2015年清华附中初三数学零模试卷及答案

初三月考试卷数学

（清华附中初12级）2015年4月

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．

是符合题意的． 1. 地球与月球的距离约为384000千米，这个数据可用科学记数法表示为（ ） A 3.84×104千米 B 3.84×105千米 C 3.84×106千米 D 38.4×104千米

2.如右下图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是（ ）

A B C D

3.如图，如果数轴上A ，B 两点之间的距离是8，那么点B 表示的数是（ ）

A 5-

B 3-

C 3

D 5

4.如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（ ）

A 14

B 13

C 12

D 23

5. 如图，直线a ∥b ，AC ⊥AB ，AC 交直线b 于点C ，∠1=60°，则

∠2的度数是（ ） A 50° B 45° C 35° D 30°

6. 如图，分别以线段AC 的两个端点A ，C 为圆心，大于1

2

AC 的长

为半径画弧，两弧相交于B ，D 两点，连接BD ，AB ，BC ，CD ，DA ，以下结论：

①BD 垂直平分AC ； ②AC 平分∠BAD ；

③AC =BD ； ④四边形ABCD 是中心对称图形． 其中正确的有（ ）

A ①②③

B ①③④

C ①②④

D ②③④

A 30

B 40

C 35

D 45

8.小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报纸后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程中离家的距离s （米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（ ）

A 小明看报用时8分钟

B 公共阅报栏距小明家200米

C 小明离家最远的距离为400米

D 小明从出发到回家共用时16分钟

9.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A =22.5°，OC =4，CD 的长为（ ）

A

B 4 C

D 8

10. 点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点间的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）

A B C D

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 分解因式：m 3﹣4m = ．

12．已知2

1x y =??=?

是方程25x ay -=的解，则a = ．

13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为

2．写出一个函数()0k

y k x

=≠，使它的图象与正方形OABC 有

公

共点，这个函数的表达式为 ．

14．如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C =90°，∠B =30°，AC =1，则AB ′的长为 ．

15．在四边形ABCD 中，已知AB =CD ，请补充一个条件 ，使得四边形ABCD 是平行四边形．

16.小芸统计了自己班同学的身高，整理分析数据后得到如下结论：

则全班所有同学身高的方差为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．计算：()

2

120152sin 60312π-??

---+ ???

．

18.解不等式组：()3121112≤x x x ->-??

?-??，并在数轴上表示出其解集．

19．实数x 满足2210x x --=，求代数式()()()()2

21422x x x x x --++-+的值．

20．如图，已知AB ∥CD ，AB =CD ，BF =CE ，求证：AE =DF ．

21．已知关于x 的方程220x ax a ++-=

（1）若该方程的一个根为1，求a 的值；

（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

22．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但购进单价贵了4元，结果第二批用了6300元．第二批书包的购进单价是多少？

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH =2CH ． （1）求sin B 的值；

（2）如果CD

BE 的值．

24．据报道：2013年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据制作的统计图表的一部分：

请根据以上信息，回答以下问题：

（1）从2012年到2013年微信的人均使用时长增加了 分钟；

（2）补全2013年微信用户对“微信公众平台”参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用户中，经常使用户约为 亿（结果精确到0.1）；

（3）从调查数据看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，我国微信用户的规模将到达 亿．

25．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 与⊙O 相切，切点分别为A ，C ，PC 的延长线与AB 的延长线相交与点D ．

（1）猜想BC 与OP 的位置关系，并证明你的猜想； （2）若OA =1，PA =2，求BD 的长．

26.在ABC △中，AB 、BC 、AC ，求这个三角形的面积．

小芳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上 ； 思维拓展：

（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．

．若ABC △、

（0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的

ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：

（3）请参照小芳的解答问题过程中的思想方法，证明：对于任意正数c b a ,,，均有

)a b c

++

F E N M P D C B A 27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线254y mx nx m =-+-关于y 轴对称，且经过点)4

3

,1(--.

（1）求m ，n 的值； （2）直线l 经过点)2,0(-且与y 轴垂直，点P 是抛物线上一动点，记P 到直线l 的距离为d ，试探索d 与线段OP 长度的数量关系，并证明；

（3）若)1,1(A ，点P 是抛物线上一动点，请结合函数图象，直接写出AP OP +的最小值，以及取得最小值时点P 的坐标.

28. 在正方形ABCD 中，点P 是边BC 上一动点（不包含端点），线段AP 的垂直平分线与AB ，AP ，BD ，AD 分别交于点M ，E ，F ，N ． （Ⅰ）若AB =9，BP =3，求线段MN 的长度； （Ⅱ）求证：ME +NF =EF ．

29. 若y 是关于x 的函数，H 是常数（0H >），若对于此函数图象上的任意两点11(,)x y ，22(,)x y ，都有11||≤y y H -，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H 的最小值，称为该函数的界高.

例如，下图所表示的函数的界高为4. （1）若函数1(21)≤≤

y kx x =+-的界高为4，求k 的值； （2）已知2m >-，若函数2(2)≤≤y x x m =-的界高为4，求实数m 的取值范围；

（3）已知0a >，函数223y x ax a =-+(21)≤≤

x -的界高为25

4

，求a 的值．

F E N M P D C B A F E

N M

P

D C B A

参考答案：

二、填空题： 11. m （m+2）（m ﹣2）

12. 1-

13. 04≤k <都可以 14. 2

15. 答案不唯一 如AB=CD ，AD ∥BC 都可以 16. 51 三、

17. 4-

18. 13≤x -<

19. 原式=()

22

4834231x x x x --=--=

20. 证明：AB ∥CD ， ∴∠DCF =∠ABE ， ∵BF =CE ，

∴BF ﹣EF =CE ﹣EF ，即CF =BE ， 在△ABE 与△DCF 中，

，

∴△ABE ≌△DCF （SAS ），

∴AE =DF ．

21. （1）将x =1代入方程x 2

+ax +a ﹣2=0得，1+a +a ﹣2=0，解得，a =； （2）∵△=a 2

﹣4（a ﹣2）=a 2

﹣4a +8=a 2

﹣4a +4+4=（a ﹣2）2

+4＞0，

∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

22. 设第一批购进书包的单价是x 元．

则：

×3=

．

解得：x =80．

经检验：x =80是原方程的根．

∴第二批书包的购进单价是80+4=84元

答：第二批书包的购进单价是84元

23. （1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

∴CD=BD，

∴∠B=∠BCD，

∵AE⊥CD，

∴∠CAH+∠ACH=90°，

又∠ACB=90°

∴∠BCD+∠ACH=90°

∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，

∵AH=2CH，

∴由勾股定理得AC=CH，

∴CH：AC=1：，

∴sinB=；

（2）∵sinB=，

∴AC：AB=1：，

∴AC=2．

∵∠CAH=∠B，

∴sin∠CAH=sinB==，

设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，

∴CE=x=1，AC=2，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

∵AB=2CD=2，

∴BC=4，

∴BE=BC﹣CE=3．

24. （1）2012年到2013年微信的人均使用时长增加了9.7﹣3.0=6.7分钟；（2）偶尔使用所占的百分比为1﹣13%﹣7.4%﹣13%﹣24.2%=43.4%；

我国6亿微信用户中，经常使用户约为6×24.2%≈1.5亿

（3）两年后，我国微信用户的规模将到达6×（1+20%）2=8.64亿，

故答案为：6.7，1.5，8.64．

25．（1）猜想：BC∥OP，

证明：连接OC，

∵PA、PC与⊙O相切，

∴OA⊥PA，OC⊥PC，

∴∠PAO=∠PCO=90°，

在Rt△PAO和Rt△PCO中

∴Rt△PAO≌Rt△PCO，

∴∠AOP =∠COP =∠AOC ， ∵OC =OB ， ∴∠OBC =∠OCB ， ∵∠OCB +∠OBC =∠AOC ，

∴∠OCB =∠OBC =∠AOC ， ∴∠AOP =∠OBC ， ∴BC ∥OP ；

（2）解：在Rt △PAO 中，∠PAO =90°，OA =1，PA =2，由勾股定理得：PO ==

，

作OE ⊥BC ，垂足为E ．则∠PAO =∠OEB =90°，BE =BC ， ∵∠AOP =∠EBO ，∠PAO =∠BEO =90°， ∴△OAP ∽△BEO ， ∴

=

，

即=，

解得：BC =

，

由（1）知BC ∥OP ， ∴△DCB ∽△DPO ，

∴

=

，即

=

，

∴BD =．

26.

（1）

27； （2）25

2

a 构图如图2； （3）构图如图3

在边长为c b a ++的正方形中，，22b a AB +=，22c b BC +=，22a c CD +=，

)(2c b a AD ++=；

∵ AD CD BC AB ≥++，

∴ )(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++.

27.解：（Ⅰ）∵抛物线:C 4

52-+-=m nx mx y 关于y 轴对称，

∴ 0=n ；

∵ 抛物线经过点)4

3

,1(--，

∴ 4345-=-+m m ，解得 4

1

=m ，

∴ 抛物线的表达式为14

1

2-=x y .

（Ⅱ）设)14

1

,(2-x x P ，

点P 到直线l 的距离14

1

)2(14122+=---=x x d .

222)141

(-+=x x OP

12

11612

42+-+

=x x x 12

11612

4++=

x x 22)14

1

(+=x

14

12

+=

x . 因此，OP d =. （Ⅲ）AP OP +的最小值为5，此时点)4

3

,1(-P .

28. 在正方形ABCD 中，点P 是边BC 上一动点（不包含端点），线段AP 的垂直平分线交,,,AB AP BD AD 分别于点,,,M E F N .

（Ⅰ）若9AB =，3BP =，求线段MN 的长度； （Ⅱ）求证：ME NF EF +=.

解：（Ⅰ）过点MH CD ⊥于H ， 在正方形ABCD 中，90MAD ADH ∠=∠=?，

∴ 四边形MADH 为矩形，

∴ AM DH =，AD MH =，MH AB ⊥. ∵ MN AP ⊥， ∴ BAP HAN ∠=∠.

∵ 90ABP MHN ∠=∠=?， ∴ △ABP ≌△MHN ，

∴

MN AP ===（Ⅱ）过点F 作AB FQ ⊥于Q ，作BC FR ⊥于R ，

显然有?=∠=∠=∠90BFQ PRF AQF . ∵ BD 是正方形ABCD 的对角线， ∴ BD 是ABC ∠的平分线， ∴ FR FQ =.

∵ 点F 在线段AP 的中垂线上， ∴ FP FA =， ∴ △AQF ≌△PRF ， ∴ PFR AFQ =∠，

F

E N

M P

D C

B

A

F

E N

M

P

D C

B

A

F

E N

M

P

D C

B

A

T

Q

H F

E N M

P

D C

B

A

∴ ?=∠+∠=∠+∠=∠90QFP PFR QFP AFQ APF ， ∴ △AFP 为等腰直角三角形，

∴ MN AP EF 2

1

21==，

∴ NF ME EF +=.

方法二：

(Ⅱ) 在线段EN 上取一点Q ，使得EQ ME =，连接PQ 交BD 于点T .

∵ 线段AP 与线段MQ 互相平分， ∴ 四边形AMPQ 为菱形，

∴ PQ AM DH ==，////PQ AB CD ， ∴ PQ BC ⊥. ∵ 45CBD ∠=?， ∴ PT BP HN ==， ∴ QT DN =.

∵ TQF DNF ∠=∠，TFQ DFN ∠=∠， ∴ △TQF ≌△DNF ， ∴ QF NF =，

∴ EF EQ QF ME NF =+=+.

29. 解：（Ⅰ）当0k >时，根据一次函数图像，可知

(1)(21)4k k +--+=，解得4

3

k =

. 当0k <时，根据函数图像，可知

(21)(1)4k k -+-+=，解得4

3

k =-.

当0k =时，界高为0，不符合题意.

（Ⅱ）当2x =-时，4y =；

当20m -<<，函数的界高为244m -<，不符合题意；

当02m ≤≤，函数的最大值为4，最小值为0，界高4，符合题意. 当2m >时，函数的界高为24m >，不符合题意. 综上所述，实数m 的取值范围为02m ≤≤. （Ⅲ）22223()(3)y x ax a x a a a =-+=-+-，对称轴为x a =.

当01a <≤时，根据函数图像，可得该函数的最大值为47a +，最小值

为23a a -，

∴ 225(47)(3)4a a a +--=

， 整理得：225444

a a ++=，解得12a =或9

2a =-（舍）.

当1a >时，根据函数图像，可得该函数的最大值为47a +，最小值为

1a +，

∴ 25

47(1)364

a a a +-+=+=，解得：1324a =（舍）.

综上所述，1

2

a =.