因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)
因式分解的常用方法（目前最牛最全的教案）
因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解 决许多数学问题的有力工具?因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分 解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用?初中 数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法?本讲及下一讲在中学数 学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.
一、 提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、 运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 ----- a 2-b 2
=(a+b)(a -b)； (2) (a ± b)2 = a 2 ± 2ab+b 2 ------ a 2 土 2ab+b 2=(a ± b)2;
2233
3
3
2
2
(3) (a+b)(a -ab+b) =a +b ------ a +b =(a+b)(a -ab+b);
(4) (a -b)(a 2+ab+t >) = a 3-b 3 ——a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2).
下面再补充两个常用的公式：
(5) a 2
+b 2
+c 2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
;
333
222
(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca)； 三、 分组分解法.
(一) 分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am an ? bm ■ bn
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看， 这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解, 然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=(am+a n)+(bm+b n)
=a(m n) b(m n) 每组之间还有公因式！
=(m n )(a b)
例 2、分解因式：2ax -10ay ，5by-bx 解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。
解：原式=(2ax -10ay) (5by -bx)
=2a(x -5y) -b(x -5y)
=(x -5y)(2a -b)
(二) 分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x^ y 2 ax ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解, 所以只
能另外分组。 例4、分解因式：a 2 -2ab b^c 2
解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。
原式=(2ax-bx) (-10ay 5by)
=x(2a _ b) _5y(2a _ b)
=(2a -b)(x-5y) 练习：分解因式1、a 2
-ab ，ac-bc
2、 xy - x - y 1
解：原式=(x2 - y2) (ax ay)
=(x y)(x -y) ? a(x y)
=(x y)(x -y a) 解：原式=(a2 - 2ab b2) -c2
2 2
=(a _ b) - c
=(a _b _c)(a _b c)
综合练习：(1) X3?x2y —xy2—y3 (3) x2 6xy 9y2 -16a2 - 8a -1 (5) a4 -2a3 a2 -9
(7)x -2xy - xz yz y
(9)y(y -2) -(m -1)(m 1)
2 小
-z - 2yz
2 2
(2) ax - bx bx - ax a - b
2 2
(4) a - 6ab 12b 9b - 4a
2 … 2 . 2 . 2
(6) 4a x -4a y -b x b y (8)a2 -2a b2 -2b 2ab 1
(10)(a c)(a - c) b(b - 2a)
四、十字相乘法■
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式--- x2 ( p q)x ? pq = (x ? p)(x q)进行分解。
特点：(1) 二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积；
(3)—次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知O v a < 5,且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a. 解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求厶二b2-4ac >0而且是一个完全平方数于是9-8a为完全平方数，a = 1
例5、分解因式：x2 5x 6 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有2X 3的分解适合，即2+3=5
12
解：x2 5x 6 = x2(2 3)x 2 3 1 3
=(x 2)(x 3) 1X 2+1 X 3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：x2 -7x 6
解：原式=x2+[(-1)+(-6)]x + (-1)(-6) 基v -1
=(x-1)(x_6) 1 -6
(-1) + (-6) = -7
(3) b =玄22 a2q b = aQ2 a2q
分解结果：ax2 bx c = (a/ ■ cj(a2x ■ c2) 例7、分解因式：3x2 -11x 10
(-6) + (-5) = -11
解：3x2 -11x 10 = (x -2)(3x -5) 练习7、分解因式：(1) 5x2，7x-6
练习5、分解因式(1) x214x 24 2
(2) a2 -15a 36
2
(3) x 4x-5
练习6、分解因式(1) x2? x - 2 2
⑵y -2y-l5
2
(3) x -10x-24
(二)二次项系数不为
条件：(1) a =印a2
(2) c =O|C2
1的二次三项式 -- ax2 bx c
C i
C2
(2) 3x2 -7x 2
(三) 二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：a 2 -8ab -128b 2
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解
1 x8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b
2
2
2
解：a -8ab-128= a [8b (-16b)]a 8b (-16b)
=(a 8b)(a -16b)
练习 8、分解因式(1) x 3 -3xy 2y 2⑵ m 2 - 6mn 8n 2 ⑶ a 2 -ab-6b 2
(四) 二次项系数不为1的齐次多项式
例 9、2x -7xy 6y
1 .
-
2y
2 -3v (-3y)+(-4y)= -7y
解：原式=(x-2y)(2x-3y)
2 2
例 10、x y -3xy 2
1 -1
1 -2
(-1)+(-2)= -3
解：原式=(xy-1)(xy -2)
2
(4) (a b) -4a -4b 3
3 (x y)2
-3(x y) -10
练习9、分解因式：(1)15x 2，7xy-4y 2
(2) a 2
x 2
- 6ax 8
综合练习 10、( 1)8x 6 -7x 3
-1
(2)12x 2 -11xy -15y 2
(5) x 2 y 2 _5x 2y _6x 2
(6) m 2 -4mn 4n 2
-3m 6n 2
2 2 2 2
(10) 12(x y) 11(x 一 y ) 2(x - y)
五、换元法。
例13、分解因式(1) 2005x^(20052 _1)x-2005
2
(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x 解：(1)设2005= a，则原式=ax2 - (a2 -1)x -a
=(ax 1)(x -a)
=(2005x 1)( x -2005)
(2)型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=(x2 +7x +6)(x2 +5x +6) +x2
设 x2 5x 6 = A，贝U x2 7x 6 = A 2x
???原式=(A 2x)A x2= A2 2 Ax x2
=(A x)2= (x2 6x 6)2
练习13、分解因式(1) (x2 xy y2)2 -4xy(x2 y2) (2) (x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90 六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(1) x3 -3x2? 4
解法1——拆项。
原式=x3 - 1 -3x2 3
= (x 1)(x2 -x 1) -3(x 1)(x -1)
=(x 1)(x2 - x 1 -3x 3)
=(x 1)(x2 -4x 4)
=(x 1)(x -2)2解法2——添项。
, , 3 2
原式=x - 3x -4x 4x 4 = x(x2 _
3x _ 4) (4x 4)
=x(x 1)(x-4) 4(x 1)
=(x T)(x2 _4x 4)
=(x 1)(x -2)2
练习15、分解因式
(9) 4x2 _4xy —6x 3y y2 -10
(3) x4 -7x2 1 4) x4 x2 2ax 1 - a2
(2) (x 1)4 (x2 -1)2 (x -1)4
F 列各式从左到右的变形中，是因式分解的是
13.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为( )
A.2
B.4
C.2y 2
D.4y 2
三、把下列各式分解因式：
第二部分：习题大全 经典 一、填空题
1.把——个多项式化成几个整式的 ______
■的形式，叫做把这个多项式分解因式 2分解因式： 3.分解因式: m 3
-4m= _______________ . ____________ 2 2 x -4y = __________________ ._
-x 2 -4x - 4 = 4、 分解因式： 5、 将x'y n 分解因式的结果为(x 2
+/)(x+y)(x-y) 2 2 6、 若 x -y =5,xy =6，贝y x y -xy = _______ 二、选择题 ，贝U n 的值为 2 2 2x 2y = 7、 3 2 2 2 3 多项式15m n ? 5m n - 20m n 的公因式是( 5mn B 、5m 2n 2
C 、5m 2
n D 、
5mn 2
a 3 a -3 二a 2
-9
2 2
a -
b = a b a -b
2
a -4a -5 二a a -4 -5
m 2
D 、
10.下列多项式能分解因式的是(
(A)x 2
-y (B)x 2
+1 (C)x 2
+y+y
11?把(x — y ) 2—( y — x )分解因式为
( A. (x — y ) (x — y — 1)
C. (y — x ) (y — x —1
) 12.下列各个分解因式中正确的是(
A. B. C. D. 3 「2m 「3 二 m m 「2
「一 m
)
(D)x 2
-4x+4 ) B . (y — x ) (x — y — 1) D . (y — x ) (y — x + 1)
) 2 2 2
10ab c + 6ac + 2ac = 2ac (5b + 3c ) (a — b ) 2 —(b — a ) 2 =(a — b ) 2 (a — b + 1)
x (b + c — a )— y (a — b — c )— a + b — c =( b + c — a ) (x + y
— 1) (a — 2b ) (3a + b )— 5 (2b — a ) 2 =(a — 2b ) (11b — 2a )
2 2
9(m + n) —16(m — n)； 、 7
20、如图，在一块边长a
=6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长 b =3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径 d=45cm ，外径D = 75。口长3m 。 利用分解
因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？ （二取3.14，结果保留2位有效数字）
——
l
--
22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第 （5）个等式。
14、nx- ny 2 2
15 、4m -9n
16
、m m-n n n-m 17
、a 3 -2a 2b ab 2
解答题
2
2
2
18、
x 4
-16x
19
2
⑴ x -1 = x 1 x -1
⑵ X4—1 = X2 1 x 1 x -1
8 4 2
⑶ X -仁X 1 x 1 x 1 x -1
16 8 4 2
⑷ X -仁X 1 x 1 x 1 x 1 X -1
⑸ _______________________________________________________
经曲一.
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1.因式分解的对象是多项式；
2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5.结果如有相同因式，应写成幕的形式；
6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7.因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、法;
下面我们一起来回顾本章所学的内容。
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式X5—X4?X3—X2-X—1
时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式=（x5「X4- X3）「（X2「X 1）待定系数法、试除法、拆项（添项）等方
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把X5_X4亠X3禾廿一X 'x - 1分别看成一组, 时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把X5-X4，x3-x2x -1分别看成一组,
= x3(x2_x ■ 1) -(x2_x 1)
=(x3-1)(x2-x 1)
2 2
=(x _1)(x -x 1)(x x 1)
解二：原式=(x5-x4) ? (x3-x2) %x-1)
= x4(x -1) - x2(x —1) (x -1)
=(x —1)(x4X 二1)
=(x —1)[(X42x21) -X2]
=(x —1)(x2-x - 1)(x2x 1)
2.通过变形达到分解的目的
例1.分解因式x33x2-4
解一：将3x2拆成2x2x2，则有
原式=x3亠2x2亠(x2- 4)
= x2(x 2) (x 2)(x -2)
=(x 2)(x2x -2)
=(x -1)(x 2)2
解二：将常数-4拆成一1 一3，则有
原式=x3-1 (3x^—3)
2
=(x -1)(x x 1) (x -1)(3x 3)
2
=(x -1)(x 亠4x 亠4)
=(x -1)(x 2)2
3.在证明题中的应用
例：求证：多项式(x2-4)(x2-10x 21) 100的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：(x2-4)(x2-10x 21) 100
=(x 2)(x -2)(x -3)(x -7) 100
=(x 2)(x -7)(x -2)(x -3) 100
= (x2-5x -14)(x2-5x 6) 100
设y =x2-5x，贝U
原式=(y -14)(y 6) 100 二y2-8y 16 =(y -4)2
'■无论y取何值都有(y -4)2-0
.(x2-4)(x2-10x 21) 100的值一定是非负数
4.因式分解中的转化思想
例：分解因式：(a 2b - c)3-(a - b)3-(b - c)3
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b, b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A b+c=B, a+2b+c=A+B
.原式=(A B)3_A3_B3
=A3- 3A2B - 3AB2- B3-A3- B3
= 3A2B - 3AB 2
= 3AB(A B)
= 3(a - b)(b c)(a 2b c)
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的
中考点拨
在ABC 中，三边a,b,c 满足a2-16b2_c26ab ? iobc =0 求证：a c = 2b
1.若X为任意整数，求证：(7-x)(3-x)(4-x2)的值不大于100。
2.
将a2(a 1)2(a2a)2分解因式，并用分解结果计算62- 72422。
、填空：(30分)
1若x 2
+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于 ___________ <
2、x 2+x+m=(x — n)2 则 m = ______ n = ___
3、2x 3y 2与 12x 6
y 的公因式是—
4、若 x m -y n = (x + y 2)(x-y 2)(x 2 + y 4
)，贝U m= ________ ， n= _________ 。 5、在多项式3y 2
?5y 3
=15y 5
中，可以用平方差公式分解因式的
8、已知 1 x x 2 …? x
2004
- x 2005 = 0,则x
2006
9、若16(a-b)2
+M +25是完全平方式 M= ______________
10、x +6x +(_)=(x+3) , x +(_)+9=(x -3)
11 若 9x 2 +k+y 2是完全平方式，则 k= ___________ o 14、若 x + y = 4,x 2 + y 2
= 6则 xy =
12、 ____________________________________________________ 若x 2 +4x -4的值为0，则3x 2
+12x -5的值是
。
13、 若 x 2 —ax —15 = (x+1)(x-15)贝U a = _ 。15、方程 x 2
+4x = 0，的解是 ___________ <
二、选择题：(10分)
1、多项式-a(a - x)(x-b) ? ab(a - x)(b - x)的公因式是(
)
A 、一 a 、
B 、 一a(a-x)(x-b)
C 、a(a -x)
D 、一a(x-a)
2、若 mx 2 ? kx ? 9 = (2x -3)2
，则 m ， k 的值分别是(
)
A 、m=—2，k=6，
B 、m=2，k=12，
C 、m=—4，k= —12、
D m=4，k=12、
有 __________________________ ，其结果是
6、若x 2
? 2(m -3)x 16是完全平方式，则 m=
2
o 7、x + ( _____ )x+2 = (x + 2)(x + ___ )
3、下列名式：x2—y2,—x2? y2,—x2—y2,（—x）2? （_y）2,x4一 y4中能用平方差公式分解因式的有（）
A、1 个，
B、2 个，
C、3 个，
D、4 个
1
4、计算（1-尹）（1 -
1 1
…弋亏）（1-护的值是（
B、丄,C丄D.
20 10 11 20
、分解因式：（30分）
“ 4 小 3 “ 2 1 、 x -2x -35x
6^2
2、 3x - 3x
2 2
3、25(x _2y) _4(2y _x)
4 2
4、9x - 36y
5、x2 _4xy _1 4y2
6、x5 _x
7、ax2 - bx2 - bx ax b - a 4 2
8、x -18x281
四、代数式求值（15分）
1
1、已知 2x-y ， xy =2，求 2x4y3-x3y4的值
2、若x、y互为相反数，且(x 2)2 -(y 1)2=4，求x、y 的值
2 2 2 2 2
3、已知 a ? b =2，求(a -b ) -8(a b )的值
3
(1)
0.75 3.66
2.66 4
六、试说明：（8分）
1、对于任意自然数n , （n 7）2
-（n-5）2
都能被动24整除
2、两个连续奇数的积加上其中较大的数， 所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积
七、利用分解因式计算（8分）
1、 一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）
2、 正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。
八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述: 甲：这是一个三次四项式 乙：三次项系数为1，常数项为1 丙：这个多项式前三项有公因式
五、计算:
(15)
(3) 2 562
8 56 22 2 442
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式
经典四:
因式分解
一、 选择题
1 代数式 a 3
b 2
-
1
a 2
b 3
, Z a 3b 4
+ a 4
b ；a 4b 2
— a 2b 4
的公因式是(
)
2 2
3 2
2. 2
2 3
3 3
A 、a b
B 、a b
C 、a b
D 、a b
2、 用提提公因式法分解因式 5a(x — y) — 10b ? (x — y)，提出的公因式应当为( )
A 、5a — 10b
B 、5a + 10b
C 、5(x — y )
D 、y — x
3
2
3、 把一8m + 12m + 4m 分解因式，结果是(
)
2
2
A 、一 4m(2m — 3n)
B 、一 4m(2m + 3m- 1) 2
2
C 、一 4m(2m — 3 m- 1)
D 、一 2m(4m — 6m + 2)
4、把多项式—2x 4 — 4x 2分解因式，其结果是(
)
A 、2( — x 4— 2x 2)
B 、一 2(x 4 + 2x 2)
C 、一 x 2(2x 2 + 4)
D 、 — 2x 2(x 2 + 2)
6、 把16 — x 4
分解因式，其结果是( ) A (2 — x)4 B 、(4 + x 2)( 4 — X 2)
2
3
C (4 + x)(2 + x)(2 — x)
D 、(2 + x) (2 — x) 7、 把a 4
— 2a 2b 2
+ b 4
分解因式，结果是( ) 9、若9a + 6（k — 3）a + 1是完全平方式，则 k 的值是（ ）
A 、土 4
B 、土 2
C 、3
D 、4 或 2
5
、 A /
-、
1998 / 亠、1999 “ 十 /
(—2) +(— 2)等于( 一 2伯98 B 21998 C
、 1999 一 2
1999 (4 分)
A a 2(a 2— 2b 2) + b 4
B 、(a 2— b 2)2 &把多项式2x 2
— 2x + 1
分解因式,
2
1、2 1、2 C 、(a — b)
D 、(a + b)2(a — b)2
其结果是（ )
1 .2
C 、（x —匚）
D 、1 (x — 1)2
2 2
10、一（2x—y）（2x+ y）是下列哪个多项式分解因式的结果（）
A、4x2—y2 B 、4x2+y2 C 、一4x2—y2 D 、一4x2+ y2
初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)
初中阶段因式分解的常用方法（例题详解） 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1.因式分解的对象是多项式； 2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5.结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7.因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法. 如多项式am+bm+cm=m(a+b+c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2, a3±b3=(a±b)(a2ab+b2) 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am+an+bm+bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑 两组之间的联系。 解：原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式！ =(m+n)(a+b) 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by) =2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b) =(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y) 练习：分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1
A因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)
A因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 22a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 22222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、 三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy
因式分解16种方法
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
《因式分解-提公因式法》知识点归纳
《因式分解-提公因式法》知识点归纳★★ 知识体系梳理 ◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积） 注意： 、因式分解对象是多项式； 2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止； 3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性； ◆ 分解因式的作用 分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。 ◆ 分解因式的一些原则 （1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。 （2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个
多项式因式都再不能分解为止。 （3）首项为负的添括号原则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。 ◆ 因式分解的首要方法—提公因式法 、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的 因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。 3、使用提取公因式法应注意几点： （1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。 （2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。 ◆ 提公因式法分解因式的关键： 、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
因式分解最牛最全的方法
因式分解 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因 式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3 a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有 b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+
初一数学因式分解的常用方法(最新整理)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知是的三边，且， 则的形状是（ ）a b c ，，ABC ?2 2 2 a b c ab bc ca ++=++ABC ?A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=) ()(bn bm an am +++ = 每组之间还有公因式！ )()(n m b n m a +++ = ))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式= 原式=)5()102(bx by ay ax -+-) 510()2(by ay bx ax +-+- = =)5()5(2y x b y x a ---)2(5)2(b a y b a x --- = =)2)(5(b a y x --) 5)(2(y x b a --练习：分解因式1、 2、bc ac ab a -+-2 1 +--y x xy
因式分解的方法与技巧
因式分解应具有四种意识 一、优先意识 按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识 例1．分解因式：21222 x y xy y -+ 解： 二、换元意识 通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的 例2．分解因式：2 5()7()6x y x y ---- 解： 三、完整意识 依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 例3．分解因式：22222()4+-a b a b 解： 四、应用意识 例4．生产一批高为200 mm 的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（501±）mm ，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（π取3.14）？ 解： 因式分解中的数学思想 众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明： 一、整体思想 所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2－1)2+6(1－x 2)+9分解因式. 分析 把(x 2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到 分解彻底的目的 解 二、类比思想 类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式：（1）x 3y －xy 3；（2）abx 2－2abxy +aby 2. 分析（1）对比平方差公式可先提取xy 后，（2）对比完全平方公式可先提取ab ，.
初中常用因式分解公式
初中常用因式分解公式 2013.6.6 一．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 二．因式分解方法： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有相同因式，那么就可以把这个相 同因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x2-2x 解：x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b 解：a2 +4ab+4b =（a+2b）（a+2b）完全平方公式 最常用的公式： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式！ 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法，然后就能将其因式分解。
因式分解的通用方法(目前最牛完整的课程教案)(3)
因式分解的常方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 用方法 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后
《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解及例题演练)
《因式分解》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算； 2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法； 3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是 除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边 是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减） 这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =?? +=? ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点五、因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
因式分解公式大全
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
因式分解的方法与技巧
因式分解的方法与技巧Prepared on 21 November 2021
因式分解应具有四种意识 一、优先意识 按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识 例1．分解因式：21222 x y xy y -+ 解： 二、换元意识 通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的 例2．分解因式：25()7()6x y x y ---- 解： 三、完整意识 依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 例3．分解因式：22222()4+-a b a b 解： 四、应用意识 例4．生产一批高为200mm 的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（501±）mm ，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（π取3.14） 解： 因式分解中的数学思想 众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明： 一、整体思想 所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2－1)2+6(1－x 2)+9分解因式. 分析 把(x 2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的 解 二、类比思想 类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式：（1）x 3y －xy 3；（2）abx 2－2abxy +aby 2.
因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳 一、因式分解的概念与原则 1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。 2、原则： （1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）； （2）结果最后只留下小括号； （3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号； （4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简； （5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前； （6）相同因式的乘积写成幂的形式； （7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。 3、因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解； （4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。” 二、因式分解的方法 1、提取公因式 公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。 确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。 提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。 注意事项： （1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；
（2）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1 不可丢掉； （3）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。 例1、分解因式：6a 2 b–9abc+3ab 解：原式=3ab (2a-3c+1 ) 例2、分解因式：–12x 3 y 2 +4x 2 y 3 解：原式=–4x 2 y 2 ( 3x–y) 总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。 2、公式法 分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。 平方差a2 –b 2 = (a+b ) (a– b ) 完全平方(a±b )2 =a 2 +b 2 ±2ab (a+b+c ) 2 =a 2 +b 2 +2ab+2bc+2ca 立方差a3 –b 3 = (a– b ) (a 2 +b 2 +ab ) 立方和a3 +b 3 = (a+b ) (a 2 +b 2 – ab )
因式分解的9种方法
因式分解的多种方法——--知识延伸，向竞赛过度 1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握.常用的公式:完全平方公式、平方差公式 例一：0322 =-x x 解：x(2x-3）=0， x1=0，x2=3/2这是一类利用因式分解的方程. 总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x —a ）因式,这对我们后面的学习有帮助。 2. 公式法 常用的公式:完全平方公式、平方差公式。注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。 例二：42-x 分解因式 分析:此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =（a+b)(a —b) 2解:原式=（x+2）(x —2） 3. 十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把3722+-x x 分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2＝1×2＝2×1; 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1）=（-1）×（—3）. 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=（x —3)(2x —1). 总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2，把a1，a2,c1,c2,排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
因式分解-人大附中内部资料
牛牛秘籍3 因式分解（上）
目录 5.1基本概念 (2) 5.2提公因式法 (2) 5.3公式法 (4) 5.4选主元 (5) 5.5分组分解法....................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.6拆添项法........................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.7十字相乘法....................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.8重组重解........................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.9双十字相乘法................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.10换元法............................................................................................................................. 错误！未定义书签。 5.11因式定理......................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.12待定系数法..................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.13对称式与轮换式 ............................................................................................................ 错误！未定义书签。
因式分解方法与技巧
因式分解方法与技巧 因式分解是初二学生学习的一个难点，有些学生在学习时感到不知所措，究其原因是没有掌握因式分解的基本方法。故本人对因式分解的常用方法作了一个小结，希望能对同学们有所帮助。 专题一 分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。 常见错误： 1、漏项，特别是漏掉 2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化 3、分解不彻底 首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底” ［例题］把下列各式因式分解： 1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y) 2 2.a a -5 3.3(x 2-4x)2-48 [解析]1中()()22x y y x -=-,可以直接提取公因式(y-x);2、3中先提取公因式，再用平方差公式分解 [答案]1 原式=x(y-x)+y(y-x)-(y-x)2 =(y-x)[x+y-(y-x)] =2y(y-x) 2 a 5-a=a(a 4-1)=a(a 2+1)(a 2-1)=a(a 2+1)(a+1)(a-1) 3原式=3[(x 2-4x)-16]=3(x 2-4x+4)(x 2-4x-4) [点拨]看出其中所含的公式是关键 专题二 二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法 2平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。 平方差公式运用时注意点： 根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式； B 、 两项的符号相反； C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式； D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式； E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的药先提取公因式 [例题]分解因式：3(x+y)2-27 [答案]3（x+y ）2-27=3[(x+y)2-9]=3[(x+y)2-32 ]=3()()33-+++y x y x [点拨]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 专题三
因式分解常用方法总结
因式分解常用方法总结 【知识回顾】 分式方程的解法及注意（增根问题） 例1、已知关于x 的分式方程a x a =++1 12无解，试求a 的值（提示：先把x 求出来，即用a 来表示x ） 【新知识讲解】 一、分解因式与整式乘法的关系. 因式分解的特点：它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. 例： 由（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式； 由a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这 两个过 程正好相反. 二、分解因式常用的方法. 1、找公因式的一般步骤. （1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的. （4）所有这些因式的乘积即为公因式. 例2：993－99能被100整除吗？还能被那些数整除? 2、公式法： (1）平方差：a 2—b 2=（a +b ）（a —b ） 例3：1）25－16x 2; 2）9a 2－4 1b 2. 3）9（m +n ）2－（m －n ）2 4）2x 3 －8x . （2）完全平方和：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2 （3）完全平方差：（a —b ）2=a 2—2ab +b 2
三、十字相乘法分解因式：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 例4、在多项式232++x x 分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。2x 分解为x x ?，常数项2分解12?，把它们用交叉线来表示： 所以)2)(1(232++=++x x x x 同样：q px x ++2=))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++可以用交叉线来表示： 其中ab q =，b a p += 例5：用十字相乘法分解因式： （1）1272+-x x （2）1242--x x （3）1282++x x （4）12112--x x 四、用分组分解法分解因式 （1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利 用分式法分解， 但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如： 22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 （2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 （3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 例6 把下列各式分解因式 （1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102 （3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++ x x +2 +1 x x +a +b