Leslie矩阵

1提出：Leslie 在上世纪40年代为描述女性人口变化规律提出的矩阵。

矩阵P= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000000000000110

1210n n n P P P F F F F F

，其中 1,...,,0,0;,...,1,0,0-=>=≥n i i P n j F i j 称矩阵P 为Leslie 矩阵。

注1：特点：Leslie 矩阵的特点是：非零元只出现在第一行和次对角线上。

2. 基本概念和性质

基本概念：设矩阵的特征值为n λλλ,...,,10，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：n λλλ≥≥≥...10，则称0λ为矩阵的主特征值，如果10λλ>，则称0λ为严格主特征值。 Leslie 矩阵P 的几个基本性质：

（1）特征多项式为： )...(...)()()(110221011001n n N n n n F P P P F P P F p F p ---+-----=λλλλλ 它有唯一一个正的单特征值0λ（重数为1），且为主特征值。

(2) 如果λ为L 矩阵P 的一个非零特征值，则

为与λ对应的一个特征向量。

(3) 若L 矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根0λ为严格主特征值。

(4)若m k k k ,...,,21是L 矩阵中第一列中非零元素所处的列数，且m k k k ,...,,21互素，则0λ为严格主特征值。

3. Leslie 矩阵基本算法 将生物种群所有成员按年龄大小等间隔地划分为n 个年龄组，比如每10岁或每5岁或1岁为一个年龄组，与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即以 每10岁或每五岁为一个时段。

种群是通过雌性个体的繁殖而增长的， 所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量仅指其中的雌性。

设时段k 第i 个年龄组的成员数量为 ()i x k ,0,1,2,,i=1,2,,n k =，第 i 年龄组的繁殖率为 i b ，即第i 年龄组每个雌性个体在一个时段内平均繁殖的数量，第 i 年龄组的存活率为i s ，即第 i 年龄组一个时段内非死亡人数与总数之比。这里我们假设i b 与i s 不随时段k 而变化。

则时段1k +第1年龄组的种群数量是时段k 各年龄组繁殖数量之和，即

11(1)()n

i i i x k b x k =+=∑ （1）

时段1k +第1i +年龄组的种群数量是时段k 第i 年龄组存活下来的数量，即

1(1)(),1,2,,1i i i x k x k s i n ++==- （2）

记时段 k 种群按年龄族的分布向量为

由繁殖率i b 和存活率i s 构成的矩阵为

则（1），（2）可表示为(1)(),0,1,2,x k px k k +==

当矩阵L 和按年龄组的初始分布向量(0)x 已知时，可以预测任意时段k 种群按年龄组的分布为

()(0),1,2,k x k P x k ==

2.应用 Leslie 矩阵能反映种群、品种内部不同年龄组的变化情况，通过调查某一种群各

年龄组成，以及各年龄组成的出生率、淘汰率（包括死亡率），建立Leslie 矩阵，上机运算，求出不同时间年龄组的数量及其他情况，然后进行比较，求出比较满意的年龄组成。使用Leslie 矩阵时需满足不同年龄组对应的出生率和淘汰率不变的假设前提。

Leslie 矩阵是一个应用范围很广的种群模型，目前它已有很多改进和发展，不仅在种群结构的分析和预测方面上有重要的应用价值，而且可以将种群结构与投入产出、环境干扰等因素结合在一起来分析。应用Leslie 矩阵建立不同的种群结构模型时，必须善于把Leslie 矩阵的数学形式与不同的种群的生长发育特点相结合，建立合适的模型。