傅里叶级数与傅里叶变换的区别
2_傅里叶级数与傅里叶变换
• 傅里叶的主要贡献
– 任何周期信号可以用成谐波关系的正弦函数级数表 示。
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大连理工大学
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• 傅里叶理论的发展历程
• 傅里叶之前周期性现象的研究
– 古代巴比伦（Babylonians）时代，利用这一理论来 研究天体运动。 – —1748年，欧拉（Euler）用于研究弦的振动，其 结论为： – 如果某一时刻，振动弦的形状是这些标准振荡模式 的线性组合，则其后任何时刻，振动的弦的形状也 都是这些振荡模式的线性组合。
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• 傅里叶理论的意义
– 在数学、科学、工程上产生巨大影响，是电子信息 与通信技术的基石之一。 • 有了傅里叶理论，才有： – 信号的频域分析处理； – 通信的频率划分与复用； – 其他科学与工程问题的分析与解决。 – 近年来，傅里叶理论有新发展： • 本部分介绍4种：FS，DFS，FT，DTFT • 近年来：STFT与WT （第V部分介绍），FRFT
大连理工大学硕士研究生校管课程 信号分析与数据处理
第2章
傅里叶级数与傅里叶变换
电子信息与电气工程学部 邱天爽 2012年9月
2012/10/21 大连理工大学 1
内容概要
• §2.1 • §2.2 • §2.3 • §2.4 • §2.5 概述 周期性连续时间信号的傅里叶级数 周期性离散时间信号的傅里叶级数 连续时间信号的傅里叶变换 离散时间信号的傅里叶变换
a0 1/ 2
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周期性连续时间信号的频谱
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• 3.狄利赫莱条件（收敛问题）
傅里叶变换理论及其在通信系统中的应用
傅里叶变换理论及其在通信系统中的应用概述傅里叶变换是数学中一种重要的分析工具，被广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它将一个函数表示为一系列复指数函数的叠加，从而能够将信号从时域转换到频域，有助于分析信号的频谱特性。
本文将介绍傅里叶变换的基本理论，并探讨它在通信系统中的应用。
傅里叶变换的基本概念傅里叶变换是将一个周期函数表示为一系列基频的正弦和余弦函数之和。
傅里叶变换可以分为傅里叶级数和傅里叶变换两种形式。
傅里叶级数适用于周期函数的分析，而傅里叶变换适用于非周期函数的分析。
傅里叶级数将一个周期为T的函数f(t)表示为如下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)) (1)其中，a0为直流分量，an和bn为函数f(t)的傅里叶系数，n为整数，ω为角频率。
傅里叶级数的关键思想是任何周期函数都可以作为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶变换则是对非周期函数进行频谱分析。
傅里叶变换的基本定义如下：F(ω) = ∫f(t) * e^(-jωt)dt(2)其中，F(ω)为信号f(t)的傅里叶变换，e^(-jωt)为复指数函数，ω为频率。
傅里叶变换的特点傅里叶变换具有多种重要特性，其中包括线性性、时移性、频率移性、尺度变换性、卷积定理等。
线性性质是傅里叶变换的基本性质之一，它使得我们能够对信号进行加减运算，并且可以分别对信号的各个部分进行处理，而无需同时处理整个信号。
时移性质表示信号在时域中的平移对应于频域中的相位因子，即在时域中将信号向左或向右平移，相应的频域幅度谱不变，仅仅相位谱发生变化。
频率移性质说明信号在时域中的缩放对应于频域中的幅度谱缩放，并且相位谱不变。
也就是说，如果信号在时域中变慢了，那么频域中的幅度谱要变宽一些；如果信号在时域中变快了，那么频域中的幅度谱要变窄一些。
尺度变换性质可将时域信号的分布范围调整到频域进行观察，从而更好地理解信号的频谱特性。
傅里叶分析通俗讲解
作者：韩昊知乎：Heinrich微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
（编者注：文章来源知乎，网站 https:///p/19763358?refer=wille）——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
信号与系统三角函数的傅里叶变换
信号与系统三角函数的傅里叶变换傅里叶变换是信号与系统领域中的重要概念，它可以将一个时域信号转换为频域信号，通过分解信号的频谱特性来研究信号的性质和行为。
在傅里叶变换的过程中，三角函数扮演着重要的角色。
本文将以中括号为主题，详细介绍信号与系统中的三角函数及与傅里叶变换的关系。
一、中括号的基本概念中括号是数学符号中的一种，一般用于表示区间、集合、矩阵等概念。
在信号与系统的描述中，中括号常常用来表示时域信号或频域信号的时间或频率范围。
比如，我们可以将一个周期为T的周期性信号表示为[f(t)]，其中t表示信号的时间，方括号表示时间的范围。
二、三角函数的基本特性三角函数是研究周期性现象的重要数学工具，它们具有周期性、正交性、相位差的特性。
在信号与系统中，三角函数常用来表示周期信号或者通过信号的频谱分析。
1. 正弦函数正弦函数是最简单的三角函数，表示为f(t) = A*sin(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为相位差。
正弦函数的频谱是由单一频率的正弦波组成的，它的傅里叶变换是一个包含单一频率的冲激函数。
2. 余弦函数余弦函数也是常见的三角函数之一，表示为f(t) = A*cos(ωt+φ)。
余弦函数的频谱也是由单一频率的余弦波组成的，它的傅里叶变换也是一个包含单一频率的冲激函数。
正弦函数和余弦函数的频谱是相同的，只是相位不同。
3. 周期信号的表示对于周期信号而言，常常可以使用正弦函数的线性组合来表示。
这是因为正弦函数具有正交性的特性，即不同频率的正弦函数之间相互正交。
通过这种特性，我们可以将一个周期信号表示为多个正弦函数的叠加。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的数学工具。
在傅里叶变换的推导中，通过将周期信号表示为正弦函数的线性组合，然后进行积分操作，将信号从时域转换为频域。
1. 傅里叶级数傅里叶级数是将周期信号表示为正弦函数的线性组合。
对于一个周期为T的周期性信号f(t)，可以表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0是恒定分量，an和bn是对应于不同频率的正弦函数的系数。
傅立叶变换和傅里叶级数之间的联系
傅立叶变换和傅里叶级数之间的联系
傅里叶级数和傅立叶变换都是处理信号和波形的数学工具，它们之间有着密切的联系。
下面我们来具体探讨一下这两者之间的联系。
首先，我们先来简单介绍一下傅里叶级数和傅立叶变换的定义。
傅里叶级数是指一种将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的线性组合的方法。
而傅立叶变换则是将一个连续时间域的信号在频域上表示出来的方法。
傅里叶级数和傅立叶变换之间的联系，正是因为它们都是在处理信号的频谱。
傅里叶级数是将一个周期函数在时域上进行频谱分析，将其分解成一系列正弦波和余弦波的和。
而傅立叶变换则是将一个非周期的函数在频域上进行分析，将其变换成一组连续的频率分量的和。
因此，这两者之间的联系就在于它们都是对信号进行了频域分析。
其次，傅里叶级数和傅立叶变换之间的联系还在于，它们都要通过对信号进行分解，来得到信号的频谱信息。
对于傅里叶级数来说，它将周期函数分解成了一系列简单的正弦波和余弦波的叠加，从而得到了频谱信息。
而对于傅立叶变换来说，则是通过将信号在时间域上进行积分，将其变换成了在频域上的表示形式。
这些表示形式中包含了信号在不同频率上的分量，从而得到了信号的频谱信息。
最后，傅里叶级数和傅立叶变换之间的联系还在于，它们都可以用于信号处理的不同领域。
例如，傅里叶级数可以用于音频
和图像的处理，而傅立叶变换则可以用于研究电路、光学、信号处理等领域。
总的来说，在信号处理中，傅里叶级数和傅立叶变换都是非常重要的数学工具。
它们之间有着密切的联系，都可以用于信号的频域分析。
因此，对这两种工具的熟悉程度和应用技能将直接影响到信号处理的效果和精度。
应用高等数学-6.1 傅里叶变换
例8
试证单位阶跃函数
F () F[(t)] (t)e jt d t e jt 1
t0
显然， (t)与常数1构成了一傅氏变换对，按
逆变换公式有
(t)
F
1[F ()]
1 2π
e
jt
d
由上式可得 e jt d 2π (t)
（6-9）
这是一个关于δ函数的重要公式．
例5 证明：1和 2π ()构成傅氏变换对．
f
(t)
1, 1,
π t 0 0 t π
如何将函数展开为傅里叶级数的三角形式．
解： 由定理6.1可得 0 1，a0 0，an 0 (n 1, 2,L )
bn
1
π
f (t)sin ntdt
π
π2
π
sin ntdt
0
nπ 2 (cos
nt
π
) 0
nπ 2 (1 cos nπ)
nπ 2 [1 (1)n ]
2π ( 0 )
例7 求正弦函数 f (t) sin 0t 的傅氏变换．
解：
F() F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
1 (e j0t e j0t )e jt d t
2 j
1 (e j(0 )t e j(0 )t ) d t
2 j
jπ[ ( 0 ) ( 0 )]
式中当t=0可得重要积分公式
sin
x
d
x
π
0x
2
例4
求单边指数衰减函数
f
(t)
0, et ,
t0 t0
( 0)
的频谱函数、振幅谱、相位谱．
傅里叶正变换
傅里叶正变换傅里叶正变换是一种重要的数学工具，它可以将一个时域信号转换为频域信号。
在信号处理、通信系统、图像处理等领域中，傅里叶正变换都有着广泛的应用。
本文将从以下几个方面介绍傅里叶正变换。
一、傅里叶正变换的定义及公式傅里叶正变换是指将一个实数函数f(x)在某个区间内进行积分，得到一个复数函数F(w)，其中w表示频率。
其定义公式如下：F(w)=∫f(x)e^(-jwx)dx其中e^(-jwx)表示复指数函数，j表示虚数单位。
二、离散傅里叶正变换在数字信号处理中，我们常常需要对离散信号进行频谱分析。
这时候就需要用到离散傅里叶正变换（DFT）。
DFT是对于有限长的离散序列进行频域分析的工具。
DFT的公式如下：X(k)=∑(n=0)^(N-1)x(n)e^(-j2πnk/N)其中x(n)表示输入序列，N表示序列长度，k表示输出序列的下标。
三、傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系在周期函数中，傅里叶级数可以用来表示周期函数的频谱分布。
而傅里叶变换则可以用来表示非周期函数的频谱分布。
它们之间有以下关系：当周期函数的周期趋向于无穷大时，其傅里叶级数就可以转化为傅里叶变换。
四、傅里叶正变换在通信系统中的应用在通信系统中，我们需要对信号进行调制和解调。
而傅里叶正变换则可以帮助我们实现这一过程。
例如，在频率调制中，我们需要将信息信号与载波进行乘积运算，这就需要用到傅里叶正变换。
此外，在数字通信中，我们也需要使用DFT对数字信号进行频域分析和处理。
五、傅里叶正变换在图像处理中的应用在图像处理中，我们需要对图像进行滤波、压缩等操作。
而这些操作都是基于图像的频域特性来实现的。
因此，傅里叶正变换也被广泛应用于图像处理领域。
例如，在图像压缩中，我们可以将图像转化为频域信号后，去除高频部分来实现压缩。
六、总结作为一种重要的数学工具，傅里叶正变换在信号处理、通信系统、图像处理等领域中都有着广泛的应用。
通过对傅里叶正变换的学习，我们可以更好地理解和应用这一工具，从而提高我们的工作效率和精度。
常见的傅里叶变换对
常见的傅里叶变换对傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）是一种重要的数学分析工具，可以将信号从时域转换到频域，分析信号在频域中的特征。
在实际应用中，我们经常会遇到一些常见的傅里叶变换对，下面就逐一介绍一下这些变换对。
一、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶级数（FS）离散傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种变换方式，它与傅里叶级数有着密切的联系。
傅里叶级数是将周期信号在周期内按照一定的权重展开成一组无穷级数，可以得到信号在频域中的谱线。
当周期趋于无穷大时，傅里叶级数可以转换为傅里叶变换，展示信号在连续的频率域中的谱线。
因此，离散傅里叶变换与傅里叶级数是同一种变换的不同表现形式。
二、快速傅里叶变换（FFT）与离散傅里叶变换（DFT）快速傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种高效的计算方法。
它利用了离散傅里叶变换的对称性和周期性，将计算时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。
快速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系是，DFT是计算离散信号的频谱的一种方法，而FFT是DFT的一种高效算法。
三、短时傅里叶变换（STFT）与连续傅里叶变换（CFT）短时傅里叶变换是一种将非周期信号的时域信号转换为频域信号的方法。
与传统的傅里叶变换只能计算周期信号不同，短时傅里叶变换可以对非周期信号进行变换。
CFT是一种计算连续信号的傅里叶变换的方法，是对傅里叶变换的推广和扩展。
这两种变换方法都是将信号从时域转换为频域，但CFT适用于连续信号的处理，STFT适用于非周期信号的处理。
四、小波变换（WT）与傅里叶变换（FT）小波变换是一种分析信号在时间域上局部性质的变换方法。
与傅里叶变换只能分析信号在频域上的特征不同，小波变换可以分析信号在时间域上不同尺度的局部信息。
小波变换是一种时频分析方法，可以提供采样与频率同时抽取的加窄带效果，又较傅里叶分析提供更高分辨率。
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傅里叶级数与傅里叶变换的区别
傅里叶级数和傅里叶变换是信号处理中常用的数学工具，用于分析和合成周期性信号以及非周期性信号。
虽然它们都是基于傅里叶分析的原理，但在具体的应用和数学推导过程中存在一些区别。
1. 定义与适用范围：
傅里叶级数适用于周期性信号的分析和合成。
它将一个周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，利用正交性质将信号分解为不同频率的谐波成分。
而傅里叶变换则适用于非周期性信号的分析，它可以将一个时域信号转换为频域表示，得到信号的频谱信息。
2. 变换对象：
傅里叶级数的变换对象是周期性函数，它要求信号在一个周期内是连续的。
而傅里叶变换则适用于任意时域函数，可以对非周期性信号进行分析。
3. 表示形式：
傅里叶级数将周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，也可以使用指数形式的复数表示。
傅里叶变换则将时域函数表示为复数的频域函数，包含了信号的振幅和相位信息。
4. 连续与离散：
傅里叶级数适用于连续时间的周期信号，它的频谱是连续的。
而傅
里叶变换可以适用于连续时间信号和离散时间信号，分别得到连续频谱和离散频谱。
5. 时间和频率关系：
傅里叶级数中的频率是离散的，由基波频率及其谐波频率组成。
而傅里叶变换中的频率是连续的，可以表示任意频率的分量。
6. 傅里叶逆变换：
傅里叶级数的逆变换就是原信号本身，通过将各个频率分量加权合成即可。
而傅里叶变换的逆变换则将频域信号转换回时域信号，得到原始的时域函数。
7. 应用领域：
傅里叶级数主要应用于周期性信号的分析，如电力系统中的电压和电流信号、音频信号等。
傅里叶变换则广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域，可以分析非周期性信号的频谱特性。
傅里叶级数和傅里叶变换在定义、适用范围、变换对象、表示形式、连续与离散、时间和频率关系、傅里叶逆变换以及应用领域等方面存在一些区别。
这两种数学工具在信号处理中发挥着重要作用，通过对信号的频域分析，可以帮助我们理解信号的特性，从而实现各种应用需求。