高中数学简单的逻辑联结词
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词全称量词与存在量词
第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析 全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 答案 D解析 因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析 对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题； 对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题； 对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真． 答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破 考向二 全称命题、特称命题 角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题真 否定为假 假所有对象使命题假否定为真4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析 设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三 利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析 当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析 由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析 若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙第二、丙第三B ．甲第二、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙第二D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三 答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析 当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是 ．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析 当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．答案 [－3，3]解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是 ．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0， 解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题． 当x >1时，g (x )＝2x－2>0， 又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。
第12讲简单的逻辑联结词(且或非)讲义-高三艺考数学一轮复习
第12讲：简单的逻辑联结词（且或非）【课型】复习课【教学目标】1.了解逻辑联结词【预习清单】【基础知识梳理】1．常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．23【引导清单】考向一：含有逻辑联结词的命题的真假判断例1：（1）命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．﹁p（2）记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：存在(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：对任意的(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤①p 或q ②﹁p 或q ③p 且﹁q ④﹁p 且﹁q这四个命题中，所有真命题的编号是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【解析】（1）取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．（2）在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p 或q 和p 且﹁q 正确．故选A.考向二：由命题的真假确定参数的取值范围例2：已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数m 的取值范围．【解析】若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎨⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎨⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2. 所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．【训练清单】【变式训练1】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号)①p 1且p 4 ②p 1且p 2 ③﹁p 2或p 3 ④﹁p 3或﹁p 4【解析】对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④【变式训练2】已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a 4≤3，即a ≥p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜aa 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．【巩固清单】1．已知命题p ，q ，则“﹁p 为假命题”是“p 且q 是真命题”的( )条件。
高中数学-逻辑连接词
【例 3】已知 c 0 ，设 P：函数 y c x 在 R 上单调递减
Q：不等式 x+ | x - 2c |> 1 的解集为 R.如果 P 和 Q 有且仅
有一个正确，求 c 的取值范围
解：函数 y c x 在 R 上单调递减 0 c 1.
不等式 x | R上恒大于1.
（3）P或q形式，其中p：4＞３，q：４＝３
（4）非p形式：其中p：平行四边形是梯形。
例2．已知命题 p : x2 mx 1 0 有两个不等的负 根；命题 q : 4x2 4(m 2)x 1 0无实根. 若命题p与 命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围.
m 3,或1 m 2
2.在一次投篮练习中，小王连投两次，设命题 p ：“第一次
投中”命题 q ：“第二次投中”.试用 p 、 q 和联接词“或、且、
非”表示命题“两次恰有一次投中”:(__p_且____q_.)或( p且q )
3.已知 c>0,设 p:函数 y cx 在 R 上递减; q:函数 f (x) x2 cx的
例1．已知复合命题形式，指出构成它的简单命题， （1）等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边， （2）垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的 两条弧，
（3）
（4）平4行四3 边形不是梯形
（1）P且q形式，其中p：等腰三角形顶角的角平分线垂直底 边， q：等腰三角形顶角的角平分线平分底边；
（2）P且q形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦， q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧
1．逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层 含义：
以“P或q”为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立 但q成立，三是p成立且q成立， 2．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既 否定题设又否定结论
高二数学 (新课标人教A版)选修2-1《1.3简单的逻辑联结词》教案
1.3简单的逻辑联结词1.3.1且 1.3.2或学生探究过程：1、引入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。
在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。
（注意与上节学习命题的条件p 与结论q的区别）2、思考、分析问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。
学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。
问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例子？例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。
命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。
3、归纳定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”。
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。
命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或”字与下面两个命题中的“且”字与“或”字的含义相同吗？（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。
高三数学简单的逻辑联结词1
• 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非” 的含义，理解复合命题的结构.
• 教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、 “非”的含义及复合命题的构成。
• 教学难点：对“或”的含义的理解； • 课 型：新授课 • 教学手题p和命题q联结起来.就得到一个
p q 新命题,记作
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题
时, p q 是真命题;当p,q两个命题中都是
假命题时, p q 是假命题.
当p,q两个命题中有一个是真命
题时, p q 是真命题;当p,q两个命
题都是假命题时, p q 是假命题.
p
开关p,q的闭合
对应命题的真假,
q
则整个电路的接
通应与命断题开p分别q对
的真与假.
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高中数学选修1-1优质学案：§1.3 简单的逻辑联结词
[学习目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点一且“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∧q.知识点二或“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∨q.知识点三非一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”.知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？[答案](1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.题型一p∧q命题及p∨q命题例1分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等. 解(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p∧q为假.p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p∨q为真.(2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∨q为真.(3)p∧q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p∨q为真.(4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∨q为真.反思与感悟(1)判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2＋1＝0没有实数根.(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p：李明是男生；q：李明是高一学生.(2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.题型二綈p命题例2写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.反思与感悟綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等.跟踪训练2写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3＜2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数.解 (1) 綈p ：y ＝sin x 不是周期函数.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (2) 綈p ：3≥2.命题p 是假命题，綈p 是真命题；(3) 綈p ：空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (4) 綈p ：5是75的约数.命题p 是假命题，綈p 是真命题.题型三 p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的综合应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].反思与感悟 由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围. 解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假， 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6；②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.分类讨论思想的应用例4 已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数.若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围.分析 首先求出p ，q 为真时a 的取值范围，然后利用命题的实际真假列不等式组求解. 解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上，且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，所以－2＜a ＜2. 又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a ＞1，即a ＜1. 又因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 和q 一真一假.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥1，所以1≤a ＜2；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜1，所以a ≤－2.综上所述，实数a 的取值范围是1≤a ＜2或a ≤－2.解后反思由p，q的真假，可以判断“p∨q”“p∧q”的真假；反之，由“p∨q”“p∧q”的真假，也能推断p，q的真假，如“p∧q”为假，则包括“p真q假”“p假q真”“p假q 假”三种情况.1.命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则()A.p真q假B.p∧q为真C.p∨q为假D.p假q真[答案] D[解析]命题p假，命题q真.2.给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4[答案] D[解析]①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题.3.已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数.则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，为真命题的是() A.q1，q3 B.q2，q3C.q1，q4D.q2，q4[答案] C[解析]p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题.∴为真命题的是q1，q4.4.已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p∨q”为真C.“p∧q”为真D.“綈p”为真[答案] B[解析]由(x＋2)(x－3)<0得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p真.∵∅≠{0}，∴q假，∴“p∨q”为真.5.若p是真命题，q是假命题，则()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题[答案] D[解析]根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假.p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真.4.注意区别命题的否定与否命题，命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件.。
高中数学同步学案 逻辑联结词“非”、“且”和“或”
1．2简单的逻辑联结词1．2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”[读教材·填要点]1．联结词“非”设p是一个命题,用联结词“非”对命题p作全盘否定,得到新命题,记作綈p,读作“非p”或“不是p”．2．联结词“且”用联结词“且”把两个命题p,q联结起来,得到新命题,记作p∧q,读作“p且q”．3．联结词“或”用联结词“或”把两个命题p,q联结起来,得到新命题,记作p∨q,读作“p或q”．4．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真[小问题·大思维]1．逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同？提示：有所不同．日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思．而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．2．“或”“且”联结词的否定形式分别是什么？提示：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”,“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”．3．命题“綈p”与命题“p的否命题”有何不同？提示：命题“綈p”与“否命题”完全不同,前者是对命题的结论否定,后者是既否定条件又否定结论．如：若命题p为“若s,则t”,则綈p：若s,则綈t,否命题：若綈s,则綈t.逻辑联结词“非”写出下列命题的否定,并判断它们的真假．(1)p：3＋4>6；(2)p：杨振宁是数学家或物理学家；(3)p：不等式x2－3x＋2≥0的解集是{x|1≤x≤2}．[自主解答] (1)3＋4>6是一个简单命题,“>”的否定即是“≤”,所以“非p”：3＋4≤6.由于p是真命题,故命题“非p”是假命题．(2)命题是一个“p∨q”形式的命题,其否定为“(綈p)∧(綈q)”的形式,所以“非p”：杨振宁既不是数学家又不是物理学家．由于p是真命题,故命题“非p”是假命题．(3)“非p”：不等式x2－3x＋2≥0的解集不是{x|1≤x≤2}．由于p是假命题,故命题“非p”是真命题．若将例1(2)中的“或”改为“且”,如何解答？解：綈p：杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家,由于p是假命题,故命题綈p是真命题．写“非p”应先弄清p的条件与结论．另外,要注意改变原命题的真假,一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定．如“等于”的否定是“不等于”,“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”,“都是”的否定是“不都是”．1．写出下列各命题的否定及否命题,并判断它们的真假．(1)若a,b都是奇数,则a＋b是偶数；(2)全等的三角形是相似三角形．解：原命题的否定：(1)若a,b都是奇数,则a＋b不是偶数,为假命题．(2)全等三角形不是相似三角形,为假命题．原命题的否命题：(1)若a,b不都是奇数,则a＋b不是偶函数,为假命题．(2)不全等的三角形不是相似三角形,为假命题．逻辑联结词“且”对下列各组命题,利用逻辑联结词“且”构造新命题,并判断它们的真假．(1)p：12是3的倍数,q：12是4的倍数；(2)p：π>3,q：π<2；(3)p：x≠0,则xy≠0,q：y≠0,则xy≠0.[自主解答] (1)p∧q：“12是3的倍数且是4的倍数”,是真命题．(2)p∧q：“π大于3且小于2”,是假命题．(3)p∧q：“x≠0,则xy≠0,且y≠0,则xy≠0”,是假命题．逻辑联结词“且”联结的是两个命题,若两个命题具有相同的条件,则联结后可以省略一个条件,而用“且”联结两个结论；若两个命题的条件不同,但结论相同,则不可以用“且”联结两个条件而省略一个结论(注：在不改变命题真假性的前提下,可以用),要完整地写出两个命题,用“且”联结．2．用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假．(1)24既是8的倍数,又是9的倍数；(2)y＝x＋1和y＝x3都是单调增函数；(3)函数y＝sin x不仅是奇函数,还是周期函数．解：(1)命题“24既是8的倍数,又是9的倍数”可以改写为“24是8的倍数且是9的倍数”,因为“24是9的倍数”是假命题,所以这个命题是假命题．(2)命题“y＝x＋1和y＝x3都是单调增函数”可以改写为“y＝x＋1是单调增函数且y＝x3是单调增函数”．因为“y＝x＋1是单调增函数”与“y＝x3是单调增函数”都是真命题,所以这个命题是真命题．(3)命题“函数y＝sin x不仅是奇函数,还是周期函数”可以改写为“函数y＝sin x是奇函数且是周期函数”．因为“函数y＝sin x是奇函数”与“函数y＝sin x是周期函数”都是真命题,所以这个命题是真命题．逻辑联结词“或”对下列各组命题,利用逻辑联结词“或”构造新命题,并判断它们的真假．(1)p：正数的平方大于0,q：负数的平方大于0；(2)p：4＞5,q：4＜5；(3)p：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1,q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2.[自主解答] (1)p∨q：“正数或负数的平方大于0”,即“非零实数的平方大于0”,是真命题．(2)p∨q：“4＞5或4＜5”,即“4≠5”,是真命题；(3)p∨q：“方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2”,是假命题．p∨q形式的命题与p∧q形式的命题不同的是：两命题的条件相同时,p∧q形式的命题可以省去一个条件,而p∨q形式的命题则不可以(注：在不改变命题真假性的前提下,可以用)；两命题的结论相同时,p ∧q形式的命题有时不能用“且”联结两个条件,而p∨q形式的命题却可以．3．判断下列命题的真假．(1)4≥4；(2)仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形．解：(1)命题“4≥4”的含义是“4>4或4＝4”,其中“4＝4”是真命题,所以“4≥4”是真命题．(2)命题“仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形”是“p∨q”形式的命题,其中p：仅有一组对边平行的四边形是梯形,q：仅有一组对边平行的四边形是平行四边形．因为p真q假,所以p∨q为真,故原命题是真命题．解题高手妙解题什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围．[巧思] 因为p∧q为假命题,p∨q为真命题,故p和q必有一真一假．因此可先求出p,q为真命题时a的取值范围,然后分“p真q假”“p假q真”两种情况即可求出a的取值范围．[妙解] 对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅,所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.解不等式得：－3<a<1.对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数,则有a＋1>1,所以a>0.又p∧q为假命题,p∨q为真命题,所以p,q必是一真一假．当p真q假时有－3<a≤0,当p假q真时有a≥1.综上所述,a的取值范围是(－3,0]∪[1,＋∞)．1．“xy≠0”是指( )A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x,y至少有一个不为0 D．不都是零解析：xy≠0是指“x≠0,且y≠0”．答案：A2．若命题p：x∈A∩B,则綈p为( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B解析：“x∈A∩B”是指“x∈A,且x∈B”,故綈p：x∉A或x∉B.答案：B3．(2017·山东高考)已知命题p：对任意x>0,ln(x＋1)>0；命题q：若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q解析：当x>0时,x＋1>1,因此ln(x＋1)>0,即p为真命题；取a＝1,b＝－2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题．由复合命题的真假性,知B为真命题．答案：B4．已知命题p：6是12的约数,q：6是24的约数,则p∧q是________,p∨q是________,綈p是________．解析：p∧q：6是12和24的约数；p∨q：6是12或24的约数；綈p：6不是12的约数．答案：6是12和24的约数6是12或24的约数6不是12的约数5．命题p：0不是自然数,命题q：2是无理数,则在命题“p且q”“p或q”“非p”“非q”中真命题是________,假命题是____________．解析：显然p为假命题,q是真命题,故“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,“非p”为真命题,“非q”为假命题．答案：p或q, 非p p且q,非q6．对命题p：1是集合{x|x2<a}中的元素；q：2是集合{x|x2<a}中的元素,则a为何值时,“p或q”为真？a为何值时,“p且q”为真？解：若p为真,则1∈{x|x2<a},所以12<a,即a>1；若q 为真,则2∈{x|x 2<a},即a>4. 若“p 或q”为真,则a>1或a>4,即a>1； 若“p 且q”为真,则a>1且a>4,即a>4.一、选择题1．“p∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ∨q 为假命题,则p,q 均为假命题,故p ∨q 为假命题⇒綈p 为真命题,但綈p 为真命题 p ∨q为假命题．答案：A2．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上,q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上,则使命题p ∧q 为真命题的一个点P(x,y)是( )A ．(0,－3)B ．(1,2)C ．(1,－1)D ．(－1,1)解析：因为p ∧q 为真命题,所以p,q 均为真命题,即点P 为直线y ＝2x －3与y ＝－3x ＋2的交点,故有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.故选C.答案：C3．已知全集U ＝R,A ⊆U,B ⊆U,如果命题p ：3∈(A ∪B),则命题“綈p”是( ) A.3∉A B.3∈(∁U A)∩(∁U B) C.3∈∁U BD.3∉(A∩B)解析：由p ：3∈(A ∪B),可知綈p ：3∉(A ∪B), 即3∈∁U (A ∪B),而∁U (A ∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)． 答案：B4．下列各组命题中,满足“p 或q”为真,且“非p”为真的是( ) A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中,若cos 2A ＝cos 2B,则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数 C ．p ：a ＋b≥2ab(a,b ∈R)；q ：不等式|x|>x 的解集为(－∞,0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M(0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条解析：A 中,p,q 均为假命题,故“p 或q”为假,排除A ；B 中,由在△ABC 中,cos 2A ＝cos 2B,得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B,即(sin A ＋sin B)(sin A －sin B)＝0,所以A －B ＝0,故p 为真,从而“非p”为假,排除B ；C 中,p 为假,从而“非p”为真,q 为真,从而“p 或q”为真；D 中,p 为真,故“非p”为假,排除D.故选C.答案：C 二、填空题5．命题“若abc ＝0,则a,b,c 中至少有一个为零”的否定为：________,否命题为：________. 解析：否定形式：若abc ＝0,则a,b,c 全不为零． 否命题：若abc ≠0,则a,b,c 全不为零．答案：若abc ＝0,则a,b,c 全不为零 若abc≠0,则a,b,c 全不为零6．已知命题p ：x≤1,命题q ：1x ＜1,则綈p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个)．解析：p ：x≤1⇒綈p ：x ＞1⇒1x ＜1,但1x ＜1x ＞1.∴綈p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要7．若命题p ：不等式ax ＋b ＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－ba ,命题q ：关于x 的不等式(x －a)(x －b)＜0的解集为{x|a ＜x ＜b},则“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的复合命题中的真命题是________．解析：因命题p,q 均为假命题,所以“p∨q”“p∧q”为假命题,“綈p”为真命题． 答案：綈p8．已知条件p ：(x ＋1)2>4,条件q ：x>a,且綈p 是綈q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________． 解析：由綈p 是綈q 的充分而不必要条件,可知綈p ⇒綈q,但綈q 綈p,又一个命题与它的逆否命题等价,可知q ⇒p,但pq,又p ：x>1或x<－3,可知{x|x>a}{x|x<－3或x>1},所以a≥1.答案：[1,＋∞) 三、解答题9．写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p 且q”“非p”形式的复合命题,并判断真假． (1)p ：1是质数,q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线一定相等,q ：平行四边形的对角线互相垂直； (3)p ：N ⊆Z,q ：0∈N.解：(1)因为p 假q 真,所以p 或q ：1是质数或1是方程x 2＋2x －3＝0的根,为真命题；p 且q ：1是质数且1是方程x 2＋2x －3＝0的根,为假命题；非p ：1不是质数,为真命题．(2)因为p 假q 假,所以p 或q ：平行四边形的对角线一定相等或互相垂直,为假命题；p 且q ：平行四边形的对角线一定相等且互相垂直,为假命题；非p ：平行四边形的对角线不一定相等,为真命题．(3)因为p 真q 真,所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N,为真命题；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N,为真命题；非p ：NZ,为假命题．10．设命题p ：函数f(x)＝log a x(a>0,且a≠1)在(0,＋∞)上单调递增；q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a32＝0(a>0,且a≠1)的解集只有一个子集．若p ∨q 为真,p ∧q 为假,求实数a 的取值范围．解：当命题p 是真命题时,应有a>1. 当命题q 是真命题时,关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解,所以Δ＝4－4log a 32<0,解得1<a<32.由于p ∨q 为真,则p 和q 中至少有一个为真, 又p ∧q 为假,则p 和q 中至少有一个为假, 所以p 和q 中一真一假, 当p 假q 真时,有⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，1<a<32，不存在符合条件的实数a ； 当p 真q 假时,有⎩⎪⎨⎪⎧a>1，a≤1或a ≥32，解得a≥32,综上所述,实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词
想一想:命题 “菱形的对角线垂直且互相平分” 中使用的逻辑 联结词是 ,所以此命题是 形式的命题.(抢 答)
【解析】命题中出现了逻辑联结词“且”,是 p 且 q 形式的 命题. 【答案】且 p 且 q
1.已知 p,q 是两个命题,若 p∧q 为假,���p 为假,则( A.q 为真命题 B.q 为假命题 C.p,q 同为假命题 D.q 的真假性不能确定
【变式设问】针对本例(1)中的命题,你能否写出“p∨q”形 式的命题? 提示:能,48 是 16 或 12 的倍数. 【针对训练 1】指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词 的命题,若是含逻辑联结词的命题,写出构成它的简单命题. (1)两个角是 45°的三角形是等腰直角三角形; (2)若 x∈{x|x<1 或 x>2},则 x 是不等式(x-1)(x-2)>0 的解.
(2)用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个 新命题,记作 p∨q,读作“p 或 q”. (3)对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作���p,读 作“非 p”或“p 的否定”. 议一议:逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义 是否相同?
【解析】生活用语中的“或”表示不兼有,而在数学中所研 究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.
4.分别指出下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形 式的命题的真假. (1)命题 p:正方形的两条对角线互相垂直,命题 q:正方形的两条 对角线相等. (2)命题 p:“x2-3x-4=0”是“x=4”的必要不充分条件, 命题 q:若函数 f(x)=sin(2x+φ)的图象关于 y 轴对称,则φ= .
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第 4 课时 简单的逻辑联结词
人教A版高中数学选修2-1课件【6】简单的逻辑联结词
) B．(綈 p)∨q
C ． p∧ q
D．p∨q
1 解析： 因为 f(x)＝sinxcosx＝2sin2x， 所以命题 p 为真命题． 又 因为
π g(x)＝sinx＋2＝cosx，所以 π g(x)＝sinx＋2的图象关于
y轴
对称，所以命题 q 为假命题，所以命题 p∨q 为真命题．
3 5 a≤ 或a≥ ， 5 2 2 若 p 假，q 真，则 得2≤a≤4； 2≤a≤4， 3 5 综上，实数 a 的取值范围为 ＜a＜2 或 ≤a≤4. 2 2
12．已知命题 A：函数 f(x)＝x2－4mx＋4m2＋2 在区间[－1,3] 上的最小值为 2； 命题 成立； 命题 C：{x|m≤x≤2m＋1}⊆{x|x2－4≥0}．
解析：由于将点(－1,1)代入 y＝loga(ax＋2a)成立，故 p 真； 由 y＝f(x)的图象关于(3,0)对称，知 y＝f(x－3)的图象关于(6,0)对 称，故 q 假．
答案：C
二、填空题：每小题 5 分，共 15 分． 7．已知 p(x)：x2＋2x－m＞0，若 p(1)是假命题且 p(2)是真命 题，则实数 m 的取值范围是________．
解析：由已知，p 和 q 都是真命题，
m＜0， ∴ 2 Δ＝m －4＜0，
∴－2＜m＜0.
答案：D
5．已知命题 p：函数 f(x)＝sinxcosx 的最小正周期为 π；命 题 q：函数
π g(x)＝sinx＋2的图象关于原点对称，则下列命题中
为真命题的是( A．綈 p
答案：[1,2)
1 9．已知命题 p：x ＋2x－3＞0，命题 q： ＞1，若綈 q 3－x
2
且 p 为真，则 x 的取值范围是__________．
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：p q p∧q p∨q非p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题与特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0) 4．全称命题与特称命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，非p(x)二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例](1)(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧非qC．非p∧q D．非p∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(非q)B．(非p)∧qC．p∧q D．(非p)∨q[解析](1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q)B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q)D．(非p)∧(非q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有－2<m<2，<0，2<m<2，可得－2<m<0.所以m的取值范围为(－2,0)．答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假，p或q为真”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q<0，≥2或m≤－2，所以m≤－2；当p假q≥0，2<m<2，所以0≤m<2.所以m的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q变为：存在x0∈R，x20＋mx0＋1<0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，所以m>2或m<－2.≥0，2≤m≤2，得0≤m≤2，所以m的取值范围为[0,2]．答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是()A．∃x0≥0，x0x0－1≤0B．∃x0>0,0≤x0≤1C．∀x>0，xx－1≤0D．∀x<0,0≤x≤1解析：选B∵xx－1>0，∴x<0或x>1，∴xx－1>0的否定是0≤x≤1，∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．2．下列命题中，假命题的是()A．∀x∈R,21－x>0B．∃a0∈R，y＝xa0的图象关于y轴对称C．函数y＝x a的图象经过第四象限D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切解析：选C对于A，由指数函数的性质可知为真命题；对于B，当a＝2时，其图象关于y轴对称；对于C，当x>0时，y>0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D，因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立．3．(2019·陕西质检)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧(非q)C．(非p)∧q D．p∧(非q)解析：选D由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧(非q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是()A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件B．命题p：∀x∈R,2x>0，则非p：∃x0∈R,2x0<0C．命题“若a>b>0，则1a <1b”的逆命题是真命题D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件解析：选A对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R,2x>0的否定是非p：∃x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若1a<1b，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则()A．(非p)∨q为真命题B．p∧(非q)为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题解析：选D由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p∨q为真命题．6．下列说法错误的是()A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”B．若命题p：存在x0∈R，x20＋x0＋1<0，则非p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy”的充要条件D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假解析：选D由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(0,4]C．(－∞，4]D．[0,4)解析：选C当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.8．下列命题为假命题的是()A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0B．“φ＝π2”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件C．∃x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥β解析：选C对于A选项，令x＝1，y＝1e，则ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝π2”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n ⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，x＞x＋1”，则命题p可写为________________________．解析：因为p是非p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋110．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非q”同时为假命题，则x ＝________.解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“非q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，由题意，得x＝－2.答案：－211．已知p：a<0，q：a2>a，则非p是非q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：由题意得非p：a≥0，非q：a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以非p是非q的必要不充分条件．答案：必要不充分12．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(非p)∧(非q)；④(非p)∨q.其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p为真命题，非p为假命题．∵f(x)＝x2－x－1 4，∴函数f(x)在区间1 2，＋∴命题q为假命题，非q为真命题．∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(非p)∧(非q)为假命题，(非p)∨q为假命题．答案：②③④13．设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)，1x －x≤4t2－1.(1)当t＝1时，判断命题q的真假；(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．解：(1)当t＝1＝0，1x－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．(2)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．当p为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1<t<1；当q≤4t2－1，即4t2－1≥0，解得t≤－12或t≥12，∴当q为假命题时，－12<t<12，∴t －1 2，。
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“10 能被 2 整除且 10 能被 5 整除”. 命题 “p 且 q”的真假能否直接由命题 p、 q 的真假来确定呢?
3
一般地,用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题, 记作 pq , 读作 p 且 q. 并规定:当 p、 q 都是真命题时, pq 是真命 题; 当 p、 q 两个命题中有一个是假命题时, pq 是假命题.
p
q
p且q
当且仅当 p、q 同时为真，p 且 q 才为真.
4
例 1：将下列命题用“且”联结成新命题，并 判断它们的真假： （1）p：正方形的四条边相等， q：正方形的四个角相等； （2）p：35 是 15 的倍数， q：35 是 7 的倍数； （3）p：三角形两条边的和大于第三边， q：三角形两条边的差小于第三边.
注:⑴“p 且 q”─
p、q 同时为真才为真.
⑵“p 或 q” ─ 只要 p、q 中有一个为真就 为真.(p、q 同时为假才为假.)
⑶“ p”─ p 的全盘否定， p 与p 一真一假.
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学习小结:
判断 “p且q”、 “p或q”命题真假的步骤: (1)写出构成该命题的简单命题p与q； (2)判断p 、q的真假；
简单的逻辑联结词(一)
1
在数学中，有时经常会使用一些联 结词： ”且” “或” ”非”
叙述方便，今后常用小写字母 p,q,r,s, …表示命题。
问题 1:观察下列三个命题: p :10 能被 2 整除; q :10 能被 5 整除; r :10 能被 2 整除且能被 5 整除. ⑴p、q、r 三个命题之间有什么关系？ ⑵p、q、r 三个命题的真假如何确定？
练习：
2、如果命题“非p或非q”是假命题，
① ③ 则下列结论正确的是—————
①命题“p∧q”是 真命题
②命题“p∧q”是 假命题
③命题“p∨q”是真命题
④命题“p∨q”是假命题
三、逻辑联结词
A B x x A 或 x B • “或”
• “且” A B A且x B • “非” A x x U且x A
例 2：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并 判断它们的真假： （1）12 是 48 与 60 的公约数； （2）1 既是奇数，又是素数； （3）2 和 3 都是素数.
命题：p q
命题：p q
讨论：下列三个命题间有什么关系？ （ 1） 36 是 9 的倍数， （ 2） 36 是 4 的倍数， （ 3） 36 是 4 或 9 的倍数
一般地,用逻辑联结词”或”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个 新命题,记作
pq
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题 p q 时, 是真命题;当p,q两个命题中都是
p q 假命题时, 是假命题.
一般地，对一个命题p全盘否定，就得 到一个新命题， 记作﹃p，读作“非p”或“p的否 定”。
一、有关命题否定。
例1、写出下列命题的否定。
①a、b、c都相等。
②任何三角形的外角至少有两个钝角。
③他是数学家或物理学家。
④（x-2）（x+5）＞0。
⑤ a∈（A∩B）。
练习：
1、命题
“x=±3是方程 x =3的解” 中 C（ ）
A、没有使用任何一种联结词
B、使用了逻辑联结词“非”
C、使用了逻辑联结词 “或” D、使用了逻辑联结词“且”
如果p：集合A，则﹃ p为集合
C
A U 。
C
A U
A
“非 p”─ p 的全盘否定.
真值表 (1─真,0─假)
p
1 0
p
0 1
p 与p 一真一假
我们知道命题的“且” 、 “或”恰好对 应集合的“交” 、 “并” ，那么命题的“非” 对应集合的什么？
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例4、写出下列命题的否定 并判断真假。
1、p：y=sinx是周期函数； 2、p：3＜2； 3、p：空集是集合A的子集；
(3)由真值表判断真假.
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