曲线与方程优秀教案

人教版选修 2-1

公开课教案

2.1.2 曲线与方程

江玉海

安徽师范大学附属外国语学校

二 00 九年十二月二十四日

2.1.2曲线与方程

安师大附外江玉海

一教学目标

1、知识目标：

（1）理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；

（2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；

（3）学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；

（4）强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

2、能力目标：

（1）通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；（2）在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；

（3）在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互转化的思想方法。

3、情感目标：

（1）通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；

（2）通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

二教学重难点

教学重点曲线和方程的概念

教学难点曲线和方程概念的理解

三教学方法问题探究和启发、引导式相结合

四教学用具：多媒体课件

五教学过程：

知识回顾

1、在什么条件下，方程f(x ，y) ＝ 0 是曲线 C 的方程，同时曲线C是该方程的曲线？

（1）曲线 C 上的点的坐标都是方程f(x ， y) ＝0的解；

（2）以方程 f(x ， y) ＝ 0的解为坐标的点都在曲线 C 上 .

2、平面解析几何研究的主要问题是：

（1）求曲线的方程 ;

（2）通过方程研究曲线的性质 .

在平面上建立直角坐标系:点一一对应坐标 ( x, y)

曲线曲线的方程

例题讲解

例 1、设 A、 B 两点的坐标是 (-1,-1)、 (3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程 .

7( 1)k

=-0.5

解法一：∵ k AB2 , ∴所求直线的斜率

3( 1)

又∵线段 AB的中点坐标是(13,1 7

) ，即(1,3)

22

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为

y 3

1 1) . 即 x +2y-7=0

(x

2

解法二 : 若没有现成的结论怎么办 ?──需要掌握一般性的方法

问题 1. 设 A 、 B 两点的坐标是 (-1,-1)

、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程 .

解: 设 M(x,y ) 是线段 AB 的垂直平分线上的任一点 , 则 |MA|=|MB|

∴ (x +1)2 +(y +1) 2 = (x -3) 2

+(y - 7) 2

∴ x 2 + 2x +1+

y 2 + 2y +1= x 2 - 6x +9 + y 2 -14y +49

∴ x 2y 7

0(Ⅰ)

⑴由上面过程可知 , 垂直平分线上任一点的坐标都是方程 x 2 y 7 0 的解 ;

⑵设点 M 1 的坐标 ( x 1 , y 1 ) 是方程 ( Ⅰ ) 的解 , 即 x 1

2 y 1

7

∵ 上面变形过程步步可逆

,

2

2

2

-7) 2

∴ (x 1 +1) +(y 1 +1) = (x 1 -3) +(y 1

M 1A = M 1B

综上所述 , 线段 AB 的垂直平分线的方程是

x +2y -7=0.

第一种方法运用现成的结论当然快

, 但它需要你对研究的曲线要有一定的了解

; 第二种

方法虽然有些走弯路 , 但这种方法有一般性 .

求曲线的方程 ( 轨迹方程 ), 一般有下面几个步骤 :

1. 建立适当的坐标系 , 设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y) ;

2. 列出适合条件 P 的几何点集 : P M P(M ) ;

3. 用坐标表示条件 P( M ) , 列出方程 f ( x, y) 0 ;

4. 化简方程 f ( x, y) 0 为最简形式 ;

5. 证明 ( 查漏除杂 ).

例 2、已知一条直线 l

和它上方的一个点

F F 到 l

的距离是 2. 一条曲线也在

l

的上方 , 它上

, 点

面的每一点到

F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2, 建立适当的坐标系 , 求这条曲线的方程 .

解: 取直线 l 为 x 轴 , 过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 y 轴 , 建立坐标系 xOy, 设点 M(x,y) 是曲

线 上 任 意 一 点， MB ⊥ x 轴 ， 垂 足 是 B ，那么 MF-MB=2，把 M 点坐标代入上式得：

x

2

( y 2)

2

y

2 ，平方得： x

2

( y

2)

2

( y 2)2

，化简得： y

1

x 2 。因为曲

1

x 2 ( x

8

线在 x 轴的上方，所以

y ＞ 0, 所以曲线的方程是 y

0)

练习 1. 已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 8

的距离相等 , 求点 M 的轨迹方程。

解: 设点 M 的坐标为 ( x,y ) ∵点 M 与 x 轴的距离为

y , FM

x 2 ( y 4)2