导数的几何意义与应用
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么导数作为微积分中的重要概念，不仅在数学理论研究中有着重要地位，还在实际问题的求解中起到了至关重要的作用。
导数的几何意义是指在几何上，导数代表了函数曲线在某一点处的切线斜率。
它使我们能够通过函数图像来理解函数的变化规律及其在特定点的切线性质。
本文将重点论述导数的几何意义以及相应的应用。
一、导数的定义及计算在开始讨论导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义及计算方法。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过下式计算得出：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]根据这一定义，我们可以求得函数在任意一点处的导数值。
导数的计算可以采用一些常用的方法，如基本函数求导法则、链式法则、乘积法则和商法则等。
二、导数的几何意义1. 切线斜率导数的最直观的几何意义就是切线斜率。
当我们计算出函数在某一点的导数后，这个导数值便代表了函数曲线在该点处的切线斜率。
对于一个凸函数而言，导数可以告诉我们曲线在该点是上升还是下降，以及上升或下降的速度有多快。
2. 极值点导数在几何中还有一个重要的意义是寻找函数的极值点。
当函数在某一点的导数为0时，这一点可能是函数的极大值点或极小值点。
通过求导，我们可以找到函数在哪些点处可能存在极值，并进一步帮助我们寻找函数图像上的极值点，从而得出函数的极值。
3. 凹凸性函数图像的凹凸性也可以通过导数来判断。
当函数的导数在某一区间内始终大于0时，函数图像在该区间内是上凸的；而当导数在某一区间内始终小于0时，函数图像在该区间内是下凸的。
这种通过导数判断凹凸性的方法在优化问题中具有重要应用。
三、导数的应用导数的几何意义不仅在数学理论研究中起到关键作用，也在实际问题的求解中发挥了巨大的作用。
1. 最优化问题在经济学、物理学等领域中，最优化问题是非常常见的。
通过求解函数的导数，我们可以确定函数的最大值和最小值，从而帮助解决各种最优化问题。
(七)导数概念及应用
(七)导数概念及应用1．理解导数的概念及几何意义（1）函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数：)(0x f ＇＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .函数y ＝f （x ）在（a ，b ）内的导函数：f ′（x ）＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x +Δx )-f (x )Δx .函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）＝f ′（x ）︱x =0x（2）函数f （x ）在点x 0处有导数，则函数f （x ）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f （x ）在点x 0处有切线，函数f （x ）在该点处不一定可导.求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数．2．熟记八个求导公式和五条求导法则（加、减、乘、除、复合函数求导（理））. 3．导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题等.利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y ＇的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）．导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率．高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．导数类型的问题从题型上来看有几下特点：①以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；②利用导数求实际问题中的最值为中档题；③与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题． 考点1 考查相关概念例1．下列命题中，正确的是（ ） ①若函数f （x ）在点x 0处有极限，则函数f （x ）在x 0处连续；②若函数f （x ）在点x 0连续，则函数f （x ）在x 0处可导；③若函数f （x ）在点x 0处取得极值，则f ′（x 0）＝0；④若函数在点x 0有f ′（x 0）＝0，则x 0一定是函数的极值点.A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析： ①是错误的，如f （x ）＝⎩⎨⎧ x 1 00=≠x x 在点x ＝0处不连续；②是错误的，如f （x ）＝︱x ︱在x ＝0处连续，但不可导；③是错误的，f （x ）在点x 0不一定可导，反例同②；④是错误的，如f （x ）＝x 3在x ＝0的导数为零，但x ＝0不是函数的极值点.答案A评析：函数f （x ）在点x 0有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在x 0处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x 0取得极值，才有f ′（x 0）＝0，注意其前提条件. 考点2 考查导函数与原函数图象间关系例2．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．考点3 考查导数的几何意义例3．设f （x ）＝－23x 3+x 2+4x ，则过点（0，0）的曲线y ＝f （x ）的切线方程是 ．解析：设所求切线方程为：y ＝kx ，切点（x 0，y 0），又k ＝y ′︱x =0x ＝（－2x 02+2x 0+4）. 则切线方程为y ＝（－2x 02+2x 0+4）x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=003000020432)422(x x x y x x x y 解之得x 0＝0或x 0＝34.∴k ＝4或k ＝358，故所求的切线方程为4x －y ＝0或35x －8y ＝0.评析：导数)(0/x f 的几何意义是曲线数)(x f y =在某点0x 处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p （x 0，y 0）的切线方程时，一要注意p （x 0，y 0）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条.。
导数的几何意义有什么
导数的几何意义有什么导数的几何意义有什么呢?同学们还有印象吗。
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导数的几何意义有什么导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
函数y=fx在x0点的导数f'x0的几何意义表示函数曲线在P0[x导数的几何意义0fx0] 点的切线斜率。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
导数的应用导数与物理几何代数关系密切.在几何中可求切线在代数中可求瞬时变化率在物理中可求速度加速度.导数亦名纪数、微商微分中的概念是由速度变化问题和曲线的切线问题矢量速度的方向而抽象出来的数学概念.又称变化率.如一辆汽车在10小时内走了600千米它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中是有快慢变化的不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况可以缩短时间间隔设汽车所在位置s与时间t的关系为s=ft那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]当 t1与t0无限趋近于零时汽车行驶的快慢变化就不会很大瞬时速度就近似等于平均速度。
自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度。
拓展阅读：导数的概念及其几何意义的数学知识点一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率上式中的值可正可负，但不为0.f(x)为常数函数时，瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限.函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义:一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作或，即。
导数的几何意义解析与归纳
导数的几何意义解析与归纳导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在几何学中也有着重要的几何意义。
本文将对导数的几何意义进行解析与归纳，以帮助读者更好地理解这一概念。
1. 导数的定义与几何意义首先，我们来回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下极限来定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h直观上，这个定义可以理解为函数f(x)在点x处的切线的斜率。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化趋势。
2. 导数与函数的递增与递减性根据导数的定义，我们可以得出以下结论：如果函数f(x)在某个区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，那么函数是递减的。
这是因为导数描述了函数的变化率，正值表示函数在该点上升，负值表示函数在该点下降。
3. 导数与函数的极值点导数还可以帮助我们找到函数的极值点。
如果函数f(x)在某一点x处的导数为零，那么这个点可能是一个极值点。
具体而言，如果导数由正变负，那么这个点是极大值点；如果导数由负变正，那么这个点是极小值点。
这是因为导数为零表示函数的变化率为零，也就是函数在该点存在水平切线，可能对应着极值点。
4. 导数与函数的拐点除了极值点，导数还能帮助我们找到函数的拐点。
拐点是函数曲线由凸变凹或由凹变凸的点。
我们可以通过导数的变化来判断函数的拐点。
如果函数f(x)在某一点x处的导数由正变负或由负变正，那么这个点可能是一个拐点。
5. 导数与函数的图像在坐标平面上，函数的导数可以帮助我们画出函数的图像。
我们可以通过导数的正负性来确定函数曲线的大致形状。
例如，如果导数在某一区间内始终为正，则函数在该区间上是递增的，曲线会向上凸起；如果导数在某一区间内始终为负，则函数在该区间上是递减的，曲线会向下凸起。
同样地，我们还可以根据导数为零或无定义的点来确定函数图像的特殊点，如极值点、拐点等。
《应用高等数学》导数的意义
《应用高等数学》导数的意义导数是高等数学中一个重要的概念，它在数学、物理、工程和经济等领域中都有广泛的应用。
导数的意义包括数学意义、几何意义和物理意义等方面。
首先是导数的数学意义。
导数可以看作函数在特定点上的变化率。
具体地说，对于函数f(x)，如果x的微小变化量Δx引起f(x)的变化量Δy，那么Δy/Δx就是函数在x点上的变化率。
而导数则定义了这一变化率的极限。
换句话说，导数就是函数在其中一点的瞬时变化率，表示随着自变量的微小变化，函数值的变化量。
其次是导数的几何意义。
导数可以用来描述曲线上其中一点的切线斜率。
具体而言，如果函数f(x)在点x=a处有导数f'(a)，那么曲线在点(x,f(x))处的切线的斜率就是导数f'(a)。
切线斜率的大小和正负决定了曲线是上升还是下降。
通过导数，我们可以研究曲线的变化趋势、最值点、转折点等等几何特征。
导数的物理意义则体现在速度和加速度的描述中。
在物理中，物体的运动状态可以由其位置函数表示。
如果我们知道位置函数关于时间的导数，即速度函数，那么我们就能够了解物体在不同时刻的速度信息。
同样地，如果我们知道速度函数关于时间的导数，即加速度函数，那么我们就能够了解物体在不同时刻的加速度信息。
导数在经济学中也有重要的应用。
在经济学中，我们经常需要分析经济指标的变化率。
例如，对于其中一种商品的需求函数而言，需求量的变化率对于制定价格、预测市场变化等都具有重要的参考价值。
同样地，成本函数、利润函数等在经济学中也需要用到导数的概念。
导数可以帮助我们分析经济现象中的微小变化和灵敏性。
导数的意义不仅仅局限于以上几个方面，它还有很多其他的应用。
例如，导数在微分方程中被广泛应用，可以用来描述物理、生物等现象中的变化规律。
导数也在最优化问题中有着重要作用，用于求解最大值、最小值以及优化问题。
此外，导数作为微分的基础，还可以在数值求解、数学建模等领域中发挥重要作用。
总之，导数在数学和其他学科中都有着重要的意义。
专题11 导数的几何意义应用
专题11导数的几何意义应用【高考地位】导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查学生对导数的几何意义的正确理解.导数的几何意义主要用于求曲线的切线方程，在高考中多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步，其试题难度考查相对较小．类型一求在某点的切线方程万能模板内容使用场景在某点的切线方程解题模板第一步计算函数()f x 的在曲线上该点处的导函数'0()f x ；第二步运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率；第三步得出结论.【例1】曲线cos sin x y x =在点π,14⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为（）.A ．π2102x y --+=B ．π2102x y ---=C ．π2102x y +-+=D ．π2102x y +--=【答案】D【解析】第一步，计算函数()f x 的在曲线上该点处的导函数'0()f x ：2222sin cos 1sin sin x x y x x--'==-，第二步，运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率：切线斜率为2k =-，第三步，得出结论：切线方程为π124y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即π2102x y +--=.故选：D.【点睛】本题考查过函数上一点处切线方程的求解，注意导数的求解以及点斜式的应用即可.【变式演练1】已知曲线ln xxy ae x=+在()1,ae 处的切线方程为y ex x b =++，则（）A ．a e =，1b =-B ．1a =，0b =C ．1a =，1b =-D ．a e =，0b =【答案】C 【分析】求得21ln '()xxf x ae x -=+，根据题意得到()'111f ae e =+=+，求得a 的值，再将切点坐标代入切线方程，即可求解.【详解】由题意，函数ln xx y ae x =+，可得21ln '()xx f x ae x -=+，因为曲线ln xxy ae x=+在()1,ae 处的切线方程为y ex x b =++，可得()'111f ae e =+=+，解得1a =，将切点坐标为()1,e 带入切线方程y ex x b =++，即1e b e ++=，解得1b =-.故选：C.【变式演练2】曲线353y ax x =+-在()1,m 处的切线与直线:80l x y +=相互垂直，则a =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A 【解析】【分析】先求导，可得曲线在()1,m 处的切线斜率为135x y a ==+'，再根据直线垂直关系可得结果.【详解】325335y ax x y ax '=+-∴=+Q 曲线在()1,m 处的切线斜率为135x y a ==+'由切线与直线:80l x y +=相互垂直可得358a +=解得1a =故选：A 【点睛】本题考查导数几何意义以及直线垂直关系，属于基础题.【变式演练3】已知定义在R 上的函数()f x 满足()2()3x f x f x e =--，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（）A ．33y x =+B ．31y x =-C ．3y x =-+D ．1y x =-+【答案】C 【解析】【分析】先求出()2x x f x e e -=+，再求出切点和切线的斜率即得解.【详解】因为()2()3x f x f x e =--，所以()2()3x f x f x e --=-，联立可解得()2x x f x e e -=+，所以(0)3f =，所以()2x x f x e e -'=-+，(0)1f '=-.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为3y x -=-，所以所求的切线方程为3y x =-+.故选：C 【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.【变式演练4】函数()cos xf x e x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【答案】B 【解析】【分析】利用导数值为切线斜率，求得倾斜角，得到答案.【详解】()cos sin x x e x x e x f =-'，则()01k f '==，则倾斜角为4π．故选：B ．【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数的乘法运算，属于基础题.【变式演练5】设点P 是函数()()()201xf x e f x f ''=-+图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A ．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】在()f x '中令0x =后可求()01f '=，再根据导数的取值范围可得tan α的范围，从而可得α的取值范围.【详解】()()()2e 01x f x f x f ''=-+ ，()()2e 0x f x f ''∴=-，()()020f f ''∴=-，()01f '=，()()2e 1x f x x f '∴=-+，()2e 11x f x '∴=->-.点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，tan 1α∴>-.[)0,απ∈ ，30,,24ππαπ⎡⎫⎛⎫∴∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.【变式演练6】已知点P 在曲线41xy e =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则tan α的取值范围是________.【答案】[1,0)-【解析】【分析】求导函数，确定其值域，即可求出tan α的取值范围．【详解】41x y e =+，2441(1)2x x x x e y e e e --∴'==+++，1124,01421x xx x e e e e++≥∴<≤++ ,10y ∴-≤'<，tan α∴的取值范围是[1,0)-．故答案为：[1,0)-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于基础题．类型二过点求曲线的切线方程例2若直线()0y kx k =≠是曲线()322f x x x =-的一条切线，则k =______．【答案】18-【解析】第一步，设出切点的坐标为00(,())x f x 并求出函数()f x 在切点处的导数'0()f x ：设切点为()00,x kx ，()262f x x x '=-，所以()020026x x x f k -==第二步，充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量关系：则2003200062,2,x x k x x kx ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②将①代入②得32320000262x x x x -=-，即32004x x =，第三步，利用方程的思想即可得出结论：∴00x =或014x =，考点：导数几何意义【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.【变式演练7】过坐标原点作曲线ln y x =的切线，则切点的纵坐标为（）A ．e B ．1C D ．1e【答案】B【分析】设出切点()()000,ln 0P x x x >，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可.【详解】解：设切点()()000,ln 0P x x x >，由ln y x =，得1y x'=，所以001x x y x ='=，∴曲线在点P 处的切线l 方程为()0001ln y x x x x -=-，又l 过（0，0），∴()0001ln x x x -=-，解得0x e =，∴切点(),1P e ，纵坐标为1．故选：B ．【变式演练8】（多选）已知过点A （a ，0）作曲线:xxC y e =的切线有且仅有两条，则实数a 的值可以是（）A ．－2B ．4C ．0D ．6【答案】AD 【分析】设出切点，写出切线方程，将A 点代入，化简后方程有两根，即可得到a 的取值范围.【详解】设切点为000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0001e x x x x y =-'=，所以切线方程为：()000001e e x x x x y x x --=-，切线过点A （a ，0），代入得：()000001e ex x x x a x --=-，即方程2000x ax a -+=有两个解，则有2404a a a ∆=->⇒>或0a <．故选：AD.【变式演练9】已知函数3()23f x x x =-.若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则t 的取值范围为()A ．(3)-∞-，B ．()3,1--C ．(1,)-+∞D ．()0,1【答案】B 【解析】【分析】设函数()323f x x x =-上任意一点()()00,x f x ，得到切线方程为()()()3200002363y x x x x x --=--.再根据图像过点()1,t ，所以3200463t x x =-+-，令()32463g x x x =-+-，等价于函数g(x)有三个零点，分析即得解.【详解】设函数()323f x x x =-上任意一点()()00,x f x ，在点()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()()()3200002363y x x x x x --=--.若过点()1,t ，则()()()()323200000023631463*t x x x x x x =-+--=-+-依题意，方程()*有三个不等实根.令()32463g x x x =-+-，()()212121210g x x x x x =-+=--='，得10x =，21x =.当()(),0,1,x ∈-∞+∞时，()0g x '<，函数()g x 在()(),0,1,-∞+∞上单调递减；当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在()0,1上单调递增.因此()g x 的极小值为()03g =-，极大值为()11g =-.若()t g x =有三个不等实根，故31t -<<-.故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.类型三共切线问题例3．若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则b =_________.【答案】ln 2b =【解析】第一步：设y kx b =+与ln 1y x =+和ln(2)y x =+的切点分别为1122x kx b x kx b ++（，）、（，）；第二步：由导数的几何意义可得12112k x x ==+，得122x x =+，第三步：由切点也在各自的曲线上，可得1122()12kx b lnx kx b ln x ++++⎧⎨⎩＝＝，联立上述式子解得ln 2b =.【变式演练10】已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是（）A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得b 与a 的关系式，再根据二次函数性质可求出b 的取值范围．【详解】()e x f x '=，()1g x x b'=+，设斜率为1的切线在1C ，2C 上的切点横坐标分别为1x ，2x ，由题知1211xe x b==+，∴10x =，21x b =-，两点处的切线方程分别为()1y a x -+=和()21y a x b -=--，故211a a b +=-+，即221992244b a a a ⎛⎫=+-- ⎪+⎝=≤-⎭.故选：D .【变式演练11】已知函数2()f x x m =+，()2ln g x n x =，若曲线()y f x =与()y g x =在1x =处有相同的切线，则函数()()()F x f x g x =-的最小值为________.【答案】0【解析】【分析】首先对函数2()f x x m =+和()2ln g x n x =求导，代入1x =，求得切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，利用两直线重合得到方程组，求得11n m =⎧⎨=-⎩，利用导数研究()()()F x f x g x =-的单调性，确定出最小值，得到结果.【详解】因为2()f x x m =+，()2ln g x n x =，有'()2f x x =，2'()n g x x=，所以'(1)2,'(1)2f g n ==，且(1)1,(1)0f m g =+=，所以()y f x =在1x =处的切线方程为12(1)y m x --=-，即210x y m -+-=，()y g x =在1x =处的切线方程为02(1)y n x -=-，即220nx y n --=，因为两条切线相同，所以有2212n m n =⎧⎨-=-⎩，解得11n m =⎧⎨=-⎩，所以2()()()12ln F x f x g x x x =-=--，(0)x >，222(1)2(1)(1)'()22x x x F x x x x -+-=-==，(0)x >，所以当01x <<时，'()0F x <，当1x >时，'()0F x >，所以()F x 在(0,1)上单调递减，在()1,+∞时单调递增，所以()F x 在1x =处取得最小值，且(1)1100F =--=，故答案为：0.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有曲线在某个点处的切线方程的求解，利用导数研究函数的最值，属于中档题目.。
导数的几何意义和物理意义
导数的几何意义和物理意义导数是微积分中一项重要的概念。
它可以描述函数在某一点上的变化率，以及函数在该点上的切线斜率。
导数不仅在数学领域中有着广泛的应用，同时也在几何学和物理学中具有重要的意义。
本文将探讨导数的几何意义和物理意义，并解释它们在现实世界中的具体应用。
一、导数的几何意义在几何学中，导数可以解释为函数图像在某一点的切线斜率。
当我们研究函数图像的形状和特征时，导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化趋势和曲线的曲率。
1. 切线斜率：对于函数f(x)，它在某一点x=a处的导数f'(a)代表了函数图像在该点上的切线斜率。
切线斜率可以告诉我们函数在该点上是递增还是递减，并且可以用来寻找曲线上的最高点或最低点。
通过计算导数，我们可以获得函数在某一点上的局部变化率信息。
2. 切线和曲率：导数还可以描述函数在某一点上的曲线特征，如弯曲和曲率半径。
具体而言，导数的正负性可以告诉我们函数图像在该点上是凸还是凹，以及变化的速度和方向。
这有助于我们更好地理解函数的形状和变化趋势。
二、导数的物理意义导数在物理学中也有着广泛的应用。
它可以描述物理量之间的关系及其变化率，从而帮助我们理解和解释各种物理现象。
1. 速度和加速度：导数可以解释物体在运动过程中的速度和加速度。
对于物体的位移函数，它的导函数就是速度函数，而速度函数的导函数则是加速度函数。
通过计算导数，我们可以获得物体运动的速度和加速度的具体数值。
这在运动学中有着广泛的应用。
2. 斜率和变化率：导数还可以解释函数关系中的斜率和变化率。
在物理学中，我们经常遇到各种变化率的概念，如功率、流量和速率等。
通过计算导数，我们可以获得这些物理量的具体数值，并了解它们的变化规律。
3. 最优化问题：导数在物理学中还可以用来解决最优化问题。
例如，在力学中，我们希望找到一条曲线，使得物体的作用量或路径在满足一定条件下达到最小值或最大值。
通过计算导数，我们可以找到该曲线上的极值点，从而解决这类问题。
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
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导数的几何意义与应用
在微积分中，导数是一个重要的概念，它不仅有着深刻的几何意义，还在各个科学领域中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解函数的
变化率，进而揭示函数的本质特征，为实际问题的求解提供强有力的
工具。
本文将从导数的几何意义和应用两个方面进行论述。
一、导数的几何意义
导数的几何意义表现在函数图像的切线和曲线斜率的计算上。
对于
函数f(x)来说，它在x点的导数f'(x)代表了函数图像在x点处的切线斜率。
具体来说，可以通过将切线近似看作曲线在这一点的局部性质，
通过求出曲线上两点间的斜率的极限来表示切线的斜率，即导数。
这
样一来，导数的几何意义就被转化为切线的斜率。
导数的几何意义和切线紧密相关。
对于函数图像上每一个点，都存
在唯一的切线与之对应。
切线具有两个重要的性质，一是切线与函数
图像相切于给定点，二是切线与函数图像在给定点处具有相同的斜率。
因此，通过计算导数，我们可以得到函数图像上任意一点的切线斜率。
二、导数的应用
导数的应用十分广泛，在自然科学、工程技术、社会经济等领域都
有着重要的作用。
以下将介绍导数在几个典型应用中的具体运用。
1. 最优化问题：导数可以帮助我们求解最优问题，如最大最小值问题。
通过求取函数的导数，并令其等于零，我们可以找到函数取得最
大或最小值的点。
这在经济学中的成本最小化、收益最大化问题中有
重要的应用。
2. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，导数被广泛应用于描述
物体的运动状态。
速度是位移对时间的导数，而加速度是速度对时间
的导数。
通过求导，我们可以计算出物体的速度和加速度，进而揭示
物体运动的规律。
3. 金融学中的利率和风险：在金融学中，导数被用来描述利率和风险。
例如，在借贷中，利率的变化可以通过利率的导数来表示。
而金
融衍生品的风险可以通过导数来衡量，从而帮助投资者做出明智的决策。
4. 统计学中的回归分析：回归分析是统计学中常见的分析方法，它
基于导数和线性关系的原理。
通过对数据进行回归分析，我们可以建
立数据之间的数学模型，并通过导数计算模型参数的变化率，从而了
解变量之间的关系。
5. 工程技术中的控制系统：控制系统在工程技术中有广泛的应用，
导数在控制系统的建模和优化中发挥了重要作用。
例如，导数可以用
来分析电路中的电流和电压的关系，进而控制电路的性能。
综上所述，导数不仅具有几何意义，可以描述函数图像的斜率，而
且在各个科学领域中都有着广泛的应用。
通过导数的计算和运用，我
们可以揭示函数的本质特征，解决实际问题，并推动科学技术的发展。
因此，深入理解导数的几何意义和应用是学习和应用微积分的重要一步。