2017_2018学年高中数学章末小结课件苏教版选修4_2
2017-2018学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法章末小结与测评创新应用教学案新人教A版选修4-5
第二讲 证明不等式的基本方法比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． [证明] ∵b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2－2(xy ＋yz ＋zx )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 2＋a b y 2－2xy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b y 2＋b c z 2－2yz ＋(a c z 2＋c a x 2－2zx )＝⎝⎛⎭⎪⎫bax －a b y 2＋(c by －b c z )2＋⎝⎛⎭⎪⎫ acz －c a x 2≥0. ∴b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立.综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)f (1)＞0，求证： (1)方程f (x )＝0有实根； (2)－2＜ba＜－1；(3)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根， 则33≤|x 1－x 2|＜23. [证明] (1)当a ＝0时，b ＝－c ，f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－c 2≤0，与已知矛盾，所以a ≠0.方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式Δ＝4(b 2－3ac )， 由a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得Δ＝4(a 2＋c 2－ac )＝4[⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12c 2＋34c 2]＞0.故方程f (x )＝0有实根．(2)由f (0)·f (1)>0，得c (3a ＋2b ＋c )>0. 由a ＋b ＋c ＝0，消去c 得(a ＋b )(2a ＋b )<0. 因为a 2＞0，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a＜0.故－2<b a<－1.(3)由已知得，x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝c 3a ＝－a ＋b3a ，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋322＋13.因为－2<b a <－1，所以13≤(x 1－x 2)2<49.故33≤|x 1－x 2|<23.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋b ＋12≤2.[证明] 要证a ＋12＋b ＋12≤2，只要证⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12＋ b ＋122≤4， 即证a ＋b ＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4.只要证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤1. 也就是要证：ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，即证ab ≤14.∵a ＞0，b >0，a ＋b ＝1.∴1＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤14，即上式成立．故a ＋12＋b ＋12≤2.(1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确．(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的．若a ，b ，c 为直角三角形三边，c 为斜边．求证：a 3＋b 3＜c 3.[证明] 假设a 3＋b 3≥c 3，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3≥1.① ∵a ，b ，c 为直角三角形的三边且c 为斜边，∴a 2＋b 2＝c 2，a c ∈(0，1)，b c ∈(0，1)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3＜1.②①与②矛盾．∴假设不成立．∴a 3＋b 3＜c 3.求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <3.[证明] 由11×2×3×…×k <11·2·2·…·2＝12k －1(k 是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1＋1－12n1－12＝3－12n －1＜3.一、选择题1．证明命题：“f (x )＝e x＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”，现给出的证法如下：因为f (x )＝e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝e x－1e x .因为x ＞0，所以e x＞1，0＜1e x ＜1，所以e x－1ex ＞0，即f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．以上都不是解析：选A 上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到结论，用了综合法．2．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n （x 2n ＋3）3x 2n ＋1(n ＝1，2，…)．试证：数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n ＜x n ＋1，或者对任意的正整数n 都满足x n ＞x n ＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：选B “x n ＜x n ＋1或x n ＞x n ＋1”的对立面是“x n ＝x n ＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”．3．若a >0，b >0，则p ＝a a b b，q ＝a b b a的大小关系是( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p >q D ．p <q解析：选A p q ＝a a b b a b b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b .当a >b >0时，a b >1，a －b >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，p >q .当0<a <b 时，0<a b <1，a －b <0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，p >q . 当a ＝b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b＝1，p ＝q ，综上可知p ≥q .4．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >ab 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a b 2>a D.a b>a >a b2解析：选C 本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小，可以认为是先比较1b ，1b2，1的大小，再比较a b ，a b2，a 的大小．又因为a <0，所以又可认为是在比较－1b，－1b2，－1的大小．因为b <－1，所以1>1b 2>1b.也可以令a ＝－1，b ＝－2，分别代入A 、B 、C 、D 中，知A 、B 、D 均错．二、填空题5．设α、β为锐角，且M ＝sin(α＋β)，N ＝sin α＋sin β，则M 、N 的大小关系是________．解析：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β. 答案：M <N6．设a ＞0，b ＞0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋bb ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析：∵a >0，b >0， ∴N ＝aa ＋2＋b b ＋2＞a a ＋b ＋2＋b a ＋b ＋2＝a ＋ba ＋b ＋2＝M . ∴M ＜N . 答案：M ＜N7．若c ＞a >b >0，比较大小：ac －a________bc －b.(填“＞”“＝”或“＜”)解析：∵c >a >b >0， ∴c －b >c －a >0，∴1c －a >1c －b >0， 又∵a >b >0，∴a c －a >bc －b.答案：>8．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应该满足的条件是________． 解析：a a ＋b b >a b ＋b a ⇒a (a －b )－b (a －b )>0 ⇒(a －b )2(a ＋b )>0a ≥0，b ≥0且a ≠b .答案：a ≥0，b ≥0，a ≠b 三、解答题9．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. 证明：3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a ) ＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，3a 2－2b 2>0， 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0. 故3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2成立．10．已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1， 求证：|ac ＋bd |≤1.证明：法一(综合法)：因为a ，b ，c ，d 都是实数， 所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1， 所以|ac ＋bd |≤1.法二(比较法)：显然有 |ac ＋bd |≤1⇔－1≤ac ＋bd ≤1. 先证明ac ＋bd ≥－1.∵ac ＋bd －(－1)＝ac ＋bd ＋12＋12＝ac ＋bd ＋a 2＋b 22＋c 2＋d 22＝（a ＋c ）2＋（b ＋d ）22≥0.∴ac ＋bd ≥－1.再证明ac ＋bd ≤1. ∵1－(ac ＋bd )＝12＋12－(ac ＋bd )＝a 2＋b 22＋c 2＋d 22－ac －bd ＝（a －c ）2＋（b －d ）22≥0，∴ac ＋bd ≤1.综上得|ac ＋bd |≤1. 法三(分析法)：要证|ac ＋bd |≤1， 只需证明(ac ＋bd )2≤1.即只需证明a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤1.① 由于a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，因此①式等价于a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，②将②式展开、化简，得(ad －bc )2≥0.③因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以③式成立，即①式成立． 原命题得证．11．已知a 、b 、c 为三角形的三条边，求证：以a 1＋a ，b 1＋b ，c1＋c为边也可以构成一个三角形．证明：(放缩法)设f (x )＝x1＋x ，x ∈(0，＋∞)，设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1) ＝x 21＋x 2－x 11＋x 1＝x 2－x 1（1＋x 1）（1＋x 2）＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上为增函数．∵a 、b 、c 为三角形的三条边，于是a ＋b ＞c ，∴c 1＋c ＜a ＋b 1＋（a ＋b ）＝a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b＜a1＋a ＋b 1＋b ，即c 1＋c ＜a 1＋a ＋b1＋b， 同理：b 1＋b ＜a 1＋a ＋c 1＋c ，a 1＋a ＜b 1＋b ＋c1＋c.∴以a 1＋a ，b 1＋b ，c1＋c为边可以构成一个三角形．(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x(x ＜0)，则a 与b 的大小关系是 ( ) A ．a ＜b B ．a ＞b C ．a ＝b D ．a ≤b解析：选B ∵a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x(x ＜0)，故b ＜1，∴a ＞b . 2．若a >b ，则下列不等式正确的是( ) A.1a <1bB ．a 3>b 3C ．a 2>b 2D ．a >|b |解析：选B 若a ＝1，b ＝－3，则1a >1b，a 2<b 2，a <|b |，知A 、C 、D 错误；函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0，函数f (x )＝x 3为增函数，若a >b ，则a 3＞b 3.3．已知a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，那么有( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b解析：选A ∵a －b ＝(2－5)－(5－2)＝4－25＜0， ∴a ＜b .b －c ＝(5－2)－(5－25) ＝(5－2)(1－5)＜0， ∴b <c .∴a <b <c .4．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3b B.3a <3bC.3a ＝3b 且3a <3bD.3a ＝3b 或3a <3b 解析：选D3a 与3b 大小包括3a >3b ，3a ＝3b ，3a <3b 三方面的关系，所以3a >3b的反设应为3a ＝3b 或3a <3b .5．使不等式3＋8>1＋a 成立的正整数a 的最大值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13解析：选C 用分析法可证a ＝12时不等式成立，a ＝13时不等式不成立． 6．设a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，则下列不等式中恒成立的是( ) A.a b <a ＋mb ＋m <1 B.a b ≥a ＋mb ＋m C.a b ≤a ＋mb ＋m ≤1 D ．1<b ＋m a ＋m <ba解析：选 A ∵0<a <b ，m >0，∴a b －a ＋m b ＋m ＝ab ＋am －ab －bm b （b ＋m ）＝m （a －b ）b （b ＋m ）<0，又a ＋mb ＋m－1＝a ＋m －b －m b ＋m ＝a －b b ＋m <0，∴a b <a ＋mb ＋m<1.7．已知a >b >－1，则1a ＋1与1b ＋1的大小关系是( ) A.1a ＋1>1b ＋1 B.1a ＋1＜1b ＋1 C.1a ＋1≥1b ＋1 D.1a ＋1≤1b ＋1解析：选B 1a ＋1－1b ＋1＝（b ＋1）－（a ＋1）（a ＋1）（b ＋1）＝b －a（a ＋1）（b ＋1）.∵a >b >－1，∴b －a <0，a ＋1>0，b ＋1>0.∴b －a （a ＋1）（b ＋1）＜0，∴1a ＋1－1b ＋1＜0. 即1a ＋1＜1b ＋1. 8．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a，Q ＝a ＋b ，则( ) A ．P >Q B ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析：选A P －Q ＝a 2b ＋b 2a－(a ＋b ) ＝a 3＋b 3－ab （a ＋b ）ab＝（a ＋b ）（a 2＋b 2－2ab ）ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab .∵a ，b 都是正实数，且a ≠b ，∴（a ＋b ）（a －b ）2ab ＞0.∴P >Q .9．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d a ＋b ＋d ，则下列判断中正确的是( )A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <4解析：选B 用放缩法，aa ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <a a ＋c ；b a ＋b ＋c ＋d <b b ＋c ＋d <b d ＋b ； ca ＋b ＋c ＋d <c c ＋d ＋a <c c ＋a ；d a ＋b ＋c ＋d <d d ＋a ＋b <d d ＋b . 以上四个不等式相加，得1<S <2.10．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|，Q ＝12sin 2α，则它们之间的大小关系为( ) A ．M >N >P >Q B ．M >P >N >QC ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：选D ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，54π，∴0>sin α>cos α. ∴|sin α|＜|cos α|，∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|) >12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M . P ＝12|sin α|＋|cos α|<12(|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N .∴N >P >M . 对于Q ＝12sin 2α＝sin αcos α＜|sin α|＋|cos α|2＝P . 而Q ＝sin αcos α>sin 2α＝|sin α|＝M ，∴N >P >Q >M .二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)11．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a2与1a ＋1b 的大小关系是________． 解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b12．设a >0且a ≠1，m ＝log a (1＋a )，n ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ，则m ，n 的大小关系为________． 解析：当a >1时，1＋a >1＋1a， ∴log a (1＋a )>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ，即m >n ； 当0<a <1时，1＋a <1＋1a ，∴log a (1＋a )>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ，即m >n . 答案：m >n13．设0<m <n <a <b ，函数y ＝f (x )在R 上是减函数，下列四个数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －m a －m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋n b ＋n 的大小顺序依次是______________________________________________． 解析：∵a b <a ＋nb ＋n <1<b a <b －m a －m ，根据函数的单调性， 知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋n b ＋n >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －m a －m . 答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋n b ＋n >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －m a －m 14．若a >b >c >0，l 1＝ （c ＋a ）2＋b 2，l 2＝ （b ＋c ）2＋a 2，l 3＝ （a ＋b ）2＋c 2，则l 1l 2，l 2l 3，l 22，l 23中最小的一个是________．解析：利用赋值法比较，令a ＝3，b ＝2，c ＝1，可得l 1＝20，l 2＝18，l 3＝26，则l 1l 2＝360，l 2l 3＝468，l 22＝324，l 23＝676，可知l 22最小．答案：l 22三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)比较3(1＋x 2＋x 4)和(1＋x ＋x 2)2的大小．解：∵3(1＋x 2＋x 4)－(1＋x ＋x 2)2＝3(1＋x 2＋x 4)－(1＋x 2＋x 4＋2x ＋2x 2＋2x 3)＝3＋3x 2＋3x 4－1－x 2－x 4－2x －2x 2－2x 3＝2x 4－2x 3＋2－2x ＝2x 3(x －1)＋2(1－x )＝2(x －1)(x 3－1)＝2(x －1)2(x 2＋x ＋1) ＝2(x －1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥0. 故3(1＋x 2＋x 4)≥(1＋x ＋x 2)2.16．(本小题满分12分)设a ，b ，c ，d 均为正数，求证： a 2＋b 2＋ c 2＋d 2≥ （a ＋c ）2＋（b ＋d ）2.证明：欲证 a 2＋b 2＋ c 2＋d 2≥ （a ＋c ）2＋（b ＋d ）2，只需证(a 2＋b 2＋ c 2＋d 2)2≥(a ＋c )2＋(b ＋d )2，即证 （a 2＋b 2）（c 2＋d 2）≥ac ＋bd ，就是证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，就是证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd .也就是证(bc －ad )2≥0.此式显然成立，故所证不等式成立．17．(本小题满分12分)设实数x 、y 满足y ＋x 2＝0，0＜a <1，求证：log a (a x ＋a y )＜log a 2＋18. 证明：∵a x ＞0，a y ＞0，∴a x ＋a y ≥2ax ＋y ＝2ax －x 2. ∵x －x 2＝x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（1－x ）22＝14， 又0<a <1，∴ax －x 2≥a 14. 当x ＝12时等号成立， 但当x ＝12时，a x ≠a －x 2. ∴a x ＋a y＞2a 18. 又0＜a ＜1，∴log a (a x ＋a y )＜log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 18＝log a 2＋18. 18．(本小题满分14分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1的图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设C n ＝a n －b n ，其中n ∈N ＋.(1)求证：数列{C n }既不是等差数列，也不是等比数列．(2)试比较C n 与C n ＋1的大小．解：(1)证明：根据题意可知：a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，C n ＝n 2＋1－n .假设数列{C n }为等差数列，则2C 2＝C 1＋C 3，即有2(5－2)＝2－1＋10－3，有25＝2＋10，这与事实相矛盾，因而不是等差数列，假设数列{C n }为等比数列，则应有C 22＝C 1C 3，即(5－2)2＝(2－1)·(10－3)，这与事实相矛盾，所以{C n }不是等比数列，由以上可知数列{C n }既不是等差数列，也不是等比数列．(2)∵C n＝n2＋1－n＞0，C n＋1＝（n＋1）2＋1－(n＋1)＞0，∴C n＋1C n＝（n＋1）2＋1－（n＋1）n2＋1－n＝n2＋1＋n（n＋1）2＋1＋（n＋1）.∵0<n2＋1<（n＋1）2＋1，0<n<n＋1，∴n2＋1＋n<（n＋1）2＋1＋n＋1，∴0<n2＋1＋n（n＋1）2＋1＋（n＋1）<1，即C n＋1C n＜1，从而有C n＋1<C n.。
2017-2018学年高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式章末小结与测评创新应用 新人教A版选修4-5
∴1＋1 a1＋1＋1 a2＋…＋1＋1 an ≤1＋1 a1＋1＋1 a121＋212＋…＋2n1－1 ＝1＋1 a11＋12＋212＋…＋2n1－1 ＝1＋2 a1·1－21n<1＋2 a1≤1＋2 3＝12. 因此，原不等式成立.
使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明， 而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方 法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问 题，归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而“命题 P(k＋1) 成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条 件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．
[证明] 受阻过程：由于对于任意的 k∈N＋，xk＋1＝x2k＋x1k
>2 x2k·x1k＝ 2.所以 xn> 2(n∈N＋)显然成立． 下面证明：xn< 2＋n1(n∈N＋)． (1)当 n＝1 时，x1＝2< 2＋1，不等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立， 即 xk< 2＋1k， 那么，当 n＝k＋1 时，xk＋1＝x2k＋x1k. 由归纳假设，xk< 2＋1k，
从而转化为证明
1 k＋1＋
k>
k2＋13k＋2，
也就是证明 k2＋3k＋2> k＋1＋ k，
即( k2＋3k＋2)2－( k＋1＋ k)2
＝k2＋k＋1－2 k（k＋1）
＝[ k（k＋1）－1]2>0，
从而 k2＋3k＋2> k＋1＋ k. 于是当 n＝k＋1 时，原不等式也成立． 由(1)、(2)可知，对于任意的正整数 n，原不等式 都成立．
11×2＋
1 2×3
＋…＋
1 k（k＋1）<
2017-2018学年高中数学 第二章 参数方程章末小结与测评教学案 新人教A版选修4-4
第二章 参数方程(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为(x ，y )； (2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式； (4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．过点P (－2，0)作直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，设A 、B 的中点为M ，求M 的轨迹的参数方程．[解] 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝ty －2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －2，x 2＋y 2＝1消去x 得(1＋t 2)y 2－4ty ＋3＝0.∴y 1＋y 2＝4t 1＋t 2，则y ＝2t 1＋t2. x ＝ty －2＝2t 21＋t 2－2＝－21＋t 2，由Δ＝(4t )2－12(1＋t 2)>0得t 2>3.∴M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－21＋t 2，y ＝2t 1＋t2(t 为参数且t 2>3).在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．已知曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝－2＋2sin t (0≤t ≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形？[解] 由曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝－2＋2sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos t ，y ＋2＝2sin t . ∵cos 2t ＋sin 2t ＝1， ∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝4. 由于0≤t ≤π， ∴0≤sin t ≤1.从而0≤y ＋2≤2，即－2≤y ≤0.∴所求的曲线的参数方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4(－2≤y ≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为2.已知参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t sin θ， ①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t cos θ， ②(t ≠0)．(1)若t 为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？ (2)若θ为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？ [解] (1)当t ≠±1时，由①得sin θ＝x t ＋1t，由②得cos θ＝yt －1t. ∴x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝1. 它表示中心在原点，长轴长为2⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋1t ，短轴长为2⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －1t ，焦点在x 轴上的椭圆．当t ＝±1时，y ＝0，x ＝±2sin θ，x ∈[－2，2]， 它表示在x 轴上[－2，2]的一段线段． (2)当θ≠k π2(k ∈Z )时，由①得x sin θ＝t ＋1t. 由②得ycos θ＝t －1t.平方相减得x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝4，即x 24sin 2θ－y 24cos 2θ＝1， 它表示中心在原点，实轴长为4|sin θ|，虚轴长为4|cos θ|，焦点在x 轴上的双曲线．当θ＝k π(k ∈Z )时，x ＝0，它表示y 轴； 当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝0，x ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t . ∵t ＋1t ≥2(t ＞0时)或t ＋1t≤－2(t ＜0时)，∴|x |≥2.∴方程为y ＝0(|x |≥2)，它表示x 轴上以(－2，0)和(2，0)为端点的向左、向右的两条射线.求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 曲线C 的标准方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9， 它表示以(2，－1)为圆心，半径为3的圆，因为圆心(2，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|2＋3＋2|10＝71010，且3－71010<71010，故过圆心且与l 平行的直线与圆相交的两点为满足题意的点．[答案] B(北京高考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t ，(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，(α为参数)的交点个数为________．[解析] 直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝22＜3，故直线与圆的交点个数是2. [答案] 2求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－2t 被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝－1＋4sin θ截得的弦长．[解] 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－2t ，的普通方程为x ＋y ＋1＝0曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝－1＋4sin θ，即圆心为(1，－1)，半径为4的圆则圆心(1，－1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|1－1＋1|12＋12＝22. 设直线被曲线截得的弦长为t ，则t ＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝62，∴直线被曲线截得的弦长为62.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝32t(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝a (a >0)相交于A 、B 两点，设P (－1，0)，且|PA |∶|PB |＝1∶2，求实数a 的值．[解] 法一：直线参数方程可化为：y ＝3(x ＋1) 联立方程⎩⎨⎧y ＝3（x ＋1），x 2＋y 2＝a ，消去y ，得：4x 2＋6x ＋3－a ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(不妨设x 1<x 2)，则 Δ＝36－16(3－a )>0，①x 1＋x 2＝－32，② x 1·x 2＝3－a4，③ |PA ||PB |＝－1－x 1x 2＋1＝12，④ 由①②③④解得a ＝3.法二：将直线参数方程代入圆方程得t 2－t ＋1－a ＝0设方程两根为t 1、t 2，则 Δ＝1－4(1－a )>0⇒a >34.t 1＋t 2＝1，t 1·t 2＝1－a .(*)由参数t 的几何意义知|PA ||PB |＝－t 1t 2＝12或|PA ||PB |＝－t 2t 1＝12. 由t 1t 2＝－12，解得a ＝3. 能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．已知点P (3，2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长． [解] 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)， 代入方程y 2＝4x 整理得t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①∵点P (3，2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1、t 2满足关系t 1＋t 2＝0，sin α－cos α＝0， ∴0≤α＜π， ∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4·8sin2π4＝8.过点B (0，－a )作双曲线x 2－y 2＝a 2右支的割线BCD ，又过右焦点F 作平行于BD的直线，交双曲线于G 、H 两点．求证：|BC ||GF |·|BD ||FH |＝2.[证明] 当a ＞0时，设割线的倾斜角为α，则它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－a ＋t sin α(t 为参数)．①则过焦点F 平行于BD 的直线GH 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2a ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．② 将①代入双曲线方程，得t 2cos 2α＋2at sin α－2a 2＝0.设方程的解为t 1，t 2，则有|BC |·|BD |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 2cos 2α，同理，|GF |·|FH |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2cos 2α. ∴|BC ||GF |·|BD ||FH |＝2， 当a ＜0时，同理可得上述结果．一、选择题1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析：选A 由ρ＝cos θ，得x 2＋y 2＝x ，∴ρ＝cos θ表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t 得到3x ＋y ＝－1，表示一条直线．2．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r (θ是常数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ是参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定 解析：选B 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝|r |＝r ，故相切．3．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选C 由⎩⎨⎧x ＝3tan θy ＝sec θ⇒y 2－x 23＝1，两条渐近线的方程是y ＝±33x ，所以两条渐近线所夹的锐角是60°.4．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 （0<b <4），2b （b ≥4）B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4（0<b <2），2b （b ≥2）C.b 24＋4 D ．2b 解析：选A 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)，代入x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ＝ －(2sin θ－b2)2＋4＋b 24，当0<b <4时，(x 2＋2y )max ＝b 24＋4，当b ≥4时，(x 2＋2y )max ＝－(2－b2)2＋4＋b 24＝2b .二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 70°，y ＝2＋t cos 70°(t 为参数)的倾斜角的大小为________．解析：原参数方程变为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°y ＝1＋t sin 20°(t 为参数)，故直线的倾斜角为20°.答案：20°6．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A (1，2)，则|AB |＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t 代入2x －4y ＝5得t ＝12，则B (52，0)，而A (1，2)，得|AB |＝52.答案：527．圆的渐开线参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π4cos φ＋π4φsin φ，y ＝π4sin φ－π4φcos φ(φ为参数)．则基圆的面积为________．解析：易知，基圆半径为π4.∴面积为π·(π4)2＝116π3.答案：116π38．(重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4 ①，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3②， ①、②联立得A (4，8)，B (4，－8)，故|AB |＝16. 答案：16 三、解答题9．经过P (－2，3)作直线交抛物线y 2＝－8x 于A 、B 两点． (1)若线AB 被P 平分，求AB 所在直线方程； (2)当直线的倾斜角为π4时，求|AB |.解：设AB 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)代入抛物线方程，整理得t 2sin 2α＋(6sin α＋8cos α)t －7＝0.于是t 1＋t 2＝－6sin α＋8cos αsin 2α，t 1t 2＝－7sin 2α. (1)若p 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0. 即6sin α＋8cos α＝0⇒tan α＝－43.故AB 所在的直线方程为y －3＝－43(x ＋2)．即4x ＋3y －1＝0.(2)|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝ （6sin α＋8cos αsin 2α）2－4（－7sin 2α） ＝2sin 2α16＋12sin 2α，又α＝π4，∴|AB |＝2sin2π416＋12sin （2×π4）＝87.10．已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．解：圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程可写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ. ∵x ＋y ＋m ≥0恒成立，∴cos θ＋1＋sin θ＋m ≥0恒成立．∵sin θ＋1＋cos θ＝2sin (θ＋π4)＋1≥1－2，∴m ≥－(1－2)．即m 的取值范围为[2－1，＋∞)．11．设P 为椭圆弧x 225＋y 29＝1(x ≥0，y ≥0)上的一动点，又已知定点A (10，6)，以P 、A为矩形对角线的两端点，矩形的边平行于坐标轴，求此矩形的面积的最值．解：设P (5cos θ，3sin θ)(0≤θ≤π2)，则矩形面积为S ＝(10－5cos θ)(6－3sin θ)＝15[4＋sin θcos θ－2(sin θ＋cos θ)]， 令t ＝sin θ＋cos θ，则sin θcos θ＝t 2－12，∴S ＝152(t －2)2＋452.∵t ∈[1，2]， ∴当t ＝1，即P (5，0)或P (0，3)处有最大值，最大值为30； 当t ＝2，即P (522，322)处有最小值，最小值为1352－30 2.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )A ．(2，－7)B ．(1，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 解析：选C 由y ＝cos 2θ得y ＝1－2sin 2θ， ∴参数方程化为普通方程是y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)， 当x ＝12时，y ＝1－2×(12)2＝12，故选C.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.125 5C.95 5 D.9510 解析：选B ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5t ×25，y ＝1＋5t ×15，把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t代入x 2＋y 2＝9得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9，5t 2＋8t －4＝0.|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（－85）2＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255.3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－15t ，y ＝－1＋25t (t 为参数)的斜率是( )A ．2 B.12C ．－2D ．－12解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－15t ， ①y ＝－1＋25t ， ②①×2＋②得2x ＋y －1＝0， ∴k ＝－2.4．若圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离解析：选B 直线与圆的普通方程分别为3x －y ＋2＝0与(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 圆心(－1，3)到直线的距离d ＝|－3－3＋2|10＝410＝2105，而d <2且d ≠0，故直线与圆相交而不过圆心．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A ．抛物线的一部分B ．一条抛物线C ．双曲线的一部分D ．一条双曲线解析：选A x ＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即y 2＝－x ＋1. 又x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin θ∈[－1，1]， ∴为抛物线的一部分．6．点P (x ，y )在椭圆（x －2）24＋(y －1)2＝1上，则x ＋y 的最大值为( )A ．3＋ 5B ．5＋ 5C ．5D ．6解析：选A 椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)， x ＋y ＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋5sin (θ＋φ)，∴(x ＋y )max ＝3＋ 5. 7．过点(3，－2)且与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )A.x 215＋y 210＝1B.x 2152＋y 2102＝1C.x 210＋y 215＝1 D.x 2102＋y 2152＝1 解析：选A 化为普通方程是x 29＋y 24＝1.∴焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，排除B 、C 、D.8．已知过曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数且0≤θ≤π2上一点P 与原点O 的距离为13，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫332，52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，522C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125解析：选A 设P (3cos θ，5sin θ)，则|OP |2＝9cos 2θ＋25sin 2θ＝9＋16sin 2θ＝13， 得sin 2θ＝14.又0≤θ≤π2，∴sin θ＝12，cos θ＝32.∴x ＝3cos θ＝332.y ＝5sin θ＝52.∴P 坐标为(332，52)．9．设曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ与x 轴交点为M 、N ，点P 在曲线上，则PM 与PN 所在直线的斜率之积为( )A ．－34B ．－43C.34D.43解析：选A 令y ＝0得sin θ＝0，∴cos θ＝±1. ∴M (－2，0)，N (2，0)．设P (2cos θ，3sin θ)． ∴k PM ·k PN ＝3sin θ2cos θ＋2·3sin θ2cos θ－2＝3sin 2θ4（cos 2θ－1）＝－34. 10．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ＋a cos θ，y ＝a cos θ＋a sin θ(θ为参数)的图形是( )A ．第一、三象限的平分线B ．以(－a ，－a )、(a ，a )为端点的线段C ．以(－2a ，－2a )、(－a ，－a )为端点的线段和以(a ，a )、(2a ，2a )为端点的线段D ．以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段解析：选D 显然y ＝x ，而x ＝a sin θ＋a cos θ＝2a sin(θ＋π4)，－2|a |≤x ≤2|a |.故图形是以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．(广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋y2＝1，令⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －1，sin θ＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ为参数)． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ为参数)12．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x －4，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．解析：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，直线l 2方程即3x －y －4＝0，由两平行线的距离公式得|a －3＋4|10＝10⇒|a ＋1|＝10⇒a ＝9或a ＝－11.答案：9或－1113．直线y ＝2x －12与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝cos 2φ(φ为参数)的交点坐标为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝cos 2φ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ， ①y ＝1－2sin 2φ， ② 将①代入②中，得y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)， ∴2x 2＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －12，2x 2＋y ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－72(舍去)．答案：(12，12)14．(陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析：由题意得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在x 轴上，半径为12，则其圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos α，y ＝12 sin α(α为参数)，注意α为圆心角，θ为同弧所对的圆周角，则有α＝2θ，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos 2θ，y ＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长．解：将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t ，ρ＝2cos (θ＋π4)分别化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，x2＋y 2－x ＋y ＝0，圆心C (12，－12)，半径为22，圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75. 16．(12分)(辽宁高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解：(1)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.因此C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为（2x ′＋2x ）（x ′－x ）2＝25.17．(12分)已知经过A (5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线，直线与圆x 2＋y 2＝25交于B 、C 两点．(1)求BC 中点坐标；(2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标．解：(1)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ，y ＝－3＋45t (t 为参数)，代入圆的方程得t 2－545t ＋9＝0.∴t M ＝t 1＋t 22＝275，则 x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M (4425，3325)．(2)设切线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋t cos α，y ＝－3＋t sin α(t 为参数)，代入圆的方程得t 2＋(10cos α－6sinα)t ＋9＝0.Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，cos α＝0或tan α＝815.∴过A 点切线方程为x ＝5，8x －15y －85＝0. 又t 切＝－b2a＝3sin α－5cos α，t 1＝3，t 2＝－3.将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5，0)，(4017，－7517)．18．(14分)在双曲线x 2－2y 2＝2上求一点P ，使它到直线x ＋y ＝0的距离最短，并求这个最短距离．解：设双曲线x 22－y 2＝1上一点P (2sec α，tan α)(0≤α＜2π，且α≠π2，α≠32π)，则它到直线x ＋y ＝0的距离为d ＝|2sec α＋tan α|2＝|2＋sin α|2|cos α|.于是d 2＝2＋22sin α＋sin 2α2cos 2α，化简得，(1＋2d 2)sin 2α＋22sin α＋2(1－d 2)＝0.∵sin α是实数，∴Δ＝(22)2－8(1＋2d 2)(1－d 2)≥0， ∴d ≥22. 当d ＝22时，sin α＝－22， ∴α＝54π或74π，这时x 0＝－2，y 0＝1.或x 0＝2sec 74π＝2，y 0＝tan 74π＝－1.故当双曲线上的点P 为(－2，1)或(2，－1)时， 它到直线x ＋y ＝0的距离最小，这个最小值为22. 模块综合检测(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由l 的参数方程可得l 的普通方程为4x ＋3y －10＝0，设l 的倾斜角为θ，则tan θ＝－43，由1cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋1，得cos 2θ＝925，又π2<θ<π，∴cos θ＝－35.2．柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A ．(3，－1，1)B ．(3，1，1)C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)解析：选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1. 3．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，则|PA |的最小值是( )A ．0 B. 2C.2＋1D.2－1解析：选D A 的直角坐标为(－1，0)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，|AC |＝2，则|PA |min ＝2－1.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t sin 15°，y ＝cos θ－t sin 75°(t 为参数，θ是常数)的倾斜角是( )A ．105°B ．75°C ．15°D ．165° 解析：选A 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t sin 15°，y ＝cos θ－t sin 75°⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t cos 75°，y ＝cos θ－t sin 75°， 消去参数t 得，y －cos θ＝－tan 75°(x －sin θ)， ∴k ＝－tan 75°＝tan (180°－75°)＝tan 105°. 故直线的倾斜角是105°.5．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝21cos θ(θ为参数)的渐近线方程为( ) A ．y ＝±22x B ．y ＝±12x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x解析：选D 把参数方程化为普通方程得y 24－x 2＝1，渐近线方程为y ＝±2x .6．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin 30°，y ＝－1＋t sin 30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，O 为原点，则△BOC 的面积为( )A ．27 B.30 C.152 D.302解析：选C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin 30°，y ＝－1＋t sin 30⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′(t ′为参数)．代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2 ＝（32）2＋4×3＝30，弦心距d ＝8－304＝22，S △BCO ＝12|BC |·d ＝152. 7．已知点P 的极坐标为(π，π)，则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( ) A ．ρ＝π B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝πcos θ D ．ρ＝－πcos θ解析：选D 设M (ρ，θ)为所求直线上任意一点，由图形知OM cos ∠POM ＝π， ∴ρcos (π－θ)＝π. ∴ρ＝－πcos θ.8．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 满足的条件是( ) A ．k ≤－34 B ．k ≥－34C ．k ∈RD ．k ∈R 且k ≠0解析：选A 由题意可知直线l 过定点(0，－2)，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由图可知，直线l 与圆相切时，有一个交点，此时|k ＋2|k 2＋1＝1，得－k ＝34.若满足题意，只需－k ≥34.即k ≤－34即可．9．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( ) A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12D ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 解析：选D 由y ＝cos 2(π4－θ2)＝1＋cos （π2－θ）2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y－1，由x ＝1＋sin θ得x 2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y ， 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]．10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14B.3－34C.2－34 D.13解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，如图．围成的图形为△OPQ ，可得S △OPQ ＝12|OQ |·|y P |＝12×1×33＋1＝3－34. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．(江西高考)设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝012．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．解析：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0，2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3.答案： 313．(广东高考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 2 cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析：曲线C 的普通方程为：x 2＋y 2＝ ( 2 cos t )2＋( 2 sin t )2＝(cos 2t ＋sin 2t )＝2，由圆的知识可知，圆心(0，0)与切点(1，1)的连线垂直于切线l ，从而l 的斜率为－1，由点斜式可得直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.答案：ρcos θ＋ρsin θ－2＝0或ρ(cos θ＋sin θ)＝214．(湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：由题意知，椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，设椭圆C 的半焦距为c ，则根据题意可知，|m |＝c ，|m |2＝b ，所以有c ＝2b ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝c b 2＋c2＝63. 答案：63三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)(新课标全国卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ―→＝2OM ―→，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ1＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.16．(12分)(福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，(0，233)，又P 为线段MN 的中点， 从而点P 的平面直角坐标为(1，33)， 故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，(0，233)，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．17．(12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x ，y )中x ·y 的最大值和最小值． 解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．设cos θ＝2（x －2）2，sin θ＝2（y －2）2，所以参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)·(2＋2sin θ) ＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ ＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin (θ＋π4)，t ∈[－2，2]．所以xy ＝3＋22t＋t 2＝(t ＋2)2＋1.当t ＝－2时xy 有最小值为1； 当t ＝2时，xy 有最大值为9.18．(14分)曲线的极坐标方程为ρ＝21－cos θ，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A 、B 和C 、D 四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB |＋|CD |有最小值？并求出这个最小值．解：由题意，设A (ρ1，θ)，B (ρ2，π＋θ)，C (ρ3，θ＋π2)，D (ρ4，θ＋32π)．则|AB |＋|CD |＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4) ＝21－cos θ＋21＋cos θ＋21＋sin θ＋21－sin θ＝16sin 22θ. ∴当sin 22θ＝1即θ＝π4或θ＝34π时，两条直线的倾斜角分别为π4，3π4时，|AB |＋|CD |有最小值16.。
2019-2020学年度最新高中数学章末小结教学案苏教版选修4_2
(2)M＝ ＝，
设直线x－y－1＝0上任意一点P(x0，y0)在矩阵M对应的变换作用下的对应点P′(x，y)，
则 ＝＝，
∴
因x0－y0－1＝0，∴y＋2x－1＝0.
故所求曲线方程为2x＋y－1＝0.
[例4] 设矩阵M＝(其中a＞0，b＞0)．
(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；
(2)确定实数m，n使向量α可表示为α＝me1＋ne2；
(3)利用(2)中表达式间接计算M20xxα.
[解] (1)特征多项式
f(λ)＝＝(λ－1)2－4，
令f(λ)＝0，得λ1＝3，λ2＝－1.
M的特征值λ1＝3对应的特征向量e1＝，
特征值λ2＝－1对应的特征向量e2＝，
(2)因为α＝me1＋ne2，
真题体验
1．(福建高考)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)求A2的逆矩阵．
解：(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换下的像是P′(x′，y′)，则＝ ＝得
又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，
则 ＝，即
又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1，
则＋b2y2＝1为曲线C的方程．
又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故
又a＞0，b＞0，所以
特征值与特征向量
理解特征值、特征向量的概念，会求一个二阶矩阵的特征多项式，特征值及每个特征值对应的一个特征向量；能够计算多次变换的结果；应用二阶矩阵的特征值、特征向量求解实际问题．
[例3] 二阶矩阵M1和M2对应的变换对正方形区域的作用结果如下图．
2017-2018学年高中数学必修四教学案：第1章 章末小结
一、任意角和弧度制1．任意角(1)角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S ＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示为角α与整数个周角的和．第一象限角的集合：{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}；第二象限角的集合：{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}；第三象限角的集合：{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}；第四象限角的集合：{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}；终边落在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}；终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．2．弧度制(1)角度与弧度的互化公式：角度化成弧度：360°＝2π rad,180°＝π rad,1°＝π180 rad≈0.017 45 rad；弧度化成角度：2π rad ＝360°，π rad ＝180°，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.(2)扇形的弧长与面积公式： 扇形的弧长公式：l ＝|α|r ； 扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.二、任意角的三角函数 1．定义设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它到坐标原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．三角函数在各象限的符号(如图)3．角α的正弦线、余弦线、正切线设角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P (如图)，则图中的有向线段MP ，OM ，AT 的数量分别等于角α的正弦、余弦、正切的值，这些有向线段叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．三、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1. (2)商数关系：tan x ＝sin xcos x.2．诱导公式(1)公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，k ∈Z .(2)公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.(3)公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α. (4)公式四：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. (5)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α.(6)公式六：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α.α＋2k π，k ∈Z ，－α，π±α的三角函数值等于α的同名三角函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.π2±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．也可以用口诀记忆：“奇变偶不变，符号看象限”．3．诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数――→用公式一或公式二任意正角的三角函数――→用公式一 0～2π角的三角函数――→用公式三或公式四锐角三角函数四、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质五、y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A 是振幅，T ＝2πω是周期，f ＝1T ＝ω2π是频率，φ是初相，ωx ＋φ是相位．(2)用“五点法”作图，就是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，令z 分别取0、π2、π、3π2、2π来求相应的x ，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象．(3)图象变换如下：y ＝sin x 1ω−−−−−−−−−→各的坐成原的倍坐不点横标变来纵标变y ＝sin ωx (0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−−−−−−→向左或向右平移位度个单长 y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――――――――→各点的纵坐标变成原来的A 倍，横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．或者y ＝sin x ――――――――――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) 1ω−−−−−−−−−−−−→各的坐原的倍，坐不点横标变为来纵标变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――――――――→各点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．若sin α<0且tan α>0，则α是第________象限角． 答案：三2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为________． 解析：tan α＝－21＝－2.答案：－23．已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________． 解析：15°化为弧度为π12，设扇形的弧长为l ，则l ＝6×π12＝π2，其面积S ＝12lR ＝12×π2×6＝3π2.答案：3π24．tan 300°＋cos 405°sin 405°的值是________．解析：tan 300°＋cos 405°sin 405°＝tan(360°－60°)＋＋＋＝tan(－60°)＋cos 45°sin 45°＝－tan 60°＋1＝1－ 3.答案：1－ 35．设α是第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1等于________． 解析：因为α是第二象限角， 所以sin αcos α·1sin 2α－1 ＝sin αcos α ·1－sin 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos α||sin α| ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 答案：－16．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值等于________．解析：由已知得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.答案：－137．若(sin θ＋cos θ)2＝2，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则θ＝________.解析：由(sin θ＋cos θ)2＝2，∴sin θ cos θ＝12∴sin θ cos θsin 2θ＋cos 2θ＝12即tan θ1＋tan 2θ＝12，又tan θ＞0， ∴tan θ＝1，又θ∈(0，π2)．∴θ＝π4.答案：π48．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的递增区间是________． 解析：令k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－5π3<x <2k π＋π3(k ∈Z )，故所求函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k ∈Z )9．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝________.解析：由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝±1. ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<54π，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.答案：π410．函数y ＝cos 2x －sin x 的最大值是________． 解析：∵y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋54， 又∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y max ＝54.答案：5411．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________. 解析：由题图可知，T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2＝πω，∴ω＝2. 又图象过点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝0，∴φ＋3π4＝k π，k ∈Z . 又|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.又图象过点(0,1)，∴A tan π4＝1，∴A ＝1，即f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan π3＝ 3. 答案： 312．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx x ＞0，f x ＋＋1 x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－43＋1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＋1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2 ＝－cos 2π3＋2＝cos π3＋2＝12＋2＝52， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝12＋52＝3.答案：313．在函数①y ＝sin |x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，④y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3中，最小正周期为π的函数为________．解析：y ＝sin |x |不是周期函数，其余三个函数的最小正周期均为π. 答案：②③④14．将函数y ＝cos(x －π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的对称轴为________．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再向左平移π6个单位，得函数y 2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．由x 2－π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z )即为所求的全部对称轴．答案：x ＝2k π＋π2(k ∈Z )二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知单位圆上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y ，设以OP 为终边的角为θ(0＜θ＜2π)，求θ的正弦值、余弦值．解：∵P 在单位圆上，∴y 2＋34＝1.∴y ＝±12.当y ＝12时，sin α＝12，cos α＝－32.当y ＝－12时，sin α＝－12，cos α＝－32.16．(本小题满分14分)已知f (x )＝a sin(3π－x )＋b tan(π＋x )＋1(a 、b 为非零常数)． (1)若f (4)＝10，求f (－4)的值； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝7，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π的值． 解：∵f (x )＝a sin(2π＋π－x )＋b tan(x ＋π)＋1 ＝a sin x ＋b tan x ＋1，∴f (－x )＝a sin(－x )＋b tan(－x )＋1 ＝－a sin x －b tan x ＋1， ∴f (x )＋f (－x )＝2.(1)∵f (4)＝10，f (4)＋f (－4)＝2， ∴f (－4)＝2－f (4)＝2－10＝－8. (2)∵f (π5)＝7，f (π5)＋f (－π5)＝2，∴f (－π5)＝2－f (π5)＝2－7＝－5.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫99π5＝f ⎝⎛⎭⎪⎫20π－π5 ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π5＋b tan ⎝⎛⎭⎪⎫20π－π5＋1＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋b tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＝－5. 17．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)． (1)求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)求sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α＋2的值． 解：由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．∴sin α＝－2cos α. ∵cos α≠0，∴tan α＝－2.(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34.(2)原式＝sin 2 α＋2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋1＋2 ＝4＋－－14＋1＋2＝95.18．(本小题满分16分)设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0且最小正周期为π2. (1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式； (3)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α4＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sin π6＝32.(2)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6且最小正周期为π2，所以2πω＝π2，即ω＝4，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(3)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35，∴sin α＝±45.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)求函数f (x )的零点的集合． 解：(1)最小正周期T ＝π，当2x ＋π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，函数f (x )的最大值为1.(2)由f (x )＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12，所以2x ＋π6＝2k π＋π6或2x ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即x ＝k π或x ＝k π＋π3(k ∈Z )，故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z }． 20．(本小题满分16分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调递增区间．解：(1)由图象可知A ＝2，T ＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)． 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2在图象上， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2， 即－π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π， ∴φ＝2π3， ∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. (2)由(1)可得函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2， 解得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ， 故函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .。
2017-2018学年高中数学苏教版必修四课件：第1章1.3 第2课时 正弦曲线与余弦曲线
如图所示，然后观察图象可知，在－32π，π2内适合 sin z≤12的 z∈－76π，π6， 故当 z∈－76π＋2kπ，π6＋2kπ，k∈Z， 即－76π＋2kπ≤x＋π4≤π6＋2kπ，k∈Z 时，sinx＋π4≤12成立． ∴－1172π＋2kπ≤x≤－1π2＋2kπ，k∈Z. 即满足 sinx＋π4≤12的 x 的范围为 x∈－1172π＋2kπ，－1π2＋2kπ，k∈Z.
问题 1：作函数图象的基本步骤是什么？ 提示：列表、描点、连线． 问题 2：正弦函数值与正弦线有关系吗？ 提示：有关系，正弦函数值可以用正弦线表示．
问题 3：若在直角坐标系的 x 轴上取一点 O1，以 O1 为圆心， 单位长为半径作圆，从⊙O1 与 x 轴的交点 A 起，把⊙O1 分成 12 等份，过⊙O1 上各分点作 x 轴的垂线，得到对应于 0，π6，π3，π2，…， 2π 等角的正弦线．相应地，再把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份，把角 x 的正弦线向右平移，使它的起点与 x 轴上的点 x 重 合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，如图，所得 函数图象是什么图象？
4．求方程 x2＝cos x 的实数解的个数． 解：作函数 y＝cos x 与 y＝x2 的图 象如图所示，由图象可知原方程有 两个实数解．
5．判断方程x4－cos x＝0 的根的个数． 解：设 f(x)＝x4，g(x)＝cos x，在同一直角坐标系中画出 f(x)与 g(x)的图象，如图所示．
[例 1] 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝－sin x；(2)y＝sinx－π3. [思路点拨] 取五个关键点利用列表、描点、连线的作法即可 画出简图．
[精解详析] (1)列表：
x
0
π 2
苏教版数学高二 选修4-2学案 2.3 章末分层突破
章末分层突破一、矩阵的乘法运算矩阵与矩阵的乘法运算是高考考查本章知识的一个重要考点.已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，求M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.【解】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，所以a ＝1，c ＝0.由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋bc ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，所以b ＝1，d ＝2. 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2. 所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4. 所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－4.二、矩阵的乘法与变换的复合问题以矩阵乘法为载体考查矩阵变换的有关知识是高考考查的热点.在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O (0，0)，A (2，0)，B (1，2)，求 △OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1， N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 22.【导学号：30650030】【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤122022＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×1＋0×0 1×22＋0×220×1＋（－1）×0 0×22＋（－1）×22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22. 又因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1， 所以O ，A ，B 三点在矩阵MN 的作用变换下所得点分别为O ′(0，0)，A ′(2，0)，B ′(2，－1)，所以S △O ′A ′B ′＝12×2×1＝1.故△OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积为1.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求抛物线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程.【导学号：30650031】【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 在曲线y 2＝x 上任取一点P (x ，y )，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2y ，y ′＝x ，即⎩⎨⎧x ＝y ′，y ＝－12x ′，代入y 2＝x ，得y ′＝14x ′2，所以曲线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程为y ＝14x 2.三、数形结合思想我们从平面变换的观点引入了二阶矩阵的乘法，矩阵变换是数学中变换的一种方法，利用矩阵的方法实际上是把某些几何图形的变换转化为代数的运算，使具体的问题抽象化，把某些方法进行统一.在解决代数问题时，矩阵方法主要是对运算过程的一种简化，也是对运算本质的一种提炼.因此本章中始终贯穿数形结合的思想.已知矩形ABCD ，其中A (0，0)、B (2，0)、C (2，1)、D (0，1)，将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y 轴的反射变换.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；(2)求点A 、B 、C 、D 在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论. 【解】 (1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，而关于y轴的变换矩阵为P＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001，则连续两次变换所对应的变换矩阵M由矩阵乘法可得.M＝PQ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.所以点A、B、C、D分别变换成点A″(0，0)、B″(0，2)、C″(1，2)、D″(1，0).如图所示.(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T1，再将所得图形作关于y轴的轴反射变换T2，所得结果与(2)一致，如图所示.章末综合检测(三)1.计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－2312；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ－sin φsin φcos φ.【解】(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2312＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×0＋2×31×（－2）＋2×123×0＋4×33×（－2）＋4×12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－112－4.(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θcos φ－sin θsin φ －cos θsin φ－sin θcos φsin θcos φ＋cos θsin φ －sin θsin φ＋cos θcos φ ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos （θ＋φ） －sin （θ＋φ）sin （θ＋φ） cos （θ＋φ）. 2.已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，计算AB ，并从变换的角度解释.【导学号：30650032】【解】AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－3232 －32＋12. AB 所对应的变换为复合变换，即由旋转变换和切变变换连续变换得到的.3.已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－2222 22，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且MN ＝A ，求二阶矩阵N . 【解】 设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22（a －c ）22（b －d ）22（a ＋c ） 22（b ＋d ）＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧22（a －c ）＝1，22（b －d ）＝0，22（a ＋c ）＝0，22（b ＋d ）＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝22，b ＝22，c ＝－22，d ＝22.∴N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－2222. 4.设E 为二阶单位矩阵，试证明对于任意二阶矩阵M ，ME ＝EM ＝M . 【证明】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数，则 ME ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝M ， EM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝M . 所以等式得证.5.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，试求A 2，A 3，并据此猜想A n (n ∈N *).【导学号：30650033】【解】 因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos α sin α－sin α cos α， 所以A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos α sin α－sin α cos α＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos αcos α－sin αsin α cos αsin α＋sin αcos α－cos αsin α－sin αcos α －sin αsin α＋cos αcos α ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α， A 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos α sin α－sin α cos α ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 3α sin 3α－sin 3α cos 3α， 所以据此猜想A n ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos n α sin n α－sin n α cos n α. 6.根据如图1所示的变换，你能将其分解为已知的一些变换吗？图1【解】 (1)先施以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 －1对应的关于原点的中心反射变换，再往以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的伸压变换得到. (2)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的伸压变换，再施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的伸压变换得到.7.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1. (1)计算AB ，BA ；(2)设M ＝AB ，N ＝BA ，若矩阵M ，N 分别把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l 1，l 2，求直线l 1，l 2的方程.【解】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×1＋1×0 2×（－2）＋1×1－1×1＋2×0 －1×（－2）＋2×1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 4， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×2＋（－2）×（－1） 1×1＋（－2）×2 0×2＋1×（－1） 0×1＋1×2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －3－1 2. (2)任取直线l 上一点P (x ，y )经矩阵M 变换后为点P ′(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2x －3y －x ＋4y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －3yy ′＝－x ＋4y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45x ′＋35y ′y ＝15x ′＋25y ′，把上式代入x ＋y ＋2＝0得： 45x ′＋35y ′＋15x ′＋25y ′＋2＝0， 即x ′＋y ′＋2＝0，∴直线l 1的方程为x ＋y ＋2＝0， 同理可求l 2的方程为3x ＋7y ＋10＝0.8.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A (0，0)，B (1，1)，C (0，2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【解】 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2， 可知A ，B ，C 三点在矩阵MN 作用下变换所得到的点分别是A ′(0，0)，B ′(1，－1)，C ′(0，－2).计算得△A ′B ′C ′的面积为1.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为1. 9.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ， 且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0－2 0. (1)求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象.【导学号：30650034】【解】由题设得⎩⎪⎨⎪⎧c＋0＝22＋ad＝0bc＋0＝－22b＋d＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1b＝－1c＝2d＝2.(2)设直线y＝3x上的任意点(x，y)，在矩阵M所对应的线性变换作用下的象是点(x′，y′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x－y－x＋y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x2x得y′＝－x′，即点(x′，y′)必在直线y＝－x上.由(x，y)的任意性可知，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为y＝－x.10.假设我们收集到苹果和香蕉在两个不同商店的价格，每个男性与女性分别对这两种水果的日需求量以及两个不同公司中男性与女性人员数量，并用矩阵表示如下：利用A，B，C，按下列要求求出矩阵乘积：(1)计算乘积BA，并说明该乘积矩阵表示的是什么量表；(2)哪两个矩阵的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量？并计算出这个量表.【解】(1)BA＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5 1.22.83.0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.17.210.19.6.打印版高中数学 由于7.1＝1×1.5＋2×2.8，表示男性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费7.1元；10.1＝3×1.5＋2×2.8，表示女性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费10.1元.故BA 表示男、女在A ，B 两店每日需消费的金额，用量表表示如下：(2)C与B 的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量：CB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 5080 120⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤350 500440 400， 故量表为。
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第1章章末小结知识整合与阶段检测缺答案
［对应学生用书P24］一、两个计数原理的应用1．分类计数原理首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类；其次,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．分别属于不同类的两种方法是不同的方法．2．分步计数原理首先根据问题的特点确定一个分步的标准．其次分步时要注意,完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．二、排列与组合概念及公式1．定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素,若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．2．排列数公式（1)A错误!＝n(n－1）(n－2）…（n－m＋1），规定A错误!＝1。
当m＝n时，A错误!＝n（n－1)（n－2）·…·3·2·1。
（2)A错误!＝错误!，其中A错误!＝n！，0！＝1.三、排列与组合的应用1．在求解排列与组合应用问题时,应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;（4）列出式子计算并作答．2．处理排列组合的综合性问题,一般思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能．3．解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2）合理分类和准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4）正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；（6)不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；(8）分排问题直排处理的策略;(9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10)构造模型的策略．四、二项式定理及二项式系数的性质1．二项式定理公式（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n，其中各项的系数C错误!（r＝0，1，2,…，n)称为二项式系数，第r＋1项C r，n a n－r b r称为通项．［说明］(1)二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关,而后者还与a,b的取值有关．（2)运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r，再求所需的项（或项的系数)．2．二项式系数的性质(1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,体现了组合数性质C错误!＝C错误!.（2)增减性与最大值：当r<错误!时，二项式系数C错误!逐渐增大；当r>错误!时，二项式系数C错误!逐渐减小．当n是偶数时，展开式中间一项T错误!＋1的二项式系数C错误!n 最大；当n是奇数时,展开式中间两项T错误!与T错误!＋1的二项式系数C错误!n,C错误!n相等且最大．(3)各项的二项式系数之和等于2n，即C0n＋C错误!＋C错误!＋…＋C n，n＝2n;奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋….［说明] 与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解．错误!(时间120分钟，满分160分）一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把正确答案填在题中横线上)1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．解析：由题意可得不同的选法为C17＝7种．答案：72．(湖南高考改编）错误!5的展开式中x2y3的系数是________．解析:由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C错误!错误!2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20.答案：－203．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．解析：设男学生有x人，则女学生有(8－x)人，则C错误!C错误!A错误!＝90，即x(x－1)(8－x）＝30＝2×3×5，所以x＝3，8－x＝5。
2017_2018学年高中数学第二章圆柱圆锥与圆锥曲线章末小结课件新人教B版选修4_1
过 P 作圆柱面的母线，与两个球分别相交于 K1、K2 二点， 则 PK1、PK2 分别为两个球的切线，切点为 K1、K2. 由切线长定理可知：PF1＝PK1，PF2＝PK2. 所以有 PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝AD＝G1G2. 由于 AD 为定值且 AD>F1F2，故点 P 的轨迹为椭圆．
一、选择题 1．若一直线与平面的一条斜线在此平面上的正投影垂直，则这 条直线与这条斜线的位置关系是 A．垂直 C．相交 B．异面 D．不能确定 ( )
解析：当这条直线在平面内时，则 A 成立，当这条直线是 平面的垂线，则 B 或 C 成立，故选 D.
答案：D
ห้องสมุดไป่ตู้
2．在空间，给出下列命题： (1)一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面内的正投 影相等． (2)一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个 平面内的正投影垂直． (3)一条斜线和它在平面内的正投影所成的锐角是这条斜线 和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角． (4)若点 P 到△ABC 三边所在的直线的距离相等，则点 P 在 平面 ABC 内的正投影是△ABC 的内心． 其中，正确的命题是 ( )
答案：①②④
6．两个大小不等的球相交，交线为________．
答案：圆
π 7．在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝ .则 2 PA 与底面 ABC 所成角为________．
解析：P 在底面 ABC 的正投影为 BC 中点 D，设 PA＝PB π ＝PC＝2，则 PD＝ 3，AP＝2，∴∠PAD＝ . 3
解析：取 BC 的中点 D，连接 AD，OD，则∠ADO 为二面 角的平面角，∠ADO＝30° ， S△BOC OD 3 ＝ ＝cos30° ＝ ，又 S△ABC＝ 3， 2 S△ABC AD 3 ∴S△BOC＝ . 2 答案：B
2017-2018学年高中数学苏教版必修四课件：第2章2.2 第3课时 向量的数乘
提示：若 a、b 同向，则 b＝2a，若 a、b 反向，则 b＝－2a.
向量共线定理 如果有一个实数 λ，使 b＝ λa (a≠0)，那么 b 和 a 是 共线向量；反之，如果 b 与 a(a≠0)是共线向量，那么有且 只有一个实数 λ，使 b＝ λa .
[一点通] 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是 “合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因 式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解， 把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解．
1．计算： (1)14a＋2b＋3a－136a－12b； (2)(λ＋μ)(a＋b)－(λ－μ)(a－b)．
1．关于实数与向量的积 λa 的理解 λa 是一个向量，不是一个实数，我们可以把向量 a 的长度扩大 (当|λ|>1 时)，也可以缩小(当|λ|<1 时)，同时，我们可以不改变 a 的 方向(当 λ>0 时)，也可以改变 a 的方向(当 λ<0 时)． 2．向量共线定理 定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数 λ，使 b＝ λa(a≠0)，则 a 与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线(a≠0)，则必存在一 个实数 λ，使 b＝λa.
[一点通] 利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的 和或差来表示．当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选 取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、 中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决．
6．如图，已知▱ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E，O 是任 意一点，求证：OA＋OB＋OC ＋OD＝4OE .
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考点一 考点二 考点三
考情分析 矩阵与变换是新增内容，限制了矩阵为二阶矩阵，因此运算 求解难度都不大，大多为基础题，考查基本概念与方法．
真题体验 1．(福建高考)设曲线 2x ＋2xy＋y ＝1 在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为 x2＋y2＝1. (1)求实数 a，b 的值； (2)求 A2 的逆矩阵．
[例 1]
求矩阵
－1
1 A＝ 2
3 的逆矩阵． 5
b [解] 设 A ，根据可逆矩阵的定义， d 1 3 a b 1 0 则 ＝ 2 5 c d 0 1，
a＋3c 即 2a＋5c b＋ 3 d 1 ＝0 2b＋5d
因为
a＝1， a＞0，所以 b＝1. 1 0 2 ， A ＝ 1 1 1 ＝ －2 0 1 1 1 0 1 ＝ 1 2
1 (2)由(1)知，A＝ 1
0 ， 1
所以|A |＝1，(A )
2 ＝ －3
－1 ， 2
－1 1 2×1－1×2 0 2＝ ＝1. 2 －3×1＋2×2
x＝0， 即 y＝1.
求曲线在平面变换下的方程
掌握平面变换与对应矩阵之间的相互转化关系，理解矩阵 乘法与复合变换之间的关系． [例 3] 二阶矩阵 M1 和 M2 对应的变换对正方形区域的作用
x0＝y， ∴ y0＝－2x.
因 x0－y0－1＝0，∴y＋2x－1＝0. 故所求曲线方程为 2x＋y－1＝0.
a ＝ c
0 ， 1
b＋3d＝0， 以及 2b＋5d＝1.
a＋3c＝1， 根据矩阵相等得 2a＋5c＝0
解得 a＝－5，b＝3，c＝2，d＝－1， 所以 A
－1
－5 ＝ 2
3 . －1
[例 2] ＝ B.
[解] 而
设矩阵
2 A＝ 3
0 (2)M＝ 1
0 0 1，M2＝ 1 2 －1 0 1 0
－1 . 0 1 －2 ， 0
0 0 1＝ 2 1
设直线 x－y－1＝0 上任意一点 P(x0，y0)在矩阵 M 对应的变 换作用下的对应点 P′(x，y)， 0 则 1 1 1 －2 x0 －2y0 x ＝ ＝ ， y y 0 0 x0
2
2
－1
0 . 1
2．(江苏高考)已知矩阵 A2α＝β.
解：A 设
2
1 A＝ 2
1 1 ，向量 β ＝ 2.求向量 α，使得 1
1 ＝ 2
1 1 1 3 ＝ 1 2 1 4
2 . 3
2 x 1 y ＝2， 3
x α＝ y .由
A
2
3 α＝β，得 4
3x＋2y＝1， 从而 4x＋3y＝2.
解得 x＝－1，y＝2，所以
－1 α＝ . 2
(2)设
m n B＝mα1＋nα2＝ －3m＋n，
又点 P′(x′，y′)在 x2＋y2＝1 上，所以 x′2＋y′2＝1， 即 a2x2＋(bx＋y)2＝1， 整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.
2 2 a ＋ b ＝2， 依题意得 2b＝2，
a＝1， 解得 b＝1，
a＝－1， 或 b＝1.
解：(1)设曲线 2x2＋2xy＋y2＝1 上任一点 P(x，y)在矩阵 A 对应变换下的像是
x′ a P′(x′， y′)， 则 ＝b y′ 0 x 1 y
2 2
a A＝ b
0 (a＞0) 1
ax x′＝ax， ＝ 得 bx＋y y′＝bx＋y，
x 1 1 ，试解方程 AX ， X＝ ， B ＝ 2 2 y
由于
2 A＝ 3
1 ， 2
2 det(A)＝ 3
1 ＝2×2－1×3＝1≠0， 2
系数矩阵 A 可逆， 此时方程组有唯一解，
b d － detA detA －1 2 ＝ 而 A ＝ a －3 － c detA detA 所以 X＝A－1B
m＋n＝2， 得 －3m＋n＝－2. m＝1， 解得 n＝1.
所以 B＝α1＋α2. 因此 A4B＝A4(α1＋α2)＝(－1)4α1＋34α2
1 81 82 ＝ －3＋81＝78. 念，矩阵相等的定义，二阶矩阵与 平面向量的乘法规则，两个二阶矩阵的乘法法则及简单性质， 会求逆矩阵，会用系数矩阵的逆矩阵或二阶行列式求解二元一 次方程组．
结果如下图．
(1)分别写出一个满足条件的矩阵 M1 和 M2； (2)根据(1)的结果，令 M＝M2M1，求直线 x－y－1＝0 在矩阵 M 对应的变换作用下的曲线方程．
[解]
(1)观察图形可知，M1 对应的变换为横坐标不变，纵
1 坐标缩短为原来的2的伸缩变换，M2 对应的变换为逆时针方向 π 旋转2的旋转变换， 1 故 M1 ＝ 0