华工高数答案
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第十一章 无穷级数
作业29 常数项级数的概念和性质
1．按定义判断下列级数的敛散性，若收敛，并求其和： （1）
∑∞
=+-1
)13)(23(1
n n n ； 解：因为
1111(32)(31)33231n n n n ??=- ?-+-+??
所以111111133231331n n k S k k n =????
=-=- ? ?-++????
∑
1111111lim lim lim 1332
313313n n n n n k S k k n →∞→∞→∞=???
?=-=-= ? ?-++????∑ 因此由定义可知该级数收敛 （2）
∑
∞
=++1
11n n
n ；
==
所以
1
1n
n k S ==
=∑
)
lim lim
1n n n S →∞
→∞
==∞，因此由定义可知该级数发散
（3）
()
∑∞
=-??
?
??-1
1
1091n n
n ； 解：因为()111999,1101010
n
n n n u u u ---??
==-= ???
所以()119199991011910101910110
n
n n n n n k S -=??
-- ?????????=-=
?=--?? ? ?-????????-∑ 999
lim lim 1191019
n
n n n S →∞→∞????
=--=?? ???
????，因此由定义可知该级数收敛
（4）
1
πsin
6
n n ∞
=∑；
解：因为123456π11sin
,,,1,,0,62222
n n a a a a a a a =======
78910111211
,1,,02222
a a a a a a =-=-=-=-=-=，依次重复
所以66110,2n n S S ===
，6611
lim 0,lim 2n n n n S S =→∞→∞==，lim n n S →∞
不存在
因此由定义可知该级数发散
2．利用基本性质判别下列级数的敛散性： （1）
Λ++++12
1
916131； 解：观察发现该级数为113n n ∞
=∑，是发散的调和级数11n n
∞
=∑每项乘以1
3得到的，
由级数的基本性质，该级数发散 （2）ΛΛ+??? ??+++??? ??++???
??+n n 312
1
3121312122；
解：观察发现该级数为11123n n n ∞
=??
+ ???∑，是收敛的两个等比级数112
n n ∞=∑，113n n ∞
=∑逐项
相加得到的，
由级数的基本性质，该级数收敛 （3）
ΛΛ+++++++n n 1012
12014110121； 解：观察发现该级数为11
1210n n n ∞
=??+ ???∑，是收敛的等比级数112
n
n ∞=∑与发散的1110n n ∞
=∑逐项相加得到的，
由级数的基本性质，该级数发散 （4）
Λ++++433
1313131．
解：观察发现该级数一般项为n u =
，但lim 10n n n u →∞==> 由级数收敛的必要条件，该级数发散
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作业30 正项级数及其收敛性
1．用比较判别法（或定理2的推论）判定下列级数的敛散性：
（1）()∑∞
=-+1
212n n
n
； 解：由于()213
022n
n n n
u +-<=≤，而132
n n ∞
=∑是收敛的等比级数 从而由比较判别法，该级数收敛 （2）
1
π2sin
3n n
n ∞
=∑． 解：由于π
2sin
π302sin ,lim 132π3n n n n n n n u →∞<==??
???
，而12π3n n ∞=?? ???∑是收敛的等比级数 从而由比较判别法的极限形式，该级数收敛 2．用达朗贝尔判别法判定下列级数的敛散性： （1）
∑
∞
=+1
21
2n n
n ； 解：由于()1
1211
21120,lim lim 12122
2
n n n n n n n n n u n u n u ρ++→∞→∞+++<====<+， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛
（2）∑∞
=1!
2n n n n
n ；
解：由于1112!2(1)!2
0,lim lim 1(1)2!n n n n n n n n n n n
u n n n u n u n n e ρ+++→∞→∞+<===?=<+， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 （3）
1
1
π
tan
2
n n n ∞
+=∑； 解：由于2111π
tan
ππ120tan ,lim
lim tan 122(1)2n n n n n n n n
u u n n u n ρ++++→∞→∞<===?=<+， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛
（4）
()∑∞
=-1
!!12!
n n n ．
解：由于()()()121!!!(1)!1
0,lim lim 121!!21!!!2n n n n n
n u n n u n u n n ρ+→∞→∞-+<=
==?=<-+，
从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛
3．用柯西判别法判定下列级数的敛散性：
（1）∑∞
=???
?
?-1413n n
n n ；
解：由于3130,144n
n n n n u n ρ-??<====< ???， 从而由柯西判别法，该级数收敛
（2）∑∞=??? ??+1
312
n n n n n ．
解：由于2
10,133
n
n n n n n n e
n u ρ+??
???<=
===
<， 从而由柯西判别法，该级数收敛
4．用-p 判别法判定下列级数的敛散性： （1）
∑∞
=++1
2
11
n n n ； 解：由于222
11
1110,lim lim 11111n n n n n n n u n n n
→∞→∞++++<==?=++，而11n n ∞=∑为1p =的发散的p -级数，从而由-p 判别法，该级数发散
（2）
()∑
∞
=++1
4
51
1ln n n n ．
解：由于()()()98
55194
4
8
8
ln 1ln 1ln 10,lim
lim
01
1
n n x n n x u n n n x x
→∞
→+∞
-+++<=
?==+++，而91
8
1n n
∞
=∑
为
9
18
p =
>的发散的p -级数，从而由-p 判别法，该级数发散 5．设k 为正整数，证明： （1）0)!
2(lim
=+∞→k k k
k ；
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解：对1
(2)!n
n n n ∞
=∑来说，
由于1111(1)(2)!0,lim lim lim 01(2)!(22)!2(21)
n
n n n n n n n n n u n n n n u n u n n n ρ++→∞→∞→∞??
+ ?+??
<===?==<++，
从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛
再由级数收敛的必要条件可知0)!
2(lim
=+∞→k k k
k （2）()+∞=+∞
→k
k k
k 2
!lim
．
解：对
()
2
1
!n
n n n ∞
=∑
来说，
由于()()()()2
112211!(1)0,lim lim lim 011
!1!n
n
n n n n n n n n n u n n n u u n
n n n ρ++→∞→∞
→∞??
+ ?
+??
<===?==<++， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛
再由级数收敛的必要条件可知2
lim
0(!)k
k k k →+∞=， 从而由无穷大量与无穷小的关系()+∞=+∞
→k
k k
k 2
!lim
作业31 交错级数与任意项级数的收敛性
1．判别下列级数的敛散性；若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛： （1）
()∑
∞
=--1
2
1n n
n
n ；
解：该级数为交错级数，其一般项的绝对值为
1n n n u u u +=
=
=<
=单调减少，
且0n =
，从而由莱布尼茨判别法知其收敛 再由于1n n =，由p -判别法知
1
n ∞
=发散，
从而原级数不会绝对收敛，只有条件收敛 （2）
()R x n
nx n ∈∑
∞
=,cos 1
2
3；
解：由于
332
2
cos 1,nx n
n
≤
，由p -判别法知，()R x n
nx n ∈∑
∞
=,cos 1
2
3绝对收敛
（3）
n
n n
n
1
)1(1
∑∞
=
- ；
解：由于ln ln 0
lim 1111
lim x n
x x n x n x
x e e e
→+∞→+∞-====不存在， 由收敛级数的必要条件，从而该级数发散 （4）
()∑∞
=-121
1n n
n
n ； 解：由于()()11111lim
lim 112lim 1(1)22(1)2
n n n
n n n n n n u n n u n n +++→∞
→∞→∞=-?-==<++， 从而由达朗贝尔判别法，该级数绝对收敛
（5）()R x n x n n n
∈+∑∞
=,)1(21
．
解：当0x =时显然收敛，否则1112(1)
lim lim lim 2(2)22n n n n n n n n n
x x u x n u n x +++→∞→∞→∞+=?==+，
7 / 31
当2x <时由达朗贝尔判别法，从而该级数绝对收敛，
当2x =时级数变为
11
1
n n ∞
=+∑发散 当2x =-时级数变为
()
1
11n
n n ∞
=-+∑条件收敛
7．若n n a n 2
lim ∞
→存在，证明
∑∞
=1
n n
a
绝对收敛．
证明：由已知322
32
lim
lim = lim =0n n n n n n a n a n a n
→∞
→∞
→∞
-= 从而
∑∞
=1
n n
a
绝对收敛．
8．若级数
∑∞
=1
n n a 绝对收敛，且()Λ,2,11=-≠n a n ，试证：级数∑
∞
=+11n n
n
a a 和
∑∞
=+12
21n n n a a 都收敛．级数∑∞
=+111
n n a 是否收敛？为什么？ 证明：若级数
∑∞
=1
n n
a
绝对收敛，则必收敛，由必要条件lim 0n n a →∞
=
由()Λ,2,11=-≠n a n ，从而级数∑∞
=+11n n n a a 和∑∞
=+12
21n n
n
a a 都有意义， 而2
1lim
1,lim =01n
n n n n n n
n
a a a a a a →∞
→∞+=+，从而级数∑∞=+11n n
n a a 和∑∞
=+1221n n n
a a 都收敛。 级数∑∞
=+111n n
a 发散，因为1
lim 11n n a →∞=+，收敛的必要条件不满足。
作业32 幂级数及其求和
1． 求下列幂级数的收敛半径和收敛域： （1）
()121
1
21+∞
=∑+-n n n x n ；
解：
1R === 当1x =±时
()121
1
21+∞
=∑+-n n n x n 即为()
1
121n
n n ∞=-±+∑条件收敛，
从而收敛域为[]1,1- （2）
n
n n
x n
∑∞
=+131； 解：11
13lim lim 331n n n n n n a n
R a n +→∞→∞++==?=+
当3x =±时n
n n x n ∑∞
=+131即为()1133n
n n n n
∞
=±+∑，由于3lim 13n n
n n →∞
=+从而级数发散， 因此收敛域为()3,3-
（3）()011
3
2>++∑∞
=a x a n n n
n n
；
解：当01a <≤时，231
321
1(1)lim lim 1(1)1n n n n n n a n n a R a n a n +→∞→∞++++==?=+++ 当1x =时幂级数即为231
1n n n n a ∞
=++∑，由于23
1
lim 1n n n n n a →∞+?=+从而级数发散 当1x =时幂级数即为()231
11n
n n n n a ∞
=+-+∑，由于23
1
lim 0n n n n a →∞+=+且22331(1)1
(1)n n
n n n a n a +++>+++从而级数收敛。因此收敛域当01a <≤时[1,1)-
当1a >时，231
321
1(1)lim lim (1)1n n n n n n a n n a R a a n a n +→∞→∞++++==?=+++
9 / 31
当x a =±时即为即为()23
1
11n
n n n n a n a ∞
=+-+∑，由于231lim 1n
n n n a n a →∞+=+从而级数发散， 从而当1a >时收敛域为(),a a -
（4）
()121
141-∞
=-∑
?-n n n
n x n ；
解：
2R === 当2x =±时
()121
141-∞
=-∑
?-n n n
n x n 即为()
1
1
1n n n
-∞=-±∑
条件收敛，
从而收敛域为[]2,2-
（5）()∑∞
=1!
!2n n
n x ；
解：()()1
22!!1
lim lim 2!!1n n n n n a R a n →∞→∞++==?=+∞
因此收敛域为(),-∞∞
（6）
()∑
∞
=-1
5n n n
x ．
解：对于
1
n n ∞
=
，1lim 1n t n n n a R a →∞+==
= 当1t =-时
1
n n
∞
=即为1
1n
n ∞
=-条件收敛，当1t =时1
n n ∞=即为n ∞=发散， 从而原级数的收敛半径为1，收敛域为151,46t x x -≤=-<≤< 2．求下列幂级数的收敛域及其和函数：
（1）∑∞
=+01
n n
n x ；
解：()11
lim
lim 211
n n n n a R n a n →∞
→∞+==?+=+ 当1x =-时，即为
()
11
n
n n ∞
=-+∑条件收敛，当1x =时即为
1
1n n ∞
=+∑发散，
从而幂级数的收敛域为[1,1)-
设()01n n x S x n ∞
==+∑，则()()0
101,,[1,1)1n n S xS x x x x ∞
='===∈-????-∑ 从而()()0
00
1
ln 1,[1,1)1x x
n
n xS x x dx dx x x x ∞
==
==--∈--∑??
故()()1
ln 1,[1,0)(0,1)
1,0
x x S x x x ?--∈-??=??=?
（2）
∑∞
=1
n n
nx
；
解：11
lim
lim 11
n n n n a R n a n →∞
→∞+==?=+ 当1x =±时，即为
()
1
1n
n n ∞
=±∑发散，
从而幂级数的收敛域为(1,1)- 故()()()1
2
1
1,1,111n n n n x x S x x
nx
x x x x x x ∞
∞-==''????====∈- ? ?-??-??
∑∑， （3）()∑∞
=0
2!2n n
n x ．
解：
R =
==+∞
从而幂级数的收敛域为(,)-∞+∞
设()()202!n n x s x n ∞
==∑，则()()()()21
101,,00,21!
n n x s s x s n -∞
=''===-∑，
()(
)()22
122!n n x s x s x n -∞
=''==-∑，()()0s x s x ''-=
由特征方程2
1,210,1r r -==±，得通解()12x
x
s x c e c e -=+
再由()()01,00,s s '==得特解()()12
x x
s x e e -=
+
11 / 31
（4）∑∞
=--11
21
2n n n x ，并求数项级数()∑∞
=-12121n n
n 的和．
解：1R ===，当1x =±时1121n n ∞
=±-∑发散，
从而幂级数的收敛域为(1,1)-
设()21121n n x s x n -∞
==-∑，则()()22
21
100,1n n s s x x x ∞
-='===-∑， ()()()2
111ln ,1,1121x
x
x
s x s x dx dx x x x +'===∈---??
()(
)(111,1,3212
22n n s n ∞
=-===+-∑
作业33 函数展开成幂级数
1．将下列函数展开成麦克劳林级数（要指出其成立的区间）： （1）2
e x
x -
；
解：()22
11e
1,,22!2!22
n
x x x x x
x x n -
????????=+-+-++-+-∈-∞+∞?? ? ? ???????????L L
()()()
223
1211,,22!2!2n
n n
x x x x x n +--=-++++∈-∞+∞L L （2）x 2
cos ；
解：()()()22
111cos 21cos 12,2,22(2)!
n
n n x x x x n ∞=-+==+∈-∞+∞∑
()
()2121121,,(2)!
n
n n
n x x n -∞
=-=+∈-∞+∞∑
（3）2
e d x
t t -?
；
解：()()()()2
2222211e
1,,2!!
n
t t t t t n -=+-+
-++-+-∈-∞+∞L L ()()
24211
1,,2!!
n
n t t t t n -=-++++∈-∞+∞L L ()2
2
420011e d 12!!n
x
x
t n t t t t dt n -??
-=-++++ ? ???
??L L ()()()3
5
2111,,352!
21!
n
n x x x x x n n +-=-
+++
+∈-∞+∞?+?L L
（4）x arctan (提示：利用201
arctan d 1x
x t t =
+?)；
解：()()()2122200
00001arctan d 111121x
x
n x
n n n n n n n n x
x t t dt t dt t n +∞∞∞
=====-=-=-++∑∑∑???， []1,1x ∈-
（5）
2
2x x x
--．
解：()()211211111
1
22131323131x x x x x x x x x x
==?-?=?-?
--+--+-+
13 / 31
()()0002111,1,133232
n
n
n n n n n n n x x x x ∞∞∞
===---??
=-=∈- ????∑∑∑ 2．将下列函数展开成()0x x -的幂级数（要指出其成立区间）：
（1）
1,31
0=-x x ； 解：()11111
321212
x x x ==?
----- ()100111(1),1,3222
n
n n n n x x x ∞∞
+==-??==-∈- ???∑∑ （2）0πsin ,
4
x x =
．
解：sin sin sin cos 4
4244x x x x π
πππ????
????=-
+
=-+- ? ? ????
????
???
()()
()21
20011,,2(21)!4(2)!4n
n n n
n n x x x n n ππ+∞∞
==??
--??
?
?=-+-∈-∞+∞?? ? ?
+???
????
?
∑∑ 3．求下列函数的幂级数展开式，并确定其成立区间：
（1）
sin d x t
t t
?
； 解：()()()20
1sin ,,00,(21)!n
n
n t t t t n ∞=-=∈-∞?+∞+∑
()()()()2210
0011sin d ,,(21)!21(21)!n n
x x n n n n t
t t dt x x t n n n ∞∞
+==--==∈-∞+∞++?+∑∑?
? （2）
arctan d x
t
t t
?
． 解：()[]
20
1arctan ,1,121n
n n t
t t t n ∞
=-=∈-+∑ ()()()[]2212
0011arctan d ,1,12121n n
x x n n n n t
t t dt x x t n n ∞∞
+==--==∈-++∑∑?
? 4．展开d e 1d x x x ??
- ?
??为x 的幂级数，并证明：()1!11
=+∑∞
=n n n ． 解：()1
111,,!
x n n e x x x n ∞-=-=∈-∞+∞∑
()121121d e 111,,d !!
(1)!x n n n n n n n n
x x x x x x n n n ∞∞∞---==='??--??===∈-∞+∞ ? ?+????∑∑∑ 从而()()1
2
1111
1
xe 1d e 111!(1)!d x x x n n n x x x e n n x n n x x x ∞
∞-=====--??-==== ?++??∑∑
15 / 31
作业34 傅里叶级数
1．下列周期函数)(x f 的周期为2π，它在一个周期上的表达式列举如下，试求)(x f 的傅里叶级数展开式． （1）()2()e ,ππx f x x =-≤<；
解：()22201
1
2x
e e a
f x dx e dx π
π
ππ
π
ππ
ππ
----=
==
?
? ()
()
()()
()
22222
2
2
212cos sin 1
cos 24n
x
x
n e e e
nx n nx a e nxdx n
n
π
πππ
π
π
π
ππ-----+=
=
=
++?
()
()
()
()
()
1
222222212sin cos 1
sin 24n x
x
n n e
e e
nx n nx b e
nxdx n n π
π
ππ
ππ
π
ππ+--
----=
=
=
++?
()
()()
()22222
1
1()2cos sin ,2π;44n
n e e e e
f x nx n nx x k n π
π
π
π
ππ--∞
=---=
+-≠+∑ ()()()
()2222222
1
12cos sin ,2π;424n
n e e e e e e nx n nx x k n π
π
π
π
ππ
π
π---∞
=---++-=
=+∑ （2）()()sin ,
ππf x x x =-<≤；
解：()00
1
2
2cos 4
sin x
a f x dx xdx π
π
π
π
π
π
π
π
-
=
=
=-
=
??
()()()()
12
00
cos 1cos 1112212sin cos 1n n n x n x n n a x nxdx n π
π
πππ+-+--??
+??+---??===-? 1
sin sin 0n b x nxdx π
ππ
-
=
=?
()()2
1212
()cos ,,1n
n f x nx x n
π∞
=+-=+∈-∞+∞-∑
（3）()()
,
π0()1,0πx x f x x x -≤
+≤
解：()001
11a f x dx xdx dx π
ππ
π
ππ
π--?
?=
=+=????
?
??
001sin cos cos 0n nx a x nxdx nxdx n πππ
πππ-?
?=+==????
??
0012cos sin sin cos n nx
b x nxdx nxdx xd nx n n ππππ
ππππ-??-=+=-+??????? ()0
000112cos 2cos cos cos n
nx xd nx x nx nxdx n n n n πππ
π
ππππ??---=-+=---????
?? ()()()()01111212sin 1n n n n
nx n n n n π
πππ
ππ??------=-
---
=??????
()()111211()sin ,π;2n n
n f x nx x k n ππ
∞=----=+≠∑
()()()()111210011sin ,π;222
n
n
n f k f k nx x k n ππππ∞=----++-+===∑
（4）()(),02πf x x x =<≤．
解：()2200
1
1
2a f x dx xdx π
π
ππ
π=
==??
222200
01
1
1cos sin sin sin 0n a x nxdx xd nx x nx nxdx n π
π
π
π
π
π
π??=
=
=-=????
?
?
?
2220
1
1
1
sin cos cos n b x nxdx xd nx xd nx n n π
π
π
π
π
π
=
=-
=-
?
?
?
22001cos cos x nx nxdx n π
π
π
??=-
-?????201sin 22nx n n n πππ??-=-
-=?????
? 12()sin ,2π;n f x nx x k n ππ∞
==-≠∑1
2
sin ,2π;n nx x k n πππ∞
=-==∑
17 / 31
2．将下列函数)(x f 展开成傅里叶级数： （1）()()2sin ,ππ3
x f x x =-≤≤；
解：()01
1
2sin 03x a f x dx dx π
π
π
ππ
π-
-=
=
=?? 1
2sin cos 03n x
a nxdx π
ππ-=
=? 1
1112sin sin cos cos 333n x b nxdx n x n x dx π
π
ππππ--??
????==--+ ? ?????????
??
()()(
)()1
20
1313118233sin sin 13313391n n x n x n n n π
ππ+-+-??=-=??-+-??(
)
()
()1
2
1118()sin ,,91n n f x nx x n πππ+∞
=-=∈--∑
（2）()()
e ,
π0()1,
0πx
x f x x ?-≤
≤
解：()0001
11x
e a
f x dx e dx dx π
π
ππ
πππ
ππ---??-+=
=+=
????
?
?? ()002
00cos sin 11sin cos cos 1x x n e nx n nx nx
a e nxdx nxdx n n ππππππ--????+??=+=+??+??????
??()
()2
111n
e n ππ
---=
+
()002
00sin cos 11cos sin sins 1x x n e nx n nx nx
b e nxdx nxdx n n ππππππ--????-??=+=-??+??????
??()()()()()()2221111111111n
n
n n e n n ne n n n n ππ
ππ--??--+---+---=-=??++????
()()()()()()222
11111111()cos sin ,211n n n n e n e e f x nx nx n n n πππ
ππππ---∞
=??--+-----+??=++++????
∑(),x ππ∈-
3．将下列各函数分别展开成正弦级数和余弦级数： （1）()2(),
0πf x x x =≤≤
解：展开成正弦级数，则作奇延拓，0n a =
2
2200002
22sin sin cos cos 2n nx b x nxdx x d nx x nx xd n n n π
ππ
ππππ??
--===-????
???
()2202sin 2cos 12n nx nx x n n n πππ??-??
??=--+??????????()()1341421n
n n n ππ+--=-+ ()()1
3
14142()1sin ,n
n n f x nx n n ππ∞
+=??--=-+??????
∑()0,x π∈ 展开成余弦级数，则作偶延拓，0n b =
2
2
30002
2233
a x dx x π
ππππ===
? 222
00002
22cos cos sin sin 2n nx a x nxdx x d nx x nx xd n n n π
ππ
ππππ??===+????
???
202cos 2sin 2nx nx x n n n ππ??=- ???()241n
n -= ()22
1
412()cos 3n
n f x nx n π∞=-=+∑，[]0,x π∈ （2）()()e ,
0πx
f x x =≤≤
解：展开成正弦级数，则作奇延拓，0n a =
()()()()2
200
2sin cos 2212
2sin e cos 11n
x
x
x n e nx n nx n ne b e nxdx d nx n n n π
ππ
π
ππππ----=====++??L ()
()
2
1
221()sin ,1n
n n ne f x nx n
ππ∞
=--=+∑
()0,x π∈
展开成余弦级数则，作偶延拓，0n b =
()
00
212
2
x
x e a e dx e ππ
πππ
π
-=
==
?
19 / 31
00
2
2cos sin x
x
n a e nxdx e d nx n ππ
ππ====??L ()
()
()()
2
2
2cos sin 212
11n
x
e nx n nx e n
n
π
πππ+--=
++
()()
2
1
212
1
()cos 1n
n e e f x nx n
πππ
π∞
=---=
++∑
，[]0,x π∈
作业35 一般周期函数的傅里叶级数
1．设)(x f 是周期为6的周期函数，它在[)33，
-上的表达式为 ?
??<≤<≤-+=30,10
3,12)(x x x x f
试求)(x f 的傅里叶展开式．
解：()303
020333
3111261333
a f x dx xdx dx x ----?
???==+=+=-???????????
3030
0333112cos cos 2sin 2sin 33333n n x n x n x n x a x dx dx xd n πππππ---????=+=+??????????
???
00
3312sin 2sin 33n x n x x dx n πππ
--??=-???????()02222
36616cos 3n n x
n n ππ
π---== 030
333112sin sin 2cos 03333n n x n x n x b x dx dx xd n ππππ---??-=+=+????
??? ()()()100
3361116612cos 61sin 33n n n
n x n x dx n n n n ππππππ+--????---=--=--=??????????
? ()()1
22
1661611()cos sin ,3(21);233n n n n x n x f x x k n n ππππ+∞=??
---=-++≠+ ? ???∑ ()()1
22
1661611cos sin 2,3(21);k Z 233n n n n x n x x k n n ππππ+∞=??----++=-≠+∈ ? ???
∑ 2．在指定区间上展开下列函数为傅里叶级数：
πcos ,1()2
0,12x x f x x ?
≤?
=??<≤?
解：取4T =作周期延拖在限定即可，函数为偶函数，故0n b =
()1
21
002012π2π2cos sin 2222π
x x a f x dx dx π-====??
()1
1
00n+1ππ1(1)cos cos cos cos 22222n x x n x n x a dx dx ππ?
?-==+??
?
???
华南理工大学_高等数学B下随堂练习参考答案
华南理工大学网络教育平台-*高等数学B(下)-随堂练习参考答案2013-4-10 1.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 2.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 3.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析：
4.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 5.,则的定义域为（） （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 6.下列函数为同一函数的是（） （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析：
7. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 8. （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 9. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 10. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C
问题解析： 11. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 12. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 13. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 14. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交）
第10章习题答案
魏 泳 涛 魏 泳 涛 10.1 计算下列情形中系统对定轴的动量矩： (a)均质圆盘质量为m ，半径为r ，以角速度ω转动 (b)均质偏心圆盘半径为r ，偏心距为e ，质量为m ，以角速度ω转动； (c)十字杆由两个均质细杆固连而成，OA 长为l 2、质量为m 2，BC 长为l ，质量为m 。以角速度ω绕Oy 轴转动。 (a)(b)(c)
魏 泳 涛 魏 泳 涛 10.2 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平地面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，e AC =，轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为A J ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。 (1)当轮子只滚不滑时，若A v 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。 (2)当轮子又滚又滑时，若A v 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
魏 泳 涛 魏 泳 涛 10.3 撞击摆由质量为1m 的摆杆OA 和质量为2m 的摆锤B 组成。若将杆和锤视为均质细长杆和等厚圆盘，并已知杆长为l ，盘的半径为R ，求摆对轴O 的转动惯量。
魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 10.4 为求物体对于通过其质心C 之轴AB 的转动惯量C J 。用两杆AD 、BE 和这物体固结，并借这两杆将物体挂在水平轴DE 上，轴AB 平行于DE ，使其绕DE 轴作微小摆动，测出摆动周期T 。如物体的质量为M ，轴AB 和DE 之间的距离为h ，杆AD 、BE 的质量忽略不计，求转动惯量C J 。 解： 从左向右看，如图 θθ αsin mgh J J D D -== 而 )(2mh J J C D += 所以 θθsin )(2mgh mh J C -=+ 当微小摆动时，θθ≈sin 所以 0)(2=++θθmgh mh J C 根据单自由度系统振动特性，有 2 π211mh J mgh T C += 即： )π4(22g h T mgh J C -=
华南理工大学网络教育高等数学B(下)课程作业
2013-2014第二学期《高等数学B （下）》练习题 说明： 1、 此练习供自学后和考前复习用； 2、 注意批注的题型归纳，自己练习时注意总结方法和举一反三； 3、 根据课程导学、重难点及期末复习提纲进行针对性的练习（题型归纳）。 祝 同 学 们 学 习 顺 利！ 判断题 1. 若(,)f x y 的偏导数存在, 则(,)f x y 可微. 答：错 2. 若(,)f x y 的偏导数存在, 则(,)f x y 连续. 答：错 3．若(,)f x y 可微，则 ,f f x y ????存在. 答：对 4．若(,)f x y 可微，则(,)f x y 连续. 答：对 5．若00(,)x y 是(,)f x y 的极值点，则00(,)x y 是(,)f x y 的驻点 答：错 6．若00(,)x y 是(,)f x y 的极值点，且函数在点00(,)x y 的偏导数存在，则00(,)x y 是(,)f x y 的驻点 答：对 7. 二重积分 (,)D f x y d σ??表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 答：错 8．当(,)0f x y ≥时，二重积分 (,)D f x y d σ??表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 答：错
9. 若积分区域D 关于y 轴对称，则 sin 0.D xd σ=?? 答：对 10．若积分区域D 关于x 轴对称，则 sin 0.D y xd σ=?? 答：错 11．微分方程()340xy yy y '''++=阶数为3. 答：错 12．微分方程sin cos cos sin y xdx x ydy =是变量可分离微分方程 答：对 13．微分方程2 cos sin dy y x dx x -=是一阶线性微分方程. 答：错 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 填空题 14. 函数221(,)ln(1)f x y x y = +-定义域为____________ 答：定义域为： 212222≠+>+y x y x 且 15. 2xy z =, 则x z =____________,y z =________ 答：2ln 2y xy X z = ； 2ln 2x xy y z = 16. (,)D D y y x f x y d σ==??若是由所围成,在计算二重积分时定限为____________ 答：dy y x f dx x x ??10),( 17. 设222,D x y R +≤是圆域2D x d σ??则在化为极坐标计算时应为_______, 2 D y d σ??在化为极坐标计算时应为_________. 答：2D x d σ??则在化为极坐标计算时应为rdr r d x R ???θθ22002cos 2D y d σ??在化为极坐标计算时应为 dr r d x R R θθ22023sin ??
华南理工大学高数习题册答案汇总
第七章 多元函数微分学 作业1 多元函数 1．填空题 （1）已知函数22,y f x y x y x ? ?+=- ???，则(),f x y =()() 222 11x y y -+； （2）49 arcsin 222 2-+++=y x y x z 的定义域是(){} 22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是 (){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+?<<≤+； （4）函数??? ??=≠=0, 0,sin ),(x y x x xy y x f 的连续范围是 全平面 ； （5）函数2222y x z y x +=-在2 2y x =处间断. 2．求下列极限 （1 ）00 x y →→； 解：0000 1 6x t t y →→→→===- （2）2 2 () lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞ +）.
解：3 y x =22()2() lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞ →+∞ →+∞ ??+=+-??）） 由于1lim e lim lim 0t t t t t t t t e e -→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0t t t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====， 故22() 2()lim (e lim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞ →+∞→+∞ →+∞ ??+=+-=??）） 3．讨论极限2630 0lim y x y x y x +→→是否存在. 解：沿着曲线()()3 ,,0,0y kx x y =→,有3 36626262000 lim lim 1x x y kx x y kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26 30 0lim y x y x y x +→→不存在 4．证明?? ???=+≠++=0,00,2),(22222 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续. 解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡ 从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线 ()(),,0,0y kx x y =→,有22 22222000 222lim lim 1x x y kx xy kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0 lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.
高等数学(B)下年华南理工大学平时作业
前半部分作业题,后半部分为作业答案 各科随堂练习、平时作业(yaoyao9894) 《高等数学B(下) 》练习题 2020年3月 一、判断题 1、就是二阶微分方程、 2、 (1)若就是二阶线性齐次方程得两个特解, 则就是该方程得通解、 (2)若就是二阶线性齐次方程得两个线性无关得特解, 即则就是该方程得通解、 3、 (1)若两个向量垂直,则 (2)若两个向量垂直,则 (3)若两个向量平行,则 (4)若两个向量平行,则 4、 (1)若函数在点全微分存在,则在点偏导数也存在、 (2)若函数在点偏导数存在,则在点全微分也存在、 5、 (1)设连续函数,则二重积分表示以曲面为顶、以区域为底得曲顶柱体得体积、 (2)二重积分表示以曲面为顶、以区域为底得曲顶柱体得体积、 6、 (1)若在处取得极大值,且在点偏导数存在,则 就是函数得驻点、 (2)若在处取得极大值,则就是函数得驻点、 7、 (1)若,则数项级数收敛、 (2)若数项级数收敛,则、 8、 (1)若级数收敛,则级数也收敛、 (2)若级数收敛,则级数也收敛、 9、 (1)调与级数发散、 (2)级数收敛、 10、 (1)若区域关于轴对称,函数关于就是偶函数,则 (2)若区域关于轴对称,函数关于就是奇函数,则 二、填空题(考试为选择题) 1、一阶微分方程得类型就是______________________________、 2、已知平面与__________、 3、函数定义域为__________、 4、在处得两个偏导数为__________、
5、 z z a Ω==若是由圆锥面所围成的闭区域,则三重积分 化为柱面坐标系下得三次积分为 __________、 6、 等比级数得敛散性为__________、 三、解答题 1、 求微分方程得通解、 2、 123(2,1,4),(1,3,2),(0,2,3).M M M ---求经过三点的平面方程 3、 若,其中求z 得两个偏导数、 4、 求椭球面在点处得切平面方程与法线方程、 5、 21x y z Ω++=若是由平面与三个坐标面所围成的闭区域,计算三重积分 以下为答案部分 《 高等数学B(下) 》练习题 2020年3月 一、判断题 1、 就是二阶微分方程、 (×) 2、 (1)若就是二阶线性齐次方程得两个特解,则就是该方程得通解、 (×) (2)若就是二阶线性齐次方程得两个线性无关得特解,即则就是该方程得通解、(√) 3、 (1)若两个向量垂直,则(×) （2）若两个向量垂直,则(√) (3)若两个向量平行,则(√) (4)若两个向量平行,则(×) 4. (1)若函数在点全微分存在,则在点偏导数也存在、(√) (2)若函数在点偏导数存在,则在点全微分也存在、(×) 5、 (1)设连续函数,则二重积分表示以曲面为顶、以区域为底得
华工高数第10章答案
第十章 微分方程 作业20 微分方程基本概念 1．写出下列条件所确定的微分方程： （1）曲线在点),(y x M 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段MQ 被y 轴平分； 解：法线方程为()1 Y y X x y -=- -' ，法线与x 轴的交点0,Y X x y y '=?=+ 由已知02022 x X x x y y y y x '+++'= =?+= （2）曲线上任意点(,)M x y 处的切线与线段OM 垂直； 解：切线的斜率为y '，线段OM 的斜率为y k x = 由已知1,y y yy x x ''? =-?=- （3）曲线上任意点(,)M x y 处的切线，以及M 点与原点的连线，和x 轴所围成的三角形的面积为常数2 a ． 解：切线方程为()Y y y X x '-=-，M 点与原点的连线为y Y X x = 切线与x 轴即直线0Y =的交点，0,y Y X x y =?=- ' 由已知()22 2221,2,22y y y x a xy a xy a y y y y ??'?-=?-=±±= ?'' ?? 2.．求曲线簇12e e x x xy C C -=+ ),(21为任意常数C C 所满足的微分方程． 解：由已知，两边对自变量x 求导12e e x x y xy C C -'+=- 两边再对自变量x 求导122e e 2x x y xy C C y xy xy -''''''+=+?+= 3．潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潜水艇的质量为m ，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件． 解：由已知，(),00dv m mg kv v dt =-=
高等数学B上—华工平时作业2018秋
华南理工大学网络教育学院 2018–2019学年度第一学期 《高等数学》（上）作业 1、 求函数() f x = 解：因x ≥0，1-x>0,所以0≤x<1 2、 设函数1arctan =y x ，求dy 。 解 dy=d(arctan1/x)=1/(1+(1/x)^2)d(1/x)=x^2/(1+x^2)(-1/x^2)dx=-1/(1+x^2)d x 3、 设ln ln 0xy x y ++=确定()y y x =，求 dy dx 。 解：等式两边对x 求导，得： y+x(dy/dx)+1/y(dy+dx)+1/x=0 解得dy/dx=-(y+1/x)/(x+1/y)=-[(xy+1)/x]/[(xy+1)/y]=-y/x 4、 求极限01lim tan 2x x e x →-。 解：由于当x →0时，e^x-1~x,tan2x~2x,lim(x →0)e^x-1/tan2x=lim(x →0)x/2x=1/2 5、 求函数x y xe =的单调区间和极值。 解：定义域为R,y'=e^x(1+x),因e^x 恒大于0,故由y'=0,可得x=-1,故增函数区间(-1,+∞)，减函数区间（-∞，-1），x=-1时,极小值为xe^x=-1e^-1=-1/e 6、 求112dx x =-?(-1/2)ln|1-2x|+C 解：原式=(-1/2)∫d(1-2x)/(1-2x) =(-1/2)ln|1-2x|+C ，其中C 是任意常数。 7、 求曲线=x y e ，直线0=x ，1=x 及x 轴所围成的图形的面积。 解：∫[0,1] e^x dx= e^x |(x=1) - e^x | (x=0)=e^1-e^0= e - 1
高等数学II练习册-第10章答案.
习题10-1 二重积分的概念与性质 1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+??与3 ()D x y d σ+?? ，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成； （2） ln()D x y d σ+??与2 [ln()]D x y d σ+??，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)， (1,1)，(2,0)； 2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22 sin sin D I x yd σ= ??，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤； （2）22 (49)D I x y d σ= ++?? ，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤ . （3） .D I = ，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤ 解 () ,f x y = Q 2，在D 上(),f x y 的最大值
()1 4M x y = ==，最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤ 习题10-2 二重积分的计算法 1.计算下列二重积分： （1） 22 ()D x y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤； （2） cos()D x x y d σ+??，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域。 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1） x y D e d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤
（2） 2 2()D x y x d σ+-??，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。 3.化二重积分(,)D I f x y d σ= ??为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次 积分），其中积分区域D 是： （1）由直线y x =及抛物线2 4y x =所围成的闭区域； （2）由直线y x =，2x =及双曲线1 (0)y x x = >所围成的闭区域。
高等数学-微积分下-试卷系列-华南理工大学(12)
" 2003-2004高等数学下册期中考试试卷 姓名： 班级： 成绩单号： 一、填空题（48?） 1、设{}{}4,3,4,2,2,1a b =-=，则()b a 2、与直线112211-=+=+z y x 及112x y t z t =??=+??=+? 都平行，且过原点的平面方程为 。 3、设()(),,sin ,arctan z f u v u xy v y ===，又f 为任意可微函数，则z x ?=? # ，z y ?=? 。 4、设()2,x y u f x y e ==，则2u x y ?=?? ，其中f 具有连续二阶偏导数 5、设函数z x xy xyz =++在点()1,0,3M 的所有方向导数中，最大的方向导数沿方向 6、设L 为()2220x y R R +=>在第二象限部分，则积分L xyds =? 7、设L 为抛物线21y x =+从点()0,1到点()1,2的一段，则积分()()22L x y dx y x dy -++=? 8、设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分，则积分()x y z ∑++=?? 9、交换积分的次序()22141,x x dx f x y dy --=?? 10、曲面1xy yz zx ++=在点()3,1,2-处的切平面方程为 ，法线方程为 "
22:2D x y x +≤，由二重积分的几何意义知D = 。 二、（8）设(),u z x y =由方程222z x y z y f y ??++=? ??? 确定，试证： ()22222z z x y z xy xz x y ??--+=??，其中f 具有一阶连续偏导数 三、（8）设22,3x z y f y y ??=? ??? ，又f 具有连续的二阶偏导数，求22z y ?? 四、（8）计算xy D ye dxdy ??，其中D 是由直线1,2,2x x y ===和双曲线1y x = 所围成 五、（8）设由曲面22z x y =+与2z =所围成的立体中每点的密度与该 点到平面xOy 的距离成正比，试求该立体的质量 六、（7）计算积分()()22L y x dy x y dx +++?，其中L 是沿着半圆1y =的逆时针方向 七、% 八、 （7）计算积分1dS z ∑??，其中∑是球面2222x y z R ++=被锥面222 x y z z ?+=> ? 所截的部分 九、（7）计算积分∑ ??，其中∑是柱面221x z +=被平面0,2y y ==所 截的部分外侧 十、（7）求曲线2222221622224 x y z x y z x y z ?++=??+++++=??的最低点与最高点的坐标
大学物理答案第10章
第十章 静电场中的导体与电介质 10－1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ） （A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）. 10－2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地 题 10-2 图 分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关.因而正确答案为（A ）. 10－3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0= = （B ）d εq V d εq E 02 0π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）R εq V d εq E 020π4,π4= = 题 10-3 图
分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势.因而正确答案为（A ）. 10－4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是( ) （A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关 分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E ）. 10－5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ） （A ） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （B ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （D ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍 分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有 ()∑??=?=?+i i S S ε χq 0 1 d d 1S E S E 即E ＝E ０/εｒ，因而正确答案为（A ）. 10－6 不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）.试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力.
第10章习题答案
实训习题参考答案 一、选择题 1．可以用普通螺纹中径公差限制（ A B E ） A ．螺距累积误差 B ．牙型半角误差 C ．大径误差 D ．小径误差 E ．中径误差 2．普通螺纹的基本偏差是（ B C ） A ．ES B ．EI ； C ．es D ．ei 。 3．国家标准对内、外螺纹规定了（ A B ） A ．中径公差 B ．顶径公差； C ．底径公差 二、判断题 1．普通螺纹的配合精度与公差等级和旋合长度有关。 （√ ） 2．国标对普通螺纹除规定中径公差外，还规定了螺距公差和牙型半角公差。 （╳ ） 3．作用中径反映了实际螺纹的中径偏差、螺距偏差和牙型半角偏差的综合作用。（√ ） 三、简答题 1. 对内螺纹，标准规定了哪几种基本偏差？对外螺纹，标准规定了哪几种基本偏差？ 答：对内螺纹，标准规定了G 及H 两种基本偏差。 对外螺纹，标准规定了e 、f 、g 和h 四种基本偏差？ 2. 螺纹分几个精度等级？分别用于什么场合？ 答：标准中按不同旋合长度给出精密、中等、粗糙三种精度。精密螺纹主要用于要求结合性质变动较小的场合；中等精度螺纹主要用于一般的机械、仪器结构件；粗糙精度螺纹主要用于要求不高的场合，如建筑工程、污浊有杂质的装配环境等不重要的连接。对于加工比较困难的螺纹，只要功能要求允许，也可采用粗糙精度。 3. 解释M10×1—5g6g —S 的含义。 答：M10—螺纹代号 1—螺距为1mm 5g —外螺纹中径公差带代号 6g —外螺纹顶径公差带代号 S —短旋合长度 四、计算题 1．有一对普通螺纹为M12×1.5—6G/6h ，今测得其主要参数如表1所示。试计算内、 （1）确定中径的极限尺寸 211.025D mm = 查表得：，2 190D T m μ=,32EI m μ=+ ES =EI +190=32+190=+222μm
华南理工大学《高等数学》试卷A+答案
一．填空题（每小题4分，共24分） 1.设 432z x y x =+，则(1,2) d z =3412dx dy + 2.曲线cos :sin x a t y a t z ct =?? Γ=??=?在点 (,0,0)a 的切线方程为,y z x a a c == 3.已知2222 ()(,)0(,)0(,)0 x y xy x y f x y x y x y ?-≠? =+??=? ，则(0,)x f y =y -. 4.函数22z x y =+在点0(1,2)P 处沿从点0(1,2)P 到点1(2,2 3) P +方向的方向导数是123+ 5.设L 为取逆时针方向的圆周229x y +=，则曲线积分 2 (22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? 18π- 6.设L 为直线y x =上点(0,0)到点(1,1)之间的一段，则曲线积分2d L xy s = ?2 4 . 二. （本题7分） 计算二重积分2 22e d x y D xy σ??，其中D 是由1,, 0y x y x ===所 围成的闭区域. =2 1 200 2y x y dy xy e dx ?? ------4’ =1 (2)2e ----------------4’ 三. （本题7分）计算三重积分???Ω d v z ，其中Ω是由22222 2 x y z z x y ?++≤??≥+??所确定. =22 21 20 r r d rdr zdz πθ-??? -------4’ =712 π ----------------------3’ _____________ ________ 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………
华南理工大学高等数学教学课件
第三节 函数的极限 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义 ：设函数()x f 当x 大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的0>ε（任意小）总存在正数X ，当X x >时，一定有 那么常数A 称为函数()x f 当∞→x 时的极限，记为()A x f x =∞ →lim ，或 ()()∞→→x A x f 。 例1 ：证明 1）65 6lim =+∞→x x x ； 2）()101lim 1 <<=∞→a a x x 证明：1）对于任给的（任意小）0>ε， 取ε 5 =X ，当X x >时有 所以65 6lim =+∞→x x x 。（如图6） 注 1：直线6=y 称为函数x x y 5 6+= 的水平渐近线。 2）对于任给的（任意小）0>ε， 要使ε<-11x a ，即() ()εεεε+-<-x x M 时有 当()0>>x M x 时有 即当M x >时总有 所以()101lim 1<<=∞ →a a x x 。 注2:∞→x 有两个方向，一个方向越来越大，一个方向越来越小。有些函数当自变量向不同的方向变化时，函数越来越接近的数可能不相
同。我们来考虑函数()x x f arctan =（如图7）。因此有时我们需要考虑某一个方向的极限，即所谓的单侧极限。 注 3：当0>x 时，且x 无限增大。即+∞→x 。则定义中的X x >改为 X x >，极限记为()A x f x =+∞ →lim 。 当0
《高等数学(下)》平时作业-2020年下半年华南理工大学网络教育
《 2020-2021-1高等数学B （下）作业题 》 第 1 页 （共 2 页） 《高等数学（下）》平时作业 2020年下半年华南理工大学网络教育 一、判断题（期末考试只有5小题） 1. （1）若12,y y 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解, 那么， 1122()y x C y C y =+ 就是该方程的通解.（错） （2）若12,y y 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个线性无关的特解, 那么， 1122()y x C y C y =+ 就是该方程的通解.（对） 2.（1）若两个向量 ,a b 平行，则a b ?0.=（错） （2）若两个向量 ,a b 垂直，则a b ?0.=（对） 3.（1）函数(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数存在，则它在00(,)x y 点全微分存在，反之亦然.（错） （2）函数(,)f x y 在00(,)x y 点全微分存在，则它在00(,)x y 点偏导数存在，反之不成立.（对） 4. （1）设(,) f x y D 在有界闭区域 上连续，，则二重积分 (,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积.（错） （2）设 2222(,) +(,){(,)|9}=∈=+≤，f x y x y x y D x y x y ，则二重积分(,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积.（对） 5. （1）lim 0→∞=n n u 是数项级数1 n n u ∞=∑收敛的充分条件.（错） （2）lim 0→∞=n n u 是数项级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件.（对） 二、填空题（期末考试为选择题） 1. 22x y xye x '+= 属于__ ____方程. 2. ,,(9,0,0),(0,2,0),(0,0,3)______________.x y z 已知平面与轴分别交于,则该平面方程为 3. 函数221(,)ln(25)f x y x y =--定义域为______. 4. 224z x y z Ω=+=若是由旋转抛物面与平面所围成的闭区域,则三重积分
第10章习题答案
第十章输入输出流 1.单选题 （1）．C++语言程序中进行文件操作时应包含的头文件是（ A ）。 A．fstream.h B．math.h C．stdlib.h D．strstrea.h （2）．C++语言程序中进行字符串流操作时应包含的头文件是（ D ）。 A．fstream.h B．math.h C．stdlib.h D．strstrea.h （3）．C++语言程序中使用控制符进行格式输出时应包含的头文件是（ B ）。 A．fstream.h B．iomanip.h C．math.h D．strstrea.h （4）．下列各语句是输出字符'A'的，其中错误语句是（ D ）。 A．cout<<'A'; B．cout.put('A'); C．char ch='A';cout< 华南理工大学网络教育专科高等数学B（下）第二学期 (单选题) 函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 2.(单选题) 函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 3.(单选题) （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 4.(单选题) （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 5.(单选题) （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 6.(单选题) （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 7.(单选题) （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 8.(单选题) （A）（B）（C）（D）答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 9.(单选题) , 则 （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 10.(单选题) 若，则 （A）（B）（C）（D）答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 11.(单选题) 若，则 （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 12.(单选题) 若，则 （A）（B）（C）（D）答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 13.(单选题) 若，则 （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 14.(单选题) 若，则 第十章 信访和值班 一、填空题 1．信访工作是社会组织系统受理人民来信来访的活动。 2．领导亲自接待处理来信来访，是密切干群关系的重要渠道。 3．处理群众来信来访的工作就是信访工作。 4．信访内容有情况属实、基本属实、部分属实和捏造诽谤之分。 5．信访工作是发挥人民群众民主参政议政作用的重要渠道，是实现科学民主决策，搞好民主监督和廉政建设的重要保证。 6．通过信访，组织可以了解决策的得失，了解社情民意，预测社会的发展趋势，把握社会矛盾的症结所在，还可发挥信息沟通和上传下达的作用。 7．信访工作是密切联系群众的重要渠道，是获取第一手材料的重要途径。 8．处理来信的主要程序有签收登记、拆封整理、阅函加注、分送办理。 9．反映一般性问题的来信，按照分级负责、归口办理的原则，转交具体的责任单位或有关部门处理。 10．处理来信的主要方法有转办、函转、批转、直送、摘报、自己处理、不处理。 11．处理来信的要求有及时拆封、详细阅读、认真登记、准确交办、妥善处理。 12．接待来访的基本程序有接待、登记、接洽、处理、立案、回访。 13．接待来访的基本要求有热情友善、坚持原则、耐心疏导、严肃认真、高度负责。 14．单位值班，就是保证组织运转不中断，从而不因节假日休息带来损失的一种手段。 二、判断题 1．揭发、控告不能用信访的形式。（×）2．反映所有问题的来信，都要按“分级负责、归口办理”的原则给以转办。（×）3．信访工作具有长期性与现实性。（√）4．信访工作具有广泛性和复杂性。（√）5．对于所有群众来信，都要整理归纳，摘录重点，呈报领导。（×）6．阅读是弄清来信目的的重要环节。（√）7．来访的重要问题应根据立案标准立案查处。（√）8．值班人员有权答复电话内容的有关请示。（×） 三、单选题 1．不随便圈点、涂抹是来信处理程序中（C）的要求。 A．签收登记B．拆封整理C．阅函加注D．分送办理 2．按照分级负责、归口办理的原则处理来信，是（A）的方法。 A．转办B．函转C．批转D．直送 3．为处理来信奠定基础的要求是（B）。 A．及时拆封B．详细阅读C．认真登记D．准确交办 4．集中精力倾听来访人的陈述是来访处理的（C）程序。 华南理工大学网络教育学院 2016–2017学年度第二学期 《高等数学B(上)》作业 1. 若0x 是()f x 的极小值点，则0x 不一定是 （是/不一定是）()f x 的驻点；若0 x 是()f x 的驻点，则0x 不一定是 （是/不一定是）()f x 的极值点。 2. 求函数1 3/2y x =+- 解：要求23/2040x x -≠??-≥?，3/2 -22x x ≠???≤≤?， 即函数的定义域为 [2,3/2)(3/2 -? 3. 求2231 lim 62n n n →∞++。 解：原式=1 2 4. 设5cos(34)y x =+，求y '。 解：-15sin(34)y x '=+ 5. 设2e x y x =，求dy 。 解：()()2222(2)x x x x dy x e dx xe x e dx x x e dx '==+=+ 6. 求极限01lim tan 2x x e x →-。 解：原式=0-1lim 2x x e x → 01=l i m =22 x x e → 7. 设ln ln 0xy x y ++=确定隐函数()y y x =，求dy dx 。 解：方程两边同时关于x 求导，得： 110''+++=y xy y x y 即 11????'+=-+ ? ???? ?x y y y x 解得 11+=-=-+y d y y x d x x x y 8. 求函数x y xe =的极值。 解：连续区间为(,)-∞+∞。 1+=0令（）x y x e '=，得驻点1x =- 当1x >-时，0令y '>；当1x <-时，0令y '< 所以1x =-为极小值点，极小值为1(1)y e --=-。 9. 求25x e dx +?。 解：原式=251(25)2 x e d x ++? =2512 x e C ++ 华南理工高等数学B上 随堂练习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 随堂练习随堂练习提交截止时间：2018-12-1523:59:59 当前页有10题，你已做10题，已提交10题，其中答对10题。 1.(单选题) 函数的定义域是() A．B．C．D． 答题：A（已提交） 参考答案：A 问题解析： 2.(单选题) 函数的定义域是() A．B． C．D． 答题：C（已提交） 参考答案：C 问题解析： 3.(单选题) 函数的定义域是() A．B． C．D． 答题：A（已提交） 参考答案：A 问题解析： 4.(单选题) 函数的定义域为() A．B． C．D． 答题：B（已提交） 参考答案：B 问题解析： 5.(单选题) 函数的定义域是（）A．B．C．D． 答题：C（已提交）参考答案：C 问题解析： 6.(单选题) 函数的定义域是() A．B．C．D． 答题：C（已提交）参考答案：C 问题解析： 7.(单选题) 函数的定义域是（）A．B．C．D． 答题：A（已提交）参考答案：A 问题解析： 8.(单选题) () A．B．C．D． 答题：B（已提交）参考答案：B 问题解析： 9.(单选题) () A．B．不存在C．D． 答题：D（已提交）参考答案：D 问题解析： 10.(单选题) () A．不存在B．C．D． 答题：C（已提交） 参考答案：C 问题解析： 当前页有10题，你已做10题，已提交10题，其中答对10题。 11.(单选题) () A．B．不存在C．D． 答题：（已提交） 参考答案：D 问题解析： 12.(单选题) () A．B．C．D． 答题：（已提交） 参考答案：A 问题解析： 13.(单选题) () A．B．C．不存在D． 答题：（已提交） 参考答案：B 问题解析： 14.(单选题) () A．8B．2C．D．0? 答题：（已提交） 参考答案：D 问题解析： 15.(单选题)华南理工大学网络教育专科 高等数学B(下)第二学期
第10章练习题答案
华南理工大学高等数学作业
华南理工高等数学B上随堂练习