2014年交大附中自主招生数学试卷
第二十五讲2014年自主招生预测试题(含答案)
2014年自主招生预测试题1.函数2()24f x x x x =--的值域是__________________________.2.函数y =_____________________的图象与xy e =的图象关于直线1x y +=对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于__________________________.4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t =__________________________. 5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于__________________________.6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是__________________________.7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________.8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是_________________1.答案：425,8⎡⎤-⎣⎦. 提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 425cos()4y αααϕ=-+=++（其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=，ϕ为锐角），所以当0α=时，max 8y =，当αϕπ+=时，min 425y =-，故425,8y ⎡⎤∈-⎣⎦. 2. 答案：1ln(1)x --提示：因两函数图象关于直线1x y +=对称，所以1x y →-，1y x →-，∴11y x e --=，解得1ln(1)y x =--.3. 答案：13-提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵tan 2α=，∴2211cos 1tan 3αα==+，则21cos 22cos 13αα=-=-. 4. 答案：5提示：由椭圆方程22111x y t t +=+-知，1t >，设其参数方程为1cos 1sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）代入双曲线方程1xy =，得2sin 21t θ=-.因两曲线相切，∴211t =-，故5t =.5. 答案：13+提示：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ∆的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为32323113333-++=+. 6. 答案：213a b =-且3273a a c =-. 提示：设三个根为1α-，α，1α+，则32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---， 右边展开与左边比较得3a α-=，2(1)(1)(1)(1)31b ααααααα=-++++-=-，(1)(1)c ααα-=-+，消去α得2313273a b a ac ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这就是所求的充要条件.7. 答案：126提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点P 在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC ∆面积的2倍，即126.8. 答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C 个三角形，其中直角三角形有3412C⨯个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267C C ⨯=.1.（10分）集合{|10,}A x x x N *=≥∈，B 为A 的子集，若集合B 中元素满足以下条件：①任意数字都不相等；②任意两个数之和不为9（1）B 中两位数有多少？三位数有多少？（2）B 中是否有五位数？六位数？（3）若将集合B 的元素按从小到大的顺序排列，第1081个数为多少？2.（15分）1sin sin 3x y +=，1cos cos 5x y -=，求sin()x y -与cos()x y +的值。
(高清打印版)2014四校自招数学模拟题
精品文档，欢迎下载！3-56-33精品文档，欢迎下载！2014年上海实验性示范高中“科学素养”模拟题（四校版）一、填空题数学卷1.已知m 为有理数，则m -1+m -3+m +5+m +6的最小值为。
2.已知正方形的边长为1，其内接正三角形的面积最大值为最小值为。
113.已知a 是-的小数部分，b 是-的小数部分，则a -=。
b 4.方程x 3+6x 2+5x =y 3-y +2的整数解（x ，y ）的个数是。
5.如图，△ABC 中，∠BAC =60︒，AB =2AC ．点P 在△ABC 内，且PA =3，PB =5，PC =2，△ABC 的面积为。
6.如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是。
7.已知抛物线y =2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0),(1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，m 的取值范围是。
8.设正方形ABCD 的中心为O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积恰好相等的概率是．二、解答题1.已知直角三角形的三条边长都是整数，证明：至少有一条直角边的边长是3的倍数．2.已知方程x 4-x 3-56x 2+36x +720=0有两个根之比为2：3，其余两根之差为1，试解之。
3.△ABC 三边长分别为3、4、5，其内心为点O，三边关于点O 的对称点分别为A′、B′、C′．求△ABC 和△A′B′C′两个三角形重合部分的面积。
4.已知一个圆内有n 条弦，这n 条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，试证：这n 条弦将圆面分割成1n 2+1n +1个区域。
223+56+33。
2014年华约自主招生数学试题及解答
华约参考答案:1.【解】五个数任取四个应该可以得到455C =个不同的和,现条件中只有4个不同的和,故必有两个和值相同.而这五个和值之和为123454()xx x x x ++++,是4的倍数,所以这个相同的和值只可能是46,从而有123454445464647574xx x x x ++++++++==,故这五个数分别为57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13. 2.【解】若共比赛了3局,则甲赢得比赛的概率为3p ;若共赛了4局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为233(1)C p p -;若共比赛了5局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为2324(1)C p p -,因此3232334(1)(1)q p C p p C p p =+-+-,所以32323254334(1)(1)61510q p p C p p C p p p p p p p -=+-+--=-+-,12p >; 设543()61510f p pp p p =-+-,12p >,则432()3060301f p p p p '=-+-, 即432221()306030130[(21)]30f p p p p p p p '=-+-=-+-,所以22221()30[(1)]30(30f p p p p p p p '=--=--+, 又因为1(,1)2p ∈,所以2p p <,故20p p --<, 所以令()0f p '=时,即20pp -+=,得12p ==±;又因为1(,1)2p ∈,所以取12p =+易知当11(,22p ∈时,1()0,(2f p p '>∈+时,()0f p '<,所以当12p =+时,()f p 有唯一极大值,也是最大值.3.【解】易知2221()(cossin )2sin sin 2sin 2f x x x a x b x a x b =--+=--++,令sin t x =, 则问题等价于21()22g t tax b =--++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为1和4-.①当对称轴1t a =-≤-,即1a ≥时,则()g t 在[1,1]-上递减,则1(1)21,21(1)242g a b g a b ⎧-=+-=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩,解得5,41a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩②当对称轴10a -<-<,即01a <<时,则21()121(1)242g a a b g a b ⎧-=++=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩,消去b 得2240aa +-=,解得1(0,1)a =-,舍去.综上①②可知,5,14a b ==-为所求.4.【解】(1)证明:由反函数定义可知(())y f g x =的反函数为(())x f g y =,故11()((()))()f x f f g y g y --==,从而111(())(())g f x g g y y ---==,所以11(())y g f x --=为(())y f g x =的反函数.(2)由()G x 的反函数是()F x ,故1(())(())G F x G G x x -==,则()((())),f x f G F x =又因为1()()G x f x -=,所以1(())(())G F x f F x -=-,代入得1()((())),((()))()()f x f G F x f fF x F x f x -==-=-=--,所以()f x 为奇函数.5.【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222xy b +=的切点弦,其方程为2(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b bx y a θθ==,于是331||||2|sin 2|EOF E F b b S x x a aθ∆=⋅=≥,当且仅当(,)M 时,上述等号成立. 6.【解】(1)当1q =时,1n n n a a np +-=,则11(1)(2)n n n a a n p n ---=-≥由累加法得112211(2)nn n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥,即23123(1)(2)n nap p p n p n -=++++-≥ (1)①当1p =时,(1);2nn n a-=当1n =时,10a =也适合; ②当1p ≠时,232(1)n npap p n p =+++- (2)由(1)-(2)得231(1)n n nn apa p p p p n p --=++++--,所以112(1)(1)(1)11(1)n nn n n p p n p n p np p pa p p -+-----+-==--,当1n =时,10a=也适合;于是12(1)12(1)1(1)n nn n n p a n p np p p p +-⎧=⎪⎪=⎨--+⎪≠⎪-⎩.(2)由1||||||||||||n n n n n n n anp qa np qa n p a +=+≤+≤+,所以1||||||n n n a a n p +-≤,于是11||||1)||(2)n nn aa n p n ---≤(-≥由累加法得112211(2)nn n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥故1212(1)||||||||||2||(1)||(1||)n n n nn p n p p ap p n p p +---+≤+++-=-,而1(1)||||(1)||||||0n n n n n p n p n p n p p +--≤--=-<,于是当2n ≥时,有2||||(1||)np a p <-,显然10a=也成立.于是na 有上界.7.【证明】原不等式等价于2((1))xn nx n x n e n-≤-⋅.当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立;当2xn <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,从而22222((1))((1)(1))(1)(1)xnn n n x x x x x n e n n n n n x n n n n n-⋅≥-⋅+=-≥-⋅=-,即证.。
2014北约自主招生数学试题及解答
2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.6.已知22()arctan 14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .7.证明tan3 是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.10.已知12,,,n x x x R +∈ ,且121n x x x = ,求证:12))1)n n x x x ≥ .2014年北约自主招生试题参考答案1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =.于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种. 3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3 是有理数,则tan6,tan12,tan 24 为有理数,再由tan 6 和tan 24 可得tan30 为有理数,这与tan30=!因此,tan3 是无理数. 8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠,则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---,由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠,此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠,故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,3不可以同时在M中.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立;②假设*(1,)nk k k N=≥∈时,不等式12))1)k k x x x ≥ 成立. 那么当1n k =+时,则1211k k x x x x += ,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k kx x x x x x+++--≤⇒+≥+,所以1212)2(2)kk x xx x + 12112)2()]kk k k x x xx x x ++=+++11212)2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+= 及n k =时的假设,故1n k=+时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.(二法)左边展开得12))nx x x12121212111()()k k nn n n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k kknn nk k k k C C C k k k i i i ni i i nn n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12))nx x x1122))2)(2)(21)n n n n k kn n n nnC C C C ---≥++++ ,即证. (三法)由平均值不等式有111(nnnk kn ==≥……①;111(nnnk k n==≥……②①+②得1()nkk nn x =≥,即12))1)n n x x x ≥ 成立.。
2014年卓越自主招生数学试题及解答
2014年卓越自主招生数学试题1.(选择)32||210x x -+<,求x 范围.2.(选择)已知2211(,)2()1ln(1),)2x x x f x x x +⎧∈-∞-⎪⎪=⎨⎪+∈[+∞⎪⎩,又2()44,g x x x a =--∃使得()()0f a g b +=,求b 的范围.3.三棱锥P ABC -中,底面ABC ∆是等腰三角形,90ACB ∠= ,又PA ⊥平面ABC ,60,P B C A ∠--=∠,求sin AB APC ∠-.【解】sin sin AB PAC BAC ∠-=∠=【评析】目前得到的题目可能有误,请同学们及时反馈正确题目.4.(填空)12,n n 是两个夹角为θ的单位矢量.以12,n n 为基底的坐标系中1222(,),(,)A x y B x y ,求||AB .5.(填空)已知(0,),(0,4),(0,1)x a y a a ∈∈-∈,且1x y +>的概率为316,求a .6.(填空)已知{1,2,3,4,5,6,7,8},A B A B ==Φ ,又||,||A A B B ∉∉,求总分配数.7.(解答题)已知双曲线22221x y a b-=的两条渐近线斜率之积为3-.(1)若,A B 在双曲线上,且过点(0,5),1,AB D a k AD DB λ==,求λ;(2)A 关于x 轴的对称点为,AB M l 与x 轴交于,MB P l 与x 轴交于Q ,求证:2||||OP OQ a ⋅=.8.(解答题)已知()cos sin )cos ,f x x x x x R αααα++∈ (1)已知[,],[0,]422x πππα∈∈,求()f x 最大值;(2)若()3,f x =求,x α的值.9.设()f x 在x R ∈上可导,且对任意的0x R ∈有000()()4(0)f x x f x x x <+-<>(1)证明:000()()()(0)f x x f x f x x x+-'<>;(2)若|()|1f x ≤,则|()|4f x '≤.卓越参考答案1.【解】由3232||210||2||10(||1)(|||0x x x x x x x -+<⇔-+<⇔-<所以由数轴标根法得||(x ∈-∞ ,又因为||0x >,所以(1)x ∈- . 2.【解】当1(,)2x ∈-∞-时,易得21()(1)1(1,0)f x x =+-∈-;又当1[,)2x ∈-+∞时,易知()ln 1[ln 2,)f x x =+∈-+∞;所以()(1,)f x ∈-+∞,所以只要()(,1)g b ∈-∞就存在a ;即2(2)8(,1)b --∈-∞,解得(1,5)b ∈-.4.【解】以1n 方向为x 轴建立直角坐标系,于是,A B 的直角坐标为111222(cos ,sin ),(cos ,sin )x y y x y y θθθθ++,则222121212||(cos cos )(sin sin )AB x x y y y y θθθθ=-+-+-2212121212()()2()()cos x x y y x x y y θ=-+-+--,于是||AB 5.【解】由题知所有事件的空间为{(,)|0,04,01}x y x a y a a Ω=<<<<-<<,其对应区域为矩形,面积为()(4)S a a Ω=-,而事件{(,)|1}A x y x y =∈Ω+>,其对应区域面积为1()(11)2S A a a =+-,所以由古典概型知1(11)3216(4)a a a a +-=-,即(54)0a a -=,解得45a =. 6.【解】由已知得||,||||A B B A ∈∈,分类讨论所有情况: ①若||0,||8A B ==,则8A ∈,矛盾;②若||1,||7A B ==,则7,1A B ∈∈,且{1,2,3,4,5,6,8}B =,共一种;③若|| 2.||6A B ==,则2,6B A ∈∈,则这样的构成共有(以A 为标准,B 随机确定)166C =种; ④若||3,||5A B ==,则5,3A B ∈∈,同理这样的构成有2615C =种;⑤若||||4A B ==,则4A B ∈ ,矛盾.故综上可之,共有2(1615)44N =++=种.7.【解】(1)由题知223b a-=-,即b ,所以双曲线方程为22233x y a -=,又直线:5AB y x a =+代入双曲线方程得225140x ax a --=,得17,x a =或22x a =-;又因(,5)(,5)A A B B AD DB x a y x y a λλ=⇔--=- ,所以27A A B B x x x x λλ-=⇔=-=或72.(2)若(2,3),(7,12)B a a A a a -,则(7,12)M a a -,又:5AB y x a =+,得(5,0)P a -,又直线5:(2)33MB l y x a a =-++,得(,0)5a Q -,所以2||||OP OQ a ⋅=;若(7,12),(2,3)B a a A a a -,则(2,3)M a a --,又:5AB y x a =+,得(5,0)P a -,又直线5:(2)33MB l y x a a =+-,得(,0)a Q -,所以2||||OP OQ a ⋅=;8.【解】(1)易知()))cos f x x x ααα+++,2sin(2)cos 4x παα=+-+,由于[0,],2[,]44444x πππππαααα-∈+-∈-+,其中3[,]424πππα+∈, 所以当242x ππα+-=,即382x πα=-时,max ()2cos f x α=+,又max ()2cos f x α=+在[,]42ππα∈上递减,所以max ()2cos 2f x α=+≤当4πα=时取到最大值.综上可知当,44x ππα==时,max ()2f x =(2)由()2sin(2)cos 4f x x παα=+-+,且2sin(2)2,cos 14x παα+-≤≤,现在已知()3f x =,则等价于sin(2)1,4cos 1x παα⎧+-=⎪⎨⎪=⎩,解得2,,(),8k k Z x m k m Z αππππ=+∈⎧⎪⎨=--∈⎪⎩. 9.【解】(1)由题知()f x '单调递增,利用拉格朗日中值定理可知:存在00(,)x x x ε∈+,使得0000()()()()f x x f x f x x x ε+-'=+-,于是00000()()()()()f x x f x f x f x x x ε+-''<=+-(2)若存在()4()f u u R '>∈,则在[,)u +∞上()4f x '>,于是有|()()||()()|4(),(,),f x f u f x u x u u x x u εε'-=->-∈∈+∞ 取1x u =+,则|(1)()|4f u f u +->.但是由于|()|1f x <,所以|(1)()|2f u f u +-<,矛盾. 同理在()4f u '<-时也可得矛盾. 结论成立.。
2024年交大附中自主招生数学试题
2024年交大附中自主招生数学试题2024年交大附中自主招生数学试题的挑战与应对交通大学附属中学自主招生考试是一场极具挑战性的数学考试，而2024年的考试试题更是引人注目。
在这场考试中，考生们将面临一些颇具难度的问题，要求他们展现出卓越的数学思维和解决问题的能力。
本文将结合具体试题，为读者解析这场考试的挑战性，并提供一些应对策略。
首先，2024年交大附中自主招生数学试题的难点表现在以下几个方面。
首先，题目涉及的知识面非常广，包括代数、几何、概率与统计等多个领域。
考生需要在短时间内掌握并运用这些知识，无疑是一大挑战。
其次，题目对考生的数学思维能力和逻辑推理能力要求极高，需要考生具备严密的逻辑推理能力和深入的数学思维能力。
最后，试题中还出现了一些需要运用复杂数学模型和方法的题目，要求考生具备较高的数学建模能力和解决问题的能力。
针对这些难点，考生可以采取以下几种应对策略。
首先，考生需要全面复习数学知识，确保自己对各个领域都有深入的理解和掌握。
在复习过程中，考生可以结合历年自主招生试题进行练习，提高自己的应试能力。
其次，考生需要注重培养自己的数学思维能力和逻辑推理能力，通过大量的练习和反思来提升自己的数学素养。
最后，考生还需要加强对数学方法和技术的应用，通过模拟考试和练习，提高自己的解题能力和应变能力。
在应对2024年交大附中自主招生数学试题的过程中，考生还需要注意一些问题。
首先，要合理规划答题时间，避免在难题上过度纠结，影响整体成绩。
其次，要注重解题的准确性和规范性，避免因为细节问题而丢分。
最后，要保持冷静，遇到难题时要保持冷静，避免因为紧张而犯错。
总之，2024年交大附中自主招生数学试题是一场极具挑战性的考试，要求考生具备全面的数学知识、深刻的数学思维能力和灵活的解题技巧。
考生在备考过程中需要全面复习数学知识，注重培养数学思维能力和解题技巧，同时保持良好的心态和冷静的态度，以应对这场极具挑战性的考试。
2014年自主招生数学选拔试卷(已修改)
√自主招生数学C. 20/21模考试卷(总分120分，考试时间90分钟。
） 1. (8分)过点C(1,-2)的两条相互垂直的直线，与抛物线 =4 分别交与A 、B 两点，则直线AB 的方程可能为( )A. − −2=0B. 2 − −1=0C. −2 −1=0D. −2 −2=02. (8分)方程 +4 −8 + +2=0的实数根的个数（重根依重数计算）是( )A.5B.3C.6D.43. (8分)有个立方体，六面颜色都不相同。
设立一个空间直角坐标系，使得每一面恰垂直于一个坐标轴。
现转动该立方体，但每次只允许绕坐标轴顺时针或逆时针旋转90度，且6种旋转的概率等可能。
则旋转4次之后，立方体恢复原来状态的概率是( )A. 16/216B. 18/216 D. 21/2164. (8分)已知函数 :ℝ →ℝ ∪{0}，对任意的 , , ∈ℝ，都成立1) (0, )=2) ( , ( , ))=03) , ( , ) ≥ ( , ), ( , )则对任意的 , , ∈ℝ，下列等式中不恒成立的是( )A. ( , ), ( , ) =0B. , , ( , ) =0C. , ( ( , ), ) =0D. , ), ( , ) =0 5. (8分)cos 18°−sin 36°=( )A. 5− B.(√5−1)/2 6. (8分)复数z 满足| |=1A. 1/2B. 2/3C. 1D. 3/2( )C.√5/4D. 5/8，则使| −3 +1|取得最小值的z 的实部为( )3/2 枣庄八中数学组陈文编辑7. (18分) 已知m 和n 为互质的正证明： + 为有理数。
8. (18分)已知 =1， =2，且求 质的正整数，实数 满足 + 和 + 均为有，且对任意的整数n ，都有− =1 lim →均为有理数9. (18分)设 , , , , >010( +10. (18分)如图所示，在平行四边与BD的交点，E、F、G、H分别为OA AH交DC于P，PG交CB于Q，QF交设平行四边形ABCD的面积为1890，求四+ + + + =1，证明：+ + + )≥ + + + + +1 5行四边形ABCD中，O为ACOA、OB、OC、OD的中点，BA与R，RE交AD于S。
2014年自主招生数学模拟试题(华约联盟)
2014“华约联盟”自主招生数学模拟试题 （时间： 90分钟，分值：满分100分） 1.（10分）设M是集合1,2,3,,2014S的子集，且M中每一个自然数（元素）恰恰有一个0，则集合M所含元素最多有多少个？
2.（15分）已知△ABC的三个角,,ABC，满足2ACB，112coscoscosAAB, 求cos2AC的值
3.（15分）已知抛物线22ypx及定点,Aab，,0Ba,2(0,2)abbpa。M是抛物线上的点, 设直线,AMBM与抛物线的另一交点分别为12,MM． 求证：当M点在抛物线上变动时(只要12,MM存在且12MM)直线12MM恒过一个定点．并求出这个定点的坐标.
4.（15分）某电子玩具按下钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是21。从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率分别为32,31，若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为52,53，记第n )1,(nNn次按下按钮后出现红球的概率为np。
（Ⅰ）求2p的值； （Ⅱ）当2,nNn时，求用1np的表达式； （Ⅲ）求np关于n的表达式。 5．（15分）已知数列na中，11,2a且11123(),22nnnnaanN （1）求数列na的通项公式； （2）求数列na的前n项和nS。
6.（15分） z为复数，则23Tzzzi的最小值为多少？
7.（15分）（Ⅰ）设函数)10)(1(log)1(log)(22xxxxxxf， 求)(xf的最小值； （Ⅱ）设正数npppp2321,,,,满足12321npppp， 求证：.loglogloglog222323222121nppppppppnn
2014年温州中学自主招生数学试题参考答案
2014年温州中学自主招生数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案B D D B B A 二、填空题7. [-2,3]; 8.6481 ; 9. 4 ; 10.1001 ; 11.52 ; 12. 900 ; 13.41 ; 14. 18 ; 三、解答题15.解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-61111xy y x 解：（21,31），（31,21--） 16.已知函数y=x 2-2kx+4k+1与y=2x 的图像有两个不同的交点，且交点可以被一个半径为5的圆片同时覆盖，求实数k 的取值范围解：由已知x 2-2kx+4k+1=2x ，即x 2-（2k+2）x+4k+1=0有两个不同的实根，∴△=4（k 2-2k ）>0,得k>2或k<0，又交点总可以被一个半径为5的圆片所同时覆盖， 设交点为A （x1,y1）,B(x2,y2),则|x1-x2|≦2，即k 2-2k-1≦0;解得1-2≦k ≦1+2综上，1-2≦k <0 或2<k ≦1+217. 如图，△ABC 的内切圆分别与三边BC 、CA 、AB 切于点D 、E 、F ，连接AD 交内切圆于G 点，GE ∥BC求证：GD 平分∠FGC证明：连结FD易知△AFG ∽△ADF 及AF=AE从而有AEAG AF AG FD FG == 又因为GE ∥BC 且CE=CD 所以EC GD AE AG CD GD == 又因为∠GDC=∠GFD, 从而△GFD ∽△GDC所以∠FGD=∠DGC , 即GD 平分∠FGC18.解：令x n n n =-=-++++6)12(6)34(951Λ，即62x =n(2n-1)所以n(2n-1)≡0(mod6)，进而n ≡0(mod6) 或n ≡2(mod6)（1）若n ≡0(mod6) ,设n=6m ，得)112(2-=m m x因为(m,12m-1)=1 ，所以m 与12m-1均为平方数，但12m-13≡(mod4)，矛盾。
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2014年交通大学附属中学综合素养调研
数学卷
一、填空题
1、在△ABC中，设CAa，CBb，P是中线AE与中线CF的交点，则BP ▲ 。
（用,ab表示）
2、已知a是正实数，则2aa的最小值等于 ▲
3、正整数360共有 ▲ 个正因数。
4、小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。如果他随机的分发4个同
学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是 ▲
5、计算：1322 ▲
6、计算：111122320132014 ▲
7、一卷直径为10厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为L厘米的纸绕80圈而成，那么L▲
8、满足方程：421mn的正整数有序数对的（m,n）个数为 ▲
9、已知实数x满足2262412xxxx，则22xx的值为 ▲
10、直线1xy与反比例函数kyx的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第 ▲ 象
限。
11、平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转45得到正方形A'B'C'D'，那么这两个
正方形重叠部分的面积为 ▲
12、请在下列表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、
9，使得每行每列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填1
种答案） ▲
13、在前1000个整数1，2，3，…，1000中，数码1共出现了 ▲ 次
14、设0,2A，4,2B是平面直角坐标系中的两点，P是线段AB垂直平分线上的点，如
果点P与点1,5C的距离等于22，则点P的坐标为 ▲
15、方程组21731423142172xyxy的解为 ▲
16、坐标原点0,0关于直线4yx翻折后的点的坐标为 ▲
二、解答题
17、已知，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°，求△ABC的面积S
18、已知二次函数2yaxbxc的图像抛物线经过3,0A，1,0B两点，,4Mt是其顶
点。
（1）求实数,,abc的值；
（2）设点4,6C，1,1D，点P在抛物线上且位于x轴上方，求当△CDP的面积达到
最大时点P的坐标。
19、证明2不是有理数。