向量微积分中的Green公式
3 格林(Green)公式
c o
C
x 2 ( y)
x
同理可证
P dxdy L P ( x , y )dx D y
两式相加得
(2)
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
L3 D3 D2 L2
若区域D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 将 D 分成三个既是X 型又是 Y 型的区域 D1 ,D2 ,D3 .
AC
Pdx Qdy
AB
Pdx Qdy.
Pdx Qdy ..
因为在 D 内曲线积分与路线无关，所以
AC
Pdx Qdy Pdx Qdy
AB
BC
由于直线段 BC 平行于 x 轴，所以 dy 0 ， 从而由积分中值定理可得 u u( x x , y ) u( x , y )
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
L1 Pdx Qdy
y
L1
L
1 2 3
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D
格林公式 高斯公式 斯托克斯公式
格林公式高斯公式斯托克斯公式格林公式、高斯公式和斯托克斯公式，是数学中与微分形式和曲线积分、曲面积分、体积积分相关的重要公式。
它们在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有着广泛的应用，具有重要的指导意义。
首先，我们来介绍一下格林公式（Green's theorem）。
格林公式是微分方程与积分学的一个重要关系式，它将平面区域的曲线积分与对应区域的二维散度进行了联系。
具体而言，格林公式表明，在平面上，一个区域内的曲线积分等于该区域的散度通过整个区域的面积积分。
格林公式为我们解决一些平面区域内的曲线积分问题提供了便利，被广泛应用于流体力学、电磁学等领域的数学建模。
接下来，我们说说高斯公式（Gauss's theorem），也称为散度定理。
高斯公式通过将三维空间中的体积积分与对应区域的散度进行联系，提供了一种计算亥姆霍兹方程（也称为辐状-旋度方程）的方法。
高斯公式表明，一个封闭曲面内的散度通过整个封闭曲面的面积积分等于该封闭曲面所围成的区域的体积积分。
高斯公式为我们解决一些三维空间中的体积积分问题提供了便利，被广泛应用于电磁学、热传导等领域的数学建模。
最后，让我们来了解一下斯托克斯公式（Stokes' theorem）。
斯托克斯公式是微分形式与曲面积分以及曲线积分之间的一个重要联系。
它将一个曲线上的环量与曲面上的旋度通过对应曲面的面积积分进行了关联。
斯托克斯公式表明，在一个封闭曲面上的环量等于通过该封闭曲面所围成的曲面的旋度通过整个封闭曲面的面积积分。
斯托克斯公式为我们解决一些曲面积分和曲线积分的联系问题提供了便利，被广泛应用于电磁学、流体力学等领域的数学建模。
综上所述，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式在微分形式与曲线积分、曲面积分、体积积分之间提供了重要的联系，为我们解决一些数学建模中的问题提供了便利。
它们的应用广泛而且有着深远的影响，为物理学、工程学、计算机图形学等多个领域的研究与应用提供了坚实的数学基础。
格林公式与斯托克斯公式
格林公式与斯托克斯公式格林公式与斯托克斯公式是微积分中重要的定理，用于计算曲线积分与面积积分。
本文将介绍这两个公式，并且给出一些例子来帮助读者理解其应用。
首先，我们来介绍格林公式。
格林公式是数学家格林于19世纪初提出的，用于计算平面上的曲线积分。
设D是一个有边界C的有向平面区域，f(x, y)是D中的一个向量场，f(x, y)={M(x, y), N(x, y)}。
如果f(x, y)在D中有连续的偏导数，则有以下格林公式：∮C Mdx + Ndy = ∬D (dN/dx - dM/dy)dA其中∮代表曲线的环绕，∬代表对D中的面积进行积分，Mdx + Ndy代表曲线C上的微小位移。
dN/dx和dM/dy分别代表f(x, y)对x和y求导后的结果，dA代表面元的面积。
通过格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积积分。
这个公式的一个重要应用是计算闭合路径上的环量。
环量是一个向量场沿着闭合路径上的积分，它可以衡量向量场的旋转情况。
格林公式的应用使得计算环量变得更加简单。
下面我们来看一个格林公式的例子。
考虑一个向量场f(x, y)={x^2, y^2}，我们要计算环量，即∮C x^2dx + y^2dy。
通过格林公式，我们可以将这个曲线积分转化为面积积分。
计算左边的曲线积分，我们得到：∮C x^2dx + y^2dy = ∬D (2y - 2x)dA其中D是曲线C所包围的面积。
我们可以利用二重积分的方法计算右边的面积积分。
假设D的边界是一条简单闭曲线，我们可以使用极坐标进行计算：∬D (2y - 2x)dA = ∫∫ (2r sinθ - 2r cosθ)rdrdθ通过计算，我们最终得到的结果是0.这意味着对于这个向量场来说，环量为0，即这个向量场没有旋转。
接下来我们来介绍斯托克斯公式。
斯托克斯公式是19世纪中叶由物理学家斯托克斯提出的，用于计算空间中的曲线积分与面积积分。
设S是一个有边界C的有向曲面，f(x, y, z)是S中的一个向量场，f(x, y, z)={P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}。
Green公式
以如图所示的多连通区域说明格林公式成立
为区域 D 有边界， 如图, 直线 AB 将 D 分割成
单连通区域 则 ．
的边界为
下面思考一个问题：为什么对于过 连通区域的证明，要将多连通区域 分割成单连通区域，而不分割成若 干个简单区域或者单连通区域的叠 加？
（1）多个区域叠加 D=D1-D2
（2）单连通区域：
高斯定理
高斯公式
或
证明： 每个等式的证明方法类似，以第三个等式为 例证明. 且 的方向指向上侧， 的方向指向下侧，则有
z1 ( x, y )
因此
z 2 ( x, y )
另一方面，由三重积分的计算方法及牛顿－莱布 尼茨公式，有
于是
用同样的方法可以证明其它两式，这样便证明了简单 区域上的高斯公式.
最后，利用分片区域可加性，可 以推得高斯公式在一般空间区域上成 立
下面假设 设
为流速场来说明散度
均有连续的一阶偏导数.
设 半径的球面
r 为场中一点，在场中作以 M 为球心、 为
， 所围成的球体记为
如图所示.
的流量为
由高斯公式和积分中值定理，通过小球面
其中
为小球
的体积,
为小
球中的一点，由此
因此， 在 M 处的散度
表示单位体积从
M流出或流入的流量(即流量关于体积的变化率)
1.3.1积分与路径无关
1.3.2原函数、势函数
1.3.3全微分
区域D：简单区域 & 单连通区域 &多连通区域 函数 在 D 上有连续的偏导数
格林公式
Note：L正方向满足“左手定则”
利用定积分作为中间桥梁，易 证得“简单区域下的格林公式”
格林公式高斯公式斯托克斯公式
格林公式高斯公式斯托克斯公式
格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是微积分中的三个重要公式，用于计算曲线、曲面和体积上的积分。
1. 格林公式（Green's theorem）：该公式用于计算平面上的曲线积分和二重积分之间的关系。
设曲线C是一个简单闭合曲线，方向为逆时针方向，曲线内部围成的区域为D，若函数
P(x, y)和Q(x, y)在区域D内有一阶连续偏导数，则有：
∮C Pdx + Qdy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
2. 高斯公式（Gauss's theorem）：该公式用于计算封闭曲面上的曲面积分和三重积分之间的关系。
设曲面S是一个封闭曲面，曲面内部的区域为V，若函数F(x, y, z)在区域V内有一阶连续偏导数，则有：
∮S F · dS = ∬∬S ∇·F dS = ∭V ∇·F dV
3. 斯托克斯公式（Stokes' theorem）：该公式用于计算曲面边界上的曲线积分和曲面积分之间的关系。
设曲面S是一个有向曲面，曲面边界为曲线C，若函数F(x, y, z)在曲线C和曲面S内都有一阶连续偏导数，则有：
∮C F · dr = ∬S (∇×F) · dS
这三个公式为微积分中的基本定理，可以用于求解各种应用问题，如流体力学、电磁学等领域中的问题。
数学分析ch14-3Green公式、Gauss公式和Stokes公式
2π ab cos2 ab sin2 d ab
2π
d
πab
。
2L
20
20
例 14.3.2
计算 I
x2
y2 dx
y
xy
ln(x
x2 y2 ) dy ，其中 L 为
L
曲线 y sin x,0 x π 与直线段 y 0,0 x π 所围区域 D 的正向边界。
解 令 P x2 y2 , Q y xy ln(x x2 y2 ) ，则
D
Pdx
Qdy
D
Q x
P y
dxdy
。
对于 Green 公式一般情形的证明比较复杂，这里从略。
Green 公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。 以只有一个洞为例（见图 14.3.4），用光滑曲线连结其外边界 L 上一 点 M 与内边界 l 上一点 N ，将 D 割为单连通区域。由定理 14.3.1 得到
与路径有关。
定理 14.3.2（Green 定理） 设 D 为平面上的单连通区域， P(x, y), Q(x, y) 在 D 上具有连续偏导数。则下面的四个命题等价：
(1) 对于 D 内的任意一条光滑（或分段光滑）闭曲线 L ，
Pdx Qdy 0 ；
L
(2) 曲线积分 Pdx Qdy 与路径无关； L
数学分析ch14-3Green公式、Gauss公 式和Stokes公式
单连通区域 D 也可以这样叙述：D 内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于 D 。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞”，而 复连通区域之中会有“洞”。
对于平面区域 D ，给它的边界 D 规定一个正向：如果一个人沿 D 的这个方向行走时，D 总是在他左边。这个定向也称为 D 的诱导定向， 带有这样定向的 D 称为 D 的正向边界。例如，如图 14.3.1 所示的区 域 D 由 L 与 l 所围成，那么在我们规定的正向下，L 为逆时针方向，而 l 为顺时针方向。
格林公式高斯公式斯托克斯公式
格林公式高斯公式斯托克斯公式格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是数学领域中三个著名的公式，它们在计算曲线、曲面和体积的积分时非常有用。
下面将对这三个公式进行简要介绍。
1. 格林公式（Green's theorem）：格林公式是一个关于曲线积分和双重积分的定理。
它将曲线积分与曲面的面积积分联系起来。
根据格林公式，如果C是一个简单闭合曲线，它围绕一个平面区域D，且具有光滑的边界，如果P和Q是具有连续一阶偏导数的函数，则有以下关系式成立：∮C Pdx + Qdy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dA这个公式是一种有力的工具，用于计算曲线周围的环量和曲面上的通量。
2. 高斯公式（Gauss's theorem）：高斯公式是一个重要的曲面积分定理，也被称为高斯-斯托克斯公式的一部分。
该定理描述了通过一个连续可微的矢量场F流入或流出封闭曲面S的总量。
根据高斯公式，如果S是一个封闭曲面，其边界为曲线C，且F是一个具有连续二阶偏导数的矢量场，则有以下关系式成立：∬S F·dS = ∮C F·dr这个公式在电学、磁学和流体力学等领域中常被应用，用于计算场的通量与曲线周围的环量之间的关系。
3. 斯托克斯公式（Stokes's theorem）：斯托克斯公式是一个关于曲线积分和曲面积分的定理，也是高斯-斯托克斯公式的一部分。
根据斯托克斯公式，如果曲线C是一个光滑的边界，围绕一个光滑曲面S，且F是一个具有连续一阶偏导数的矢量场，则有以下关系式成立：∮C F·dr = ∬S (∇×F)·dS这个公式在电磁学、流体力学和计算机图形学等领域中广泛应用，用于计算曲线周围的环量与曲面上的旋度之间的关系。
总之，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是数学中重要的积分定理，它们在各种科学和工程问题的计算中发挥着关键作用，提供了一种将曲线、曲面和体积的积分相互联系起来的方法。
[0315]格林公式的推导
![[0315]格林公式的推导](https://img.taocdn.com/s3/m/b608f308f18583d04964595d.png)
格林公式的推导推导格林公式之前，首先要深入理解高斯-散度定律：v div dv Γ=⎰⎰⎰⎰⎰F Fds (1)其实就是一句话， 矢量的散度的体积积分=矢量的面积积分。
简单来说可以这样理解：对比等式左右两端，左端的被积函数求了散度（就是微分运算）比右端低了一阶，因此左端的积分变量上就要比右端高一阶（由面元变为体元）。
详细说明如下：注意P Q R =++F i j k 为矢量，散度算子div x y z ∂∂∂=++∂∂∂ij k 也是矢量，因此等式左端是两个矢量的标量积的体积积分。
而等式右端，面积微元()cos cos cos ds ds αβγ==++ds n i j k 也是矢量，因此等式右端实际上是两个矢量的标量积的面积积分。
这样将上式（1）展开，可以得到高斯-散度定理另一种形式：()cos cos cos v P Q R dv P Q R ds x y z αβγΓ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 注意，上述推导中矢量的处理（矢量都已加粗并上标箭头），不要混淆了。
明白了以上几点，再推导格林公式就很容易了： 令,,v v v P uQ u R u x y z∂∂∂===∂∂∂代入（2）式： 左端： v v v P Q R u v u v u v dv u vdv dv x y z x x y y z z ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∆+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 右端：()cos cos cos cos cos cos P Q R ds v v v u ds x y z v u ds n αβγαβγΓΓΓ++⎡⎤⎛⎫∂∂∂=++⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣⎦∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 最后一步逆用了方向导数的定义，方向恰为外法线方向： cos cos cos αβγ=++n i j k稍微整理，即得格林第一公式：v v u u v u v u v v udv v ds dv n x x y y z z Γ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∆=-++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (3)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量微积分中的Green公式
Green公式，也叫格林公式，是向量微积分中的一个基本定理，它是关于曲线和曲面的一个重要公式。
Green公式可以用来求解曲
线和曲面上的积分，和场的无旋和任意面积的关系等。
首先，我们来看一下Green公式在平面上的形式。
设$C$是一
条闭合的简单曲线，$\vec{n}$是该曲线所在平面的法向量，
$D$是这个闭合曲线所包围的区域，$\vec{F}=(M,N)$是二维空间
上的一个向量场。
那么，Green公式就可以表述为：
$$
\oint_C \vec{F}\cdot \vec{T} ds = \iint_D \left(\frac{\partial
N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)dxdy
$$
其中，$\vec{T}$是曲线$C$的切向量，$s$是弧长，$dxdy$是面积元素。
公式右边的第一项表示曲线$C$上的环量，第二项表示曲线所围成的区域$D$内向量场的环量。
对于三维空间，Green公式还有一个更为一般的形式，称为Stokes公式。
它描述了曲线与曲面之间的关系。
设$M$, $N$,
$P$是三维空间中的一个向量场，曲面$S$是一个紧致的光滑曲面，边界为曲线$C$，$\vec{n}$是曲面$S$的法向量，$\vec{T}$是曲线$C$的切向量，那么Stokes公式可以写为：
$$
\int_C \vec{M}\cdot d\vec{r} = \iint_S
\left(\text{rot}\,\vec{M}\right)\cdot \vec{n}\,dS
$$
其中，$\text{rot}\,\vec{M}$表示向量场$\vec{M}$的旋度。
要理解Green和Stokes公式，我们需要先了解向量场的性质和
运算。
向量场是指空间中对每个点都定义了一个向量的函数，这
个函数的值随着点的位置而变化。
在向量场中，有一些基本的运算，比如梯度、散度和旋度。
梯度$\mathrm{grad}$的作用是将一个标量函数映射成一个向量场，这个向量场表示的是函数在空间中逐渐增加的方向。
散度
$\mathrm{div}$用来量度向量场在点上的流量，它是一个标量函数。
旋度$\mathrm{rot}$衡量了向量场的内在旋转性质，它也是一个向
量场。
利用这些概念，我们可以比较方便地推导出Green和Stokes公式。
以Green公式为例，我们可以用散度定理和高斯公式推导出：
$$
\begin{aligned}
\oint_C \vec{F}\cdot \vec{T} ds &= \int_D
\mathrm{div}\,\vec{F}\,dxdy \\
&= \int_D \left(\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial
N}{\partial y}\right)dxdy \\
&= \iint_D \left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial
M}{\partial y}\right)dxdy
\end{aligned}
$$
从上面的推导可以看出，Green公式实际上涉及到了向量场的
两个基本运算：散度和旋度。
因此，Green公式可以用来计算一个
向量场的散度和旋度的关系，或者说，用来衡量向量场的奇异性。
最后，我们来看一下Green公式在实际应用中的例子。
比如，
在计算液体或气体的流动时，我们需要知道流体的速度场和压力场，这些场的变化和变化率经常用到求导和积分等运算。
Green公
式可以帮助我们计算流体流过一条曲线的环量，以及流过一个闭
合曲面的流量。
另外，利用Green公式，我们还可以求解电磁场
分布和介质特性等问题。
总之，Green公式作为向量微积分中的一个基本定理，具有重
要的理论和实际意义。
对于理工类学生来说，深入掌握Green公
式的概念和应用，对于提高数学和物理学的能力非常有益处。