附表单跨超静定梁的载常数
《建筑力学》形成性考核3
（）单位荷载是广义力，必须根据所求位移而假设。
•√•×（）单跨超静定梁的单位杆端位移产生的单跨超静定梁的杆端力称为载常数。
•√•×（）求位移的单位荷载法是由叠加原理推导出来的。
•√•×（）位移法的基本未知量是：独立的节点位移，基本未知量与结构的超静定次数无关。
•√•×（）单跨超静定梁的跨中荷载产生的单跨超静定梁的杆端力称为形常数（也叫固端力）。
•√•×（）力矩分配法中的转动刚度反映了杆件抵抗结点转动的能力。
•√•×（）应用单位荷载法求位移时，应先画出单位荷载弯矩图，写出其表达式，再画出实际荷载弯矩图，写出其表达式，然后作积分运算。
•√•×（）位移法和力法的求解依据是：综合应用静力平衡、变形协调条件，使基本体系与原结构的变形和受力情况一致，从而利用基本体系建立典型方程求解原结构。
•√•×（）静定结构的静力特征是：满足平衡条件内力解答是唯一的，即仅由平衡条件就可求出全部内力和反力。
•√•×（）多结点结构的力矩分配法进行第一轮次的分配与传递，从不平衡力矩较小的结点开始，依次放松各结点，对相应的不平衡力矩进行分配与传递。
•√•×（）位移法中角位移的数目不等于结构中刚结点的数目。
•√•×（）某一点设一单位集中力偶，是欲求该点的角位移。
•√•×（）结点角位移的数目不等于结构的超静定次数。
•√•×（）力法基本结构：去掉多余约束后得到的静定结构作为基本结构，同一结构可以选取多个不同的基本结构。
•√•×（）力矩分配法是建立在力法基础之上的一种近似计算方法。
•√•×（）如果杆件上同时受到杆端转角、相对线位移、外荷载、温度变化等多种因素作用，其杆端内力可按叠加法求出。
称为杆件的转角位移方程。
•√•×（）梁横截面竖向线位移称为挠度，横截面绕中性轴转过的角度称为转角。
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
结构力学弯矩图
结构⼒学弯矩图画弯矩图的基本理论1.1 指定截⾯上的弯矩计算弯矩等于截⾯⼀侧所有外⼒对截⾯形⼼⼒矩的代数和，画在受拉⼀侧。
1.2 荷载、剪⼒、弯矩三者之间的微分关系即：当荷载为常数时，剪⼒图为斜直线，弯矩图为⼆次曲线；当荷载为零时，剪⼒图为平⾏线或为零线，弯矩图为斜直线或为平⾏线、零线。
1.3 区段叠加法区段叠加法是以⼀段梁的平衡为依据，⽐拟相应跨度简⽀梁的计算⽽得到的⽅法：以⼀段梁的两端弯矩值的连线为基线，叠加该段相应简⽀梁的弯矩图。
1.4 刚结点处⼒矩的分配与杆端弯矩的传递利⽤⼒矩分配法中的结点分配和传递的原理，计算出结点的分配系数，将结点的不平衡⼒矩快速分配和传递给其他杆的近端及远端。
1.5 剪⼒分配法的应⽤对于在结点⽔平荷载作⽤下的排架（横梁EA为⽆穷⼤）、框架及框排架结构（横梁EI为⽆穷⼤），可以根据各个柱⼦的侧移刚度，计算出剪⼒分配系数，得到各柱的剪⼒。
在弯矩为零处作⽤该柱的剪⼒，按悬臂柱即可计算其柱端弯矩。
速画弯矩图的基本技巧2.1 单跨静定梁和超静定梁的弯矩图熟练掌握单跨静定梁在简单荷载作⽤下的弯矩图，单跨超静定梁的载常数和形常数。
2.2 集中⼒及约束处弯矩图的特征集中⼒处的弯矩图有尖⾓，尖⾓的⽅向同荷载的指向；集中⼒偶处的弯矩图有突变，突变的幅值等于⼒偶的⼤⼩，突变的变化与⼒偶的效应对应。
例如：对于⽔平杆，弯矩图若从左向右绘制，遇到顺时针转向的⼒偶，有增加右段杆下侧受拉的效应，因此弯矩图形向下突变。
固定端处的弯矩⼀般不为零；⾃由杆端、杆端铰⽀座及铰结点处，若⽆外⼒偶作⽤，该处的弯矩恒等于零；当直线段的中间铰上⽆集中⼒作⽤时，由于中间铰两侧的剪⼒相同，因此，中间铰两侧杆的弯矩图形连续，并且经过中间铰（铰结点处的弯矩恒等零）；当直线段的滑动约束上⽆集中⼒作⽤时，由于滑动约束两侧的剪⼒为零，因此，滑动约束两侧杆的弯矩图形为⼀平⾏线；在两杆相连的刚结点处，两杆的杆端弯矩⼤⼩相同、同侧（⾥侧或外侧）受拉；在三杆相连的刚结点处，当已知两杆的杆端弯矩时，另外⼀杆的弯矩值可按结点的⼒矩平衡求得。
第3章静定梁和静定刚架的受力分析
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B FBy
5
3.1 单跨静定梁
第一，切——设想将杆件沿指定截面切开。
第二，取——取截面任一侧部分为隔离体。
第三，力——这是该方法最关键的一步。一是勿忘在隔离体 上保留原有的全部外力（包括支反力）；二是必须在切割面上添 加要求的未知内力。所求的轴力和剪力，按正方向添加（轴力以 拉力为正，剪力以绕隔离体顺时针方向转动者为正）；而所求的 弯矩，其方向可任意假设，只需注意在计算后判断其实际方向， 并在绘弯矩图时，绘在杆件受拉一侧。
FPa B a M=FPaa C
FP
2FPa
D a
M图
C
D
A
B
FP
FQ图
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10
3.1 单跨静定梁
2. 内力图的特征
(3) 在集中荷载作用处： 剪力有突变，其突变值等于该集中荷载值。弯矩图有尖角，尖角突 出方向与荷载指向相同。
FP A
FPa B a M=FPaa C
投影代数和。 3) 任意截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对某点（例如该截面
形心）的力矩代数和。
【注意】如果截面内力计算结果为正（或负），则表示该指定截
面内力的实际方向与所假设的方向相同（或相反）。
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7
3.1 单跨静定梁
3.1.2 内力图的特征
1. 荷载与内力之间的微分关系
B
A
B
q0l2/6
l
q0l/2
q
A
B ql2/2
l ql
ql2/8
第六章位移法
第六章位移法学习目的和要求位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多工程中使用的实用计算方法都是由位移法演变出来的，是本课程的重点内容之一。
本章的基本要求：1.熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
2.熟记一些常用的形常数和载常数。
3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。
4.掌握利用对称性简化计算。
5.重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。
6.位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。
要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
学习内容位移法的基本概念。
跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程。
位移法基本未知量和位移法基本结构的确定。
用位移法计算刚架和排架。
利用对称性简化位移法计算。
直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程。
§6.1位移法基本概念1、位移法的特点：欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
超静定结构计算的两大基本方法是力法和位移法。
力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）。
位移法的特点：基本未知量——独立结点位移；（例子86）基本体系——一组单跨超静定梁；（例子87）基本方程——平衡条件。
（例子88）因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
②确定结构独立的结点位移。
③建立求解结点位移的位移法方程。
下面先看第一个问题：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
2、杆端力和杆端位移的正负规定：杆端转角θA 、θB，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。
杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正。
剪力使分离体有顺时针转动趋势时为正，否则为负。
（与材料力学相同）3、等截面直杆的形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力。
如右图两端固定梁，由右端单位转角作用下产生的杆端力，可用力法求解，并令：得到杆端弯矩（即形常数）为：各种情形的形常数都可有力法求出如下表：4、等截面直杆的载常数:仅由跨中荷载引起单跨超静定梁的杆端力称为载常熟，也叫固端力。
第8章 位移法
第8章 位移法§8-1 概述§8-2 等截面直杆的转角位移方程§8-3 位移法的基本未知量和基本结构§8-4 位移法的典型方程及计算步骤§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程§8-6 对称性的应用2021-5-1212021-5-12 1§8-1 位移法的基本概念内力对于线弹性结构位移位移内力两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的选取不同：力法是以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，而位移法则是以结点的独立位移（角位移或线位移）为基本未知量。
用位移法分析结构时，先将结构拆分成单个的杆件，进行杆件受力分析（建立杆件的转角位移方程）；再将杆件组装成原结构，利用结点和截面平衡条件建立位移法方程，解出结点位移，再由转角位移方程求出内力。
2021-5-121一、引例1. 确定基本位移未知量图a所示两跨常刚度连续梁，抗弯刚度为EI。
忽略二杆的轴向变形，B结点不会发生线位移，而仅会产生角位移，设此角位移为Z1。
因B结点刚结两梁段于B端，从而保证两梁段在B端有相同的角位移，均为Z1。
2021-5-1212. 分列各组成杆的转角位移方程AB和BC二杆在B端具有相同的角位移和零线位移后，因此可将二杆在B端处分开，单独分析。
2021-5-1211）AB杆2）BC杆2021-5-1213. 通过B结点的平衡条件求出Z1由B结点的平衡可得2021-5-1214. 将Z1代回转角位移方程，求出各杆端弯矩2021-5-1212021-5-121二、其他示例（a） 若略去受弯直杆的轴向变形，并不计由于弯曲而引起杆段两端的接近，则可认为三杆长度不变，因而结点A没有线位移，而只有角位移。
对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量q A的值。
2021-5-1212021-5-121三、位移法计算原理思路小结1. 把结构在非支座结点处拆开，将各杆视为相应的单跨超静定梁。
结构力学(董)-第8章
位移法
基本要求：了解位移法的基本思路、等截面直杆的转
角位移方程；熟练掌握位移法的基本原理和超静定
梁、刚架在荷载作用下内力的计算；掌握对称性的
利用。 教学内容：§8-1 概述 §8-2 §8-3 等截面直杆的转角位移方程 位移法的基本未知量和基本结构
§8-4
§8-5
位移法的典型方程及计算步骤
对称性的利用
需要解决的问题：
1）单跨超静定梁在杆端发生各种位移以及荷载等 因素作用下的内力（用力法计算） 2）基本未知量的确定 3）如何求出基本未知量
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
在位移法中，要用到单跨超静定梁在杆端发生 转动或移动，以及荷载等外因作用下的杆端弯 距和剪力。
1、符号规定： 杆端弯距(MAB,MBA)，以顺时针方向为正，
系数rij和自由项Rip与Zi的方向一致时为正。
典型方程的物理意义：基本结构在荷载等外因 和各结点位移的共同作用下，每一个附加联系 上的附加反力距和附加反力都等于零。即反映 原结构的静力平衡条件。
位移法以某些结点位移（角位移和线位移）作为 基本未知量，并取单跨超静定梁作为计算单元， 分析其杆端反力和杆端位移之间的关系，并根据 结点平衡条件建立典型方程式，求出各杆端的位 移，从而进一步计算结构内力。
解得: Z1=0.737/i，Z2=7.58/i 弯矩图
4.42
13.62
5.69
M图 (kN.m)
M M1Z1 M 21Z2 M P
例: 作M图，
EI=常数
t t
l 3i 4i i 2i
M1
Z1
t t
l
Z1 1
t t
1、静定结构与超静定结构静力计算公式
静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21x Y i ye A F W M A F -=-=σ )1(22x Y i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI x M I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ)661(be h e bh Fy x ±±=σ长短柱分界点如何界定？2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI l n 222π EI l 22π一端自由他端固定 β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a ＞b 时，3)2(932maxab a EIL Fb +=ω（在)2(3b a ax +=处） EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注：1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正（+），反之为负（—）。
第8章_位移法
k11
MP
3i
3
1
k11 4i 3i 7i
4i
将以上两式代入基本方程，得：
kR1111
4i
1
2
3Pl 7i Z1 16 0
1=Z1
Z1=
3i 1
3Pl Z1 112i
3
2i
M1
4、根据叠加原理作最后弯矩图
M M1Z1 MP
3Pl Z1 112i
3Pl 28
1
2
11Pl 56
3
3Pl 56
1
M 2
X2=1 1/l
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
A
fA
X1
fB
令 i EI l 线刚度
X1
4i A
2iB
6i l
X1=1
X2
2i A
4iB
6i l
1
M AB
4i A
2i B
6i l
M BA
2i A
4i B
6i l
M 1
M 2
X2=1
VAB
M AB
M BA l
C
D
C
D
1
C
D
A
B
A
B
1
试确定图示结构的独立线位移数
4
0
3、位移法的基本未知数
n n nl
例：确定结构按位移法求解的基本未知数
n 4 n n nl 4 2 6
nl 2
思考：确定结构按位移法求解的基本未知数
n n nl 6 2 8
7.2等截面直杆的转角位移方程
（二）几种常见情况
q
A
B
EI
l
P
A
B
EI
l2
l2
7.2 等截面直杆的转角位移方程
三、荷载作用下单跨超静定梁的杆端内力：
（二）几种常见情况
——又称为载常数
q
A
B
EI
l
P
A
B
EI
l2
l2
1. 左边的固端弯矩为负，右边的固端弯矩非负。 2. 固定端可以在左，也可以在右。
7.2 等截面直杆的转角位移方程
θB
A
EI
B
l
M AB 2iθB
M BA 4 i θB
θA
A
B
EI
l
M AB 3 i θA
θA
A
B
EI
l
M AB i θA M BA i θA
7.2 等截面直杆的转角位移方程
四、杆端位移所引起的杆端内力（续）：—形常数
A
EI
l
B
AB
M AB
3
i l
AB
A
EI
l
说明：
B
AB
M AB
6
二、杆端内力、杆端位移： （一）杆端内力
1.表示方法：采用双脚标。
A
B
2.正负号规定：
轴力N，剪力Q：同前；
弯矩M：杆端弯矩：顺时针为正；
支座或结点的弯矩：逆时针为正。
支座
M AB
AA
P1 BMBA B
支座
7.2 等截面直杆的转角位移方程
二、杆端内力、杆端位移：
（二）杆端位移： 假设：在变形过程中，直杆两端之间距离保持不变。