cha1[1]中山大学电磁学课件 (4)

第六章6.1相对论的基本原理和时空理论6.2 洛伦兹变换的四维形式 四维协变量6.3 相对论力学6.4 电动力学的相对论协变性6.5电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量6.1相对论的基本原理和时空理论认为时空和质量的测量有绝对意义,与观测者所处的参考系无关,这种绝对时空和绝对质量观念是经典力学的“公理”基础,其集中反映便是伽俐略变换.但从19世纪后期起,一些物理学家逐渐发现这种观念与电磁现象和高速运动的实验事实不符.迈克尔孙等人的光速测量实验,否定了电磁波传播问题上的“以太”媒质说，从而也就否定了特殊参考系的存在.爱恩因斯坦于1905年创立了狭义相对论.爱因斯坦假设相对性原理——物理定律在所有惯性系都有相同的形式；光速不变原理——真空中的光速在所有惯性系沿任何方向都是常数,与光源的运动 c 无关.间隔不变性 间隔不变性是相对性原理与光速不变原理的数学表述.设惯性系Σ中,任意两事件的时空坐标为和,定义两事件的间隔为),,,(1111t z y x ),,,(2222t z y x 21221221221222)()()()(z z y y x x t t c s −−−−−−−= (6.1)在另一惯性系Σ中,这两事件的时空坐标为′),,,(1111t z y x ′′′′,),,,(2222t z y x ′′′′,间隔为 21221221221222)()()()(z z y y x x t t c s ′−′−′−′−′−′−′−′=′ (6.2)惯性系概念要求时空坐标变换必须是线性变换,即,,而当两个惯性系的相对速度时,这两个惯性系将等同于一个惯性系.因而对任何两个惯性系,应当有22As s =′22s A s ′′=0→v 22s s =′ (6.3)洛伦兹变换 设惯性系Σ以速度沿惯性系Σ的′v x 轴正向运动,两参考系相应坐标轴平行,时刻两参考系的原点重合(一个事件),由(6.3)式,可导出任一事件的时空坐标从0=′=t tΣ系到Σ系的变换——洛伦兹变换′)(vt x x −=′γ, y y =′, z z =′, )(2x cv t t −=′γ (6.4) 其中 211/βγ−=, c v /=β (6.5)将(6.4)式中的v 换为v −,可得逆变换.当c v <<, (6.4)过渡到伽俐略变换.因果律与相互作用的最大传播速度 洛伦兹变换表明,时空的测量有相对意义,即测量结果与观测者所处的参考系有关,这是相对论时空观的一个方面.另一方面,是认为事物发展变化的因果关系有绝对意义,即因果关系不因参考系的变换而改变,从时间次序来说,就是在一个惯性系中,作为结果的事件必定发生在作为原因的事件之后,变换到任何其它惯性系,都必须保持这一时间次序.从这一要求出发,由间隔不变性或洛伦兹变换,可得出推论——真空中的光速c 是自然界一切相互作用传播速度的极限.间隔分类 在任何一个惯性系中,任何两事件的间隔只能属于如下三种分类之一： 类时间隔 ；类光间隔 ；类空间隔 .02>s 02=s 02<s 在一个惯性系中有因果关系的两事件,两者之间必定存在某种相互作用,其传播速度只能小于c 或等于,因而有因果关系的两事件之间隔必定类时或类光,变换到任何其它惯性系,绝对保持因果关系,相互作用的传播速度仍然小于或等于c ,即间隔仍然类时或类光.在一个惯性系中无因果关系的两事件（间隔可以是类空、类时，类光），变换到任何其它惯性系,绝对保持非因果关系.c c 同时相对性 在某个惯性系中,如果两事件于不同地点同时发生,即这两事件无因果关系,由洛伦兹变换可推知,在其它惯性系看来,这两事件的发生不同时.这意味着,在某个惯性系不同地点对准的时钟,在其它惯性系看来没有对准.运动时钟延缓效应（时间膨胀） 在物体静止的参考系Σ′中,测得任一过程进行的时间τΔ,称为这过程的“固有时”.由洛伦兹变换,在其它惯性系Σ中,测得这过程进行的时间变慢了：τΔγβτΔΔ=−=21t (6.6)这效应对于两个惯性系来说是相对的,即在Σ系上看Σ′系的时钟变慢,在Σ系上看Σ系的时钟也变慢.但是在有加速运动的情形,时间延缓效应是绝对效应.′运动尺度缩短效应（洛伦兹收缩） 当物体以速度v 相对于惯性系Σ运动,若在平行于运动方向上这物体的静止长度为,由洛伦兹变换,在Σ系中测得这长度缩短为0l γβ/0201l l −=l = (6.7)这效应对于两个惯性系来说,也是相对的.但在垂直于运动的方向上,这一效应不会发生.时钟延缓与尺度缩短效应,是在不同参考系中观察物质运动在时空关系上的客观反映,是统一时空的两个基本属性,而且两者是相关的,与运动的具体过程和物质的具体结构无关.速度变换 由洛伦兹变换(6.4),可导出物体速度从惯性系Σ到Σ′之间的变换21/c vu v u u x x x -−=′, )(12/c vu u u x y y -γ=′, )(12/c vu u u x z z -γ=′ (6.8) 将换为,可得逆变换.可以证明,若在一个参考系中物体的速度v v −c u <,变换到任何其它参考系仍有.仅当,(6.8)式才过渡到经典速度变换.c u <′c v <<6.2 洛伦兹变换的四维形式 四维协变量相对论认为时空是统一的.为此将三维空间与第四维虚数坐标ict x =4统一为四维复空间)()(4321x x x x ict x ,,,,==x μ (6.9)于是当Σ系以速度v 沿Σ系的轴正向运动时,洛伦兹变换(6.4)可表为′1x νμνμx a x =′ (1,2,3,4,=νμ) (6.10)重复指标(上式中右方的ν)意味着要对它从1至4求和.变换系数构成的矩阵为μνa ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=γβγβγγ000100001000i i a (6.11) 由于洛伦兹变换(6.10)满足间隔不变性(6.3),亦即==′′μμμμx x x x 不变量 (6.12)因此,洛伦兹变换是四维时空中的正交变换,即变换矩阵满足ντμτμνδ=a a (6.13)(6.10)的逆变换为ττμμx a x ′= (6.14)在洛伦兹变换下,按物理量的变换性质分类为：标量(零阶张量,不变量) s s =′ (6.15)四维矢量(一阶张量) νμνμV a V =′ (6.16) 四维二阶张量 λττνλμνμT a a T =′ (6.17) 例如,间隔和固有时就是洛伦兹不变量.可以证明,每一类四维协变量的平方都是洛伦兹变换下的不变量.利用这一普遍规律,可将物体的速度和光速,能量和动量,电荷密度和电流密度,标势和矢势,电场和磁场等物理量统一为四维协变量,由此可以清楚地显示出被统一起来的物理量之间的内在联系,并将描写物理定律的方程式表示成相对性原理所要求的协变形式.6.3 相对论力学相对论力学方程 在低速运动情形下,经典力学方程dt d /p F =在伽利略变换下满足协变性.为使高速运动情况下力学方程也满足协变性,构造 四维速度 )(1,)(1(22u/c ic u/c d dx U −−==uτμμ (6.18) 四维动量 )(1,)(1(220200u/c c m c i u/c m U m P −−==u μμ (6.19) 四维力 ),())(1,)(1(22u K K u F F⋅=−⋅−=ci u/c c i u/c K μ (6.20) (四维加速度τμμd dU a /=),其中u 是三维速度,F 是三维力,u F ⋅是力的功率,K 是四维力的空间分量.由于固有时τd 和静止质量是洛伦兹不变量,因此、和都是按(6.16)方式变换的四维协变矢量,于是相对论力学方程0m μU μP μK τμμd dP K = (6.21) 在洛伦兹变换下满足协变性.由2)(1u/c dt d -=τ,这方程包含的两个方程为dtd u/c m dt d p u F =−=))(1(20 (6.22) dtdW u/c c m dt d =−=⋅))(1(220u F (6.23) 相对论质量、动量和能量 由方程(6.22)和(6.23)可知,高速运动情形下物体的质量、m动量p 和能量W 分别为020)(1m u/c m m γ=−= (6.24) u u u p 020)(1m m u/c m γ==−= (6.25)20220220)(1c m T mc c m u/c c m W +===−=γ (6.26)质速关系(6.24)表明,物体的质量m 随其运动速度的增大而增加,即质量测量与时空测量一样,存在相对论效应.仅当u u c <<,才有0m m ≅,此时相对论动量(6.25)过渡到经典动量.质能关系(6.26)中,是运动物体或粒子的总能量,是其静止能量, 是其相对论动能.仅当物体或粒子的速度u p 0m =2mc 20c m 20)(c m m T -=c u <<,才有,即非相对论动能.220/v m T ≅质能关系的重要意义在于它表明,一定的质量来源于一定的相互作用能量.由可推知,静止质量20c m 00≠m 的粒子,必定有静止能量,因而应当存在某种深层次的内部结构,物体或粒子的静止质量,来源于其内部存在的相互作用能量.由多粒子组成的复合物之所以出现质量亏损,便是这复合物内部的粒子存在一定相互作用能(结合能)的反映.(6.19)式表示的四维动量,是将相对论动量p 和能量W 统一起来的协变矢量：)(c iW P /p ,=μ (6.27)在物体或粒子静止的参考系Σ中,其动量′0=′p ,能量,在任一惯性系Σ中,设其动量为,能量为W ,由的平方是洛伦兹变换下的不变量,可得物体或粒子在任何惯性系中能量、动量和质量的普遍关系式20c m W =′p μP 42022c m c p W += (6.28)由(6.26)和(6.28),可得粒子静止质量的一种表达式TcT c p m 22220−= (6.29) 即通过测量粒子的动量p 和动能T ,可计算其静止质量.0m光子的能量和动量 由质能关系(6.26)可推知,以速度c u =运动的粒子,例如光子,其静止质量应当为零,即这类粒子应当没有内部结构.由波粒二象性,光子能量为0m ωh =W ,其中ω为角频率,π2/h =h ,为普朗克常数.因光子h 00=m ,由(6.28)式,其动量为k k /p h h ==0)(c ω,0)(k /k c ω=为波矢量,表示光子运动方向的单位矢量.0k 6.4 电动力学的相对论协变性相对论电动力学方程 定义四维算符μμ∂=∂∂∇=∂∂1,(tic x (6.30) μμμμ∂∂=∂∂∇=∂∂∂∂22221tc x x - (6.31) μ∂是协变矢量算符,是标量算符.μμ∂∂电流是电荷的运动效应,而电荷电流是电磁势和电磁场的激发源.因此,有理由将电荷密度ρ与电流密度u J ρ=,标势ϕ与矢势A ,电场E 与磁场,统一为四维协变量.B 四维电流密度 ),(0ρρμμic U J J == (6.32)四维势 ),(c i A /A ϕμ= (6.33)其中,带电体静止时的电荷密度0ρ是洛伦兹标量,和均按(6.16)变换.由μJ μA A B ×∇=,t ∂∂−−∇=A/E ϕ构造电磁场张量μννμμνA A F ∂−∂= (6.34)它按(6.17)变换.这是一个反对称张量,其矩阵形式为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=0000321312213123/c iE /c E i /c iE /c iE B B /c iE B B /c iE B B F ---μν (6.35) 构造四维洛伦兹力密度),(0c i J F U F f J/E f ⋅===νμννμνμρ (6.36)它按(6.16)变换,其中是三维洛伦兹力密度,f J E ⋅是电场对电荷作的功率密度.于是,电动力学的基本方程电荷守恒定律 0=∂μμJ (6.37)洛伦兹规范 0=∂μμA (6.38)达朗贝尔方程 μμννμJ A 0−=∂∂ (6.39)麦克斯韦方程 μμννμJ F 0=∂0=∂+∂+∂λμννλμμνλF F F (6.40)能量动量守恒定律 μλλμT f ∂= (6.41)都满足相对论协变性.(6.41)式是将第一章的能量守恒方程(1.19)和动量守恒方程(1.20)统一起来的四维形式，其中是将电磁场的能量密度、能流密度μλT w S 、动量密度g 和动量流密度→→T 统一起来的协变张量——电磁场的能量动量张量：)41(10ντντμλνλμνμλδμF F F F T += (6.42) 其矩阵形式为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−−−−−−−=w /c iS /c iS /c iS icg T T T icg T T T icg T T T T 321333323122322211131211μλ(6.43) 它是一个无迹对称张量，即，λμμλT T =0=μμT .势和场的相对论变换 在参考系变换下,电荷与电流存在相对性,电磁势和电磁场必然也存在相对性.当惯性系Σ以速度沿Σ系轴的正向运动时,电磁势按变换,即′v 1x νμνμA a A =′)(211ϕγcv A A −=′, 22A A =′, 33A A =′, )(1vA −=′ϕγϕ (6.44) 电磁场按变换,即 λττνλμνμF a a F =′////E E =′，////B B =′ ⊥⊥×+=′)(B v E E γ, ⊥⊥×−=′)(2E v B B c γ (6.45)其中下标∥表示与运动方向平行的分量,⊥表示垂直分量.将(6.44)式和(6.45)式中的改为,即得逆变换.v v -相位是反映电磁波客观状态的物理量.在参考系变换下,电磁波的相位t ωφ−⋅=x k 是不变量.构造四维波矢量),(c i k /k ωμ= (6.46)它与四维时空的乘积,应当反映出参考系变换下相位的不变性.因此,四维波矢量必定按变换.当光源沿Σ系轴的正向以速度运动时,便有 ),(ict x x =μνμνμk a k =′1x v )(211ωγcv k k −=′, 22k k =′, 33k k =′, )(1vk −=′ωγω (6.47) 由此可得相对论多普勒效应与光行差的表达式)cos (10θβγωω−=, )(cos sin tan βθγθθ+′′= (6.48) 其中,ωω′=0为光源静止参考系Σ′系中的辐射频率,θ′是波矢k ′即辐射方向与轴正向的夹角；1x ω是在Σ系中观测到的频率,θ是这参考系中辐射方向与光源运动方向的夹角.6.5电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量静止质量为,电荷为的带电粒子在电磁场中以速度0m e v 相对于Σ系运动时,粒子的相对论运动方程为)(B v E p ×+=e dtd (6.49) v v p 0m m γ==为粒子的动量.由A B ×∇=,t ∂∂−−∇=A/E ϕ,可导出粒子的拉氏量)(20A v /⋅−−−=ϕγe c m L (6.50)而L γ和作用量都是洛伦兹变换下的不变量:S μμγU eA c m L +−=20 (6.51)∫∫==τγLd Ldt S (6.52)由广义动量的定义,可得粒子的正则动量和哈密顿量i i qL P &∂∂=/P H ： A p A v P e e m +=+=0γ (6.53)ϕe c m c e L H ++−=⋅=42022)(A P v P - (6.54)于是拉格朗日方程0)(=∂∂∂∂i i q L qL dt d -& (6.55) 和正则运动方程i i P H q ∂∂=&, ii q H P ∂∂−=& (6.56) 均与方程(6.49)等价.哈密顿量(6.54)第一项是粒子的相对论能量,故可构造四维正则动量),(c iH eA p P /P =+=μμμ (6.57)由此可得相对论正则运动方程μμP H q∂∂=&, μμq H P ∂∂−=& (6.58)。