4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数
北师大版4.1.3 任意角和弧度制及任意角的三角函数导学案
【导学释疑】
1.已知sin = ,cos = ,若 是第二象限角，求实数a的值. .
2.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
3.设 为第三象限角，试判断 的符号. ＜0.
4.角 终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角 终边上的点Q与A关于直线y=x对称，
A.-3B.3或
C.- D.-3或-
答案C
【学生小结】
谈谈学完本节课有什么收获？
教学反思
4、掌握三角函数在各个象限的符号
5.会做出某角的三角函数线
三、教学过程
【温故知新】
一、选择题
1.已知cos ·tan ＜0,那么角 是（）
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角
2.若0＜x＜ ，则下列命题中正确的是（）
A.sinx< B. sinx> C. sinx< D. sinx>
答案D
3.与610°角终边相同的角表示为
A.k·360°+230°(k∈Z)B.k·360°+250°(k∈Z)
C.k·360°+70°(k∈Z)D.k·360°+270°(k∈Z)
答案B
4.已知（ ）sin2 ＜1,则 所在象限为
A.第一或第二象限B.第二或第四象限
C.第二或第三象限D.第一或第三象限
求sin ·cos +sin ·cos +tan ·tan 的值.-1.
【检测反馈】
5.已知点P（tan ，cos ）在第三象限，则角 的终边在第几象限（）
任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式
任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式一、任意角1、角的概念的推广：角可以看成是由一条射线（起始边）旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。
（1）按旋转方向不同分为正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角．（2）角具有无界性；意思是说任意角的范围是（3）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（约定以原点和x的正半轴组成的射线为起始边）（4）角具有周期性： 终边相同的角不一定相等；终边相同的角相差3600 的整数倍。
2、角与角的位置关系的判断（终边相同的角、对称关系的角）★与任意角 终边相同的所有的角构成一个集合，这个集合可表示为：【注意】（1）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .（2）终边与终边关于轴对称.（3）终边与终边关于轴对称.（4）终边与终边关于原点对称.（5）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.例1：与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿。
练习1（1）与1991°终边相同的最小正角是______,绝对值最小的角是_________．（2）－1120°角所在象限是（3）把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（4）终边在第二象限的角的集合可以表示为（5）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C（6）下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等（7）下列角中终边与330°相同的角是（ B ）A．30° B．-30° C．630° D．-630°例2：若是第二象限角，则是第_____象限角。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-任意角和弧度制及三角函数的概念
第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=l r(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=180rad;1rad=(180)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r23.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=, cosα=,tanα=(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域R R{α|α≠kπ+π2,k∈Z}【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133πB.-256πC.-113πD.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=()A.-3B.-4C.-6D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】α所在象限与2所在象限的关系α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cos2|=-cos2,则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以2的终边落在第二、四象限,又|cos2|= -cos2,所以cos2<0,所以2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,2位于第一象限;当k为奇数时,2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sin2|=-sin2,则角2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角2在第一或第三象限.又|sin2|=-sin2,所以sin2<0,所以角2在第三象限.考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)2+16,当R=4cm时,S max=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(r22)2=16,当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3cm,所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3-3)cm2.【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16.【解析】设扇形的半径为r cm,圆心角弧度数为α=360π·π180=2,所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12×2×16=16.答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60r=240,解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α==608=152,所以扇形圆心角的弧度数为152rad.考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-32.【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-3)2=13.则sinα===-31313,tanα==-32.(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.【解析】由题设知:tan60°=4=3,即a=43.角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cos tan>0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,由cos tan>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()A.tan A与cos BB.cos B与sin CC.tan2与cos2D.tan2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以2,2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为0<A<π,所以0<2<π2,所以tan2>0,又因为0<C<π,所以sin C>0,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是()A.-2B.211C.-2或211D.1【解析】选B.由题设可知=35且2a+1>0,即a>-12,所以42+4r152+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cos5π6),则角α的最小正值为5π3.【解析】因为sin5π6>0,cos5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=-32,故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.。
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数高考概览：1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[知识梳理]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.任意角的三角函数[辨识巧记]1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(必修4P10A组T10改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )A ．10πB ．9π C.910π D.109π[解析] ∵200°＝10π9，∴单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为l ＝10π9×1＝10π9.故选D.[答案] D3．(必修4P 15练习T 6改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由正切和正弦的象限符号可知，在第三象限．故选C.[答案] C4．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－34[解析] 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. [答案] D5．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．[解析] 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4考点一 角的概念及集合表示【例1】 (1)若α是第三象限角，且cos α2>0，则α2是第________象限角． (2)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________．[解析] (1)解法一：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2(k∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈N )时，2n π＋π2<α2<2n π＋3π4，不满足cos α2>0，舍去．当k ＝2n ＋1(n ∈N )时，2n π＋π＋π2<α2<2n π＋π＋3π4，满足cos α2>0，∴α2是第四象限角．解法二：利用等分象限角的方法，可以判断α2是第二或四象限角，又因为cos α2>0，所以α2是第四象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z . [答案] (1)四 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，k ∈Z(1)确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②再写出kα或αk 的范围；③然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．(2)终边在某直线上角的求法3步骤①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；②按逆时针方向写出[0，π)内的角β；③{α|α＝k π＋β，k ∈Z }．[对点训练]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] －3π4是第三象限角；4π3是第三象限角；－400°＝－40°－360°，所以－400°是第一象限角；－350°＝10°－360°，所以350°是第一象限角．故②④正确，故选B.[答案] B2．设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，则两集合的关系是( ) A ．N ⊆M B ．M ＝N C ．M ND ．M ∩N ＝∅ [解析] 因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，所以：M N .故选C.[答案] C考点二 扇形的弧长和面积公式【例2】 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[思路引导] (1)化α为弧度制→代入弧长公式求解(2)利用扇形周长为C 确定α和R 的关系→用α表示扇形的面积S →借助函数知识求解[解] (1)设弧长为l ，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)解法一：扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.解法二：扇形周长C ＝2R ＋l ，面积S ＝12lR ＝12R (C －2R )＝－R 2＋12CR ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C 216⎝ ⎛⎭⎪⎫0<R <C 2， 当且仅当R ＝C 4，即C ＝4R 时，扇形的面积S 最大，此时C ＝4R ＝2R ＋l ，l ＝2R ，由l ＝2R 得α＝2，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l ＝|α|R ，S ＝12|α|R 2＝12lR .在公式的选择上以简单，计算量小为原则，如本例(2)中解法二比解法一计算量小．[对点训练]已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由S ＝12×4×R 2＝2，得R ＝1，所以弧长l＝4×1＝4，故扇形的周长C＝2R＋l＝2＋4＝6.故选C.[答案] C考点三三角函数的定义任意角的三角函数的定义属于理解内容，单独考查时不多，多结合其他知识一起考查，以选择、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)求三角函数值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线解不等式．角度1：求三角函数值【例3－1】已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．[解]设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，3＋m2＝8，解得m＝±5. 当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 角度2：判断三角函数值的符号【例3－2】 若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．故选C.[答案] C角度3：利用三角函数线解不等式【例3－3】 函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． [思路引导] 真数大于0→解三角不等式→ 单位圆中正弦线→看图得结果[解析] ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34， ∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )(1)定义法求三角函数的3种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数符号在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[对点训练]1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45[解析] 根据题，cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.故选D. [答案] D2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a 的取值范围是________．[解析] 因为sin α>0，cos α<0，所以α是第二象限角．所以点(3a －9，a ＋2)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9<0，a ＋2>0，解得－2<a <3.[答案] (－2,3)3．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． [解析] ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )课后跟踪训练(二十)基础巩固练一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是( ) A ．30° B ．－30° C ．630° D ．－630°[解析] 因为330°的角的终边与－30°的角的终边相同，所以选项B 满足题意．故选B.[答案] B2．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.[答案] D3．若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角B ．α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°C ．sin α>0D ．sin α<cos α[解析] 对于A ，∵π2<α<π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α>0，故C 正确；对于D ，sin α>0，cos α<0，故D 错误．故选D.[答案] D4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4[解析] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则l ＋2r ＝6，S ＝12lr ＝2，解得r ＝2，l ＝2或r ＝1，l ＝4，故α＝lr ＝1或4，故选C.[答案] C5．集合⎭⎬⎫{α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )[解析] 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.[答案] C 二、填空题6．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α为________象限角． [解析] α＝k ·180°＋45°＝k 2·360°＋45°.当k 为偶数时，α为第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．综上，α为第一或第三象限角．[答案] 第一或第三7．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． [解析] ∵角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－32.[答案] －328．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝________.[解析] 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.[答案] 1 三、解答题9．(1)设90°<α<180°，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，求tan α.(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.[解] (1)∵90°<α<180°，∴cos α<0，∴x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，∴x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ， 又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8.(舍去)． ∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎨⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin1＝sin1(cm)， ∴AB ＝2sin1(cm)．能力提升练11．(2019·江西南昌二中测试)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2[解析] r ＝(2sin2)2＋(－2cos2)2＝2.由任意角的三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos2，故选D.[答案] D12．(2019·山东济南外国语学校段考)下列结论中错误的是( ) A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角 C ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 [解析] 选项A ，若0<α<π2，则sin α<tan α＝sin αcos α，A 正确；选项B ，若α是第二象限角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，则α2∈⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ，为第一象限或第三象限角，B 正确；选项C ，若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k 5|k |，不一定等于45，C 不正确；选项D ，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为22＝1弧度，D 正确．故选C.[答案] C13．(2018·北京第三十五中学期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点A 在第二象限．若cos α＝－35，则点A 的坐标为________．[解析] ∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－35，45.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，4514.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴的正半轴的交点，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，∠AOB ＝90°.(1)求cos ∠COA ； (2)求tan ∠COB .[解] (1)因为点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，根据三角函数的定义可得cos ∠COA ＝513.(2)因为∠AOB ＝90°，sin ∠COA ＝1213， 所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋90°)＝－sin ∠COA ＝－1213.又因为点B 在第二象限， 所以sin ∠COB ＝1－cos 2∠COB ＝513.故tan ∠COB ＝sin ∠COB cos ∠COB＝－512.拓展延伸练15．(2019·上海长宁、嘉定一模)设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A.[答案] A16．(2019·河北张家口月考)若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角[解析] ∵角θ满足sin θ>0，tan θ<0，∴θ是第二象限角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，∴θ2是第一或第三象限角．故选C.[答案] C。
高三复习第一讲任意角、弧度制及任意角的三角函数
第三章三角函数、解三角形第一讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【考纲速读吧】1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．个必会技巧1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r 一定是正值．2．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．项必须注意1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．有关扇形的弧长l、面积S的题目，解题的关键是灵活运用l＝αr，S＝12l r＝12αr2两个公式，同时注意消元法和函数思想的运用．【课前自主导学】011．角的有关概念（1）从运动的角度看，角可分为正角、________和________．（2）从终边位置来看，可分为________和轴线角．（3）若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S＝{β|β＝________}（或{β|β＝________}）．判断下列命题是否正确①终边相同的角一定相等（）②第一象限的角都是锐角（）③若α是锐角，180°－α为第二象限的角（）④若α＝k·180°＋30°，则α是第一象限的角（）若α的终边落在第二象限角平分线上，则α的集合__________，若α的终边落在第二、四象限角平分线上，则α的集合________．3．弧度与角度的互化（1）1弧度的角长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． （2）角度与弧度之间的换算 360°＝________ rad,180°＝________ rad ，n °＝________ rad ，α rad ＝________，1 rad≈57°18′＝57．3°． （3）弧长、扇形面积公式①半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角的弧度是________．②扇形半径为r ，圆心角的弧度数是α，则这个扇形的弧长l ＝________，面积S ＝12lr ＝12________，周长＝．（1）120°的弧度数为________；495°的弧度数为________．（2）半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________．（3）已知扇形圆心角为25π，半径为20 cm ，则扇形的面积________．4．任意角的三角函数（1）定义：设角α终边与单位圆交于P （x ，y ），则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． （2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．如图中有向线段MP ，OM，AT 分别叫做角α的________，________和________．（3）诱导公式（一）α＋k ·2π）＝________；cos （α＋k ·2π）＝________；tan （α＋k ·2π）＝________．（k ∈Z ）（1）已知角α终边上一点P （－6,8），则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． （2）已知sin A >0且tan A <0，则A 为第________象限角．（3）cos （－113π）的值是________．（4）若π4<θ<π2则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系为______．【自我校对】1．负角 零角 象限角 α＋2k π，k ∈Z α＋k ·360°，k ∈Z 2．判一判：①× ②× ③√ ④× 填一填：{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } {α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z }3．半径 2π π n π180 [α（180π）]° lr |α|r |α|·r 2 |α|r ＋2r填一填：（1）23π 114π （2）2 （3）80π cm 24．y x yx（x ≠0） 正弦线 余弦线 正切线 sin α cos α tan α填一填：（1） 45 －35 －43 （2）二 （3） 12（4）tan θ>sin θ>cos θ【核心要点研究】02xyyxyxy【考点一】象限角及终边相同的角例1 （1）[2012·郑州期末]若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为（ ）A ．2k π＋β（k ∈Z ）B ．2k π－β（k ∈Z ）C ．k π＋β（k ∈Z ）D ．k π－β（k ∈Z ） （2）已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第________象限．（ ） A ． 一 B ． 二 C ． 三 D ． 四【审题视点】（1）利用终边相同的角进行表示及判断．（2）利用三角函数在各象限的符号作判断．[解析] （1）因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝2k π（k ∈Z ）．所以α＝2k π－β（k ∈Z ）．（2）因为点P （tan α，cos α）在第三象限，因此有⎩⎨⎧tan α<0cos α<0，∴α是第二象限角，故选B ．[答案] （1）B （2）B【师说点拨】1．研究角终边关系问题时可借助于图形分析，注意周期性．2．熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限．【变式探究】（1）已知角α＝2k π－π5（k ∈Z ），若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为（ ）A ．1B ．－1C ．3D ．－3（2）设集合M ＝{x |x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z }，那么（ ）A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅ 答案：（1）B （2）B解析：（1）由α＝2k π－π5（k ∈Z ）及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0．因此，y ＝－1＋1－1＝－1，故选B ．（2）法一：由于M ＝{x |x ＝k2×180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝{x |x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B ．法二：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·（2k ＋1），2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝（k ＋1）·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B ．【考点二】三角函数的定义例2 已知角α的终边上一点P （－3，m ）（m ≠0），且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 【审题视点】由sin α＝2m4结合三角函数的定义建立关于参数m 的方程求出m 的值，再根据定义求cos α，tan α的值．[解] 由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝（－3）2＋m 2（O 为原点），得r ＝3＋m 2．从而sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22，于是3＋m 2＝8，解得m ＝±5．当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3， ∴ cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3， ∴ cos α＝－322＝－64，tan α＝153【师说点拨】定义法求三角函数值的两种情况（1）已知角α终边上一异于原点的点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【变式探究】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P （4t ，－3t ）（t ≠0），则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34．综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34．【考点三】扇形的弧长和面积公式例3 已知一扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l ．（1）若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ．（2）若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【审题视点】（1）可直接使用弧长公式计算，但注意角需用弧度制．（2）可用弧长或半径来表达出扇形的面积，然后确定其最大值．[解] （1）α＝60°＝π3 rad ， ∴l ＝|α|·R ＝π3×10＝10π3cm ．（2）由题意得l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R （0<R <10）．∴S 扇＝12l ·R ＝12（20－2R ）·R ＝（10－R ）·R ＝－R 2＋10R ．∴当且仅当R ＝5时，S 有最大值25．此时l ＝20－2×5＝10，α＝l R ＝105＝2 rad ．∴当α＝2 rad 时，扇形面积取最大值．奇思妙想：本例第（2）问改为“若扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角”．该如何解答？解：⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝1012α·R 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1α＝8（舍去），或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4α＝12， ∴扇形圆心角为12．【师说点拨】（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便．（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理利用圆心角所在的三角形．【变式探究】一个扇形OAB 的面积为1cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB ．解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴ 圆心角α＝lr ＝2．过O 作OH ⊥AB 于H ．则∠AOH ＝1弧度， ∴AH ＝1·sin1＝sin1（cm ），∴AB ＝2sin1（cm ）．【课课精彩无限】03三角函数定义的应用错误[2011·全国新课标高考]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝（ ）A ．－45B ．－35C ．35D ．45[规范解答] 方法1：设P （t,2t ）（t ≠0）为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |．当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55．因此cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35． 方法2：tan θ＝y x ＝2， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35． [答案] B 【备考·角度说】No ．1 角度关键词：易错分析（1）误认为角θ的终边为第一象限，导致漏解；（2）直接在终边y ＝2x 上任取一些特殊点，根据三角函数的定义求值，而不分情况讨论致误； （3）利用三角函数定义时，易把x ，y 的位置颠倒，弄错正弦和余弦的定义． No ．2 角度关键词：备考建议（1）利用定义来求任意角的三角函数，关键是求出角的终边上点P 的横、纵坐标及点P 到原点的距离，再利用定义求解．（2）若角的终边落在某条直线上，这时终边位置实际上有两个，对应的三角函数值有两组，应分别求解． （3）多维思考，方法选择得当，可避免讨论，高效解题． 【经典演练提能】041．[2013·怀化检测]sin2cos3tan4的值 （ ）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 答案：A解析：∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0．2．[2013·北京东城模拟]点P 从（1,0）出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q点的坐标为 （ ）A ．（－12，32）B ．（－32，－12）C ．（－12，－32）D ．（－32，12）答案：A解析：设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标（x ，y ）满足x ＝cos α，y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为（－12，32）．3．[2013·安庆质检]将表的分针拨快10分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ）A ． π3B ． π6C ． －π3D ． －π6答案：C解析：将表的分针拔快应按顺时针方向旋转为负角，∴A 、B 不正确，又∵拔快10分钟，应转圆周的16，∴弧度数为－16·2π＝－π3，∴选C ．4．设θ是第三象限角，且|cos θ2|＝－cos θ2，则θ2是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：B解析：由于θ是第三象限角，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2（k ∈Z ），k π＋π2<θ2<k π＋3π4（k ∈Z ）；又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2，（k ∈Z ），综上可知2k π＋π2<θ2<2k π＋3π4，（k ∈Z ），即θ2是第二象限角．5．[2013·大庆调研]已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（ ）A ．2B ．1C ．12D ．3答案：A解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4则面积S ＝12rl ＝12r （4－2r ）＝－r 2＋2r ＝－（r －1）2＋1，∴当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2． 从而α＝l r ＝21＝2．【限时规范特训】05（时间：45分钟 分值：100分）一、选择题 1． [2013·河南调研]与－525°的终边相同的角可表示为（ ）A ． 525°－k ·360°（k ∈Z ）B ． 165°＋k ·360°（k ∈Z ）C ． 195°＋k ·360°（k ∈Z ）D ． －195°＋k ·360°（k ∈Z ） 答案：C解析：在α＝195°＋k ·360°（k ∈Z ）中，令k ＝－2得α＝－525°，故选C ． 2． [2013·福州模拟]下列三角函数值的符号判断错误的是（ ）A ． sin165°>0B ． cos280°>0C ． tan170°>0D ． tan310°<0 答案：C解析：∵170°为第二象限角，∴tan 170°<0，选C ．3． 已知角α∈（－π2，0），cos α＝23，则tan α＝（ ）A ． －53B ． －1313C ． 513D ． －52答案：D解析：∵α∈（－π2，0），cos α＝23，∴sin α＝－1－cos 2α＝－53，∴tan α＝sin αcos α＝－52，故选D ．4． 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（ ）A ． π3B ． 2π3 C ． 3 D ． 2答案：C解析：设圆半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ．∴圆弧长为3R ．∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝3．5． [2013·海口模拟]已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是（ ）A ． （π4，π2）B ． （π，54π）C ． （3π4，54π）D ． （π4，π2）∪（π，54π）答案：D解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0tan α>0，解得α∈（π4，π2）∪（π，54π）．6． [2013·大连模拟]已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点（－12，32），2α∈[0,2π），则tan α＝（ ）A ． － 3B ． 3C ． 33D ． ±33答案：B解析：由角2α的终边在第二象限，知tan α>0，依题设知tan2α＝－3，所以2α＝120°，得α＝60°，tan α＝3． 二、填空题 7． [2013·泉州质检]若角α的终边经过点P （1,2），则sin2α的值是________．答案：45解析：∵sin α＝25，cos α＝15，∴sin2α＝2×25×15＝45． 8． 在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的圆心角α是________rad ．答案：23π解析：由已知可得半径R ＝1，∴sin α2＝AB 2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π．9． [2013·抚顺模拟]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P （4，y ）是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．答案：－8解析：因为r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8． 三、解答题10． 已知角α的终边过点P （－3cos θ，4cos θ），其中θ∈（π2，π），求α的三角函数值．解：∵θ∈（π2，π），∴－1<cos θ<0． ∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43．11． [2013·包头月考]已知角θ的终边上有一点M （3，m ），且sin θ＋cos θ＝－15，求m 的值．解：r ＝32＋m 2＝m 2＋9，依题意sin θ＝m m 2＋9， cos θ＝3m 2＋9，∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15． 即m ＋3m 2＋9＝－15， 解得m ＝－4或m ＝－94，经检验知m ＝－94不合题意，舍去． 故m ＝－4．12． [2013·盐城模拟]扇形AOB 的周长为8 cm ．（1）若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ． 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，（1）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6．（2）∵2r ＋l ＝8， ∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14（l ＋2r 2）2＝14×（82）2＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4．∴r ＝2， ∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1．。
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 - 讲义
三角函数知识点 考纲下载任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x . 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．三角函数的图象与性质1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间)2,2(ππ-内的单调性．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.两角和与差的正弦、余弦及正切公式1.会用向量知识或三角函数线推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.简单的三角恒等变换 1.能利用两角和的正弦、余弦和正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．解三角形应用举例 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数弧度制及任意角的三角函数1．任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________． 答案：(1)射线 逆时针 顺时针 零角 (2)象限角使角的顶点与____________重合，角的始边与x 轴的____________重合． 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． ①α是第一象限角可表示为｝｜｛Z k k k ∈+<<,222ππαπα ②α是第二象限角可表示为 ； ③α是第三象限角可表示为 ； ④α是第四象限角可表示为 ． 答案：原点 非负半轴 ②},222|{Z k k k ∈+<<+ππαππα③},2322|{Z k k k ∈+<<+ππαππα ④},22232|{Z k k k ∈+<<+ππαππα或},222|{Z k k k ∈<<-παππα (3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }； ②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作_______________； ③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作_________________； ④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作_________________； ⑤终边在x 轴上的角的集合可记作_______________________； ⑥终边在y 轴上的角的集合可记作 ； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 ．答案： 坐标轴 ②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z ③},22|{Z k k ∈+=ππαα④},232|{Z k k ∈+=ππαα ⑤{α|α＝k π，k ∈Z } ⑥},2|{Z k k ∈+=ππαα ⑦},2|{Z k k ∈=παα (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________. 答案： {β|β＝α＋2k π，k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z } 2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝ ，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长． (2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad ≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝__________；扇形面积公式S 扇＝ ＝ ．答案：(1)半径长 l r (2)2π π π180 0)180(π (3)||αr 12||αr 2 12lr3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)．※cot α＝x y (y ≠0)，sec α＝r x (x ≠0)，csc α＝ry(y ≠0)．答案：y r x r y x(2)正弦、余弦、正切函数的定义域 (3)答案：①R ②R ③},2|{Z k k ∈+≠ππαα(3)三角函数值在各象限的符号sin α cos α tan α4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P .过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T .根据三角函数的定义，有OM ＝x ＝________，MP ＝y ＝________，AT ＝ ＝________.像OM ，MP ，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，AT ，分别叫做角α的_______、_______、_______，统称为三角函数线．答案： cos α sin α yxtan α 正弦线 余弦线 正切线5．特殊角的三角函数值答案：.1．辨明四个易误点(1)易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．(2)利用180＝πrad 进行互化时，易出现度量单位的混用．(3)三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.(4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 2．会用两个方法(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．考点一 象限角及终边相同的角(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (2)若角θ的终边与76π角的终边相同，求在[0，2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限． [解] (1)∵在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是3π， ∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为},3|{Z k k ∈+=ππαα(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )．依题意0≤2π7＋2k π3<2π⇒－37≤k <187，k ∈Z .∴k ＝0，1，2，即在[0，2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)由α是第三象限角，得π＋2k π<α<3π2＋2k π(k ∈Z )，∴2π＋4k π<2α<3π＋4k π(k ∈Z )．∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴． [规律方法] 1.表示区间角的三个步骤：(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．角α0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 角α的 弧度数 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2π sin α 0 12 22 32 1 322212－1 0 cos α 1 32 22 12 0 －12 －22 －32 －1 0 1 tan α 03313不 存 在－3－1－33不 存 在(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． 2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．1.(1)在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．(2)在本例(3)的条件下，判断α2为第几象限角？(1)解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°<45°＋k ×360°<0°，得－765°<k ×360°<－45°，解得－765360<k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°(2)解：∵π＋2k π<α<3π2＋2k π(k ∈Z )，∴π2＋k π<α2<3π4＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，π2＋2n π<α2<3π4＋2n π，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，3π2＋2n π<α2<7π4＋2n π，∴α2为第二或第四象限角．考点二 扇形的弧长、面积公式已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？[解] (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10(cm)，α＝2 rad. [规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．2.已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解：设圆心角是θ，半径是r .则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12.故扇形圆心角为12 rad.考点三 三角函数的定义(高频考点)任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中以选择题、填空题的形式出现，高考对三角函数定义的考查主要有以下三种命题角度：(1)已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值； (2)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值； (3)判断三角函数值的符号．(1)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin 2α>0D ．cos 2α>0(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________．[解析] (1)∵tan α＞0，∴α∈)2,(πππ+k k (k ∈Z )是第一、三象限角．∴sin α，cos α都可正、可负，排除A ，B.而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )， 结合正、余弦函数图象可知，C 正确．取α＝π4，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D 不正确．(2)取终边上一点(a ，2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，由tan θ＝2，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.(3)因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.[答案] (1)C (2)B (3)－35[规律方法] 用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解； (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．3.(1)设角α终边上一点P (－4a ，3a )(a <0)，则sin α的值为________．(2)已知角α的终边经过点P (－3，m )，且sin α＝34m (m ≠0)，判断角α是第几象限角，并求tan α的值．(1)解析：设点P 与原点间的距离为r ，∵P (－4a ，3a )，a <0，∴r ＝（－4a ）2＋（3a ）2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a r ＝－35.答案：－35(2)解：依题意，点P 到原点O 的距离为r ＝（－3）2＋m 2＝3＋m 2，∴sin α＝m3＋m2， 又∵sin α＝34m ，m ≠0，∴m 3＋m 2＝34m ，∴m 2＝73，∴m ＝±213.∴点P 在第二或第三象限．故角α是第二象限角或第三象限角．当α是第二象限角时，m ＝213，tan α＝213－3＝－73，当α是第三象限角时，m ＝－213，tan α＝－213－3＝73.交汇创新——三角函数定义下的创新(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )[解析] 如图所示，当x ∈)2,0(π时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x ，0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则||MM ′|OM |＝sin x ，∴f （x ）cos x＝sin x ，∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12；当x ∈),2(ππ时，有f （x ）|cos x |＝sin (π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项的图象符合．[答案] B[名师点评] (1)本题是三角函数与圆的结合，利用三角函数定义首先写出P 、M 坐标，结合图形用x 表示出f (x )，即可判断出结果，此类问题见证了数学中的“以静制动”．(2)近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导．一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式，运用三角知识考查学生分析问题解决问题的能力．(2013·高考江西卷) 如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )解析：选B.圆半径为1，设弧长x 所对的圆心角为α，则α＝x ，如图所示，cosα2＝1－t ，即cos x2＝1－t ，则y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．其图象为开口向上，在[0，1]上的一段抛物线．。
三角函数复习题目4.1—4.7
三角函数总复习4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数题型一：求与已知角终边相同的角例1 已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；(2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，那么两集合的关系是什么？ 变式题1：(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(3)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角． 题型二：三角函数的定义例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝36x ， 求sin α＋1tan α的值．变式题2：已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．题型三：三角函数值的符号及判定例3 (1)如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．(2)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号是什么？ 变式题3：已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，cos θ)在第几象限？题型四：扇形的弧长、面积公式的应用例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？数形结合具体体现三角函数线的应用(14分)(1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小． 4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式题型一：同角三角函数的基本关系式的应用例1 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15. (1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 变式题1(1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α；(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.题型二：三角函数的诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π 的值．变式题2：(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)；(2)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋x ，求f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值 题型三：三角函数式的化简与证明例3 求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.变式题3：证明下列恒等式：(1)1＋2sin (360°＋x )cos (360°＋x )cos 2(360°＋x )－sin 2(360°＋x )＝1＋tan x 1－tan x； (2)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α. 分类讨论思想和整体、化归思想在三角函数式化简中的应用(14分)(1)化简：sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α (n ∈Z)； (2)化简：sin (n π－α)cos[(n －1)π－α]sin[(n ＋1)π＋α]cos (n π＋α)(n ∈Z)． 4.3三角函数的图象与性质题型一：与三角函数有关的函数定义域问题例1 求下列函数的定义域：(1)y ＝lgsin(cos x )；(2)y ＝sin x －cos x .变式题1(1)求函数y ＝lg (2sin x －1)＋－tan x －1cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π8的定义域；(2)求函数y ＋tan x 的定义域．题型二：三角函数的单调性与周期性例2 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 变式题2(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值； (2)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. ①求f (x )的最小正周期；②求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．题型三：三角函数的对称性与奇偶性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R)，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________． (2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．变式题3(1)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是________．分类讨论及方程思想在三角函数中的应用(14分)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．4.4函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用题型一：作y ＝Asin(ωx ＋φ)的图例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 变式题1：设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ) (ω>0，－π2<φ<0)的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象（给定区间上的函数图像）；(3)若f (x )>22，求x 的取值范围． 题型二：求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫32π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数解析式；(2)写出函数的单调区间．变式训练2：(1)(2011·江苏)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是______．(2)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)， y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)＝________.题型三：三角函数模型的应用例3 如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3 (A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 .(1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 上，且∠POE ＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．变式题3：如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？题型四：用方程思想求三角函数图象的解析式(14分)如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个 单位后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．课堂热点精讲例1：已知函数2()5sin cos f x x x x =-(1)求 f (x )的单调增区间(2)求 f (x )图象的对称中心；(3)求 f (x )在[0,]2π上的最大值和最小值 . (4)在给定的坐标系中作出函数 f (x )在[0, π] 上的图象 .例2. 如何由 y =sin x 的图象得到)4y x π+的图象? 【例3】已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24,单位：时)的函数，记作：y ＝f (t ),(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b (ω>0)的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式．(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00至20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？例4.如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离是h .(1)求h 与θ间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车第一次到达最高点时用的时间．【例5】已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (其中A 、B 、ω是实常数，且ω＞0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )取得最大值2. (1)求函数f (x )的表达式；(2)在闭区间[214，234]上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，说明理由．(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值； (2)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. ①求f (x )的最小正周期；②求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R)，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________． (2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．4.5两角和与差的正弦、余弦和正切题型一：利用和、差角公式求值例1 求下列各式的值：(1)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°；(2)3sin 220°－1cos 220°＋64sin 220°. 变式题1(1)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.题型二：三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23， 求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． 变式题2：(2011·广东)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R.(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 题型三：三角变换的简单应用例3已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围变式题3(2010·天津)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最 小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值． 构造辅助角逆用和角公式解题(14分)已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值4.6二倍角的三角函数题型一：三角函数式的化简求值例1 已知3π4<α<π，tan α＋1tan α＝－103，求 5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π2的值变式题1化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2. 题型二：三角函数式的求值例2 已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin α的值． 变式题2已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝45，sin(α＋β)＋sin(α－β)＝35， (1)求tan α；(2)2cos 2α2－3sin α－12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 用三角变换研究三角函数的性质(14分)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＋23cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时相应的x 的值；(2)若函数y ＝f (2x )－a 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上恰有两个零点x 1，x 2，求tan(x 1＋x 2)的值．。
弧度制与任意角知识梳理
第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) §4.1弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．本节内容是整个三角函数部分的基础，主要考查三角函数的概念，三角函数值在各象限的符号，利用三角函数线比较三角函数值的大小等，一般不单独设题，主要是与三角函数相关的知识相结合来考查．1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与____________重合，角的始边与x轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ；②α是第二象限角可表示为 ；③α是第三象限角可表示为 ； ④α是第四象限角可表示为 ． (3)非象限角如果角的终边在 上，就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }； ②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作_________________________________________； ③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作_________________________________________； ④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑤终边在x 轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑥终边在y 轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_________________________________________； (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝ ，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝_______；扇形面积公式S 扇＝ ＝ ．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)．※cot α＝x y (y ≠0)，sec α＝r x (x ≠0)，csc α＝ry (y ≠0)．(2)(3)三角函数值在各象限的符号sinαcosαtanα4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x＝________，MP＝y＝________，AT＝＝________.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的、、，统称为三角函数线．※sin15°＝6－24，sin75°＝6＋24，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．【自查自纠】1．(1)射线 逆时针 顺时针 零角 (2)原点 非负半轴②⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或{α|2k π－π2<α<2k π，k ∈Z }(3)坐标轴②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ⑤{α|α＝k π，k ∈Z }⑥⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ⑦⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z(4){β|β＝α＋2k π，k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z } 2．(1)半径长 l r (2)2π π π180 ⎝⎛⎭⎫180π°(3)||αr12||αr 2 12lr 3．(1)y r x r yx(2)①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z4．cos α sin α yx tan α 正弦线 余弦线正切线 5.与－463°终边相同的角的集合是()α|α＝k·360°＋463°，k∈ZA.{}α|α＝k·360°＋103°，k∈ZB.{}α|α＝k·360°＋257°，k∈ZC.{}α|α＝k·360°－257°，k∈ZD.{}解：显然当k＝－2时，k·360°＋257°＝－463°.故选C.给出下列命题：①小于π2的角是锐角；②第二象限角是钝角；③终边相同的角相等；④若α与β有相同的终边，则必有α－β＝2k π(k ∈Z )．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：①锐角的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，故不正确；②钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π，而第二象限角为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，故不正确；③若α＝β＋2k π，k ∈Z ，α与β的终边相同，但当k ≠0时，α≠β，故不正确；④正确．故选B .若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( )A ．2 3B ．±2 3C ．－2 2D ．－2 3解：由cos α＝x x 2＋4＝－32，解得x ＝－2 3.故选D . 若点P ()x ，y 是30°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解：y x ＝tan30°＝33.故填33.半径为R 的圆的一段弧长等于23R ，则这段弧所对的圆心角的弧度数是____________．解：圆心角的弧度数α＝23R R ＝2 3.故填23.类型一 角的概念若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置． 解：∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )． (1)∵180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°(k ∈Z )， 故2α的终边在第三或第四象限或y 轴的负半轴上． (2)∵45°＋k ·180°＜α2＜90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°＜α2＜90°＋n ·360°，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°＜α2＜270°＋n ·360°.∴α2的终边在第一或第三象限． (3)∵30°＋k ·120°＜α3＜60°＋k ·120°(k ∈Z )，当k ＝3n (n ∈Z )时，30°＋n ·360°＜α3＜60°＋n ·360°，当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，150°＋n ·360°＜α3＜180°＋n ·360°，当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，270°＋n ·360°＜α3＜300°＋n ·360°.∴α3的终边在第一或第二或第四象限． 【评析】关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解此类题一般步骤为先写出α的范围→求出2α，α2，α3的范围→分类讨论求出2α，α2，α3终边所在位置． 已知角2α的终边在x 轴的上方(不与x 轴重合)，求α的终边所在的象限．解：依题意有2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )， ∴k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k ＝0时，0＜α＜π2，此时α是第一象限角；当k ＝1时，π＜α＜32π，此时α是第三象限角．综上，对任意k ∈Z ，α为第一或第三象限角． 故α的终边在第一或第三象限．类型二 扇形的弧长与面积问题如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求：(1)AB ︵的长；(2)弓形ACB 的面积．解：(1)∵∠AOB ＝120°＝2π3，R ＝6，∴l AB ⌒＝2π3×6＝4π.(2)S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12l AB ⌒R －12R 2sin ∠AOB ＝12×4π×6－12×62×32＝12π－9 3. 【评析】①直接用公式l ＝|α|R 可求弧长，利用S 弓＝S 扇－S △可求弓形面积．②关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．③弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用．扇形AOB 的周长为8 cm.若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小．解：设扇形半径为r ，则弧长为8－2r ， ∴S ＝12·(8－2r )·r ＝3，∴r ＝1，或r ＝3.∴圆心角θ＝弧长半径＝8－2r r ＝6或23.类型三 三角函数的定义已知角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：因为角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)，所以r ＝5a ，x ＝a ，y ＝2a . sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55，tan α＝y x ＝2a a＝2.【评析】若题目中涉及角α终边上一点P 的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求解．已知角α的终边经过点P (3m －9，m＋2)．(1)若m ＝2，求5sin α＋3tan α的值；(2)若cos α≤0且sin α＞0，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵m ＝2，∴P (－3，4)，∴x ＝－3，y ＝4，r ＝5. ∴sin α＝y r ＝45，tan α＝y x ＝－43.∴5sin α＋3tan α＝5×45＋3×⎝⎛⎭⎫－43＝0. (2)∵cos α≤0且sin α＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －9≤0，m ＋2＞0.∴－2＜m ≤3.类型四三角函数线的应用用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知0≤α＜2π，求证：|sinα|＋|cosα|≥1.证明：作平面直角坐标系xOy和单位圆．(1)当角α的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox轴，设它交单位圆于A点，如图1，显然sinα＝0，cosα＝OA＝1，所以|sinα|＋|cosα|＝1.图1图2(2)当角α的终边不在坐标轴上时，不妨设为OP，设它交单位圆于A点，过A作AB⊥x轴于B ，如图2，则sin α＝BA ，cos α＝OB .在△OAB 中，|BA |＋|OB |＞|OA |＝1， 所以|sin α|＋|cos α|＞1. 综上所述，|sin α|＋|cos α|≥1.【评析】三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性．求证：当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<α<tan α. 证明：如图所示，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ，过P 作PM ⊥OA 于M ，连接AP ，则在Rt △POM 中，sin α＝MP ，在Rt △AOT中，tan α＝AT ，又根据弧度制的定义，有AP ︵＝α·OP ＝α，易知S △P O A <S 扇形P O A <S △A O T ，即12OA ·MP < 12AP ︵·OA <12OA ·AT ，即sin α<α<tan α.1．将角的概念推广后，要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合为{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }，显然锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行换算，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2k π＋30°(k ∈Z )，β＝k ·360°＋π2(k ∈Z )的写法都是不正确的．3．一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷． 4．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，但要注意对可能情况的讨论．5．牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．2k π＋α表示与α终边相同的角，其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和，是π的整数倍时，要分类讨论．如：(1)sin(2k π＋α)＝sin α；(2)sin(k π＋α)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α（k 为偶数），－sin α（k 为奇数）＝(－1)k sin α.7．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
中职数学基础模块上册第四章任意角的三角函数教学设计课件
则sin y , cos x , tan y 分别叫做角α的正弦、余弦、正
r
r
x
切.
【说明】 1.角α是任意角,即凡是终边相同的角的三角函数值相等; 2.对每一个确定的α值,其正弦、余弦、正切都分别对应一个 确定的比值.三角函数是以角为自变量,“比值”为函数值的函数; 3.三角函数值与点P在终边上的位置无关,只与角的大小有关; 4.终边在坐标轴上(界限角)上述定义同样适用. 【注意】 当角α采用弧度制时,角α的取值集合与实数集R之 间具有一一对应的关系,所以三角函数是以实数α为自变量的函 数.
2.界限角的集合表示 终边在x轴上的角表示为{α|α=k·180°,k∈Z} 终边在y轴上的角表示为{α|α=90°+k·180°,k∈Z}
(1)小华发现教室的时钟慢了,她调快了10分钟,则分针转过的角 度是 60 .
(2)下列说法中,正确的是 ( B ) A.小于90°角是锐角 B.锐角是第一象限角 C.第一象限角是锐角 D.第一象限角是正角
(4)弧长公式:l=|α|r(α为弧度数); 由弧长定义|α|= l (rad)变形可得弧长公式:l=|α|r(α为弧度数).
r
(1)将下列各角度化为弧度:
①18°;
① ;
10
②60°;
② ;
3
③105°;
③ 7 ;
12
(2)将下列各弧度化为角度:
① ;
6
② ;
4
③ 2;
5
①30;
② 45;
③72;
4.终边相同的角 具有共同始边,终边位置也相同的角叫做终边相同的角. 终边相同的角其差值必定是360°的整数倍. 对于给定的角α,与角α终边相同的角有无限多个,它们可以用 一个集合表示. 与角α终边相同的角的集合可表示为: S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
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§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．下列命题正确的是( ) A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于90°的角都是锐角 2．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( ) A．2kπ＋β (k∈Z) B．2kπ－β (k∈Z) C．kπ＋β (k∈Z) D．kπ－β (k∈Z) 3．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 4．有下列命题： ①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角； ④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－xx2＋y2. 其中正确的命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m的值为( ) A．－12 B.12 C．－32 D.32 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．已知α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m) (m>0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α等于________． 7．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，5)，且cos α＝24
m，则sin α的值为________．
8．若β的终边所在直线经过点Pcos 3π4，sin 3π4，则sin
β＝________，tan β＝________.
9．函数y＝sin x＋－cos x的定义域是______________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)设θ为第三象限角，试判断sinθ2cosθ2的符号．
11．(14分)扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
12．(14分)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0)，角β终边上的点Q与A关于直线y
＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
答案 1.C 2.B 3.C 4.A 5.B
6. 25 7. 104 8.22或－22 －1 9.π2＋2kπ，π＋2kπ (k∈Z)
10.解 ∵θ为第三象限角，
∴2kπ＋π<θ<2kπ＋3π2 (k∈Z)，
kπ＋π2<θ2
3
4
π，
此时θ2在第二象限．
∴sinθ2>0，cosθ2<0.因此sinθ2cosθ2<0；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
(2n＋1)π＋π2<θ2<(2n＋1)π＋3π4(n∈Z)，
即2nπ＋3π2<θ2<2nπ＋7π4(n∈Z)．
此时θ2在第四象限．
∴sinθ2<0，cosθ2>0，
因此sinθ2cosθ2<0.
综上可知sinθ2cosθ2<0.
11. 解 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得 2r＋l＝8，12lr＝3，
解得 r＝3，l＝2，或 r＝1，l＝6，
∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.
(2)∵2r＋l＝8，
∴S扇＝12lr＝14l·2r≤14l＋2r22＝14×822＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴r＝2，∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
12. 解 由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，
点Q的坐标为(2a，a)．
所以，sin α＝－2aa2＋－2a2＝－25，
cos α＝aa2＋－2a2＝15，
tan α＝－2aa＝－2，
sin β＝a2a2＋a2＝15，
cos β＝2a2a2＋a2＝25，
tan β＝a2a＝12，
故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β
＝－25·15＋15·25＋(－2)×12＝－1.