常微分方程稳定性理论及其奠基人
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（1） （2）
（3）
（4）
（5）
其中 C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性
方程的一般形式可用两个一阶方程表示为
dx1 (t ) dt
dx2 (t) dt
右端不显含 t，代数方程组
f g
( x1 , ( x1 ,
x2 x2
) )
f (x1, g ( x1 ,
渐近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程
系数矩阵记作
dx1 (t ) dt
dx2 (t) dt
A
a1 a2
a1x1
a2 x1
b1
Байду номын сангаас
b2
b1x2
b2 x2
并假定 A 的行列式 det A 0 于是原点 P0 (0, 0) 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程
第五节 微分方程稳定性理论简介
这里简单介绍下面将要用到的有关内容：
一、 一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程 dx f (x) dt
右端不显含自变量 t，代数方程
f (x) 0
的实根 x x0 称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）
如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解 x(t) 都满足
x20 )(x1
f x1
gx1
x10 )
x2 P0 ( x10 , x20 )
gf x2
由上表可以看出，根据特征方程的系数 p, q 的正负很容易判断平衡点的稳定
常微分方程发展简史
第三讲 常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。
级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.222()0x y xy x n y '''++-=其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-⎰1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+=和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。
常微分方程与运动稳定性_第一篇 PPT课件
可以验证
y
1 5
x4
,
y
1 x
1 5
x4,
y
. C
x
1 5
x4
分别都是微分方程(1.2)在区间(-∞,0)或(0, +∞)上的
一个解 (C是任意的常数).
y C 1 x4 5
(C 0)
不是
的解
(1.2)
dy 1 y x2 , (x 0)
dx x
。
——(1.2)
dy 1 y x2 , (x 0) (1.2) dx x
x
y
x0 P(x, y0)dx
Q(x, y)dy C
y0
x0 , y
x,y
或者
(2.6)
(2.7)
x
y
P(x, y)dx x0
y0
Q(
x0
,
y)dy C (2.7)
(x0, y0 )是R中任意取定点。
x0 , y0
(2.6) x , y0
例2. 求解微分方程
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
(1.9)
在(x0 ,
dy
y0
)点附近:
dx dx
dy
- P(x, y) , Q(x, y)
- Q(x, y) , P(x, y)
当Q(x0 , y0 ) 当P(x0 , y0 )
0时 0时
当P(x0, y0 ) 0,Q(x0, y0 ) 0时，称这样的点为奇异点。
定义3 设n阶微分方程(1.1)的解 y=j (x,C1, C2,…, Cn) 包含n个独立的任意常数C1, C2,…, Cn,则称为通解；
常微分方程的稳定性分析
常微分方程的稳定性分析稳定性分析是常微分方程理论中的一个重要内容，它研究的是在一定条件下，常微分方程解的性质及其随时间变化的行为。
稳定性分析不仅在数学中具有深远意义，而且在物理、工程等应用领域也具有重要的价值。
1. 引言常微分方程是研究函数和它的导数之间关系的数学方程。
它在各个学科中都有广泛的应用，如物理学中的运动学、生物学中的生态系统模型、经济学中的经济增长模型等。
稳定性分析是对常微分方程解的行为进行评估和预测的方法，具有重要的理论和应用意义。
2. 稳定性的定义在稳定性分析中，我们关注的是方程解在微小扰动下的行为。
一个常微分方程解是稳定的，如果它对于任意微小的初始扰动都能保持接近原解。
换句话说，一个稳定的解在扰动下不会发生剧烈的变化。
相反，如果方程解对于微小扰动非常敏感，那么这个解就是不稳定的。
3. 稳定性的分类根据方程解的性质，我们可以将稳定性进一步分为以下几种：3.1 渐近稳定性如果一个方程解在长时间的演化过程中会趋向于某个特定的值，我们就称这个解是渐近稳定的。
换句话说，当时间趋向于无穷大时，解会趋于一个固定的稳定点或者稳定状态。
3.2 李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定性是一种更加严格的稳定性概念。
一个解是李亚普诺夫稳定的，当且仅当对于任意微小的初始扰动，解都能保持在一条逐渐靠近稳定状态的曲线上。
3.3 指数稳定性指数稳定性是对解的衰减速度的描述。
一个解是指数稳定的，如果其衰减速度超过了任何指数函数。
4. 稳定性分析的方法稳定性分析的方法有很多，其中一些常用的方法包括线性稳定性分析、李亚普诺夫函数的构造以及隐函数定理的应用等。
4.1 线性稳定性分析线性稳定性分析是一种简单而常用的方法。
它基于线性化的概念，即将非线性方程在稳定点附近进行线性逼近。
通过线性化方程，我们可以得到关于稳定性的有用信息。
4.2 李亚普诺夫函数的构造李亚普诺夫函数是一种在稳定性分析中常用的工具。
通过构造适当的李亚普诺夫函数，我们可以判断解的稳定性，并对解的演化过程进行描述。
常微分方程的稳定性
常微分方程的稳定性常微分方程是研究函数和它的导数之间关系的数学工具。
在科学和工程领域中，我们经常遇到描述自然现象或系统动态演化的问题，而常微分方程正是用来描述这些变化过程的数学语言。
对于一个常微分方程而言，了解和判断它的稳定性是十分重要的，因为它反映了系统的长期行为和演化方向。
一、稳定性的概念稳定性是指系统在经历一定的扰动后，能回归到原来的状态或者逐渐趋向于某一稳定的状态。
在常微分方程的研究中，我们主要关注的是方程解的稳定性。
解的稳定性可以分为以下几种情况：1. 稳定解：如果在解的某个附近，初始条件的微小扰动不会引起解的显著变化，那么我们称这个解是稳定的。
2. 汇合解：如果初始条件的微小扰动会使解趋向于某个特定的解，那么我们称这个解是汇合解，或者吸引解。
3. 不稳定解：如果初始条件的微小扰动会导致解远离原来的状态，那么我们称这个解是不稳定的。
二、线性方程的稳定性对于一阶线性常微分方程$$\frac{dy}{dx} = f(x)y$$线性方程的稳定性可以通过解的特征值来判断。
1. 实特征值：如果特征值的实部为负，则解是稳定的。
如果特征值的实部为正，则解是不稳定的。
2. 复特征值：如果特征值的实部小于零，解是稳定的；如果特征值的实部大于零，解是不稳定的。
而特征值的虚部则决定了解的振荡程度，如果虚部存在，则解是振荡的。
三、非线性方程的稳定性非线性方程的稳定性分析相对复杂，没有统一的判据。
在研究中，我们主要使用的方法有：1. 线性化法：将非线性方程近似为线性方程，然后用线性方程的稳定性条件进行分析。
2. Lyapunov函数法：通过构造Lyapunov函数来判断解的稳定性。
如果能找到一个满足特定条件的Lyapunov函数，那么解是稳定的。
3. 相图法：通过画出相图来观察解的稳定性。
相图可以展示出解的演化轨迹及其吸引子，从而判断其稳定性。
四、稳定性的应用常微分方程的稳定性理论在科学和工程中有广泛的应用。
1. 科学研究：稳定性理论可以用于描述自然现象和生物系统的变化过程，比如描述人口增长、化学反应动力学等问题。
柯西与常微分方程
• 最大解定理 • 局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实 • • • • • •
• • 扩展至偏微分方程 • 对于偏微分方程，有柯西ห้องสมุดไป่ตู้利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫
斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。
上，对于微分方程（1）的任意解 、 ，定义一个序关系： 小于 当且 仅当 ，并且 在 上的值与 一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定 理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。 证明思路 解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨 定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重 叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程）， 矛盾。因此解唯一。 解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。 扩展至高阶常微分方程 对于一元的高阶常微分方程 – ， 只需构造向量 和相应的映射 ，就可以使得（2）变为 。这时的初始 条件为Y(t0) = Y0，即
柯西★常微分方程
• 柯西，法国著名数学
家。是一位多产的数 学家，最主要的贡献 在微积分、复变函数 和微分方程等方面， 几何代数也有较大建 树，是数理弹性理论 的奠基人之一 。
• 柯西在常微分方程中的主要贡献在于深入
考察并证明了存在唯一性定理。其中主要定 理为“柯西－利普希茨定理 ” 此定理最早由柯西于1820年发表，但直到 1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的 形式。 下面，我们来介绍一下具体的证明过程：
• 局部定理 • 设 为一个完备的有限维赋范向量空间（即一个巴拿赫空间），f为一个取值在 • • •
•
• •
•
上的函数：其中 为 中的一个开集， 为 中的一个区间。考虑以下的一阶非 线性微分方程： 如果 f 关于 t 连续，并在 U 中满足利普希茨条件，也就是说， 那么对于一个给定的初始条件： x(t0) = x0，其中 、 ，微分方程（1）存在 一个解 (J,x(t))，其中 是一个包含 t0 的区间，x(t) 是一个从 J 射到 U 的函 数，满足初始条件和微分方程（1）。 局部唯一性：在包含点t0的足够小的J区间上，微分方程（1）的解是唯一的 （或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。 这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微 分方程）和在某一时刻系统的情况（x(t0) = x0）时，下一刻的情况是唯一确 定的。 局部定理的证明 一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列yn + 1 = Φ(yn)，使得 ，这样，如果这个序列有一个收敛点 y ，那么y为函数Φ的不动 点，这时就有 ，于是我们构造出了一个解y。为此，我们从常数函数开始。 令 这样构造出来的函数列 中的每个函数都满足初始条件。并且由于 f 在 U 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候，Φ成为一个收缩映射。根据完 备空间的不动点存在定理，存在关于Φ的稳定不动点，于是可知微分方程（1） 的解存在。 由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一 的。
马知恩周义仓编常微分方程定性与稳定性方法部分习题参考解答
马知恩周义仓编常微分⽅程定性与稳定性⽅法部分习题参考解答第⼀章 基本定理1设有 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbx(t_0)=\bbx^0,\quad (t_0,\bbx^0)\in \bbR\times \bbR^n. \eex$$试证: 若 $\bbf\in C^1(G)$, 则在 $(t_0,\bbx^0)$ 的领域内, 此 Cauchy 问题的解存在惟⼀.证明: 由 $f\in C^1(G)$ 蕴含 $f\in C(G)$ 且在 $G$ 内适合 Lipschitz 条件知有结论.2试讨论下列⽅程解的存在区间:(1) $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=\frac{1}{x^2+y^2}}$;(2) $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=y(y-1)}$.解答:(1) 由 $\dps{\frac{\rd x}{\rd y}=x^2+y^2}$ 的解的存在区间有限知 $y$ 有界, ⽽由解的延拓定理, 原⽅程解的存在区间为 $\bbR$.(2) 直接求解有 $\dps{y=\frac{1}{1-\frac{y_0-1}{y_0}e^x}}$, ⽽a.当 $0\leq y_0\leq 1$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\bbR$;b.当 $y_0<0$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\dps{\sex{\ln\frac{y_0}{y_0-1},\infty}}$;c.当 $y_0>1$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\dps{\sex{-\infty,\ln\frac{y_0}{y_0-1}}}$.3 设有⼀阶微分⽅程式 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}. \eex$$ 试证: 过任⼀点 $(t_0,x_0)\in\bbR^2$ 的右⾏解的存在区间均为 $[t_0,+\infty)$.证明: 由 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}=\left\{\ba{ll} <0,&x>t,\\ >0,&x<t \ea\right. \eex$$ 知解在 $\sed{x>t}$ 内递减,在 $\sed{x<t}$ 内递增. 当 $x_0>t_0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR, t_0<x<x_0} \eex$$ 内应⽤解的延伸定理知解定与$\sed{x=t}$ 相交, 之后解递增, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x<t} \eex$$ 内应⽤延伸定理及⽐较定理即知结论.4设有⼀阶⽅程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=f(x)}$, 若 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 且当 $x\neq 0$ 时有 $xf(x)<0$. 求证过 $\forall\(t_0,x_0)\in\bbR^2$, Cauchy 问题的右⾏解均在 $[t_0,+\infty)$ 上存在, 且 $\dps{\lim_{t\to+\infty}x(t)=0}$.证明: 由题意, $$\bex f(x)\left\{\ba{ll} >0,&x<0,\\ <0,&x>0. \ea\right. \eex$$ ⽽由 $f$ 的连续性, $f(0)=0$. 于是当 $x_0=0$ 时,由解的唯⼀性知 $x=0$. 当 $x_0>0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,0<x<x_0} \eex$$ 内应⽤延伸定理及惟⼀性定理知 $x(t)$ 递减趋于 $0$. 当 $x_0<0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x_0<x<0} \eex$$ 内应⽤延伸定理及惟⼀性定理知 $x(t)$ 递增趋于 $0$.5若 $\bbf(t,\bbx)$ 在全空间 $\bbR\times\bbR^n$ 上连续且对 $\bbx$ 满⾜局部 Lipschitz 条件且 $$\bex \sen{\bbf(t,\bbx)}\leq L(r),\quad r=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},\quad \bbx=(x_1,\cdots,x_n)^T, \eex$$ 其中 $L(r)>0, r>0$, 且 $$\bee\label{1.5:1}\int_a^{+\infty}\frac{\rd r}{L(r)}=+\infty,\quad a>0. \eee$$ 试证: 对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in\bbR\times\bbR^n$, Cauchy 问题的解均可对 $t$ ⽆限延拓.证明: 由解的延伸定理, 仅须证明在任何有限区间 $-\infty<\alpha<t<\beta<+\infty$ 上, $\bbx(t)$ 有界. 为此, 令 $y(t)=\sen{\bbx(t)}$,则 $$\beex \bea \frac{\rd y(t)}{\rd t}&=2\bbx(t)\cdot\frac{\rd \bbx(t)}{\rd t} =2\bbx(t)\cdot \bbf(t,\bbx(t)),\\\sev{\frac{\rd y(t)}{\rd t}} &\leq 2\sqrt{y(t)}\cdot L\sex{\sqrt{y(t)}},\\ \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}}&\leq \rd t,\\ \int_\alpha^\beta \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}} &\leq \int_\alpha^\beta \rd t=\beta-\alpha. \eea \eeex$$ 这与\eqref{1.5:1} ⽭盾 (事实上, 当 $\alpha,\beta\gg 1$, $|\alpha-\beta|\ll 1$ 时, 不等式右端可任意⼩, ⽽不等式左端有积分发散知可⼤于某⼀正常数).6设有微分⽅程 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx), \eex$$ $\bbf\in C(G\subset \bbR\times\bbR^n)$, 试证: 若对$\forall\ (t_0,\bbx^0)\in G$, Cauchy 问题的解都存在唯⼀, 则解必对初值连续依赖.证明: 参考[家⾥蹲⼤学数学杂志第134期, 常微分⽅程习题集, 第1600页].7 试在定理 1.1 的假设下, 利⽤ Gronwall 引理直接证明解对初始时刻 $t_0$ 的连续依赖性.证明: 参考定理 1.7 的证明.8 设有⼀阶 Cauchy 问题 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=x^2+(y+1)^2,\quad y(0)=0. \eex$$ 试利⽤⽐较定理证明, 若设解的右⾏饱和区间为 $[0,\beta)$, 则 $\dps{\frac{\pi}{4}\leq \beta\leq 1}$.证明: 仅须注意到当 $0\leq x\leq 1$ 时, $$\bex (y+1)^2\leq x^2+(y+1)^2\leq 1+(y+1)^2. \eex$$ 再利⽤⽐较定理即知结论.第⼆章 动⼒系统的基本知识1试证明: $\Omega_P=\vno$ 的充要条件是 $L_P^+$ 趋于⽆穷.证明: $\ra$ ⽤反证法. 若 $L_P^+$ 不趋于⽆穷, 则 $$\bex \exists\ M>0, t_n\nearrow +\infty,\st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)}\leq M. \eex$$ 由 Weierstrass 定理, $$\bex \exists\ \sed{t_n'}\subset \sed{t_n},\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q,\eex$$ ⽽ $Q\in \Omega_P$, 这是⼀个⽭盾. $\la$ 亦⽤反证法. 若 $\Omega_P\neq \vno$, ⽽设 $Q\in \Omega_P$, 则 $$\bex\exists\ t_n\nearrow+\infty,\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q. \eex$$ 这与 $L_P^+$ 趋于⽆穷⽭盾.2试证明: 若 $\Omega_P$ 仅含惟⼀奇点 $P^*$, 则当 $t\to+\infty$ 时必有 $L_P^+$ 趋向于 $P^*$.证明: ⽤反证法. 设 $$\bee\label{2.2:1} \exists\ \ve_0>0,\ t_n\nearrow+\infty, \st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)-P^*}\geq\ve_0. \eee$$ 则(1)若 $\sed{t_n}$ 有有界的⼦列, 则适当抽取⼦列 $\sed{t_n'}$ 后有 $$\bex \mbox{ $\varphi$}(P,t_n')\to Q. \eex$$ 于是 $Q\in\Omega_P=\sed{P^*}$. 这与 \eqref{2.2:1} ⽭盾.(2)若 $\sed{t_n}$ ⽆有界的⼦列, 则 $\dps{\lim_{n\to\infty}\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)=\infty}$, ⽽ $\infty\in\Omega_P=\sed{P^*}$, ⼜是⼀个⽭盾.3试证明: 若 $\Omega_P$ 有界且 $\Omega_P$ ⾮闭轨, 则 $\forall\ R\in \Omega_P$, $\Omega_R$ 与 $A_R$ 必均为奇点.证明: ⽤反证法证明 $\Omega_R$ 为奇点集, $A_R$ 为奇点集类似可证. 设 $\Omega_R$ 含有常点. 由 $R\in \Omega_P$ 及$\Omega_P$ 为不变集知 $L_R\subset \Omega_Q$. 于是按引理 2.3, $L_R$ 为闭轨线, $L_R=\Omega_R\subset \Omega_P$. 这与 $\Omega_P$ ⾮闭轨⽭盾.4试证明: ⼀系统的圈闭奇点的集合是⼀闭集.证明: 全体奇点的集合为 $$\bex \sed{\bbx^*\in G; \bbf(\bbx^*)=\mbox{ $0$}}. \eex$$ 由 $\bbf$ 的连续性即知结论.5 若 $L_P^+$ 有界且 $\Omega_P$ 仅由奇点构成, 能否断定 $\Omega_P$ 仅含⼀个奇点?解答: 不能断定. 仅能说 $\Omega_P$ 为由奇点构成的连通闭集或闭轨线.6 设 $O(0,0)$ 是⼀平⾯⾃治系统的惟⼀奇点, 且是稳定的, 全平⾯没有闭轨线. 试证: (1) 此系统的任⼀轨线必负向⽆界; (2) 任⼀有界的正半轨闭进⼊奇点 $O$.证明:(1) ⽤反证法. 若有⼀轨线负向有界, 则在定理 2.8 中, 由全平⾯没有闭轨线知 (3),(4) 不成⽴; 由 $O$ 为惟⼀奇点知 (1),(2),(5) 不成⽴. 这是⼀个⽭盾.(2) 对有界正半轨⽽⾔, 定理 2.8 中仅有 (1),(2),(5) 可能成⽴. 若 (1),(2) 成⽴, 则结论已证; ⽽由全平⾯没有闭轨线知 (5) 不成⽴.第三章 稳定性理论1 讨论⽅程 $$\bee\label{3.1:1} \sedd{\ba{ll}\frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-a^2\sin x_1\ea} \eee$$ 零解的稳定性.解答: 选取 $$\bex V(\bbx)=\frac{x_2^2}{2}+a^2(1-\cos x_1), \eex$$ 则 $V$ 在原点的⼀邻域内是正定的, 且沿 \eqref{3.1:1} 的轨线有 $$\bex \dot V(\bbx)=V_{x_1}x_1'+V_{x_2}x_2'=0. \eex$$ 由此, 零解是稳定的, 但不是渐近稳定的.2 证明⽅程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-x+x^2}$ 的零解是指数渐近稳定的, 但不是全局渐近稳定的.证明: 解该微分⽅程有: $$\bex \ba{ccc} -\frac{1}{x^2}\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{1}{x}-1,&\frac{\rd y}{\rd t}=y-1\\sex{y=\frac{1}{x}},&\frac{\rd z}{\rd t}=-e^{-t}\ \sex{z=e^{-t}y},\\ z=e^{-t}+C,&y=Ce^t+1,&x=\frac{1}{1+Ce^t}. \ea \eex$$由此, 原微分⽅程的解为 $$\bex x=0,\mbox{ 或 }x(t)=\frac{1}{1+Ce^t}. \eex$$ 取初值 $(t_0,x_0),\ x_0\neq 0$, 有 $$\bexx(t,t_0,x_0)=\frac{x_0}{1+e^{t-t_0}(1-x_0)}. \eex$$ 故当 $|x_0|<1$ 时, $$\bex |x(t,t_0,x_0)|\leq \sev{\frac{1}{x_0}-1}e^{-(t-t_0)}. \eex$$ 这说明零解是指数渐近稳定的. 但由于从 $(t_0,1)$ 出发的解 $x(t,t_0,1)=1$ 不趋于零解, ⽽零解不是全局渐近稳定的.3 在相空间 $\bbR^n$ 中给出 $\dps{\frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\ \bbf(t,0)=0}$ 的零解稳定、渐近稳定、不稳定的⼏何解释.解答: 零解是稳定的 $\lra\ \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ P\in B_\delta,\ L_P^+\subset B_\ve$; 零解是渐进稳定的$\lra\ \exists\ U\ni O,\ \forall\ P\in U,\ L_P^+\to 0$; 零解是不稳定的 $\lra\ \exists\ \ve_0>0,\ \exists\ P_n\to0, \stL_{P_n}^+\bs B_\ve\neq \vno$.4判断下列系统零解的稳定性:(1) $\dps{\sedd{\ba{ll} \frac{\rd x_1}{\rd t}=mx_2+\alpha x_1(x_1^2+x_2^2),\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-mx_1+\alphax_2(x_1^2+x_2^2); \ea}}$;(2) $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}+\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^3+f(x)=0,}$ 其中 $xf(x)>0\ (x\neq 0), f(0)=0$;(3) $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}-\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^2sgn\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}+x=0}$.解答:(1) 取 $$\bex V=x_1^2+x_2^2, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $$\bex \dot V=2\alpha(x_1^2+x_2^2)\sedd{\ba{lll} \mbox{正定},&\alpha>0,\\ 0,&\alpha=0,\\ \mbox{负定},&\alpha<0. \ea} \eex$$ 于是当 $\alpha>0$ 时, 由定理 3.3, 零解是不稳定的; 当 $\alpha=0$ 时, 由定理 3.1, 定理是稳定的; 当 $\alpha<0$ 时, 由定理 3.1, 零解是渐近稳定的.(2) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=-x_2^3-f(x_1). \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_2^2}{2}+\int_0^{x_1}f(t)\rd t, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $\dot V=-x_2^4\leq 0.$再 $$\bex \sed{\bbx;\dot V(\bbx)=0}=\sed{0}, \eex$$ 我们据定理 3.2 知零解是渐近稳定的.(3) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=x_2^2sgn(x_2)-x_1. \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $\dot V=x_2^2|x_2|$是正定的. 我们据定理 3.3 知零解是不稳定的.5 若存在有⽆穷⼩上界的正定函数 $V(t,\bbx)$, 它沿着 $$\bex (3.3.1)\quad \frac{\rd\bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbf(t,0)=0 \eex$$ 解曲线的全导数 $\dot V(t,\bbx)$ 负定, 证明 (3.3.1) 的零解是渐近稳定的.证明: 仅须注意到存在正定函数 $W(x)$, $W_1(x)$ 使得 $$\bex W(\bbx)\leq V(t,\bbx)\leq W_1(\bbx). \eex$$ ⽽可仿照定理 3.1 的证明.6 讨论 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{g'(t)}{g(t)}x}$ 零解的稳定性, 其中 $\dps{g(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^4(t-n)^2}}$. 能否得到零解渐近稳定的结果? 为什么?解答: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{g(t_0)}{g(t)}, \eex$$ ⽽由 $$\bex |x(t)|\leq\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n\neq [t],[t]+1}\frac{1}{1+n^4(t-n)^2}} \leq \frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}} \eex$$ 知零解是稳定的; 由$$\bex |x(k)|=\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{1+\sum_{n\neq k}\frac{1}{n^4(k-n)^2}}\geq \frac{|x_0|}{g(t_0)} \eex$$ 知零解不是渐近稳定的.7证明 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-\frac{x}{t+1}}$ 的零解是渐近稳定的, 但不存在有⽆穷⼩上界的正定函数 $V(t,x)$, 使得 $\dotV(t,x)$ 负定 (该习题表明习题 5 中渐近稳定性定理中的条件不是必要的).证明: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{1+t}. \eex$$ ⽽零解是渐近稳定的.。
4.1常微分方程的定性与稳定性
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定理 4 对于非线性系统(7)，假设det A 0，A
的特征值为1和 2，且当( x, y) ( x0 , y0 )时，
X 2 ( x, y) Y 2 ( x, y) O{[( x x0 )2 ( y y0 )2 ]1 }
其中 0是常数，那么
1) 当 1 2 0时， P0是(7)的稳定结点；
y
g( x,
y)
(3)
方程组(3)的相空间是 x-y 平面，称为相平面。
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
R
n
,
F
(t
,
x)
R
n
.
xn
fn (t, x)
设(a,b) R, D Rn,当F (t, x)在(a,b) D连续,
且关于 x 有连续的一阶偏导数时,对任意
(t0 , x0 ) (a,b) D,方程组(0)存在唯一的解(积分曲
线) x (t;t0 , x0 )满足 x(t0 ) x0.
x f ( x, y)
y
g( x,
y)
(6)
设系统(6)有孤立奇点P0 ( x0 , y0 )，且在P0 附近可写为
x
y
a1( x b1( x
x0) x0)
a2( b2(
y y
y0 y0
) )
X(x, y) Y(x, y)
(7)
其中a1 f x( x0 , y0 )，a2 f y( x0 , y0 )，b1 gx ( x0 , y0 )， b2 gy ( x0 , y0 )。
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常微分方程稳定性理论及其奠基人
摘要：李雅普诺夫是切比雪夫创立的圣彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉
及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最为杰出。
本文主要介绍常微
分方程稳定性理论的发展概况，以及其代表人物李雅普诺夫的卓越贡献。
关键词：常微分方程，稳定，不稳定、全局渐近稳定、李雅普诺夫函数、李
雅普诺夫第二方法。
前言
常微分方程稳定性理论起源于力学，最早是法国数学家拉格朗日于1788年提出关于平
衡稳定性的一般定理。
但是真正这种理论的严格建立，是来自于俄国数学家李雅普诺夫所作
的开创性工作。
1892年，李雅普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，给出了稳定性
概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定系理论的基础。
事实上，稳定性理论早期默默无闻，直到冷战初期即1953至1962年，人们开始对它特别关注，前苏联数学家在李雅普诺夫工作的基础上，为稳定性理论做了大量出色的工作，主要有
切达耶夫、克拉索夫斯基、卡尔曼、马尔金。
近六十年以来，我国数学家也在稳定性理论方
面作出重要贡献，主要有秦元勋、王联、王慕秋、贺建勋、廖晓欣等。
自此，大量相关的研
究成果和出版物开始出现，并进入控制系统的文献中。
一、李雅普诺夫生平
李雅普诺夫(1857-1918)俄国数学家、力学家。
1857年6月6日生于雅罗斯
拉夫尔，1918年11月3日卒于敖德萨。
1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质
奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学系学习，被著名数学家切比雪夫渊博的学
识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的
影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章。
19世纪以后，切比雪夫创立了圣彼得堡数学学派，使得俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始
走向世界前列。
李雅普诺夫与师兄马尔科夫是切比雪夫的两个最著名最有才华的
学生，他们都是彼得堡数学学派的重要成员。
1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位并成为教授。
1893年起任哈尔科夫大学教授，1901年初当选为圣
彼得堡科学院通讯院士，年底当选为院士。
1909年当选为意大利国立琴科学院外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士。
二、李雅普诺夫在稳定性理论中的成就
李雅普诺夫是力学中运动稳定性理论奠基人之一。
运动稳定性问题在19世纪下半叶已有许多学者进行研究并得出一些成果，如著名物理学家麦克斯韦(分析蒸汽机调速器和钟表机构稳定性的论文《论调节器》，劳思的专著《已知运动状态的稳定性》，儒科夫斯基的《论运动的持久性》等。
李雅普诺夫和法国庞加莱各自从不同角度研究了运动稳定性理论中的一般性问题。
李雅普诺夫采用的是纯数学分析方法，庞加莱则侧重于用几何、拓扑方法。
李雅普诺夫1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性》，特别是他1892年的博士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著。
在《运动稳定性的一般问题》中，李雅普诺夫对已知运动状态的稳定性给出严格的数学定义，比如对于一般非定常系统
给出了原点稳定、渐近稳定、全局渐近稳定、按指数稳定、一致稳定和不稳定等一系列严格数学定义。
与此同时，还提出两套分析方法：第一方法适用于运动状态为已知的情形，它是通过研究非线性系统的线性化状态下方程的特征值的分布来判定系统稳定性的，称为李雅普诺夫第一方法或者间接法；第二方法则完全是定性的，只要求知道运动的微分方程，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数，即李雅普诺夫函数的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质，称为李雅普诺夫第二方法或者间接法。
李雅普诺夫稳定性理论主要指李雅普诺夫第二方法，正是由于这个方法具有的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，它在20世纪被广泛，特别是用于分析力学系统和自动控制系统，可以适用在任意阶的系统。
这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性，对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难
的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性，其影响远胜于第一方法。
李雅普诺夫
的工作，不仅奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也成为常微分方程定性理论的重要手段。
李雅普诺夫稳定性理论能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统
的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。
既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又
是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。
李雅普诺夫第二方法的局限性，是运用时需要
有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他
方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。
现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。
但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。
在数学中，以李雅普诺夫姓氏命名的数学概念、定理、方法可以说非常多，
比如李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫稳定性等等比比皆是。
三、稳定性理论的发展概况
从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用。
不少
学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。
一方面，李雅普诺夫
第二方法被推广到研究一般系统的稳定性。
例如，1957年，祖博夫将李雅普诺夫方法用于研
究度量空间中不变集合的稳定性。
随后，拉萨尔等又对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定
性进行了研究。
在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采
用不变集合表示，李雅普诺夫函数是在更一般意义下定义的。
1967年，布肖对表征在集合与
映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。
这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。
另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于研究大系统或多级系
统的稳定性。
此时，李雅普诺夫函数被推广为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。
用这种
方法可建立大系统稳定性的充分条件。
最近几十年以来，人们对李雅普诺夫稳定性的第一种
方法也引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。
结束语
常微分方程稳定性理论经过一百多年，特别是近几十年的发展，已经成为一
门理论性强、应用性广的重要数学分支，它在自动控制、电子技术、卫星通讯、
工程设计、神经网络，以及经济、生物、化学、管理、生态等领域都有着广泛的应用。
[1]秦元勋、王暮秋、王联，《运动稳定性理论与应用》，科学出版社，1991。
[2]廖晓昕，《稳定性的数学理论与应用》，华中师大出版社，1988。