2021届四川省德阳市高三一诊考试数学(理)试题Word版含解析
2021届四川省德阳市高三一诊考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1M =--，(){}20N x R x x =∈-≤，则M N =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}2,1,0,1--D ．{}2,1,0--【答案】B【解析】先确定集合N 中的元素，再由交集定义求解． 【详解】由题意{|02}N x x =≤≤，∴{0,1}M N ⋂=． 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题基础． 2．已知i 为虚数单位，a 、b R ∈，z a i =+，zi z b =+，则a b =（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2【答案】C 【解析】等式zi z b=+去分母化简后根据复数的相等求出,a b ，再计算a b ． 【详解】 ∵zi z b=+，∴()z i z b =+，即()1()a i i a i b a b i +=++=-++， ∴11a a b =-⎧⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴1122ab -==． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的运算与复数相等，解题关键是利用复数相等的定义求出实数,a b ．3．已知向量3,12a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与向量()2,2b x x =共线，则实数x 的值为（ ）A ．3-B ．3-或0C ．3D ．3或0【答案】B【解析】利用向量共线的坐标运算可求得x 值． 【详解】由题意23()202x x x +⋅-=，解得0x =或3-． 故选：C ． 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，即1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=． 4．执行如图所示的程序框图，若输入的6a =，1b =，则输出S 的结果是（ ）A ．24B ．28C ．34D ．40【答案】D【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化情况，判断循环条件，得出结论． 【详解】模拟程序运行，6,1a b ==，0S =，6S =，判断?a b ≤否；5,2a b ==，16S =，判断?a b ≤否；4,3a b ==，28S =，判断?a b ≤否；3,4a b ==，40S =，判断?a b ≤是；输出40S =． 故选：D ． 【点睛】本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，判断循环条件，确定输出结论． 5．已知()()511x ax ++的展开式中5x 的系数是4-，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．45D ．45-【答案】A【解析】求出5(1)x +展开式中5x 和4x 的系数，由多项式乘法法则可得结论． 【详解】由题意01554C C a +⨯=-，1a =-．故选：A ． 【点睛】本题考查二项式定理，考查求二项展开式的系数，注意多项式乘法法则的应用．6．为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力。
某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工人装配第n 件工件所用的时间（单位：分钟）()f n 大致服从的关系为()n M f n n M <=≥（k 、M 为常数）．已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M 件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是（ ） A ．40分钟 B ．35分钟C ．30分钟D ．25分钟【答案】C【解析】从函数式可看出，该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M 件工件用时12分钟，说明9M <，这样由(9)f 可求得k ，而49<，因此(4)f 与(9)f 的表达式一样，由此可得(4)f ． 【详解】由已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M 件工件用时12分钟，及函数()f n的解析式知(9)20f ==，∴60k =，又49<，∴(4)30f ==．故选：C ． 【点睛】本题考查分段函数的应用．在已知函数模型的情况下，解题关键是求出函数式中的参数．为此可根据函数式提供的性质确定已知条件应该选用的表达式，求出相应参数，本题有(9)f 求出k ，实际上还可以再根据()12f M =求出M ，再由412<确定(4)f 所用表达式．7．已知抛物线()220y px p =>的准线过椭圆22213x y p p+=的左焦点1F ，且与椭圆交于P 、Q 两点，则2PQF （2F 是椭圆的右焦点）的周长为（ ）A ．B ．24C ．D ．16【答案】D【解析】由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出p ，得椭圆的长轴长，而2PQF ∆的周长等于两倍的长轴长． 【详解】由题意抛物线准线为2px =-，c =2p=，解得4p =． ∴2216a p ==，4a =，∴2PQF ∆的周长为416a =． 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线的准线方程，考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，解题关键是求出p 值． 8．在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，112PA PB ==，Q 是棱BC 上一个动点，若直线AQ 与平面PBC ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．6π B ．7πC ．8πD ．9π【答案】A【解析】由已知得PA ⊥平面PBC ，因此当PQ BC ⊥时，直线AQ 与平面PBC 所成角最大，此时可求得PQ ，从而求得PC ，又以,,PA PB PC 为棱的长方体的对角线就是三棱锥P ABC -外接球直径，从而可求得其表面积． 【详解】∵PA 与PB 、PC 垂直，∴PA ⊥平面PBC ，∴PQ 是AQ 在平面PBC 内的射影，AQP ∠就是直线PA 与平面PBC 所成的角， 由PA ⊥平面PBC 得PA PQ ⊥，tan PAAQP PQ∠=，要使tan AQP ∠最大，则PQ 最小， 显然当PQ BC ⊥时，PQ 最小，此时5tan 2AQP ∠=， 又1PA =，∴5PQ =，而2PB =，∴5BQ =， 由PB PC ⊥，得25PB BC BQ==，从而1PC =，如图，以,,PA PB PC 为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，外接球直径等2222221216PA PB PC ++++= ∴球表面积为22644(6S R πππ==⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径．由于,,PA PB PC 两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，长方体的对角线就是球的直径．由此可得解． 9．函数()6cos 0y x x π=<<与3y x =的图象相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则MON △的面积为（ ） A ．2π B ．322πC 3πD ．32π 【答案】D【解析】解方程6cos x x =求出.M N 坐标，再计算MON ∆面积． 【详解】由6cos x x =得2sin x x =，即2sin )sin x x -=，2sin 0x x +-=，2)(2sin 0x x +=，∴sin 2x =， ∵(0,)x π∈，∴3x π=或23π，∴(,3)3M π，2(,3)3N π-． 由对称性知MN 与x 轴交点为(,0)2N π， ∴13[3(3)]222MON S ππ∆=⨯⨯--=． 故选：D ． 【点睛】本题考查求三角形面积，求两函数图象交点坐标，实质是考查解三角方程，考查同角间的三角函数关系，考查特殊角的三角函数．解三角形方程要注意角的范围．10．已知H 为ABC 的垂心，4AB =，6AC =，M 为边BC 的中点，则HM BC ⋅=（ ） A ．20 B ．10C ．20-D ．10-【答案】B【解析】利用平面向量的线性运算，1()2AM AB AC =+，HM AM AH =-，而0AH BC ⋅=，代入计算即可． 【详解】 由题意1()2AM AB AC =+，HM AM AH =-，0AH BC ⋅=， ()HM BC AM AH BC AM BC AH BC ⋅=-⋅=⋅-⋅1()()2AC AB AC AB =+⋅- 222211()(64)1022AC AB =-=-=． 故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是利用向量加减法法则得到HM AM AH =-，由0AH BC ⋅=，这样HM BC ⋅＝AM BC ⋅，这两个向量都可以用,AB AC 表示，这就与已知条件建立了联系．11．已知奇函数()222,0,0x x x f x mx nx x ⎧+≥=⎨+<⎩满足()()()0,,,f a b f a b mn a b m n R -+--≤∈，则代数式()221a b -+的取值范围为（ ）A ．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)4,+∞D ．[)2,+∞【答案】D【解析】由奇函数定义求出,m n ，确定函数()f x 的单调性，化简不等式()()0f a b f a b mn -+--≤得,a b 满足的关系，再由代数式22(1)a b -+的几何意义求得取值范围． 【详解】∵()f x 是奇函数，∴当0x <时，0x ->，22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=--+⨯-=-+， ∴222mx nx x x +=-+，∴1,2m n =-=，即222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩．()f x 在R 上是增函数．则不等式()()0f a b f a b mn -+--≤可化为()()f a b f mn a b -<-+， ∴a b mn a b -<-+，22a b mn -<2=-，10a b -+<． 满足条件的点(,)a b 在直线10x y -+=的左上方，而22(1)a b -+表示点(,)P a b 到点(1,0)Q 间距离的平方，min PQ ==∴22PQ ≥． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查二元一次不等式表示的平面区域，考查两点间的距离与点到直线的距离公式．函数的单调性与奇偶性属于基础应用，代数式是平方和形式时，用其几何意义：两点间距离的平方求解更加方便．12．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（ ）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m 的取值范围是3⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先把函数化为一个角的一个三角函数形式，利用()f x 在0x 处取最大值，可求出ϕ的表达式（用0x 表示），①由0x 的范围求出sin ϕ的范围，从而中得m 的范围，②可举反例；③利用周期函数的性质判断，即()g x 周期是1T ，()h x 周期是2T ，如果存在12,*n n N ∈，使得1122T n T n T ==，则T 是()()g x h x +的周期．④确定函数解析式后可知在所给区间上零点有无数个． 【详解】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=，[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 22ϕ≤≤，122≤≤，解得3m ≤≤正确．②如()sin(2)8f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)]sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,]44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时可先把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合三角函数性质一一判断，其中周期函数的性质是：()g x 的最小正周期是1T ，()h x 的最小正周期是2T ，如果存在12,*n n N ∈，使得1122T n T n T ==，则T 是()()g x h x +的周期．本题考查知识很多，属于难题．二、填空题13．国际青年物理学家竞赛（简称IYPT ）是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u 、v 进行测量，得到10组数据()11,u v ,()22,u v ……()1010,u v ，通过散点图发现u 、v 具有较强的线性相关关系，并且利用最小二乘法求得线性回归方程： 1.51ˆvu =+，由于数据保存失误导致101i i v =∑丢失，但10150ii u==∑被保存，通过所学知识可以求得101i i v ==∑______．【答案】85【解析】利用回归直线过中心(,)u v 可求解． 【详解】由题意50510u ==，∴ 1.5518.5v =⨯+=，∴101i i v ==∑8.51085⨯=． 故答案为：85． 【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握回归直线一定过数据中心点(,)x y ． 14．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，45234a a a a +=+，则144S S a +=______． 【答案】2【解析】利用已知条件求出公比q ，再求出144,,S S a 后可得结论． 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则2454232(1)4(1)a a a q q a a a q ++===++，又数列{}n a 是递增的，∴2q，∴44121512S -==-，111S a ==，3428a ==，14411528S S a ++==． 故答案为：2． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．15．已知()()0f x kx k =>，若正数a 、b 满足()()()()f a f b f a f b +=，且4a b f f k k ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为1，则实数k 的值为______． 【答案】9【解析】由()()()()f a f b f a f b +=求出,a b 满足的关系，然后利用基本不等式求出4()()a bf f k k+的最小值，再由最小值为1可得k ． 【详解】∵()()()()f a f b f a f b +=，()f x kx =,∴ka kb ka kb +=⋅，即11k a b+=， ∴4()()a b f f k k +111144()(4)(5)a b a b a b k a b k b a =+=++=++19(5k k≥+=，当且仅当4a bb a=时等号成立． ∴91k=，9k =． 故答案为：9． 【点睛】本题考查基本不等式求最值．解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值，然后才可用基本不等式求最值，同时还要注意等号成立的条件，等号成立的条件取不到，这个最值也取不到．16．已知当x ∈R 时，均有不等式()()20xxae ae x -+≥成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】{}21,2ee⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦【解析】可分类讨论，0a <时，20x ae -≤恒成立，只要研究0x ae x +≥即可，这可用导数研究；0a >时，可得()x f x ae x =+与()2xg x ae =-都是增函数，且都有唯一零点，因此只要使它们的零点相同即可满足题意；0a =直接验证． 【详解】0a =时，不等式为20x -≥，不恒成立；0a <时，20x ae -<，令()x f x ae x =+，'()1x f x ae =+，由'()0f x =得1ln()x a=-，当1ln()x a <-时，'()0f x >，()f x 递增，1ln()x a >-时，'()0f x <，()f x 递减，∴1ln()x a =-时，max 1()1ln()f x a =-+-，要使命题成立，则11ln()0a -+-≤，1a e≤-；0a >时，函数()2x g x ae =-是增函数，在唯一零点2ln x a=，()x f x ae x =+，'()1x f x ae =+0>，即()f x 增函数，(0)0f a =>，但当x →-∞时，()f x →-∞，所以()f x 有唯一零点0x ，要使不等式()()0f x g x ≥恒成立，只有02lnx a=， ∴22ln 0a+=，22a e =， 综上a 的取值范围是21(,]{2}e e-∞-．故答案为：21(,]{2}e e-∞-．【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题．解题关键是把不等式中两个式子2x ae -和x ae x +分别研究，减少了难度．否则把不等式左边作为一个函数研究将会非常难，甚至不可进行．三、解答题17．垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措．住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统．为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计测试的平均成绩；（2）将频率视为相应的概率，如果从参加测试的同学中随机选取4名同学，这4名同学中测试成绩在[)60,80的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）0.005a =，76.5；（2）分布列见解析，2.【解析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和为1（即所有小矩形面积之和为1）可计算出a ，每组中间点值乘以该组频率相加可得估计的平均成绩； （2）由（1）得成绩在[)60,80的频率为12，因此有1~4,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的可能取值为：0，1，2，3，4，由二项分布计算出各概率得分布列，由期望公式可计算出期望值． 【详解】（1）由题意得：()23762101a a a a a ++++⨯= 所以：0.005a =,平均成绩为：550.1650.15750.35850.3950.176.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）易知测试成绩在[)60,80的频率为12故1~4,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ξ的可能取值为：0，1，2，3，4()404110216P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()41411124P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()42413228P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()43411324P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()444114216P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ξ的分布列为()1422E ξ=⨯=． 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查二项分布，属于基础题，对学生的数据处理能力有一定的要求． 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n b n N=++∈．（1）求实数b 的值及{}n a 的通项公式； （2）若n n a =，且()()111nn n n b c b b +=--，求数列{}n c的前n 项和n T ．【答案】（1）0，2n a n =；（2）11121n n T +=--.【解析】（1）由11a S =求出1a ，由2n ≥时，1n n n a S S -=-求出n a ，利用123,,a a a 必成等差数列可求得b ，从而得n a ．（2）由（1）可求得n b ，对12(21)(21)n n n n c +=--裂项为1112121n n +---，再相加．【详解】（1）由于()2*n S n n b n N=++∈所以当1n =时，112a S b ==+ 当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=又数列{}n a 是等差数列，故2132a a a =+，即862b =++ 所以0b =．易验证此时数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，2n a n =． （2）由题意及（1）知：22nn n b ==所以()()()()1112111121212121n n nn n n n n n b c b b +++===-------从而223111111111121212121212121n n n n T ++=-+-+⋅⋅⋅+-=--------．, 【点睛】考查等差数列的通项公式，考查已知n S 与n a 的关系求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和．已知n S 与n a 的关系求数列通项公式时，要注意只有2n ≥时才有1n n n a S S -=-，不包含1a ，11a S =，它们的计算方法不一样，注意验证．19．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c ，且225sin sin 224A B B C a c b +++=． （1）求ba c+的值； （2）若ABC的面积S =1cos 3B =，求ABC 的周长． 【答案】（1）23；（2）【解析】（1）用诱导公式、降幂公式化简，再用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式化简，最后再由正弦定理化角为边得结论；（2）已知cos B 可求得sin B ，由面积公式1sin 2S ac B =可得ac ，再由余弦定理结合（1）的结论可求得b ，从而得三角形周长． 【详解】 （1）由225sinsin 224A B B C a c b +++=及A B C π++=得： 225cos cos 224C A a c b +=即1cos 1cos 5224C A ac b +++= 由正弦定理得：5sin sin cos sin cos sin sin 2A A C C A CB +++= 所以3sin sin sin 2AC B +=，即32a cb += 所以23b ac =+．（2）由1cos 3B =，0B π<<得：sin 3B =又1sin 2S ac B ==6ac = 又由余弦定理得：()()222222cos 22cos 16b a c ac B a c ac ac B a c =+-=+--=+-又由（1）得：229164b b =-，所以b =所以ABC 的周长52a b c b ++==． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系、两角和的正弦公式等，考查知识点较多，但也较基本．熟练掌握三角函数的公式是解题基础，根据条件选用恰当的公式是解题关键． 20．已知函数()33f x x x =-．（1）求()f x 在区间[]()0,0m m >上的最大值和最小值； （2）在曲线2yx 上是否存在点P ，使得过点P 可作三条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）当01m <<时，()max 0f x =，()3min 3f x m m =-；当1m ≤<()max 0f x =，()min 2f x =-；当m ≥时，()3max 3f x m m =-，()min 2f x =-；（2）存在，⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】（1）求出导数'()f x ，确定函数的单调性，然后按m 分类讨论；（2）假设存在符合条件的点()2,P a a，同时设切点为()30,3x xx -，由导数几何意义得()230020333a x x xa x --=--即322002330x ax a a -++=（），问题转化为关于0x 的方程（）存在三个不同实根．然后用导数研究函数()322233g x x ax a a =-++的零点．【详解】（1）由题意得：()()()233311f x x x x ==+'--当1x <-时，()0f x '>； 当11x -<<时，()0f x '<； 当1x >时，()0f x '>．即()f x 在(),1-∞-单调递增，在()1,1-单调递减，在()1,+∞单调递增 又()f x的零点分别为0所以当01m <<时，()()max 00f x f ==，()()3min 3f x f m m m ==-；当1m ≤<()()max 00f x f ==，()()min 12f x f ==-；当m ≥时，()()3max 3f x f m m m ==-，()()min 12f x f ==-． （2）假设存在符合条件的点()2,P a a，切点设为()30,3x xx -所以()230020333a x x xa x --=--即322002330x ax a a -++=（）故问题转化为关于0x 的方程（）存在三个不同实根．令()322233g x x ax a a =-++，则()()2666g x x ax x x a '=-=-当0a =时，()260g x x ='≥，()g x 在R 上单调递增，不合题意；当0a >时，易知()g x 在(),0-∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增从而()()000g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即2323030a a a a a ⎧+>⎨-++<⎩解得：a >当0a <时，易知()g x 在(),a -∞单调递增，在(),0a 单调递减，在()0,+∞单调递增从而()()000g a g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即3223030a a a a a ⎧-++>⎨+<⎩解得：132a -<<综上，存在符合条件的点P ，其横坐标的取值范围为⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，考查导数的几何意义，考查方程根的分布与函数零点问题． 掌握基本方法即可解决问题，但对运算求解能力有一定的要求． 21．已知函数()3ln f x kx x =的极小值为13-．（1）求实数k 的值；（2）令()f u v e=，当62v e >时，求证：11log 76v <<． 【答案】（1）e ；（2）证明见解析.【解析】（1）求出导数，研究函数的单调性，得极值，由极小值为13-求得k 值；（2）由（1）得3ln v u u =，令3()ln g u u u =，同样由（1）可得()g u 的单调性（导数利用（1）中结论），这样得到关于u 的不等式()62v g u e =>的解集应是单调递增区间13,e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的子集，而()262g e e =，从而2u e >，接着要证题中不等式，可先证36ln )7u u <<，这又可设3()ln )h u u u =，()6lnh u u =+2ln(ln )6ln u u ==+，换元ln s u =后同样由导数研究函数的单调性最值，证得不等式成立． 【详解】（1）显然0k ≠，0x >，由题意得：()()213ln f x kx x '=+令()0f x '=得：13x e -=若0k >，则当130x e -<<时，()0f x '<；当13x e ->时，()0f x '>，此时13x e -=为极小值点，合题意．由31113331ln 3f e k e e ---⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得：k e =．若0k <，显然不合题意． 所以k e =． （2）由题意得：()3ln f u v u u e==，令()3ln g u u u =由（1）易知()g u 在130,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，且()0g u <；在13,e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增故关于u 的不等式：()62v g u e =>的解集应是单调递增区间13,e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的子集又()262g ee=，从而2u e >令()()3ln 6h u u u u ===+()ln ln 2ln ln 66ln u u u=+=+．令ln s u =，则()()()2ln 62sh u m s s s==+> 所以()()221ln s m s s-'=显然当2s e <<时，()0m s '>；当s e >时，()0m s '< 从而()m s 在()2,e 单调递增，在(),e +∞单调递减 所以()()max 26m s m e e==+ 又21s >>，所以2ln 0ss >，从而()6m s > 于是()26673m s <≤+<，即()67h u <<又()11log h u ==故11log 76<<． 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值，用导数解不等式、证明不等式，解不等式实际上是由函数的单调性求解．用导数证明不等式实际上还是转化为求函数的最值、值域问题．这通过设出新的函数，通过研究新函数的性质给出证明．解题时注意适当的变形，注意换元法的应用．本题难度较大，属于困难题． 22．在极点为O 的极坐标系中，直线:cos 1l ρθ=上有一动点P ，动点M 在射线OP 上，且满足2OP OM ⋅=，记M 的轨迹为C ．（1）求C 的极坐标方程，并说明C 是何种曲线； （2）若11,6M πρ⎛⎫⎪⎝⎭，()22,0M ρ，33,6M πρ⎛⎫-⎪⎝⎭均在曲线C 上，求123M M M 的面积． 【答案】（1）()2cos 0ρθρ=>，C 是除去极点的圆；（2【解析】（1）既然是求极坐标方程，因此设(),M ρθ，(),P ρθ''，根据已知条件得出它们极坐标的关系，代入已知极坐标方程可得；（2）由曲线C 的极坐标方程，求出123,,ρρρ，根据三点的极角求出13M OM ∠，从而得123M M M ∠，及12M M ，32M M ，然后可得三角形面积．【详解】（1）设(),M ρθ，(),P ρθ''，由题意得2θθρρ''=⎧⎨=⎩所以2θθρρ'='=⎧⎪⎨⎪⎩又cos 1ρθ''=，所以()2cos 0ρθρ=>C 是除去极点的圆：()2cos 0ρθρ=>．（2）由已知1ρ=22ρ=，3ρ=因为133M OM π∠=所以12323M M M π∠=且12231M M M M == ∴12312231231sin 2M M M SM M M M M M M =⋅∠ 1211sin 23π=⨯⨯⨯4= 【点睛】本题考查求极坐标方程，考查极坐标方程的应用．注意极坐标的意义即可． 23．已知函数()11f x x =-+． （1）求证：()()13f x f x -+≥；（2）若实数a 、b 、c 满足2221a b c ++=，求证：()()()121216f a f b f c +++++≤． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用绝对值三角不等式证明； （2）用柯西不等式证明． 【详解】（1）因为()11f x x =-+所以()()()()12122123f x f x x x x x -+=-+-+≥---+=． （2）因为2221a b c ++=，所以由柯西不等式得()()()12121223f a f b f c a b c +++++=+++36≤=（当且仅当223b c a ===时取等号）． 【点睛】本题考查绝对值三角不等式和柯西不等式．掌握这两个不等式是解题关键．。
2019届四川省德阳市高三一诊考试数学(文)试题(word版)
2019届四川省德阳市高三一诊考试数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A3.将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知：A. 甲队得分的众数是3B. 甲、乙两队得分在分数段频率相等C. 甲、乙两队得分的极差相等D. 乙队得分的中位数是38.5【答案】D4.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 13【答案】A5.如图所示的程序框图输出的结果是A. 34B. 55C. 78D. 89【答案】B6.已知等差数列中，，是函数的两个零点，则的前项和等于（）A. B. C. D.【答案】C7.若函数在上是增函数，那么的最大值为A. B. C. D.【答案】B8.我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛，立两表齐、高三丈，前后相去千步，今后表与前表相直，从前表却行百二十三步，人目著地望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何？”（参考译文．．．．：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆的底部和岛的底部在同一水平直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）.则海岛高度为A. 1055步B. 1255步C. 1550步D. 2255步【答案】B9.在边长为4的菱形中，，为的中点，为平面内一点，若，则A. 16B. 14C. 12D. 8【答案】B10.已知实数、满足，若恒成立，那么的取值范围是A. B. C. D.【答案】D11.已知点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为A. 2B.C. 1D.【答案】D12.已知点是函数的图像上的一个最高点，点、是函数图像上相邻两个对称中心，且三角形的面积为1.若，使得，则函数的解析式为A. B.C. D.【答案】A第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数，，则__________．【答案】14.已知正数、的等差中项为1，则的最小值为__________．【答案】15.已知有相同焦点、的椭圆和双曲线交于点，，椭圆和双曲线的离心率分别是、，那么__________（点为坐标原点）．【答案】16.已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围为__________．【答案】三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列的各项均为正数，，公比为；等差数列中，，且的前项和为，，.（1）求与的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和.【答案】（1），，（2）【解析】试题分析：（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为，联立方程组求得，由此求得通项公式；（2）化简的表达式得到，利用裂项求和法求其前项和.试题解析：（1）设数列的公差为，∵，，∴，，，，，，（2）由题意得：，，.18.在中，角、、对应的边分别为、、，若.（1）求角；（2）若且时，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简即得C的值.(2)先根据及得到，，再利用正弦定理求出b最后利用三角形的面积公式求面积.【详解】（1）在中，由正弦定理得：即所以（不合题意舍去）或且得：.（2）由（1）知及得：得：即整理得：∵∴所以即，在中由正弦定理得：即所以.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角形的面积的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.19.某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：已知从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为.（1）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（2）从支持节能降耗的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家企业，然后从这8家企业选出2家进行奖励，分别奖励中型企业20万元，小型企业10万元.求奖励总金额为20万元的概率.附：【答案】（1）能；（2）.【解析】【分析】(1)先完成列联表，再利用独立性检验求，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关.（2）利用古典概型求奖励总金额为20万元的概率.【详解】（1）由从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为.可知：支持技术改造的企业共有320家，故列联表为所以故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关. （2）由（1）可知支持技术改造的企业中，中小企业比为.所以按分层抽样的方法抽出8家企业中2家中型企业，分别用、表示，6家小型企业，分别用1、2、3、4、5、6表示.则从中选取2家的所有可能为、、、、、、、、、、、、、12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56，共28种.其中总奖金为20万的有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56，共15种.所以奖励总金额为20万元的概率为.【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.已知函数和函数.（1）求函数的单调区间；（2）已知，且函数有三个零点、、，若成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间为，；（2）.【解析】【分析】(1)先分别求出x＞2和x≤2的单调区间，再综合得到函数的单调区间.(2)先讨论x＞2的零点情况，再讨论x≤2的零点情况. 当时，先求出，再解不等式得解.【详解】（1）显然时，单增.当时，令得：.或时，；时，.故函数的单调增区间为，；单调减区间为.（2）当时，令得：当时，令即：即：得，（舍去）所以.由得：即且，故只要解得：综上，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的零点和解不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.21.已知函数在处的切线斜率为.（1）若函数在上单调，求实数的最大值；（2）当时，若存在不等的使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先根据切线的斜率求出，再根据函数单调，得到恒成立，求出b的最大值.(2)转化为存在不等的，且使得，得函数在上单调递增.结合（1）进而得到k＞0.【详解】（1）函数在处的切线斜率为解得.所以，故因为函数在上单调故或在上恒成立.显然即在上不恒成立.所以恒成立即可.因为可知在上单减，单增故，所以实数的最大值为1.（2）当时，由（1）知函数在上单调递增不妨设，使得即为存在不等的，且使得.其否定为：任意，都有即：函数在上单调递增.由（1）知：即所以若存在不等的使得实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题和最值，考查利用导数研究不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.已知圆和圆的极坐标方程分别为和，曲线分别交圆和圆于、两点，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.（1）将圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点在圆上，求三角形面积取最大值时，点的直角坐标.【答案】（1）圆的直角坐标方程为,圆的直角坐标方程为；（2）. 【解析】【分析】(1)利用极坐标的公式得到圆和圆的直角坐标方程.(2)先求出|AB|=2,分析得到点C到直线的距离最大时，三角形面积取最大值.【详解】（1）由题得圆的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为.（2）将代入圆和圆的极坐标方程得、所以，要使三角形面积取最大值，只要圆上的点到直线的距离最大,与直线AB垂直过点（0,2）的直线方程为，解得点的直角坐标为.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系和三角形面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.23.已知函数，.（1）解不等式；（2）若存在、，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用零点讨论法解不等式得解.(2) 由（1）可知的值域为，显然的值域为,所以，所以实数的取值范围为.【详解】（1）因为故由得：或或解得原不等式解集为：.（2）由（1）可知的值域为，显然的值域为.依题意得：所以实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查函数的值域问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。
四川省德阳市高考数学一诊试卷 理(含解析)
2016年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数y=lgx的定义域为A，B={x|0≤x≤1}，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．（0，1]2．已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i3．设a、b∈R，则a＞b是a2＞b2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件4．已知等比数列{a n}中，若a4=10，a8=，那么a6=（）A．﹣5 B．5 C．±5D．255．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A．120 B．240 C．360 D．4806．执行图中的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y 的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．28．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．169．半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕圆心O 旋转时，•的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．[﹣1，﹣1+]C．[﹣，] D．[﹣， +]10．对于任意实数a，b，定义max{a，b}=，已知在[﹣2，2]上的偶函数f（x）满足当0≤x≤2时，f（x）=max{2x﹣1，2﹣x}若方程f（x）﹣mx+1=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2] B．[﹣eln2，0）∪（0，eln2]C．[﹣2，0）∪（0，2] D．[﹣e，﹣2）∪（2，e]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在的展开式中的系数等于．12．已知甲、两组数据如茎叶图所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那么m+n= ．13．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是．14．已知点（2，5）和（8，3）是函数y=﹣k|x﹣a|+b与y=k|x﹣c|+d的图象仅有的两个交点，那么a+b+c+d的值为．15．已知函数f（x）=•，g（x）=asin（x+π）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；④若∃x1∈R，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是：≤a≤．其中所有正确结论的序号为．三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2分别是等差数列{b n}的第2项和第4项，数列{b n}的前n项和为T n，求证：1≤＜2．17．已知A、B、C、D是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A（﹣，0），B为y轴的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴方向上的投影为．（1）求函数f（x）的解析式及单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移得到函数g（x）的图象，已知g（α）=，α∈（﹣，0），求g（α+）的值．18．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取2名学生组成一个实验组，设其中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．19．已知函数f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a，b，c∈R，证明函数f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部对称点；（2）是否存在常数m，使得函数f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．20．在如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=2，设∠ACB=θ，点C到AD的距离为h．（1）当θ=15°，求h的值；（2）求AB+BC的最大值．（3）若△ABD的外接圆与△CBD的外接圆重合，求S△ABC．21．已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）在[，]有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g （x1）﹣g（x2）的取值范围．2016年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数y=lgx的定义域为A，B={x|0≤x≤1}，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．（0，1]【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出函数y=lgx的定义域确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：函数y=lgx中，x＞0，即A=（0，+∞），∵B={x|0≤x≤1}=[0，1]，∴A∩B=（0，1]．故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．设a、b∈R，则a＞b是a2＞b2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【专题】阅读型．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，可根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：若a＞b，取a=2，b=﹣3，推不出a2＞b2，若 a2＞b2，比如（﹣3）2．＞22，推不出a＞b．所以a＞b是a2＞b2的既不充分也不不要条件．故选D【点评】在本题解决中用到了不等式的基本性质，及举特例的方法．属于基础题．4．已知等比数列{a n}中，若a4=10，a8=，那么a6=（）A．﹣5 B．5 C．±5D．25【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组求出首项和公比，由此能求出a6．【解答】解：∵等比数列{a n}中，若a4=10，a8=，∴，解得或，∴a6==（﹣20）（﹣）4=﹣5，（舍）或=20×（）4=5．故选：B．【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A．120 B．240 C．360 D．480【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；排列组合．【分析】先从5个个部门任选三个，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，根据分步计数原理可得答案【解答】解：先从5个个部门任选三个，有C53=10种，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，故有C53•C42•A33=360，故答案为：360．【点评】本题考查了分步计数原理，如何分步是关键，属于基础题6．执行图中的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5时，退出循环，输出S的值为7．【解答】解：每次循环的结果分别为：n=0，S=0；n=1，S=1；n=2，S=1+1=2；n=3，S=2+1=3；n=4，S=3+2=5；n=5，S=5+2=7，这时n＞4，输出S=7．故选：D．【点评】本题考查程序框图的运算和对不超过x的最大整数[x]的理解．要得到该程序运行后输出的S的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件n＞4？调整运算的继续与结束，注意执行程序运算时的顺序，本题属于基本知识的考查．7．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y 的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．16【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△AB C中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．9．半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕圆心O 旋转时，•的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．[﹣1，﹣1+] C．[﹣，] D．[﹣， +]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，﹣1），设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（﹣cosθ，﹣sinθ），F（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+）），0≤θ＜2π，运用向量的坐标和向量的数量积的坐标表示，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求范围．【解答】解：以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，﹣1），设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（﹣cosθ，﹣sinθ），F（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+）），0≤θ＜2π，则•=（1﹣cosθ，1﹣sinθ）•（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+））=cosθcos（θ+）+sinθsin（θ+）﹣（cos（θ+）+sin（θ+））=cos﹣sin（θ+）=﹣sin（θ+），当sin（θ+）=1，即θ=时，取得最小值﹣；当sin（θ+）=﹣1，即θ=时，取得最大值+．即有•的取值范围是[﹣， +]．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的范围，考查坐标法的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．10．对于任意实数a，b，定义max{a，b}=，已知在[﹣2，2]上的偶函数f（x）满足当0≤x≤2时，f（x）=max{2x﹣1，2﹣x}若方程f（x）﹣mx+1=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2] B．[﹣eln2，0）∪（0，eln2]C．[﹣2，0）∪（0，2] D．[﹣e，﹣2）∪（2，e]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】新定义；数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据条件先求出当0≤x≤2时，函数f（x）的解析式，然后根据偶函数的性质求出函数在[﹣2，2]上解析式，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的相交问题，结合导数的几何意义求出切线斜率进行求解即可．【解答】解：当1≤x≤2时，2x﹣1＞2﹣x，此时f（x）=2x﹣1，当0≤x≤1时，2x﹣1＜2﹣x，此时f（x）=2﹣x，即f（x）=，若﹣2≤x≤﹣1，则1≤﹣x≤2，此时f（﹣x）=2﹣x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，﹣2≤x≤﹣1．若﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，此时f（﹣x）=2﹣x，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x，﹣1≤x≤0．作出函数f（x）的图象如图：由f（x）﹣mx+1=0得f（x）=mx﹣1，设g（x）=mx﹣1，则当m=0时，f（x）与g（x）没有交点，此时不满足条件．当m＞0时，当x=1，f（1）=1，当x=2时，f（2）=3，当直线经过A（1，1）时，此时m﹣1=1，则m=2，此时g（x）=2x﹣1，g（2）=3，即直线g（x）=2x﹣1经过A，C点，此时两个曲线有两个交点，满足条件，当直线y=mx﹣1与f（x）=2x﹣1相切时，设切点为（k，n），则f′（k）=2k ln2，且2k﹣1=n，则切线方程为y﹣n=2k ln2（x﹣k），即y=（2k ln2）x﹣k2k ln2+2k﹣1，即2k ln2=m，且﹣k2k ln2+2k﹣1=﹣1，即2k ln2=m，且﹣k2k ln2+2k=0，2k ln2=m，且﹣kln2+1=0，即kln2=1，解得k==log2e，则m==eln2，此时直线和f（x）只有一个交点，若时两个曲线有两个交点，则eln2＜m≤2，根据偶函数的对称性知当m＜0时，﹣2≤m＜eln2，综上m的取值范围是[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2]，故选：A【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数与方程之间的关系转化两个函数的交点问题，借助导数求出切线的斜率是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在的展开式中的系数等于﹣20 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣1得到系数．【解答】解：展开式的通项T r+1=（﹣1）r22r﹣5C5r x5﹣2r令5﹣2r=﹣1得r=3故展开式中的系数等于﹣2C53=﹣20．故答案为：﹣20．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题．12．已知甲、两组数据如茎叶图所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那么m+n= 11 ．【考点】茎叶图．【专题】计算题；图表型；方程思想；概率与统计．【分析】根据两组数据的中位数相等，可得m值，进而求出n值，可得答案．【解答】解：∵两组数据的中位数相同，∴m==3，又∵平均数也相同，∴n=8，∴m+n=11，故答案为：11．【点评】本题考查的知识点是茎叶图，中位数和平均数，方程思想，难度不大，属于基础题．13．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值．【解答】解：由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|=b2，∴5=8﹣b2，解得．故答案为．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径的长最短，是中档题．14．已知点（2，5）和（8，3）是函数y=﹣k|x﹣a|+b与y=k|x﹣c|+d的图象仅有的两个交点，那么a+b+c+d的值为18 ．【考点】函数的图象．【专题】综合题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】将两个交点代入函数y=﹣k|x﹣a|+b方程，得到方程组，将两个方程相减；据绝对值的意义及k的范围得到k，a满足的等式；同样的过程得到k，c满足的等式，两式联立求出a+c的值，再求出b+d，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=﹣k|x﹣a|+b与y=k|x﹣c|+d的图象交于两点（2，5），（8，3），∴5=﹣k|2﹣a|+b ①3=﹣k|8﹣a|+b ②5=k|2﹣c|+d ③3=k|8﹣c|+d ④①﹣②得2=﹣k|2﹣a|+k|8﹣a|⑤③﹣④得2=k|2﹣c|﹣k|8﹣c|⑥⑤=⑥得|8﹣a|+|8﹣c|=|2﹣c|+|2﹣a|即|8﹣a|﹣|2﹣a|+|8﹣c|﹣|2﹣c|=0设f（x）=|8﹣x|﹣|2﹣x|，则f（a）+f（c）=0，画出函数f（x）的图象，如图，其关于点A（5，0）成中心对称，故点a与点c关于点A（5，0）成中心对称，∴（a+c）=5，∴a+c=10，又∵函数y=﹣k|x﹣a|+b的对称轴为x=a，函数y=k|x﹣c|+d的对称轴为x=c，∴2＜a＜8，2＜c＜8②+③：8=﹣k（8﹣a）+b+k（c﹣2）+d，∴b+d=8，∴a+b+c+d=18故答案为：18．【点评】本题考查函数的图象，考查绝对值的意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15．已知函数f（x）=•，g（x）=asin（x+π）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；④若∃x1∈R，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是：≤a≤．其中所有正确结论的序号为①②④．【考点】命题的真假判断与应用；函数的值域；函数恒成立问题；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据已知，求出函数f（x）的值域可判断①；分析函数g（x）在[0，1]上的单调性，可判断②；判断方程f（x）=g（x）在区间[0，1]上解的个数，可判断③；分析出满足：∃x1∈R，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立时实数a的取值范围，可判断④．【解答】解：当x≥1时，函数f（x）=•=，f′（x）=，1≤x≤3时，f′（x）≥0，x≥3时，f′（x）≤0，故当x=3时，f（x）取极大值，故此时f（x）∈[0，]，当x≤1时，函数f（x）=•=，f′（x）=﹣1≤x≤1时，f′（x）≤0，x≤﹣1时，f′（x）≥0，故当x=﹣1时，f（x）取极大值，故此时f（x）∈[0，]，综上可得：函数f（x）的值域为[0，]；故①正确；当x∈[0，1]时， x+π∈[π，]，此时函数g（x）为增函数，故②正确；x∈[0，1]时，f（x）=，f′（x）=＜0，故f（x）为减函数，由f（0）=，f（1）=0，可得f（x）∈[0，]，而g（0）=﹣3a+2，g（1）=a+2，故g（x）∈[﹣3a+2， a+2]，当a+2≥0，即a≤时，方程f（x）=g（x）有解，当a+2＜，即a＞时，方程f（x）=g（x）无解，故③错误；若∃x1∈R，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则a+2≥0，且﹣3a+2≤；解得：≤a≤．故④正确；故答案为：①②④，故答案为：①②④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的值域，函数恒成立问题，方程的根，函数的单调性，难度中档．三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2分别是等差数列{b n}的第2项和第4项，数列{b n}的前n项和为T n，求证：1≤＜2．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用递推关系及其等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等差数列的通项公式及其“裂项求和”、不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵a n+1=S n+2，n∈N*．∴当n≥2时，a n=S n﹣1+2，可得a n+1﹣a n=a n，化为a n+1=2a n．又a2=a1+2，满足a2=2a1，∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n=2n．（2）证明：设等差数列{b n}的公差为d，∵b2=a1=2，b4=a2=4，∴4﹣2=2d，解得d=1．∴b n=b2+（n﹣2）×1=n．∴T n=，∴ ==2．∴=2+…+=．∵1≤＜2．∴1≤＜2．【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知A、B、C、D是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A（﹣，0），B为y轴的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴方向上的投影为．（1）求函数f（x）的解析式及单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移得到函数g（x）的图象，已知g（α）=，α∈（﹣，0），求g（α+）的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据函数想性质得出最大值点的横坐标为，A（﹣，0），得出周期T=π，T=，即可ω，运用A（﹣，0），sin（﹣+φ）=0，得出φ=kπ+，k∈z，即可求解函数解析式，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z即可解得单调递减区间．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x），结合角的范围可求cos2α，sin2α，利用两角和的余弦函数公式即可求值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵如图所示，A（﹣，0），B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，∴根据对称性得出：最大值点的横坐标为，∴=+，T=π，∵T=，∴ω=2，∵A（﹣，0）在函数图象上，∴sin（﹣+φ）=0，解得：﹣+φ=kπ，k∈z，可得：φ=kπ+，k∈z，∴φ=，故可得函数f（x）的解析式为：y=sin（2x+）．∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z即可解得单调递减区间为：[kπ，k]，k∈Z．（2）∵由题意可得：g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x．∴g（α）=cos2α=，∵α∈（﹣，0），∴2α∈（﹣，0），可得sin2α=﹣，∴g（α+）=cos（2α+）=cos2αcos﹣sin2αsin=﹣（﹣）×=．【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，运用特殊点求解参变量的值，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取2名学生组成一个实验组，设其中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】．（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，由此能估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数．（2）由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，由此得ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而能求出ξ的分布列和期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：0.06×50=3（人）．（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为：800×0.38=304（人）．（2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，现从第一、第五组中各抽取2名学生组成一个实验组，设其中男生人数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3PEξ==．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质和等可能事件概率计算公式的合理运用．19．已知函数f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a，b，c∈R，证明函数f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部对称点；（2）是否存在常数m，使得函数f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程，再判断方程是否有解，问题得以解决．（2）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2﹣x，方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）证明：由f（x）=ax3+bx2+cx﹣b得f（﹣x）=﹣ax3+bx2﹣cx﹣b，代入f（﹣x）=﹣f（x）得ax3+bx2+cx﹣b﹣ax3+bx2﹣cx﹣b=0得到关于x的方程2bx2﹣2b=0，b≠0时，x=±1当b=0，x∈R等式恒成立，所以函数f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部对称点；（2）∵f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3∴f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是 4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，令t=2x+2﹣x（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（*）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：，解得，化简得≤m≤2．【点评】本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题．20．在如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=2，设∠ACB=θ，点C到AD的距离为h．（1）当θ=15°，求h的值；（2）求AB+BC的最大值．（3）若△ABD的外接圆与△CBD的外接圆重合，求S△ABC．【考点】解三角形．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】（1）在△ACD中使用正弦定理求出CD，则h=CDsin∠ADC；（2）在△ACD中使用正弦定理求出AC，在△ABC中使用正弦定理用θ表示出AB，BC，将问题转化为三角函数的最值问题求解；（3）△ABD的外接圆与△CBD的外接圆重合可知四点共圆，从而求出∠ACB和∠BAC，使用正弦定理解出各边，带入面积公式．【解答】解：（1）∠BAC=180°﹣120°﹣15°=45°，∠CAD=90°﹣∠BAC=45°，∴∠ADC=75°．在△ACD中，由正弦定理得：，∴CD==2．∴h=CD•sin∠ADC=2•sin75°=+1．（2）∠BAC=60°﹣θ，∴∠CAD=30°+θ，∠ADC=90°﹣θ．在△ACD中，∵，∴，解得AC=4cosθ．在△ABC中，∵，∴．解得AB=，BC=4cos2θ﹣，∴AB+BC=4cos2θ+=2cos2θ+sin2θ+2=sin（2θ+φ）+2．∴当sin（2θ+φ）=1时，AB+BC取得最大值+2．（3）∵△ABD的外接圆与△CBD的外接圆重合，∴A，B，C，D四点共圆．∴∠BCD=90°，∠ACB=∠BAC=∠D=30°，在△ABC中，∵，∴AB=BC=2，∴S△ABC==．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．21．已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）在[，]有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g （x1）﹣g（x2）的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，当a=1 时，求出f′（x），判断函数的单调性，求解函数的最小值即可．（Ⅱ）化简求解f′（x）=，通过（1）当﹣2＜a≤0时，（2）当a=﹣2时，（3）当a＜﹣2时，分别求解函数的单调性即可．（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞a恒成立，转化方程为f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1构造g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数，利用导数求解函数的最小值，导函数的符号，判断证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），…当a=1 时，f′（x）==…∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f′（x）＞0．∴f（x）在x=2时取得极小值且为最小值，其最小值为 f（2）=﹣2ln2…（Ⅱ）∵f′（x）=x﹣+（a﹣2）==…∴（1）当﹣2＜a≤0时，若x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（﹣a，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．（2）当a=﹣2时，x∈（0，+∞）时，f（x）为增函数；（3）当a＜﹣2时，x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（2，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数…（Ⅲ）证明：假设存在实数a使得对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞a恒成立，不妨设0＜x1＜x2，只要＞a，即：f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1令g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数又函数g（x）=x2﹣2alnx﹣2x．考查函数g′（x）=x﹣﹣2）==…要使g′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要﹣1﹣2a≥0，即a≤﹣，…故存在实数a∈（﹣∞，﹣]时，对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞a恒成立，…【点评】本题考查函数的导数的是的单调性综合应用以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。
四川省德阳市2024届高三下学期“三诊”考试(理科)数学试题(含答案与解析)
德阳市高中2024届高三下学期“三诊”考试数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}024|12A x x =<<，{}|B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A. (2024,)+∞ B. )2024,[+∞C. ],2(024-∞D. ),2(024-∞2. 欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z 满足()i πi e i 1z +⋅=+，则正确的是（ ） A. z 的共轭复数为i - B. z 的实部为1 C. z 的虚部为iD. z 的模为13. 在()()621x x ++的展开式中3x 的系数是（ ） A. 30B. 35C. 55D. 604. 已知函数()sin cos f x x x =+，且 00)1()(2f x f x ='，则0tan 2x 的值是（ ） A. 23-B.34C.23D. 43-5. 执行下面的程序框图，输出的s =（ ）A.1112 B.2524 C. 34D. 166. 已知向量()()1,0,1,1OA OB == ，O 为坐标原点，动点(),P x y 满足约束条件0102OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 2-B. 2C. 3-D. 37. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到A ，B ，C 三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口．若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有（ ） A. 18种B. 24种C. 36种D. 48种8. α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是 A. ,,n n m αβα⊥⊥⊥ B. ,,m αγαγβγ⋂=⊥⊥ C. ,,m αγβγα⊥⊥⊥D. ,,l m l αβαβ⊥⋂=⊥9. 如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系．eax by +=(a ，b ．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（ ） A. 14℃B. 15℃C. 13℃D. 16℃10. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿的基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（ ）A. 8πB. 4πC. 2πD.4π311. 设12,F F 是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，O 是坐标原点，点P 是C 上异于实轴端点的任意一点，若2212||||||2PF PF OP a -=，则C 的离心率为（ ）A.B.C. 3D. 212. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()()()20x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦'，()()424e x f x f x --=，则不等式()()3e ln 3f x xf <的解集是（ ）A. ()30,eB. ()31,eC. ()3e,eD. ()3e ,+∞第 Ⅱ 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．13. 已知函数 f (x )═cos(x +θ)是奇函数，则θ的最小正值为___________．14. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ；已知π3C =，若向量()()4,,,4m c a b n a b c =--=-+ 满足//m n u r r，则ABC 的面积为__________．15. 已知两点(1,0),(1,0)M N -，若直线0x y m -+=上存在唯一点 P 满足 0PM PN ⋅=，则实数m 的值为__________．16. 已知F 为抛物线2:4C x y =焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A 、B ，若抛物线C 在A 、B 两点处的切线相交于点P ，则24PF AB+的最小值为_______．的三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且{}n b 的前n 项和为()11543,22,5n S a b a a a ===-，在①()5434b b b =-，②12n n b S +=+这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，是否存在*,N m n ∈，使得n m T a =若存在，求出所有满足题意的,m n ；若不存在，请说明理由．18. 某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如表(其中有些数据污损不清)： 月份12 3456 广告投入量27810收益20303437他们分别用两种模型①y bx a =+，②e bx y a =进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型? （2）残差绝对值大于2 的数据被认为是异常数据，需要剔除． （i ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ii ）若广告投入量x =19，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元?(精确到0.01)附：对于一组数据 ()()()1122,,,n n x y x y x y ，，，，其回归直线 ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1122211()(ˆˆˆ()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybay bx x x x nx====---===---∑∑∑∑.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC 中点，过11B C 的平面交棱AB 于 E ，交 AC 于F ．（1）求证:平面1A AD ⊥平面11EB C F ；（2）若1A AD 是等边三角形，4AB =，求二面角1D AA C --正弦值．20. 已知椭圆 2222:1(0)x y a b b α+=>>的离心率为其左右焦点分别为 F F ₁、₂，下顶点为A ，右顶点为B ，1ABF 的面积为1+ （1）求椭圆 C 的方程;（2）设不过原点O 的直线交C 于M 、N 两点，且直线,,OM MN ON 的斜率依次成等比数列，求MON △ 面积的取值范围．21. 设函数()e cos ax f x x =+，()sin 2g x x =+． （1）试研究 ()()316F x x x g x =-+在区间(0,)+∞上的极值点； （2）当0x ≥时，()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． [选修4--4：坐标系与参数方程]的的22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22222111t x tt y t ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(t 为参数)，直线l 的方程为10x y --=．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程； （2）点 P 的极坐标为3π(1,)2，设直线 l 与曲线C 的交点为A 、B 两点，若线段AB 的中点为D ，求线段 PD 的长．[选修4--5:不等式选讲]23. 已知a 、b 、c 、d 均为正数，且ad bc =． （1）证明:若a d b c +>+，则||||a d b c ->-; （2）若=+，求实数 t 取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}024|12A x x =<<，{}|B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A. (2024,)+∞ B. )2024,[+∞C. ],2(024-∞D. ),2(024-∞【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.【详解】集合{}024|12A x x =<<，{}|B x x a =<，又A B ⊆，则2024a ≥， 所以实数a 的取值范围是)2024,[+∞. 故选：B2. 欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z 满足()i πi e i 1z +⋅=+，则正确的是（ ） A. z 的共轭复数为i - B. z 的实部为1 C. z 的虚部为iD. z 的模为1的【答案】D 【解析】【分析】由欧拉公式计算可得i z =-，再根据共轭复数、实部、虚部定义以及模长公式可得结果. 【详解】由i e cos isin θθθ=+可得i π1e cos πisin π=+=-，所以()()i πi 1i 1i e z z +⋅=-+⋅=+，可得()()()()221i 1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 1iz +--+---====--+-+---， 所以z 的共轭复数为i ，即A 错误；z 的实部为0，即B 错误； z 的虚部为1-，所以C 错误； z 的模为1，可知D 正确. 故选：D3. 在()()621x x ++的展开式中3x 的系数是（ ） A. 30 B. 35 C. 55 D. 60【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理求出所有含3x 的项，计算可得系数. 【详解】由二项展开式的通项可得展开式中含3x 的项包括两项， 即()333242323366662C 1C 12C C 55x x x x x ⋅⋅+⋅⋅=+=， 所以展开式中3x 的系数是55. 故选：C4. 已知函数()sin cos f x x x =+，且 00)1()(2f x f x ='，则0tan 2x 的值是（ ） A. 23-B.34C.23D. 43-【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导函数，利用给定等式求出0tan x ，再利用二倍角的正切计算即得. 【详解】函数()sin cos f x x x =+，求导得()cos sin f x x x '=-， 由00)1()(2f x f x ='，得00001cos sin (cos sin )2x x x x -=+，解得01tan 3x =，所以00220122tan 33tan 211tan 41()3x x x ⨯===--. 故选：B5. 执行下面的程序框图，输出的s =（ ）A. 1112B.2524 C. 34D. 16【答案】A 【解析】【分析】由程序框图循环结构，代入计算可得结果. 【详解】根据流程框图可知，第一次计算结果为110,4822s n =+==<； 第二次循环计算可得113,68244s n =+==<； 第三次循环计算可得3111,884612s n =+===，不满足8n <，循环结束， 此时输出1112s =.故选：A6. 已知向量()()1,0,1,1OA OB == ，O 为坐标原点，动点(),P x y 满足约束条件0102OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 2-B. 2C. 3-D. 3【答案】D 【解析】的【分析】利用向量数量积的坐标表示得出约束条件，画出可行域并利用直线的截距的几何意义求得结果.【详解】易知(),OP x y =，所以约束条件0102OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩即为0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩， 画出可行域如下图阴影部分所示：将目标函数2z x y =-变形可得1122y x z =-， 当其在y 轴上的截距最小时，z 的取值最大； 对直线y x =-，令1x =，则1y =-，则()1,1A -， 显然当直线12y x =平移到过点()1,1A -时，z 取最大值3. 故选：D7. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到A ，B ，C 三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口．若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种【答案】C 【解析】【分析】按照分组分配问题先将5人分情况讨论并分成三组，再分配到三个路口进行计算可得结果. 【详解】第一步：先将5名大学生分成三组，每组人数为1，1，3或1，2，2； 当分为1，1，3时，且甲、乙要求去同一个路口，则甲、乙必须在3人组， 因此只需从剩下的3人中任选一人，其余两人各自一组，共有13C 种分法；当分为1，2，2时，且甲、乙要求去同一个路口，则将剩下的3人分成两组即可，共有1232C C 种分法；第二步：再将分好的三组人员分配到三个路口，共有33A 种分配方案； 因此共()11233323C C C A 36+=种. 故选：C8. α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是 A. ,,n n m αβα⊥⊥⊥ B. ,,m αγαγβγ⋂=⊥⊥ C. ,,m αγβγα⊥⊥⊥ D. ,,l m l αβαβ⊥⋂=⊥【答案】A 【解析】【详解】解：因为α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是,,n n m αβα⊥⊥⊥，选A9. 如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系．eax by +=(a ，b ．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（ ） A. 14℃ B. 15℃C. 13℃D. 16℃【答案】A 【解析】【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.【详解】依题意，721e 288e32a b a b ++⎧=⎨=⎩，则141e 9a =，即71e 3a=，显然a<0，设物流过程中果蔬的储藏温度为t ℃，于是2172114e 963e e e e at b a b a a b a b ++-++≥=⋅=⋅=， 解得14at b a b +≥+，因此14t ≤，所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃. 故选：A10. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（ ）A. 8πB. 4πC. 2πD.4π3【答案】A 【解析】【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的棱切球，求出该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到表面积. 【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：不妨取两棱中点为,E F ，由题知EF =易知,BE BF BE BF ⊥=，可得1BE BF ==，所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为，所以其表面积为24π8πS ==.故选：A11. 设12,F F 是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，O 是坐标原点，点P 是C 上异于实轴端点的任意一点，若2212||||||2PF PF OP a -=，则C 的离心率为（ ）A.B.C. 3D. 2【答案】D 【解析】【分析】设出点P 坐标，利用两点间距离公式，结合点P 在双曲线上及给定等式化简计算即得.【详解】令双曲线2222:1x y C a b-=的焦点12(,0),(,0)F c F c -，设000(,),0P x y y ≠，则2200221x y a b -=，即有2222002b y x b a=-，1||PF ==0||c x a a==+，同理20||||c PF x a a =-， 而22x a ≥，故22222020c x a c a a-≥->，因此22222222222221200000222||||||c b a PF PF OP x a x y x y a b a a a=-=---=--=-，即223b a =，所以双曲线C的离心率2c e a ===.故选：D12. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()()()20x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦'，()()424e x f x f x --=，则不等式()()3e ln 3f x xf <的解集是（ ）A. ()30,eB. ()31,eC. ()3e,eD. ()3e ,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据题意可构造函数()()exf x F x =，求得()Fx 的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得结的果.【详解】构造函数()()e xf x F x =，则()()()exf x f x F x '-'=； 因为()()()20x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦'，所以当2x >时，()()0f x f x '->，即()0F x '>，此时()F x 在()2,+∞上单调递增； 当2x <时，()()0f x f x '-<，即()0F x '<，此时()F x 在(),2-∞上单调递减； 又()()424exf x f x --=，所以()()44eexxf x f x --=，即()()4F x F x -=；所以函数()F x 图象上的点()(),x F x 关于2x =的对称点()()4,x F x -也在函数图象上， 即函数()F x 图象关于直线2x =对称， 不等式()()3e ln 3f x xf <变形为()()3ln 3e f x f x <，即()()ln 3ln 3e exf x f <； 可得()()()ln 31F x F F <=，又()F x 在()2,+∞上单调递增，在(),2-∞上单调递减， 所以1ln 3x <<，解得3e e x <<. 故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据()()()20x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦'的结构特征构造函数()()e xf x F x =，判断出其单调性，再由()()424exf x f x --=得出其对称性解不等式即可.第 Ⅱ 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．13. 已知函数 f (x )═cos(x +θ)是奇函数，则θ的最小正值为___________． 【答案】π2【解析】【分析】根据题意可得ππ,k Z 2k θ=+∈，可求θ的最小正值. 【详解】由函数cos()y x θ=+为奇函数，可得ππ,Z 2k k θ=+∈，则θ的最小正值为π2.故答案为：π2.14. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ；已知π3C =，若向量()()4,,,4m c a b n a b c =--=-+ 满足//m n u r r，则ABC 的面积为__________．【答案】【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示可得222216a b c ab +-=-，再由余弦定理解得16ab =，利用面积公式可得结果.【详解】根据题意由//m n u r r可得()()()()440c c a b a b -+---=， 整理可得222216a b c ab +-=-；又π3C =可知222π2cos 3a b c ab +-=，即可得216ab ab -=，解得16ab =；所以ABC 的面积为1sin 2S ab C ==.故答案为：15. 已知两点(1,0),(1,0)M N -，若直线0x y m -+=上存在唯一点 P 满足 0PM PN ⋅=，则实数m 的值为__________．【答案】 【解析】【分析】设出点P 的坐标，求出点P 的轨迹，再根据直线与圆相切求出m 的值.【详解】设点(,)P x y ，则)(1,),(1,PM PN x y x y ==----- ，由0PM PN ⋅=，得221x y +=，因此点P 在以原点为圆心，1为半径的圆上，显然直线0x y m -+=与此圆相切，1=，解得m =，所以实数m 的值为.故答案为：16. 已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A 、B ，若抛物线C 在A 、B 两点处的切线相交于点P ，则24PF AB+的最小值为_______． 【答案】5 【解析】【分析】设出直线方程并于抛物线联立，利用焦点弦公式求得AB AF BF =+的表达式，再利用导数求得切线方程得出P 点坐标，可得222444444PF k AB k +=+++，再由对勾函数性质即可得出其最小值. 【详解】由抛物线2:4C x y =可知()0,1F ，显然直线l 的斜率一定存在，可设直线l 的方程为1y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ； 如下图所示：联立抛物线和直线l 的方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=；由韦达定理可得12124,4x x k x x +==-；利用焦点弦公式可得()2121212112444AB AF BF y y y y k x x k =+=+++=++=++=+；由24x y =可得24x y =，求导可得2x y '=， 所以抛物线在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，由2114x y =，整理可得21124x x y x =-；同理可得点B 处的切线方程为22224x x y x =-；联立解得1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1P k -； 可得()()222221144PFk k =+--=+；所以222444444PF k AB k +=+++， 令[)2444,k t ∞+=∈+，则244PF t AB t+=+； 利用对勾函数性质可知函数4y t t=+在[)4,∞+上单调递增， 所以2444454PF t AB t +=+≥+=，当且仅当0k =时，等号成立； 即24PF AB+的最小值为5. 故答案为：5【点睛】关键点点睛：在求解抛物线在某点处的切线方程时，经常利用导数的几何意义得出切线方程表达式即可解得交点坐标，再由焦点弦公式得出24PF AB+的表达式可求得最小值. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且{}n b 的前n 项和为()11543,22,5n S a b a a a ===-，在①()5434b b b =-，②12n n b S +=+这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，是否存在*,N m n ∈，使得n m T a =若存在，求出所有满足题意的,m n ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()*Nn a n n =∈，()*2,N n nbn =∈（2）1,2m n == 【解析】【分析】（1）根据等差数列定义可求得n a n =，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得2n n b =；（2）利用错位相减法求出222n n n T +=-，易知m a m =，又*,N m n ∈可得1,2m n ==. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由()154322,5a a a a ==-可得()1114532a d a d a d +=+--，解得11a d ==； 所以()11n a a n d n =+-=，即数列{}n a 的通项公式为()*N n a n n =∈设等比数列{}n b 的公比为q ， 若选择条件①，()5434b b b =-，由12b =且()5434b b b =-，可得()4321114b q b q b q=-，即2440q q -+=，解得2q =，所以{}n b 是以12b =为首项，公比为2的等比数列，可得()1*222N n n n b n -=⨯=∈；即数列{}n b 的通项公式为()*2N nn b n =∈；若选择条件②，12n n b S +=+，令1n =，则2124b S =+=，所以公比212b q b ==，此时122n n S +=-，经检验满足题意， 即{}n b 是以12b =为首项，公比为2的等比数列， 所以()*2N nn b n =∈【小问2详解】假设满足题意得,m n 存在，因231123122222n n n n n T --=+++⋅⋅⋅++， 所以234111*********n n n n n T +-=+++⋅⋅⋅++，两式相减可得23411111122111231111222222222212nn n n n n n n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++⋅⋅⋅+-=-=---； 所以222n n n T +=-， 因为22n n +>0，所以2222n nn T +=-<； 所以由n m T a =可得222n n m +-=，即2m <，又*N m ∈， 所以1m =，即2212n n +-=，解得2n =，因此满足题意的,m n 存在，且1,2m n ==.18. 某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如表(其中有些数据污损不清)： 月份12 3456 广告投入量27810收益20303437他们分别用两种模型①y bx a =+，②e bx y a =进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型?为（2）残差绝对值大于2 的数据被认为是异常数据，需要剔除． （i ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ii ）若广告投入量x =19，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元?(精确到0.01)附：对于一组数据 ()()()1122,,,n n x y x y x y ，，，，其回归直线 ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1122211()(ˆˆˆ()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybay bx x x x nx====---===---∑∑∑∑. 【答案】（1）模型①；（2）（i ）105405ˆ3838yx =+；（ii ）63.16. 【解析】【分析】（1）观察残差图，利用残差波动大小选择.（2）（i ）利用给定数据，计算最小二乘法公式中相关量，求出回归直线方程；（ii ）利用求得的回归方程进行数据估计. 【小问1详解】由于模型①残差波动小，应该选择模型①. 【小问2详解】（i ）剔除异常数据，即3月份的数据，剩下数据的平均数为1(767)75x =⨯⨯-=， 1(30630)305y =⨯⨯-=，5114702101260i i i x y ==-=∑，515210i i i x y x y =-=∑，52137049321i i x ==-=∑，5221576i i x x =-=∑，105105405ˆˆˆ,307383838ba y bx ==-=-⨯=， 所以所选模型的回归方程为105405ˆ3838yx =+. （ii ）若广告投入量19x =， 则该模型收益的预报值是10540512001963.16383819⨯+=≈(万元).19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC 的中点，过11B C 的平面交棱AB 于 E ，交 AC 于F ．（1）求证:平面1A AD ⊥平面11EB C F ；（2）若1A AD 是等边三角形，4AB =，求二面角1D AA C --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）先证明BC⊥平面1A AD ，再证明面面垂直即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系得解. 【小问1详解】 连接11,A B A C ，因为1111,,A AB A AC AB AC AA AA ∠=∠==， 所以11A AB A AC ≌△△，所以11A B A C =. 因为D 为BC 的中点，所以1BC A D ⊥.因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以BC AD ⊥ 因为11,,A D AD D A D AD =⊂ 平面1A AD ， 所以BC⊥平面1A AD ，又11//B C BC ，所以11B C ⊥平面1A AD ，又11B C ⊂平面11EB C F ，所以平面1A AD ⊥平面11EB C F .【小问2详解】取AD 的中点O ，连接1AO ，因为1A AD 是等边三角形，所以1A O AD ⊥，由(1)可知BC ⊥平面1A AD ，则1,,BC AD A O 两两垂直，故以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过O作BC 的平行线为y 轴，1OA 所在直线为z轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图，因为底面ABC 是边长为4的等边三角形，所以AD =因为1A AD 是等边三角形，所以13AO =，所以)()()()1,0,0,3,2,0,2,0A A B C -则()()1,2,0AA AC ==-- ， 设平面1AA C 的法向量为(,,)n x y z =，由13020n AA z n AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令1z =，得)3,1n =- . 易知平面1AA C 的一个法向量为()0,4,0BC =- ， 记二面角1D AA C --的大小为θ，则|||cos |||||n BC n BC θ⋅=== ， 故二面角1D AA C --正弦值为sin θ==. 的20. 已知椭圆 2222:1(0)x y a b b α+=>>的离心率为其左右焦点分别为 F F ₁、₂，下顶点为A ，右顶点为B ，1ABF 的面积为1+（1）求椭圆 C 的方程;（2）设不过原点O 的直线交C 于M 、N 两点，且直线,,OM MN ON 的斜率依次成等比数列，求MON △ 面积的取值范围．【答案】（1）2214x y += （2）()0,1【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率及1ABF 的面积列式可得结果；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理及条件得到m 与k 的关系，由点到直线的距离公式、弦长公式表示面积，构造函数可得结果.【小问1详解】依题意c e c a ==⇒=，又222223142a b c b a b a =+=+⇒=， 又()12111112224ABF a S a c b a a a ⎛⎫⎛=+=+⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ ， 所以224,1a b ==，所以椭圆 C 的方程为2214x y +=. 【小问2详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线：(),0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得()222148440k x kmx m +++-=，由题意可知()()()222Δ8414440km k m =-+->，即2214k m +>， 且2121222844,1414km m x x x x k k--+==++， 则()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ ()222222224484141414m km m k k km m k k k --=-+=+++， 又直线,,OM MN ON 的斜率依次成等比数列。
四川省德阳市2024届高三下学期质量监测考试(二)数学(理科)试卷(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 已知，若，则等于（ ）A．B．C．D．2. 设函数，则满足的的取值范围是（ ）A．B．C．D．3.已知等差数列的前n 项和为，满足，，若数列满足，则m ＝（ ）A ．9B ．10C ．19D ．204.已知方程的所有解都为自然数，其组成的解集为，则的值不可能为（ ）A．B．C．D．5. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A ．63.7B ．64.5C ．65.5D ．66.76. 某校高一共有10个班，编号为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为a ，高一（6）班被抽到的可能性为b ，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，7. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）A．B．C．D．8. 已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A ．函数在上单调递减B．函数在上单调递增C．函数的对称中心是D．函数的对称轴是四川省德阳市2024届高三下学期质量监测考试（二）数学（理科）试卷(高频考点版)四川省德阳市2024届高三下学期质量监测考试（二）数学（理科）试卷(高频考点版)三、填空题9. 下列说法中正确的是（ ）A．一组数据的第60百分位数为14B ．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70C．若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3D．随机变量服从二项分布，若方差，则10. 某校高一（1）班王伟、张诚、赵磊三名同学六次数学测试的成绩及班级平均分如下表，根据成绩表作图，则下列说法正确的是（ ）第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张诚907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6A ．王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平B ．张诚同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平C ．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但与班平均分的差距逐步缩小D ．赵磊同学的数学成绩波动上升11.已知我市某次考试高三数学成绩，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为，则（ ）A．B ．服从标准正态分布C．D．12. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）A．B ．向量在向量上的投影向量为C．D．13. 已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k ，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____14.如图，在长方体中，，是棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，给出下列结论：四、解答题①平面；②三棱锥的体积为定值；③平面；④平面平面.其中所有正确结论的序号是______.15.已知向量满足，则向量与的夹角为_______．16. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以（单位：t ，100≤≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（Ⅰ）将T 表示为的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率.17.已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．18. 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：元/分．已知陈先生的家离上班公司公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为分．（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于分钟的概率；（2）若公司每月发放元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按天计算），并说明理由.（同一时段，用该区间的中点值作代表）19. 已知函数，，.(1)判断是否对恒成立，并给出理由；(2)证明：①当时，；②当，时，.20. 已知双曲线C ：的右焦点为，一条渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)在x轴上是否存在与F不重合的点P，使得当过点F的直线与C的右支交于A，B两点时，总成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数．(1)判断函数的零点个数；(2)当时，若对，函数的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围．。
2021届四川省德阳市高三三模数学(理)试题及答案
2021届四川省德阳市高三三模数学（理）试题一、单选题1．设i 是虚数单位.若复数()2R 1z a a i=-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．1C ．-1D ．3答案：B化简得1z a i =--，解方程10a -=即得解. 解：由题得22(1)11(1)(1)i z a a a i i i i +=-=-=----+， 因为复数()2R 1z a a i=-∈-是纯虚数， 所以10,1a a -=∴=. 故选：B2．已知集合{}|23A x x =-≤≤，{}lg 0B x x =≤.则A B =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]2,3-D ．(],3-∞答案：C由lg 0x ≤得{|01}B x x =<≤，进而求得AB .解：由lg 0x ≤可得01x <≤，所以{|01}B x x =<≤，显然B A ⊆，所以A B A ⋃=. 故选：C.3．如图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图你不能得出的信息为（ ）A ．该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%B ．服装鞋帽和百货日杂共售出29000元C ．副食的销售额为该商场营业额的10%D ．家用电器部所得利润最高 答案：D对四个选项结合扇形图分析判断即可. 解：对于A ：由图可知显然正确；对于C ：由图可知，副食的销售额占比为：140%30%20%10%---=，故C 正确；对于B ：由副食的销售额和占比可得商场一天总的营业额为：580010%58000÷=元，故服装鞋帽和百货日杂的销售额为：58000(20%30%)29000⨯+=元，故B 正确； 对于D ：由图不能得出，故D 错误. 故选：D.4．已知:1p x =-，q ：向量()1,a x =与()2,b x x =+共线，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A先由向量共线求得0x =或1x =-，进而可判断充分性和必要性.解：若向量()1,a x =与()2,b x x =+共线，则(2)x x x =+，解得0x =或1x =-， 所以:1p x =-是q 的充分不必要条件. 故选：A.5．阅读如图所示的框图，运行相应的程序，输出s 的值等于（ ）A ．3-B ．10-C ．0D ．2-答案：A本题可通过运行程序框图得出结果. 解：输入0k =，1s =，第一次运行：011k =+=，4k <，2111s ； 第二次运行：112k =+=，4k <，2120s ； 第三次运行：213k =+=，4k <，2033s；第四次运行：314k =+=，4k =，输出3s =-， 故选：A.6．如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的主(正)视图与左(侧)视图的面积之比为（ ）A ．3：2B ．2：1C ．2：3D ．1：1答案：D首先根据题意找到三棱锥P BCD -的正视图与侧视图，再计算面积和即可. 解：设点P 在平面11A ADD 的射影为P '，在平面11C CDD 的射影为P ''，如图所示：∴三棱锥P BCD -的正视图与侧视图分别为P AD '△与△''P CD ，因此所求面积=1=1P AD P CD S S '''△△，. 故选：D.7．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数'()y xf x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C由题设条件知：当02x >>-时，()0xf x '<；当2x =-时，()0xf x '=；当2x <-时，()0xf x '>．由此观察四个选项能够得到正确结果． 解：解：函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x >-时，()0f x '>；当2x =-时，()0f x '=； 当2x <-时，()0f x '<．∴当20x -<<时，()0xf x '<；当2x =-时，()0xf x '=； 当2x <-时，()0xf x '>． 当0x >时，()0xf x '>． 当0x =时，()0xf x '=． 故选：C ．点评：本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．8．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为3，则AB 的最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8答案：D 解：略9．设函数()()2sin f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭的图象关于直线23x π=对称，它的周期是π，则下列说法正确的个数为（ ）①将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin y x ω=的图象； ②()f x 的图象过点(0，1)； ③()f x 的图象的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭； ④()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据周期和对称轴得()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，在根据平移求解析式可判断A ，求()0f 可判断B ，根据5012f π⎛⎫=⎪⎝⎭可判断C ，由2,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得π7π2[0,]66x -∈，进而可判断D. 解：由函数()()2sin f x x ωϕ=+的周期为π，可得2ππω=，所以2ω=，又图象关于直线23x π=对称，所以22,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 所以5,6k k Z πϕπ=-+∈， 又22ππϕ-<<，所以6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于①，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数2sin[2()]2sin(2)666y x x πππ=-+=-的图象，所以①不对； 对于②，()02sin 16f π==，点(0，1)，所以②正确；对于③，552sin 12660f πππ=+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的图象的一个对称中心，所以③正确； 对于④，当2,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得π7π2[0,]66x -∈，所以()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数不正确，所以④不正确. 故选：B.10．若数列{}n a 对于任意的正整数n 满足：0n a >，且11n n a a n +=+，则称数列{}n a 为“积增数列”.已知“积增数列”{}n a 中，11a =，数列{}221n n a a ++的前n 项和为n S ，则对于任意的正整数n ，有（ ）A ．223n S n ≤+ B ．23n S n n ≥+ C ．224n S n n ≤++ D ．24n S n n ≥+答案：B利用基本不等式可得()2211221n n n n a a a a n +++≥=+，利用等差数列的求和公式可得出合适的选项.解：因为0n a >，由基本不等式可得()2211221n n n n a a a a n +++≥=+，因此，()()24222223242132n n n S n n n ++≥⨯+⨯+⨯+++==+.故选：B.11．过双曲线()222:11y C x b b-=>的左顶点P 作斜率为1的直线l ，若直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别相交于点Q 、R ，且2OP OR OQ +=，则双曲线的离心率为（ ） （O 为原点）A B ．3C D 答案：A 解：略12．已知函数()()()ln 10m xx f x x m x e m =-++<，若存在01x >，使()00f x ≤，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),e -∞- B ．(],e -∞- C ．[),0e - D ．(),0e -答案：B由()0≤f x ，得()ln 10m xx x m x e -++≤，变形后得ln m m x x x e x --≤--，构造函数()ln F t t t =-，由导数可得()F t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，01m x <<，01xe-<<，从而得m x x e -≤，即ln 1x x m -≤，构造函数ln ()x g x x=-，再利用求出其最小值，进而可求出实数m 的取值范围解：解：由()0≤f x ，得()ln 10m xx x m x e -++≤，即ln 10x m x x m xe x e e x -⋅++≤，所以ln 1x m m x x e x x e xe -⋅≤--，所以1ln m mx x x x e-≤--，即ln m m xx x e x --≤--， 令()ln F t t t =-，则'11()1tF t t t-=-=（0t >）， 当01t <<时，'()0F t >，当1t >时，'()0F t <， 所以()F t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，因为0,1m x <>，所以01m x <<，01x e -<<， 则只需()()m x x F x F e x e --≤=--即可，即m x x e -≤， 所以ln m x x ≤-，因为0m <，所以ln 1x x m-≤， 令ln ()x g x x=-，则'21ln ()x g x x -=-，当(0,)x e ∈，则'()0g x <，当(,)x e ∈+∞时，'()0g x >， 所以()g x 在(0,)e 上递减，在(,)e +∞上递增， 所以min 1()()g x g e e==-， 所以11m e≥-，得m e ≤-， 故选：B点评：关键点点睛：此题考查导数的应用，考查不等式能成立问题，解题的关键是由()0≤f x ，得ln m m x x x e x --≤--，构造函数()ln F t t t =-，由导数可得()F t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而将问题转化为m x x e -≤，即ln 1x x m -≤，再利用导数求出ln ()x g x x=-的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 二、填空题13．等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++= ，则357a a a ++= ______． 答案：42解：由题意可得2411(1)21,3,a q q a ++==所以2417q q ++=，解得222,3q q ==-（舍），而2243571(1)42a a a a q q q ++=++=，填42.14．已知实数,x y 满足26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_______．答案：4先由约束条件26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩作出可行域，再由目标函数z x y =-可化为y x z =-，结合可行域数形结合即可求出结果.解：由约束条件26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图所示：因为目标函数z x y =-可化为y x z =-， 因此z 表示直线y x z =-在y 轴截距的相反数， 求z 的最大值，即是求截距的最小值， 由图像可得直线y x z =-过点B 时截距最小， 由2x x y =⎧⎨+=⎩解得B(2,2)-，所以224max z =+=. 故答案为：4点评：本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.15．261(1)()x x x x++⋅-的展开式中的常数项为____________．答案：-5解：试题分析：261(1)()x x x x++⋅-的展开式中的常数项为34665C C -+=-【解析】二项式系数的性质．16．在直角三角形ABC 中，1AC =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则BC 边长的最大值为______. 答案：3取BC 中点E ，翻折后可证BC ⊥平面ADE ，又AE ⊂平面ADE ，所以BC AE ⊥，由E 为BC 中点，则此时ABC 为等腰三角形，从而可得1AB AC ==，然后求出,AE AD 的长，根据能构成三角形三边的关系建立不等式，再求出翻折后，当1B CD △与ACD △在一个平面上的情况，得出答案. 解：设BC x =,由题意得，212x AD CD BD +===，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接,DE CD ，则1122DE AC ==， 翻折后，在图2中，此时CB AD ⊥．,BC DE BC AD ⊥⊥，∴BC ⊥平面ADE ，又AE ⊂平面ADE ，所以BC AE ⊥由E 为BC 中点，则此时ABC 为等腰三角形， ∴1AB AC ==，∴2114AE x =-2112x AD DE +==， 在ADE 22111124x x ++>-22111124x x +<+-，③0x >；由①②③可得03x <<如图3，翻折后，当1B CD △与ACD △在一个平面上，AD 与1BC 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD BCD ∠=∠=∠，又190CBD BCD B CD ∠+∠+∠=︒，∴130CBD BCD BCD ∠=∠=∠=︒， ∴60A ∠=︒，tan 60BC AC =︒，此时x =综上，x的取值范围为(，点评：关键点睛：本题考查翻折问题和线面垂直关系的证明和应用，解答本题的关键是由条件证明出BC ⊥平面ADE ，从而得到1AB AC ==，求出,AE AD 的长，根据能构成三角形三边的关系建立不等式，属于中档题. 三、解答题17．为了更好的开展高中数学综合实践课的教学，结合高中数学与物理紧密联系的特点，某高级中学数学组与物理组进行联合教学实践活动.在一次实践活动中，某班学生分成五组进行物理实验（研究某物理现象中两个物理量x 、y 之间的关系），得到五组数据如下表所示.（1）为了减少一定的运算量，同学们决定用前三组的数据研究两个物理量x 、y 的线性回归方程，并由该回归方程预估第4，5组物理量y 的值，若产生的残差的绝对值不超过1，则认为本次实践活动成功.请问本次实践活动是否成功？并说明理由；（2）老师打算从这五组学生中随机选取两组学生进行校本科研课题：《数学与物理深度融合研究》的问卷调查，记组号差的绝对值为X ，求X 的分布列与数学期望.参考公式：()()()1122211ˆn ni iiii i nniii i x y nxy x x y y bxnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-. 答案：（1）是，理由见解析；（2）分布列见解析，2.（1）利用最小二乘法求出回归方程为ˆ23yx =+，再求出当10x =时，ˆ23y =，ˆ11y y -=≤；当9x =时，ˆ21y=，ˆ11y y -=≤.所以本次实践活动是成功的； （2）由题意知X 的可能取值有1，2，3，4，再求出对应的概率，即得分布列和期望. 解：（1）由题意知12x =，27y =，所以()()()()()()()()()122211112252713122927ˆ211121312niii nii x x y y bx x ==----+--===-+--∑∑， ˆˆ272123ay bx =-=-⨯=， 所以回归方程为ˆ23yx =+， 当10x =时，ˆ210323y=⨯+=，ˆ11y y -=≤； 当9x =时，ˆ29321y=⨯+=，ˆ11y y -=≤. 所以本次实践活动是成功的.（2）由题意知X 的可能取值有1，2，3，4， 且()254215P X C ===，()2533210P X C ===， ()252135P X C ===，()1410P X ==， 即X 的分布列为所以()231112342510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 点评：方法点睛：求分布列的一般步骤：（1）写出随机变量的所有取值；（2）求出每一个变量对应的概率；（3）列表得分布列.18．在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB =1BC =，P 为ABC 内一点，且PB PC ⊥. （1）若12PB =，求PA ； （2）若150APB ∠=︒，设PBA α∠=，求tan α. 答案：（1（2（1）由题得30PBA ∠=︒，再由余弦定理求出PA 得解；（2）正弦定理得()3sin sin150sin 30αα=︒︒-，化简即得解.解：解：（1）由已知得90BPC ∠=︒，又12PB =， 所以60PBC ∠=︒，所以30PBA ∠=︒. 在PBA △中，由余弦定理得2117323cos30424PA =+-⨯⨯︒= 故72PA =. （2）由已知得sin PB α= 在PBA △中，由正弦定理得：()3sin sin150sin 30αα=︒︒-化简得：3cos 4sin αα= 所以3tan 4α=. 点评：方法点睛：解三角形经常用正弦定理和余弦定理，解一个三角形必须知道三个元素，且至少有一个为边长，对于未知的元素可以放到其它三角形中求解.19．四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，222AD AE BC AB ====，AB AD ⊥，平面EAD ⊥平面ABCD ，点F 为DE 的中点.（1）求证：向量CF 、EA 、BA 共面；（2）若CF AD ⊥，求二面角D CF B --的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）63-. （1）证明：取AE 的中点G ，连接GF 、GB ，先证明//CF BG ，利用线面平行的判定定理证明//CF 平面EAB ，即可证明向量CF 、EA 、BA 共面；（2）先证明EA ⊥平面ABCD 以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AE 为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，用坐标法求解即可. 解：（1）证明：取AE 的中点G ，连接GF 、GB . ∵点F 为DE 的中点，∴//GF AD ，且12GF AD =， 又//AD BC ，2AD BC =， ∴//GF BC ，且GF BC =，∴四形边CFGB 为平行四边形，则//CF BG . 而CF ⊄平面EAB ，BG ⊂平面EAB ∴//CF 平面EAB .故向量CF 、EA 、BA 共面.（2）解：∵CF AD ⊥，∴AD BG ⊥， 而AB AD ⊥，BGAB B =，∴AD ⊥平面EAB ，∴AD EA ⊥. 又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，∴EA ⊥平面ABCD .如图，以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AE 为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系则()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,1,1F . 设平面BCF 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n BC n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()(),,0,1,00,,1,0,10x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩，不妨令1x =，可得：()11,0,1n =.设平面CDF 的一个法向量为2n ，同理可求得()21,1,1n =，∴1212212cos ,31n n n n n n ⋅===⋅+.∵二面角D CF B --为钝二面角， ∴二面角D CF B --的余弦值为点评：立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．20．设圆222150x y x ++-=的圆心为P ，过点()1,0Q 且与x 轴不重合的直线交明P 于M 、N 两点，过Q 作MP 的平行线交PN 于点E .（1）证明EP EQ +为定值，并写出点E 的轨迹R 的方程；（2）已知点()2,0A -，()2,0B ，过点()1,0P -的直线l 与曲线R 交于C 、D 两点.记ABD △与ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值.答案：（1）证明见解析，()221043x y y +=≠；（2解：（1）因为PN MP =，//EQ PM ， 所以EON PMN PNM ∠=∠=∠， 所以EQ EN =，故EP EQ EP EN PN +=+=.又圆P 的标准方程为()22116x y ++=，从而4PN =所以4EP EQ +=.由题设得()1,0P -，()1,0Q ，2QP =.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为()221043x y y +=≠.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为1x =-， 此时ABD △与ABC 面积相等，120S S -=，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()10y k x k =+≠，()11,C x y 、()22,D x y ， 联立方程，得()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y ，得：()22223484120k x k x k +++-=，0∆>，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+， 此时()()1221212122211S S y y y y k x k x -=-=+=+++()212122234kk x x k k=++=+ 因为0k ≠，上式1234k k=≤==+（当且仅当k =时等号成立）， 所以12S S -21．已知函数()ln 1y x x ax =-+. （1）求()y x 的极值；（2）已知1a ≥，函数()()()()()12x y x x a f x e a x x a -⎧≥⎪=⎨+-<⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≠恒成立，试确定a 的取值范围.答案：（1）()y x 的极大值为ln a -，不存在极小值；（2）(]1,2. 解：（1）()()10y x a x x'=->， 当0a ≤时，()0y x '>，∴()y x '在区间()0,∞+上是增函数， ∴()y x 不存在极值，当0a >时，由()()00x y x '>>得：10x a<<， ∴()y x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数.∴()y x 的极大值为l 1n y a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，不存在极小值. （2）由题意()f x 在(),-∞+∞内无零点. 当1a =时， 若1≥x 时，()110f x x'=-≤，()f x 在[)1,+∞上单调递减，()()10f x f ≤=； 若1x <时，()110x f x e-'=-<，()f x 在(),1-∞上单调递减，且此时()0f x >.所以，()f x 在R 上有一个零点. 当1a >时，若x a ≥，则()110a f x a x a=-≤-<'， 所以此时()f x 单调递减，令()()2ln 1g a f a a a ==-+，则()120g a a a'=-<， 所以()()()10f a g a g =<=，即()()0f x f a ≤<， 故()f x 在[),a +∞上无零点.若x a <时，()12x f x e a -+'=-.（ⅰ）当2a >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 又()100f e-=>，012f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭-，所以此时()f x 在1,02a ⎛⎫⎪-⎝⎭上有一个零点.（ⅱ）当2a =时，()1x f x e-=，此时()f x 在(),2-∞上没有零点.（ⅲ）当12a <<时，令()00f x '=，解得()0ln 211x a a =-+<<， 所以()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x a 上单调递增.()()()0011000120x x f x x e x e a --+=-->=，所以此时()f x 没有零点. 故a 的取值范围为(]1,2.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线M 的参数方程为12cos 12sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩(β为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为4πθ=，直线2l 的极坐标方程为34πθ=. （1）写出曲线M 的极坐标方程，并指出它是何种曲线；（2）设1l 与曲线M 交于A ､C 两点，2l 与曲线M 交于B ､D 两点，求四边形ABCD 面积.答案：（1）()22sin cos 20ρρθθ-+-=，曲线M 是以(1，1)为圆心，2为半径的圆；（2）（1）消去参数β得曲线M 的普通方程，再根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=可得结果；（2）联立1l 与圆M 的方程，结合韦达定理可得12AC ρρ=-，同理得BD ，结合12l l ⊥即可得结果.解：（1）由12cos 12sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩(β为参数)消去参数β得：()()22114x y -+-=，即222220x y x y +---= 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=， 将曲线M 的方程化成极坐标方程得：()22sin cos 20ρρθθ-+-=∴曲线M 是以(1，1)为圆心，2为半径的圆.（2）设1OA ρ=，2OC ρ=，将1l 与圆M 的方程联立可得：220ρ--=∴12ρρ+=122ρρ=-.∴124AC ρρ=-=同理可得：BD =. ∵12l l ⊥∴12ABCD S AC BD =⋅=四边形23．已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+． （1）解不等式()5g x <．（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围． 答案：（1）()2,4-（2）1a ≥-或5a ≤-．（1）利用||x ﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x ﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y |y ＝f （x ）}⊆{y |y ＝g （x ）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可． 解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<， ∴713x -<-<，得不等式的解为24x -<<． 故解集为：()2,4-（2）因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立， 所以()(){|}{|}y y f x y y g x =⊆=，又()()()2232233f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-．点评：本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．。
德阳市高中试卷2021级第一次诊断考试文科数学
德阳市高中试卷2021级第一次诊断考试文科数学《德阳市2021级第一次诊断考试文科数学试卷》一、选择题（每题5分，共60分）1. 设集合A = {x|x² - 3x + 2 = 0}, B = {x|x > 1}, 则A∩B = ()A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. ∅2. 复数z=(3 + i)/(1 - i) 的共轭复数是()A. 1+2iB. 1 - 2iC. 2 + iD. 2 - i3. 已知向量a=(1, m), b=(3, -2), 且(a + b)⊥b, 则m = ()A. 8B. -8C. 6D. -64. 函数y = log₂(x² - 2x - 3)的定义域是()A. (-∞, -1)∪(3, +∞)C. (-∞, -3)∪(1, +∞)D. (-3, 1)5. 若sinα=3/5, α∈(π/2, π), 则tanα= ()A. - 3/4B. -4/3C. 3/4D. 4/36. 等差数列{an}中，a3 = 5, a5 = 9, 则数列{an}的公差为()A. 1B. 2C. 3D. 47. 函数y = sin(2x - π/3)的图象的一条对称轴方程是()A. x = π/12B. x = π/6C. x = 5π/12D. x = π/38. 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a = 3, b = 5, c = 7, 则cosC = ()A. -1/2B. 1/2D. 1/79. 已知函数f(x)=ax³+bx²+cx + d的图象如图所示，则()A. b∈(-∞, 0)B. b∈(0, +∞)C. d∈(-∞, 0)D. d∈(0, +∞)10. 已知双曲线C:x²/a² - y²/b² = 1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y = 2x, 则双曲线C的离心率为()A. √5B. √3C. 2D. √5/211. 若函数f(x)=x² - 2ax + 3在区间[1, 3]上是单调函数，则实数a的取值范围是()A. a≤1或a≥3B. 1≤a≤3C. a≤1D. a≥312. 已知函数f(x)=|x - 1|+|x + 1|, 若关于x的不等式f(x)>a² - a恒成立，则实数a的取值范围是()A. (-1, 2)C. (-∞, -1)∪(2, +∞)D. (-∞, -2)∪(1, +∞)二、填空题（每题5分，共20分）13. 计算:lg5+lg20 = 。
2021届四川省德阳市普通高中高三下学期二诊考试数学(理)试卷及解析
2021届四川省德阳市普通高中高三下学期二诊考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合，集合B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∩B等于（）A．[1，2）B．（1，2）C．[0，1] D．（0，1]解：集合＝{x|1﹣x≥0}＝{x|x≤1}，集合B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．故选：D．2．设z是复数，若z（1﹣i）＝|﹣i|（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A．z的虚部为B．z＝C．|z|＝1 D．z+＝1解：∵z（1﹣i）＝|﹣i|＝1，∴z＝＝，故B错误；z的虚部为，故A错误；|z|＝，故C错误；，故D正确．故选：D．3．（x﹣）6展开式中的常数项为（）A．﹣160 B．160 C．﹣80 D．80解：二项式的展开式的通项公式为T＝C，令6﹣2r＝0，解得r＝3，故常数项为C，故选：A．4．如图是2010﹣2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法错误的是（）A．2015年以来我国考研报名人数逐年增多B．这11年来考研报名人数的极差超过160万人C．2015年是这11年来报考人数最少的一年D．2015年的报录比最低解：对于选项A：由条形图可知，2015年以来我国考研报名人数逐年增多，所以选项A正确，对于选项B：由条形图可知，考研人数最大是330万左右，最小是145万左右，极差估计为185万，所以选项B正确，对于选项C：由条形图可知，报考人数最少的一年是2010年，所以选项C错误，对于选项D：由折线图可知，2015年的报录比最低，所以选项D正确，故选：C．5．如图是某著名高校的课程结业成绩“绩点”计算框图，输入课程结业考试成绩x∈[0，100]，输出的s就是该门课程成绩x对应的“绩点”．本学期小王同学一共有三门课程结业，考试成绩分别是60分（1）、80分（2）、100分（2），括号里面的数字是该门课程对应的学分．已知每学期“平均绩点”（简称GPA）是该学期各门课程的绩点乘以该门课程的学分的和除以总学分，那么小王同学本学期的“GPA”为（）。
四川省成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学文试题 Word版含解析
成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（文科）【试卷综述】本试卷是高三文科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简洁的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【学问点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：由于{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以UP =[0,1)(1,)+∞故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不行能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可推断.【题文】3．命题“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”的逆命题是（A ）若22<+x a b ，则2<x ab （B ）若22≥+x a b ，则2<x ab（C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b 【学问点】四种命题 A2【答案】【解析】D 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”,故选D. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】函数的图像 B6,B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．复数5i(2i)(2i)=-+z （i 是虚数单位）的共轭复数为（ ）（A ）5i3- （B ）5i 3 （C ）i - （D ）i【学问点】复数运算 L4【答案】【解析】C 解析：5i (2i)(2i)=-+z 25545i iii ===-，z i ∴=-， 故选C.【思路点拨】化简得z i =，从而可求z i =-.【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3] 【学问点】二次函数B5【答案】【解析】B 解析：由于240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-【学问点】诱导公式，二倍角公式 C2 C6yx OxyOxy Ox yO【答案】【解析】D 解析：由于53cos()cos()sin 225ππααα+=+=-=，所以3sin 5α=-，又2-<<πα，4cos 5α=，()24sin 22sin cos 25ααα∴==- ，故选D.【思路点拨】由53cos()sin 25παα+=-=，得3sin 5α=-，4cos 5α=，再依据二倍角公式即可求得24sin 225α=-.【题文】8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 【学问点】抛物线及其标准方程 H7【答案】【解析】B 解析：由题意可知，点P 为抛物线的焦点，所以不妨设AB x ⊥轴，从而()()2,4,2,4A B -，OA OB ⋅224(4)12=⨯+⨯-=-，故选B.【思路点拨】解本题若是留意到点P 为抛物线的焦点，就可以利用特殊状况（AB x ⊥轴）求解；此题还可以设出直线方程，联立抛物线:C 28y x =，利用OA OB ⋅1212x x y y =+进行求解. 【题文】9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是 （A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n （C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥ 【学问点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】C 解析：A 中α，β还可能相交；B 中m ，n 还可能异面；D 中可能//m α，故选C. 【思路点拨】生疏空间中线线，线面关系的推断，逐一排解即可. 【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P 运动时，2HP的最小值是（ ）（A ）72- （B ）2762- （C ）51142- （D ）1422- 【学问点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，该圆的半径为2，再过H 引1BB的垂线，垂足为G ，连接GP ，所以222HP HG GP =+ ，其中HG 的长为棱长4，因此当GP 最小时，HP 就取最小值，点G 到圆心的距离为3，所以GP 的最小值为：32-，所以2HP 的最小值为：2234(2)7622-+-＝ ，故选B. 【思路点拨】由P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF ，想到以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，点P 在圆上，在GPH 中，222HP HG GP =+，当GP 最小时，HP 就取最小值，从而转化为圆外一点到圆上点的距离问题.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．已知100名同学某月饮料消费支出状况的频率分布直方图如右图所示.则这100名同学中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．【学问点】频率分布直方图 I2【答案】【解析】30解析：由图知，该月饮料消费支出超过150元的人占的比例为()0.0040.002500.3+⨯=，所以人数为1000.330⨯=.故答案为30【思路点拨】求出该月饮料消费支出超过150元的人占的比例即可.【题文】12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【学问点】向量的夹角 F3 【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．【学问点】余弦定理 C8【答案】【解析】4解析：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =.【题文】14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 【学问点】充分必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由题得[,2]A a a =+，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩.故答案为[2,0]-.【思路点拨】由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，列式求解即可.【题文】15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线nl 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论：①1a =-； ②记函数()=ng n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k ++<+；④当*n ∈N时，记数列的前n 项和为n S，则1)n n S n -<．其中，正确的结论有 （写出全部正确结论的序号）【学问点】命题的真假推断A2【答案】【解析】①②④ 解析：'()f x x k == ①'11(1)1,1k f y ===-,11,(1)0x f ∴==,因此1a =-，正确；②n k n =，切线n l ：n (n)k (x n)y f -=-，即()2112y nx n =-+，212n n x n += 112n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，亦即11(n)2g n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，明显(n)g 在0,1（）上减，在1,+∞（）上增，正确；③()2112n y n =-，左边()()211111222n n n n =-++=+，右边ln(n 1)=+ ，当1n =时，左=1，右=ln 21< ，即左>右，所以错误；④令n a ===（2n ≥），221(n 1)n ->-，112()1n n<=--，且11a ==，12111112(11)2231n n S a aa n n =+++<+-+-++-- 12(2)n =-=故正确.所以答案为①②④.【思路点拨】依题意， n k n =， 212n n x n +=，()2112n y n =-，依次进行推断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ．（Ⅰ）求“5+=m n ”的概率；（Ⅱ）求“5≥mn ”的概率． 【学问点】古典概型 K2【答案】【解析】（Ⅰ）15（Ⅱ）710解析：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为大事A ，则21()105==P A ．…………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为大事B ，则37()11010=-=P B ．……………………………………………………………… 3分【思路点拨】由题意列出全部的基本大事，再去求符合题意的基本大事有几个，即可求解. 【题文】17．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积．DBC AFE【学问点】线面平行，几何体体积 G4 G8 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）3 （Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 面ABC ．………………………6分（Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面ECBD 平面=ABC BC ，∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD ，高3=AH∴1(21)23332-+⨯=⨯=A ECBD V∴多面体ECABD 36分 【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很简洁找出//DF OB ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积转化成四棱锥-A ECBD 的体积，底面为直角梯形ECBD ， 高很好求，所以利用锥体体积公式即可.【题文】18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【学问点】等差数列，等比数列 D2 D3 【答案】【解析】（Ⅰ）2nn a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵122+=-n n S ①当2≥n 时，122-=-n n S ②①-②得，2=n na （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==nn n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ……………………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）依据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必需停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【学问点】函数模型及其应用B10 【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分t （时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时） 53.522.753.1252.3752.5632.469∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分 即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应当在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点(23,0)． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且32AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB，求0x 的值．【学问点】直线与椭圆 H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+y x （Ⅱ）0x 的值为3-或1-.（Ⅰ）由已知得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ． 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，由于=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分状况争辩即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数()ln 2mf x x x =+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的微小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f xg x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证： 101e a b c <<<<<．【学问点】函数综合 B14【答案】【解析】（Ⅰ）=极小值)(x f 1ln2-（Ⅱ）4(,1)5∈m （Ⅲ）略 （Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x ．∴221121()22-'=-=x f x x x x ………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．……………………………………2分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ， ∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立，∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ． 故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………4分 （III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ， 下面争辩()ln 2mf x x x =+的零点状况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m mf ，解得20<<m e ， ∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>． 10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e ∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分.【思路点拨】（Ⅰ）1m =时，221121()22-'=-=x f x x x x ，由导数推断函数的单调性，可求得=极小值)(x f 1ln2-；（Ⅱ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ，得()0'<h x ，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，∴min()(1)0h x h =>，所以4(,1)5∈m （Ⅲ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，从而()f x 必有两个零点，则只需求解()0f x <极小值，1(1)0,()0f f e ><.。
四川省德阳市2019届高三“一诊”考试数学(理)试题(解析版)
当k=0时， ，所以m的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数的化简和三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8.我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛，立两表齐、高三丈，前后相去千步，今后表与前表相直，从前表却行百二十三步，人目著地望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何？”（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆的底部和岛的底部在同一水平直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）.则海岛高度为
【解析】
【分析】
由题意，作出不等式组对应的可行域，根据 的图象是过点 ，斜率为 的直线，结合图象，即可求解.
【详解】由题意,实数 满足 ，即 ，
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
又因为函数 的图象是过点 ，斜率为 的直线，
要使得不等式 恒成立，即 恒成立，
结合图象可知，当直线过点 时，斜率取得最小值 ，
【答案】
【解析】
【分析】
由题得x+y=2,再利用基本不等式求最值.
【详解】由题得x+y=2,
.当且仅当 时取等.
故答案为：9
【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
15.已知有相同焦点 、 的椭圆和双曲线交于点 ， ，椭圆和双曲线的离心率分别是 、 ，那么 __________（点 为坐标原点）．
2019届四川省德阳市高三一诊考试数学(理)试题(word版)
德阳市高中2016级“一诊”考试数学试卷（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A3.将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知：A. 甲队得分的众数是3B. 甲、乙两队得分在分数段频率相等C. 甲、乙两队得分的极差相等D. 乙队得分的中位数是38.5【答案】D4.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 13【答案】A5.如图所示的程序框图输出的结果是A. 34B. 55C. 78D. 89【答案】B6.已知等差数列中，，是函数的两个零点，则的前项和等于（）A. B. C. D.【答案】C7.若函数在上是增函数，那么的最大值为A. B. C. D.【答案】B8.我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛，立两表齐、高三丈，前后相去千步，今后表与前表相直，从前表却行百二十三步，人目著地望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何？”（参考译文．．．．：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆的底部和岛的底部在同一水平直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）.则海岛高度为A. 1055步B. 1255步C. 1550步D. 2255步【答案】B9.在边长为4的菱形中，，为的中点，为平面内一点，若，则A. 16B. 14C. 12D. 8【答案】B10.已知实数、满足，若恒成立，那么的取值范围是A. B. C. D.【答案】D11.已知点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为A. 2B.C. 1D.【答案】D12.已知点是函数的图像上的一个最高点，点、是函数图像上相邻两个对称中心，且三角形的周长的最小值为.若，使得，则函数的解析式为A. B.C. D.【答案】A第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。