曲线与方程优秀教案
双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)
双曲线及其标准方程教案与说明（甘肃）教案内容：一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其变换。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其变换。
2. 难点：双曲线标准方程的推导及应用。
三、教学准备1. 教师准备：双曲线的课件、例题、习题。
2. 学生准备：笔记本、文具、已学过的相关知识。
四、教学过程1. 导入：通过复习直线、圆等基本几何图形，引导学生思考双曲线的定义和特点。
2. 新课导入：介绍双曲线的定义，引导学生掌握双曲线的性质。
3. 例题讲解：讲解双曲线的标准方程及其变换，让学生通过例题理解并掌握双曲线的标准方程。
4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固双曲线标准方程的知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调双曲线标准方程的重要性和应用。
五、课后作业1. 完成课后习题，加深对双曲线及其标准方程的理解。
2. 结合生活实际，寻找双曲线模型的应用，提高学生的数学应用能力。
说明：本教案根据甘肃地区的教学实际情况编写，注重学生的基本数学素养的培养，难度适中。
在教学过程中，教师要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和自信心。
通过课后作业的设置，让学生将所学知识应用到实际生活中，提高学生的数学应用能力。
六、教学拓展1. 引导学生探索双曲线的参数方程及其图像。
2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结双曲线及其标准方程的知识。
2. 强调双曲线在数学和实际生活中的重要性。
八、课后反思1. 教师对本节课的教学情况进行反思，分析学生的学习效果。
2. 根据学生的反馈，调整教学方法和解题策略，为下一节课做好准备。
九、章节测试1. 设计一份章节测试题，测试学生对双曲线及其标准方程的掌握程度。
2. 及时批改测试题，了解学生的学习状况，为下一步教学提供依据。
三圆锥曲线与方程教案
三圆锥曲线与方程教案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第三章 圆锥曲线与方程§1 椭 圆1.1椭圆及其标准方程（一）教学目标 1.知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．2.过程与方法目标能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示． 3情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线， 是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名； （二）教学过程 （1）引入提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．（2）新课讲授过程（i ）由上述探究过程容易得到椭圆的定义． （ii ）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>．（iii ）例题讲解与引申例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．．练习：第65页1、2、3 作业：第68页1、2、41．2 椭圆的简单几何性质（一）教学目标 1.知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题； 2.过程与方法目标通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新． （二）教学过程 （1）引入①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念； （2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii ）椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a，b ，c e 00 ． （iii ）例题讲解与引申、扩展例：求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为105e =，求m 的值． 练习：第65页2作业：第68页A 组5、6 B 组1椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
高二选修曲线方程教学案及课后巩固试题
§2.1.1 曲线与方程（1）学习目标1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．P 34~ P 36，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程． ※ 学习探究探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程． 问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ※ 典型例题例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线A O （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？ 小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．※ 动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2xy x=(2) 222x y x x-=- (3) log ax y a =练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？三、总结提升 ※ 学习小结1．曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证． 求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等． ※ 当堂检测1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（ ）．A ．2xy x=B ．y =C ．y =D ．2log2xy =2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足O C=αO A +βOB，其中α，β∈R ，α+β=1， 则点C 的轨迹为 ( ) ．A ．射线B ．直线C ．圆D ．线段 3．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）． A ．10x y -+= B ．10x y -+=(01)x ≤≤ C ．10x y +-= D ．10x y -+=(01)x ≤≤4．已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ，则a = ，b = ．5．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB=，则点p 的轨迹方程是课后作业1． 点(1,2)A -，(2,3)B -，(3,10)C 是否在方程2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？2 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．§2.1.2 曲线与方程（2）学习目标1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．P 36~ P 37，找出疑惑之处）复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、新课导学 ※ 学习探究引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．※ 典型例题例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；点(,)P a b 到y 轴的距离是 ；点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是 ．例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．※ 动手试试练1． 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到直线10x y +-=的距离的2倍，试求曲线的方程．练2. 曲线上的任意一点到(3,0)A -,(3,0)B 两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．三、总结提升 ※ 学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 当堂检测1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ∙=,则点P 的轨迹方程是 ． 5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是 ．课后作业1．以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线C A 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线C A 垂直的直线C B 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．曲线和方程（一） 随堂巩固1．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（ ） A ．2x y x y ==与 B ．0)2)(1(0)2()1(22=+-=++-y x y x 与C ．11==xy xy 与 D ．x y x y lg 2lg 2==与2．方程x xy x =+2的曲线是（ ）A ．一个点B ．两条直线C ．一条直线D ．一个点和一条直线3．的值为上，则）在曲线，（a ay x P 13222=--4．若点到原点的距离为上，则在曲线（),(9),22 y x y x y x =+5．以（5，0）和（0，5）为端点的线段方程是强化训练1．方程0)4()42222=-+-y x （表示的图形是（ ）A ．两个点B ．四个点C ．四条直线D ．两条直线2．已知的值上，则在曲线点αααπα3)2()sin ,(cos ,2022=+-<≤y x P 3．曲线轴的交点坐标是与x y x y xy x 044322=-+---4．的值、，求轴上截距为，在轴上截距为在n m y x n my y xy x 210222-=-++-5．已知点上也在曲线上，在曲线（0),(0),(),==y x g P y x f y x P )(0),(),(R y x g y x f P ∈=+λλ上在曲线求证：曲线和方程（二）1．方程022=-y x 表示的图形是（ ）A ．一条直线B ．两条平行直线C ．两条相交直线D ．以上都不对 2．两曲线10102=++-=y x x y 与交于两点，此两点间的距离是 3．△30202的长度为），中线，）和（，的坐标分别是（、中，若AD C B ABC -则点A 的轨迹方程是（ ）A ．322=+y x B ．422=+y x C ．)0(922≠=+y y x D ．)0(922≠=+x y x4．到直线0534=-+y x 的距离为1的点的轨迹方程是（ ）A ．03401034=+=-+y x y x 和B ．013401034=-+=-+y x y x 和C ．03401034=+=++y x y x 和D ．013401034=++=++y x y x 和 5．方程036422=-+-y x y x 表示的图形是（ ）A ．直线032=++y xB ．直线02=-y xC ．直线032=++y x 或直线02=-y xD ．直线032=+-y x 或直线02=+y x 6．线段满足动点，互相垂直且平分于点与P b CD a AB O CD AB ,2,2==的轨迹方程，求动点P PD PC PB PA ⋅=⋅7．已知点的轨迹方程，求点，且的距离之和为、到两定点M AB B A M 812=曲线和方程（三）1．已知），，（）、，（4201B A -△的轨迹方程是，则动点的面积为C ABC 10（ ）A ．0163401634=+-=--y x y x 或B ．024*******=+-=--y x y x 或C ．024*******=+-=+-y x y x 或D ．024*******=--=+-y x y x 或 2．到两条平行线0948012=--=--y x y x 与的距离相等的点轨迹方程是 3．已知点点的轨迹方程是，则满足），动点，（）、，（P PO PA P A O 22100=（ ）A ．05423322=--++y x y xB ．05423322=---+y x y x C ．05423322=-+++y x y x D ．05423322=-+-+y x y x4．已知点P 是曲线2x y =上的动点，)0,4(Q ，则线段PQ 的中点的轨迹方程为 5．线段P AB y x AB 中点轴上滑动，则轴、，它的两个端点分别在的长度是10的轨迹方程是曲线和方程检测1．两曲线0102=++-=y x x y 与交于两点，此两点间的距离（ ） A ．小于2 B ．等于2 C ．等于2 D ．大于22．曲线m x y x x y +=+-=与22有两个交点，那么（ ）A ．R m ∈B ．)1,(--∞∈mC ．1=mD ．),1(+∞∈m3．曲线必定，那么曲线的交点为和（0),(),(0),(0),2121=-==y x F y x F P y x F y x F （ ） A ．经过P 点 B ．经过原点 C ．不一定经过P 点 D ．经过P 点和原点 4．直线05032=+=-+xy y x 被曲线截得的线段长为（ ）A ．25 B ．5 C ．255 D ．2575．已知一条曲线，它上面的每一个点到，轴的距离的差都是）的距离减去它到，（220x A则这个曲线的方程是6．一条线段的长等于10，两端点上且在线段轴上滑动，轴和分别在、AB M y x B A的轨迹方程是，则M MB AM 4=7．已知曲线对称的曲线方程求它关于直线02,2=--=y x x y8．动点P x P P 度，求动点轴的距离多一个单位长到）的距离比，到定点（41的轨迹9．若点9910023222026494),ba b a b a a y x y x b a M +⋅⋅⋅+++=+--+上，求在曲线（的值10．过定点点轴相交于与，且与线）任作互相垂直的两直（M x l l l b a A 121,的轨迹方程中点点，求线段轴相交于与P MN N y l 2。
双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)
双曲线及其标准方程教案与说明（甘肃）一、教学目标：1. 理解双曲线的定义及其性质。
2. 掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
二、教学内容：1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。
2. 双曲线的性质：双曲线是中心对称图形，其两支分别向无穷远延伸，且不存在最大值和最小值。
3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > 0, b > 0\)），其中\(a\) 称为实轴半长，\(b\) 称为虚轴半长。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质及其标准方程。
2. 教学难点：双曲线标准方程的求法和应用。
四、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 教学手段：利用黑板、PPT、几何画板等教学辅助工具。
五、教学安排：1. 课时：本章共4 课时。
2. 教学过程：第1 课时：介绍双曲线的定义和性质。
第2 课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。
第3 课时：练习双曲线标准方程的求解和应用。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度。
2. 课后作业：布置有关双曲线的练习题，检验学生对知识的掌握情况。
3. 单元测试：进行一次双曲线知识点的测试，全面评估学生的学习效果。
七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学策略，加强对难点知识点的讲解。
2. 注重培养学生运用双曲线知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对双曲线图像的认识，加强直观教学。
八、拓展与延伸：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。
2. 介绍双曲线的变形式，如双曲函数、双曲线方程的解法等。
3. 引导学生深入研究双曲线的性质，探寻更多规律。
九、课后作业：（1）经过点\(A(2,0)\) 和\(B(-2,0)\) 的双曲线。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。
2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。
3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。
4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。
3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。
4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。
3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。
七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。
2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。
八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。
高二数学上 7.5 曲线的方程(一)优秀教案
7.5曲线和方程（一）教学目标：1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理王新敞2．在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法王新敞3．培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神王新敞教学重点：理解曲线与方程的有关概念与相互联系王新敞王新敞教学难点：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）王新敞王新敞授课类型：新授课王新敞课时安排：1课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞教材分析：曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础．这正体现了几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响．曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃．本节教材中把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法王新敞由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径．求曲线的方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一王新敞根据大纲要求，本节内容分为3个课时进行教学，具体的课时分配是：第一课时讲解“曲线与方程”与“方程与曲线”的概念及其关系；第二课时讲解求曲线方程的一般方法，第三课时为习题课，通过练习来总结、巩固和深化本节知识，并解决与曲线交点有关的问题。
考虑到本节内容的基础性和灵活性，可以对课本例题和练习作适当的调整，或进行变式训练王新敞针对第一课时概念强、思维量大、例题习题不多的特点，整节课以启发学生观察思考、分析讨论为主。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。
2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。
3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。
4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。
5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。
7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。
六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。
七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。
2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。
3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。
2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。
3. 第三课时：例题分析与实际应用。
4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。
九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。
2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。
关于曲线和方程的数学教案设计
关于曲线和方程的数学教案设计教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法了解解析几何的基本问题．（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念能根据曲线的已知条件求出曲线的方程了解两条曲线交点的概念．（3）通过曲线方程概念的教学培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．（4）通过求曲线方程的教学培养学生的转化能力和全面分析问题的能力帮助学生理解解析几何的思想方法．（5）进一步理解数形结合的思想方法．教学建议教材分析（1）知识结构曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念在充分讨论曲线方程概念后介绍了坐标法和解析几何的思想以及解析几何的基本问题即由曲线的已知条件求曲线方程；通过方程研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后本节不予研究．因此本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法以及领悟坐标法和解析几何的思想．②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念也是基础概念教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想学习解析几何的意义和要解决的问题为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明还是求解曲线的方程都要紧扣曲线方程的概念即始终以是否满足概念中的两条为准则．（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”即在学习求曲线方程的方法时应从具体实例出发引导学生从曲线的几何条件一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程即文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标的代数方程简化了的的代数方程由此可见曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”（5）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务不是一下子就彻底解决的求解的方法是在不断的学习中掌握的教学中要把握好“度”．教学设计示例课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义了解解析几何的基本问题．（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．（3）初步掌握求曲线方程的方法．（4）通过本节内容的教学培养学生分析问题和转化的能力．教学重点、难点：求曲线的方程．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法讨论法．教学过程：【引入】1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．学生思考并回答．教师强调．2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．对于一个几何问题在建立坐标系的基础上用坐标表示点；用方程表示曲线通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质这一研究几何问题的方法称为坐标法这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程研究平面曲线的性质．事实上在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．【问题】如何根据已知条件求出曲线的方程．。
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人教版选修 2-1公开课教案2.1.2 曲线与方程江玉海安徽师范大学附属外国语学校二 00 九年十二月二十四日2.1.2曲线与方程安师大附外江玉海一教学目标1、知识目标：（1）理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；（2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；（3）学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；（4）强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
2、能力目标：（1）通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；（2）在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；（3）在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互转化的思想方法。
3、情感目标：（1）通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；（2）通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
二教学重难点教学重点曲线和方程的概念教学难点曲线和方程概念的理解三教学方法问题探究和启发、引导式相结合四教学用具：多媒体课件五教学过程：知识回顾1、在什么条件下，方程f(x ，y) ＝ 0 是曲线 C 的方程，同时曲线C是该方程的曲线？（1）曲线 C 上的点的坐标都是方程f(x ， y) ＝0的解；（2）以方程 f(x ， y) ＝ 0的解为坐标的点都在曲线 C 上 .2、平面解析几何研究的主要问题是：（1）求曲线的方程 ;（2）通过方程研究曲线的性质 .在平面上建立直角坐标系:点一一对应坐标 ( x, y)曲线曲线的方程例题讲解例 1、设 A、 B 两点的坐标是 (-1,-1)、 (3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程 .7( 1)k=-0.5解法一：∵ k AB2 , ∴所求直线的斜率3( 1)又∵线段 AB的中点坐标是(13,1 7) ，即(1,3)22∴线段 AB 的垂直平分线的方程为y 31 1) . 即 x +2y-7=0(x2解法二 : 若没有现成的结论怎么办 ?──需要掌握一般性的方法问题 1. 设 A 、 B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程 .解: 设 M(x,y ) 是线段 AB 的垂直平分线上的任一点 , 则 |MA|=|MB|∴ (x +1)2 +(y +1) 2 = (x -3) 2+(y - 7) 2∴ x 2 + 2x +1+y 2 + 2y +1= x 2 - 6x +9 + y 2 -14y +49∴ x 2y 70(Ⅰ)⑴由上面过程可知 , 垂直平分线上任一点的坐标都是方程 x 2 y 7 0 的解 ;⑵设点 M 1 的坐标 ( x 1 , y 1 ) 是方程 ( Ⅰ ) 的解 , 即 x 12 y 17∵ 上面变形过程步步可逆,222-7) 2∴ (x 1 +1) +(y 1 +1) = (x 1 -3) +(y 1M 1A = M 1B综上所述 , 线段 AB 的垂直平分线的方程是x +2y -7=0.第一种方法运用现成的结论当然快, 但它需要你对研究的曲线要有一定的了解; 第二种方法虽然有些走弯路 , 但这种方法有一般性 .求曲线的方程 ( 轨迹方程 ), 一般有下面几个步骤 :1. 建立适当的坐标系 , 设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y) ;2. 列出适合条件 P 的几何点集 : P M P(M ) ;3. 用坐标表示条件 P( M ) , 列出方程 f ( x, y) 0 ;4. 化简方程 f ( x, y) 0 为最简形式 ;5. 证明 ( 查漏除杂 ).例 2、已知一条直线 l和它上方的一个点F F 到 l的距离是 2. 一条曲线也在l的上方 , 它上, 点面的每一点到F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2, 建立适当的坐标系 , 求这条曲线的方程 .解: 取直线 l 为 x 轴 , 过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 y 轴 , 建立坐标系 xOy, 设点 M(x,y) 是曲线 上 任 意 一 点， MB ⊥ x 轴 ， 垂 足 是 B ，那么 MF-MB=2，把 M 点坐标代入上式得：x2( y 2)2y2 ，平方得： x2( y2)2( y 2)2，化简得： y1x 2 。
因为曲1x 2 ( x8线在 x 轴的上方，所以y ＞ 0, 所以曲线的方程是 y0)练习 1. 已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 8的距离相等 , 求点 M 的轨迹方程。
解: 设点 M 的坐标为 ( x,y ) ∵点 M 与 x 轴的距离为y , FMx 2 ( y 4)2∴ y =x2( y 4)2∴y2x2y28 y 16∴ x28 y16 这就是所求的轨迹方程.2. 长为 2 的线段 AB 的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，求线段AB 的中点 M的轨迹方程 .（ x2＋ y2＝ 1 ）例 3、已知线段 AB, B 点的坐标（ 6,0 ），A 点在曲线 y=x2+3 上运动，求 AB的中点 M的轨迹方程 .解；设 AB的中点 M的坐标为（ x， y），又设 A（X1， Y1），则x = x 1 + 6x1= 2x - 62∴= 2yy 1y 1y =2点 A（ x1， y1）在曲线 y=x2+3 上，则 y1=x12+3 代入，得： 2y=（2x-6 ）2+3整理 , 得 AB 的中点的轨迹方程为23y = 2 x - 3 +2变式练习：若三角形 ABC的两顶点 C，B 的坐标分别是 C（0， 0）， B（ 6， 0），顶点 A 在曲线 y=x2+3 上运动，求三角形 ABC重心 G的轨迹方程 .例 4、经过原点的直线l 与圆x2y26x 4 y 9 0 相交于两个不同点A、 B，求线段AB 的中点 M的轨迹方程 .解法一 : 设 M(x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2, y2)x x1x2x12y126x14y19 0 ①2且x22y22y y1y26x2 4 y29 0 ②2由①─②得 ( x1x2 )(x1x2 )( y1y2 )( y1 y2 ) 6( x1 x2 ) 4( y1y2 )0∵ k OM k AB即yy1y2 ( 易知x1x2) x x1x2∴2y264y0 x x y x∴化简得 x2y23x2 y0∴所求轨迹方程为x2y23x2 y0(在已知圆内部一段弧对应的方程)相关点法 : 动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’ ) 的运动而有规律的运动，且动点 Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x’ ,y ’表示为 x,y的式子，再代入 Q的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，也称代入法。
简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之间的坐标。
解法二 : 设 M(x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2, y2)x1x2x2设直线 l 的方程为y kx则y1y2y2由方程组y kx消去 y 得(1 k2) x2(6 4k )x 9 0 x2y 26x 4 y10032k64k9xk 2x1x2,x1x2∴11 k2 1 k2y k3 2k1 k 2消去参数 k 得x2y23x2y0小结：1.求曲线方程的常用方法 :（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
用直接法求动点轨迹一般有建系 , 设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖” 与“补”。
（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
（3）代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’， y’ ) 的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’ ,y ’表示为 x,y 的式子，再代入 Q的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
（4）参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
2. 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程. 求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系.练习：1. 动点在圆 x 2y 2 1 上移动时，它与定点B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是 ()(A) ( x 3) 2y 2 4(B)( x3) 2 y 21(C) (2x3)24 y 21 (D)( x3 )2 y 2 1221, 则动点 M 的轨迹方程为2.点 M与定点F (1,0) 距离和它到直线 x 8的距离的比为(x, y)2( )x 2y 222(A)1(B)x y 1438 7(C) x 2y 2 1(D)3x 24 y 2 8x60 =016 12课后作业：。