第3节 全称量词与存在量词(轻巧夺冠)

第3节 全称量词与存在量词课标要求 1. 理解全称量词与存在量词的意义；2. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定；能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.[知识衍化体验] 回顾教材，夯实基础知识梳理1．全称量词与存在量词（1）全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“________”表示．（2）存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为全称量词，用符号“________”表示． 2．全称量词命题与存在量词命题及其否定【微点提醒】1．一个全称量词命题可以包含多个变量，如220x y x y ∀∈∈+R R ，，，在全称量词命题中，量词可以省略．2．一个存在量词命题可以包含多个变量，如22()()a b a b a b ∃∈-=+R ，，，有些存在量词命题的存在量词是省略的．3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．基础自测疑误辨析1．判断下列结论的正误（在括号内打“√”或“×”） （1）“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．（ ）（2）全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．（ ） （3）“长方形的对角线相等”是存在量词命题．（ ） （4）()x M p x ∃∈，与()x M p x ∀∈⌝，的真假性相反．（ ） 教材衍化2．（选修2-1P26A3改编）命题“20x x x ∀∈+R ，”的否定是（ ）．A ．20000x x x ∃∈+R ，B ．20000x x x ∃∈+<R ，C ．20x x x ∀∈+R ，D ．20x x x ∀∈+<R ，3．（选修2-1P23 10改编）已知命题21p x x m ∀∈+>R ：，；命题q ：指数函数()(3)xf x m =-是增函数．若命题p 和q 中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．(12]， B ．[12)， C ．[1)+∞， D ．(2)-∞，考题体验4．（2019·贵阳调研）下列命题中的假命题是（ ）． A ．00lg 1x x ∃∈=R ， B ．00sin 0x x ∃∈=R ，C ．30x x ∀∈>R ，D ．20x x ∀∈>R ， 5．（2011·全国I 卷）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：12π1[0)3p θ+>⇔∈a b ：，；22π1(π]3p θ+>⇔∈a b ：，；3π1[0)3p θ->⇔∈a b ：，；4π1(π]3p θ->⇔∈a b ：，．其中的真命题是（ ）．A ．14p p ，B ．13p p ，C ．23p p ，D ．24p p ，6．（2019·豫南五校联考）若“ππ[]tan 243x mx ∀∈-+，，”为真命题，则实数m 的最大值为_________．[考点聚焦突破] 分类讲练，以例求法考点一 全称量词命题与存在量词命题—→多维探究角度1全称量词命题与存在量词命题的判断【例1-1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． （1）实数的平方是非负数；（2）至少有一个x ∈Z ，使x 能被3和4整除； （3）方程2210(1)ax x a ++=<有负实根；（4）若直线l 垂直于平面α内任一直线m ，则l α⊥．角度2全称（存在）量词命题真假的判断【例1-2】（1）下列命题中的假命题是（ ）． A ．(0)lg 0x x ∃∈+∞=，，B ．tan 1x x ∃∈=R ，C ．20x x ∀∈>R ，D ．20x x ∀∈>R ，（2）（2019·江西师大附中月考）已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）． A ．()()x f x f x ∀∈-≠R ， B ．()()x f x f x ∀∈-≠-R ，C ．()()x f x f x ∃∈-≠R ，D ．()()x f x f x ∃∈-≠-R ，规律方法 1．判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤是：（1）判断此语句是否是命题；（2）看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词；（3）对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．2．判定全称量词命题“()x M p x ∀∈，”是真命题，需要对集合M 中每一个元素x ，证明()p x 都成立；要判定存在量词命题“()x M p x ∃∈，”是真命题，只要在集合M 中找到一个元素x ，使()p x 成立即可．【训练1】（1）下列命题是全称量词命题的序号为________． ①任意一个自然数都是正整数； ②有的等差数列也是等比数列； ③三角形的内角和是180︒．（2）下列命题中，既是真命题，又是存在量词命题的是（ ）．A ．存在一个α，使tan(90)tan αα︒-=B ．存在实数x ，使πsin 2x =C ．对一切α，sin(180)sin αα︒-=D ．对任意αβ，，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-考点二 全称量词命题与存在量词命题的否定【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假． （1）p ：所有的方程都有实数解；（2）24410q x x x ∀∈-+R ：，；（3）2220r x x x ∃∈++<R ：，； （4）s ：某些平行四边形是菱形．规律方法1．全称（存在）量词命题的否定是存在（全称）量词命题；2．全称（存在）量词命题否定是要改变其量词，否定其结论，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定；3．全称（存在）量词命题与其否定的真假性相反．【训练2】（1）命题“*1122xx ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭N ，”的否定为（ ）． A ．*1122xx ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭N ， B ．*1122xx ⎛⎫∀∉> ⎪⎝⎭N ， C ．*1122xx ⎛⎫∃∉> ⎪⎝⎭N ， D ．*1122xx ⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭N ， （2）命题“存在x ∈R ，使20x ”的否定为（ ）．A ．不存在x ∈R ，使20x >B ．存在x ∈R ，使20xC ．对任意的x ∈R ，都有20x >D ．对任意的x ∈R ，都有20x考点三 全称（存在）量词命题的综合应用【例3】（1）已知命题930x x p x a ∀∈--=R ：，，若命题p 的否定是假命题，则实数a 的取值范围是____________．（2）已知函数2()ln(1)f x x =+，1()()2x g x m =-，若对1[03]x ∀∈，，2[12]x ∃∈，，使得12()()f x g x ，则实数m 的取值范围是____________．规律方法 应用含有量词的命题求参数的策略：（1）对于全称量词命题()x M a f x ∀∈>，（或()a f x <）为真的问题实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求()f x 的最大值（或最小值），即max ()a f x >（或min ()a f x <）．（2）对于存在量词命题()x M a f x ∃∈>，（或()a f x <）为真的问题实质就是不等式能成立问题，通常转化为求()f x 的最小值（或最大值），即min ()a f x >（或max ()a f x <）．【训练3】本例（2）中，若将“2[12]x ∃∈，”改为“2[12]x ∀∈，”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是____________．◎反思与感悟[思维升华]要写一个命题的否定，需要先分清该命题是全称量词命题还是存在量词命题，再按照否定结构去写；否定的规律是“改量词，否结论”． [易错防范]1．注意命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； 2．注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．核心素养提升 自主阅读，提升素养逻辑推理——突破“任意性或存在性”问题逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。

其关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达．解决“任意性或存在性”问题关键在于将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域（或最值）之间的关系．通过此类问题的研究有助于提升学生的逻辑推理素养和形成良好的数学思维品质． 类型1 形如“对任意1x A ∈，都存在2x B ∈，使得12()()f x g x =成立” 例1 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x =+--+，19()7g x x=-，若对任意1[1,1]x ∈-，总存在2[1,3]x ∈，使得1121()2()2f x ax g x '+=成立，求实数a 的取值范围． 解 由题意知，()g x 在[1,3]上的值域为2[,12]3-，所以1()2g x 的值域为1[,6]3-．令2()()232(2)h x f x ax x x a a '=+=+-+，其图象对称轴为13x =-，且当1[1,)3x ∈--时，函数()h x 单调递减；当1(,1]3x ∈-时，函数()h x 单调递增．所以2min 11()()233h x h a a =-=---，2max ()(1)25h x h a a ==--+．又由题意可知，()h x 的值域是1[,6]3-的子集，所以22112,33256,a a a a ⎧---≥-⎪⎨⎪--+≤⎩ 解得20a -≤≤， 所以实数a 的取值范围[2,0]-．评析 理解全称量词与存在量词的含义，将此类问题“等价转化”为“函数()f x 的值域是()g x 的值域的子集”是解决本题的关键．类型2 形如“对存在1x A ∈及2x B ∈，使得12()()f x g x =成立”例2 已知函数221,(,1],12()551,[0,]362xx x f x x x ⎧∈⎪⎪+=⎨⎪-+∈⎪⎩，()sin 2(0)6x g x k k π=->，若存在1[0,1]x ∈及2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数k 的取值范围是______________．解析 由题意，函数()f x 的值域为[0,1]，()g x的值域为1[2]2k --，且两个值域的交集要非空．可先求交集为空集的情况，即1212k ->20-<，解得6k >或3k <．所以，要使两个值域的交集非空，则实数k 的取值范围是[3． 评析 此类问题“等价转化”为“函数()f x 的值域与函数()g x 的值域的交集非空”．本题的解决利用了补集思想，避免了繁琐的讨论．类型3 形如“对任意1x A ∈，都存在2x B ∈，使得12()()f x g x <成立”例3 已知函数12()log x f x =，()2xg x a =+，若对任意111[,]42x ∈，总存在2[2,3]x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是____________． 解析 由题意知max max ()()f x g x ≤．因为12()log x f x =在11[,]42上是减函数，所以max 1()()24f x f ==；又()2xg x a =+在[2,3]上是增函数，所以max ()(3)8g x g a ==+． 从而28a ≤+，则6a ≥-． 即实数a 的取值范围是[6,)-+∞．评析 此类问题“等价转化”为“max max ()()f x g x ≤”，再分别求出两个函数的最大值，得关于a 的不等式，就可解得a 的范围．思考1：本例中，若把“总存在2[2,3]x ∈”改成“任意2[2,3]x ∈”，其它条件不变，则实数a 的取值范围是____________．问题“等价转化”为“max min ()()f x g x ≤”，你会求解吗？思考2：本例中，若把“任意111[,]42x ∈”改成“存在111[,]42x ∈”，其它条件不变，则实数a 的取值范围是____________．问题“等价转化”为“min max ()()f x g x ≤”，你会求解吗？思考3：若将题中区间改为开区间，你是否会正确转化，规范表达？。