第06讲 函数的概念与运算-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习(解析版)
第 6 讲：函数的概念与运算
一、课程标准
1.通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
2.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
二、基础知识回顾
1．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的三种表示法
解析法图象法列表法
就是把变量x，y之间的关系
用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘制
成图象，图象上每个点的坐标
就是相应的变量x，y的值.
就是将变量x，y的取值列成
表格，由表格直接反映出两者
的关系.
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
三、自主热身、归纳总结
1、集合A ＝{x|1≤x≤2}，B ＝{x|1≤x≤4}，有以下4个对应法则： A . f ：x→y ＝x 2 B . f ：x→y ＝3x －5 C . f ：x→y ＝x ＋4 D . f ：x→y ＝4－x 2 其中能构成从A 到B 的函数的是( ) 【答案】A
【解析】 按函数的定义判断，A 中的对应能构成从A 到B 的函数；B 中若x ＝1，则y ＝－2?B ；C 中若x ＝2，则y ＝6?B ；D 中若x ＝2，则y ＝0?B ，即B 、C 、D 中的对应不能构成从A 到B 的函数．故选A .
2、下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4
x ＋2，g (x )＝x －2 C ．f (x )＝sin 2x
2cos x ，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 【答案】D
【解析】A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D. 3、已知2(21)4f x x -=，则下列结论正确的是( ) A ．f （3）9= B ．(3)4f -= C ．2()f x x = D ．2()(1)f x x =+
【答案】BD ．
【解析】2(21)(21)2(21)1f x x x -=-+-+，故2()21f x x x =++，故选项C 错误，选项D 正确；
f （3）16=，(3)4f -=，故选项A 错误，选项B 正确．
4、已知函数f (x )＝?????x ＋1x －2，x ＞2，
x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )
A ．－1
2
B ．2
C ．4
D ．11
【答案】C
【解析】因为f (1)＝12
＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋1
3－2＝4.故选C.
5、已知f (x )＝?????
????13x ，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ????f ????19＝________. 【答案】9
【解析】∵f ????
19＝log 319＝－2，
∴f ????f ????19＝f (－2)＝????13－2
＝9.
6、(2019南京三模）若函数f (x )＝???2x ， x ≤0
f (x －2)，x ＞0，则f (lo
g 23)＝ ▲ ．
【答案】．34
【解析】因为1＜2log 3＜2，所以f (log 23)＝f (log 23－2)＝22log 3log 32
223
2
24
-==.
7、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，则f(1)＝____． 【答案】9
【解析】 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则3f(x ＋1)－2f(x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立． ∴a 2,517,b a =??
+=?，解得2,
7,
a b =??=?∴f(x)＝2x ＋7，从而得f(1)＝9.
7、函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．
【答案】[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5] 【解析】观察图像结合函数的概念。
四、例题选讲 考点一、函数的概念
例1 (1)已知A ＝{1，2，3，k}，B ＝{4，7，a4，a2＋3a}，a ∈N*，k ∈N*，x ∈A ，y ∈B ，f ：x→y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k 的值； (2)下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有( ) A ．()f x x =与2()g x x =B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =- C ．()f x x =与2()log 2x
g x =
D ．21
()1
x f x x -=+与()1g x x =-
【答案】BC ．
【解答】(1)(定义法)由对应法则1→4，2→7，3→10，又k→3k ＋1，故a2＋3a ＝10(a4＝10舍去)，解得a ＝2或a ＝－5(舍去)，故3k ＋1＝a4＝16，解得k ＝5.∴a ＝2，k ＝5.【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．
（2）对于A ，函数()f x x =与2()||g x x x =的解析式不同，表示相同函数；
对于B ，函数()|1|f t t =-的定义域为R ，()|1|g x x =-的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于C ，函数()f x x =的定义域为R ，2()log 2g x =x x =的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于D ，函数21
()11
x f x x x -=
=-+的定义域为(-∞，1)(1--?，)+∞，()1g x x =-的定义域
为R ，定义域不同，不是相同函数． 故选：BC ．
变式1、下列各组函数中，表示同一函数的是________. ①f (x )＝|x |，g (x )＝x 2； ②f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2； ③f (x )＝x 2－1
x －1，g (x )＝x ＋1； ④f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1. 【答案】 ①
【解答】 (1)由一个变量x 仅有一个f (x )与之对应，得②不是函数图象.故①③④正确. (2)①中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x ). ②中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同.
③中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同.
④中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)， g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}. ∴两函数的定义域不同.故只有①符合.
变式2、已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．(填序号)
①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝2
3x ；④f ：x →y ＝x . 【答案】：③
【解答】：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83?Q ，所以③不是函数．
方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定义域A 到值域B 的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然； (2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数． 考点二、函数的解析式
例2、(1)已知f ????
2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；
(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式； (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式． 【解答】 (1)(换元法)令2x ＋1＝t ，得x ＝2
t －1， 代入得f (t )＝lg 2
t －1，又x >0，所以t >1， 故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2
x －1， x ∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，
得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，
所以?
????2a ＋b ＝b ＋1，
a ＋
b ＝1， 解得a ＝b ＝1
2.
所以f (x )＝12x 2
＋12x ，x ∈R .
(3)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x ，①
得f (x )＋2f (－x )＝2－
x ，②
①×2－②，
得3f (x )＝2x ＋1－2－
x .
即f (x )＝2x ＋1－2－x
3
. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x
3
，x ∈R . 变式1、已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝12x 2
＋1
2x ，
【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，
得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，
所以????
?
2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，
解得a ＝b ＝1
2.
所以f (x )＝12x 2
＋12x ，x ∈R.
变式2、若函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）＝3x ﹣1，则f （x ）等于（ ） A ．x +1 B ．x ﹣1
C ．2x +1
D ．3x +3
【答案】A ．
【解析】函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）＝3x ﹣1， 令x ＝﹣x ，则：f （﹣x ）﹣2f （x ）＝3（﹣x ）﹣1． 则：
， 解方程组得：f （x ）＝x +1． 故选：A ．
变式3、如图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A
点(终点)移动，设点P 移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f(x)．
(1)求△ABP 的面积与点P 移动的路程间的函数关系式； (2)作出函数的图像，并根据图像求y 的最大值．
【解析】 (1)考虑到点P 在正方形ABCD 四边上移动时△ABP 的面积y 与路程x 的解析式不同，应分段进行考虑，首先，这个函数的定义域为(0，12]．
当0＜x≤4时，S ＝f(x)＝1
2·4·x ＝2x ； 当4＜x≤8时，S ＝f(x)＝8；
当8＜x ＜12时，S ＝f(x)＝1
2·4·(12－x)＝2(12－x)＝24－2x.
∴这个函数的解析式为f(x)＝2x,(0,4]8,(4,8]
242,(8,12]x x x x ∈??
∈??-∈?
(2)作出其图像如图所示，由图像可知，f(x)max ＝8.∴y 的最大值为8.
方法总结：函数解析式的常见求法 函数解析式的求法主要有以下几种：
(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，其中a ，b ，c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a ，b ，c 即可．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如
f ????
1x (或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
考点三 分段函数
例3、（1）已知函数f (x )＝?????x ＋2x
－3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最
小值是________.
（2）、已知()()()()3,94,9x x f x f f x x -≥??=?+
?????则f (7） =______.
（3）(2019苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝?
????log 2（3－x ），
x≤0，
2x －1，x>0，若f(a －1)＝1
2，则实数
a ＝________．
（4）、(2018南京、盐城、连云港、徐州二模）已知函数f (x )＝?????
12x ＋1， x ≤0，
－(x －1)2， x >0，则不等
式f (x )≥－1的解集是________．
【答案】（1）0 22－3；（2）6（3） log 23（4） [－4,2] 【解析】（1）∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f (f (－3))＝f (1)＝0，
当x ≥1时，f (x )＝x ＋2
x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝
22－3<0；
当x <1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.
（2）∵7＜9，
∴f (7)＝f (f (7＋4))＝f (f (11))＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8＜9，
∴f (8)＝f (f (12))＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6.
（3）当a －1≤0，即a≤1时，f(a －1)＝log 2(4－a)＝1
2， 解得a ＝4－2(舍)；当a －1>0，即a>1时，f(a －1)＝2a －1
－1＝12，
解得a ＝log 23.
（4）当x ≤0时，不等式f (x )≥－1可以化为1
2x ＋1≥－1，
解之得x ≥－4，此时－4≤x ≤0；当x >0时，不等式f (x )≥－1可以化为－(x －1)2≥－1， 解之得0 综上所述，不等式f (x )≥－1的解集为[－4,2]． 变式1、设函数f (x )＝? ??（x ＋1）2 ，x ＜1， 4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为 ________________． 【答案】(－∞，－2]∪[0，10] 【解析】因为f (x )是分段函数，所以f (x )≥1应分段求解．当x ＜1时，f (x )≥1?(x ＋1)2≥1?x ≤－2或x ≥0，所以x ≤－2或0≤x ＜1.当x ≥1时，f (x )≥1?4－x －1≥1，即x －1≤3，所以1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10，即x ∈(－∞，－2]∪[0，10]． 变式2、已知f （x ）则不等式x +（x +2）?f （x +2）≤5的解集是（ ） A ．[﹣2，1] B ．（﹣∞，﹣2] C ． D ． 【答案】D ． 【解析】①当x +2≥0时，即x ≥﹣2，f （x +2）＝1 由x +（x +2）?f （x +2）≤5可得x +x +2≤5 ∴x 即﹣2≤x 当x +2＜0即x ＜﹣2时，f （x +2）＝﹣1 由x +（x +2）?f （x +2）≤5可得x ﹣（x +2）≤5 即﹣2≤5 ∴x ＜﹣2 综上，不等式的解集为{x |x } 故选：D ． 变式3、(1)(2018苏州暑假测试） 已知实数m ≠0，函数f (x )＝????? 3x －m ， x ≤2， －x －2m ， x >2， 若f (2－m )＝f (2＋m )，则m 的值为________． (2)设函数f(x)＝x 3x 1,12,1x x -???＜，≥， 则满足f(f(a))＝2f(a)的a 的取值范围是 ； 【答案】（1）m ＝－83.（2）a≥2 3. 【解析】 (1)11. 8或－8 3 当m >0时，2－m <2,2＋m >2，所以3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ，所以m ＝8；当m <0时，2－m >2,2＋m <2，所以3(2＋m )－m ＝－(2－m )－2m ，所以m ＝－8 3. (2)由f(f(a))＝2f(a) ，得f(a)≥1.当a<1时，有3a －1≥1，∴a≥23，∴2 3≤a<1；当a≥1时，有2a ≥1， ∴a≥0，∴a≥1.综上，a 的取值范围是a≥2 3. 方法总结：(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 五、优化提升与真题演练 1、设A ＝{x|0≤x≤2}，B ＝{y|1≤y≤2}，图中表示A 到B 的函数的是__ _． A B C D 【答案】D 【解析】 可根据函数的定义直接求解．首先C 图中，A 中同一个元素x(除x ＝2)与B 中两个元素对应，它不是函数；其次，A 、B 两图中，A 点纵坐标的值所对应的集合均为{y|0≤y≤2}，而{y|0≤y≤2}B ＝{y|1≤y≤2}，故它们均不能构成函数．从而应填D. 2、已知函数f (x )＝????? x ，x >0，2x ，x ≤0， 若f (a )>12，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 ?? ??－1，33 【解析】当a ≤0时，令2a >1 2，解得－1 13 log 当a >0时，令 a >1