暑假班高一数学讲义第5讲
2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第1讲 方程的进阶——韦达定理(学生版)
1
911
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例2. 0519998081999
52
2=++=+-b b a a 及已知，求b
a
的值．
【巩固练习】
1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求b
a
a b +的值
2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且b
a a
b ab 1
4,1++≠求的值．
3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．
当堂检测
1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，
则p 、q 的值分别等于 ．
2．在R t △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程
0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ．
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，今天我们学习了韦达定理，大家尝试一下借助韦达定理解下面这道题：
已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m-1)x＋m2=0的两个非零实数根，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)充分条件与必要条件(解析版)
第04讲充分条件与必要条件模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3．培养逻辑思维能力，能够在复杂情况下运用充分条件与必要条件进行推理，解决数学问题.知识点1充分条件与必要条件1、命题（1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．（2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．2、充分条件与必要条件（1）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出结论q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ¿.这时，我们就说，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．（3）充分条件与必要条件的关系p 是q 的充分条件反映了p q ⇒，而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒，所以p 是q 的充分条件与q 是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒，与q 能否推出p 没有任何关系．3、充要条件（1）充要条件的概念：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔．此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．（2）充要条件的含义：若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同．（3）充要条件的等价说法：p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立，或p 与q 等价．4、充分条件与必要条件的传递性（1）若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即p q ⇒，q s ⇒，则有p s ⇒，即p 是s 的充分条件；（2）若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q p ⇒，s q ⇒，则有s p ⇒，即p 是s 的必要条件；（3）若p 是q 的充要条件，q 是s 的充要条件，即p q ⇔，q s ⇔，则有p s ⇔，即p 是s 的充要条件．5、条件关系判定的常用结论p 与q 的关系结论p q ⇒，但q p ¿p 是q 的充分不必要条件q p ⇒，但p q ¿p 是q 的必要不充分条件p q ⇒且q p ⇒，即p q ⇔p 是q 的充要条件p q ¿且q p¿p 是q 的既不充分也不必要条件知识点2从不同角度理解充分必要性1、从命题的角度充分理解充分必要性若把原命题中的条件和结论分别记作p 和q ，则原命题与逆命题同p 与q 之间有如下关系:（1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若原命题和逆命题都是真命题，则p 和q 互为充要条件；（4）若原命题和逆命题都是假命题,则p 是q 的既不充分也不必要条件.2、从集合的角度理解充分必要性若条件p ，q 以集合的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则由A ⊆B 可得，p 是q 的充分条件，（1）若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；（3）若AB ，则p 是q 的必要不充分条件；（4）若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；（5）若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；知识点3充分、必要、充要条件的证明1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。
2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第3讲 不等式的进阶——一元二次不等式(解析版)
进门测试建议5min①关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m 的范围； ②关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在内，求m 的范围；③关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在[1，3]之外，求m 的范围；④关于x 的二次方程mx 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m 的范围． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 课堂导入建议10min柯西柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职．由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒．他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方．精讲精练214m <-2755m -<≤-214m <-19013m -<<[0,1]2=++x px【解析】由px q x+≥对于一切实数q≥①, q=-2p-26.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离． 在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17.（1）求n 的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）n=6，（2）60 km/h【解析】(1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N *，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.7. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． （1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； （2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．【解析】（1）当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，解集为{x |－1＜x ＜2}． （2）由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .温故知新建议15min课后巩固1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
高一数学讲义
在一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个实根 x 1, x 2 ，那么有 ⎨⎧x + x = ______x ⋅ x = ______ ⎩第一部分 初中知识点复习1.一元二次方程的根及其分布【知识梳理】1．根的判别式一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的情况由决定，我们把它叫做根的判别式，通常用符号_______表示． 一般地，方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)（1）如果______________,则说明方程有个实数根（2）如果______________,则说明方程有个实数根（3）如果______________,则说明方程有个实数根2．根与系数关系（韦达定理）12 1 2拓展：【经典例题】例 1．讨论关于 x 的方程 (m - 1)x 2 + 2mx + (m - 2) = 0 的根的情况．x2；例2．若x1,x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根，求下列式子的值：（1）|x1-x2|；（2）11x2+12（3）x3+x312例3．已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m+2=0（1）若方程的两个根都是正数，求m的取值范围；（2）若方程的两个根一个大于0，另一个小于0，负根的绝对值小，求m的取值范围；（3）若方程的两个根一个大于1，另一个小于1，求m的取值范围．例4．若一元二次方程x2-4x+a=0的两个根，一个比3大，一个比3小，求a的取值范围．A．0<k≤14Ｂ．0<k≤14Ｃ．<k≤14Ｄ．k≤【过关练习】1.讨论关于x的方程ax2-(1+a)x+1=0的根的情况．2.若x,x是方程x2+2x-2018=0的两个根，试求下列各式的值：12（1）(x1-5)(x2-5)（2）x1-x2（3）11x+x123.若方程x2-11x+(30+k)=0有两个实数根，且两个实数根均大于5，则k的取值范围为（）1144.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m-1=0有两个非零实数根，求满足下列条件时，m的取值范围：（1）两根都小于0；（2）一根大于0，一根小于0．2.一元二次不等式【知识梳理】“三个二次”之间的关系：假设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2且x1<x2，∆=b2-4ac，则一元二次不等式的解的各种情况如下表：∆>0∆=0∆<0二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集总结：解一元二次不等式的口诀：【经典例题】例1．解不等式：（1）x2+x-6>0（2）x2-8x+16<0（3）-2x2+3x+7≥0例2．解下列不等式：x2≥16x2≤25(2x−1)2≤9−4+x−x2<0(2−x)(x+3)>02x2+7x+3>0例3．解关于x的不等式：(m-1)x2+2mx+(m-2)>0（m∈R）【过关练习】1.解不等式：2x2+5x+3>0−x2+3x+10<02x2−x−1<03x2−x−42x2−7x−4>0(x−1)(3−x)＜5−2x −1x2+3x−5>0−x2+8x−3>0x2−4x−5≤0 22.解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+a3>0（a∈R）3.分式不等式【知识梳理】分式不等式的解题步骤：【经典例题】例1．解下列分式不等式x-1 x+2<03x7-2x≥0x-3x+7<2x-1 -x+2>12x-33x-4≤2－1<3x-1x+2<2例2．解下列高次不等式x-2x2+3x+2>0x2+xx2+x-6<x2+x2x-1<2(x-2)2(x-3)3(x+1)<0(x+3)(-2)(-4)>0x2-2x-1x-2<0x x【过关练习】1.解下列分式不等式x-3 2-x≥02x-1-x+2>12x-1x+3>1x-2 x+3≥2x32x≥22x-1x+3>12.解下列高次不等式2x2+3x-2 x2-2x-3≤0.x2-3x+2x2-2x-3≤0(x-2)2(x-3)3(x+1)<07x-5x2x2-5x+6<xxx2-3x-4(x-2)(+3)≤00<x-1x<1x⎪ -a < 0) .⎨0 (a4.绝对值不等式【知识梳理】一．绝对值的概念1．几何意义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值 2．代数意义：______的绝对值是他本身，________的绝对值是他的相反数，_______的绝对值是 0，⎧ a (a > 0)即 a = ⎪= 0)⎩二．绝对值不等式两个绝对值不等式: x < a (a > 0) ⇔ ________________ ；x > a (a > 0) ⇔ ________________【经典例题】例 1．化简（1） 2x - 1 + x - 3 （2） 5 x - 1 - 3 x - 3例 2．解下列不等式（1） x - 1 > 4（2） x - 1 + x - 3 > 4（3） x - 1 + 3 x - 3 > 4（4） 5 x - 1 - 3 x - 3 > 4例2．（1）解不等式：x+1+x+2<4（2）对任意的x，不等式x-a+x+2≥6恒成立，求实数a的范围【过关练习】1.化简下列各式（1）x-1+x-3（2）x-1+3x-32.解下列不等式（1）x+1-x-2≤2（2）3x-2+2x+1>9 3.（1）解不等式：x-1+x+2≥5（2）对任意的x，不等式x+a+x-2≥5恒成立，求实数a的范围第二讲集合（一）1.1.1集合的含义与表示知识点1.集合的概念：一般地，指定的某些对象的全体称为，简称“集”。
高一升高二数学暑假衔接班讲义第六讲(学)
第六讲 圆的方程（一）热点透析考查目标 1.考查圆的方程的形式及应用；2.利用待定系数法求圆的方程．达成目标 1.熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点；2.会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择．（二）知识回顾1． 圆的定义在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫圆． 2． 确定一个圆最基本的要素是 和 3． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中( )为圆心， 为半径． 4． 圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是 ，其中圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.5． 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 6． 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上： ； (2)点在圆外： ； (3)点在圆内： . [难点正本 疑点清源]1． 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 2． 圆的一般方程的特征圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为⎝⎛⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.由于r 2相当于D 2＋E 2－4F4. 所以①当D 2＋E 2－4F >0时，圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ③当D 2＋E 2－4F <0时，这样的圆不存在．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是______________．2． (2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 3． (2011·四川)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)4． (2012·辽宁)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝05． (2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0二、高频考点专题链接题型一 求圆的方程例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．探究提高 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为 ____________________．题型二 与圆有关的最值问题例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值．探究提高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．题型三与圆有关的轨迹问题例3设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．探究提高求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)＋(y－1)＝1反思总结利用方程思想求解圆的问题典例：(12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．温馨提醒(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值．(3)本题的易错点：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．巩固练习(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．a>1或a<－1 D．a＝±13．(2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为() A．－1 B．1 C．3 D．－34．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为() A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1二、填空题(每小题5分，共15分)5．若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是______________．6．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________．7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．三、解答题(共22分)8．(10分)根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．9．(12分)一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) () A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8 B．－4 C．6 D．无法确定3．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．5．若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是____________．6．已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．三、解答题7．(13分)圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．。
2020年高三总复习数学人教旧版-必修4[第5讲 两角和与差的正弦余弦及正切公式]讲义(教师版)
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C． 3 2
D．－1 2
【答案】A
【解析】cos75°cos15°－sin435°sin15°＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15°
＝cos75cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0．
练习 1．已知 sin( ) cos cos( ) sin 3 ， ,0 ，则 cos 等于（ ）
5
5
2
5
练习
1 tan15 2． 1 tan15
________.
【答案】 3
1 tan15 【解析】 1 tan15
tan 45 tan15 tan 45 tan 45 tan15
tan(15
45 )
tan 60
3.
使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、这是灵活运用公式所必须的．尤其是三角公
42
42 2
∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－ 1 ＝4 5.
2
2
81 9
cos(α－β)＝ 1－sin2α－β＝ 1－4＝ 5.
2
2
93
∴cosα＋β＝cos[(α－β)－(α－β)]＝cos(α－β)cos(α－β)＋sin(α－β)sin(α－β)
2
22
22
22
＝－1× 5＋2×4 5＝7 5. 9 3 3 9 27
tan(
)
tan( ) tan 1 tan( ) tan
11 2 7
1 1 1
1
，
3
27
∴
０, 4
，又 tan(2
)
tan(
)
11 23 1 1 1
暑假衔接班新高一数学教案必修一1.1.1集合的含义与表示【知识精讲】
1.1.1集合的含义与表示【学习目标】1.通过实例了解元素和集合的含义，熟记特殊集合记号，理解元素与集合的属于关系；（重点）重点，2.针对具体问题能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；（重难点）3.在具体情境中了解全集与空集的含义；（难点）4.通过集合的表示培养数学抽象能力.（素养目标）【知识精讲】知识点1：元素与集合的概念1.元素一般地，我们把研究对象统称为元素，元素通常用小写拉丁字母a，b，c表示.2.集合我们通常把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集，集合通常用大写拉丁字母A，B，C表示。
3.集合中元素的特征第1页（共7页）【例1】现有以下说法，其中正确的是（）①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①②B．②③C．③④D．②④【分析】利用集合中元素的确定性能求出结果．【解答】解：在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选：D．【例2】若﹣1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}，则a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0 或1 【分析】﹣1可以是集合中任何一个不确定的元素，结合互异性，即可得出结论．【解答】解：①若a2﹣a﹣1＝﹣1，则a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，a＝1时，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a＝0；②若a2+1＝﹣1，则a2＝﹣2，a无实数解；由①②知：a＝0．第2页（共7页）知识点2：元素与集合的关系知识点3：常用的数集及其记法【例3】已知A＝{x|x≤2，x∈R}，a，b，则（）A．a∈A，且b∉A B．a∉A，且b∈A C．a∈A，且b∈A D．a∉A，且b∉A 【分析】根据已知中A＝{x|x≤2，x∈R}，判断a，b的值与的大小，可得a，b与集合A的关系【解答】解：∵A＝{x|x≤2，x∈R}，a，b，由＞，可得a∉A由2＜，可得b∈A第3页（共7页）【例4】下列所给关系正确的个数是（）①π∈R；② ∉Q；③0∈N*；④|﹣4|∉N*．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据元素与集合之间的关系判断四个结论是否正确【解答】解：由于①π∈R；② ∉Q；③0∉N*；④|﹣4|∈N*．故①②正确，③④错误故选：B．知识点4：集合的表示方法集合的表示方法，常见的有自然语言法，列举法和描述法.（1）自然语言法是指用文字叙述的形式描述集合的方法，如所有矩形组成的集合就是用自然语言表示的.（2）列举法和描述法，【例5】用描述法表示下列各集合．第4页（共7页）（1）大于﹣4且小于8的所有整数组成的集合；（2）绝对值小于4的所有实数组成的集合；（3）y轴上的所有点组成的集合．【分析】根据描述法的表示形式，（1）（2）都用x表示元素，再根据条件写出x满足的条件，从而表示出这两个集合，而（3）中的元素用（x，y）表示，表示点，然后写出x，y满足的条件，进而便表示出该集合．【解答】解：（1）设大于﹣4且小于8的整数为x，满足条件x∈Z，且﹣4＜x＜8，用描述法表示为：A＝{x∈Z|﹣4＜x＜8}；（2）用x表示绝对值小于4的实数，满足条件|x|＜4，描述法表示为：B＝{x||x|＜4}；（3）点用（x，y）表示，y轴上的点满足x＝0，y∈R，描述法表示为：C＝{（x，y）|x＝0，y∈R}．【例6】用列举法表示下列集合：（1）A＝{（x，y）|x+y＝6，x∈N，y∈N}；（2）B＝{x|∈N，x∈N}；（3）C＝{y|y＝﹣x2+6，x∈N，y∈N}．【分析】根据集合的意义，列举即可．【解答】解：（1）A＝{（x，y）|x+y＝6，x∈N，y∈N}＝{（x，y）|（0，6），（1，5），（2，第5页（共7页）4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}；（2）B＝{x|∈N，x∈N}＝{0，1，2}；（3）C＝{y|y＝﹣x2+6，x∈N，y∈N}＝{2，5，6}．知识点5：集合相等定义:只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.【例7】已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，若A＝B，求实数a，b的值【分析】利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a，b 的值．【解答】解：∵集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，A＝B，∴或，解得a＝0，b＝0或a＝0，b＝1或a，b．当a＝0，b＝0时，A＝{0，0，2}，不成立；当a＝0，b＝1时，A＝{0，1，2}，B＝{2，1，0}，成立；当a，b时，A＝{，，2}，B+{2，，}，成立．∴实数a，b的值为a＝0，b＝1或a，b．【例8】若a，b∈R，集合，，，，，求b﹣a的值．【分析】由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b＝0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：∵a，b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，，b}，第6页（共7页）∴，解得a＝﹣1，b＝1，∴b﹣a＝2．第7页（共7页）。
高一数学同步辅导讲义(专题讲解)
高一寒假数学同步辅导讲义（专题讲解）第一章 集合与简易逻辑专题讲解一 、 集合的概念、运算与不等式1．在解题过程中，要善于理解和识别集合语言（即符号和图形语言），并会用集合语言准确地叙述。
2．特别要注意在集合中表示关系的两类符号∈、∉与⊆、⊆的区别，元素与集合间的从属关系用∈、∉表示，集合与集合之间的包含与相等的关系用⊂、⊂、⊆、⊆、=表示.3．给定两个集合A ，B ，它们的运算意义为：A ∩B={}B x A x x ∈∈且，A ∪B={}B x A x x ∈∈或，C S A={}A x S x x ∉∈且,.这些运算都是同逻辑连词“且”与“或”紧密相连的，“且”表示两条件要同时成立，“或”表示两条件中要至少有一个成立.理解好这些逻辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的基础.集合的运算有时要用关系：C s (A ∪B)=（C s A ）∩（C sB ），C s （A ∩B ）=（C s A ）∪（C s B ），与此有关问题的运用韦恩图有示更直观.见表1—9.4．集合M={}n a a a ,,,21 的子集个数为2n ，真子集个数为2n －1，非空子集个数为2n—1，非空真子集个数为2n －2.含绝对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具，同时也为研究集合与命题间的逻辑关系提供了具体的数学模型.表1 命题 或 且 否定┐ 蕴涵⇒ 等价⇔ 集合 并集∪ 交集∩ 补集C 子集⊆ 相等=关键字词 或且非若……则……当且仅当必须且只须自反性 A ∪A=A A ∩A=A C U (C U )A=A A ⊆A 真子集无 A=A 对称性A ∪B=B ∪AA ∩B=B ∩AC B A=C A BA=A 若A=B 则B=A传递性若A ⊆B ，B ⊆C 则A ⊆C若A=B ，B=C ，A=C 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C)(A ∩B) ∩C=A ∩(B ∩C)【例1】 已知集合M=R x x y y ∈+=,12，N={}R x x y y ∈+=,1，则M ∩N=（ ） A ．（0，1）（1，2） B ．{})2,1(),1,0( C ．{}21==y y y 或 D ．{}1≥y y分析 集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对（x ，y ），因此M ，N 分别表示函数y=x 2+1（x ∈R ），y=x+1（x ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集.解 M={}R x x y y ∈+=,12={}1≥y y ，N={}R x x y y ∈+=,1={}R y y ∈. ∴M ∩N={}1≥y y ∩{}R y y ∈={}1≥y y ，故选D.说明（1）本题求M ∩N.经常发生解方程组⎩⎨⎧-=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x 从而选B 错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么，事实上M ，N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集.（2）集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{}R x xy x ∈+=,12，{}R x x y y ∈+=,12，{}R x x y y x ∈+=,1),(2这三个集合是不同的.【例2】给出下面元素与集合或集合之间的关系：（1）0⊂{}0；（2）0∈{}0；（3）Φ∈{}Φ；（4）a ∈{}a ；（5）Φ={}0；（6）{}0∈Φ；（7）Φ∈{}0；（8）Φ⊂{}0，其中正确的是（ ）A ．（2）（3）（4）（8）B ．（1）（2）（4）（5）C ．（2）（3）（4）（6）D ．（2）（3）（4）（7） 分析 依次判断每个关系是否正确，同时用排除法筛选.解 （1）应为0∈{}0；（2）（3）（4）正确，排除B ，再看（6）（7）（8）哪个正确，由Φ是{}0的子集，因此（8）正确，故选A.说明 0与{}0只有一种关系：0∈{}0 ；R 与{}R ；Φ与{}0也只有一种关系：Φ⊂{}0. 【例3】 已知集合A={}R x x m x x ∈=+++,01)2(2，若A ∩R +=Φ，则实数m 的取值范围是__________.分析 从方程观点看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+(m+2)x+1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A ∩R +=Φ可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围.解 由A ∩R +=Φ又方程x 2+(m+2)x+1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，即⎩⎨⎧<+-≥-+=∆.0)2(04)2(2m m或△=(m+2)2－4＜0.解得m ≥0或－4＜m ＜0，即m ＞－4.说明 此题容易发生的错误是由A ∩R +=Φ只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因此方程无零根），而把A=Φ漏掉，因此要全面正确理解和识别集合语言.【例4】 已知集合A={}0232=+-x x x ，B={}012=-+-a ax x x ，且A ∪B=A ，则a 值为__________.分析 由A ∪B=A ⇔B ⊆A 而推出B 有四种可能，进而求出a 的值. 解 ∵A ∪B=A ， ∴B ⊆A ，∵A={}2,1，∴B=Φ或B={}1或B={}2或B={}2,1. 若B=Ø，则令△＜0得a ∈Ø；若B ={}1，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B={}2，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根.∴a ∈Ø ；若B={}2,1，则令△＞0得a ∈R 且a ≠2，把x=1代入方程得a ∈R ，把x=2代入方程得a=3，综上a 的值为2或3.说明 本题不能直接写出B=（），因为a （）可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.【例5】 命题甲：方程x 2+mx+1=0有两个根异负根；命题乙：方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围.分析 使命题甲成立的m 的集合为A ，使命题乙成立的m 的集合而为B ，有且只有一个命题成立是求A ∩C R B 与C R A ∩B 的并集.解 因使命题甲成立的条件是△1=m 2－4＞0，且－m ＜0，所以解得m ＞2，即集合A={}2>m m ；因使命题乙成立的条件是△2=16(m －2)2－16＜0，所以解得1＜m ＜3，即集合B={}31<<m m .若命题甲、乙有且只有一个成立，则m ∈A ∩C R B 或m ∈C R A ∩B ，而A ∩C R B={}2>m m ∩{}31≥≤m m m 或={}3≥m m ，C R A ∩B={}2>m m ∩{}31<<m m ={}21≤<m m ，所以综上所求m 的范围是{}321≥≤<m m m 或.说明（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；（2）用集合语言来表示m 的满园即准备又简明.二、 一元二次方程实根的分布【例1】关于x 的方程3x 2－5x+a=0，实数a 在什么范围内，一个根大于－2，而小于0，另一个根大于1，而小于3？解 由题意，a 应满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(0)2(5)2(3)2(22a f a f a f a f 解得－12＜a ＜0.【例2】关于x 的方程2x 2+3x －5m=0，有两个小于1的实根，求实根m 的取值范围. 解 二次函数图像是开口向上的抛物线，对称轴x=－43，在x=1的左侧.这样抛物线与x 轴有两个交点的横坐标都小于1，所以应满足的条件是：⎩⎨⎧≥-=∆>-+=04090532)1(m m f 解得－409≤m ＜1. 【例3】关于x 的方程x 2―2tx+t 2―1=0的两个根介于―2和4之间，求实数t 的取值范围.解 由题意可知，t 需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 解得 －1＜t ＜3.说明 讨论二次方程实根的分布，常有以下一些结论（设方程f(x)=ax 2+bx+c=0（a ＞0）两实根为x 1，x 2）：（1）若m ＜x 1＜n ＜p ＜x 2＜q ，则方程系数应同时满足下列不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++=<++=<++=>+=0)(0)(0)(0)(2222c bq aq q f c bp ap p f c bn an n f c bm am m f 特别地，当方程f(x)=0有一正根，一负根，即x 1＜0，x 2＞0，则应用f(0)=c ＜0；若方程f(x)=0有一个根大于k ，一个根小于k ，则应有f(k)＜0.（2）若二次方程f(x)=0的两面根在区间（m ，n ）内，则应同时满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>n a b m n f m f 200)(0)( 特别地，若f(x)=0两根都大于k 时，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥∆>.2,0,0)(k ab k f三、 四种命题与充要条件1．所谓命题，是指可以判断其真假的陈述语句，一个陈述语句所叙述的事情符合事实，我们称它为真命题，反之，一个陈述语句所叙述的事情违反事实，我们称它为假命题.2．命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题，其中原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题是等价的。
高一数学竞赛辅导讲义第讲
宜阳一高数学竞赛辅导讲座11.数学方法选讲同学们在阅读课外读物的时候;或在听老师讲课的时候;书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂;但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手..看来;要提高解决问题的能力;要能在竞赛中有所作为;首先得提高分析问题的能力;这就需要学习一些重要的数学思想方法..例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”;足够的“退”;退到最原始而又不失去重要性的地方;是学好数学的一个诀窍..从简单情况考虑;就是一种以退为进的一种解题策略..1. 两人坐在一张长方形桌子旁;相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币..条件是硬币一定要平放在桌子上;后放的硬币不能压在先放的硬币上;直到桌子上再也放不下一枚硬币为止..谁放入了最后一枚硬币谁获胜..问：先放的人有没有必定取胜的策略2．线段AB上有1998个点包括A;B两点;将点A染成红色;点B染成蓝色;其余各点染成红色或蓝色..这时;图中共有1997条互不重叠的线段..问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数为什么 +3．1000个学生坐成一圈;依次编号为1;2;3;…;1000..现在进行1;2报数：1号学生报1后立即离开;2号学生报2并留下;3号学生报1后立即离开;4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2;凡报1的学生立即离开;报2的学生留下;如此进行下去;直到最后还剩下一个人..问：这个学生的编号是几号例题解析1．分析与解：如果桌子大小只能容纳一枚硬币;那么先放的人当然能够取胜..然后设想桌面变大;注意到长方形有一个对称中心;先放者将第一枚硬币放在桌子的中心;继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上;这样进行下去;必然轮到先放者放最后一枚硬币..2．分析：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色;这时异色线段只有1条;是一个奇数..然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时;异色线段的条数随之有哪些变化..由于颜色的调整是任意的;因此与条件中染色的任意性就一致了..解：如果中间的1996个点全部染成红色;这时异色线段仅有1条;是一个奇数..将任意一个红点染成蓝色时;这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色;则异色小线段的条数或者增加2条相邻的两个点同为红色;或者减少2条相邻的两个点同为蓝色；这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若异色;则异色小线段的条数不变..综上所述;改变任意个点的颜色;异色线段的条数的改变总是一个偶数;从而异色线段的条数是一个奇数..3．解：如果有2n个人;那么报完第1圈后;剩下的是2的倍数号；报完第2圈后;剩下的是22的倍数号……报完第n圈后;剩下的是2n的倍数号;此时;只剩下一人;是2n号..如果有2n＋d1≤d＜2n人;那么当有d人退出圈子后还剩下2n人..因为下一个该退出去的是2d＋1号;所以此时的第2d＋1号相当于2n人时的第1号;而2d号相当于2n人时的第2n号;所以最后剩下的是第2d号..由1000=29＋488知;最后剩下的学生的编号是488×2=976号..宜阳一高数学竞赛辅导讲座2二、从极端情况考虑从问题的极端情况考虑;对于数值问题来说;就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说;指的是线段的端点;三角形的顶点等等..极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件;求解也就会变得容易得多.. 5．新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门;他知道每把钥匙只能打开其中的一个门;但不知道哪一把钥匙开哪一个门;现在要打开所有关闭的20个门;他最多要开多少次6．有n名n≥3选手参加的一次乒乓球循环赛中;没有一个全胜的..问：是否能够找到三名选手A;B;C;使得A胜B;B胜C;C胜A7．nn≥3名乒乓球选手单打比赛若干场后;任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同..试证明;总可以从中去掉一名选手;而使余下的选手中;任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同..例题解析5. 解：从最不利的极端情况考虑：打开第一个房间要20次;打开第二个房间需要19次……共计最多要开20＋19＋18＋…＋1=210次..6. 解：从极端情况观察入手;设B是胜的次数最多的一个选手;但因B没获全胜;故必有选手A胜B..在败给B的选手中;一定有一个胜A的选手C;否则;A胜的次数就比B多一次了;这与B是胜的次数最多的矛盾..所以;一定能够找到三名选手A;B;C;使得A胜B;B胜C;C胜A..7. 证明：如果去掉选手H;能使余下的选手中;任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同;那么我们称H为可去选手..我们的问题就是要证明存在可去选手..设A是已赛过对手最多的选手..若不存在可去选手;则A不是可去选手;故存在选手B和C;使当去掉A 时;与B赛过的选手和与C赛过的选手相同..从而B和C不可能赛过;并且B和C中一定有一个不妨设为B与A赛过;而另一个即C未与A赛过..又因C不是可去选手;故存在选手D;E;其中D和C赛过;而E和C未赛过..显然;D不是A;也不是B;因为D与C赛过;所以D也与B赛过..又因为B和D赛过;所以B也与E赛过;但E未与C赛过;因而选手E只能是选手A..于是;与A赛过的对手数就是与E赛过的对手数;他比与D赛过的对手数少1;这与假设A是已赛过对手最多的选手矛盾..故一定存在可去选手..宜阳一高数学竞赛辅导讲座3三、从整体考虑从整体上来考察研究的对象;不纠缠于问题的各项具体的细节;从而能够拓宽思路;抓住主要矛盾;一举解决问题..9．右图是一个4×4的表格;每个方格中填入了数字0或1..按下列规则进行“操作”：每次可以同时改变某一行的数字：1变成0;0变成1..问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成110．有三堆石子;每堆分别有1998;998;98粒..现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子;或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中..按上述方式进行“操作”;能否把这三堆石子都取光如行;请设计一种取石子的方案；如不行;请说明理由..11．我们将若干个数x;y;z;…的最大值和最小值分别记为maxx;y;z;…和minx;y;z;…..已知a+b+c+d+e+f+g=1;求minmaxa+b+c;b+c+d;c+d+e;d+e+f;e+f+g例题解析9. 解：我们考察表格中填入的所有数的和的奇偶性：第一次“操作”之前;它等于9;是一个奇数;每一次“操作”;要改变一行或一列四个方格的奇偶性;显然整个16格中所有数的和的奇偶性不变..但当每一格中所有数字都变成1时;整个16格中所有数的和是16;为一偶数..故不能通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1..10. 解：要把三堆石子都取光是不可能的..按“操作”规则;每次拿掉的石子数的总和是3的倍数;即不改变石子总数被 3除时的余数..而1998+998+98=3094;被3除余1;三堆石子被取光时总和被3除余0..所以;三堆石子都被取光是办不到的..11. 解：设 M=maxa+b+c;b+c+d;c+d+e;d+e+f;e+f+g..因为a+b+c;c+d+e;e+f+g都不大于M;所以练习题1.方程x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn一定有一个自然数解吗为什么2.连续自然数1;2;3;…;8899排成一列..从1开始;留1划掉2和3;留4划掉5和6……这么转圈划下去;最后留下的是哪个数3.给出一个自然数n;n的约数的个数用一个记号An来表示..例如当n=6时;因为6的约数有1;2;3;6四个;所以A6=4..已知a1;a2;…;a10是 10个互不相同的质数;又x为a1;a2;…;a10的积;求 Ax..宜阳一高数学竞赛辅导讲座4 1.有..解：当n=2时;方程x1+x2=x1x2有一个自然数解：x1=2;x2=2；当n=3时;方程x1+x2+x3=x1x2x3有一个自然数解：x1=1;x2=2;x3=3；当n=4时;方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一个自然数解：x1=1;x2=1;x3=2;x4=4..一般地;方程x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn有一个自然数解：x1=1;x2=1;…;xn-2=1;xn-1=2;xn=n..2 .3508..解：仿例3..当有3n个数时;留下的数是1号..小于8899的形如3n的数是38=6561;故从1号开始按规则划数;划了8899-6561=2338个数后;还剩下6561个数..下一个要划掉的数是2388÷2×3+1=3507;故最后留下的就是3508..3.1024..解：质数a1有2个约数：1和a;从而Aa1=2；2个质数a1;a2的积有4个约数：1;a1;a2;a1a2;从而Aa1×a2=4=22；3个质数a1;a2;a3的积有8个约数：1;a1;a2;a3;a1a2;a2a3;a3a1;a1a2a3;从而Aa 1×a 2×a 3=8=23；……于是;10个质数a 1;a 2;…;a 10的积的约数个数为Ax=210=1024..6.把1600粒花生分给100只猴子;请你说明不管怎样分;至少有4只猴子分的花生一样多..7.有两只桶和一只空杯子..甲桶装的是牛奶;乙桶装的是酒精未满..现在从甲桶取一满杯奶倒入乙桶;然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶;这时;是甲桶中的酒精多;还是乙桶中的牛奶多 为什么8.在黑板上写上1;2;3;…;1998..按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任意两个数a 和b;然后写上它们的差大减小;直到黑板上剩下一个数为止..问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数 为什么6.假设没有4只猴子分的花生一样多;那么至多3只猴子分的花生一样多..我们从所需花生最少情况出发考虑：得1粒、2粒、3粒……32粒的猴子各有3只;得33粒花生的猴子有1只;于是100只猴子最少需要分得花生3×0+1+2+…+32+33=1617粒;现在只有1600粒花生;无法使得至多3只猴子分的花生一样多;故至少有4只猴子分的花生一样多..7.一样多..提示：从整体看;甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化..甲桶里有多少酒精;就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶..所以;甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多..8.奇数..解：黑板上开始时所有数的和为S=1+2+3+…+1998=1997001;是一个奇数;而每一次“操作”;将a+b变成了a-b;实际上减少了2b;即减少了一个偶数..因为从整体上看;总和减少了一个偶数;其奇偶性不变;所以最后黑板上剩下一个奇数..。
【全国百强校】福建省厦门第一中学人教版高一数学尖端培养计划班讲义(PDF版)：第4-6讲集合
第二讲集合1．集合的相关概念⑴集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．⑵元素用小写字母,,,a b c 表示；集合用大写字母,,,A B C 表示．⑶不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2.元素与集合间关系：属于∈；不属于∉如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈；知识点睛集合的含义及表示满分晋级集合2级函数3级函数及其表示函数4级函数的基本性质如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.3.集合表示法⑴列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{}”内的表示集合的方法．例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x |描述特点}例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z 方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}【例1】下列命题：⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合{}1,2,3与集合(){}3,2,1是同一个集合；⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集．⑸方程2210x x -+=的解集是{}1,1.正确的个数是.【例2】用描述法及列举法表示下列集合⑴方程2260x x +-=的根；⑵不大于8且大于3的所有整数；⑶函数32y x =+与1y x=的交点组成的集合；⑷集合A 由所有这样的元素x 构成：x ∈N 且86x∈-N .例题精讲【例3】用“∈”或“∉”填空：⑴若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ；⑵0___∅，0___{0}．⑶0______N N ，N ，0*N⑷1______,π_______,2-Q Q Q ⑸2{}21,x x m m =-∈Z ，7{}23,,x x m n m n =+∈Z________{}|,,x x a a b =∈∈Q Q【例4】设{|,,}S x x m m n ==∈Z ⑴若a ∈Z ，则a 是否是集合S 的元素？⑵对于S 中任意两个元素1x 、2x ，则12x x +、12x x ⋅是否属于S ？⑶对于给定的整数n ，试求满足01m <+的S 中元素的个数．【例5】已知集合2{|210}A x ax x =∈++=R ，其中a ∈R⑴1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；⑵若A 中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合B ；⑶若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围．⑷当A 不为空集时，求A 中所有元素的和.1．子集：对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．2．真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）．∅是任意非空集合的真子集．维恩图：我们常用平面内的封闭曲线的内部表示一个集合．这种表示法通常叫做维恩图．3．相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B．例题精讲知识点睛集合间的关系【例6】⑴求集合{}{}{1,2},1,2,3,1,2,3,4的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100} 的子集和真子集的个数．⑵求满足条件{1,2}A ⊆{1,2,3,4,5}的集合A 的个数.⑶求集合{1,2,3,,100}M = 的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零）．【例7】⑴已知集合2{,,2},{,,}A a a d a d B a aq aq =++=，其中0a ≠，且A B =，则q 等于．⑵已知集合{}{}2260,,2,A x x ax a x B x x a x =+-∈=-<∈R R ≤，当B A 时，则实数a 的取值范围是.【例8】⑴设集合729A x x k ⎧==+⎨⎩或112,9x k k ⎫=+∈⎬⎭Z ，72,9B y y k k ⎧⎫==±+∈⎨⎬⎭⎩Z ，则A 与B 的关系是()A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．79A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ ⑵已知集合16M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，123n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，，126p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N P ，，满足的关系是（）A ．M N P =B ．M N P =C ．M N PD ．N P M =⑶若{}(,)1A x y x y =+≤，{}22(,)1B x y x y =+≤，{}(,)1,1C x y x y =≤≤，求集合A ，B ，C 的关系．1.相关概念⑴并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A B （读作“A 并B ”），即{|,A B x x A =∈ 或}x B ∈．⑵交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈ 且}x B ∈．⑶全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈ 且}x A ∉．⑷差集：对于集合,A B ，有集合{}x x A x B ∈∉且，即A 中但不在B 中的元素的所组成的集合，称为A 与B 的差集，记作A B -或\A B .对称差集：对于集合,A B ，有集合{}A B A B x x A B x B A ∈∈ 或 ，即在A 、B 的所有元素中除去A 、B 公共部分的元素所组成的整体，记作A B △知识点睛集合的基本运算【例9】⑴已知全集{1,2,3,,10}U = ，{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，{3,5,7,9}C =求：A B ，A B ，()U A B ，()U A B ，()A B C ⑵已知全集是R ，{|37},{|210}A x x B x x =<=<<≤，求()A B R ，()A B R⑶设全集{|20U x x =≤且x 为质数}．若()(){3,5},{7,19}U UA B A B == ，且{2,17}U U A B =，求集合,A B ．【例10】⑴已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．{|13}x x -≤≤⑵已知{(,)|,}U x y x y =∈R ，3(,)|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)|1B x y y x =≠+，则()U A B 等于（）A ．∅B ．{(2,3)}C ．(2,3)D ．{2,3}例题精讲对于集合M ，定义函数()1,1,M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合M ，N ，定义集合()(){}|1M N M N x f x f x ∆=⋅=-．已知{}2,4,6,8,10A =，{}1,2,4,8,16B =．⑴写出()1A f 和()10B f =的值，并用列举法写出集合A B ∆；⑵用()card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()card card X A X B ∆+∆的最小值；⑶有多少个有序集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？练习1.方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（）A ．()5,4B ．()5,4-C ．(){}5,4-D ．(){}5,4-．练习2.用适当的符号填空⑴{}()(){}|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤⑵{|2x x ≤，⑶{}31|,_______|0x x x x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭R 实战演练华山论剑练习3.⑴已知全集{()|}U x y x y =∈∈,R ,R ，{(11)}P =,，表示U P ．⑵{}a b c ,,A {}a b c d e f ,,,,,，求满足条件的A 的个数．练习4.已知{|2820,,}A x x m n m n ==+∈Z ，{|1218,,}B x x m n m n ==+∈Z ，则A B 中最小的正整数是_________练习5.设集合{|(3)()0}A x x x a a =--=∈,R ，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．练习6.若集合2{|20}M x x x =-->，{|10}T x mx =+<，且T M ⊆．求实数m 的取值范围．。
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第5讲：函数的单调性
【考纲要求】
1.理解单调性的定义。
2.运用单调性的定义判断函数的单调性。
3.通过对一些熟悉的函数图像的观察分析，体会函数最大值和最小值与函数单调性的关系及
几何意义
4.会利用函数的单调性求函数最值
【教学重难点】函数的单调性
【重难点命题方向】函数的单调性是考查的重点
自主预习：
（1）增函数与减函数：一般地，设函数)(xfy的定义域为A，区间AM。如果取区间
M
中的____________ ，改变量12xxx>0,则当________________时，就称函数)(xfy在
区间M上是增函数，当________________时，那么就称函数)(xfy在区间M上是减函数.
（2）单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是________________或是________________，就说这个函
数在这个区间M上具有单调性，区间M称为________________.
（3）0a时，二次函数cbxaxy2的单调递增区间为________________。
（4）0k时，bkxy在R上是________函数。
（5）函数)0(kxky的单调递减区间为________________。
课堂互动：
一．证明函数的单调性
[例1]证明函数xxxf1)(在（0，1）上是减函数。
巩固提高
1.例1中若区间改为），（1，单调性如何改变？
2. 证明函数xxxf1)(在区间），（0上是增函数。
3．证明：xxf)(在定义域上是减函数。
二．函数单调区间的求法
[例2]求下列函数的增区间与减区间
（1）|32|)(2xxxf （2）||3)(xxf
巩固提高
1.求函数3||2)(2xxxf的单调递增区间。
2. 求函数1||)(2xxxf的单调区间。
三.函数单调性的简单应用
[例3]如果函数cbxxxf2)(，对任意实数t都有)2()2(tftf，比较
)4()2()1(fff、、
的大小。
巩固提高
1、已知Rxxfxf),4()(，当2x时，)(xf为增函数，设
)2(),4(),1(fcfbfa，试确定cba,,
的大小关系。
四．利用数形结合求最值
[例4]求函数2|1|1)yxx（最值
巩固提高
1求.函数 |1||2|fxxx的最值
2. 已知函数222,[5,5]fxxaxx
（1）当1a时，求函数fx的最大值和最小值
（2）求实数a的取值范围，使yfx在区间[5,5]上是单调函数
五．利用单调性求最值
[例5] 讨论函数f(x)=x+x1在（0，+）的单调性，并求在此区间的最值
巩固提高
1.求函数3||2)(2xxxf的单调递增区间。
2. 求函数1||)(2xxxf的单调区间。
六.实际问题中的最值
[例6]将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，螚卖出500个，已知这种商品每涨价一元，
其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？
巩固提高
用长为24米的材料围成一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，求隔墙的长度。
【基础限时训练】
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）
A. xy3 B. 12xy C.xy1 D. ||xy
2.若)0,(,21xx且21xx，函数xxf1)(，则有（ ）
A. )()(21xfxf B. )()(21xfxf C. )()(21xfxf D. 0)()(21xfxf
3.函数163)(2xxxf在)4,3(x上的单调性是_______________。
4.函数21yx在1,1上的最大值和最小值分别是（ ）
A.-1，3 B-3,1 C-1,0 D-3,3
5．函数221fxxaxa,2上是减函数，在2,)是增函数，则f(x)的最小值是
（ ）
A.-1 B.-5 C.6 D不确定
6．函数220121232xxfxxx的最大值是________
【拔高限时训练】
1.下列函数中，在区间），（0上是增函数的是（ ）
A. 122xxy B. xy2
C. 12xy D. xxy22
2．已知函数yfx在区间M上的任意两个值,ab，总有0fafbab成立，则
yfx
在区间M上（ ）
A. 先增后减的函数 B. 先减后增的函数 C. 增函数 D. 减函数
3.已知函数54)(2mxxxf在区间），2[上是增函数，则)1(f的范围是（ ）
A. 25)1(f B. 25)1(f C. 25)1(f D. 25)1(f
4.已知函数)0()(2acbxaxxf的对称轴方程为2x，则下列判断正确的是（ ）
A. )()2(ff B. )()2(ff C. )()22(ff D. )()22(ff
5.已知函数)(xf是区间），（0上的减函数，那么)1(2aaf与)43(f的大小关系为
_______________。
6.若函数xxkxf)(在）0,(上是减函数，则k的取值范围是（ ）
A. 0k B. 0k C. 0k D. 0k
7.设函数)(xf是）,(上的减函数，则（ ）
A. )2()(afaf B. )()(2afaf C. )()(2afaaf D. )()1(2afaf
8.设函数)(xf满足：对任意的Rxx21,都有0)]()()[(2121xfxfxx则)3(f与
)(f
的大小关系是______________．
9.函数||32)(2xxxf的单调递减区间是_______________。
10.已知函数()yfx[3,3]x是减函数，且(23)1fxfx，则x的取值范围是
______________.
11.判断函数11xy的单调性，并用定义加以证明。
12.讨论函数32)(2axxxf在（-2，2）内的单调性。
13.已知函数2yabxab在[2,1]上的值域为[2,1]，求,ab的值。
14．已知二次函数R)cb,c(a,bxax)x(f2，且同时满足下列条件：①0)1(f
②对任意的实数x,都有0x)x(f③当)2,0(x时有2)21x()x(f.
（）求f(1)；
（）求a,b,c的值；
（）当]1,1[x时，函数R)mx(m)x(f)x(g是单调函数，求m的取值范围。
课后总结：
学完本课，在以下各项的后面的“（ ）”中，用“√”或“？”标注你是否掌握。
（1）对函数单调性定义的理解 （ ）
（2）用单调性的定义证明函数的单调性的四个步骤 （ ）
（3）函数单调性的简单应用 （ ）
【李老师5分钟答疑】