几何作图
高中数学几何作图解析几何的绘图技巧
高中数学几何作图解析几何的绘图技巧在高中数学的学习中，解析几何无疑是一个重点和难点。
而熟练掌握绘图技巧对于解决解析几何问题往往能起到事半功倍的效果。
接下来，就让我们一起深入探讨一下这其中的绘图技巧。
首先，我们要明确绘图的基本工具。
通常情况下，我们会用到直尺、圆规、铅笔等。
在作图之前，一定要确保工具准备齐全并且完好无损，以免影响作图的准确性。
对于直线的绘制，我们要先确定直线上的两个点。
一般可以通过给定的直线方程，求出两个特定的点的坐标，然后用直尺将这两点连接起来。
比如，对于直线方程 y ＝ 2x ＋ 1，我们可以令 x ＝ 0，求出 y＝ 1，得到点(0, 1)；再令 x ＝ 1，求出 y ＝ 3，得到点(1, 3)。
通过连接这两个点，就能画出这条直线。
在绘制圆的时候，圆规就派上用场了。
如果已知圆的圆心坐标和半径长度，那么将圆规的一只脚放在圆心处，调整圆规两脚的距离为半径长度，然后绕着圆心旋转一周，就能画出一个完整的圆。
比如，圆心为(2, －1)，半径为 3 的圆，我们就可以按照这个方法准确地画出。
椭圆的绘制相对复杂一些。
我们可以根据椭圆的标准方程来确定椭圆的长半轴 a 和短半轴 b。
然后，以椭圆的中心为原点，分别在 x 轴和y 轴上截取长度为 2a 和 2b 的线段。
通过这四个点，可以大致勾勒出一个矩形，这个矩形被称为椭圆的“外接矩形”。
接着，使用平滑的曲线将矩形的四个顶点连接起来，尽量使曲线靠近矩形的边缘，就可以画出一个椭圆。
双曲线的绘制方法与椭圆有相似之处，但也有不同。
同样根据双曲线的标准方程确定实半轴 a 和虚半轴 b。
先画出两条分别经过中心，且与 x 轴和 y 轴夹角分别为渐近线斜率的直线，这两条直线就是双曲线的渐近线。
然后以中心为对称点，在渐近线的两侧分别画出双曲线的两支。
在绘图过程中，准确标记坐标和关键的数值是非常重要的。
这不仅有助于我们清晰地理解图形，还能方便后续的计算和分析。
比如在绘制直线时，要标记出所取点的坐标；在绘制圆、椭圆和双曲线时，要标记出圆心、半轴的长度等。
第三节 几何作图
1:4
α
tanα =H / 2L
2tanα = H / L=1:n
H
L
▪ 锥度符号：按下图绘制
1.4h
30° 2.5h
▪ 锥度符号的标注：符号方向应与锥度方向一致。
§1-3 几何作图
【例】画出 1∶5 锥度的图形
标注锥度时用引出线从锥 面的轮廓线上引出，锥度符 号的尖端指向锥度的小头方 向
F
A
O1
O
D
O2
§1-3 几何作图
4)以C点为圆心画弧EF交AC
O3
B
于F ; 5)作AF 的中垂线交AB于O1，
交CD 于O2 ;
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6)求O1、O2 的对称点O3、O4 ;
7)分别以O1、O2、O3、O4为
圆心画弧。
图1-43 椭圆的画法
2.圆的渐开线
一直线在圆周上作无滑动的滚动，该直线上任一点的轨 迹即为渐开线。
第三节 几何作图
一、线段的等分 二、圆周的等分和正多边形 三、斜度和锥度 四、圆弧连接 五、工程上常见的平面曲线
§1-3 几何作图
(1) 作水平方向的平行线
(a) 使丁字尺的工作边与已知直线AB平行 (b) 平推丁字尺，使其工作边紧靠点C，作直线CD即为所求平行线
D
§1-3 几何作图
(2) 作斜方向线的平行线
•确定OB 的中点P ;
F
G
D
•以PC 为半径, 确定H ; (CH 为五边形的边长)
•以C 为圆心, CH 为半径,求E 和 I ;
•分别以E 、I 为圆心, CH 为半径, 求F 和G ；
•依次连点得五边形。
第三章_常用的几何图形画法
第三章
几何作图
4.五等分
用圆规作五等分方法：
第三章
几何作图
§3—2 斜度和锥度
从右边三个形体的立体图中可以 看出，各形体的表面上均有斜面或锥 面。作图时除要用图形表达其形状外， 还要在图形上作必要的标注。 槽钢
工字钢
塞规
一、斜度
斜度指一条线（或平面）相对另一直线
（或平面）的倾斜程度。 斜度大小的表示方法：为两直线所夹锐角 的正切值。 如右图所示，斜度 = tan α = BC/AC 表示斜度时将比例前项划成1,即写成1:n的形式。 作图时选用与所注线段的倾斜方向 一致的符号。
两圆中心距等于两圆的半径之和
中心距 A=R1+R2 两圆心连线和圆的交点即是切点。
第三章
几何作图
例:已知圆O1（半径R1）O2（半径R2) 连接 圆弧的半径为R，试完成连接作图(外切)。 作图步骤：
第三章
几何作图
例:已知圆O1（半径R1）O2（半径R2)连接 圆弧的半径为R，试完成连接作图(内切)。 作图步骤：
第三章 常用几何作图画法
本节将介绍基本的作图方法，即按照给定图形的尺寸，采取适当的 作图步骤和方法，准确迅速地将图形绘制出来。 几何作图内容包括：等分线段、等分圆周、斜度和锥度、椭圆画法 （补充）以及圆弧连接等。 为提高图面质量和绘图的速度，同学们应熟练地掌握各种几何作图 方法。
一、等分线段
§3—1 等分线段和等分圆周
等分线段就是将一已知线段分成需要的份数。 若该线段能被等分数整除可直接用三角板将其等分。如果不能整除则 可采用作辅助线的方法等分。 例: 试用辅助线法将AB线段9等分。
第三章
几何作图
二、等分圆周
将一圆分成所需要的份数即是等分圆周的问题。 作正多边形的一般方法是先作出正多边形的外接圆然后将其等分， 因此等分圆周的作图包含着作正多边形的问题。 作图时可以用三角板、丁字尺配合等分，也可用圆规等分， 在实
几何中的尺规作图法
第七讲尺规作图尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义含义：给泄条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不岀图形，故几何作图是存在问题的证明。
意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背左理的好办法：学以致用：为制图学提供理论基础：培养逻辑思维能力。
二、作图公法（1）通过两个已知点可作一直线；（2）已知圆心和半径作圆：（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。
上面三条叫作图公法。
若一个图不能有限次根据作图公理作岀图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。
三、作图成法我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。
它可以在以后的作图中直接应用。
下而列举一些：（1）任意延长已知线段。
（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。
（3）以已知射线为一边，在指泄一侧作角等于已知角。
（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。
（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。
（6）作已知线段的中点。
（7）作已知线段的垂直平分线。
（8）作已知角的平分线。
（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。
（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。
（11）已知边长作正方形。
（12）以立线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。
（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。
（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。
（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。
（18）作一线段，使之等于已知线段的n倍或n等分。
（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。
（20）作已知三线段a.b.c的第四比例项。
（21）作已知两线段匕“的比例中项。
（22）已知线段“丄作一线段为x = yla2+b2 .或作一线段为x = yjcr-b1（a>b）.四、解作图题的步骤①分析：遇到不是一目了然的作图题，常假左符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。
古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
几何作图
几何作图机件的形状虽然各不相同，但都是由各种几何形体组成。
它们的图形也是由一些几何形体组成。
最基本的几何作图包括：圆周等分、斜度和锥度的画法、线段连接等作图方法。
一、等分直线段已知：直线AB求：将其五等分解：过A点作任意直线AC，用直尺在AC上从点A截取任意长度为五等分，得1、2、B，交AB于四个等分点，即3、4、各点，连接B5，然后过其它等分点分别作直线平行于5为所求，见图1—3所示，参见书P12。
二、等分两平行线之间的距离为已知等份已知：平行线AB和CD求：将其间的距离五等分解：置直尺O点于CD上，摆动尺身，使刻度5落在AB直线上，截得1、2、3、4各等分点，过各等分点作AB（或CD）的平行线，即为所求，见图1—4（P13）所示。
三、过已知三点作圆已知：点A、B、C求：过其三点作一个圆解：过AB、BC（或AC）分别作出它们的垂直平分线交于点O，以O点为圆心，以OA 为半径，作一个圆，必然通过B、C两点，即为所求，见图1—5（P16）所示。
四、作已知圆规的内截正多边形（或称圆周的等分）1．内截正三角形解：（1）用600三角板过A点画600斜线交B点，（2）旋转三角板，同法画600斜线交C点，（3）连接BC则得正三角形，如图1—6（a）所示（P20）。
2．内截正四角形解：（1）用450三角板斜边过圆心作直径交圆周于1、3点，（2）移动三角板，用直角边作垂线21，34（3）用丁子尺画41和32两水平线，即得所求，如图1—6（b ）所示（P20）。
3．内截正五边形解：（1）以A 为圆心，以OA 为半径画弧交圆于C 、D 两点，连接BC 交OA 中点M ，（2）以M 为圆心，MI 为半径画弧，得K 点，KI 线段即为五边形的边长，（3）用KI 长，自I 点起截圆得点Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ，依次连接，即得所求五边形，如图1—6（c ）所示（P20）。
4．内截正六边形可以用两种方法求做：一种是用圆规作图，一种是用三角板作图。
几何作图
(பைடு நூலகம்)
安徽职业学院
(b)
已知长、短轴画椭圆 四心法
已知:椭圆的长轴和短轴. 作图:椭圆.
作题步骤: 1.连接AC,在短轴的延长 线上量OE=OA,在AC上 量CF=CE; 2.作AF的中垂线,交长轴于 O1,交短轴于O2,定出其对 称点O3.O4; 3.分别以O1.O2 .O3.O4为圆 心，以O1A、O2C 、O3B、 O4D为半径作圆弧， 所得 图形即所求。
示 例
已知条件与作图 要求
作图过程
作图结果
圆 弧 与 直 1.作与已知直线距离为R 线 本例有两个答 的平行线；以O1为圆心， 案，另一个答案 作半径为R的圆 R1+R为半径画弧，与所 相 切、 弧，与已知圆弧外切、作平行线相交得连接弧的 的作图过程与求 作AB⌒相同，未 与已知直线相切 圆心O； 与 画出。清理图面 2.过圆心O向已知直线 圆 作垂线，得垂足A，连接 和加深图线后的 弧 O1与O，O1O与圆周相交， 作图结果如上图 所示 交点B即为切点； 外 3.以O为圆心，R为半径， 切 自A向B画弧，即为所求
图1.3.2 等分两平行线间的距离
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1.3.2. 圆内接正多边形作图
(1) 圆内接正五边形作图 已知：圆O. 作图：作已知图 的内接正五边形 作图步骤： 1.作出半径OF的 等分点G。 2.以AG为半径作圆弧， 交直径于H。
A
B O H G
E F
3.AH长即为五边形 的边长，依次连接各 等分点A、B、C、D、 E，即为所求。
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示 已知条件与作 例 图要求
机械制图之几何作图PPT(22张)
点F、B及E、C；
的作图方法与步骤
3、第三步： 按顺序依次连接ABCDEF，即得圆的内接正六边形。
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（二）圆内接正五边形的作图方法
已知圆的半径R，求作该圆的内接正五边形。
1、第一步：
根据要求，画演出半示径 圆内接正五边形
为R的圆；
2、第二步：
取其中一个半径的的 作图方法与步骤
中点M；
3、第三步： 以M点为圆心，MA为半径画圆弧得到H点，AH即为正五边形边长；
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第二节 平面图形的分析与绘图步骤
平面图形是由若干线段（包括直线段、圆弧、曲线）连接而成的，每条线段又由 相应的尺寸来决定其长短（或大小）和位置。一个平面图形能否正确绘制出来，要看 图中所给的尺寸是否齐全和正确。
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（一）圆弧外连接的方法与步骤
演示圆弧外连接
的方法与步骤 R
1、画出已知圆弧，半径分为R1、R2； 2、求圆心 分别以（R1+R）及（R2+R）为半径，O1、O2为圆心，画弧交于O； 3、找切点 连接O、O1交已知弧于A，连接O、O2交已知弧于B，则A、B即为切点； 4、连接圆弧 以O为圆心,R为半径画圆弧,连接已知弧于A、B即完成全图。
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（三）圆弧混合连接的方法与步骤
演示圆弧混合连接
的方法与步骤 R
1、画出已知圆弧，半径分为R1、R2； 2、求圆心 分别以（R1+R）及（R2-R）为半径，O1、O2为圆心，画弧交于O； 3、找切点 连接O、O1交已知弧于A；连接O、O2交已知弧于B，则A、B即为切点； 4、连接圆弧 以O为圆心,R为半径画圆弧,连接已知弧于A、B即完成全图。
第二章 几何作图
第一节 平面图形的画法 第二节 平面图形的分析与绘图步骤
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几何作图
机件的形状虽然各不相同，但都是由各种几何形体组成。
它们的图形也是由一些几何形体组成。
最基本的几何作图包括：圆周等分、斜度和锥度的画法、线段连接等作图方法。
一、等分直线段
已知：直线AB
求：将其五等分
解：过A点作任意直线AC，用直尺在AC上从点A截取任意长度为五等分，得1、2、
B，交AB于四个等分点，即3、4、各点，连接B5，然后过其它等分点分别作直线平行于5
为所求，见图1—3所示，参见书P12。
二、等分两平行线之间的距离为已知等份
已知：平行线AB和CD
求：将其间的距离五等分
解：置直尺O点于CD上，摆动尺身，使刻度5落在AB直线上，截得1、2、3、4各等分点，过各等分点作AB（或CD）的平行线，即为所求，见图1—4（P13）所示。
三、过已知三点作圆
已知：点A、B、C
求：过其三点作一个圆
解：过AB、BC（或AC）分别作出它们的垂直平分线交于点O，以O点为圆心，以OA 为半径，作一个圆，必然通过B、C两点，即为所求，见图1—5（P16）所示。
四、作已知圆规的内截正多边形（或称圆周的等分）
1．内截正三角形
解：（1）用600三角板过A点画600斜线交B点，
（2）旋转三角板，同法画600斜线交C点，
（3）连接BC则得正三角形，如图1—6（a）所示（P20）。
2．内截正四角形
解：（1）用450三角板斜边过圆心作直径交圆周于1、3点，
（2）移动三角板，用直角边作垂线21，34
（3）用丁子尺画41和32两水平线，即得所求，如图1—6（b ）所示（P20）。
3．内截正五边形
解：（1）以A 为圆心，以OA 为半径画弧交圆于C 、D 两点，连接BC 交OA 中点M ，
（2）以M 为圆心，MI 为半径画弧，得K 点，KI 线段即为五边形的边长，
（3）用KI 长，自I 点起截圆得点Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ，依次连接，即得所求五边形，如图1—6（c ）所示（P20）。
4．内截正六边形
可以用两种方法求做：一种是用圆规作图，一种是用三角板作图。
五、斜度和锥度
1．斜度
斜度 = L
H = tg α=1：n 斜度是指一条直线（或平面）对另一条直线（或平面）的倾斜程度，如上式。
其大小以直角三角形两直角边之比来表示，如图1—7所示。
并把斜度注成1：n 的形式；标注斜度时用符号“∠”表示，如图1—7所示。
符号倾斜方向与轮廓线方向一致。
例如：过A 点对AB 直线作一条1：5的倾斜线，其作图方法如图1—7所示，先将AB 直线五等分得点C ，然后过C 点作CD ⊥AB ，并使CD =
51AC ，连接AD 即得锁求的倾斜线。
图1—7斜度的作法和标注
2．锥度
1：n =L D =l d D -=2tg 2
α
锥度是指圆锥底圆直径与锥高之比。
对于锥台，其锥度则为上、下两底圆直径之差与锥台的高度之比，如图1—8所示。
并把比例写1：n 的形式。
标注：标注锥度时用符号“⊿”表示，如图1—8所示，符号的方向应与锥面的轮廓线方向一致。
图1—8锥度的作法和标注
六、圆弧连接
圆弧连接是指用已知半径的圆弧，光滑地连接（即相切）两已知线（直线或圆弧）构成机件的轮廓，如图1—9所示（P30）。
这个起连接作用的圆弧，称为连接弧。
（a）
（b）
（c）
图1—9圆弧连接作图举例
注意：为保证光滑连接，作图时必须准确地求出连接弧的圆心和连接圆弧与被连接线段的连接点（即切点）。
切点：即连接两圆弧的圆心延长线与已知圆弧的交点即为切点。
1．连接弧的圆心轨迹
（1）与直线相切时，其圆心在与直线的距离为R的平行线上，如图1—9（a）、（b）所示；
（2）与圆心为O1，半径为R1的圆弧相切时，其圆心在已知圆弧的同心圆上，该圆半径根据相切情况（内切、外切）而定（a）两圆外切时，R外=R+R1，如图1—9（c）所示；（b）两圆内切时，
R内=R－R1 ，如图1—9（d）所示；根据已知条件分别作出两条轨迹弧，其交点即为轨迹弧的圆心。
2．连接圆弧切点的位置
（1）与直线相切时，从连接弧的圆心向已知直线作垂线，其垂足就是切点，如图所示，k1、k2点即为切点；
（2）与圆弧相切时，切断在两圆弧圆心的连心线或延长线与已知圆弧的交点处,如图1—9（c）、（d）所示, k1、k2点即为切。
3．圆弧连接的作图步骤
（1）首先求唨连接弧圆心，它应满足两被连接线段的距离均为连接弧半径的条件；
（2）找出连接点，即连接弧与已知线段的切点；
（3）最后在两连接点之间画出连接圆弧。
七、椭圆的近似画法
椭圆画法较多，已知椭圆的长短轴（或共轭轴），（a）用四心圆法作近似椭圆，称为四心圆法；（b）用同心圆法作椭圆，称为同心圆法。
如图1—10（a）、（b）所示。
图1—10椭圆的近似画法（四心法）
（a）作图方法（四心法）：
（1）画长短轴AB、CD，连接AC ，并取CF=OA－OC（长短轴差）；
（2）作AF的中垂线与长、短轴上交于两点1、2，在轴上取对称点3、4得四个圆心；
（3）连接O1O2，O2O3，O3O4，O4O1并适当延长；
（4）分别以O1、O2、O3、O4为圆心，以O1A、O2C、O3B、O4D为半径，顺序作四段相连圆弧（两大两小四个切点在有关圆心连线上），即为所求。
（b）作图方法（同心圆法）：
图1—10椭圆的近似画法（同心圆法）（见书中图例）
八、平面图形的尺寸分析及画法
平面几何图形都是由若干直线和曲线连接而成的，这些线段有必须根据给定的尺寸关系画出，所以要想正确而又迅速地画好平面图形，就必须首先对图形中标注的尺寸进行分析。
通过分析，可使我们了解平面集合图形中各种线段的形状、大小、位置及性质。
1．平面图形的尺寸分析
标注平面图形的尺寸时，要求正确、完整、清晰、齐全。
要达到此要求，就需了解平面图形应标注哪些尺寸。
平面图形中的尺寸，按其作用分为定形尺寸和定位尺寸两类。
而在标注和分析尺寸时，首先必须确定基准，如图1—11所示。
（1）定形尺寸：确定组成平面图形的各个部分形状大小的尺寸，称为定形尺寸。
如直线的长度、圆及圆弧的半径、角度大小等。
如图1—11中的75、15、￠20、￠45、R15、R12、R50、R10、￠30均为定形尺寸。
图1—11平面图形的画图步骤及尺寸线段分析（书中图例）
（2）定位尺寸：确定构成平面图形的各简单的几何图形中线段间相互位置的尺寸，称为定位尺寸。
如图1—11中尺寸8就是￠5的定位尺寸。
（3）基准：标注尺寸的基点，称为尺寸基准。
标注尺寸时应考虑基准，一般以图形的对称中心线、较大圆的中心线或图形中的较长直线作为尺寸基准。
通常一个平面图形需要X、Y两个方向的基准。
（4）定形尺寸兼作定位尺寸：如图1—11中的￠30尺寸即是。
2．平面图形的线段分析及作图步骤
平面图形的绘制步骤、尺寸标注都与线段连接情况相关。
因此，根据锁标注的尺寸和组成图形的各线段间的关系，图形中的线段可以分为以下三种：
（1）已知线段：定形尺寸、定位尺寸齐全，可以直接画出的线段。
（2）中间线段：有定形尺寸，而定位尺寸则不全，还需根据与相邻线段的一个连接关系才能画出的线段
（3）连接线段：只有定形尺寸，而无定位尺寸，需要根据两个连接关系才能画出的线段。
下面以图1—11为例进行分析
（a）分析图形，画出基准线，并根据定位尺寸画出定位线；
（b）画出已知线段，即那些定形尺寸、定位尺寸齐全的线段；
（c）画连接线段，即那些只有定形尺寸，而定位尺寸不齐全或无定位尺寸的线段；
注：这些线段必须在已知线段画出之后，依靠他们和相邻线段的关系采纳画出。
（d）擦去不必要的图线，标注尺寸，按线型描深如图1—11所示。