导数的几何意义
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
导数概念的物理意义
导数概念的物理意义
1、物理意义：如果物体按s=s(t)的规律运动，那么物体在时刻t的瞬时速度v(t)=s'(t),加速度a(t)=v'(t)。
其实简单来说导数的物理意义是指一条曲线在某一个具体的点的位置上，它的切线的斜率。
2、几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率，即k=f'(x0)。
切线方程为:y-y0=f'(x0)(x-x0)
而导数的几何意义则是指对于一个可导函数来说，利用割线去无限接近它的切线时，割线斜率的极限就是这个函数切线的斜率。
其实对于导数知识，本质上来说就是通过运用一种极限的概念对一个函数的局部进行线性逼近，当然也不是所有函数都可以。
导数的定义和几何意义
导数的定义和几何意义一、定义的理解1．xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。
注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
②在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。
③xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ∆，)(00x x f ∆+）的割线斜率。
④导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。
2. 函数)(x f 在0x x =处的导数)('0x f 的几何意义：曲线)(:x f y C =在其上点0(x P ，)0y 处的切线的斜率。
注：①用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。
②注意区分“求曲线)(x f y =上过点M 的切线”与“求曲线)(x f y =上在点M 处的切线”；前者只要求切线过M 点，M 点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M 点。
3. （1） 几种常见的函数导数：①、c '= （c 为常数）； ②、n (x )'= （R n ∈）；③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= .（2） 求导数的四则运算法则：()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u'-'=' 4. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ϕϕ'∙'=' 或 '∙'='x u x u y y二、典例选讲：（1）定义的应用1、若2)(0/=x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/22、设函数)(x f 在任何处可求导且0000(2)()lim2,()x f x x f x f x x ∆→+∆-'==∆则 ( ) A ．0 B ．21 C ． 1 D ．2 3、设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比qq C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，qC ∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）。
课件3：5.1.2 导数的概念及其几何意义
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0， lim fx0＋Δx－fx0
即 k0＝__Δ_x_→_0______Δ_x________＝f′(x0)．
知识点二 导函数的概念
1．定义：当 x 变化时，y＝ f′(x) 就是 x 的函数，我们
[规律方法] 求切点坐标可以按以下步骤进行 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[跟踪训练] 直线 l：y＝x＋a(a≠0)和曲线 C：y＝x3－x2＋1 相切，则 a 的值为___________，切点坐标为____________． 解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0x＋Δx3－x＋ΔxΔ2x＋1－x3－x2＋1＝3x2－2x， 则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13， 当 x0＝1 时，y0＝x30－x02＋1＝1， 又(x0，y0)在直线 y＝x＋a 上，
答案：B
4．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝12x＋2， 则 f(1)＋f′(1)＝________. 解析：由导数的几何意义得 f′(1)＝12，由点 M 在切线上得 f(1)＝12×1＋2＝52，所以 f(1)＋f′(1)＝3. 答案：3
5．曲线 y＝x2－3x 的一条切线的斜率为 1，则切点坐标为________． 解析：设切点坐标为(x0，y0)， y′＝Δlxi→m0x0＋Δx2－3xΔ0＋x Δx－x20＋3x0 ＝Δlxi→m02x0Δx－3ΔΔxx＋Δx2＝2x0－3＝1，故 x0＝2， y0＝x20－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
导数产生的实际意义是什么
导数产生的实际意义是什么1、导数的实质：导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
2、几何意义：函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f （x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
3、作用：导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。
导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。
扩展资料：一、导数的计算计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
二、导数与函数的性质1、单调性（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。
需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。
2、凹凸性可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。
如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。
如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。
曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。
一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。
对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。
那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。
通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。
切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。
我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。
三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。
2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。
求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。
3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。
通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。
导函数概念及其几何意义
导函数概念及其几何意义导函数是微积分中的一个重要概念，它是函数微分的一种推广形式。
通过导函数，我们可以描述函数在其中一点上的变化率，并了解函数曲线的几何特性。
导函数的定义：设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，若存在极限lim (h→0) [f(x+h)-f(x)]/h = F(x)则称F(x)为函数f(x)在点x处的导数，记为f'(x)或dy/dx。
导函数的几何意义：导函数描述了函数在其中一点上的变化率，因此可以给出函数曲线在该点的切线斜率。
函数曲线的切线方程：设函数y=f(x)在点(x0,y0)处可导，则函数曲线在该点的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0)通过导函数，我们可以得到一些关于函数曲线的几何特性。
1.切线斜率：导函数f'(x)表示函数在其中一点上的变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。
对于单调递增的函数，导函数是正的；对于单调递减的函数，导函数是负的；对于恒定函数，导函数为零。
2.极值点：若f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=0，则该点称为函数f(x)的极值点。
当导函数在极值点的左侧为正，右侧为负时，表示函数曲线在该点上有一个局部最大值；当导函数在极值点的左侧为负，右侧为正时，表示函数曲线在该点上有一个局部最小值。
3.凹凸性：导函数的变化率也可以描述函数曲线的凹凸性。
若导函数f'(x)在其中一区间上是递增的，表示函数曲线在该区间上是凹的；若导函数f'(x)在其中一区间上是递减的，表示函数曲线在该区间上是凸的。
当导函数在其中一点上是零，表示函数曲线在该点处发生凹凸转折。
总结起来，导函数是描述函数在其中一点上的变化率的工具，通过导函数的正负、零点、递增递减等特性，可以帮助我们分析函数曲线的切线斜率、极值点、凹凸性等几何性质。
掌握导函数的概念及其几何意义，对于理解和应用微积分中的各种概念和定理具有重要意义，也是进一步研究更高级微积分和数学分析的基础。
数学知识点：导数的概念及其几何意义
数学知识点：导数的概念及其几何意义一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
导函数：如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=切线及导数的几何意义：（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P 处的切线。
（2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。
瞬时速度特别提醒：①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：①当时,高考化学，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:导函数的特点：①导数的定义可变形为：②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0=f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）>0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）。
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导数的几何意义
导数是微积分中的一个重要概念，它表示了函数的变化率。
导数的几何意义可以从两个方面来理解：一是导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率，二是导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
首先，我们来看导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率。
对于一条曲线上的任意一点P(x,y)，求该点处的导数，即可得到曲线在该点的切线斜率。
具体来说，如果一个函数f(x)在特定点x0处可导，那么它在该点的导数f'(x0)就是该点处曲线的切线斜率。
换言之，导数给出了函数在任意一点的变化速率。
对于单调递增的函数而言，导数始终为正；而对于单调递减的函数而言，导数始终为负。
当导数为零时，函数在该点处可能存在极值。
其次，导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
这可以通过导数定义中的极限来理解。
如果在其中一点x0处，函数f(x)的导数存在，那么可以用一个线性函数y=kx+b来近似描述原函数在该点的附近情况。
其中k为导数f'(x0)，b为函数曲线在该点处的切线与y轴的交点（截距）。
这个线性函数就称为原函数在x0附近的局部线性逼近。
这种线性逼近的好处是使得函数在其中一点的局部性质更加直观可见。
通过这两个几何意义的理解，我们可以得出导数在几何上的重要性。
首先，导数可以帮助我们了解函数在特定点的斜率，从而判断函数局部的增减变化规律，甚至找到函数的极值点，这对于解决很多实际问题具有重要意义。
其次，导数能够提供函数在其中一点附近的线性逼近，使得我们能够直观地了解函数的局部情况，进而推断函数在整个定义域上的特性。
这对于研究函数的全局性质也是至关重要的。
除了以上的几何意义，导数还有一些重要的应用。
例如，在物理学中，速度的导数就是加速度，加速度的导数就是速度的变化率。
在经济学中，
导数可以表示商品的边际效用，即单位商品消费增加所带来的满足感的变化。
在工程学中，导数可以用来优化控制系统设计，通过最小化出错率来
提高系统的性能。
综上所述，导数的几何意义是多方面的。
它既可以表示函数曲线在其
中一点的切线斜率，又可以表示曲线在该点的局部线性逼近。
导数的几何
意义对于理解函数的变化特性、发现函数的极值点以及推断函数的整体特
性等方面都有着重要的作用。
导数的应用也广泛涉及到物理学、经济学、
工程学等多个学科领域。
因此，导数是微积分中一个基本且强大的工具，
对于研究和应用数学都具有重要的意义。