基于Hermitian 矩阵的特征分解算法
加速度计椭球拟合 矩阵特征分解
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协方差矩阵特征值分解
协方差矩阵特征值分解
协方差矩阵特征值分解是指将协方差矩阵分解成特征值和特征向量的乘积的过程。
假设一个n维随机向量X=[X1,X2,...,Xn]，它的协方差矩阵为Σ。
协方差矩阵是一个对称正定矩阵，也就是说它的特征值都是实数且大于0。
协方差矩阵特征值分解的过程如下：
1. 求解协方差矩阵Σ的特征值λ1,λ2,...,λn和对应的特征向量v1,v2,...,vn。
特征值和特征向量的关系为：Σvi = λi · vi。
2. 将特征值按照从大到小的顺序排序，特征向量也按照相同的顺序排列形成一个特征矩阵V = [v1,v2,...,vn]，特征值构成对角矩阵Λ = diag(λ1,λ2,...,λn)。
3. 将特征矩阵V和对角矩阵Λ相乘，得到协方差矩阵的特征值分解：Σ = VΛV^-1，其中V^-1是特征矩阵V的逆矩阵。
4. 特征向量v1,v2,...,vn对应的特征值λ1,λ2,...,λn就是协方差矩阵的特征值分解。
协方差矩阵的特征值分解可以帮助我们理解数据的主成分结构和模式，并且可以用于降维、特征选择和数据去相关等应用。
Hermite矩阵
Hermite矩阵第5章Hermite矩阵与正定矩阵5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型5.4Hermite矩阵的特征值5.3矩阵不等式5.2Hermite正定（⾮负定）矩阵Hermite矩阵的性质：(1)如果A是Hermite矩阵，则对正整数k，Ak也是Hermite矩阵；(2)如果A是可逆Hermite矩阵，则A-1也是Hermite矩阵；(3)如果A,B是Hermite矩阵，则对任意实数k,l,kA+lB也是Hermite矩阵；5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型(4)若A,B是Hermite矩阵，则AB也是Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA；(5)A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意⽅阵S，SHAS是Hermite矩阵。
定理5.1.2设A为n阶Hermite矩阵，则定理5.1.1设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意，是实数。
AxxCA×∈nCx∈(1)A的所有特征值全是实数；(2)A的属于不同特征值的特征向量互相正交。
定理5.1.3设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在⾣矩阵U使得nnCA×∈),,,(21nHdiagAUUλλλL=Λ=均为实数。
其中nλλλ,,,21L定理5.1.4设，则A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得nnRA×∈),,,(diagAQQλλλL=Λ=均为实数。
其中nλλλ,,,21L定理5.1.5设A是n阶Hermite矩阵，则A与矩阵???????????=??rnsrsOIID0000相合，其中r=rank(A)，s是A的正特征值的个数。
设A是n阶Hermite矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P,使得则称D为A的相合标准形；s称为A的正惯性指数；r-s称为A的负惯性指数。
000000DOIIAPPrnsrsH=?????????定理5.1.6Hermite矩阵的相合标准形是唯⼀的。
矩阵特征值和特征向量存在性的新证明
矩阵特征值和特征向量存在性的新证明杨燕妮【摘要】受Argand证明代数基本定理的启发,给出了矩阵特征值和特征向量存在性的一个新证明.该方法仅使用了Weierstrass定理、线性算子逆的定义和代数恒等式.%Inspired by proofing of Argand for algebraic basic theorem,a new proof of the existence of matrix eigenvalues and eigenvectors is given.The method only relies on Weierstrass's theorem,the definition of the inverse of a linear operator and algebraic identities.【期刊名称】《沈阳大学学报》【年(卷),期】2018(030)001【总页数】3页(P84-86)【关键词】谱定理;特征值;特征向量;Weierstrass定理;线性算子【作者】杨燕妮【作者单位】喀什大学数学与统计学院,新疆喀什 844006【正文语种】中文【中图分类】O151.21众所周知,对复数域C上的有限维向量空间,矩阵或算子谱理论研究的一个基本问题是讨论其特征值和特征向量的存在性.它也是进一步讨论线性算子的谱分解和不变子空间的基础.关于矩阵的特征值和特征向量方面有着广泛的研究,如文献[1-2].定理1 设V是C上的有限维向量空间,若T:V→V是线性算子且V≠{0},则∃和使得其中,是属于特征值的特征向量.定理1的传统证明大多借助行列式理论.首先,证明λ∈C是特征值⟺特征多项式det(T-λI)=0;其次,由代数基本定理证明∃λ∈C使得det(T-λI)=0[3].特别地,对实数域R上的有限维向量空间,为证明矩阵(算子)特征值的存在性,可借助中值定理先证明“每个奇次实系数多项式均有一个实根”这一结论[4].或者利用“奇数维实向量空间上的线性算子至少有一个实特征值”的结果,通过代数方法推出任何复向量空间上的线性算子存在特征值[5].设v∈V\{0}且dimV=r.关于线性算子特征值和特征向量存在性的非行列式证明的基本思路是:首先,证明向量组v,T(v),T2(v),…,Tn(v)线性无关,即由(anTn+…+a0I)(v)=0推出a0=…=an=0.其中,a0,…,an∈C;其次,由代数基本定理, 对r∈{1,…,n}和λ1,λ2,…,λr∈C,将特征多项式改写为(T-λ1I)∘(T-λ2I)∘…∘(T-λrI)(v)=0;最后,证明对j∈{1,…,r},(T-λjI)不可逆[6-7].值得注意的是:上面指出的证明方法都依赖于多项式根的存在性.然而,在特征值和特征向量的定义中并未涉及多项式,并且在大多数情况下,它们的数值计算也无需求多项式的根.这就表明特征值和特征向量的存在性证明可不必依赖多项式.无独有偶,在赋范代数的谱理论中已有类似证明,其基本思路是:假设函数λ∈C(T-λI)-1有定义. 然后, 通过Liouville定理、最大模原理、Weierstrass定理等导出矛盾,从而证明算子的特征值和特征向量存在[8-9].本文给出定理1不依赖多项式和算子代数的一个非常初等的证明.之所以称其初等是因为它只用到多变量连续函数、线性映射逆的定义和几何级数的求和公式.对给定的多项式P,Argand在证明代数基本定理[10]时,首先定义了函数z∈C|P(z)|,然后再证明该函数的最小值为0.受此启发,可对替代函数(v,λ)∈(V\{0})×C→‖T(v)-λv‖/‖v‖作最小估计.因此,算子特征值和特征向量的存在性问题就转化为证明替代函数的最小值为0.下面,从推导替代函数存在最小序对入手进行证明.为便于推导,不妨赋予V任意范数.命题1 设V是C上的有限维赋范向量空间.若T:V→V是线性算子且V≠{0},则∃和使得对∀v∈V\{0}和∀λ∈C,都有因替代函数的值域不是紧集,故需借助有限维赋范向量空间上线性算子的有界性.为此,先给出λ的一个合理估计.引理1 设V是C上的有限维赋范向量空间.若T:V→V是线性算子,则∃C∈[0,∞)使得对∀v∈V都有‖T(v)‖≤C‖v‖;进一步,对∀v∈V和λ∈C,都有‖T(v)-λv‖≥(|λ|-C)‖v‖.证明第1个不等式是有限维赋范向量空间上线性算子的经典结论[8].由三角不等式可得第2个结论,即命题1的证明对∀v∈V和∀λ∈C,定义函数选择v0∈V使‖v0‖=1.由引理1,对∀v∈V,‖v‖=1,有f(v,λ)=‖T(v)-λv‖≥|λ|-C.于是,若|λ|>‖T(v0)‖+C且‖v0‖=1,则f(v,λ)>f(v0,0).(1)因f连续且{(v,λ)∈V×C:‖v‖=1,|λ|≤‖T(v0)‖+C}是非空紧集,故由Weierstrass定理可知,∃和使得对满足v∈V,‖v‖=1和|λ|≤‖T(v0)‖+C,λ∈C的每一对(v,λ),都有(2)由不等式(1)可知,对v∈V,‖v‖=1和λ∈C,|λ|>‖T(v0)‖+C不等式(2)也成立.因此,若v∈V\{0}且λ∈C,则有命题2 设V是C上的有限维赋范向量空间,T:V→V是线性算子,若对∀v∈V\{0}和∀λ∈C,都有则命题2表明,若最小序对不是线性算子T对应的特征值及特征向量,则线性算子T的特征值及特征向量将对应另外的最小序对.引理2 设V是C上的有限维赋范向量空间,T:V→V是线性算子,若对∀v∈V\{0}和∀λ∈C,都有则对∀必∃v∈V\{0}使得引理3 设V是C上的有限维赋范向量空间,S:V→V是线性算子,σ,ω∈C,n∈N. 若对∀j∈{1,…,n-1},ωj≠1且ωn=1,满足S可逆且对∀j∈{0,1,…,n-1},S-ωjσI也可逆,则证明首先,注意到I-(σS-1)n=(Sn-σnI)∘S-n.(3)对n用归纳法,可以证明因此,由于故有利用式(3)即可得出结论.引理2的证明假设对∀v∈V\{0}和∀λ∈C,都有(4)令由引理3以及三角不等式, 可得由式(4), 对j∈{1,…,n-1}有另一方面,由式(4)又可得因此,使用前面的不等式,可得用n乘以式(4),可以推出因令n→∞,并取故证毕.命题2的证明假设由引理2可知,对∀λ∈C,若则∃v∈V使得(5)再次利用引理2并由归纳法可以证明,对∀λ∈C和∀n∈N,若则∃v∈V使得式(5)成立.另一方面,由引理1可知,若|λ|>则这与式(5)矛盾.参考文献:【相关文献】[ 1 ] 李艳艳,王东政. 严格对角占优M-矩阵最小特征值的新界[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2015,27(3):255-258.LI Y Y,WANG D Z. The new bound of the minimum eigenvalue for strictly diagonally dominant M-matrices[J]. Journal of Shenyang University (Natural Science), 2015,27(3):255-258.[ 2 ] 曾富红,司伟建,曲志昱. 基于Hermitian矩阵的特征分解算法[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2016,28(6):521-517.ZENG F H,SI W J,QU Z Y. The eigendecomposition algorithm based on Hermitian matrix[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2016,28(6):521-517.[ 3 ] 王萼芳,石生明. 高等代数[M]. 3版. 北京:高等教育出版社, 2003.WANG E F,SHI S M. Advanced algebra[M]. 3rd edition. Beijing: Higher Education Press, 2003.[ 4 ] 谢彦麟.多项式理论研究综述[M]. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2016.XIE Y L. A review of the research ofpolynominal theory[M]. Harbin: The Polytechnic University of Harbin Press, 2016.[ 5 ] 陈辉. 近世代数观点下的高等代数[M]. 杭州:浙江大学出版社, 2009.CHEN H. Advanced algebra under the view of abstract algebra[M]. Hangzhou: Zhejiang University Press, 2009.[ 6 ] 阿克斯勒. 线性代数应该这样学[M]. 3版. 北京:人民邮电出版社, 2016.AXLER S. Linear algebra should be learned this way[M]. 3rd edition. Beijing: Posts and Telecommunications Press, 2016.[ 7 ] SHELDON A. Linear algebra done right[M]. New York: Springer Verlag, 1997.[ 8 ] 李国祯. 实分析与泛函分析引论[M]. 北京:科学出版社, 2004.LI G Z. An introduction to real analysis and functional analysis[M]. Beijing: Science Press, 2004.[ 9 ] SCHAFTINGEN J V. Proving the existence of eigenvalues and eigenvectors by Weierstrass's theorem[J]. American Mathematical Monthly, 2011,120(8):741-746. [10] 陆柱家,李福安. 代数基本定理与线性代数[J]. 数学译林, 2008 (1):91-93.(LU Z J,LI F A. Algebraic fundamental theorem and linear algebra[J]. MathematicsTranslations, 2008(1):91-93.。
python矩阵特征值分解_讲一下numpy的矩阵特征值分解与奇异值分解
python矩阵特征值分解_讲一下numpy的矩阵特征值分解与奇异值分解矩阵特征值分解和奇异值分解是在矩阵分析和线性代数中经常用到的重要技术。
它们在许多数学和工程领域中都有广泛应用，例如数据降维、信号处理、图像压缩等。
在Python中，NumPy库提供了丰富的函数和方法来执行矩阵特征值分解和奇异值分解。
1.矩阵特征值分解：矩阵特征值分解将一个方阵分解为由特征值和特征向量构成的形式。
NumPy中的`numpy.linalg.eig(`函数可用于计算特征值和特征向量。
下面是一个矩阵特征值分解的示例代码：```pythonimport numpy as np#定义一个矩阵A = np.array([[4, 2], [1, 3]])#计算特征值和特征向量eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)#输出特征值和特征向量print("特征值：", eigenvalues)print("特征向量：", eigenvectors)```输出结果为：```特征值：[5.2.]```上述代码中，首先定义了一个矩阵A，然后使用`numpy.linalg.eig(`计算矩阵A的特征值和特征向量。
最后将特征值打印出来，并将特征向量打印出来。
2.奇异值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，分别是左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。
NumPy中的`numpy.linalg.svd(`函数可用于计算奇异值分解。
下面是一个奇异值分解的示例代码：```pythonimport numpy as np#定义一个矩阵A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])U, S, V = np.linalg.svd(A)#输出奇异值分解的结果print("左奇异向量矩阵：", U)print("奇异值矩阵：", S)print("右奇异向量矩阵：", V)```输出结果为：``````上述代码中，首先定义了一个矩阵A，然后使用`numpy.linalg.svd(`计算矩阵A的奇异值分解。
矩阵特征值问题的数值方法
H
x x xCni1且x0
H
由定理9.2.3，xCmnia1且xx0
xH Ax xH x
i
又由定理9.2.2，对任意x≠0，有
1
max
xCni1且x 0
xH Ex xH x
n
从而有 i i 1
另一方面, A=(A+E)-E. 记 1 2 E的特征值，那么， i ni1
为n 矩阵-
重复上面的过程,可得 i i 1
第9章 矩阵特征值问题的数值 方法
9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法
9.1 特征值与特征向量
设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有
数λ存在，满足
， (1)
那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向 量.
f () 0的根. 反之，如果λ是
的根，
f () 0
那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式
成立. 从而，λ是A的一个特征值.
A的特征值也称为A的特征根.
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质：
定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值.
定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值.
从而有 i i n
定理9.2.5通常又称为Hermite矩阵特征值 的扰动定理
பைடு நூலகம்
定理9.2.6 设矩阵A和A′=A+E都是n阶Hermite矩
阵，其特征值分别为 1 2 n 和1 2 ，n 那么 i E 2 2 i E 2
这个定理表明，扰动矩阵E使A的特征值的变化
hermite矩阵和对称矩阵
hermite矩阵和对称矩阵Hermite矩阵和对称矩阵是线性代数中两个重要的概念，它们在矩阵理论和应用中都有着广泛的应用。
本文将分别介绍Hermite矩阵和对称矩阵的定义、性质以及其在数学和实际问题中的应用。
我们来介绍Hermite矩阵。
Hermite矩阵是指一个复数矩阵，它的共轭转置等于其本身的负值。
换句话说，设H是一个m×n的复数矩阵，如果存在一个m×n的复数矩阵H'，使得H'的元素等于H的元素的共轭并取负值，即H'的第i行第j列的元素等于H的第i行第j列的元素的共轭并取负值，那么称矩阵H为Hermite矩阵。
Hermite矩阵具有许多特殊的性质。
首先，Hermite矩阵的主对角线上的元素都是实数。
其次，Hermite矩阵的特征值均为实数。
此外，Hermite矩阵可以通过相似变换化为一个对角矩阵，且对角线上的元素即为它的特征值。
Hermite矩阵在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在数学中，Hermite矩阵常用于矩阵分析、线性代数和数值计算等领域。
例如，在量子力学中，Hermite矩阵可以表示一个量子系统的哈密顿算符，它的特征值对应着系统的能级。
在实际问题中，Hermite矩阵可以用于信号处理、图像处理和通信系统等领域。
例如，在图像处理中，Hermite矩阵可以用于图像的特征提取和图像压缩等方面。
接下来，我们来介绍对称矩阵。
对称矩阵是指一个矩阵的转置等于其本身。
换句话说，设A是一个n×n的矩阵，如果A的转置等于A，即A的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素，那么称矩阵A为对称矩阵。
对称矩阵也具有许多特殊的性质。
首先，对称矩阵的特征值均为实数。
其次，对称矩阵可以通过正交相似变换化为一个对角矩阵，且对角线上的元素即为它的特征值。
此外，对称矩阵的特征向量对应的特征值是两两正交的。
对称矩阵在数学和实际问题中也有着广泛的应用。
在数学中，对称矩阵常用于矩阵分析、线性代数和优化理论等领域。
非方阵求特征值的方法
非方阵求特征值的方法
求特征值和特征向量的问题对于非方阵来说更具挑战性，因为非方阵可能具有奇数行或奇数列，这使得求特征值和特征向量的方法与方阵有所不同。
下面介绍几种求非方阵特征值和特征向量的方法: 1. 特征值分解法
特征值分解法是将非方阵分解成两个矩阵的乘积，从而求出特征值和特征向量的方法。
具体来说，可以将非方阵分解成
A = QDQ^(-1)
其中，Q 是正交矩阵，D 是对角矩阵，对角线上的元素是特征值。
通过这种方法，可以求出非方阵的特征值和特征向量。
2. 矩阵特征值算法 (MLA)
矩阵特征值算法是一种基于数值计算的方法，用于求特征值和特征向量。
该方法的基本思想是，通过对矩阵进行迭代，逐渐逼近特征值和特征向量。
MLA 方法对于大规模非方阵的计算效率较低，但是它可以求解非线性方程组，因此在某些情况下非常有用。
3. 共轭梯度法 (CG)
共轭梯度法是一种常用的线性代数求解方法，可以用于求特征值和特征向量。
该方法的基本思想是，通过求解非线性方程组，得到特征值和特征向量。
CG 方法在求解特征值和特征向量时具有较高的计算效率，尤其是在大规模计算中非常有用。
以上是几种求非方阵特征值和特征向量的方法。
这些方法各有优缺点，具体应用要根据具体情况来选择。
本文介绍了几种求非方阵特征值和特征向量的方法。
这些方法各有优缺点，具体应用要根据具体情况来选择。
此外，由于非方阵的特征值和特征向量具有重要的应用，未来的研究可能会集中在非方阵特征值和特征向量的计算方法上。
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基于Hermitian 矩阵的特征分解算法曾富红;司伟建;曲志昱【摘要】研究了基于多重信号分类(MUSIC)算法的特征分解算法，即关于Hermitian矩阵的特征分解。
该算法的运算过程均是对低阶矩阵进行运算，并且其中将复数运算转化成了实数运算，不仅降低了运算的复杂度，而且所得到的特征值精度较高。
该算法的此特性使得其易于在数字信号处理器(DSP)中实现，应用于实际工程中具有较高的实时性。
通过计算机仿真实验以及DSP实现验证了本算法的有效性以及实时性。
%The eigendecomposition algorithm is studied,which is about the eigendecomposition of the Hermitian matrix and based on MUSIC algorithm.Most of the operations about this algorithm are low order matrix operations and some plural operations are transformed to real operations.It can reduce the complexity of computation and the eigenvalues have high precision.The feature of the proposed algorithm makes it easier to conduct DSP implement and when it is applied to practical engineering;it has the high real-time performance. At last, through the computer simulation experiment and the DSP implementation,the effectiveness and real-time performance of the algorithm are verified.【期刊名称】《沈阳大学学报》【年(卷),期】2016(028)006【总页数】6页(P511-516)【关键词】特征分解方法;Hermitian矩阵;精度;实时性【作者】曾富红;司伟建;曲志昱【作者单位】哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】TN911.7空间谱估计技术是阵列信号处理中的一个重要分支,其估计精度较高,可接近克拉美-罗界(Cramer-Rao Bound, CRB)[1].以多重信号分类(multiple signal classification, MUSIC)算法[2-5]和旋转不变子空间(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法[6-8]为代表的子空间分解类算法因其精确的角度估计和超分辨性能而被广泛用于波达方向(direction of arrival, DOA)估计[9].其中,算法中所涉及到的噪声子空间或信号子空间是通过对接收数据协方差矩阵进行特征分解所得到的.在实际工程中应用此算法进行DOA估计时,一方面要考虑估计角度的精度,另一方面需要考虑算法程序的运行时间.若在算法程序中的各个模块都能保证运算的精度以及实时性,那么将很容易达到这两点.特征分解作为此类算法中至关重要的部分,对其进行研究得到精度高并且实时性好的特征分解方法将能提高算法的测向效率.“householder变换+一般QR”特征分解方法为在文献[10]中记录的方法的基础上将其从实数域拓展到了复数域内,为先将Hermitian矩阵通过householder变换成对称三对角矩阵,然后再对其使用QR方法进行特征分解[11];“householder变换+单步QR”特征分解方法也是如此,不同之处在于使用了位移的QR算法,能够加快收敛速度;雅克比方法为参考文献[12]将Hermitian矩阵转化为实对称矩阵,然后应用jacobi方法进行特征分解.本文所介绍的特征分解方法----二阶主子阵实数化法与jacobi方法[13]相结合的特征分解方法不仅精度高而且实时性好.本算法的主要思想是在每个迭代中,将矩阵的一个二阶主子阵用酉对角阵相似变换成二阶的实对称矩阵,然后再利用jacobi方法将此二阶实对称矩阵对角化.通过不断循环,不断选取不同的二阶主子阵,应用jacobi方法进行对角化,直到整个矩阵最终近似为对角阵[14-15].此种特征值分解方法与首先利用复Hermitian矩阵的实数部分与虚数部分构成实对称矩阵,然后应用jacobi方法对此实对称矩阵进行特征分解求取特征值与特征向量的方法不同.本特征分解算法直接对复Hermitian矩阵进行特征分解,不需要将n阶复Hermitian矩阵先转换成2n阶实对称矩阵,如此便避免了在更高阶矩阵上进行特征分解,减少了计算量,从而可以提高实时性.1.1 核心思想设待特征分解的复Hermitian矩阵为A.此特征值分解方法的核心思想是得到合适的酉矩阵U使得UHAU=Λ=diag(λ1,λ2,…,λn).令A1=A,依次构造正交相似矩阵序列其中,U(pk,qk)是平面(pk,qk)上的一个旋转矩阵.得出酉矩阵U(pk,qk)的具体推导过程如下所示.设在Hermitian矩阵A=B+i C中,ap q=bp q+icp q≠0,(p<q),则接下来讨论二阶主子阵的酉对角化过程,根据反对角线上的元素作酉对角阵,有在式(3)中,φ=angle(ap q),其中e-jφ=cosφ-jsinφ,故有因而通过酉对角化,有.通过式(5)所得到的为二阶实对称矩阵.然后再将其通过jacobi旋转变换之后得到对角阵.在本特征分解算法中,使用的平面旋转矩阵的模型为则有式(7)中,为对角阵.1.2 具体公式推导由上述所构造的酉对角矩阵以及jacobi方法中的平面旋转矩阵模型可令则有则在整个算法的矩阵变换过程中,所用到的旋转矩阵U的表达式如式(10)所示(矩阵U(pk,qk)旁边所标注的p和q表示的是第p行、q行和第p列、q列):由式(1)中Ak与Ak+1的关系,根据文献[16]所介绍的方法推导介绍从Ak到Ak+1的元素计算公式.通过相似变换所得到的矩阵序列的性质都是一样的,因而所得到的矩阵序列A1,A2,…,Ak,Ak+1均为Hermitian矩阵.令],根据共轭对称的性质,则有*.下面记U(pk,qk)为U(p,q)=U,则根据式(10)可以将U的第m列列向量表示为如下形式则可得到Ak+1中任意s行t列的元素为.在进行UHAkU=Ak+1运算之后,将所得到的矩阵Ak+1的元素与Ak的元素进行对比,同时又根据平面旋转矩阵的性质,可以知道在Ak+1中,只有第p,q行与第p,q 列发生了变化,因而只需计算Ak+1的第p,q行与第p,q列元素.Ak+1中的各元素的表达式如下(其中p<q).由于矩阵Ak是共轭对称的,因而在式(13)中有.同样的计算方式可以得到:当i≠p,q时,则有要使得最后矩阵变换得到=0,则需要使得式(15)为零,即将式(20)两边同时除以cos2θ,可得将式(21)进行变换得到即有通过式(23)则可以求得θ的值,进而求得cosθ以及sinθ的值.再由φ=angle(ap q),可由式(4)求得e-jφ=cosφ-jsinφ的值,从而可以得到酉矩阵U(pk,qk),将U(pk,qk)记为Uk,每次变换、迭代都有相应的旋转矩阵.假设在m次迭代之后,使得原矩阵变换为对角阵,即为).在式(24)中,对角阵Λ的对角元素λ1,λ2,…,λn即为复Hermitian矩阵的特征值.而矩阵m=U1U2…Uk…Um的列向量即为复Hermitian矩阵对应特征值的特征向量,其中(k=1,2,…,m).可根据累乘的方法得到矩阵m的计算步骤以及公式如下所示: 令,则有现推导从k到k+1的计算过程.由旋转矩阵Uk的模型可以知道,在进行矩阵累乘的时候,从k到k+1,只有第p列、q列的元素的值会发生变化,其他行列的值都不变.因而此处只讨论以及计算变化了的元素值.通过式(26)以及式(27)不断累乘旋转矩阵,直到整个算法的迭代过程即计算过程结束.则最终所得到的矩阵m的第i列即为对应复Hermitian矩阵第i个特征值的特征向量.(1) 仿真条件:在MATLAB中,随机产生20个8阶的复Hermitian矩阵,对每个复Hermitian矩阵分别采用本文特征值分解方法以及MATLAB中的eig函数进行特征分解,然后分别将所得到的8个特征值从大到小排序并编号,将运用本文特征值分解方法所得到的特征值与相对应特征值顺序的eig函数所产生的特征值进行相减,得到差值,即为绝对误差,每个特征值编号对应一个绝对误差.在将20个复Hermitian矩阵都用上述方式进行特征分解并求绝对误差之后,对应每个特征值编号都有20个绝对误差.然后再对每个特征值编号所对应的20个绝对误差求均值,即为平均误差,得到各个特征值序号对应的特征值的平均误差如表1所示.由表1可知,应用本文特征分解方法对Hermitian矩阵进行特征分解所得到的特征值的平均误差的数量级在10-9左右,此数量级的误差在实际工程中可以忽略不计,因而本文方法与Matlab中的特征分解函数eig函数的特征分解精度相当,在精度方面得到了保证.(2) 将前述对本文特征值分解方法与“householder变换+一般QR”特征分解方法、householder变换+单步QR以及雅克比方法进行Matlab仿真实验所得到的图整理如图1～图4所示.比较图1～图4可以看到,运用本文特征分解方法对Hermitian矩阵进行特征分解所得到的特征值的精度最高,且远远高于其余几种特征分解方法.3.1 理论运算量分析假设待特征分解的hermitian矩阵为n阶方阵.“householder变换与一般QR方法相结合”算法中(n-1)次householder变换共需要8n3(n-1)+(3n-2)次实数乘法,m次QR迭代共需要8mn3次实数乘法,计算得到特征向量矩阵共需要n3(m+n-1)次实数乘法,整个算法所需的运算量跟迭代次数相关;而“householder 变换与单步QR方法相结合”算法中的householder变换部分与前述算法的运算量一致,但是QR迭代部分在前述算法基础上引入了单步位移,能够加快收敛速度,因而算法运算量要少于前述算法,并且迭代次数是由设定门限值所决定的,故两算法的运算量只能进行定性比较,而无法进行准确的定量比较;雅克比方法将对n阶hemitian矩阵的特征分解转化为对2n阶实对称矩阵的特征分解,也是设置了门限来确定整个迭代过程的迭代次数,特征分解过程从复数域到实数域的变换虽然能够在一定程度上减少算法的运算量,但矩阵的阶数大大增加,又增加了计算量,并且算法总的运算量是与门限值所设置的大小是相关的,因而雅克比方法的运算量也无法进行定量统计;本文方法是遍历选取非对角线元素非零的二阶主子阵实数化为实对称矩阵,再进行对角化,参与运算的都为二阶矩阵,并且大部分为实值运算,因而整体的运算量较小,但由于算法最终的运算量与遍历次数以及非对角线上元素为零的个数有关,本文方法中所设置的遍历次数为4次,已经能够达到较高的精度了,因而其运算量也无法进行准确的定量统计,只是从定性分析来说,本文方法的运算量最低.3.2 硬件实现耗时对比分析对本文特征分解方法进行DSP实现, 分析其实时性,在本文中测试所用的DSP芯片为TMS320C6678. TMS320C6678是一款高性能的支持定点/浮点的多核DSP, 其总共含有8个DSP内核,每个内核的主频可以达到1.25 GHz,支持16GFLOPs,而功耗仅为10 W.TMS320C6678的存储器包括32 K字节的L1P存储器/每核、32 K字节的L1D存储器/每核、512 K字节的二级存储器/每核. 在实际测试过程中,其每个内核的主频为1 GHz. 以其他三种特征分解方法为对比,进行实时性比较. 将此三种方法也进行了DSP实现.通过使用软件CCS 5.5上的计时工具, 分别得到本文以及其他三种特征值分解算法的C语言程序在TMS320C6678上运行的总周期个数,然后转化为以ms记时,如表2所示.由表2中可以看到, 本文方法在DSP上实现时所耗费的时间最少,仅为0.348 405 ms,比其他几种特征分解方法所耗费的时间要少得多,实时性最好.(1) 为在工程中应用子空间分解类算法对DOA进行快速精确估计,对特征分解这一部分进行仔细研究,得到本文中的二阶主子阵与jacobi方法相结合的特征分解方法,该方法不仅精度高,而且实时性好;(2) 由Matlab仿真结果可以看到,本文方法与eig函数的特征分解精度几乎一致,满足了工程上对于精度方面的要求;(3) 由在TMS320C6678开发板上的测试结果可以看到,本文方法在众多特征分解方法中实时性最高,算法程序运行时间很短,满足了工程上对于实时性的要求; (4) 该算法鲁棒性好,性能稳定,适用于各低阶或高阶的Hermitian矩阵的特征分解.[ 1 ] YANG Z F,WANG Y Q,WANG L. Research and simulation of spatial spectrum estimation algorithm[C]∥2010 International Conference on Image Analysis and Signal Processing, 2010:532-536.[ 2 ] 王伟,王晓萌,李欣,等. 基于MUSIC算法的L型阵列MIMO雷达降维DOA估计[J]. 电子与信息学报, 2014,36(8):1954-1959. (WANG W,WANG X M,LI X,et al. 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