2015-2016年广东省深圳中学高二上学期数学期中试卷及参考答案
(2021年整理)广东省深圳市2015-2016学年高二数学上册期末测试题
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2015—2016学年广东省深圳市南山区高二（上)期末数学试卷（文科）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．“x2＞1”是“x＞1"的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=14．设等比数列｛an }的前n项和为Sn，满足an＞0,q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S5=（）A．31 B．36 C．42 D．485．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．6．函数f（x）的定义域为（a，b）,导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示,则函数f （x）在开区间（a,b）内有极值点（)A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知命题p：｜x﹣1|≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q"同时为假命题，则满足条件的x为（)A．{x｜x≥3}或{x|x≤﹣1，x∉Z} B．｛x｜﹣1≤x≤3，x∈Z}C．{﹣1,0，1,2,3} D．{0，1，2｝8．在△ABC中,三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6， =2cosC，则c=（）A．2B．4 C．2D．39．已知数列{an ｝中a1=1，a2=，a3=,a4=，…an=…,则数列{an}的前n项的和sn=（）A． B． C． D．10．若x,y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．211．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有( ）A．极大值5，无极小值B．极小值﹣27,无极大值C．极大值5，极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣1112．如图，F 1、F 2是双曲线=1(a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13．抛物线y=8x 2的焦点坐标为 ．14．在三角形△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A=60°，b=1，其面积为，则a= ．15．设f(x ）=xlnx ，若f′（x 0）=2，则x 0= ．16．递减等差数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S 5=S 10，则欲使S n 最大,则n= ．三、解答题(本题共6小题，共70分）17．已知p ：方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实根,q ：方程4x 2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p 或q”为真,“p 且q"为假．求实数m 的取值范围．18．△ABC 的内角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c,acosC+ccosA=2bcosA ．（1）求A；（2）若a=，b=2，求△ABC的面积．19．设｛an ｝是等差数列，{bn｝是各项都为正数的等比数列，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．（1）求数列｛an ｝，{bn}的通项公式;(2）设数列{bn ｝的前n项和为Sn，记，求数列｛cn｝的前n项和Tn．20．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1)x+4＞0(a∈R）21．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且｜AB|=|BF｜．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点(0,2）,且l交椭圆C于P、Q两点,OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．22．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f(x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0,2］,均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)＜g（x2），求a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳市南山区高二（上)期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题,每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由x2＞1，解得:x＞1或x＜﹣1．进而判断出结论．【解答】解：由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．∴“x2＞1"是“x＞1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【考点】三角形的形状判断．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2，再结合余弦定理作出判断即可．【解答】解：∵在△ABC中,sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理===2R得，a2+b2＜c2，又由余弦定理得：cosC=＜0,0＜C＜π,∴＜C＜π．故△ABC为钝角三角形．故选A．【点评】本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±x,由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选:A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．4．设等比数列{a n ｝的前n 项和为S n ，满足a n ＞0,q ＞1,且a 3+a 5=20，a 2a 6=64，则S 5=（ )A ．31B ．36C ．42D ．48【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比中项的性质求得a 3a 5=a 2a 6，进而根据a 3+a 5=20，构造出一元二次方程求得a 3和a 5，则a 1和q 可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．【解答】解：a 3a 5=a 2a 6=64,∵a 3+a 5=20,∴a 3和a 5为方程x 2﹣20x+64=0的两根,∵a n ＞0,q ＞1，∴a 3＜a 5，∴a 5=16，a 3=4, ∴q===2， ∴a 1===1，∴S 5==31．故选A ． 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，等比数列的等比中项的性质的应用．解题过程中巧妙的构造出一元二次方程，较快的求得a 3和a 5，进而求得a 1和q ．5．若焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，则m=( ）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a,b，c,再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则,化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a,b，c,进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．6．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b)内有极值点（)A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】导数的综合应用．【分析】根据当f’（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减,然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f(x)在（a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减,根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故答案为 C．【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．7．已知命题p：｜x﹣1｜≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q"同时为假命题,则满足条件的x为（)A．｛x|x≥3}或｛x｜x≤﹣1，x∉Z｝B．{x｜﹣1≤x≤3，x∈Z}C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2｝【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由题设条件先求出命题P：x≥4或x≤0．由“p且q”与“¬q”同时为假命题知0＜x＜4,x∈Z．由此能得到满足条件的x的集合．【解答】解：由命题p：｜x﹣1｜≥2，得到命题P：x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2，即命题P：x≥3或x≤﹣1;∵¬q为假命题，∴命题q：x∈Z为真翕题．再由“p且q"为假命题，知命题P:x≥4或x≤0是假命题．故﹣1＜x＜3，x∈Z．∴满足条件的x的值为:0,1，2．故选D．【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题,仔细解答，注意公式的灵活运用．8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6， =2cosC,则c=（）A．2B．4 C．2D．3【考点】正弦定理;余弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式,化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解： ===1，即有2cosC=1，可得C=60°，若S△ABC=2,则absinC=2，即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b)2﹣2ab﹣ab=(a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12,解得c=2．故选C．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．9．已知数列｛an }中a1=1，a2=，a3=，a4=，…an=…,则数列｛an}的前n项的和sn=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】an===2．，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵an===2．∴数列{an ｝的前n项的和sn=2++…+==．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．若x，y满足,则z=x+2y的最大值为（)A．0 B．1 C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故选：D．【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题．11．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有( )A．极大值5，无极小值B．极小值﹣27，无极大值C．极大值5,极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣11【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=3(因为﹣2＜x＜2,舍去）,讨论当﹣2＜x＜﹣1时,y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0,得到函数极值即可．【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1,x=3，由于﹣2＜x＜2，则当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，=5；x取不到3，无极小值．当x=﹣1时,y极大值故选：A【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,属于基础题12．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c,再在△F1BF2中应用余弦定理得,a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点,F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由,则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°,得c2=7a2,则．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y=8x2的焦点坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】化抛物线方程为标准方程,即可求得焦点坐标．【解答】解：抛物线y=8x2可化为，焦点在y轴上∵，∴∴抛物线y=8x2的焦点坐标为故答案为:【点评】本题考查抛物线的性质，化抛物线方程为标准方程是关键．14．在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°,b=1，其面积为,则a= ．【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；方程思想；分析法；解三角形．【分析】根据三角形的面积公式，求出c,然后利用余弦定理即可得到a的值【解答】解：∵A=60°,b=1,△ABC的面积为,∴S=bcsinA=csin60°=，△即c=,解得c=4，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos60°=1+16﹣2×1×4×=13，解得a=，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．15．设f （x ）=xlnx ，若f′（x 0）=2,则x 0= e ．【考点】导数的运算．【专题】计算题．【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f(x)的导数,然后将x 0代入建立方程，解之即可．【解答】解：f(x ）=xlnx∴f’（x ）=lnx+1则f′（x 0）=lnx 0+1=2解得：x 0=e故答案为：e【点评】本题主要考查了导数的运算，以及乘积函数的导数公式的运用，属于基础题之列．16．递减等差数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S 5=S 10，则欲使S n 最大,则n= 7或8 ．【考点】等差数列的前n 项和．【专题】计算题．【分析】根据题意,由S 5=S 10，可得S 10﹣S 5=a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=0，结合等差数列的性质，可得a 8=0,又由数列｛a n }是递减等差数列，则可得a 1＞a 2＞…a 7＞a 8=0＞a 9…,分析可得答案．【解答】解:根据题意，数列{a n ｝满足S 5=S 10，则S 10﹣S 5=a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=0，由等差数列性质得：5a 8=0,可得a 8=0，又由数列{a n }是递减的等差数列，则由a 1＞a 2＞…a 7＞a 8=0＞a 9…，则当n=7或8时,s n 取最大值,故答案为7或8．【点评】本题考查等差数列前n项和的性质，要牢记其前n项和s取最大或最小值的条件以及n判断方法．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4(m﹣2）x+1=0无实根．若“p 或q"为真,“p且q”为假．求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】分类讨论;简易逻辑．【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论,最后综合可得答案．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得,m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则,解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．【点评】本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意,转化为集合间的包含关系，综合可得答案．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bcosA．（1）求A；（2)若a=，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；解三角形．【分析】(1）利用正弦定理、和差公式即可得出；（2）利用余弦定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解:（1）∵acosC+ccosA=2bcosA,由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA ， 化为：sin （A+C ）=sinB=2sinBcosA ，sinB≠0,可得cosA=，A∈（0，π）， ∴A=．（2）由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，∴7=22+c 2﹣4ccos ，化为c 2﹣2c ﹣3=0，解得c=3．故△ABC 的面积为bcsinA=×3×=． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．设｛a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1=1，b 1=2，a 2+b 3=10,a 3+b 2=7．（1)求数列｛a n ｝，｛b n ｝的通项公式；(2）设数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，记，求数列｛c n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；方程思想;转化思想;数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法"、等比数列的通项公式与前n 项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列｛a n }的公差为d ，等比数列｛b n ｝的公比为q ，且a 1=1，b 1=2，a 2+b 3=10，a 3+b 2=7． ∴，即， 消去d 得2q 2﹣q ﹣6=0,（2q+3)（q ﹣2）=0，∵{bn}是各项都为正数的等比数列，∴q=2，d=1,∴an =n，bn=2n．（2）Sn=2n+1﹣2，…c n =an•(+1）=n•2n，设Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n,2Tn=1•22+2•23+…+（n﹣1)•2n+n•2n+1，相减，可得Tn=(n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减法"，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0(a∈R）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对a分类:a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1，分别解不等式即可．【解答】解：ax2﹣2（a+1）x+4＞0⇔（ax﹣2）（x﹣2）＞0…(ⅰ）a=0时，x﹣2＜0⇔x∈（﹣∞，2）…(ⅱ）0＜a＜1时,…（ⅲ）a=1时，(x﹣2)2＞0⇔x∈(﹣∞，2)∪（2,+∞）…（ⅳ）a＞1时，…(ⅴ）a＜0时，…【点评】本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想,是中档题．21．如图，椭圆C: +=1（a＞b＞0）的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=｜BF|．（Ⅰ)求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2)，且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】(Ⅰ)利用|AB|=｜BF｜，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率;（Ⅱ）直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0与椭圆C：联立,OP⊥OQ，可得,利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程．【解答】解:(Ⅰ）由已知,即,4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2﹣c2）=5a2,∴．…(Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴椭圆C：．设P(x1，y1)，Q(x2,y2)，直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0)，即2x﹣y+2=0．由，即17x2+32x+16﹣4b2=0．．，．…∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0,x1x2+（2x1+2）（2x2+2)=0，5x1x2+4（x1+x2)+4=0．从而，解得b=1，∴椭圆C的方程为．…【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．22．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈（0,2］，使得f（x1）＜g（x2)，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】(Ⅰ）由函数，知（x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ）（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f(x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2］，均存在x2∈（0，2］，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2］上有f（x）max ＜g（x)max．由此能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ)∵函数,∴（x＞0)．∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,∴f'（1）=f'(3)，即，解得．（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时,x＞0,ax﹣1＜0，在区间（0，2)上，f'（x）＞0；在区间（2,+∞)上f’(x）＜0,故f（x）的单调递增区间是(0，2）,单调递减区间是(2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x)＞0;在区间上f’（x）＜0,故f（x）的单调递增区间是（0，2)和,单调递减区间是③当时，，故f(x）的单调递增区间是(0，+∞）．④当时，，在区间和（2,+∞）上,f'（x）＞0；在区间上f’（x）＜0，故f（x)的单调递增区间是和（2，+∞）,单调递减区间是．(Ⅲ)由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知,g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以,﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．②当时,f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，＜0，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max综上所述，a＞ln2﹣1．【点评】本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力;考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类不清导致致出错,解题时要认真审题，仔细解答,注意分类讨论思想的合理运用．。
广东省深圳市深圳中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题及答案
试卷类型：A深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题考试时长：120分钟注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。
选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。
一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分卷面总分：150分）1．在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则4a =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{}n a 中，若52a =，387a a a =，则{}n a 的公比q =（ ） AB ．2C．D ．43．已知两条直线1l ：350x y +−=和2l ：0x ay −=相互垂直，则a =（ ） A ．13B ．13−C ．3−D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为(1,0，且过点(，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22123x y +=B ．22143x y +=C ．22132x y +=D ．22134x y +=5．在等比数列{}n a 中，24334a a a =，且652a a =，则{}n a 的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：2213x y −=的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，2OF PF =，则△OPF 的面积为（ ） A ．1BCD ．127．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1,0F c −、()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得12PF F ∆的内切圆的半径为2c，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．30,5B ．40,5C ．3,15D ．4,158．已知双曲线C ：22221x y a b−=（0a >，0b >），点B 的坐标为()0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB b ≥，则C 的离心率取值范围是（ ）A ．B ．+∞C ．(D ．)+∞二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，51a =，则（ ） A ．222a a +=B ．371a a =C ．99S =D ．1010S =10，已知圆M ：22430x y x +−+=，则下列说法正确的是（ ） A ．点()4,0在随M 内 B ．圆M 关于320x y +−=对称CD ．直线0x −=与圆M 相切11．已知双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （0k ≠）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若AB ≥（ ）A ．23BCD 12．若数列{}n a 满足121a a ==，12n n n a a a −−=+（3n ≥），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以n a 为边长的正方形中的扇形面积为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n S ．则下列说法正确的是（ ）：A ．821a =B ．2023a 是奇数C ．24620222023a a a a a ++++=D ．2023202320244s a a π=⋅三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．数列{}n a 的通项公式n a =，若9n S =，则n = ．14．已知直线l ：y x =被圆C ：()()22231x y r −+−=（0r >）截得的弦长为2，则r = ． 15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右两焦点分别是1F 、2F ，其中122F F c =．椭圆C 上存在一点A ，满足2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 ．16．已知A ，B 分别是椭圆E ：22143x y +=的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD的斜率1k ，2k 满足122k k =，则直线CD 过定点，定点坐标为 ．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()2214x y ++=与圆2C ：()22310x y +−=相交于P ，Q 两点． （1）求线段PQ 的长；（2）记圆1C 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆2C 上滑动，求2MNC ∆面积最大时的直线MN 的方程． 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，{}n b 为等比数列，且11b =，0n b >，2210b S +=，53253S b a =+，*n N ∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19．已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4370x y −+=相切． （1）求圆的方程；（2）设直线420ax y a −+−=与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点()3,1P −？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，圆1O ：()2221x y ++=，圆2O ：()2221x y −+=，点()1,0H ，一动圆M 与圆1O 内切、与圆2O 外切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与（1）中的轨迹E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，113b =，且()n n S T =．（1）求n T ； （2令nn na cb =，求正整数n ，使得“11n n n c c c −+=+”与“n c 是1n c −，1n c +的等差中项”同时成立； （3）设27n n d a =+，()()112nn nn n d e d d +−+=，求数列{}n e 的前2n 项和2n Y ．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F，12F F =P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线1PF ，PO ，2PF 分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有112PF F M =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求12POF POF PQMPQNs s s s ∆∆∆∆+的最大值。
广东省深圳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(A卷)
2024-2025学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷（A 卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（5分）直线3450x y +-=的斜率为（）A.34B.43C.34-D.43-2.（5分）已知等比数列{}n a ，若42a =，63a =，则2a =（）A.34B.23C.43D.323.（5分）若椭圆2214x y λ+=的右焦点坐标为（1，0），则λ的值为（）A.1B.3C.5D.74.（5分）设两直线1l ：()130m x y +--=，2l ：210x my ++=相互垂直，则m 的值为（）A.1B.2C.-2D.-35.（5分）已知1F ，2F 是椭圆221259x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的任意一点，则12PF PF ⋅的最大值是（）A.9B.16C.25D.2526.（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足10a <，717S S =，则当n S 取得最小值时，n 的值为（）A.10B.12C.15D.247.（5分）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限步后，必然进入循环1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数5m =，根据上述运算法则得出5→16→8→4→.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,,231,,nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时当3m =时，12320a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A.72B.77C.82D.878.（5分）“222a b R +<”是“圆()()222x a y b R -+-=与坐标轴有四个交点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分必要条件二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
广东省深圳市宝安区2015-2016学年高二上学期期末考试文科数学试卷 Word版含答案
2015-2016学年第一学期宝安区期末调研测试卷高二 文科数学2016.1一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题p ：2,10x R x x ∃∈+->，则p ⌝ A ．2,10x R x x ∀∈+-< B ．2,10x R x x ∀∈+-≤C ．2,10x R x x ∃∉+-=D ．2,10x R x x ∃∈+-≤2．抛物线22y x =-的焦点坐标是（ ） A ．(1,0)-B ．1(,0)2-C ．1(0,)4-D ．1(0,)8-3．设231a x x =-+，22b x x =+， 则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b4．已知△ABC 中，4a =，b =，30A ∠=︒，则∠B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120° 5．等比数列{}n a 的公比为q ，“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知310x y +-=，则关于28xy +的说法正确的是( )A ．有最大值8B ．有最小值2 2C ．有最小值8D ．有最大值2 27．等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是( ) A ．3B ．5C ．7D ．98．在ABC ∆中，2sin sin cos 2AB C =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 9．已知数列{}n a ,如果121321,,,,,n n a a a a a a a ----(2n ≥)是首项为1公比为13的等比数列，那么n a 等于（ ） A ．31(1)23n - B ．131(1)23n -- C ．21(1)33n - D ．121(1)33n --10． 已知直线kx y =是曲线x y ln =的切线，则k 的值为（ ）A ．e -B ．eC ．1e- D ．1e11．已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '=（ ）A ．0B ．－4C ．－2D ．212．下列各式中最小值为2的是（ ）A2B ．b aa b+ CD ．1sin sin x x+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若数列{}n a 成等比数列，其公比为2，则234522a a a a ++=_____________． 14．给出平面区域为图中四边形ABOC 内部及其边界，目标函数为z ax y =-，若当且仅 当1,1x y ==时，目标函数z 取最小值，则实数a 的取值范围是_________________．15．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是_____________ ．16．有以下几个命题：①已知a 、b 、c ∈R ，则“a ＝b ”的必要不充分条件是“ac ＝bc ”；②已知数列{a n }满足a 1＝2，若a n +1∶a n ＝(n ＋1)∶n *()n ∈N ，则此数列为等差数列； ③0()f x '＝0是函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处有极值的的充分不必要条件； ④若F 1(0，－3)、F 2(0，3)，动点P 满足条件129PF PF a a+=+，（ a R +∈， a 为常数），则点P 的轨迹是椭圆．其中正确的命题序号为_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分。
2023-2024学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝20，a 7＝12，则a 4＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{a n }中，若a 5＝2，a 3a 8＝a 7，则{a n }的公比q ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．43．已知两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则a ＝（ ） A ．13B ．−13C ．﹣3D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=15．在等比数列{a n }中，3a 2a 4＝4a 3，且a 6＝2a 5，则{a n }的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：x 23−y 2=1的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，则△OPF 的面积为（ ） A ．1 B ．√32C ．√22D ．127．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆C 上存在一点M 使得△MF 1F 2的内切圆半径为c 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，35] B ．(0，45]C ．[35，1)D ．[45，1)8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，点B 的坐标为（0，b ），若C 上的任意一点P 都满足|PB |≥b ，则C 的离心率取值范围是（ ） A ．(1，√5+12] B ．[√5+12，+∞) C ．(1，√2] D ．[√2，+∞)二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝1，则（ ） A ．a 2+a 8＝2B ．a 3a 7＝1C ．S 9＝9D ．S 10＝1010．已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，则下列说法正确的是（ ）A ．点（4，0）在圆M 内B ．圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称C ．半径为√3D ．直线x −√3y =0与圆M 相切11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√2|DF|，则双曲线的离心率的值可能是（ ） A ．23B ．√2C ．√52D ．√512．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以a n 为边长的正方形中的扇形面积为b n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．a 8＝21B ．a 2023是奇数C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023D ．S 2023a 2023⋅a 2024=π4三、填空题（共4小题，每空5分，共20分） 13．数列{a n }的通项公式a n =1√n+1+√n，若S n ＝9，则n ＝ ．14．已知直线l ：y ＝x 被圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）截得的弦长为2，则r ＝ ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右两焦点分别是F 1、F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．椭圆C 上存在一点A ，满足AF 1→⋅AF 2→=4c 2，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 16．已知A ，B 分别是椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD 的斜率k 1，k 2满足k 1＝2k 2，则直线CD 过定点，定点坐标为 ． 四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：（x +1）2+y 2＝4与圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝10相交于P ，Q 两点．（1）求线段PQ 的长；（2）记圆C 1与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 2上滑动，求△MNC 2面积最大时的直线MN 的方程． 18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{b n }为等比数列．且b 1＝1，b n ＞0，b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2，n ∈N *，（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式． （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ﹣3y +7＝0相切． （1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +4﹣2a ＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （3，﹣1）？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1：（x +2）2+y 2＝1，圆O 2：（x ﹣2）2+y 2＝1，点H （1，0），一动圆M 与圆O 1内切、与圆O 2外切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝4，数列{b n }的前n 项之积为T n ，b 1=13，且S n =log √3(T n )． （1）求T n ；（2）令c n =an b n，求正整数n ，使得“c n ﹣1＝c n +c n +1”与“c n 是c n ﹣1，c n +1的等差中项”同时成立；（3）设d n ＝2a n +7，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1，求数列{e n }的前2n 项和Y 2n ．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2√3，P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线PF 1，PO ，PF 2分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有PF 1→=2F 1M →． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN的最大值．2023-2024学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝20，a 7＝12，则a 4＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．8解：由等差数列的性质可知a 4+a 8＝a 5+a 7＝20， 又a 7＝12，故a 5＝8，设等差数列的公差为d ，则d =a 7−a57−5=12−82=2， 所以a 4＝a 5﹣d ＝8﹣2＝6． 故选：C ．2．在等比数列{a n }中，若a 5＝2，a 3a 8＝a 7，则{a n }的公比q ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：依题意，由a 3a 8＝a 7， 可得a 1q 2•a 1q 7＝a 1q 6，化简整理，得a 1q 3＝1，即a 4＝1， ∴公比q =a5a 4=21=2．故选：B ．3．已知两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则a ＝（ ） A ．13B ．−13C ．﹣3D ．3解：根据题意，直线l 1：3x +y ﹣5＝0，其斜率k 1＝﹣3，直线l 2：x ﹣ay ＝0，其斜率k 2=1a， 若两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则有（﹣3）×1a=−1，解可得a ＝3， 故选：D ．4．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=1解：∵椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)， ∴c ＝1，b =√3，∴a 2＝b 2+c 2＝4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．故选：B ．5．在等比数列{a n }中，3a 2a 4＝4a 3，且a 6＝2a 5，则{a n }的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．27解：由等比数列的性质可知，a 2a 4=a 32， ∴3a 32=4a 3， 又∵a 3≠0，∴a 3=43， ∵a 6＝2a 5，∴公比q =a6a 5=2，∴a 1=a 3q2=434=13， ∴{a n }的前6项和S n =a 1(1−q 6)1−q =13(1−26)1−2=21．故选：C ．6．已知F 是双曲线C ：x 23−y 2=1的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，则△OPF 的面积为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：如图，不妨设F 为双曲线C ：x 23−y 2=1的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，a 2＝3，b 2＝1，则c ＝2， 点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，∠POF =π6，|PF |＝1，PF sin∠POF =OF sin∠OPF，sin ∠OPF =2×121=1，所以OP ⊥PF ，OP =√3， ∴S △OPF =12×√3×1=√32． 故选：B ．7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆C 上存在一点M 使得△MF 1F 2的内切圆半径为c2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(0，35]B ．(0，45]C ．[35，1)D ．[45，1)解：△MF 1F 2的面积为12|F 1F 2|⋅|y M |，因为△MF 1F 2的内切圆半径为c2，所以△MF 1F 2的面积可表示为12（2a +2c ）×c2，所以12×2c ×|y M |=12（2a +2c ）×c 2，所以|y M |=a+c2，因为|y M |≤b ，所以a+c 2≤b ，两边平方得：（a+c 2）2≤b 2，而b 2＝a 2﹣c 2，所以（a+c 2）2≤a 2﹣c 2，整理得：5c 2+2ac ﹣3a 2≤0，因为离心率e =ca，所以5e 2+2e ﹣3≤0，解得：0＜e ≤35． 故选：A ． 8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，点B 的坐标为（0，b ），若C 上的任意一点P 都满足|PB |≥b ，则C 的离心率取值范围是（ ） A ．(1，√5+12] B ．[√5+12，+∞) C ．(1，√2] D ．[√2，+∞)解：设P （x ，y ），|PB|≥b ⇒√x 2+(y −b)2≥b ⇒x 2+y 2−2by ≥0(∗)， 由x 2a 2−y 2b 2=1⇒x 2=a 2(1+y 2b 2)，代入不等式*中，整理得c 2b 2y 2−2by +a 2≥0恒成立，则Δ=4b 2−4a 2c 2b2≤0⇒b 4≤a 2c 2⇒b 2≤ac ⇒c 2−a 2≤ac ⇒e 2−e −1≤0，解得1−√52≤e ≤1+√52，又e ＞1，则1＜e ≤1+√52； 故选：A ．二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝1，则（ ） A ．a 2+a 8＝2B ．a 3a 7＝1C ．S 9＝9D ．S 10＝10解：设数列{a n }的公差为d ，由a 2+a 8＝2a 5＝2，知选项A 正确；a 3a 7＝（a 5﹣2d ）（a 5+2d ）=a 52−4d 2＝1﹣4d 2，由于d 不确定，所以B 错误；由S 9=(a 1+a 9)⋅92=9a 5＝9，知选项C 正确； S 10＝S 9+a 10＝9+a 5+5d ＝10+5d ，由于d 不确定，所以D 错误． 故选：AC ．10．已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．点（4，0）在圆M 内 B ．圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称C ．半径为√3D ．直线x −√3y =0与圆M 相切解：x 2+y 2﹣4x +3＝0整理得：（x ﹣2）2+y 2＝1，∵x ＝4，y ＝0时x 2+y 2﹣4x +3＝3＞0，∴点（4，0）在圆M 外，A 错；∵圆心M （2，0）在直线x +3y ﹣2＝0上，∴圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称，B 对； ∵圆M 半径为1，故C 错；∵圆心M （2，0）到直线x −√3y =0的距离为d =|2|√1+3=1，与半径相等，∴直线x −√3y =0与圆M 相切，D 对． 故选：BD ． 11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√2|DF|，则双曲线的离心率的值可能是（ ） A ．23B ．√2C ．√52D ．√5解：不妨设双曲线的右焦点为F （c ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 此时直线l 的方程为y ＝k （x ﹣c ），联立{x 2a 2−y 2b 2=1y =k(x −c)，消去y 并整理得（b 2﹣a 2k 2）x 2+2a 2k 2cx ﹣a 2（k 2c 2+b 2）＝0，此时b 2﹣a 2k 2≠0且Δ＞0， 由韦达定理得x 1+x 2=−2a 2k 2c b 2−a 2k2，x 1x 2=−a 2(k 2c 2+b 2)b 2−a 2k2，所以|AB|=√1+k 2√(−2a 2k 2c b 2−a 2k2)2−4[−a 2(k 2c 2+b 2)b 2−a 2k2]=2ab 2(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，不妨设线段AB 的中点M （x 0，y 0），此时x 0=x 1+x 22=−a 2k 2c b 2−a 2k 2，y 0=k(x 0−c)=k(−a 2k 2c b 2−a 2k 2−c)=−b 2kcb 2−a 2k2，即M(−a 2k 2c b2−a 2k2，−b 2kc b2−a 2k2)，因为k ≠0，线段AB 的中垂线的斜率为−1k ，则线段AB 的中垂线所在直线方程为y +b 2kcb 2−a 2k 2=−1k (x +a 2k 2cb 2−a 2k2)， 令y ＝0，解得x =−k 2c 2b2−a 2k2，即D(−k 2c 3b 2−a 2k2，0)， 所以|DF|=|−k 2c 3b 2−a 2k2−c|=b 2c(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，因为|AB|≥√2|DF|，所以2ab 2(1+k 2)|b 2−a 2k 2|≥√2b 2c(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，整理得2a ≥√2c ， 则e =c a ≤22=√2， 又双曲线的离心率e ＞1，则双曲线的离心率取值范围为(1，√2]． 故选：BC ．12．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以a n 为边长的正方形中的扇形面积为b n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．a 8＝21B ．a 2023是奇数C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023D ．S 2023a 2023⋅a 2024=π4解：对于A ，由a 1＝1，a 2＝1，且a n =a n−1+a n−2(n ≥3，n ∈N ∗)，可得斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，则a 8＝21，故A 正确； 对于B ，由斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且2023＝3×674+1，所以a 2023是奇数，故B 正确； 对于C ，因为a 2＝a 3﹣a 1，a 4＝a 5﹣a 3，⋯，a 2022＝a 2023﹣a 2021，相加可得：a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023﹣1，故C 错误；对于D ，因为斐波那契数列总满足a n =a n−1+a n−2(n ≥3，n ∈N ∗)，且a 1＝a 2＝1，所以a 12=a 2a 1，a 22=a 2a 2=a 2(a 3−a 1)=a 2a 3−a 2a 1，a 32=a 3a 3=a 3(a 4−a 2)=a 3a 4−a 3a 2， 类似的有，a n 2=a n a n =a n (a n+1−a n−1)=a n a n+1−a n a n−1，其中n ≥2， 累加得a 12+a 22+a 32+⋯+a n 2=a n ⋅a n+1，则S n =π4(a 12+a 22+⋯+a n 2)=π4a n a n+1，故S 2023a 2023⋅a 2024=π4，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（共4小题，每空5分，共20分） 13．数列{a n }的通项公式a n =1√n+1+√n，若S n ＝9，则n ＝ 99 ．解：∵a n =1√n+1+√n=√n +1−√n ，∴S n ＝（√2−1）+（√3−√2）+⋯+√n +1−√n =√n +1−1， ∵S n ＝9， ∴√n +1−1＝9， n +1＝100， 解得n ＝99． 故答案为：99．14．已知直线l ：y ＝x 被圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）截得的弦长为2，则r ＝ √3 ． 解：由圆的方程（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2，则其圆心为（3，1）， 圆心到直线的距离d =|3−1|√1+1=√2，弦长的一半为1，r =√(√2)2+12=√3．故答案为：√3． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右两焦点分别是F 1、F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．椭圆C 上存在一点A ，满足AF 1→⋅AF 2→=4c 2，则椭圆的离心率的取值范围是 [√66，√55] ．解：设A （x 1，y 1），则由AF 1→⋅AF 2→=4c 2可得：(−c −x 1，−y 1)⋅(c −x 1，−y 1)=x 12−c 2+y 12=4c 2，可得x 12+y 12=5c 2，即A 点在以（0，0）为圆心，半径为√5c 的圆上；又A点在椭圆上，即可得圆x 12+y 12=5c 2与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1有交点，根据对称性可知b ≤√5c ≤a ，即5c 2≤a 2≤6c 2，所以可得离心率e ∈[√66，√55]． 故答案为：[√66，√55]． 16．已知A ，B 分别是椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD 的斜率k 1，k 2满足k 1＝2k 2，则直线CD 过定点，定点坐标为 (−23，0) ． 解：∵椭圆方程：x 24+y 23=1，∴A （﹣2，0），B （2，0），又k 1＝2k 2，设l AC ：y ＝k 1（x +2），l BD ：y ＝k 2（x ﹣2）．设C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）． 联立{y =k 1(x +2)x 24+y 23=1，可得(3+4k 12)x 2+16k 12x +(−12+16k 12)=0，∴x A +x C =−16k 123+4k 12，∴x C =−16k 123+4k 12−x A =−16k 123+4k 12−(−2)=6−8k 123+4k 12，因为k 1＝2k 2， ∴x C =6−8k 123+4k 12=6−32k 223+16k 22，∴C(6−32k 223+16k 22，24k 23+16k 22)，联立{y =k 2(x −2)x 24+y 23=1，可得(3+4k 22)x 2−16k 22x +(−12+16k 22)=0，得x B +x D =16k 223+4k 22，∴x D =16k 223+4k 22−x B =16k 223+4k 22−2=−6+8k 223+4k 22，∴D(−6+8k 223+4k 22，−12k 23+4k 22)，由C(6−32k 223+16k 22，24k 23+16k 22)，D(−6+8k 223+4k 22，−12k 23+4k 22)得，l CD ：9k 2x+(8k 22−3)y +6k 2=0，即8k 22y +(9x +6)k 2−3y =0过定点(−23，0)．故答案为：(−23，0)．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：（x +1）2+y 2＝4与圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝10相交于P ，Q 两点．（1）求线段PQ 的长；（2）记圆C 1与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 2上滑动，求△MNC 2面积最大时的直线MN 的方程．解：（1）由圆C 1：（x +1）2+y 2＝4，可得圆C 1的圆心为C 1（﹣1，0），半径为r 1＝2， 圆C 1与圆C 2的方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：x +3y ﹣1＝0， 圆心C 1到x +3y ﹣1＝0的距离为d 1=√105，所以PQ =2√r 12−d 12=6√105； （2）M （1，0），C 2（0，3），当△MNC 2的面积最大时，NC 2⊥MC 2， 又k MC 2=3−00−1=−3，所以k NC 2=13，所以直线NC 2的直线方程为y =13x +3， 由{x 2+(y −3)2=10y =13x +3，解得{x =−3y =2或{x =3y =4， 所以N （﹣3，2）或N （3，4），所以MN 方程：x +2y ﹣1＝0或2x ﹣y ﹣2＝0．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{b n }为等比数列．且b 1＝1，b n ＞0，b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2，n ∈N *，（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式． （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）， 由b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2 可得： {b 1q +2a 1+d =105a 1+10d =5b 1q 2+3(a 1+d)⇒{q =2d =2， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝2n +1， 数列{b n } 的通项公式是b n =2n−1．（2）∵a n b n =(2n +1)×2n−1，数列{a n •b n }的前n 项和T n ， ∴T n =3+5×2+7×22+⋯+（2n +1）×2n ﹣1，2T n =3×2+5×22+⋯+（2n ﹣1）×2n ﹣1+（2n +1）×2n ，∴﹣T n ＝3+2×（2+22+2n ﹣1）﹣（2n +1）×2n=3+2×2(2n−1−1)2−1−（2n +1）×2n ＝2n +1﹣1﹣（2n +1）×2n ，∴T n =(2n −1)×2n +1．19．（12分）已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ﹣3y +7＝0相切． （1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +4﹣2a ＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （3，﹣1）？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设圆心为M（x0，0），且x0是整数．则点（x0，0）到直线4x﹣3y+7＝0的距离为3．得022=3，所以x0＝2．轨迹方程：（x﹣2）2+y2＝9；（2）联立轨迹方程与直线方程，（x﹣2）2+y2＝9与ax﹣y+4﹣2a＝0，因为直线与圆有两个交点，所以Δ＞0，得a∈(−∞，−√73)∪(√73，+∞)，（3）存在实数a＝1，使得弦AB的垂直平分线l过点P（3，﹣1）．理由如下：设l的方程为y=−1a(x−3)−1，由于直线l垂直平分弦AB，故圆心M（2，0）必在l上，所以a＝1，所以存在实数a＝1，使得弦AB的垂直平分线l过点P（3，﹣1）．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O1：（x+2）2+y2＝1，圆O2：（x﹣2）2+y2＝1，点H（1，0），一动圆M与圆O1内切、与圆O2外切．（1）求动圆圆心M的轨迹方程E；（2）是否存在一条过定点的动直线l，与E交于A、B两点，并且满足HA⊥HB？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．解：（1）由圆O1方程知：圆心O1（﹣2，0），半径r1＝1；由圆O2方程知：圆心O2（2，0），半径r2＝1，设动圆M的半径为r，∵动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，∴|MO1|＝r﹣1，|MO2|＝r+1，∴|MO2|﹣|MO1|＝2，且2＜|O1O2|＝4，∴动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，∴a＝1，c＝2，b2＝4﹣1＝3，∴动圆圆心M 的轨迹方程E 为：x 2−y 23=1(x ≤−1)；（2）设直线l 为x ＝my +n ， 把x ＝my +n 代入x 2−y 23=1，并整理得（3m 2﹣1）y 2+6mny +3n 2﹣3＝0， ∴Δ＝36m 2n 2﹣4（3m 2﹣1）（3n 2﹣3）＞0，即3m 2+n 2﹣1＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则y 1+y 2=−6mn 3m 2−1，y 1y 2=3n 2−33m 2−1， ∴x 1x 2=(my 1+n)(my 2+n)=m 2y 1y 2+mn(y 1+y 2)+n 2=m 2×3n 2−33m 2−1+mn ×−6mn3m 2−1+n 2=−3m 2−n 23m 2−1＞0，∴3m 2﹣1＜0，又∵x 1+x 2＝（my 1+n ）+（my 2+n ）＝m （y 1+y 2）+2n =m ×−6mn 3m 2−1+2n =−2n3m 2−1＜0，∴n ＜0，∵HA ⊥HB ，∴HA →⋅HB →=0，∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2＝0，∴x 1x 2﹣（x 1+x 2）+y 1y 2+1＝0， ∴−3m 2−n 23m 2−1−−2n 3m 2−1+3n 2−33m 2−1+1=0，即n 2+n ﹣2＝0，解得n ＝﹣2或n ＝1，当n ＝1时，直线l 为x ＝my +1，过H （1，0），不合题意，舍去； 当n ＝﹣2时，直线l 为x ＝my ﹣2，过定点（﹣2，0）．21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝4，数列{b n }的前n 项之积为T n ，b 1=13，且S n =log √3(T n )． （1）求T n ； （2）令c n =a nb n，求正整数n ，使得“c n ﹣1＝c n +c n +1”与“c n 是c n ﹣1，c n +1的等差中项”同时成立； （3）设d n ＝2a n +7，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1，求数列{e n }的前2n 项和Y 2n ． 解：（1）由S n =log √3(T n )，令n ＝1得，a 1=S 1=log 312(T 1)=2log 3(b 1)=2log 313=−2，设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 4＝a 1+3d ＝4，解得d ＝2，∴a n ＝﹣2+2（n ﹣1）＝2n ﹣4，S n =n(a 1+a n )2=n(−2+2n−4)2=n 2−3n ， 即log √3(T n )=n 2−3n ，可得T n =(√3)n 2−3n．（2）存在，理由如下： 由（1）可得：T n =(√3)n2−3n，当n ≥2时，则T n−1=(√3)(n−1)2−3(n−1)=(√3)n2−5n+4，可得b n =T nT n−1=(√3)2n−4=3n−2； 当n ＝1时，b 1=13也满足上式，所以b n =3n−2(n ∈N ∗)． 故c n =a nb n =2n−43n−2， 要使c n ﹣1＝c n +c n +1成立，即2n−63n−3=2n−43n−2+2n−23n−1，解得n ＝4，此时c 3=23，c 4=49，c 5=29，满足：2c 4＝c 3+c 5， 即c 4为c 3，c 5的等差中项， ∴存在n ＝4符合题意．（3）d n ＝2a n +7＝2（2n ﹣4）+7＝4n ﹣1，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1=(−1)n(4n+1)(4n−1)(4n+3)=(−1)n2(14n−1+14n+3)， Y 2n =12[−(13+17)+(17+111)−(111+115)+⋯+(18n−1+18n+3)]=12(−13+18n+3)=−4n24n+9． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2√3，P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线PF 1，PO ，PF 2分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有PF 1→=2F 1M →． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN的最大值．解：（1）由题意可知P （0，b ），F 1（﹣c ，0），设M （x ，y ）， 因为PF 1→=2F 1M →，可得（﹣c ，﹣b ）＝2（x +c ，y ），所以x =−32c ，y =−b2，而M 在椭圆上，所以94c 2a2+b 24b 2=1，即9c 24a 2+14=1，而2c ＝2√3，则c =√3，解得a 2＝9，b 2＝6，所以椭圆C 的标准方程为：x 29+y 26=1；（2）设P （x 0，y 0），PM →=λPF 1→，PN →=μPF 2→，则M （（1﹣λ）x 0，−√3λ，（1﹣λ）y 0）， 代入椭圆的方程：[(1−λ)x 0−√3λ]29+(1−λ)2y 026=1，即（1﹣λ）2（x 029+y 026）−2√3λ(1−λ)x 09+13λ2＝1， 因为P 在椭圆上，所以x 029+y 026=1，所以（1﹣λ）2−2√3λ(1−λ)x 09+13λ2＝1，可得λ=x 0+3√3x 0+23， 同理可得μ=0√3x 0−23，所以S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN=|PF 1|⋅|PQ||PM|⋅|PQ|+|PF 2|⋅|PQ||PN|⋅|PQ|=12λ+12μ=12（0√3x 0+3√3+0√3x 0−3√3）＝1+9x 02−27，因为x 02∈[0，9），所以S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN∈（12，23]，且当x 0＝0时，即P 为短轴的顶点时，取到最大值23．。
2015-2016学年广东省深圳市科学高中高一上学期期中数学试卷和解析
2015-2016学年广东省深圳市科学高中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）图中阴影部分表示的集合是（）A．B∩（∁U A）B．A∩（∁U B）C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）2．（5分）函数y=的定义域是（）A．（1，2]B．（1，2） C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）3．（5分）函数f（x）=log2x在区间[1，2]上的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（5分）已知函数f（x）=|x|，则下列哪个函数与y=f（x）表示同一个函数（）A．g（x）=（）2 B．h（x）=C．s（x）=x D．y=5．（5分）计算21og63+log64的结果是（）A．log62 B．2 C．log63 D．36．（5分）函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则下列各式成立的是（）A．f（﹣2）＞f（0）＞f（1）B．f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）C．f（1）＞f（0）＞f（﹣2）D．f（1）＞f（﹣2）＞f（0）7．（5分）若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h （cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，则使幂函数y=xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递增的a值的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）函数f（x）=a x﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）A．（5，1） B．（1，5） C．（1，4） D．（4，1）10．（5分）函数f（x）=lnx+e x的零点所在的区间是（）A．（）B．（）C．（1，e） D．（e，∞）11．（5分）已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）12．（5分）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S 的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（）A．78 B．76 C．84 D．83二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若f（x﹣1）=1+lgx，则f（9）=．14．（5分）已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=．15．（5分）已知，则f（f（3））的值为．16．（5分）已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．（10分）若A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，B∩A={9}，求A∪B．18．（10分）计算：①②．19．（12分）已知，B={x|log2x＞0}．（1）求A∩B和A∪B；（2）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，求A﹣B和B﹣A．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，求a 的取值范围．21．（12分）据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来．22．（14分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．（1）证明函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；（2）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数（即满足g（x+2）=g（x）），当函数f（x）=﹣2x+g（x）在[1，3]上的值域为[﹣3，3]时，求f（x）在[﹣9，9]上的最大值和最小值．2015-2016学年广东省深圳市科学高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）图中阴影部分表示的集合是（）A．B∩（∁U A）B．A∩（∁U B）C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是B中去A那部分所得，即阴影部分的元素属于B且不属于A，即B∩（C U A）故选：A．2．（5分）函数y=的定义域是（）A．（1，2]B．（1，2） C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）【解答】解：∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2∴函数y=的定义域是（1，2）故选：B．3．（5分）函数f（x）=log2x在区间[1，2]上的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵函数f（x）=log2x在区间[1，2]上为增函数，∴当x=1时，函数f（x）取最小值0，故选：B．4．（5分）已知函数f（x）=|x|，则下列哪个函数与y=f（x）表示同一个函数（）A．g（x）=（）2 B．h（x）=C．s（x）=x D．y=【解答】解：∵f（x）=|x|，x∈R；∴A中，g（x）=x，x≥0，定义域不同，不是同一函数；B中，h（x）=|x|，x∈R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；C中，s（x）=x，x∈R，对应关系不同，不是同一函数；D中，y==|x|，x≠0，定义域不同，不是同一函数．故选：B．5．（5分）计算21og63+log64的结果是（）A．log62 B．2 C．log63 D．3【解答】解：21og63+log64=log69+log64=log636=2．故选：B．6．（5分）函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则下列各式成立的是（）A．f（﹣2）＞f（0）＞f（1）B．f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）C．f（1）＞f（0）＞f（﹣2）D．f（1）＞f（﹣2）＞f（0）【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，∵f（﹣2）=2，且2＞1＞0∴f（2）＞f（1）＞f（0）即f（﹣2）＞f（1）＞f（0）∵f（﹣1）=f（1）∴f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）故选：B．7．（5分）若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h （cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．【解答】解：蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义不可能是D，更不可能是A、C．故选：B．8．（5分）设α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，则使幂函数y=xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递增的a值的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：α=﹣2时，y=x﹣2在（0，+∞）上是减函数；α=﹣1时，y=x﹣1在（0，+∞）上是减函数；α=时，y=在（0，+∞）上是单调增函数，但不是奇函数；α=1时，y=x在（0，+∞）上是单调增函数，且是奇函数；α=2时，y=x2在（0，+∞）上是单调增函数，但不是奇函数；α=3时，y=x3在（0，+∞）上是单调增函数，且是奇函数；所以，满足题意的α值有2个．故选：C．9．（5分）函数f（x）=a x﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）A．（5，1） B．（1，5） C．（1，4） D．（4，1）【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，则x=1时，函数y=a0+4=5，即函数图象恒过一个定点（1，5）．故选：B．10．（5分）函数f（x）=lnx+e x的零点所在的区间是（）A．（）B．（）C．（1，e） D．（e，∞）【解答】解：由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，，f（1）=e＞0故满足条件的区间为（0，）故选：A．11．（5分）已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）【解答】解：令t=x2﹣2x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且f（x）=log（x2﹣2x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间为（﹣∞，0），故选：C．12．（5分）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S 的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（）A．78 B．76 C．84 D．83【解答】解：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C93个，其中A={1，2，9}不合条件，其它的都符合条件，所以满足条件的集合A的个数C93﹣1=83．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若f（x﹣1）=1+lgx，则f（9）=2．【解答】解：∵f（x﹣1）=1+lgx，则f（9）=1+lg10=2故答案为：214．（5分）已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=log2x．【解答】解：由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），可得=2=a，即a=2，故f（x）=log2x，故答案为：log2x．15．（5分）已知，则f（f（3））的值为3．【解答】解：∵，∴f（3）=log3（9﹣6）=1，f（f（3））=f（1）=3•e0=3，故答案为3．16．（5分）已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数，∵f（0）=1＞0，根据偶函数的对称轴可得当x≥0时函数f（x）有2个零点，即，∴，解得a＞2，即实数a的取值范围（2，+∞），故答案为：（2，+∞）三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．（10分）若A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，B∩A={9}，求A∪B．【解答】解：∵B∩A={9}，∴9∈A，即x2=9或2x﹣1=9，解得：x=3或x=﹣3或x=5，经检验x=3或x=5不合题意，舍去，∴x=﹣3，即A={9，﹣7，﹣4}，B={﹣8，4，9}，则A∪B={﹣4，﹣8，﹣7，4，9}．18．（10分）计算：①②．【解答】解：①原式=﹣1+=﹣﹣1+2=2．②原式=lg（52×4）++=2++=3．19．（12分）已知，B={x|log2x＞0}．（1）求A∩B和A∪B；（2）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，求A﹣B和B﹣A．【解答】解：（1）∵＜（）x＜3，∴﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），∵log2x＞0=log21，∴x＞1，∴B=（1，+∞），∴A∩B=（1，2），A∪B=（﹣1，+∞），（2）∵∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∁R B=（﹣∞，1]，A﹣B={x|x∈A且x∉B}，∴A﹣B=A∩∁R B=（﹣1，1]，B﹣A=B∩∁R A=[2，+∞）．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数是奇函数．…（1分）∵定义域：（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，…（2分）且…（3分）∴函数是奇函数．…（4分）（2）证明：设任意实数x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2…（5分）则﹣（）══==…（6分）∵x1＜x2，x1，x2∈[1，+∞）∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2+1＞0，…（7分）∴＜0 …（8分）∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）…（9分）∴函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数．…（10分）（3）∵[2，a]⊆[1，+∞）∴函数f（x）在区间[2，a]上也为增函数．…（11分）∴，…（12分）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，则…（13分）解得a≥4，∴a的取值范围是[4，+∞）．…（14分）21．（12分）据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来．【解答】解：（1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12，∴s=×4×12=24．（2）当0≤t≤10时，s=•t•3t=t2，当10＜t≤20时，s=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150；当20＜t≤35时，s=×10×30+10×30+（t﹣20）×30﹣×（t﹣20）×2（t ﹣20）=﹣t2+70t﹣550．综上，可知s=22．（14分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．（1）证明函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；（2）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数（即满足g（x+2）=g（x）），当函数f（x）=﹣2x+g（x）在[1，3]上的值域为[﹣3，3]时，求f（x）在[﹣9，9]上的最大值和最小值．【解答】（1）证明：∵f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z），∴f（x+2）﹣f（x）=[（x+2）+（﹣1）x+2]﹣[x+（﹣1）x]=2，（非零常数）∴函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是广义周期函数，它的周距为2．（2）解：∵f（x+2）﹣f（x）=﹣2（x+2）+g（x+2）+2x﹣g（x）=﹣4，∴f（x）是广义周期函数，且T=2，M=﹣4．设x1，x2∈[1，3]满足f（x1）=﹣3，f（x2）=3，由f（x+2）=f（x）﹣4得：f（x1+6）=f（x1+4）﹣4=f（x1+2）﹣4﹣4=f（x1）﹣4﹣4﹣4=﹣3﹣12=﹣15，又∵f（x+2）=f（x）﹣4＜f（x），∴f（x）在区间[﹣9，9]上的最小值是x在[7，9]上得到的，而x1+6∈[7，9]，∴f（x）在[﹣9，9]上的最小值为﹣15．由f（x+2）=f（x）﹣4，得f（x﹣2）=f（x）+4，∴f（x2﹣10）=f（x2﹣8）+4=f（x2﹣6）+4+4=…=f（x2）+20=23，又∵f（x﹣2）=f（x）+4＞f（x），∴f（x）在区间[﹣9，9]上的最大值是x在[﹣9，﹣7]上获得的，而x2﹣10∈[﹣9，﹣7]，f（x）在[﹣9，9]上的最大值为23．综上可得f（x）在[﹣9，9]上的最大值为23，最小值为﹣15．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
广东省深圳市高级中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案
深圳市高级中学2015－2016学年第一学期期中测试高一数学命题人：程正科 审题人：范铯本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷为1-12题，共60分；第Ⅱ卷为13-22题，共90分。
全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡相应的位置。
2.选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案。
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
第Ⅰ卷（本卷共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}|24x A x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则AB 等于( ) （A ）(1,2) （B ） (1,2] （C ） [1,2)（D ）[1,2]2.函数()()2log 31xf x =-的定义域为（ ）（A ）[)1,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）[)0,+∞ （D ） ()0,+∞ 3．已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x，则))91((f f =（ ） （A ）12 （B ）14 （C ）16 （D ）184．已知f (x )＝(a －1)x 2＋3ax ＋7为偶函数，则f (x )在区间(－5,7)上为 ( )（A ）先递增再递减 （B ）先递减再递增 （C ）增函数 （D ） 减函数5．三个数a ＝0.42，b ＝log 20.4，c ＝20.4之间的大小关系是( )（A ）a c b << （B ）a b c << （C ）b a c << （D ）b c a <<6．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：（789（ ） （A ）12（B ）12-（C ）2 （D ）2-10.函数()f x 是R 上的偶函数,在[0,)+∞上是减函数,若(ln )(1),f x f >则x 的取值范围是 （）（A ）(0,1)(,)e +∞ （B ）1(0,)(1,)e -+∞ （C ）1(,1)e - （D ） 1(,)e e -11．已知函数53()28f x ax bx x =++-且10)2(=-f ，那么=)2(f ( )（A ）26- （B ）26 （C ）10- （D ）10 12．已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，且对任意的1[1,2]x ∈-，都存在2[1,2]x ∈-，使21()()f xg x =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[3，＋∞) （B ）(0,3] （C ）⎣⎡⎦⎤12，3 （D ）⎝⎛⎦⎤0，12第Ⅱ卷（本卷共计90分）二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
深圳中学2024-2025学年度第一学期高二数学期中考试试题及答案
试卷类型：A深圳中学2024-2025学年度第一学期期中考试试题年级：高二科目：数学命题人：审题人：考试用时：120分钟卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。
选择题作答必须用2B 铅笔。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线3450x y +-=的斜率为（）A ．34-B ．43-C ．34D ．432．已知等比数列{}n a ，若42a =，63a =则2a =（）A ．34B ．23C ．43D ．323．若椭圆2214x y λ+=的右焦点坐标为(1,0)，则λ的值为（）A ．1B ．3C ．5D ．74．设两直线1:(1)30l m x y +--=，2:210l x my ++=相互垂直，则m 的值为（）A ．1B ．2C ．2-D ．3-5．已知1F ，2F 是椭圆221259x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，则12PF PF ⋅的最大值是（）A ．254B ．9C ．16D ．256．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足10a <，717S S =，则当n S 取得最小值时，n 的值为（）A ．10B ．12C ．15D ．247．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限步后，必然进入循环1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数5m =，根据上述运算法则得出51684→→→→ .现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1231nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩，当为偶数时，，当为奇数时，当3m =时，12320a a a a ++++= （）A ．72B ．77C ．82D ．878．“222a b R +<”是“圆()()222x a y b R -+-=与坐标轴有四个交点”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知两椭圆2241x y +=和2244x y +=，则（）A ．两椭圆有相同的焦点B ．两椭圆的离心率相等C ．两椭圆有4个交点D ．两椭圆有相同的对称轴和对称中心10．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b n =-+，且12n n b b +=，则（）A ．当10a ≠时，{}n b 是等比数列B ．3142b a =+C ．当10b =时，{}n a 是等差数列D ．当12b =时，{}n a 是递增数列11.已知实数,x y 满足方程21x y =-，则（）A ．22(2)x y -+的取值范围是[]0,5B ．21y x ++的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2x y -的取值范围是1,5⎡⎤-⎣⎦D ．|5|x y +-的取值范围是52,6⎡⎤-⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若直线2(3)0mx y m +-+=，10x y -+=，310x y --=交于一点，则m =．13.已知数列{}n a 满足12a =，11n n a a +=+，若11n n n c a a +=+，则数列{}n c 的前n 项和n T =．14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，且△1ABF 的面积为415，则椭圆C 的方程为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(13分)已知椭圆的方程为22154x y +=，设椭圆的左右焦点分别为1F ，2F ，与y 轴正半轴的交点为A .（1）求△12AF F 的周长；（2）设过椭圆的右焦点2F ，且斜率为1的直线l 与椭圆交于B ，C 两点，求弦BC 的长．16．(15分)已知圆221:40O x y +-=，圆222:6680O x y x y ++-+=．（1）求证：两圆1O ，2O 相交；（2）设两圆交于A ，B 两点，求四边形12O AO B 的面积.17．(15分)已知数列{}n a 中，11a =-，11122n n n a a +-=+.（1）求证：数列{}12n n a -⋅为等差数列，并求n a ；（2）求{}n a 的前n 项和n S .18．(17分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，()0,2A -，()26,B在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率存在的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且线段MN 的中点P 的横坐标为2-，过P 作新直线l l '⊥，①求直线l 和直线OP 的斜率之积；②证明新直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标.19．(17分)在所有不大于()*,,2n k k n k ∈≥N 的正整数中，记既不能被2整除也不能被3整除的个数记为()k F n .（注：一个自然数能被p 和q 整除当且仅当其能被p ，q 的最小公倍数整除，如能被5和3整除等价于能被15整除）（1）求()61F ，()62F 的值（不需说明）；（2）求()6F n 关于n 的表达式；（3）若数列{}n a 满足()651n a F n -=，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：对于*N n ∀∈，均有1111282265n n S --≤<⨯.深圳中学2024-2025学年度第一学期期中考试试题年级：高二科目：数学命题人：唐夷非、欧阳力亚审题人：许苏华1-8：ACBC DBBA 9-11：BD ，ACD ，BCD12-14：1；22n +-；2212515x y +=．1．A【详解】直线斜截式为3544y x =-+2.C【详解】242643a a a ==.3．B【详解】根据右焦点坐标为(1,0)，可得1c =，且焦点在x 轴上，故243c λ=-=.4．C【详解】两条直线的方向向量(1,1),(2,)m m +-相互垂直，故其数量积210m m +-=（），解得2m =-.5．D【详解】因为1210PF PF +=，所以21212252PF PF PF PF ⎛⎫+⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当125PF PF ==时，12PF PF ⋅取到最大值.6．B【详解】因为717S S =，则89170a a a ++⋅⋅⋅+=，又因为数列{}n a 为等差数列，则8179161213a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+，可得()121350a a +=，即12130a a +=，且10a <，可知12130,0a a <>，即当12n ≤时，0n a <；当13n ≥时，0n a >；所以当n S 取得最小值时，n 的值为12.7．B 【详解】3105168421421→→→→→→→→→→ ，故12345310516842a a a a a ++++=++++=，又()20535-÷=，所以67207535a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=．所以1220423577a a a ++⋅⋅⋅+=+=．8．A【详解】由222a b R +<，可以表示为点(0,0)在圆()()222x a y b R -+-=的内部，此时圆()()222x a y b R -+-=与坐标轴有四个交点，则充分性成立；反之，由圆()()222x a y b R -+-=的方程可知，圆心为(,)a b ，半径为R ，则要使圆()()222x a y b R -+-=与坐标轴有四个交点，则,a R b R <<，则2222a b R +<，则必要性不成立，故“222a b R +<”是“圆()()222x a y b R -+-=成立的充分不必要条件.9．BD【详解】对于A ，椭圆1E 即22114y x +=，椭圆2E 即2214yx +=，他们的焦点分别在,x y 轴上，故A 错误；对于B ，1E 2E 的离心率均为32，故B 正确；对于C ，联立可得1,0x y =±=，所以1E 与2E 有2个公共点，故C 错误.D 显然正确.10．ACD 【详解】对于A ，当10a ≠时，由于111110b b a =-+=≠，且12n n b b +=，故是等比数列，故A 正确；对于B ，由已知有()11123441142a b b b b =-+===，故B 错误；对于C ，当10b =时，由12n n b b +=得0n b =.所以11n n a b n n =-+=-+，从而()()11111n n a a n n +-=--+--+=-，故{}n a 是等差数列，故C 正确；对于D ，由于12n n b b +=，故2n n b =.所以()()11111112110n n n n n n n n n a a b n b n b b b b b +++-=⎡-++⎤--+=--=--=->⎣⎦，从而{}n a 是递增数列，故D 正确.11．BCD【详解】210x y =-≥，两边平方得221x y +=，故方程21x y =-表示的几何图形为单位圆位于y 轴右侧的部分（包括y 轴上两点），其中()1,0T ，()()0,1,0,1M N -，对于A ，22(2)x y -+几何意义为21x y =-上的点到2,0的距离的平方，故2TQ 为最小值，最小值为1，2MQ 或2NQ 取得最大值，最大值为22215+=，所以22(2)x y -+的取值范围为[]1,5，A 错误；对于B ，21y x ++几何意义为21x y =-上的点与()1,2A --的连线的斜率，设过点()1,2A --的直线为()21y k x +=+，则2211k k -=+，解得34k =，此时为最小斜率，直线AM 的斜率为最大值，即12301+=+，21y x ++的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B 正确；对于C ，设2x y t -=，则2y x t =-，t -为直线2y x t =-与y 轴的交点的纵坐标，当2y x t =-与21x y =-的图形相切于H 时，t -取得最小值，t 取得最大值，由114t =+，解得5t =（负值舍去），当2y x t =-过点()0,1M 时，t -取得最大值，t 取得最小值，10t =-，解得1t =-，2x y -的取值范围是[5,1]-，C 正确；对于D ，|5|2x y +-的几何意义为21x y =-上的点到50x y +-=的距离，过点O 作OJ ⊥直线50x y +-=于点J ，与21x y =-的图形交于点S ，则SJ 即为21x y =-上的点到50x y +-=的距离最小值，其中55222OJ -==，故5212SJ =-，过点N 作NK ⊥直线50x y +-=于点K ，则NK 即为21x y =-上的点到50x y +-=的距离最大值，最大值为15322OJ --==，故|5|2x y +-的取值范围是521,322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，|5|x y +-的取值范围为52,6⎡⎤-⎣⎦，D 正确.12．1【详解】联立直线10,310x y x y -+=--=解得交点为(1,2)，代入直线2(3)0mx y m +-+=得1m =.13.22n +-【详解】由题知，1n a n =+.1112112n n n c n n a a n n +===+-+++++，12324321n n T c c c n n =+++=-+-+++-+ 22n =+-.14.2212515x y +=【详解】设2BF m =，则23AF m =，22142AB AF BF m AF =+==，则12AF m =，由椭圆的定义可知122352AF AF m m m a +=+==，所以25m a =，所以265AF a =，145AF a =，85AB a =，122822255BF a BF a m a a a =-=-=-=，在1ABF 中，22222211118481555cos 8424255a a a AB AF BF F AB a a AB AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠===⨯⨯⨯，所以21115sin 1cos 4F AB F AB ∠=-∠=，在12AF F △中，222121212122cos F F AF AF AF AF F AF =+-∠，即222464614255554a a a a c ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得2252c a =，因为三角形1ABF 的面积为415，故111sin 4152AF AB F AB ∠=，即148154152554a a ⨯⨯⨯=，得225a =，所以210c =，222210155b a c =-==-，所以椭圆C 的方程为2212515x y +=15．(1)12252AF F C ∆=+(2)1659BC =【详解】（1）由题意，12(1,0),(1,0),(0,2)F F A -，故121212252AF F C F F AF ∆=+=+.（2）右焦点为2(1,0)F ，直线l 的方程为:1l y x =-.与椭圆方程联立化简得2910150x x --=，由韦达定理1212105,,93x x x x +==-由弦长公式，()2221212121651||149BC k x x k x x x x =+-=+⋅+-=.16.(1)见下;(2)126O AO B S =;【详解】（1）圆1O 的圆心1(0,0)O ，半径2r =，圆222:(3)(3)10O x y ++-=的圆心2(3,3)O -，半径10R =，可得()()2212303032102O O =--+-=<+，即12O O R r <+，所以两圆相交.（2）设(,)A x y ,则其同时满足两圆的方程：224x y +=，22(3)(3)10x y ++-=，故其也满足两式之差：2222((3)(341))0x x y y -++=--+，化简得一直线方程:20l x y -+=，即A 在直线l 上，同理点B 也在直线l 上，因此:20l x y -+=就是直线AB 的方程.1O 到直线l 的距离2211d ==+，由垂径定理22222AB r d =-=.因为12O O AB ⊥，筝形12O AO B 的面积1212112232622O AO B S AB O O =⋅=⋅=.17．(1)证明见解析，1232n n n a --=(2)12122n n n S -+=-.【详解】（1）因为11122n n n a a +-=+，所以11222n n n n a a -+=+，故11222n n n n a a -+-=，即数列{}12n n a -⋅是以2为公差的等差数列，又11a =-，故1122(1)23n n a a n n -=+-=-，所以1232n n n a --=.（2）依题意可得23211352523122222n n n n n S ----=-++++++ ，23411113525232222222n n nn n S ---=-++++++，两式相减可得2221111111232321221111222222212n n n n n nn n n S --⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=-+++++-=-=-- ，所以12122n n n S -+=-.18.【详解】(1)221124x y +=(2)①13-；②证明见解析,定点的坐标为42(3-,0)（1）由题可知椭圆过点()()0,2,62,A B-可得222212362b b a a b =⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎩⎪⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=（2）①由题可设0(2,)P y -，设1(M x ,1)y 、N 2(x ,2)y ，显然12x x ≠，联立2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则222212120124x x y y --+=，即1212121213y y y y x x x x -+⋅=--+，因为P 为线段MN 的中点，所以012122y y y x x +-=+，又012121212,2l MN OP y y y y y k k k x x x x -+===-=-+，所以13MN OP k k ⋅=-，即直线l 和直线OP 的斜率之积为13-；②由①可得直线l 的斜率为0012233l k y y -=-⋅=，又l l '⊥，所以直线l '的方程为003(2)2y y y x -=-+，即034()23y y x =-+，显然l '恒过定点4(,0)3-.19.【详解】（1）()()6612,122F F ==（2）()1626n F n -=⨯在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的数有62n 个，能被3整除的数有63n个，能被2和3同时整除的数，即是能被6整除的数，其个数有66n个，所以满足题意的表达式为16666()626236n n nnn F n -=--+=⨯.（3）由（2）知，当1n =时，16555(1)121S F ===--，所以15S =；当2n ≥时，1111165556161326()1261261266n n n n n F n ------<==<=⨯⨯-⨯-⨯-⨯，（上式放缩用到了不等式性质，若0,0a b c >>>，则b b ca a c+<+）则2n ≥时，21211511111111553532666666556n n n n S ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<<++++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⨯⎝⎭⎝⎭ ，也即151128525565n n S -⎛⎫+-<< ⎪⨯⎝⎭综上可得，1111282265n n S --≤<⨯对于*N n ∀∈成立，即证.。
广东省深圳市2015-2016学年高二数学上册期末测试题
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2015—2016学年广东省深圳市南山区高二（上)期末数学试卷（文科）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．“x2＞1”是“x＞1"的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=14．设等比数列｛a n}的前n项和为S n，满足a n＞0,q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S5=（）A．31 B．36 C．42 D．485．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．6．函数f（x）的定义域为（a，b）,导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示,则函数f （x）在开区间（a,b）内有极值点（)A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知命题p：｜x﹣1|≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q"同时为假命题，则满足条件的x为（)A．{x｜x≥3}或{x|x≤﹣1，x∉Z} B．｛x｜﹣1≤x≤3，x∈Z}C．{﹣1,0，1,2,3} D．{0，1，2｝8．在△ABC中,三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2B．4 C．2D．39．已知数列{a n｝中a1=1，a2=，a3=,a4=，…a n=…,则数列{a n}的前n项的和s n=（）A． B． C． D．10．若x,y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．211．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有(）A．极大值5，无极小值B．极小值﹣27,无极大值C．极大值5，极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣1112．如图，F1、F2是双曲线=1(a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13．抛物线y=8x2的焦点坐标为．14．在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1，其面积为，则a=．15．设f(x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=．16．递减等差数列｛a n｝的前n项和S n满足S5=S10，则欲使S n最大,则n=．三、解答题(本题共6小题，共70分）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真,“p且q"为假．求实数m的取值范围．18．△ABC的内角A，B,C所对的边分别为a，b,c,acosC+ccosA=2bcosA．（1）求A；（2）若a=，b=2，求△ABC的面积．19．设｛a n｝是等差数列，{b n｝是各项都为正数的等比数列，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．（1）求数列｛a n｝，{b n}的通项公式;(2）设数列{b n｝的前n项和为S n，记，求数列｛c n｝的前n项和T n．20．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1)x+4＞0(a∈R）21．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且｜AB|=|BF｜．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点(0,2）,且l交椭圆C于P、Q两点,OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．22．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f(x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0,2］,均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)＜g（x2），求a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳市南山区高二（上)期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题,每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由x2＞1，解得:x＞1或x＜﹣1．进而判断出结论．【解答】解：由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．∴“x2＞1"是“x＞1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【考点】三角形的形状判断．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2，再结合余弦定理作出判断即可．【解答】解：∵在△ABC中,sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理===2R得，a2+b2＜c2，又由余弦定理得：cosC=＜0,0＜C＜π,∴＜C＜π．故△ABC为钝角三角形．故选A．【点评】本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±x,由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选:A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．4．设等比数列{a n｝的前n项和为S n，满足a n＞0,q＞1,且a3+a5=20，a2a6=64，则S5=（) A．31 B．36 C．42 D．48【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比中项的性质求得a3a5=a2a6，进而根据a3+a5=20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．【解答】解：a3a5=a2a6=64,∵a3+a5=20,∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根,∵a n＞0,q＞1，∴a3＜a5，∴a5=16，a3=4,∴q===2，∴a1===1，∴S5==31．故选A．【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，等比数列的等比中项的性质的应用．解题过程中巧妙的构造出一元二次方程，较快的求得a3和a5，进而求得a1和q．5．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=(）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a,b，c,再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则,化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a,b，c,进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．6．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b)内有极值点（)A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】导数的综合应用．【分析】根据当f’（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减,然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f(x)在（a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减,根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故答案为 C．【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．7．已知命题p：｜x﹣1｜≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q"同时为假命题,则满足条件的x为（)A．｛x|x≥3}或｛x｜x≤﹣1，x∉Z｝B．{x｜﹣1≤x≤3，x∈Z}C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2｝【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由题设条件先求出命题P：x≥4或x≤0．由“p且q”与“¬q”同时为假命题知0＜x＜4,x∈Z．由此能得到满足条件的x的集合．【解答】解：由命题p：｜x﹣1｜≥2，得到命题P：x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2，即命题P：x≥3或x≤﹣1;∵¬q为假命题，∴命题q：x∈Z为真翕题．再由“p且q"为假命题，知命题P:x≥4或x≤0是假命题．故﹣1＜x＜3，x∈Z．∴满足条件的x的值为:0,1，2．故选D．【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题,仔细解答，注意公式的灵活运用．8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC,则c=（）A．2B．4 C．2D．3【考点】正弦定理;余弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式,化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解： ===1，即有2cosC=1，可得C=60°，若S△ABC=2,则absinC=2，即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b)2﹣2ab﹣ab=(a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12,解得c=2．故选C．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．9．已知数列｛a n}中a1=1，a2=，a3=，a4=，…a n=…,则数列｛a n}的前n项的和s n=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】a n===2．，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵a n===2．∴数列{a n｝的前n项的和s n=2++…+==．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．若x，y满足,则z=x+2y的最大值为（)A．0 B．1 C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故选：D．【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题．11．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有()A．极大值5，无极小值B．极小值﹣27，无极大值C．极大值5,极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣11【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=3(因为﹣2＜x＜2,舍去）,讨论当﹣2＜x＜﹣1时,y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0,得到函数极值即可．【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1,x=3，由于﹣2＜x＜2，则当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，当x=﹣1时,y极大值=5；x取不到3，无极小值．故选：A【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,属于基础题12．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c,再在△F1BF2中应用余弦定理得,a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点,F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由,则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°,得c2=7a2,则．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y=8x2的焦点坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】化抛物线方程为标准方程,即可求得焦点坐标．【解答】解：抛物线y=8x2可化为，焦点在y轴上∵，∴∴抛物线y=8x2的焦点坐标为故答案为:【点评】本题考查抛物线的性质，化抛物线方程为标准方程是关键．14．在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°,b=1，其面积为,则a=．【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；方程思想；分析法；解三角形．【分析】根据三角形的面积公式，求出c,然后利用余弦定理即可得到a的值【解答】解：∵A=60°,b=1,△ABC的面积为,∴S△=bcsinA=csin60°=，即c=,解得c=4，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos60°=1+16﹣2×1×4×=13，解得a=，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．15．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2,则x0=e．【考点】导数的运算．【专题】计算题．【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f(x)的导数,然后将x0代入建立方程，解之即可．【解答】解：f(x）=xlnx∴f’（x）=lnx+1则f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e故答案为：e【点评】本题主要考查了导数的运算，以及乘积函数的导数公式的运用，属于基础题之列．16．递减等差数列｛a n｝的前n项和S n满足S5=S10，则欲使S n最大,则n=7或8．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据题意,由S5=S10，可得S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，结合等差数列的性质，可得a8=0,又由数列｛a n}是递减等差数列，则可得a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…,分析可得答案．【解答】解:根据题意，数列{a n｝满足S5=S10，则S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，由等差数列性质得：5a8=0,可得a8=0，又由数列{a n}是递减的等差数列，则由a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，则当n=7或8时,s n取最大值,故答案为7或8．【点评】本题考查等差数列前n项和的性质，要牢记其前n项和s n取最大或最小值的条件以及判断方法．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4(m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q"为真,“p且q”为假．求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】分类讨论;简易逻辑．【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论,最后综合可得答案．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得,m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则,解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．【点评】本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意,转化为集合间的包含关系，综合可得答案．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bcosA．（1）求A；（2)若a=，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；解三角形．【分析】(1）利用正弦定理、和差公式即可得出；（2）利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解:（1）∵acosC+ccosA=2bcosA,由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，化为：sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，sinB≠0,可得cosA=，A∈（0，π），∴A=．（2）由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴7=22+c2﹣4ccos，化为c2﹣2c﹣3=0，解得c=3．故△ABC的面积为bcsinA=×3×=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．设｛a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=1，b1=2，a2+b3=10,a3+b2=7．（1)求数列｛a n｝，｛b n｝的通项公式；(2）设数列｛b n｝的前n项和为S n，记，求数列｛c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；方程思想;转化思想;数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法"、等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列｛a n}的公差为d，等比数列｛b n｝的公比为q，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．∴，即，消去d得2q2﹣q﹣6=0,（2q+3)（q﹣2）=0，∵{b n}是各项都为正数的等比数列，∴q=2，d=1,∴a n=n，b n=2n．（2）S n=2n+1﹣2，…c n=a n•(+1）=n•2n，设T n=1•21+2•22+3•23+…+n•2n,2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1)•2n+n•2n+1，相减，可得T n=(n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减法"，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0(a∈R）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对a分类:a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1，分别解不等式即可．【解答】解：ax2﹣2（a+1）x+4＞0⇔（ax﹣2）（x﹣2）＞0…(ⅰ）a=0时，x﹣2＜0⇔x∈（﹣∞，2）…(ⅱ）0＜a＜1时,…（ⅲ）a=1时，(x﹣2)2＞0⇔x∈(﹣∞，2)∪（2,+∞）…（ⅳ）a＞1时，…(ⅴ）a＜0时，…【点评】本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想,是中档题．21．如图，椭圆C: +=1（a＞b＞0）的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=｜BF|．（Ⅰ)求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2)，且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】(Ⅰ)利用|AB|=｜BF｜，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率;（Ⅱ）直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0与椭圆C：联立,OP⊥OQ，可得,利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程．【解答】解:(Ⅰ）由已知,即,4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2﹣c2）=5a2,∴．…(Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴椭圆C：．设P(x1，y1)，Q(x2,y2)，直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0)，即2x﹣y+2=0．由，即17x2+32x+16﹣4b2=0．．，．…∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0,x1x2+（2x1+2）（2x2+2)=0，5x1x2+4（x1+x2)+4=0．从而，解得b=1，∴椭圆C的方程为．…【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．22．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈（0,2］，使得f（x1）＜g（x2)，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】(Ⅰ）由函数，知（x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ）（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f(x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2］，均存在x2∈（0，2］，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2］上有f（x）max＜g（x)max．由此能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ)∵函数,∴（x＞0)．∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,∴f'（1）=f'(3)，即，解得．（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时,x＞0,ax﹣1＜0，在区间（0，2)上，f'（x）＞0；在区间（2,+∞)上f’(x）＜0,故f（x）的单调递增区间是(0，2）,单调递减区间是(2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x)＞0;在区间上f’（x）＜0,故f（x）的单调递增区间是（0，2)和,单调递减区间是③当时，，故f(x）的单调递增区间是(0，+∞）．④当时，，在区间和（2,+∞）上,f'（x）＞0；在区间上f’（x）＜0，故f（x)的单调递增区间是和（2，+∞）,单调递减区间是．(Ⅲ)由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由已知,g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以,﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．②当时,f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．【点评】本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力;考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类不清导致致出错,解题时要认真审题，仔细解答,注意分类讨论思想的合理运用．。
2016-2017学年广东省深圳高级中学高二(下)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．3．（5分）在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．14．（5分）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．245．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．7cm36．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．D．8．（5分）设a，b，c大于0，则3个数：，，的值（）A．都大于4 B．至少有一个不大于4C．都小于4 D．至少有一个不小于49．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（）种．A．27 B．30 C．33 D．3611．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线﹣=1的离心率e的值是（）A．B．C．D．12．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．其中函数式“H函数”的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在答题卡中横线上）13．（5分）已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=．14．（5分）若（mx+y）6展开式中x3y3的系数为﹣160，则m=．15．（5分）曲线y=sinx与直线x=﹣，x=及x轴所围成的图形的面积是．16．（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．18．（12分）设n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=S n+a n+2，且a1，a2，a5成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足=（），求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．20．（12分）如图，ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若BE=CE=，求平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆的两焦点为，，离心率．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．．2016-2017学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到（1﹣x）（x+3）≥0，即（x﹣1）（x+3）≤0，解得：﹣3≤x≤1，即A={x|﹣3≤x≤1}，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B={x|0＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤1}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．【分析】由（1+2i）z=（1﹣i），得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式则答案可求．【解答】解：由（1+2i）z=（1﹣i），得=，则|z|=．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1【分析】由已知条件，求出a4﹣a3=2a3，由此能求出公比．【解答】解：等比数列{a n}中，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2S3+1﹣（2S2+1）=2（S3﹣S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q==3．故选：C．【点评】本题考查等比数列折公比的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式．4．（5分）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．24【分析】有9个座位，现有3个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解【解答】解：有8个座位，现有2个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解，∵要求入座的每人左右均有空位，∴6个座位之间形成5个空，安排2个人入座即可∴不同的坐法种数为A52=20，故选：C．【点评】本题考查排列知识，考查学生分析解决问题的能力，采用插空法求解是关键．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．7cm3【分析】由三视图知该几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥A﹣BCD其中B、D分别中点，则BC=CD=1，且AC⊥平面BCD，∴几何体的体积V==（cm3），故选：A．．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．6．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的单调性，属基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．D．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan+…+tan+tan的值，利用正切函数的周期性即可计算求值．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan+…+tan+tan的值，由于：tan+tan+tan=0，k∈Z，且：2016=3×672，所以：S=（tan+tan+tan）+…+（tan+tan+tan）=0+0+…+0=0．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了正切函数求值的应用问题，属于基础题．8．（5分）设a，b，c大于0，则3个数：，，的值（）A．都大于4 B．至少有一个不大于4C．都小于4 D．至少有一个不小于4【分析】分别举反例即可比较．【解答】解：依题意，令a=b=c=2，则三个数为4，4，4；令a=b=c=4，则三个数为5，5，5，排除A，B，C选项．故选：D．【点评】本题考查了不等式的证明，属于基础题．9．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出从10部名著中选择2部名著的方法数、2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数，由对立事件的概率计算公式，可得结论．【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C102=45（种），2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C32=3（种），由对立事件的概率计算公式得P=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查概率的计算，考查组合知识，属于中档题．10．（5分）某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（）种．A．27 B．30 C．33 D．36【分析】甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，再根据计数原理计算结果．【解答】解：因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，①2、2、1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列：共有：×=18种；②3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列：共有：×=12种；所以，选派方案共有18+12=30种．故选：B．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于中档题．11．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线﹣=1的离心率e的值是（）A．B．C．D．【分析】依题意，利用椭圆的通经=a，可求得=，从而可求得双曲线﹣=1的离心率e的值．【解答】解：据题意知，椭圆通径长为a，故有=a⇒a2=4b2⇒=，故相应双曲线的离心率e===．故选：B．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查转化思想与运算能力，属于中档题．12．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．其中函数式“H函数”的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x3+x+1；y'=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调．②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y'=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在答题卡中横线上）13．（5分）已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=2．【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．【解答】解：||=2，=||||cos=||，∵|﹣2|=2，∴（）2=，即4||2﹣4||+4=12，解得||=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．14．（5分）若（mx+y）6展开式中x3y3的系数为﹣160，则m=﹣2．【分析】由题意可得m3C63=﹣160，解得即可．【解答】解：∵（mx+y）6展开式中x3y3的系数为﹣160，∴m3C63=﹣160，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解展开式的指定项的系数，属于公式的基本应用．15．（5分）曲线y=sinx与直线x=﹣，x=及x轴所围成的图形的面积是．【分析】先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．【解答】解：由题意和定积分的意义可得所求面积：====．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的几何意义及其求法．16．（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为2200元．【分析】先设出甲车、乙车的辆数及运输费用，列出约束条件、目标函数；画出可行域，画出目标函数对应的直线，将其平移，由图得到最值【解答】解：设甲型货车使用x辆，乙型货车y辆，所花运费z元为，目标函数z=400x+300y；画出可行域，将z=400x+300y变形为y=﹣，将其平移至（4，2）时，z最小为2200元故答案为2200元【点评】本题考查将实际问题转化为线性规划问题，画出不等式组表示的可行域，数形结合求出最值．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．【分析】（1）由同角的基本关系式和正弦定理，计算即可得到所求值；（2）运用余弦定理可得CD，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）因为，所以∠ABC为钝角，且，，因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD=，在△ABC中，可得=，可得AC==8；（2）因为AB∥CD，所以∠BCD=180°﹣∠ABC，可得cos∠BCD=﹣cos∠ABC=，在△BCD中，，整理得CD2﹣4CD﹣45=0，解得CD=9，所以．【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．（12分）设n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=S n+a n+2，且a1，a2，a5成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足=（），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（I）利用递推关系、等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）数列{b n}满足=（），可得b n=（2n﹣1）2n．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．=S n+a n+2，【解答】解：（I）∵S n+1∴a n﹣a n=2，+1∴数列{a n}是公差为2的等差数列，∵a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•a5，∴=a1（a1+8），解得a1=1．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）∵数列{b n}满足=（），∴b n=（2n﹣1）=（2n﹣1）2n．∴数列{b n}的前n项和T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n，∴2T n=22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣6+（3﹣2n）×2n+1，∴T n=6+（2n﹣3）×2n+1．【点评】本题考查了递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【分析】（1）利用古典概型公式求解；（2）根据题意，得到变量的可能取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，根据变量和概率的值写出分布列，做出期望值．【解答】解：（1）甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，共有25种抽法，其中只有一个优秀成绩，共有12种抽法，∴其中只有一个优秀成绩的概率为；（2）ξ=0，1，2，3，则P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列ξ0123P∴Eξ=0×+1×+2×+3×=1.2【点评】本题考查了平均数计算公式及古典概型的概率计算，离散型随机变量的概率分布及期望值的求解，读懂茎叶图的数据是关键．20．（12分）如图，ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若BE=CE=，求平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出BD⊥BC，EF⊥BC，从而EF⊥平面ABCD，进而EF⊥BD，由此得到BD⊥平面BCE，从而BD⊥CE．（Ⅱ）以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x，y轴，以过点B且与FE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE与平面BCE 所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵ABCD是平行四边形，且CD=AB=2BC=4，BD=2，∴CD2=BD2+BC2，∴∠CBD=90°，即BD⊥BC，取BC的中点F，连接EF，∵BE=CE，∴EF⊥BC，…（2分）又∵平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴EF⊥BD，∵EF∩BC=F，EF，BC⊂平面BCE，∴BD⊥平面BCE，∵EC⊂平面BCE，∴BD⊥CE．…（6分）解：（Ⅱ）∵BE=CE=，由（Ⅰ）得EF==．以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x，y轴，以过点B且与FE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系（如图），则A（2，﹣2，0），D（0，﹣2，0），E（﹣1，0，3），∴=（﹣3，2，3），=（﹣1，2，3），…（8分）设平面ADE的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=，得=（0，，﹣2），由（Ⅰ）知BD⊥平面BCE，∴设平面BCE的一个法向量为=（0，1，0），…（11分）设平面ADE与平面BCE所成二面角为θ，则cosθ==，即平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（12分）已知椭圆的两焦点为，，离心率．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求椭圆的方程即是求a，b两参数的值，由题设条件椭圆的两焦点为，，离心率求出a，b即可得到椭圆的方程．（2）本题中知道了直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数m的值．首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程；（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k ＜0），则BC边所在直线的方程为，将此两直线方程与椭圆的方程联立，分别解出A，C两点的坐标，用坐标表示出两线段AB，BC的长度，由两者相等建立方程求参数k，由解的个数判断三角形的个数即可．【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），…（1分）则，，…（2分）∴a=2，b2=a2﹣c2=1…（3分）∴所求椭圆方程为．…（4分）（2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，…（6分）则△=64m2﹣80（m2﹣1）＞0得m2＜5（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，y1﹣y2=x1﹣x2，…（7分）…（9分）解得.，满足（*）∴．…（10分）（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为，由，得A，…（11分）∴，…（12分）用代替上式中的k，得，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2，…（13分）∵k＜0，∴解得：k=﹣1或，故存在三个内接等腰直角三角形．…（14分）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长AB与BC相等，由此关系得到斜率k所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于k的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重．本题中转化灵活，运算量大，且比较抽象，易出错，做题时要严谨认真．22．（12分）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得m=2，求得f（x）的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）可得g（x），函数g（x）无零点，即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数．对k讨论，运用单调性和函数零点存在定理，即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数为，又由题意有：，故．此时，由f'（x）≤0⇒0＜x＜1或1＜x≤e，所以函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e]．（Ⅱ），且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要函数g（x）无零点，即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数．①当k≤0时，h'（x）＜0在x∈（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，所以函数h（x）在（0，1）内单调递减，h（x）在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点，在（1，+∞）内也无零点，故满足条件；②当k＞0时，，（1）若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；（2）若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，所以x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点，满足条件；（3）若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，所以在及（1，+∞）内均无零点．又易知，而h（e﹣k）=k•（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2，又易证当k＞2时，h（e﹣k）＞0，所以函数h（x）在内有一零点，故不满足条件．综上可得：k的取值范围为：k≤0或k=2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数方程的转化思想的运用，分类讨论的思想方法，以及函数零点存在定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．。
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【解答】解：∵C=
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2=3， 又 c 为三角形的边长， 则 c= ．
故选：B．
2． （4 分）下列结论不正确的是（
）
A．若 ab＞bc，则 a＞c B．若 a3＞b3，则 a＞b C．若 a＞b，c＜0，则 ac＜bc D．若 ＜ ，则 a＞b
【解答】解：A．ab＞bc，b＜0，则 a＜c，因此不成立． B．由函数 f（x）=x3 在 R 上单调递增，则 a3＞b3⇔a＞b，正确． C．a＞b，c＜0，则 ac＜bc，正确． D．∵ ＜ ，则 a＜b，正确．
12． （4 分） 已知数列{an}满足 a1=3， an+1=2an+1， 则数列{an}的通项公式 an= 13． （4 分）已知实数 x，y 满足 ，则|3x+4y﹣7|的最大值是
．
14． （4 分）以（0，m）间的整数（m＞1） ，m∈N）为分子，以 m 为分母组成 分数集合 A1，其所有元素和为 a1；以（0，m2）间的整数（m＞1） ，m∈N）为 分子，以 m2 为分母组成不属于集合 A1 的分数集合 A2，其所有元素和为 a2；…， 依此类推以（0，mn）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以 mn 为分母组成不属 于 A1，A2，…，An﹣1 的分数集合 An，其所有元素和为 an；则 a1+a2+…+an= ．
故选：A．
3． （4 分）在△ABC 中，若 sinC=2cosAsinB，则此三角形必是 （ A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：由 A+B+C=π，得到 C=π﹣（A+B） ， ∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B） ，又 sinC=2cosAsinB， ∴sin（A+B）=2cosAsinB，
A．若 ab＞bc，则 a＞c B．若 a3＞b3，则 a＞b C．若 a＞b，c＜0，则 ac＜bc D．若 ＜ ，则 a＞b ）
3． （4 分）在△ABC 中，若 sinC=2cosAsinB，则此三角形必是 （ A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4． （4 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3=9，S6=36，则 a7+a8+a9=（ A．63 B．45 C．36 D．27 5． （4 分）数列{an}满足 an+1= ，若 a1= ，则 a2015=（
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A．
B．
C．
D．
二、填空题（6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 9． （4 分）在△ABC 中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为 10． （4 分）已知等比数列{an}的公比 ，则 的值为 ． ．
11． （4 分）有两个等差数列 2，6，10，…，190 及 2，8，14，…，200，由这两 个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前 10 项之和为 ． ．
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（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{bn}的前 n 项和 Tn； （3）若数列{cn}满足 cn= ，且{cn}的前 n 项和为 Kn，求证：Kn＜3．
18． （12 分）设二次函数 f（x）=（k﹣4）x2+kx（k∈R） ，对任意实数 x，有 f（x） ≤6x+2 恒成立；正项数列{an}满足 an+1=f（an） ．数列{bn}，{cn}分别满足|bn+1﹣ bn|=2，cn+12=4cn2． （1）若数列{bn}，{cn}为递增数列，且 b1=1，c1=﹣1，求{bn}，{cn}的通项公式； （2）在（1）的条件下，若 g（n）= 值； （3）已知 a1= ，是否存在非零整数 λ，使得对任意 n∈N*，都有 log3（ ） （n≥1，n∈N*） ，求 g（n）的最小
2015-2016 学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题（8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 1． （4 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C= b=1，则 c 等于（ A． B． C． ） D．1 ） ，a=2，
2． （4 分）下列结论不正确的是（
+log3（
）+…+log3（
）＞﹣1+（﹣1）n﹣12λ+nlog32 恒成立，若存在，
求之；若不存在，说明理由．
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2015-2016 学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 1． （4 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C= b=1，则 c 等于（ A． B． C． ） D．1 ，a=2，b=1， ，a=2，
7． （4 分） 已知函数 f （x） =|x+1|﹣2|x﹣1|， 则不等式 f （x） ＞1 的解集为 （ A． （ ，2） B． （ ，2） C． （ ，3） D． （ ，3）
8． （4 分）在平面直角坐标系中，定义
到
点 Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换为“γ 变换”，已知 P1（0，1） ，P2（x2，y2） ，…， Pn（xn，yn） ，Pn+1（xn+1，yn+1）是经过“γ 变换”得到的一列点．设 an=|PnPn+1|，数 列{an}的前 n 项和为 Sn，那么 S10 的值为（ ）
三、解答题（4 大题，共 44 分） 15． （10 分）△ABC 中，BC=7，AB=3，且 （1）求 AC 的长； （2）求∠A 的大小； （3）求△ABC 的面积． 16． （10 分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为 4800 立方米，深 度为 3 米，池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元．设池 底长方形长为 x 米． （1）用含 x 的表达式表示池壁面积 S； （2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？ 17． （12 分）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=2，an+1=Sn+2（n≥1，n∈N*） ，数
）
）
A．
B．
C．
D．
6． （ 4 分）已知△ ABC 的三个内角， A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 2cosBsinAsinC=sin2B，则（ A．a，b，c 成等差数列 B． C．a2，b2，c2 成等差数列 ） ， ， 成等比数列
D．a2，b2，c2 成等比数列 ）