广西贵港市九年级数学上册(湘教)第4章《锐角三角形》检测题及答案
第4章 锐角三角函数数学九年级上册-单元测试卷-湘教版(含答案)
第4章锐角三角函数数学九年级上册-单元测试卷-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、在中，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.2、如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则tanα的值是（）A. B. C. D.3、如图，在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（）A. B. C. D.4、某同学在距电视塔BC塔底水平距离200米的A处，看塔顶C的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔BC的高约为（）（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，tan20°≈0.3640）（保留到个位）A.68米B.73米C.127米D.188米5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=3，AC=4，则sin∠DCB的值为（）A. B. C. D.6、在正方形网格中，若∠α的位置如图所示，则cosα的值为( )A. B. C. D.7、如图，在山坡上种树，坡度i＝1：2，AB＝5m，则相邻两树的水平距离AC为（）A.5mB. mC.2 mD.10m8、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为（）A.75°B.105°C.90°D.60°9、从车站向东走400米，再向北走500米到小红家；从车站向北走500米，再向西走200米到小强家，则（）A.小强家在小红家的正东B.小强家在小红家的正西 C.小强家在小红家的正南 D.小强家在小红家的正北10、在中，，如果，那么的值是（）A.1B.C.D.11、如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米/秒．A.20（+1）B.20（﹣1）C.200D.30012、在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A. B. C. D.13、如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（）A. B.1 C. D.14、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.15、在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（）A.b=c•cosBB.b=a•tanBC.a=c•sinAD.a=b•cotB二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，若CD=2，AB=6，则S△ABD=________．17、为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________ 个这样的停车位．（≈1.4）18、如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走________千米．19、如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点P是AC边上不与端点重合的一动点，将△BPC沿着BP对折，得对应△BPD，在点P的移动过程中，若PD平行于△ABC的一边，则CP的长度为________.20、如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30o得到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于________ 。
湘教版九年级上册数学第4章 锐角三角函数含答案(名校卷)
湘教版九年级上册数学第4章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、计算2cos60° -sin245°+cot60°的结果是（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，∠1的正切值为（）A. B. C.3 D.24、如图，已知⊙O的直径AB为10，弦CD=8，CD⊥AB于点E，则sin∠OCE的值为（）A. B. C. D.5、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A. B. C. D.6、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OA、OB、OC.若∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，AC＝4，则⊙O的直径为（）A. B.4 C. D.87、在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则∠B为（）A.30°B.45°C.60°D.90°8、如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（）A. B. C. D.9、如图，点A，B，C，D都在半径为1的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A.2B.C.D.10、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）A. B. C. D.11、如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（）A.8°B.10°C.12°D.24°12、如果a是锐角，且cosa= ，那么sina的值是（）A. B. C. D.13、如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过，，三点作圆，点在第一象限部分的圆上运动，连结，过点作的垂线交的延长线于点，下列说法：①；② ；③ 的最大值为10.其中正确的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③14、如图，在平行四边形中，，，那么的值等于（）A. B. C. D.15、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，某游乐场的摩天轮（圆形转盘）上的点距离地面最大高度为160米，转盘直径为153米，旋转一周约需30分钟．某人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟，此时，他离地面的高度是________米．17、如图,林林在A时测得某树的影长为2 m,B时又测得该树的影长为8 m,若两次日照的光线互相垂直,则该树的高度为________18、如图，矩形纸片中，，，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形对折，折痕为，如图（1）所示；第二步：再把点叠在折痕线上，折痕为，点在上的对应点为，得，如图（2）所示；第三步：沿折叠折痕为，且交的延长线于点，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，为________.19、计算：________．20、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）．21、科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是________千米．22、如图，四边形ABCD为矩形，以A为圆心，AD为半径的弧交AB的延长线于点E，连接BD，若AD=2AB=4，则图中阴影部分的面积为________.23、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是________．24、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB上的高,若BC=4,sinA= ,则BD 的长为________.25、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CB于点F．交CD于点E．若AC＝6，sinB＝，则DE的长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：2cos245°+ ﹣tan45°．27、在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）28、如图，电信部门计划修建一条连接B、C两地电缆，测量人员在山脚A处测得B、C两处的仰角分别是37°和45°，在B处测得C处的仰角为67°．已知C地比A地髙330米（图中各点均在同一平面内），求电缆BC长至少多少米？（精确到米，参考数据：sin37°≈ ，tan37°≈ ，sin67°≈ ，tan67°≈ ）29、某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角为”改造后的斜坡式自动扶梯的坡角为，若国标规定自动扶梯的速度一般是，请你计算乘坐改造后的斜坡式自动扶梯比乘坐阶梯式自动扶梯多用的时间.(结果保留整数，参考数据：，，.)30、五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向；然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1米）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、A4、B5、D6、C7、C9、C10、C11、C12、C13、C14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、30、。
湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角形》检测题
新湘教版九年级数学上册第四章《锐角三角》检测题时间： 120 分钟满分：120 分一、选择题 (本大题共1．如图，在 Rt△ ABC 则 sin∠ACD 的值为 (A 10 个小题，每题 3 分，共 30 分)中，∠ ACB＝ 90°，CD⊥ AB，垂足为点)D，若AC＝5，BC＝ 2，A.53B.2555C. 22D. 3,第 1题图),第 2题图),第 4题2．如图，在边长为图 )1 的小正方形构成的网格中,第 5 题图)，△ ABC 的三个极点均在格点上，则tanA＝(D)3 A. 54B. 534D. 33．计算sin30°· tan45°的结果是(A)1 A. 23B. 23C. 6D.244．如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°，BC＝ 1，AB＝ 2，则以下结论正确的选项是(D)313A ． sinA＝2B． tanA＝ 2C． cosB＝2 D ．tanB＝35．如图，AC 是电杆的一根拉线，测得 BC＝ 6 米，∠ ACB＝52°，则拉线 AC 的长为 ( D )6米 B.6米C． 6·cos52°米 D.6米A.sin52°tan52°cos52°6．(2014·德州 )如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为12 米，斜面坡度为 1∶2，则斜坡 AB 的长为 ( B )A．4 3米B． 65米C．12 5米D．24 米37．在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， tanA＝4，则 cosB 的值是 ( C)4334A. 5B. 4C.5D.38．如图，渔船在 A 处看到灯塔 C 在北偏东 60°方向上，渔船向正东方向航行了12 海里抵达 B 处，在 B 处看到灯塔 C 在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是 ( D) A．12 3海里 B．6 3海里C．6 海里 D．4 3海里9．如图，为丈量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得∠ BAD＝30°，在 C 点测得∠ BCD ＝60°，又测得 AC＝ 100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为 ( B )A．100 米 B．50 3米 C.2003米 D．50 米3,第9 题图),第10题图)上走10．(2014·深圳 )小明去登山，在山脚看山顶角度为1300 米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(30°，小明在坡比为B)5∶ 12 的山坡A ． (600－ 250 3)米B． (6003－ 250)米C．(350 ＋ 350 3)米D． 500 3米二、填空题 (本大题共8 个小题，每题 3 分，共 24分 )4 11．在 Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，假如 AC＝ 3， AB＝ 5，那么 cosB 的值是 __5__．212．在△ ABC 中，∠ C＝90°， BC＝ 2， sinA＝3，则 AC 的长是 __5__．13．如图，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为α度，AC＝ 7 米，则树高 BC 为 __7tanα__米． (用含α的代数式表示 ),第 13题图),第 14题图),第16题图),第 17题图)14．如图，△ ABC 中，∠C＝ 90°，BC＝ 4 cm，tanB＝32，则△ ABC 的面积是 __12__cm2.15．在△ ABC 中，若∠ A，∠ B 知足 |cosA－1|＋ (sinB－2)2＝ 0，则∠ C＝__75° __．2216．长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角 (如下图 )，则梯子的顶端沿墙面高升了 __(2 3－2 2)__m.17．(2014·襄阳 )如图，在建筑平台 CD 的顶部 C 处，测得大树 AB 的顶部 A 的仰角为45°，测得大树 AB 的底部 B 的俯角为 30°，已知平台 CD 的高度为 5 m，则大树的高度为__(5＋53)__m．(结果保存根号)18．(2014·宜宾 )规定：sin(－ x)＝－ sinx，cos(－ x)＝ cosx，sin(x＋ y)＝ sinx·cosy＋ cosx·siny.据此判断以下等式建立的是__②③④ __． (写出全部正确的序号)① cos(－ 60°) ＝－1；②sin75°＝6＋2；③ sin2x＝ 2sinx·cosx；④ sin(x－ y)＝ sinx·cosy 24－c osx· siny.三、解答题 (66 分 )19． (8 分) 计算：(1)sin230°＋ cos245°＋3sin60°· tan45°；9解：422(2)cos 30°＋ cos 60°＋sin245°.3解：220． (8 分) 在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， a＝ 10， c＝20，解这个直角三角形．解：∠ A ＝30°，∠B＝ 60°， b＝10321． (8 分 )假如是我国某海疆内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此结构出该岛的一个数学模型如图乙所示，此中∠ B＝∠ D＝ 90°，AB＝ BC＝ 15 千米，CD＝ 3 2千米．求∠ACD 的余弦值．解：连结 AC ，在 Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋ BC2＝ 15 2千米，在 Rt△ ACD 中，cos∠ACD ＝CD＝32 ＝ 1， ∴∠ ACD 的余弦值为 1 AC15 2 5 5122． (10 分 )如图 ，在 Rt △ABC 中， ∠ C ＝ 90°， BC ＝ 8， tanB ＝ 2，点 D 在 BC 上，且 BD ＝AD.求 AC 的长和 cos ∠ ADC 的值．1解：∵在 Rt △ ABC 中， BC ＝8， tanB ＝ 2， ∴AC ＝ 4.设 AD ＝ x ，则 BD ＝ x ，CD ＝ 8－ x ，由勾股定理 ，得 ( 8－ x )2＋ 42＝ x 2.解得 x ＝5.∴ cos ∠ ADC ＝ DC ＝ 3AD 523． (10 分 )(2014·常德 )如图 ， A ， B ， C 表示修筑在一座山上的三个缆车站的地点，AB ， BC 表示连结缆车站的钢缆．已知A ，B ，C 所处地点的海拔 AA 1， BB 1， CC 1 分别为160 米，400 米，1000 米，钢缆 AB ，BC 分别与水平线 AA 2，BB 2 所成的夹角为 30° ，45° ，求钢缆 AB 和 BC 的总长度． (结果精准到 1 米 )解：依据题意知BD ＝ 400－ 160＝ 240 米， CB 2＝ 1000－ 400＝600 米，在 Rt △ ADB中，sin30°＝BD，∴ AB ＝BD ＝ 480 米，在 Rt △BB2C 中， °＝ CB 2，∴BC ＝ CB 2ABsin30°sin45 BC sin45°＝ 600 2米， AB ＋ BC ＝ (480＋ 600 2)米≈ 1329 米24． (10 分 )如图 ，某高速公路建设中需要确立地道AB 的长度．已知在离地面 1500 m的高度 C 处的飞机上 ，丈量人员测得正前面 A ，B 两点处的俯角分别为 60°和 45° .求地道AB 的长． ( 3≈ 1.73)解：∵ OA ＝ 1500× tan30 °＝ 500 3，OB＝ OC ＝1500 ，∴ AB＝ 1500－ 5003≈ 1500－865＝ 635(m)25． (12 分 )我市某中学在创立“特点校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌AB，搁置在教课楼的顶部(如下图 )．小明在操场上的点 D 处，用 1 米高的测角仪CD，从点 C 测得宣传牌的底部 B 的仰角为37°，而后向教课楼正方向走了 4 米抵达点 F 处，又从点 E 测得宣传牌的顶部 A 的仰角为45° .已知教课楼高BM ＝17 米，且点 A， B， M 在同一直线上，求宣传牌 AB 的高度． (结果精准到0.1 米，参照数据：3≈， sin37°≈，cos37°≈， tan37°≈ 0.75)解：过点 C 作 CN ⊥AM AN ＝ x＋(17－ 1)＝ x＋ 16(米)，在于点 N ，则点 C ， E， N 在同向来线上．设AB＝ x 米，则 Rt △AEN 中，∠ AEN ＝45°，∴ EN ＝AN ＝ x＋ 16，在 RtBN17－ 131△BCN 中，∠ BCN ＝ 37°，BM ＝ 17，∴ tan∠ BCN ＝CN＝，∴x＋20＝4，解得 x＝ 13≈1AB 的高度约为 1.3 米1.3.经查验： x＝ 13是原分式方程的解．答：宣传牌。
第4章 锐角三角函数数学九年级上册-单元测试卷-湘教版(含答案)
第4章锐角三角函数数学九年级上册-单元测试卷-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为( )A. 米B. 米C.6·cos52°米D. 米2、如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O 的半径长为（）A. B. C. D.3、如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其正视图与侧视图均由矩形构成，正视图中大矩形边长如图所示，侧视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（）A.320cmB.395.24 cmC.431.77 cmD.480 cm4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=26，tanA＝，则AC的长为（）A.25B.13C.24D.125、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE的值是（）A. B. C. D.6、如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（）A. B. C. D.7、如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A. B. C. D.8、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）A. B. C. D.9、在△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=3,欲求∠A的值,最适宜的做法是( )A.计算tanA的值求出B.计算sinA的值求出C.计算cosA的值求出D.先根据sinB求出∠B,再利用90°-∠B求出10、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列错误的是( )A.∠B＝60°B.a＝5C.b＝5D.tan B＝11、在中，，，，那么的值是（）A. B. C. D.12、某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为10的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（）A. B. C. D.13、如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=8cm，则AB的长为（）A. cmB.4cmC. cmD. cm14、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（）。
第4章 锐角三角函数数学九年级上册-单元测试卷-湘教版(含答案)
第4章锐角三角函数数学九年级上册-单元测试卷-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜60°C.60°＜∠A＜90° D.30°＜∠A＜45°2、如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（）A.4B.C.2D.3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D 处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（）A. B. C. D.4、如图，四边形内接于半圆O，为直径，，过点D作于点E，连接交于点F.若，，则的长为（）A.8B.10C.15D.245、如图，一艘轮船行驶在O处同时测得小岛A、B的方向分别为北偏东75°和西南方向，则∠AOB等于（）A.100°B.120°C.135°D.150°6、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（）A. B. C. D.7、cos45°的值等于（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于 ( )A. B. C. D.10、如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A.2 cmB. cmC. cmD.1cm11、如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．则sinA的值为（）A. B. C. D.12、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，则∠A的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°13、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A. B. C. D.14、如图，等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A，B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA，B翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ为定值；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.415、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，画射线.过点作，交射线于点D，过点D作，交于点E.设，，则________.17、如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆，从办公大楼顶端测得旗杆顶端的俯角是45°，旗杆底端到大楼前梯坎底边的距离是10米，梯坎坡长是10米，梯坎坡度＝1：，则大楼的高为________米．18、如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于M、N两点，以坐标原点O为圆心的⊙O半径为2，将⊙O沿x轴向右平移，当⊙O恰好与直线MN相切时，平移的最小距离为________．19、如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2 ）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为________．20、汽车沿着坡度为1：7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了________ 米．21、如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC= ，P是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP．当△A1CP与△ABC的重叠部分为等腰三角形时，则∠ACP的度数为________。
湘教版九年级数学上册单元测试卷附答案第4章 锐角三角函数
第4章锐角三角函数一、选择题（共15小题；共45分）1. 的值是B.2. 已知，则约为A. B. C. D.3. 每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为，若这位同学的目高为米，则旗杆的高度约为A. 米B. 米C. 米D. 米4. 已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下），按下的第一个键是A. B.C. D.5. 在，，，则的值是B.6. 在中，，，，的对边分别为，，，那么下列等式中错误的是A. B. C. D.7. 下列条件中不能确定一个直角三角形的是A. 已知两条直角边B. 已知两个锐角C. 已知一边和一个锐角D. 已知一条直角边和斜边8. 如图，点为边上任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是A. B. C. D.9. 下列各式中，正确的是A. B.C. D.10. 在中，，则下列各式正确的是A. B. C. D.11. 下列式子错误的是A. B.C. D.12. 在中，，则为A. 直角三角形B. 等边三角形C. 含的任意三角形D. 是顶角为钝角的等腰三角形13. 如图，某海监船以海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至处时，测得岛屿恰好在其正北方向，继续向东航行小时到达处，测得岛屿在其北偏西方向，保持航向不变，又航行小时到达处，此时海监船与岛屿之间的距离（即的长）为A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里14. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（）量得测角仪的高度；（）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为。
湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数测试卷含答案详解
湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数测试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．已知在R t △ABC 中，∠C = 90°，∠A =α，AB = 2，那么BC 的长等于 A ．2sin αB ．2cos αC ．2sin αD ．2cos α2．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC =3, AC =4，则sinA 的值为（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．453．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,3，那么sin α的值是（ ）A ．34B ．43C ．45D ．354．△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AB=13，那么sinA 的值等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．1255．在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC BC=2，则sin∠ACD 的值为（）A B C D．2 37．小明沿着坡比为1600m，则他升高了（）A．B．C．300 m D．200m8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，cosA=35，BE=2，则tan∠DBE的值是（）A．2 B．12C D9．在△ABC中，若|sinA﹣12|+tanB）2=0，则∠C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．已知α是锐角，且点A（12，a），B（sinα＋cosα，b），C（－m2＋2m－2，c）都在二次函数y＝－x2＋x＋3的图象上，那么a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜ b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 二、填空题11．ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=34，则BC的长_____．12．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____．13．某人沿着坡度为1:3的山坡向上走了200m，则他升高了________米．14．已知α、β是锐角，且cotα＜cotβ，则α、β中较小的角是________．15．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=34， 则sinA=________ ．16．小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A 处测得点D 的俯角α为30°，测得点C 的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC 为30米，则图书大厦CD 的高度为________米．17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，将△ADE 沿DE 翻折，使点A 落在点A′处，当A′E ⊥AC 时，A′B ＝____．18．如图，过锐角△ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F ．在AF 上取点M ，使得AM=13AF ，连接CM 并延长交直线DE 于点H ．若AC=2，△AMH 的面积是112，则1tan ACH ∠的值是_______．三、解答题19．计算：0112sin 45()2π--︒++．20．如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A ，再在河的这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC 的长为40m ，求河的宽度（结果保留根号）．21．五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向，测得景点B在其南偏东40°方向．小明从游客中心走了2千米到达景点A，已知景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）22．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan∠B=cos∠DAC，（1）求证：AC=BD；（2）若sinC=1213，BC=36，求AD的长．23．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？24．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向B航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B 处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考≈1.41≈2.45）25．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：512，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．26．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．27．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除．（参考≈1.414）参考答案1．A【分析】根据正弦的定义解答即可.【详解】∵在R t △ABC中，∠C = 90°，∴AB为斜边，BC为∠A所对直角边，∵∠A=α，∴sinα =BC AB，∴BC=AB sinα =2sinα，故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，正弦是锐角的对边与斜边的比；余弦是锐角的邻边与斜边的比；正切是锐角的对边与邻边的比；余切是锐角的邻边与对边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键.2．C【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA=BCAB求解即可.【详解】∵∠C=90°，BC=3,AC=4∴5 AB=∴3 sin5BCAAB==故选C.【点睛】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可.3．D【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，∵A的坐标为(4,3) ∴OB=4，AB=3，在Rt△AOB中，∴AB3 sin==OA5α故选：D．【点睛】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．4．B【分析】根据正弦的定义：正弦=对边/斜边即可解答.【详解】由题意得sinA=BCAB=1213，故选B.【点睛】掌握正弦公式是解答本题的关键.5．C【分析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．【详解】由题意，得 cosA=12，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C．6．A在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sin B．【详解】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB==3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠BAC==．AB故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．7．C【详解】试题分析：首先根据题意画出图形，由坡度为，可求得坡角∠A=30°，又由小明沿着坡度为600m，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i=1∴tan∠∴∠A=30°，=1000m，∴BE=1AB=300（m）．2∴他升高了300m．故选C考点：解直角三角形的应用点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应8．A在直角三角形ADE 中，cosA=35=AE AB BEAD AD -= ,可以求得AB ，再利用勾股定理求得DE ，即可求得tan DEDBE BE∠= . 【详解】解：设菱形的边长为t2BE =2AE t ∴=-352AE AB BE t AD D tco A sA --==== 5t ∴=4DE ∴=4tan 22DE DBE BE ∴∠=== 故选A 【点睛】本题考查了菱形的性质和解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 9．D 【详解】试题解析：∵|sinA-12|+）2=0，∴|sinA-12|=0，-tanB ）2=0，∴sinA-12=0-tanB=0，sinA=12，∴∠A=30°，∠B=30°， ∴∠C=120°． 故选D ．考点：1.特殊角的三角函数值；2.非负数的性质：绝对值；3.非负数的性质：偶次方． 10．D 【分析】先计算对称轴为直线x=12，抛物线开口向下，可知A点为顶点（最高点)，a最大；再根据B、C两点与对称轴的远近，比较纵坐标的大小．【详解】抛物线y=-x2+x+3的对称轴是直线x=12，开口向下，点A（12，a)为顶点，即最高点，所以，a最大，A、B错误；又1＜sinα+cosα＜2，-m2+2m-2=-（m-1)2-1≤-1，可知，B点离对称轴近，C点离对称轴远，由于抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，c＜b，C错误；故选D．【点睛】比较抛物线上点的纵坐标大小，需要结合对称轴，开口方向，点与对称轴的远近，来比较大小.11．【详解】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长：∵△ABC中，∠C=90°，AB=8，，∴3AC AB cosA864=⋅=⨯=．∴BC=故答案为12．1 3【详解】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴，在Rt△BEF中，tan∠EBF=EFBF=13，即∠EBC=13．故答案为13．13．【详解】【分析】根据坡度等于坡角的正切值，以及正切的定义可设升高了xm，则水平距离为3xm，再根据勾股定理求得答案．【详解】设升高了xm，根据坡比为1：3，则可得水平距离为3xm，∴由勾股定理得x2+（3x）2=2002，解得故答案为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，熟练掌握坡比等于坡角的正切是解题的关键.14．β【分析】锐角三角函数值都是正值，余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．【详解】∵α、β是锐角，且cotα＜cotβ，∴α＞β，故α、β中较小的角是β．故答案为β．【点睛】考查了锐角三角函数的增减性．①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；④余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．15．4 5 .【详解】试题分析：根据正切函数可设tanA=43=BCAC=43aa，根据勾股定理，可得AB=5a，再根据正弦函数可得sinA=BCAB=45aa=45.故答案为4 5 .考点：同角三角函数的关系．16．【分析】作DH⊥AB于H，根据正切的概念分别求出AB、AH，计算即可．【详解】作DH⊥AB于H，则DH=BC=30，在Rt△ADH中，AH=DH×tanα=10 ，在Rt △ABC 中，AB=BC tan30︒ =30 ，则CD=AB ﹣AH=20（米），故答案为20． 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17【分析】分两种情况:①如图1, 作辅助线, 构建矩形, 先由勾股定理求斜边AB=10, 由中点的定义求出AD 和BD 的长, 证明四边形HFGB 是矩形, 根据同角的三角函数列式可以求DG 和DF 的长,并由翻折的性质得: ∠DA' E=∠A,A' D=AD=5, 由矩形性质和勾股定理可以得出结论②如图2, 作辅助线, 构建矩形A' MNF,同理可以求出A' B 的长.【详解】解：分两种情况:如图1,过D 作DG ⊥BC 与G, 交A' E 与F, 过B 作BH ⊥A' E 与H,D 为AB 的中点,∴BD=12AB=AD,∠C=90o ,AC=8,BC=6,∴AB=10,∴BD=AD=5, sin ∠ABC=DG AC BD AB =,8510DG ∴= ∴DG=4, 由翻折得: ∠DA' E=∠A, A' D=AD=5,∴sin ∠DA' E=sin ∠A=BC DF AB A D='.∴6105DFA=∴DF=3,∴FG=4-3=1,A'E⊥AC,BC⊥AC,∴A'E//BC,∴∠HFG+∠DGB=180o,∠DGB=90o,∴∠HFG=90o,∴∠EHB=90o,∴四边形HFGB是矩形,∴BH=FG=1,同理得: A' E=AE=8 -1=7,∴A'H=A'E-EH=7-6=1,在Rt△AHB中, 由勾股定理得如图2,过D作MN//AC, 交BC与于N,过A' 作A' F//AC, 交BC的延长线于F,延长A' E交直线DN 于M, A'E⊥AC,∴A' M⊥MN, A' E⊥A'F,∴∠M=∠MA'F=90o,∠ACB=90o,∴∠F=∠ACB=90o,∴四边形MA' FN県矩形,∴MN=A'F,FN=A'M,由翻折得: A' D=AD=5,Rt△A'MD中,DM=3,A'M=4,∴FN=A'M=4,Rt△BDN中,BD=5,∴DN=4, BN=3,A' F=MN=DM+DN=3+4=7,BF=BN+FN=3+4=7,Rt△ABF中, 由勾股定理得=综上所述,A'B故答案为或【点睛】本题主要考查三角形翻转后的性质，注意不同的情况需分情况讨论.18．．【详解】试题分析：过点H作HG⊥AC于点G，∵AF平分∠CAE，DE∥BF，∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，∴AC=CF=2，∵AM=AF，∴，∵DE∥CF，∴△AHM∽△FCM，∴，∴AH=1，设△AHM中，AH边上的高为m，△FCM中CF边上的高为n，∴=，∵△AMH的面积为：，∴=AH•m∴m=，∴n=，设△AHC的面积为S，∴=3，∴S=3S△AHM=，∴AC•HG=，∴HG=，∴由勾股定理可知：AG=，∴CG=AC﹣AG=2﹣，∴==.故答案为．考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形；综合题．19．3．【详解】试题分析：根据二次根式、绝对值意义、特殊角的三角函数值、零指数幂法则、负整数指数幂法则计算即可得到结果．试题解析：原式=212-+=3．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．20．20)m ．【分析】如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，设AD =x m ，通过锐角三角函数可知：BD ＝x m ，DC m ；根据BC 的长为40m 即可建立方程，解之即可求出河宽.【详解】解：作AD ⊥BC,垂足为D .设AD = x m ，∵∠ABC =45°，∴BD ＝AD = x m ，∵∠ACB =30°，∴DC ＝tan 30AD︒m ，∵AD+DC=BC ,且BC ＝40m ，∴40x =，解得，20x =，答：则河的宽度为20)m.【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用. 通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键. 21．AB=2.88千米．【详解】试题分析：作OC ⊥AB ．在在Rt △AOC 中，求出AC 、OC 的长，从而求出BC 的长，于是将AC 、BC 相加即可．试题解析：作OC ⊥AB ．∵AB ∥OF ，∴∠A=72°，∠B=40°，∴在Rt△AOC中，AC=2×cos72°≈2×0.31=0.62（千米），OC=2×sin72°≈2×0.95=1.9（千米），在Rt△BOC中，=tan40°，即≈0.84，BC≈=2.26（千米），∴AB=0.62+2.26=2.88（千米）．点睛：本题考查了方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．22．（1）证明见解析（2）8【分析】（1）由于tan B=cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC=BD；（2）设AD=12k，AC=13k，然后利用题目已知条件解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan B=ADBD，cos∠DAC=ADAC，tan B=cos∠DAC，∴ADBD=ADAC，∴AC=BD．（2）在Rt△ADC中，sin C=1213，故可设AD=12k，AC=13k，∴CD k，∵BC=BD+CD，AC=BD，∴BC=13k+5k=18k．由已知BC=12，∴18k=12，∴k=23，∴AD=12k=12×23=8．点睛：此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，也考查逻辑推理能力和运算能力．23．如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区【分析】问输水线路是否会穿过居民区，其实就是求A到MN的距离是否大于圆形居民区的半径，如果大于则不会穿过，反之则会．【详解】作AC⊥MN于点C，∵∠AMC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝75°－30°＝45°，∴设AC为xm，则AC＝BC＝x，在Rt△ACM中，MC＝400＋x，∴tan∠AMC＝，即＝，解得x ＝200＋200＞500，∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，当两个直角三角形有公共的直角边时，利用这条公共边来求解是解决此类题目的基本出发点．24．小岛A与小岛B之间的距离是100km．【分析】先过点C作CP⊥AB于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在Rt△PCB中，根据勾股定理求出BP=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．【详解】解：过点C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h ，轮船航行2小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴∵∠CAP=60°，∴tan60°=CP AP∴，∴（km ）．答：小岛A 与小岛B 之间的距离是100km ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．25．（1）改造前坡顶与地面的距离BE 为24米；（2）BF 至少是8米【详解】整体分析：（1）Rt △ABE 中，根据斜坡AB 的坡比为i=1：512，且AB=26米解直角三角形；（2）过点F 作FG ⊥AD 于点G ，用∠FAG 的余切求出AG 即可.解：（1）在Rt △ABE 中，AB=26，i=BE AE =125， 设BE=12k ，AE=5k ，则AB=13k=26，k=2，∴AE=10（米），BE=24（米）；（2）过点F 作FG ⊥AD 于点G ，由题意可知：FG=BE=24，∠FAD=53°，在Rt △AFG 中，cot53°=24AG =0.75， ∴AG=18， ∴BF=GE=AG ﹣AE=8米，答：改造前坡顶与地面的距离BE 为24米；BF 至少是8米．26．拦截点D 处到公路的距离是(500＋)米．【详解】试题分析：过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E=∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF ．解Rt △BCE ，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt △CDF ，求出CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．试题解析：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E=∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF ．在Rt △BCE 中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=×1000=500米；在Rt △CDF 中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米，∴CF=CD=500米，∴DA=BE+CF=（500+500）米，故拦截点D 处到公路的距离是（500+500）米．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．27．需要拆除．【分析】由题意得到△ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在Rt△BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC=30°，得到DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，再比较AD+3与10的大小即可．【详解】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，=∴AD=BD﹣AB=（10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题；属于应用题．。
第4章 锐角三角函数数学九年级上册-单元测试卷-湘教版(含答案)
第4章锐角三角函数数学九年级上册-单元测试卷-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（）A.9°B.18°C.27°D.36°2、如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，那么，旗杆AB的高度是（）A.（+8 ）MB.（8+8 ）MC.（8 + ）M D.（8+ ）M3、如图，是意大利著名的比萨斜塔，塔身的中心线与垂直中心线的夹角A约为5゜28′，塔身AB的长为54.5m，则塔顶中心偏离垂直中心线的距离BC是（）A.54.5×sin5°28′mB.54.5×cos5°28′mC.54.5×tan5°28'm D. m4、如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD 的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米5、如图，AC是电杆AB的一根拉线，现测得BC=6米，∠ABC=90°，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（）米.A. B. C. D.6、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则tanB的值为（）A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们体会到了国旗的神圣。
某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法。
湘教版九年级上册数学第四章 锐角三角函数单元测试题(含答案)
第四章单元检测卷[时间：90分钟分值：150分]一、选择题(每小题4分，共40分)1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是()A.513 B.1213 C.512 D.1352．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m，250 m，200 m，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放风筝()A．甲的最高B．乙的最高C．丙的最高D．乙的最低3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝6，BC＝2，则sin∠ACD的值为()A.155 B.255 C.52 D.62第3题图第4题图4．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为()A.12 B.22 C.32D．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cos A＝35，那么tan A等于()A.43 B.34 C.45 D.546．如图，为测量河两岸相对的两电线杆A，B之间的距离，在距A点16 m 的C处(AC⊥AB)测得∠ACB＝52°，则A，B两点间的距离为()A．16sin 52° m B．16cos 52°m C．16tan 52° m D.16tan 52°m 7．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A 到旗杆的距离AB＝12 m，则旗杆的高度为()A．6 3 m B．6 m C．12 3 m D．12 m第7题图第8题图8．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是()A．2海里B．2sin 55°海里C．2cos 55°海里D．2tan 55°海里9．若α，β都是锐角，且cos α＞cos β，则下列式子正确的是()A．α＞βB．sin α<sin βC．tan α＞tan βD．以上式子都不正确10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝62，∠C＝45°，tan ∠ABC＝3，则BD等于()A．2 B．3 C．3 2 D．2 3二、填空题(每小题4分，共32分)11．计算：cos2 45°＋tan 30°·sin 60°＝_______．12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sin A＝________，tan B＝___________．13．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比(指坡面的铅直高度BC与水平宽度CA的比)是1∶3，堤高BC＝5 m，则坡面AB的长度是_________m.14．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cos B＝45，则AC＝________．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝32，a＝3，那么b＝______．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E.如果BC＝8，tan A＝43，那么BD＝________．,)17．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于_________海里．,第17题图),第18题图) 18．如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1∶2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过________米．三、解答题(共7小题，满分78分)19．(10分)计算：32sin 60°－2cos 45°－33tan 30°·cos 60°.20．(10分)如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫作角α的余切，记作cot α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC.根据上述角的余切的定义，解答下列问题：(1)cot 30°＝___________；(5分)(2)如图，已知tan A＝34，其中∠A为锐角，试求cot A的值．21．(10分)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5 m的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22 m，求旗杆CD的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62)22．(10分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝1 3，AD＝1，求BC的长．23．(12分)某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚好在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3 000 m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情的渔船的俯角为30°，请问此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)24．(12分)如图，AD是△ABC的中线，tan B＝13，cos C＝22，AC＝ 2.求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．25．(14分)如图所示，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1∶3，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．参考答案[时间：90分钟分值：150分]一、选择题(每小题4分，共40分)1．A2．B3．A4．B 5．A 6．C7．C 8．C9．B 10．A【解析】∵AC＝62，∠C＝45°，AD⊥BC，∴AD＝AC·sin 45°＝62×22＝6.∵tan ∠ABC＝3，∴ADBD＝3，∴BD＝AD3＝2.二、填空题(每小题4分，共32分)11．1 12．354313．1014．5【解析】∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠B＋∠BAD＝90°，∴∠CAD＝∠B，∴cos B＝cos ∠CAD＝ADAC＝45.又∵AD＝4，∴AC＝5.15．1 16．25 417．10 3【解析】根据题意可知∠CAD＝30°，∠CBD＝60°. ∵∠CBD＝∠CAD＋∠ACB，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∴AB＝BC＝20海里．在Rt△CBD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴sin 60°＝CD BC，∴CD＝BC·sin 60°＝20×32＝103海里．18．2.4三、解答题(共7小题，满分78分)19．解：原式＝32×32－2×22－33×33×12(4分)＝34－1－16(8分)＝－512.(10分)20(1) 3解：(2)∵tan A＝BCAC＝34，∴cot A＝ACBC＝43.(10分)21．解：在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，BE＝AC＝22 m，tan 32°＝DE BE，(5分)∴DE＝BE·tan 32°≈22×0.62＝13.64(m)．(8分) ∵CE＝AB＝1.5 m，∴CD＝CE＋DE≈1.5＋13.64≈15.1(m)．答：旗杆CD的高度约为15.1 m．(10分)22．解：在Rt△ABD中，∵AD＝1，∴sin B＝ADAB＝13，∴AB＝3，(4分)∴BD＝AB2－AD2＝2 2.(6分)在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1，(8分)∴BC＝BD＋CD＝22＋1.(10分)23．解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3 000 m，∴AD＝CD·tan∠ACD＝1 000 3 m．(4分)在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CD·tan∠BCD＝3 000 3 m，(8分)∴AB＝BD－AD＝2 000 3 m.答：此时渔政船和渔船相距2 000 3 m．(12分)24．答图解：(1)如答图，过点A作AE⊥BC于点E.∵cos C＝22，∴∠C＝45°.(1分)在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，∴AE＝CE＝1.(3分)在Rt△ABE中，tan B＝13，即AEBE＝13，∴BE＝3AE＝3，(5分)∴BC＝BE＋CE＝4.(6分) (2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝12BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.(8分)∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，(10分)∴sin∠ADC＝22.(12分)25．答图解：如答图，过点E作EF⊥BC于点F，EN⊥AB于点N.(2分) ∵假山的坡度为i＝1∶3，∴设EF＝x米，则FC＝3x米．(4分)∵CE＝20米，∴x2＋(3x)2＝400，解得x＝10，则FC＝103米．(8分)∵BC＝25米，∴BF＝NE＝(25＋103)米．(10分)∵∠AEN＝45°，∴AN＝EN＝(25＋103)米，(12分)∴AB＝AN＋BN＝NE＋EF＝25＋103＋10＝(35＋103)米．答：建筑物AB的高为(35＋103)米．(14分)。
湘教版九年级数学上册 第4章 锐角三角函数 单元测试卷(2024年秋)
湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数单元测试卷（2024年秋）一、选择题(每题3分，共30分)1．sin30°的值等于()A．12B．22C．32D．332．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则sin A的值为()A．35B．53C．45D．343．[2024·海南中学月考]若锐角α满足12＜cosα＜22，则锐角α的取值范围是()A．0°＜α＜45°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．30°＜α＜60°4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值()A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的6倍D．不变5．[2023·益阳]如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，则sin∠BAC＝()A．12B．135C．22D．326．[2022·济南]数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前走70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为()(精确到1m，参考数据：sin22°≈0．37，tan22°≈0．40，sin58°≈0．85，tan58°≈1．60)A．28m B．34m C．37m D．46m7．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处．已知AB ＝8，BC ＝10，则cos ∠EFC 的值是()A ．34B ．43C ．35D ．458．[2023·衢州]如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC ＝2a ，AB ＝b ，AB 的最大仰角为α．当∠C ＝45°时，则点A 到桌面的最大高度是()A ．a ＋b cos αB ．a ＋b sin αC ．a ＋b cos αD ．a ＋b sin α9．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知AB ＝m ，∠BAC ＝α，则下列结论错误的是()A ．∠BDC ＝αB ．BC ＝m ·tan αC ．AO ＝m 2sin αD ．BD ＝m cos α10．[2023·河南]如图①，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x ，PB PC＝y ，图②是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为()A ．6B ．3C ．43D ．23二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cos A的值是________．12．[2022·柳州]如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝35，堤坝高BC＝30m，则迎水坡坡面AB的长度为________m．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足a2＋|c－10|＋b－8＝12a－36，则sin B的值为________．14．[2024·广西师范大学附属中学模拟]如图，菱形ABCD绕A点顺时针旋转60°，B，C，D的对应点分别为B1，C1，D1，若B1和D重合，菱形ABCD面积为183cm2，则阴影△DCC1的面积＝________cm2．15．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________．16．如图是一台手机支架的侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离约为________cm(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 70°≈0．94，3≈1．73)．17．[2023·雅安]如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE ∥CD，交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为________．18．[2023·黄冈]如图，已知点A(3，0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A 顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为(7，h)，则h＝________．三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分) 19．计算：2cos30°－tan60°＋sin45°cos45°．20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．(1)已知c＝2，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝2，∠A＝45°，求∠B，b，c．21．[2023·北京]如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF，连接AE，CF．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝12，求BC的长．22．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1∶1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1∶3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果精确到0.1m)．23．[2023·泰州]如图，堤坝AB的长为10m，坡度i为10．75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔C D．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B 处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．(参考数据：sin26°35′≈0．45，cos26°35′≈0．89，tan26°35′≈0．50，小明身高忽略不计，结果精确到1m)24．[2023·海南]如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB＝________°，∠BCM＝________°；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．答案一、1.A2．C 【点拨】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，∴sin A ＝BC AB ＝45.3．C 【点拨】∵cos 60°＝12，cos 45°＝22，12＜cos α＜22，∴45°＜α＜60°.故选C.4．D5．C 【点拨】如图，取格点D ，连接CD ，AD ，则B 在AD 上．∵A (0，1)，B (4，1)，C (5，6)，∴AD ＝5，CD ＝5，∠ADC ＝90°.∴∠BAC ＝45°.∴sin ∠BAC ＝sin 45°＝22.故选C.6．C 【点拨】在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB DB，∴DB ＝AB tan 58°≈AB 1.60＝58AB .在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝tan 22°＝AB CB ，∴AB 70＋58AB ≈0.40，解得AB ≈37m ．故选C.7．D 【点拨】由题意得AF ＝AD ＝BC ＝10，∠AFE ＝∠D ＝∠B ＝90°.由等量关系代换可得∠EFC ＝∠BAF ，所以cos ∠EFC ＝cos ∠BAF ＝AB AF ＝810＝45.故选D.8．D 【点拨】如图，过点A 作AF ⊥BE 于F ，过点B 作BG ⊥CD 于G ，在Rt △ABF 中，AF ＝AB ·sin α＝b sin α，在Rt △BCG 中，BG ＝BC ·sin 45°＝2a ×22＝a ，∴易得点A 到桌面的最大高度＝BG ＋AF ＝a ＋b sin α.故选D.9．C10．A 【点拨】如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B .结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PB PC＝1，∴PB ＝PC ，AO ＝2 3.又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，又∵AP ＝AP ，∴△APB ≌△APC (SSS)，∴∠BAO ＝∠CAO .∴∠BAO ＝∠CAO ＝30°.当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为43，∴OB ＝23，即AO ＝OB ＝23，∴∠BAO ＝∠ABO ＝30°.过点O 作OD ⊥AB ，∴AD ＝BD ，AD ＝AO ·cos 30°＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝6，即等边三角形ABC 的边长为6.故选A.二、11.51312．50【点拨】根据题意得∠ACB ＝90°，sin α＝35，∴BC AB ＝35.∵BC ＝30m ，∴30AB ＝35，解得AB ＝50(m)，即迎水坡坡面AB 的长度为50m.13.45【点拨】∵a 2＋|c －10|＋b －8＝12a －36，∴a 2－12a ＋36＋|c －10|＋b －8＝0，∴(a －6)2＋|c －10|＋b －8＝0.∴a －6＝0，c －10＝0，b －8＝0，解得a ＝6，c ＝10，b ＝8.∴a 2＋b 2＝62＋82＝100＝102＝c 2.∴∠C ＝90°.∴sin B ＝b c ＝810＝45.14．93【点拨】如图，过点C 作CH ⊥C 1D 交C 1D 的延长线于点H ，过点B作BK ⊥AD 于点K .由旋转的性质可得∠BAD ＝60°，∴BK ＝AB ·sin 60°＝32AB .∵菱形ABCD 面积为183cm 2，∴BK ·AD ＝32AB 2＝183cm 2，解得AB ＝6cm.易得CD ＝C 1D ＝6cm ，∠CDC 1＝120°，∴∠CDH ＝60°，∴CH ＝CD ·sin 60°＝33.∴S 阴影＝12×6×33＝93(cm 2)．15.13【点拨】如图，过点A ′作A ′D ⊥BC ′于点D ，设A ′D ＝x ，易得B ′D ＝x ，BC ＝2x ，则BD ＝3x .所以tan ∠A ′BC ′＝A ′D BD ＝x 3x ＝13.16．6.3【点拨】如图，过点B ，C 分别作AE 的垂线，垂足为点M ，N ；过点C作CD ⊥BM ，垂足为点D .在Rt △ABM 中，∵∠BAM ＝60°，AB ＝16cm ，∴BM ＝AB ·sin 60°＝16×32＝83(cm)，∠ABM ＝90°－60°＝30°.在Rt △BCD 中，∵∠DBC ＝∠ABC －∠ABM ＝50°－30°＝20°，∴∠BCD ＝90°－20°＝70°.又∵BC ＝8cm ，∴BD ＝8×sin 70°≈8×0.94＝7.52(cm)．易知四边形CDMN 为矩形，∴CN ＝DM ＝BM －BD ≈83－7.52≈6.3(cm)，即点C 到AE 的距离约为6.3cm.17．27【点拨】如图，连接AC ，BD 交于点O .∵BC ＝DC ，∠BCD ＝60°，∴△BCD 是等边三角形．∴BD ＝BC ＝CD ＝8.∵AB ＝AD ，BC ＝DC ，∴AC ⊥BD ，BO ＝DO ＝12BD ＝4，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD ＝30°.又∵AE ∥CD ，∴∠EAC ＝∠ACD ＝∠ACB ＝30°，∴EC ＝AE ＝6.过点E 作EF ⊥AC ，交AC 于点F ，∴CF ＝CE ·cos 30°＝6×32＝33，∴AC ＝CF ＋AF ＝6 3.AF ＝AE ·cos 30°＝6×32＝3 3.∴AC ＝CF ＋AF ＝6 3.∵CO ＝BC ·cos 30°＝8×32＝4 3.∴AO ＝AC －CO ＝63－43＝2 3.∴在Rt △BOA 中，AB ＝AO 2＋BO 2＝(23)2＋42＝27.18.233【点拨】如图，在x 轴上取点D 和点E ，使得∠ADB ＝∠AEC ＝120°，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .∵点C 的坐标为(7，h )，∴OF ＝7，CF ＝h .在Rt △CEF 中，∠CEF ＝180°－∠AEC ＝60°，∴EF ＝CF tan 60°＝33h ，CE ＝CF sin 60°＝233h .∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝∠BAD ＋∠ABD ＝60°.∴∠CAE ＝∠ABD .∵AB ＝CA ，∴△CAE ≌△ABD (AAS)．∴AD ＝CE ＝233h ，AE ＝BD .∵点A (3，0)，∴OA ＝3，∴OD ＝OA －AD ＝3－233h .在Rt △BOD 中，∠BDO ＝180°－∠ADB ＝60°，∴BD ＝OD cos ∠BDO ＝OD cos 60°＝－233h 6－433h ，∴AE ＝BD ＝6－433h .∵OA ＋AE ＋EF ＝OF ，∴3＋6－433h ＋33h ＝7，解得h ＝233.三、19.【解】2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°＝2×32－3＋22×22＝3－3＋12＝12.20．【解】(1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.∵sin B ＝b c ，∴b ＝c ·sin B ＝2×sin 30°＝1.∵cos B ＝a c，∴a ＝c ·cos B ＝2×cos 30°＝ 3.(2)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝45°，∴∠B ＝90°－∠A ＝45°.∵tan A ＝a b ，∴b ＝a tan A ＝2tan 45°＝ 2.∵sin A ＝a c ，∴c ＝a sin A ＝2sin 45°＝2.21．(1)【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵BE ＝DF ，∴AF ＝EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．(2)【解】由(1)知四边形AECF 是矩形，∴∠AEC ＝∠AEB ＝90°.∵AE ＝BE ，AB ＝2，∴△ABE 是等腰直角三角形．∴AE ＝BE ＝22AB ＝2.又∵tan ∠ACB ＝AE EC ＝12，∴2EC ＝12.∴EC ＝22.∴BC ＝BE ＋EC ＝2＋22＝3 2.22．【解】在Rt △BCD 中，∵背水坡BC 的坡度i 1＝1∶1，∴CD BD＝1.∴BD ＝CD ＝20m.在Rt △ACD 中，∵背水坡AC 的坡度i 2＝1∶3，∴CD AD ＝13.∴AD ＝3CD ＝203m.∴AB ＝AD －BD ＝203－20≈14.6(m )．答：背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离约为14.6m .23．【解】如图，过B 作BH ⊥AE 于H .∵坡度i 为1∶0.75，∴设BH ＝4x m ，则AH ＝3x m.∴AB ＝AH 2＋BH 2＝5x m ．又∵AB ＝10m ，∴x ＝2.∴AH ＝6m ，BH ＝8m.过B 作BF ⊥CE 于F ，则EF ＝BH ＝8m ，BF ＝EH .设DF ＝a m ．∵α＝26°35′，∴BF ＝DF tan 26°35′≈a 0.5＝2a (m)，∴AE ≈(6＋2a )m.∵坡度i 为10.75，∴CE AE ＝10.75≈(20＋a ＋8)(6＋2a )．∴a ≈12.∴DF ≈12m ，∴DE ＝DF ＋EF ≈12＋8＝20(m)．答：堤坝高为8m ，山高DE 约为20m.24．【解】(1)30；45【点拨】如图，过点C 作CD ⊥AB 于D .∵∠DBM ＝∠A ＋∠AMB ＝30°＋∠AMB ＝60°，∴∠AMB ＝30°.由题意得AB ∥CM .∴∠DBC ＝∠BCM .∵∠DBC ＝45°，∴∠BCM ＝45°.(2)如图，过点M作ME⊥AB于E.由(1)可得∠A＝∠BMA＝30°，∴BM＝AB＝20海里，在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴EM＝BM·sin∠EBM＝20×sin60°＝20×32＝103(海里)．∴灯塔M到轮船航线AB的距离为103海里．(3)如图，过点C作CD⊥AB于D.∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB∥CM，∴易得四边形CDEM是矩形，∴CD＝EM＝103海里，DE＝CM.在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴BE＝BM·cos∠EBM＝20×cos60°＝20×12＝10(海里)．∵在Rt△CDB中，∠DBC＝45°，∴△CDB是等腰直角三角形．∴CD＝BD＝103海里．∴CM＝DE＝BD－BE＝10(3－1)海里．∴港口C与灯塔M的距离为10(3－1)海里．。
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第4章检测题 时间：120分钟 满分：120分 一.选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )
A.53 B.255 C.52 D.23
第1题图 第2题图 ,第4题图 第5题图 2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝( )
A.35 B.45 C.34 D.43 3.计算sin30°·tan45°的结果是( ) A.12 B.32 C.36 D.24 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( )
A.sinA＝32 B.tanA＝12 C.cosB＝32 D.tanB＝3 5.如图，AC是电杆的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为( )
A.6sin52°米 B.6tan52°米 C.6·cos52°米 D.6cos52°
米 6.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( ) A.43米 B.65米 C.125米 D.24米
7.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝34，则cosB的值是( )
A.45 B.34 C.35 D.43
8.如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是( ) A.123海里 B.63海里 C.6海里 D.43海里 9.如图，为测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100米，则B点到河岸AD的距离为( )
A.100米 B.503米 C.20033米 D.50米
第9题图 第10题图 10.小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( ) A.(600－2503)米 B.(6003－250)米 C.(350＋3503)米 D.5003米 二.填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分) 11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么cosB的值是____.
12.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝23，则AC的长是____. 13.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为___________米.(用含α的代数式表示)
第13题图 第14题图 第16题图 第17题图 14.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，tanB＝32，则△ABC的面积是____cm2. 15.在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA－12|＋(sinB－22)2＝0，则∠C＝____. 16.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_______________m. 17.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为______________m.(结果保留根号) 18.规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny.
据此判断下列等式成立的是______.(写出所有正确的序号)
①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny. 三.解答题(66分) 19.(8分)计算： (1)sin230°＋cos245°＋3sin60°·tan45°；
(2)cos230°＋cos260°tan60°·tan30°＋sin245°. 20.(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，c＝20，解这个直角三角形. 21.(8分)如果是我国某海域内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝32千米.求∠ACD的余弦值.
22.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝12，点D在BC上，且BD＝AD.求AC的长和cos∠ADC的值. 23.(10分)如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆.已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为160米，400米，1000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度.(结果精确到1米)
24.(10分)如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500 m的高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长.(3≈1.73)
25.(12分)我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌AB，放置在教学楼的顶部(如图所示).小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM＝17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度.(结果精确到0.1米，参考
数据：3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75) 参考答案 一.选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD的值为( A )
A.53 B.255 C.52 D.23
第1题图 第2题图 ,第4题图 第5题图 2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝( D )
A.35 B.45 C.34 D.43 3.计算sin30°·tan45°的结果是( A ) A.12 B.32 C.36 D.24 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( D )
A.sinA＝32 B.tanA＝12 C.cosB＝32 D.tanB＝3 5.如图，AC是电杆的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为( D )
A.6sin52°米 B.6tan52°米
C.6·cos52°米 D.6cos52°米 6.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( B ) A.43米 B.65米 C.125米 D.24米
7.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝34，则cosB的值是( C )
A.45 B.34 C.35 D.43
8.如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是( D ) A.123海里 B.63海里 C.6海里 D.43海里 9.如图，为测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100米，则B点到河岸AD的距离为( B )
A.100米 B.503米 C.20033米 D.50米
第9题图 第10题图 10.小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( B ) A.(600－2503)米 B.(6003－250)米 C.(350＋3503)米 D.5003米 二.填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分) 11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么cosB
的值是__45__.
12.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝23，则AC的长是__5__. 13.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为__7tanα__米.(用含α的代数式表示)
第13题图 第14题图 第16题图 第17题图 14.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，tanB＝32，则△ABC的面积是__12__cm2. 15.在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA－12|＋(sinB－22)2＝0，则∠C＝__75°__. 16.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了__(23－22)__m. 17.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为__(5＋53)__m.(结果保留根号) 18.规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny.
据此判断下列等式成立的是__②③④__.(写出所有正确的序号)
①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny. 三.解答题(66分) 19.(8分)计算： (1)sin230°＋cos245°＋3sin60°·tan45°；
解：94
(2)cos230°＋cos260°tan60°·tan30°＋sin245°. 解：32 20.(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，c＝20，解这个直角三角形. 解：∠A＝30°，∠B＝60°，b＝103 21.(8分)如果是我国某海域内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝32千米.求∠ACD的余弦值.