立体几何讲义
立体几何讲义
一、三种平行关系的相互转化：
判定定理
判定定理
线线平行 线面平行 面面平行 定义 性质定理
例1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，
(1)若P 为11B D 的中点，证明：1||AP BC D 面 (2) 若P 为11B D 的动点，证明：1||AP BC D 面 （3）若面11111BC D A B C D l =面
证明：11||l B D
2．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC1的中点，P 是侧面BCC1B1内一点，若A1P ∥平面AEF ，则线段A1P 长度的取值范围是（ ） A ．[1，
] B ．[
，
] C ．[
，
] D ．[
，
]
3、如图,若Ω是长方体1111ABCD-A B C D 被平面EFGH 截去几何体
11EFGH B C 后得到的几何体,其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段
1B B 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不正确的是（ ）
A. EH ∥FG
B.四边形EFGH 是矩形
C. Ω是棱柱
D. Ω是棱台
4、如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面 （Ⅱ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ． 试证：//EF AB ；
思考：平面α过正方体ABCD —A1B1C1D1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α
=平面，
11ABB A n α
=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）
（A ）32 （B ）2
2
（C ）33 （D ）13
二、垂直关系：(1)垂直要集中，然后由旧垂推出新垂
判定定理 判定定理
线线垂直 线面垂直 面面垂直 定义 性质定理
注：（1）线面垂直的性质又揭示了平行与垂直之间的转化 （2）转化的思想：
⊥⊥?⊥??线线或利用面面的性质（后者较多）证明（或做出）线面体积高体积
例1、如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，1BC AC ⊥，则1C 在底面ABC 上的射影必在（ ）
A.直线AB 上
B.直线BC 上
C.直线AC 上
D.△ABC 内部
回顾：如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论正确的有__________ ①P D DC 11⊥ ②平面⊥P A D 11平面AP A 1
C 1
B 1
A 1
C
B
A D 1
C 1B 1
A 1
③三棱锥11_C PDD 的体积与P 点位置无关
④若动点Q 在正方体的表面上运动，且总保持1AQ BD ⊥。则 点Q 的轨迹所围成的图形的面积是
32
⑤1PD AP +的最小值为22+
思考1：若AD 的中点为E ，P 上正方体表面上的一动点。且满足D D BB EP 11||面，求P 轨迹的周长?
例2、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，111,,BB B D AB BC ==，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题： ①恒有1A E BD ⊥；
②四棱锥11B BED F -的体积恒为定值； ③存在点E ，使1B D ⊥平面1BD E ；
④对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得||CG 平面1BD E ⑤存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值． 其中真命题的是________
三、空间向量在立体几何中的运用
（1）直线与平面所成角的求法
设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则||
sin |cos |||||
a n a n θβ==
（2）点到平面的距离(更多的是用等体积法求解)
如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为
||
||
AB n h n =
. 1．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．
(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；
(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
P
F
E D C B
A
1．【解析】(1)由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF ． 又BF ?平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ．
(2)作PH ⊥EF ，垂足为H ．由(1)得，PH ⊥平面ABFD ．
以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
-H xyz ．
H
z y
x
P
F
E D C B A
由(1)可得，DE ⊥PE ．又DP =2，DE =1，所以PE =3． 又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF ．
可得3
2
=
PH ,32=EH ．
则(0,0,0)H ，3(0,0,)2P ，3(1,,0)2--D ，33
(1,,)22
=DP ，
3
(0,0,)2
HP =为平面ABFD 的法向量．
设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则3
34sin ||4||||3
HP DP HP DP θ?===?．
所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为
3
4
． 2、（2016全国1）如图所示，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为
正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60． （1）求证：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值．
F
E
D
C B
A
解析 （1）由已知可得AF DF ⊥，AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ?平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .
（2）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ，由（1）知DG ⊥平面ABEF .
以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
G xyz -.
D x
z y
C E
F
B
A G
由（1）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=?，则2DF =，3DG =，可
得(140)A ，，
，(340)B -，，，(300)E -，，，(003)D ，，. 由已知，AB EF ，所以AB 平面EFDC .
又平面ABCD 平面EFDC CD =，故AB CD ，CD EF .
由BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C BE F --的平面角，
故60CEF ∠=?，从而可得(203)C -，，
. 所以(103)EC =，，
，(040)EB =，，，(343)AC =--，，，(400)AB =-，，， 设()x y z =，
，n 是平面BCE 的法向量，则 00EC EB ?=??
=??
，，n n ??即3040x z y ?+=??=??，
? 所以可取(303)=-，
，n . 设m 是平面ABCD 的法向量，则00AC AB ?=??=??，
，
m m ??
同理可取(034)=，，
m ，则219
cos 19
==-，n m n m |n ||m |?，
故二面角E BC A --的余弦值为21919
-
. 3、【2018全国二卷20】如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 2解：（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =． 连结OB ．因为2
2
AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形，
且OB AC ⊥，1
22OB AC ==．
由222OP OB PB +=知PO OB ⊥．
由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．
（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．
由已知得)0,0,0(O ，)0,0,2(B ，)0,2,0(-A ，)0,2,0(C ，)32,0,0(P ，)32,2,0(=AP 取平面PAC 的法向量)0,0,2(=OB ．
设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则)0,4,(a a AM -=． 设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n ．
由0=?n AP ，0=?n AM 得2230
(4)0y z ax a y ?+=??+-=??
，可取(3(4),3,)a a a =--n ，
所以2
2
2
3)4(32)4(32,cos a
a a a n OB ++-->=
<．
由已知可得2
3
,cos =
> 23|4|3 =223(4)3a a a a --++．解得4a =-（舍去），43 a =． P A O C B M 所以83434 (,,)333 =--n ． 又)322,0(-=，PC ，所以4 3 ,cos >= 34 ． 4、（2019全国2）．图1是由矩形ADEB 、Rt ABC ?和 菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=?．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B CG A --的大小． 【解答】证明：（1）由已知得//AD BE ，//CG BE ，//AD CG ∴， AD ∴，CG 确定一个平面， A ∴，C ，G ，D 四点共面， 由已知得AB BE ⊥，AB BC ⊥，AB ∴⊥面BCGE ， AB ?平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ． 解：（2）作EH BC ⊥，垂足为H ， EH ?平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ， EH ∴⊥平面ABC ， 由已知，菱形BCGE 的边长为2，60EBC ∠=?， 1BH ∴=，3EH =， 以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H xyz -， 则(1A -，1，0)，(1C ，0，0)，(2G ，0，3 )， (1CG =，0，3)，(2AC =，1-，0)， 设平面ACGD 的法向量(n x =，y ，)z ， 则3020 CG n x z AC n x y ?=+=??=-=??，取3x =，得(3n =，6，3)-， 又平面BCGE 的法向量为(0m =，1，0)， 3 cos ,||||2 n m n m n m ∴<>==， ∴二面角B CG A --的大小为30?． 【归纳与总结】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题． 四、翻折与动态问题 一、面动问题（翻折问题）： （一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论 .DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即 五结论： 1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角； 3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 例、如图，矩形ABCD 中， E 为边AB 的中点，将ADE ?沿直线DE 翻转成1A DE ?，若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ?翻转过程中，正确的命题是________ ①||BM 是定值；②点 M 在圆上运动； ③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥； ④一定存在某个位置，使得||MB 平面1DA E 思考：若E 为边AB 的动点，其余条件不变，则1A 的轨迹是？ 2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 4) ''D H DH 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 5AD'E AE .）面绕翻折形成两个同底的圆锥 的中点分别为E ，F 。现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是 A.( ,)63 ππ B. (,]62 ππ C. ( ,]32 ππ D. 2( ,)3 3 ππ 分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。 方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理： 222254cos 243FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==-，有321 44CH ≤≤ 11cos ,22CFH ?? ∴∠∈-???? 异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,]32ππ 方法三：向量基底法： 111 ()()222 BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC =+==+ 111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ?? <>=<>∈-???? 方法四：建系： 3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点， 沿直线CD 将ACD ?折成A CD '?，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则 （ B ） A. A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≥ D. A CB α'∠≤ 方法一：特殊值 方法二：定义法作出二面角，在进行比较。 方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。 轨迹问题 1、（1）四棱锥P-ABCD ，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．不完整的圆 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分 分析：∵AD ⊥面PAB ，BC ⊥平面PAB ∴AD ∥BC 且AD ⊥PA ，CB ⊥PB ∵∠APD=∠CPB ∴tanAPD=tanCPB ∴AD PA =CB PB ∴PB=2PA 在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(-3，0)、B(3，0)，设P(x ，y)(y≠0)，则(x-3)2+y2=4[(x+3)2+y2](y≠0) 即(x+5)2+y2=16(y≠0) ∴P 的轨迹是(B) （2）在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P 到直线AB 与到直线B1C1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）． A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分 （3）如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α?C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．一条线段，但要去掉两个点 B ．一个圆，但要去掉两个点 C ．一个椭圆，但要去掉两个点 D ．半圆，但要去掉两个点 简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即?=∠90ACB ．所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ． 2、如图，正方体1111ABCD A B C D -在平面α上方，点O 是线段11A C 的中点，直线OA 与平面α所成角为 3 π，当正方体1111ABCD A B C D -绕OA 旋转一周时，平面11C D DC 与平面α所成角的正弦值的最小值为( ) A. 310612- B. 303212- C. 323012+ D. 3106 12 + E F B D C A H P A B C D 【解析】取11A B 的中点E ，则11OE A ⊥平面ABB ，即11OE DCC D ⊥平面，即OE 为平面11 D DDC 的法线，设AO E θ∠=，易得5sin 6 θ= ，1 cos 6θ= 当正方体1111ABCD A B C D -绕着绕着OA 旋转一周时，平面11D DDC 的法线OE （也即''O E ）绕着OA 旋转一周时形成一个圆锥的侧面，为了便于观察，如图我们将OE 平移下面一点，如图移到''O E ，平面11D DDC 为法线与平面a 的法线OH 所成角的最小值为如图中的β， 而平面11D DDC 与平面a 所成角的正弦值与平面11D DDC 为法线与平面a 的法线OH 所成角的正 弦值相等.最小值为sin sin(30)βθ=-?=31 sin cos 22θθ-= 35112266 ?-?=310612- 答A 五、强化训练 1、在直三棱柱-111ABC A B C 中，记ABC ?和四边形11ACC A 的外接圆圆心分别为12,O O ，若 2AC =，且三棱柱外接球的体积为 323 π ，则12O A O A +的最大值为__________10 2、在三棱锥-A BCD 中，已知==2AB CD ，====2AC AD BC BD ，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）. A ．π56 B ．π56 C ．π556 D ．π553 【考点】球的性质． 【命题意图】本题意在通过分析球内接几何体的特征，确定球的半径． 【答案】C ． 解析：浙江宁波赖庆龙． 解法：在三棱锥-A BCD 中，==2AB CD ，====2AC AD BC BD ，可将此三棱锥放在 长方体-AEDF GBHC 内，如图所示．设=BG x ，=CG y ，=AG z ，则?=+=??=+=??=+=?? 222222 2222,4,4,A B x z A D x y A C y z 将 上述三个等式相加得() ++=222 210x y z ，则++=2225x y z ．设三棱锥-A BCD 的外接球直径 为2R ，则() ++=2 2222=5R x y z ，= 2 54 R ，=52R ．因此该三棱锥外接球的体积为 ππ?? ? ??? 3 4555=3 26，故选项C 正确． 3、如图，在棱长为22的正方体-1111A BCD A B C D 中，E ，F 在线段BD 上，H ，G 分别在线段AD ，AB 上，且//EH FG ，=2FG EH ， ( ) ==-2 21DE EH ，动点P 在平面11BDD B 内，若PH ，PG 与 平面11BDD B 所成的角相等，则BP 的最小值是（ ）. A. -522 B. -842 C. 5 D. -822 【考点】空间直线和平面的位置关系、曲线与方程. 【命题意图】本题是立体几何与解析几何的综合题目，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力. 答案：B 解析：浙江湖州卢骏杨 解法： 由题，??=???⊥? ∠=????? ⊥?⊥??=??? 面111145HE DE HE BD A DB HE DD HE BDD B BD DD D I ， 同理，⊥面11GF BDD B ，所以PH ，PG 与面11BDD B 所成角为∠HPE 、∠GPF . 因为=2FG EH ，( ) ==-2 21DE EH ，所以=2EF .在面11BDD B 中， 以EF 为x 轴，以其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系. 令(),P x y ，所以()( ) ??-+=++???? 2 222121x y x y ，化简整理得到() ++=2 2 38x y ， 所以P 在该圆上，过半径取最值，最小值为-842. 4、如图，在长方形1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3A B =，E ，F ，G 分别 为AB ，BC ，11C D 的中点．点P 在平面ABCD 内，若直线1D P ∥平面EFG ，则线段1D P 长度的最小值是 ． 【考点】面面平行的性质，空间中的距离． 【命题意图】本题通过空间中的线段的最短长度（点到直线的距离），考查了空间中两平面平行的性质，同时考查了空间中距离以及将立体问题转化为平面的化归能力，属于中档题． 答案： 72 ． 解析：（浙江湖州卢骏杨） 解法1：建系求解 如解法1图，建立空间直角坐标系．则() 0,0,0D ，() 1,0,0A ， ()0,3,0C ，( ) 1,3,0B ，因为E ，F 分别为AB ，BC 中点，所以3,02E ?? ? ???1,，1,3,02F ?? ???，所以13,,022EF ?? ?=- ??? ． 同理，( ) 10,0,1D ，() 10,3,1C ，因为G 为11C D 中点，所以 30,,12G ?? ? ???，所以13,,122GF ?? ?=- ??? ． 设平面GEF 的一个法向量为() =,,x y z n ，则00EF GF ?=??=??，，n n 得30223022 x y x y z ?-+=????+-=??，， 解得平面 GEF 的一个法向量( ) 3,1,3= n ．又∵1D P ∥平面EFG ，所以1D P ⊥n ，即10D P =n ， 即330x y +- =．令() 11,,0P x y ，则22 1111D Q x y =++ ，问题即可转化为：已知 11330x y +-=，求( ) 22 11 max x y +．探究其几何意义，即在平面直角坐标系11x Oy 中，已知 一直线11330x y +- =， 求以() 0,0为圆心，与直线有公共点的圆的半径的平方的最小值．显然，相切即可，半径长度即为原点到直线的距离，即() 2 3 3231 r d -== =+，所以23 4 r =． 综上，21 min 712 D Q r =+= ． 解法2：几何关系求解 如解法2图，连接1D A ，AC ，1D C ．因为E ，F ，G 分别为AB ，BC ，11C D 的中点，所以AC ∥EF ，EF ?平面1ACD ， 则EF ∥平面1ACD ．因为EG ∥1AD ，所以同理可得EG ∥平面1ACD ，又EF ∩EG E =，所以平面1ACD ∥平面EFG ． 因为直线1D P ∥平面EFG ，所以点P 在直线AC 上． 在 1ACD 中，12A D =，2AC =，12CD =， 12 2 12722222AD C S ?? ?=??-= ??? ，故当1 D P AC ⊥时，线段1D P 的长度最小，最小值为72 ． 【解析点评】此题能够充分彰显高考题目的设计水准，实在让人佩服．第一问看似简单却又暗潮 涌动，学生很容易陷进计算的漩涡而放弃，关键还是要将向量条件6ED DF =uuu r uuu r 坐标化，找到坐标之间的关系，从而建立等量关系求出k ；第二问计算量还算合理，中规中矩，学生愿意去尝试解答；但却有给人柳暗花明又一村，利用三角形的中线平分面积的原理和椭圆的基本性质，巧妙的得到2A EBF A OBF S S = 四边形四边形，题目变得十分简单，所以第二问既给了学习程度中等的学生得分的空间，又给了成绩优异的学生充分展现本领的机会，实在是一道不可多得的好题． 解法1图 解法2图 第三章 空间向量与立体几何 一、坐标运算 ()()111222,,,,,a x y z b x y z == ()()()()121212121212 11112121 2,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???则 二、共线向量定理 (),0,=.a b b a b a b λλ≠←??→?充要对于使 三、共面向量定理 ,,.a b p a b x y p x a y b ←??→?=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线 ,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点 ()()()11, 1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性 、、、四点共面， ，，， 令()()() 1, 1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理 {} ,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，, ,都叫做基向量. 第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图 第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求： ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲： 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（ ） A ． 6π B ．3 π C ．32π D ．65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A ．π2 B ．π2 3 C ．π332 D ．π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式； （2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？ （3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 （二）基础训练： 1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度0 75东经0120，则甲、乙两地球面距离为（ ） （A ）3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 立体几何专题：空间角 第一节：异面直线所成的角 一、基础知识 1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的锐角（或直 角）叫做 。 2.范围： ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式 （1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法： 可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来 方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ? 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ （3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练 例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱 1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1= c ，求异面直线D 1B 和AC 所成 的角的余弦值。 方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） A B 1 B 1 A 1D 1 C C D 平面与空间直线 (Ⅰ)、平面的基本性质及其推论 图形 符号语言 文字语言（读法） A a A a ∈ 点A 在直线a 上。 A a A a ? 点A 不在直线a 上。 A α A α∈ 点A 在平面α内。 A α A α? 点A 不在平面α内。 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点。 a α a α? 直线a 在平面α内。 a α a α=?I 直线a 与平面α无公共点。 a A α a A α=I 直线a 与平面α交于点A 。 l αβ=I 平面α、β相交于直线l 。 2、平面的基本性质 公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：A AB B ααα∈? ??∈? ?。 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。 B A α 公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 推理模式： A l A ααββ∈? ?=?∈? I 且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。 例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面 α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线． 解：∵AB ∥CD ， ∴AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB I α＝E ，AB ?β，∴E ∈α，E ∈β， 即E 为平面α与β的一个公共点． 同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点． ∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线． 说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论． 例2．如图，已知平面α，β，且αI β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ?α，CD ?β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）． 证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB I CD ＝M ． 又∵AB ?α，CD ?β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈αI β． 又∵αI β＝l ，∴M ∈l ， 即AB ，CD ，l 共点． 说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的． 公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈。 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 。 例3．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面． 证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， α D C B A E F H G α D C B A l 例2 β M 空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项) 3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B D C B 1 A 1 C 1 立体几何讲义------线面平行，垂直，面面垂直 立体几何高考考点： 选择题：三视图 选择填空：球类题型 大题 （1）线面平行、面面平行 线面垂直、面面垂直 【运用基本定理】 （2）异面直线的夹角 线面角 面面角（二面角） 【几何法、直角坐标系法】 (3)锥体体积 【找到一个好算的高，运用公式】 点面距离 【等体积法】 线面平行 1、如图所示，边长为4的正方形 与正三角形 所在平面互相垂直，M 、Q 分别是PC ，AD 的中点．求证：PA ∥面BDM 2、如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点,求证:；平面D BC AB 11// 3、如图，正三棱柱111C B A ABC 的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1. A B C A 1 B 1 C 1 D 4、如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD ． 5、如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平 面PCE ； 6、(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点． 证明：MN ∥平面A ′ACC ′； 7、【2015高考山东】 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点． （Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ； 专题一：空间角 一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围：(0, ]2 π 。 （2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。 （3）求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。 直线和平面所成角范围：[0， 2 π]。 （2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 （3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角， 且a 上的射影c 与b 相交成?2角， 则有θ??cos cos cos 21= 。 内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。 3．二面角 （1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。 （2）二面角的平面角： 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内．．．．．． 作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角 l αβ--的平面角。 说明：①二面角的平面角范围是[]0,π，因此二面 角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。 ②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角， 组成直二面角的两个平面互相垂直。 （3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法） （二）间接法：面积射影定理的方法。 （4）面积射影定理： 面积射影定理：已知ABC ?的边BC 在平面α内，顶点A α?。设ABC ?的面积为S ，它在平 ?2?1c b a θP αO A B l B' O' A' B O A βα ①规定长度为0的向量为零向量，记作0； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a的相反向量记为-a. 5.共线与共面向量 （1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∕∕b. （2）共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量． （3）定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量b (b≠ 、的充要条件是存在实数λ，使得.b ),0 a// a b = aλ共面向量定理：如果两个向量b、a不共线，则向量p与向量b、a共面的充要条件是存在唯一的有序史书对(x，y),使得p.b y = a x+ 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 二、空间向量的运算 1、加减法 （1）空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． （2）加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． 交换律： 结合律： （3）推广 *首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： *首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 2.空间向量的数乘运算 （1）实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，λa与a的方向相同； ②当λ＜0时，λa与a的方向相反； ③当λ=0时，λa=0． ④|λa|=|λ|a?，λa的长度是a的长度的|λ|倍． 高中数学立体几何之面面平行的判定与性质讲义及练习 面面平行的判定与性质 一、基本内容 1.面面平行的判定 文字 图形 几何符号 简称 判定定理1 判定定理2 2.面面平行的性质 文字 图形 几何符号 简称 性质定理1 性质定理2 二、例题 1. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面． 2.在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F F E D B A P C 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点. （Ⅰ）求证：EF BD ⊥； （Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF //平面PBD . 4. 在四棱锥P ABCD 中，AB //CD ，AB AD ，4,22,2AB AD CD ，PA 平面 ABCD ，4PA . （Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所 成角的正弦值为33，求PQ PB 的值． 5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠?， EB ⊥平面ABCD ， EF//AB ，2AB=，=1EF ，=13BC ，且M 是BD 的中点. （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ； （Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大？ 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由. P D C B A C A F E B M D 2011届高考专题复习空间向量与立体几何 一、近年考情分析与2011年广东命题走势 纵观07-10广东试题，我们可以发现，此部分内容涉及试题数及分值为： 立体几何的复习要牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)． 二、广东考题剖析及热点题型讲析 热点1 空间几何体的结构、三视图、直观图 1．（08年广东5）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ） E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1 图2 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ． 2．（10年广东6）如图1,△ABC为正三角形,AA＇//BB＇//CC＇,CC＇⊥平面ABC且3AA＇=3 2 BB＇ =CC＇=AB,则多面体ABC-A＇B＇C＇的正视图(也称主视图)是 ( D ) 3.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A.2 B.1 C. D. 【答案】B 本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其 体积为. 4.【2010·全国卷2理数】已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（） A.1 B. C.2 D.3 【答案】C 【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a ，则高 所以体积 ，设，则 ，当y 取最值时， ，解得a=0或a=4时，体积最大，此时 ，故选C. 5．如下图所示，四边形OABC 是上底为2下底为6，底角为45度的等腰梯形，由斜二侧画法，画出这个梯形的直观图O ’A ’B ’C ’，在直观图中梯形的高为（ C ） A 、 32 B 、1 C 、22 D 、12 6.（全国Ⅰ新卷理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π (B) 2 73 a π (C) 2 113 a π (D) 25a π 【答案】B 解析：如图，P 为三棱柱底面中心，O 为球心，易知 2331,32AP a a OP a =?==，所以球的半径R 满足： 2222 317( )()3212 R a a a =+=，故2 2743 S R a ππ==球 ． 热点2 点线面的位置关系 空间点、线、面位置关系是立体几何中的重要关系，在高考中，选择题、填空题几乎年年考，且常以棱柱、棱锥、和正方体为背景，主要考查平面的基本性质、空间直线与直线、直线与 向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： 立体几何 学习目标 1、认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征； 2、理解掌握立体图形的平行平面投影三视图； 3、能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，了解球的表面积和体积公式； 4、会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 教学内容 1、如下图中所示几何体中是棱柱有（ ） A ．1 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、如下图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、C 1D 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的射影可能是下图中的________． 3、已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ． 323 π B ．4π C ．2π D ．43π 4、如右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．9122π+ B ．9 182 π+ C ．942π+ D ．3618π+ 空间几何体的结构 【知识梳理】 1、棱柱的结构特征 定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱锥的结构特征 定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……； 专题:空间角 一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围：(0, ]2 π 。 （2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。 （3）求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 1：三棱柱111B A O OAB -，平面11O OBB ⊥平面OAB ， 90,601=∠=∠AOB OB O ，且12,OB OO == 3OA =，求异面直线B A 1与1AO 所成角的余弦。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。 直线和平面所成角范围：0， 2 π 。 （2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 A B O 1A 1B 1O 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 （3）公式：已知平面的斜线a 与内一直线b 且a 与相交成 1 角，a 在上的射影c 与b 相交成2 角， 则有θ??cos cos cos 21= 。 由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面 内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。 考点二：直线和平面所成的角 例2. 如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，四 边形A ABB ''是菱形，四边形BCC B ''是矩形， C B AB ''⊥,02,4,60C B AB ABB '''==∠=， 求AC '与平面BCC B ''所成角的正切。 3：（1）在0 120的二面角P a Q --的两个面P 与Q 内分别有两点A B 、，已知点A 和点B 到棱的距离分别为2,4cm cm ，且线段10AB cm =。求： ①直线AB 和棱a 所成角的正弦值；②直线AB 和平面Q 所成角的正弦值。 A B C A ' B ' C ' ?2 ?1c b a θP α O A B 一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面斜棱柱 棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 专题9 立体几何与空间向量 从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是: (1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质; (2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力; (3)线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力. 预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查面积体积问题、点线面位置关系（各种角的关系或计算）等；主观题以常见几何体为载体，考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等. 一、单选题 1．（2020·山东高三下学期开学）设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ） A ．若,,//m n αβαβ??，则//m n B ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥ 【答案】C 【解析】 A 选项中，,m n 可能异面； B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥. C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C 2．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==， AC =D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( ) A ．8π B ．9π C ． 25π 3 D ． 1219 π 【答案】D 【解析】 立体几何 【典型例题】 题型一、线面平行 例1、（2012?山东）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD． （Ⅰ）求证：BE=DE； （Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC 变式1：（2013?枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC水平放置． （1）求证：AE∥平面DCF； 变式2：（2013?潍坊一模）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD⊥平面EFDC，设AD中点为P． （I ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF （Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值． 例2、（2010?湖南）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． （Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值； （Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论． 变式：（2013?广州三模）如图，在等腰梯形PDCB中，PB∥CD，PB=3，DC=1，PD=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD． （1）求证：平面PAD⊥平面PCD． （2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V PDCMA：V M-AC B=2：1，若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由． （3）在（2）的条件下，判断AM是否平行于平面PCD． 练习1、（2013?宁德模拟）如图所示的多面体A1ADD1BCC1中，底面ABCD为正方形，AA1∥BB1∥CC1，AA12AB=2AA1=CC1=DD1=4，且AA1⊥底面ABCD． （Ⅰ）求证：A1B∥平面CDD1C1； （Ⅱ）求多面体A1ADD1BCC1的体积V． 2、（2013?聊城一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=2，E、F分别为线段PD和BC的中点 （I）求证：CE∥平面PAF； （Ⅱ）求三棱锥P-AEF的体积． 201８届高三理科专题（四)立体几何专题姓名: 班别: 学号： 【知识点一：三视图求表面积体积问题】 1、(2０17新课标Ｉ卷第7题).某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左 视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2，俯视图为等腰直 角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）. A.10 B.12 C.14Ｄ.16 2、（２0１7新课标II卷第４题)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线 画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则 该几何体的体积为( ) A.90πB．63π Ｃ．42π D.36π 3、（２0１７年市一模第6题）如图, 网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图， 且该几何体的体积为 8 3 , 则该几何体的俯视图可以是 ４、（2０1６年市一模第11题）(1１)如图,网格纸上小正方形的边长为１， 粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为 (A)88246 ++（B)88226 ++ (Ｃ）2226 ++(D）126 224 ++ 5、（20１６新课标I卷第6题）如图,某几何体的三视图是三个半径相等 的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的 表面积是（）（A)17π（B）18π（C)20π (D)28π 28 3 π 6、（2016新课标II 卷第６题) 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A ）20π (B ）24π （C ）28π （D ）32π 7、（２016新课标II Ｉ卷第9题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ） (A ） （B) （C)9０ (D)81 8、(2０15新课标II 卷第６题）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) Ａ． 81 B.71 Ｃ．61 D.5 1 ９. (2０15新课标Ｉ卷第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + ２0 π，则ｒ=( ） (A ）1 (B ）２ （Ｃ）4 (D)８ 【知识点二:内接球与外接球的问题】 1、（2017年市一模第10题)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥-P ABC 为鳖 臑, PA ⊥平面ABC , 2PA AB ==，4AC =, 三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面积为( ） 18365+54185+ 1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E =C 1F . 求证：EF ∥平面ABCD . 证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN . ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN . 又∵B 1E =C 1F ，∴EM =FN ， 故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN . 又MN ?平面ABCD ，EF ?平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD . 方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则B B G B A B E B 1111=， ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ， ∴B B G B B C E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ， ∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ?平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD . 2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心. （1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △3 21G G G ∶S △ABC . （1）证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ， 连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD =2∶3， PG 2∶PE =2∶3，∴G 1G 2∥DE . 又G 1G 2不在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC . （2）解 由（1）知PE PG PD PG 21 =32，∴G 1G 2=32DE . 又DE =21AC ，∴G 1G 2=31 AC . 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=3 1BC . ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △3 21G G G ∶S △ABC =1∶9. 3如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，SG 为△SAB 上的高， D 、 E 、 F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断S G 与平面DEF 的位置关系，并给予证明. 解 SG ∥平面DEF ，证明如下： 方法一 连接CG 交DE 于点H ， 如图所示. 空间立体几何高考知识点汇总及经典题目 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 空间立体几何 知识点归纳： 1. 空间几何体的类型 （1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 （2） 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。如圆柱、圆锥、圆台。 2.一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。 正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体：所有棱都相等的四棱锥。 3.空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2S rl r ππ=+ 圆台的表面积： 22S rl r Rl R ππππ=+++ 球的表面积：24S R π= 4．空间几何体的体积公式 柱体的体积 ：V S h =?底 锥体的体积 ：13 V S h =?底 台体的体积 ： 1 )3 V S S S S h =+ +?下下上上（ 球体的体积： 343 V R π= 5.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 画三视图的原则： 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 （1） 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义
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