空间立体几何讲义全
第1讲 空间几何体
高考《考试大纲》的要求:
① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图.
③ 会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (一)例题选讲:
例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上,且CD =2,AB =3,在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是( )
A .
6π B .3π C .32π D .6
5π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )
A .π2
B .π2
3
C .π332
D .π2
1
例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角
是 .
例4.如图所示,等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3,点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上,且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使PE ⊥AE .记BE =x ,V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.
(1)求V (x )的表达式;
(2)当x 为何值时,V (x )取得最大值?
(3)当V (x )取得最大值时,求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。
(二)基础训练:
1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
A .①②
B .①③
C .①④
D .②④
2.设地球半径为R ,若甲地位于北纬045东经0120,乙地位于南纬度075东经0
120,则甲、乙两地球面距离为( )
(A )3R (B) 6
R π
(C)
56R π (D) 23
R π
①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
3
.若一个底面边长为
2
的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积为 .
4. 已知,,A B C 三点在球心为O ,半径为R 的球面上,AC BC ⊥,且AB R =,那么,A B 两点的球面距离为___________,球心到平面ABC 的距离为________ 5.如图,四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为矩形,AB=8,AD=43,
侧面PAD 为等边三角形,并且与底面所成二面角为60°. (Ⅰ)求四棱锥P —ABCD 的体积; (Ⅱ)证明PA ⊥BD.
(三)巩固练习:
1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为3,则这个圆锥的全面积是( )
(A )π3 (B )π33 (C )π6 (D )π9
2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是( )
A .16π
B .20π
C .24π
D .32π
3.一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么,这个圆锥轴截面顶角的余弦值是( ) A.34 B.45 C.35 D.-35 4.已知球O 的半径为1,A 、B 、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离为2
π
,则球心O 到平面ABC 的距离为( )
(A )
31 (B )3
3 (C )32 (D )36 5.
表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为( )
A
.
3 B .13π C .2
3
π D
.3 6.已知正四棱锥的体积为12
,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于________
7.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如图所示)。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时,帐篷的体积最大?
O
8. 如图,已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形,且 CB C 1∠=BCD CD C ∠=∠=1。 (I )证明:C C 1⊥BD ; (II )当
1
CC CD
的值为多少时,能使⊥C A 1平面BD C 1?请给出证明。
第2讲 空间直线和平面
高考《考试大纲》的要求:
①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1:如果一条直线上的两点在一个平面,那么这条直线上所有的点在此平面. ◆公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
◆公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
◆定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理:
◆如果平面外一条直线与此平面的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明:
◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行.
◆如果两个平面垂直,那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. (一)例题选讲:
例1.如图,在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是11AB C 、B 的中点,则以下结论中不成立的是( )
A .1EF B
B 与垂直 B. EF BD 与垂直
C. EF 与CD 异面
D. EF 11与A C 异面
例2.如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α、β所成的角
分别为π4和π
6,过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A ′、B ′,
则AB ∶A ′B ′=( )
(A )2∶1 (B )3∶1 (C )3∶2 (D )4∶3
例3.在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直,则AB 2+AC 2=BC 2
,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直,则
α β
A
B A ′
B ′
例4.在三棱锥S —ABC 中,△ABC 是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC ,SA=SC=22, M 、N 分别为AB 、SB 的中点。 (Ⅰ)证明:AC ⊥SB ;
(Ⅱ)求二面角N —CM —B 的大小; (Ⅲ)求点B 到平面CMN 的距离.
(二)基础训练:
1.已知两条直线,m n ,两个平面,αβ,给出下面四个命题:
①//,m n m n αα⊥?⊥ ②//,,//m n m n αβαβ???
③//,////m n m n αα? ④//,//,m n m n αβαβ⊥?⊥ 其中正确命题的序号是( )
A .①③
B .②④
C .①④
D .②③
2.已知P 为平面a 外一点,直线l ?a,点Q ∈l ,记点P 到平面a 的距离为a,点P 到直线l 的距离为b ,点P 、Q 之间的距离为c ,则( ) (A) c b a ≤≤ (B)c b a ≤≤ (C) b c a ≤≤ (D)a c b ≤≤
3、给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,
②如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行,
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是( ) A.4 B. 3 C. 2 D. 1 4、下列命题中,正确的是 ( )
A .经过不同的三点有且只有一个平面
B .分别在两个平面的两条直线一定是异面直线
C .垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D .垂直于同一个平面的两个平面平行
5.已知点O 在二面角α-AB -β的棱上,点P 在α,且∠POB =45°.若对于β异于0的任意一点Q ,都有∠POQ ≥45°,则二面角α-AB -β的大小是__________.
6.已知平面βα,和直线,给出条件:①α//m ;②α⊥m ;③α?m ;④βα⊥;⑤βα//. (i )当满足条件 时,有β//m ;
(ii )当满足条件 时,有β⊥m .(填所选条件的序号)
7.三棱锥P —ABC 中,侧面PAC 与底面ABC 垂直,PA=PB=PC=3.
(1) 求证AB ⊥BC ;
(2) 如果AB=BC=32,求侧面PBC 与侧面PAC 所成二面角的大小.
(三)巩固练习:
1.若m n ,是两条不同的直线,αβγ,,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题...
是( ) P C
A
B
A .若m βαβ?⊥,,则m α⊥
B .若m β⊥,m α∥,则αβ⊥
C .若αγ⊥,αβ⊥,则βγ⊥
D .若m α
γ=,n βγ=,m n ∥,则αβ∥
2.设a b ,为两条直线,αβ,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( )
A .若a b ,与α所成的角相等,则a b ∥
B .若a α∥,b β∥,αβ∥,则a b ∥
C .若a α?,b β?,a b ∥,则αβ∥
D .若a α⊥,b β⊥,αβ⊥,则a b ⊥ 3.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( )
A .5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
4.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假.命题的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5.设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是( )
A .βαβα⊥?⊥?⊥n m n m ,,
B .n m n m ⊥?⊥βαβα//,,//
C .n m n m ⊥?⊥⊥βαβα//,,
D .ββαβα⊥?⊥=⊥n m n m ,, 6.在正四面体P -ABC 中,D ,
E ,
F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成立...的是( ) (A )BC//平面PDF (B )DF ⊥平面PA E (C )平面PDF ⊥平面ABC (D )平面PAE ⊥平面 ABC
7.设γβα、、为平面,l n m 、、为直线,则β⊥m 的一个充分条件是( )
(A) l m l ⊥=?⊥,,βαβα (B) γβγαγα⊥⊥=?,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,
(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,
8.对于不重合的两个平面βα与,给定下列条件:
①存在平面γ,使得α、β都垂直于γ; ②存在平面γ,使得α、β都平等于γ;
③存在直线α?l ,直线β?m ,使得m l //; ④存在异面直线l 、m ,使得.//,//,//,//βαβαm m l l 其中,可以判定α与β平行的条件有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
9.设P 是60的二面角l αβ--一点,,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足,4,2,
PA PB ==则AB 的长为:( )
A D 10. 已知直线、m ,平面、
,且
,给出下列四个命题。 (1)若
; (2)
;
(3)若,则; (4)若 其中正确命题的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11.已知m 、n 是不同的直线,,αβ是不重合的平面,给出下列命题: ①若//,,,m n αβαβ??则//m n ②若,,//,//,m n m n αββ?则//αβ
③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ ④m 、n 是两条异面直线,若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ 上面命题中,真命题的序号是____________(写出所有真命的序号)
12.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB=BC=2,BB 1=2,
90=∠ABC ,E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点,沿
棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 .
13.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a 、b 在α上的射影有可能是: ①两条平行
直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在上面结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).
14.已知平面α和平面β交于直线l ,P 是空间一点,PA ⊥α,垂足为A ,PB ⊥β,垂足为B ,且PA=1,
PB=2,若点A 在β的射影与点B 在α的射影重合,则点P 到l 的距离为 。
15.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线.②若两条直线没有共点,则这两条直
线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是 .(把符合要求的命题序号都填上) 16.如图,已知四棱锥 P —ABCD ,PB ⊥AD ,侧面PAD 为边长等于2的正三角形,底面ABCD 为菱形,侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°. (I )求点P 到平面ABCD 的距离;
(II )求面APB 与面CPB 所成二面角的大小
第3讲 空间向量与立体几何
高考《考试大纲》的要求: (1)空间向量及其运算
①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. ② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
(2)空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量.
② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. ③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
④ 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在
研究几何问题中的作用. (一)基础知识回顾:
1.向量的数量积:已知非零向量,b a ,则b |||b |cos ,b a a a ?=?<>叫做b a 与的数量积。
2.两向量夹角的求法:21b
cos ,b =|||b |a a a a ?<>=?+,立体几何中有关夹角的
问题,一般用此式解决
3. a ⊥b ?112233
4.已知两点A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则向量)z z ,y y ,x x (121212---=, 线段AB 的中点M 的坐标是??? ??+++2z z ,2y y ,2
x x 212121,
A,B 两点间的距离是212212212)z z ()y y ()x x (|AB |-+-+-=
5.若)z ,y ,x (),z ,y ,x (222111==,则121212a b x x y y z z ?=++.
6.用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”:
(1)化为向量问题:建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面; (2)进行向量运算:通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角问题; (3)回到向量问题:把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
7.设A α?,B α∈,平面α的法向量是n ,直线AB 与平面α所成的角是θ,则|,cos |sin ><=θ
二面角l αβ--的平面角cos
||||m n arc m n θ?=或cos ||||
m n
arc m n π?-(m ,n 为平面α,β的法向量)
8.设A α?,B α∈,平面α的法向量是n ,点A 到平面α的距离|AB n |
d |AB |cos AB,n |n |
?=<>=
异面直线间的距离 : ||
||
CD n d n ?=
(12,l l 是两异面直线,其公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点,d 为12,l l 间的距离).
(二)例题选讲:
例1.如图,在Rt AOB △中,π
6
OAB ∠=,斜边4AB =.Rt AOC △可以
通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B AO C --是直二面角.动点D 的斜边AB 上.
(I )求证:平面COD ⊥平面AOB ;
(II )当D 为AB 的中点时,求异面直线AO 与CD 所成角的大小; (III )求CD 与平面AOB 所成角的最大值.
例2.如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1中点。 (1)求证:AB 1⊥面A 1BD ;
(2)求二面角A -A 1D -B 的大小; (3)求点C 到平面A 1BD 的距离。
(三)基础训练:
1.如图5所示,AF 、DE 分别世O 、1O 的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,8AD =.BC 是O 的直径,6AB AC ==,//OE AD .
(I)求二面角B AD F --的大小; (II)求直线BD 与EF 所成的角.
O C
A
D
B
空间向量和立体几何练习题及答案.
1.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4. (1)求证:M为PB的中点; (2)求二面角B﹣PD﹣A的大小; (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【分析】(1)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连接OM,利用线面平行的性质证明OM∥PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点; (2)取AD中点G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG,再证明OG⊥AD.以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,求出平面PBD与平面PAD的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小;(3)求出的坐标,由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【解答】(1)证明:如图,设AC∩BD=O, ∵ABCD为正方形,∴O为BD的中点,连接OM, ∵PD∥平面MAC,PD?平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM, ∴PD∥OM,则,即M为PB的中点; (2)解:取AD中点G, ∵PA=PD,∴PG⊥AD, ∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG, 由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥DC,则OG⊥AD. 以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系, 由PA=PD=,AB=4,得D(2,0,0),A(﹣2,0,0),P(0,0,),C(2,
立体几何空间角
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1:异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2:如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 (1)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 (2)一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0 ?的角 (3)直线和平面所成角的范围是[0?,90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则 叫做二面角的平面角. 注:①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究: 1、如图:表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-, 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中,2 AD BC ==,,E F分别是, AB CD的中点,3 EF=, 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义
第三章 空间向量与立体几何 一、坐标运算 ()()111222,,,,,a x y z b x y z == ()()()()121212121212 11112121 2,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???则 二、共线向量定理 (),0,=.a b b a b a b λλ≠←??→?充要对于使 三、共面向量定理 ,,.a b p a b x y p x a y b ←??→?=+充要若与不共线,则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=充要条件四、对空间任意一点,若则三点共线 ,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点,若若、、、四点 ()()()11, 1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明:①必要性 、、、四点共面, ,,, 令()()() 1, 1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性,,、、、四点共面. 六、空间向量基本定理 {} ,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?若,,不共面,对于任意,使=++,称,,做空间的一个基底,, ,都叫做基向量.
高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角
第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1) 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围:,平移相交(找平行线替换)求法:向量法??? ??20π, 2) 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0,2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3) 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围:定义法(即垂面法)作二面角平面角的方法:三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时,n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时,n m n m ??-=arccos πθ
二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中,若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解:法一:如图一所示, 设O为C B 1 、B C 1 的交点,D AC 为的中点,则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则,于是在DOB ?中, 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二:取 11 A B的中点O为坐标原点,如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位,则由
高中数学空间立体几何讲义
第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求: ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (一)例题选讲: 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上,且CD =2,AB =3,在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是( ) A . 6π B .3 π C .32π D .65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A .π2 B .π2 3 C .π332 D .π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示,等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3,点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上,且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使PE ⊥AE .记BE =x ,V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. (1)求V (x )的表达式; (2)当x 为何值时,V (x )取得最大值? (3)当V (x )取得最大值时,求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 (二)基础训练: 1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ) A .①② B .①③ C .①④ D .②④ 2.设地球半径为R ,若甲地位于北纬045东经0120,乙地位于南纬度0 75东经0120,则甲、乙两地球面距离为( ) (A )3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
文科立体几何面角二面角专题-带答案
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、解答题 1.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值. 2.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且,求点到平面的距离. 3.(2018年浙江卷)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1; (Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 4.如图,在三棱柱中,点P,G分别是,的中点,已知⊥平面 ABC,==3,==2. (I)求异面直线与AB所成角的余弦值; (II)求证:⊥平面; (III)求直线与平面所成角的正弦值. 5.如图,四棱锥,底面是正方形,,,,分别是,的中点.
(1)求证; (2)求二面角的余弦值. 6.如图,三棱柱中,侧棱底面,且各棱长均相等.,,分别为棱,,的中点. (1)证明:平面; (2)证明:平面平面; (3)求直线与直线所成角的正弦值. 7.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠AB D=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF. (Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF; (Ⅱ)若二面角C BF D的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值. 8.如图,在四棱锥中,平面,,,
,点是与的交点,点在线段上,且. (1)证明:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9.在多面体中,底面是梯形,四边形是正方形,,,,, (1)求证:平面平面; (2)设为线段上一点,,求二面角的平面角的余弦值. 10.如图,在多面体中,四边形为等腰梯形,,已知,,,四边形为直角梯形,,. (1)证明:平面,平面平面;
(完整版)空间向量与立体几何题型归纳
空间向量与立体几何 1, 如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)
3. 如图,在长方体 ABCD-ABCD 中,AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明:DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时,求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时,二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本 来法向量就己经存在了 ,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧 ,但法向量找出来了 , 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里?) 4. 如图,直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中,底面ABCD 是等腰梯形,AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点,F 为AB 的中点,/ DAB = 60° (1)求证:EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-,求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N : 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角,求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B
空间向量与立体几何教案(强烈推荐)
空间向量与立体几何 一、知识网络: 二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处
理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二)、知识梳理,方法定位。(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意:当我们说a 、b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当 我们说a 、b 平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量a (a ≠)、b ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b =λa (1)对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与a 同向, 当λ<0时与a 反向的所有向量。 (3)若直线l ∥a ,l A ∈,P 为l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来推导的表达式。
建立空间直角坐标系-解立体几何题
建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.