动前，；

（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时

运动3秒时，正方形停止旋转，这时

，；

（3）当正方形停止旋转后，正方形继续向左平移的时间为秒，两正方形重叠部分的面积为，求与之间的函数表达式．

分析:（1）, ,所以（2）运动3秒时，,此时A点落在上，所以AE= =0,（3）重叠部分是正方形，只要用x表示出其边长即可，注意到不同情况下，边长的表示不一样，从而需要讨论.

解：（1）9．（2）0，6．

（3）当正方形停止运动后，正方形继续向左平移时，与正方形重叠部分的形状也是正方形．重叠部分的面积与之间的函数关系应分四种情况：

①如图1，当时，，与之间的函数关系式为．

②如图2，当4≤x≤8时，与之间的函数关系式为y=8．

③如图3，当8

④当时，与之间的函数关系式为．

特别提示：（1）本题也是变换型试题，计算与证明时要抓住变换中不变的元素（比如角相等，边相等，图形全等，等）来进行处理，如果直角比较多，还可从相似、三角函数、勾股定理角度来建立数量关系.（2）对于图形变化中分段函数的问题，可以从图形特征角度来分别讨论，以力求解答完备.

跟踪练习4（2007·河北）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；

（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使P Q∥DC？

（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运

动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

参考答案：

4：（1）t =35（秒）时，点P到达终点C．BQ的长为135－105=30．

（2）若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t，得50＋75－5t=3t，

解得t= ．当t= 时，有PQ∥DC．

（3）①当点E在CD上运动时S=S⊿QCE = QE·QC=6t2；

②当点E在DA上运动时，S= S梯形QCDE = (ED＋QC)DH = =120 t－600．

（4）△PQE能成为直角三角形．当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t

≠ 或t=35．

跟踪练习5（2007江苏扬州）如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．

（1）若厘米，秒，则______厘米；

（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：5、（1），（2），使，相似比为

（3）△AMP∽△ABN可得PM= ，，化简,得，3＜a≤6.

（4）梯形的面积与梯形的面积相等即可，，把代入，解得（舍负值）．

类型5. 抛物线中的图形

一般而言，这类题多为压轴题，解答基本思路仍然为分析与综合.除了需要灵活运用代数与几何核心知识外，还要注意应用分类、数形结合、转化等基本数学思想方法.

例5 （2007·河南）如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）利用待定系数法可以求出抛物线解析式，（2）利用平行四边形OEAF 的面积公式来建立函数关系式.①判断OEAF是否为菱形，关键是看能否由已知

条件得到邻边相等，即需要将面积关系转化为线段关系，②假设存在符合条件的E，考虑先满足条件"使得OEAF为正方形"，再看能否满足另外条件"在抛物线上".

解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．把A、B两点坐标代入上式，得故抛物线解析式为，顶点为

（2）因为点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，

所以y<0，即－y>0,－y表示点E到OA的距离．因为OA是的对角线，

所以 .

因为抛物线与x轴焦点的横坐标分别为：x1=1，x2=6.又点E在第四象限，点E的纵坐标小于0，所以点E的横坐标1

．的取值范围是1＜＜6．

①根据题意，当S = 24时，即．解得故所求的点E

有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．点E1（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形．

②当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．

而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形．

特别提示：需要同时满足几个条件时，不妨先满足其中部分，再看是否满足其它条件.

跟踪练习6（2007辽宁沈阳）．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点

（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，

连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

参考答案：

6、（1）点B（2，0），点C（0，8），点A（－6，0），（2）抛物线的表达式为y＝－23x2－83x＋8，（3）由EFAC＝BEAB，因为AC= =10，BE=8-m，AB=8.所以EF＝40－5m4.

作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB= .所以在Rt△EGF中，FG ＝EF·sin∠FEG=45·40－5m4=8-m，所以S＝= - =－12m2＋4m，m的取值范围是0＜m＜8

（4）存在．因为S＝－12m2＋4m，又a= <0，当m= = =4时，=8.因为m=4，所以点E的坐标为（－2，0），

△BCE为等腰三角形．

1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想。

纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，点的位置转化为坐标问题，“三十六技：点在图像上，点的坐标满足方程”；另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答，把坐标的问题转化为线段的关系，利用“直角坐标系中求线段的长度，不管三七二十一先考虑三角形相似再说80%”，“几何中求线段的长度，不管三七二十一先构造直角三角形再说80%” 的方法解决问题。

2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数建模、求解方程思想。

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。“方案选择与最值问题，不管三七二十一先建立目标函数再说100%”、“二次函数极值问题，不管三七二十一先考虑化成顶点式作图再说100%”。

在解答一次函数与二次函数图像问题的综合题时，应结合图像的特点、函数的性质，牢记参数a\k的几何意义，“三十六技：k在一元一次函数中的作用”、“a在一元二次函数中的作用”、“二次函数图形对称”。

3、利用条件或结论的多变性，运用逻辑划分的思想。

纵观近几年的逻辑划分（即分类讨论）思想解题已成为重点，每年肯定要考。原因在于逻辑划分思想可考查学生数学思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考核。请同学们牢记“三十六技：分类讨论不重复，不遗漏”、“不增根，不漏解”，“特别的点，特别的爱”，避免不注意对各种情况分类讨论，造成错解或漏解不必要的失分。

4、综合多个知识点，运用等价转换的思想

任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。

5、抓住定义法，运用归纳猜想的思想

新课标中，还有一类新题型，就是材料阅读理解题与规律探究开放问题。这类题型主要考查学生获取新知识，学以致用的能力，形象的讲就是“糖炒栗子，现炒现卖”。阅读材料理解题，关键读懂材料本身想说明的知识点，这类知识点或是教材的拓展，或是高中数学的简单知识点，这种题型有一定的难度。解决这类题“不管三七二十一先抓住定义法再说”，“三十六技：阅读理解题，以瓢画葫芦”。规律探究开放问题是中考必考的一种题型，它融合了考查学生发散思维、数学研究能力。鉴于但此类题目相对难度比较大，故在命题中运用“低起点高落点”的命题原则，让学生容易上手，故中考题目得分率还是比较高，但考生一定要做到“三十六技：观点开放题，有根有据、合情合理”，以免不必要的丢分。