2018-2019年中考数学复习第2单元方程组与不等式组第7课时一元二次方程及其应用检测湘教版5

课时训练(七)一元二次方程及其应用 |夯 实 基 础| 一、选择题 1．[2017·泰安]一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为( ) A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3 C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝3 2．[2017·益阳]关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－1，那么下列结论一定成立的是( ) A．b2－4ac>0 B．b2－4ac＝0 C．b2－4ac<0 D．b2－4ac≤0 3．[2017·广州]关于x的一元二次方程x2＋8x＋q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( ) A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4 4．[2016·河北]a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0 5．[2017·衡阳]中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为( ) A．200(1＋2x)＝1000 B．200(1＋x)2＝1000 C．200(1＋x2)＝1000 D．200＋2x＝1000

6．[2016·广州]定义运算：a★b＝a(1－b)，若a，b是方程x2－x＋14m＝0(m＜1)的两根，则b★b－a★a的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．与m有关 二、填空题 7．[2015·丽水]解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程：__________． 8．[2016·菏泽]已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝________． 9．[2017·资阳]关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(2a＋1)x＋a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．

图K7－1 10．如图K7－1，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地(阴影部分所示)，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m. 11．[2017·淄博]已知α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则α2＋αβ－3α的值为________． 三、解答题 12．(1)解方程：x(x＋6)＝16(用三种不同的方法)； (2)[2016·安徽]解方程：x2－2x＝4. 13．[2017·滨州]根据要求，解答下列问题． (1)解下列方程(直接写出方程的解即可)： ①方程x2－2x＋1＝0的解为__________； ②方程x2－3x＋2＝0的解为__________； ③方程x2－4x＋3＝0的解为__________； „„ „„ (2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2－9x＋8＝0的解为____________； ②关于x的方程__________的解为x1＝1，x2＝n. (3)请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性． 14．[2016·永州]某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 15．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次蛋糕属第几档次产品？ (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ |拓 展 提 升| 16．[2017·温州]我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是( ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 17．关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0. (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根．

(2)设x1，x2是一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝x2x1＋x1x2＋x1＋x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．

参考答案 1．A 2.A

3．A [解析] 根据一元二次方程根的判别式得Δ＝82－4q＞0，解得q＜16. 4．B [解析] 根据(a－c)2＝a2＋c2－2ac，又(a－c)2＞a2＋c2，∴a2＋c2－2ac＞a2＋c2，∴ac＜0.在方程ax2＋bx＋c＝0中，Δ＝b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根． 5．B 6．A [解析] ∵a，b是方程x2－x＋14m＝0(m＜1)的两根，∴a2－a＋14m＝0，b2－b＋14m＝0，∴a2－

a＝b2－b＝－14m.∵a★b＝a(1－b)，∴b★b－a★a＝b(1－b)－a(1－a)＝b－b2－a＋a2＝(a2－a)－(b2－b)＝0，故选择A. 7．x＋3＝0(或x－1＝0) [解析] 原方程化为(x－1)(x＋3)＝0，∴x－1＝0或x＋3＝0. 8．6

9．a＞－18且a≠1 [解析] 依题意可知a－1≠0且Δ＞0，即(2a＋1)2－4a(a－1)＞0，解得a＞－18且a≠1.

10．2 [解析] 设人行通道的宽度为x m，根据题意得，(30－3x)(24－2x)＝480，解得x1＝20(舍去)，x2＝2.即人行通道的宽度是2 m. 11．0 [解析] ∵α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，∴α2－3α－4＝0且αβ＝－4.∴α2－3α＝4.∴α2＋αβ－3α＝(α2－3α)＋αβ＝4－4＝0. 12．解：(1)解法一：x2＋6x＝16，∴x2＋6x－16＝0， ∴(x＋8)(x－2)＝0， ∴x＋8＝0或x－2＝0，∴x1＝－8，x2＝2. 解法二：x2＋6x＝16，∴x2＋6x－16＝0. ∵a＝1，b＝6，c＝－16， ∴b2－4ac＝36＋64＝100，

∴x＝－6±1002，∴x1＝－8，x2＝2. 解法三：x2＋6x＝16， ∴x2＋6x＋622＝16＋622， ∴(x＋3)2＝25，x＋3＝±5， ∴x1＝－8，x2＝2. (2)配方得x2－2x＋1＝4＋1，即(x－1)2＝5， 开方得x－1＝±5，∴x1＝1＋5，x2＝1－5. 13．解：(1)①x1＝1，x2＝1； ②x1＝1，x2＝2； ③x1＝1，x2＝3. (2)①x1＝1，x2＝8； ②x2－(1＋n)x＋n＝0. (3)x2－9x＋8＝0，x2－9x＝－8，

x2－9x＋814＝－8＋814，

(x－92)2＝494， ∴x－92＝±72.∴x1＝1，x2＝8. 14．解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x， 根据题意得：400(1－x)2＝324. 解得x＝0.1＝10%或x＝1.9(不合题意，舍去)． 答：该种商品每次降价的百分率为10%. (2)设第一次降价后售出该种商品m件， 根据题意得：[400(1－10%)－300]m＋(324－300)(100－m)≥3120. 解得m≥20. 答：第一次降价后至少要售出该种商品20件． 15．解：(1)设此批次蛋糕属第x档次产品，则10＋2(x－1)＝14，解得x＝3. 答：此批次蛋糕属第3档次产品． (2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意，得 [10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝1080，解得x1＝5，x2＝11(舍去)． 答：该烘焙店生产的是第5档次的产品． 16．D [解析] 由题意可得：2x＋3＝1或2x＋3＝－3，解得x1＝－1，x2＝－3. 17．解：(1)证明：①当k－1＝0，即k＝1时，方程为一元一次方程2x＋2＝0，有一个解； ②当k－1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， Δ＝(2k)2－4×2(k－1)＝4k2－8k＋8＝4(k－1)2＋4＞0， 方程有两不等实数根． 综合①②得：无论k为何值，方程总有实数根． (2)根据一元二次方程的两个根分别为x1和x2， 由一元二次方程根与系数的关系得： x1＋x2＝－2kk－1，x1x2＝2k－1， 又∵S＝x2x1＋x1x2＋x1＋x2，

∴S＝x12＋x22x1x2＋x1＋x2＝()x1＋x22－2x1x2x1x2＋x1＋x2 ＝－2kk－12－4k－12k－1＋－2kk－1＝2k2k－1－2＋－2kk－1＝2k－2. 当S＝2时，2k－2＝2，解得k＝2， ∴当k＝2时，S的值为2， ∴S的值能为2，此时k的值为2.