【数学】2015-2016年江西省抚州市临川二中高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2016-2017年江西省抚州市临川十中高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)
2016-2017学年江西省抚州市临川十中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知命题P：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，则命题P的否定为（）A．∀x∈R，x2+2x+3＜0 B．∃x∈R，x2+2x+3≥0C．∃x∈R，x2+2x+3＜0 D．∃x∈R，x2+2x+3≤02．（5分）设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣13．（5分）与向量=（12，5）平行的单位向量为（）A．B．C．或D．或4．（5分）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n5．（5分）下列各命题中正确的是（）①若命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；③“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分不必要条件；④命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0且n≠0”．A．②③B．①②③C．①②④D．③④6．（5分）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线7．（5分）已知二面角α﹣AB﹣β是直二面角，P为棱AB上一点，PQ、PR分别在平面α、β内，且∠QPB=∠RPB=45°，则∠QPR为（）A．45°B．60°C．120° D．150°8．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若，则弦长|AB|等于（）A．2 B．4 C．6 D．89．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A．2 B．C．﹣1 D．+111．（5分）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，1212．（5分）设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）已知双曲线标准方程为：=1（a＞0，b＞0），一条渐近线方程y=3x，则双曲线的离心率是．14．（5分）若命题“存在x∈R，ax2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，设点Q是曲线+y2=1上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值为．16．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知条件p：≤﹣1，条件q：x2+x＜a2﹣a，且p是q的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），试求m的值．20．（12分）已知向量与．（Ⅰ）若在方向上的投影为，求λ的值；（Ⅱ）命题P：向量与的夹角为锐角；命题q：，其中向量，=（）（λ，α∈R）．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求λ的取值范围．21．（12分）如图，四棱锥S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD=DC=，SA=SC=SD=2．（I）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．22．（12分）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，且满足（O为坐标原点），求线段AB长度的取值范围．2016-2017学年江西省抚州市临川十中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知命题P：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，则命题P的否定为（）A．∀x∈R，x2+2x+3＜0 B．∃x∈R，x2+2x+3≥0C．∃x∈R，x2+2x+3＜0 D．∃x∈R，x2+2x+3≤0【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可知：∀x∈R，x2+2x+3≥0的否定为∃x∈R，x2+2x+3＜0故选：C．2．（5分）设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣1【解答】解：把y=0代入2x+3y﹣8=0得：2x﹣8=0，解得x=4，∴抛物线的焦点坐标为（4，0），∴抛物线的准线方程为x=﹣4．故选：A．3．（5分）与向量=（12，5）平行的单位向量为（）A．B．C．或D．或【解答】解：设与向量=（12，5）平行的单位向量，所以=，或故选：C．4．（5分）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解答】解：对于A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，则n∥α或n与α相交，故A错；对于B．如果m⊂α，n与α相交，则m，n是相交或异面直线，故B错；对于C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故C对；对于D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，则m∥n或m，n相交，故D错．故选：C．5．（5分）下列各命题中正确的是（）①若命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；③“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分不必要条件；④命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0且n≠0”．A．②③B．①②③C．①②④D．③④【解答】解：①若命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题；故①错误，②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；故②正确，③由x2﹣3x﹣4=0得x=4或x=﹣1，则“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分不必要条件；故③正确，④命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”故④错误，故正确的是②③，故选：A．6．（5分）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；故选：B．7．（5分）已知二面角α﹣AB﹣β是直二面角，P为棱AB上一点，PQ、PR分别在平面α、β内，且∠QPB=∠RPB=45°，则∠QPR为（）A．45°B．60°C．120° D．150°【解答】解：以正方体的模型，构造满足条件的几何图形如下图所示连接QR，由正方体的性质可得△PQR为等边三角形故∠QPR=60°故选：B．8．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若，则弦长|AB|等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴2p=4，p=2，可得抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣1），由消去y，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1x2=1，∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，∴设P的坐标为（x0，y0），可得y0=（y1+y2），∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=k•﹣2k=，得到y0==，所以x0==，可得P（，）．∵，∴=，解之得k2=2，因此x1+x2==4，根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=4+2=6．故选：C．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：设长方体的高为1，连接B1A、B1C、AC∵B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，∴∠B1CB=60°，∠C1DC=45°∴C1D=，B1C=，BC=，CD=1则AC=∵C1D∥B1A∴∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角由余弦定理可得cos∠AB1C=故选：A．10．（5分）已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A．2 B．C．﹣1 D．+1【解答】解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：﹣1=．故选：C．11．（5分）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12【解答】解：首先将P点固定于一处，设两圆心分别为C1，C2，则r1=1，r2=c且C1，C2为椭圆的焦点，PC1≤PM+MC1PC2≤PN+NC2PM+PN=PM+MC1+PN+NC2﹣（MC1+NC2）≥PC1+PC2﹣（MC1+NC2）=2a﹣（r1+r2）=10﹣2=8所以，PM+PN的最小值为8．PM+PN=PM+MC1+PN+NC2﹣（MC1+NC2）≤PC1+PC2+（MC1+NC2）=2a+（r1+r2）=10+2=12．所以，PM+PN的最大值为12．故选：C．12．（5分）设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（a﹣x，﹣y），∵，∴（a﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=0，y2=ax﹣x2＞0，∴0＜x＜a．代入=1，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，∵f（0）=﹣a2b2＜0，f（a）=0，如图：△=（a3）2﹣4×（b2﹣a2）×（﹣a2b2）=a2（a4﹣4a2b2+4b4）=a2（a2﹣2b2）2≥0，∴对称轴满足0＜﹣＜a，即0＜＜a，∴＜1，＞，又0＜＜1，∴＜＜1，故选D．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）已知双曲线标准方程为：=1（a＞0，b＞0），一条渐近线方程y=3x，则双曲线的离心率是．【解答】解：∵线标准方程为：=1（a＞0，b＞0）的渐近线为为y=±x，∴=3，则离心率e====，故答案为：14．（5分）若命题“存在x∈R，ax2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：∵命题“存在x∈R，使ax2+4x+a≤0”的否定是“任意实数x，使ax2+4x+a＞0”命题否定是真命题，∴，解得：a＞2，故答案为：（2，+∞）．15．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，设点Q是曲线+y2=1上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值为．【解答】解：∵点Q是曲线+y2=1上的一个动点，∴设Q（，sinθ），点Q到直线x﹣y+4=0的距离d==，∴当sin（）=﹣1时，它到直线l的距离的最小值为．故答案为：．16．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为2．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，∴=，又离心率e==2，∴==+≥2=2，当且仅当b=3，a=，时，取得最小值2．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知条件p：≤﹣1，条件q：x2+x＜a2﹣a，且p是q的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：由解得p：﹣3≤x＜1，由x2+x＜a2﹣a得（x+a）[x﹣（a﹣1）]＜0，当时，可得q：∅；当时，可得q：（a﹣1，﹣a）；当时，可得q：（﹣a，a﹣1）．由题意得，p是q的一个必要不充分条件，当时，满足条件；当时，（a﹣1，﹣a）⊊[﹣3，1）得，当时，（﹣a，a﹣1）⊊[﹣3，1）得．综上，a∈[﹣1，2]．18．（12分）已知函数（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若m=1，则要使函数有意义，需x2﹣x﹣1＞0，解得x∈∴若m=1，函数f（x）的定义域为．（2）若函数f（x）的值域为R，则x2﹣mx﹣m能取遍一切正实数，∴△=m2+4m≥0，即m∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）∴若函数f（x）的值域为R，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）（3）若函数f（x）在区间上是增函数，则y=x2﹣mx﹣m在区间上是减函数且x2﹣mx﹣m＞0在区间上恒成立，∴≥1﹣，且（1﹣）2﹣m（1﹣）﹣m≥0即m≥2﹣2且m≤2∴m∈19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），试求m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4，∴c=，a=2，∴b=1，∴椭圆C的标准方程为=1；（Ⅱ）直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），代入椭圆方程得17x2﹣16mx+4m2﹣4=0，则x1+x2=，x1x2=，①由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=x1x2+（﹣2x1+m）（﹣2x2+m）=5x1x2﹣2m（x1+x2）+m2=0，将①代入，得5×﹣2m×+m2=0，∵m＞0，∴m=2．20．（12分）已知向量与．（Ⅰ）若在方向上的投影为，求λ的值；（Ⅱ）命题P：向量与的夹角为锐角；命题q：，其中向量，=（）（λ，α∈R）．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，在方向上的投影=，即=．所以1﹣2λ=5，∴λ=﹣2．（Ⅱ）1°，若p为真，则＞0，且，即1﹣2λ＞0，且λ≠﹣2．2°若p为真，由得λ2﹣cos2α=λ+2sinα，∴λ2﹣λ=cos2α+2sinα=1﹣sin2α+2sinα=﹣（sinα﹣1）2+2．∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣2≤λ2﹣λ≤2，∴﹣1≤λ≤2．若p真q假，则∴λ＜﹣1且λ≠﹣2．若p假q真，则∴≤λ≤2综上得λ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）∪[，2]．21．（12分）如图，四棱锥S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD=DC=，SA=SC=SD=2．（I）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC的中点O，连接OD，∵AD=DC，∴AC⊥OD，又∵SA=SC，∴AC⊥OS，由OD∩OS=O，得AC⊥平面SOD，∵SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD．（Ⅱ）解：由题意知OA=OC=OD，∵SA=SC=SD，∴O是点S在平面ABCD上的射影，故SO⊥平面ABCD，连接BO，则∠SBO为直线SB与平面ABCD所成的角，由题意知∠BAC=90°，∠ACB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2，∴BO=，在Rt△SBO中，SB==2，∴cos∠SBO==，∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值为．22．（12分）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，且满足（O为坐标原点），求线段AB长度的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动点N（x，y），A（x0，y0），∵AM⊥x轴于点M，∴M（x0，0），设圆C1的方程为x2+y2=r2，由题意得，∴圆C1的方程为x2+y2=9．由题意，，得，∴，即，将A（）代入x2+y2=9，得动点N的轨迹方程为；（Ⅱ）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．∴△=64k2﹣8m2+32＞0．，（*）∵，∴，则x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，化简可得，．将（*）代入可得3m2=8k2+8．又∵|AB|=．将代入，可得==．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴|AB|．∴．（2）若直线l的斜率不存在，则OA所在直线方程为y=x，联立，解得A（），同理求得B（），求得．综上，得．。
2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}，则A∩B=()A. {2}B. {0,2}C. (0,2]D. [0,2]2.若复数z=1−2i2+i+2，则z在复平面内对应的点是()A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,1)D. (−2,−1)3.设函数f(x)=2f(1x)+1，则f(10)等于()A. 1B. −1C. 10D.4.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A. y=e xB. y=tanxC. y=x3−xD. y=ln2+x2−x5.已知sinθ+cosθ=15，θ∈(0,π)，则tanθ=()A. −43B. 43C. −34D. 346.已知函数f(x)=2x+3，若f(a)=1，则a=()A. −2B. −1C. 1D. 27.设命题甲：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立，命题乙：对数函数y=log(4−2a)x在(0,+∞)上递减，那么甲是乙的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.函数f(x)=sinxln(x+2)的图象可能是()A. B.C. D.9.设tan(α−β)=1,tan(β+π4)=2,则tanα等于()A. 1B. 2C. 3D. 510.设a=log43，b=log52，c=log85，则()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b11.若函数f(x)=sin(ωx+π6)−cosωx的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f(x)的一个单调增区间为()A. (−π6,π3) B. (−π3,π6) C. (π6,2π3) D. (π3,5π6)12.己知函数f(x)=lnx+1lnx，则下列结论中正确的是()A. 若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1,x2)内是增函数B. 若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1,x2)内是减函数C. ∀x>0，且x≠1，f(x)≥2D. ∃x0>0，f(x)在(x0,+∞)上是增函数二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.∫(12x2+3x)dx=________．14.已知向量a⃗=(1,−3)，b⃗ =(m,2)，若a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，则m=______．15.曲线f(x)=e3x在点(0,1)处的切线方程为______ ．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC中点，若A=π3且AD=3，则bc 的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=4cosx⋅sin(x−π6)−1．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若满足f(B)=0，a=2，且D是BC的中点，P是直线AB上的动点，求|CP|+|PD|的最小值．18.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE和ΔBCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC;(2)若M 是PC 的中点，点N 在线 段PA 上，且满足PN =2NA ，求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值．19. 已知在等差数列{a n }中，a 1=4，a 8=25，b n =1a n a n+1(1)求a n 的通项公式；(2)设数列{b n }的前nZ 项和为T n ，证明：T n <112．20. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F(0,1)，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交圆F ：x 2+(y −1)2=1于M ，N 两点(A,M 两点相邻)． (Ⅰ)若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当λ∈[12,23]时，求k 的取值范围； (Ⅱ)过A ，B 两点分别作曲线C 的切线l 1，l 2，两切线交于点P ，求△AMP 与△BNP 面积之积的最小值．21.已知3f(x)+f(−x)=5x，求f(x)的解析式．22.[选修4−4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=t,y=t2,(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin(θ−π4)=√2．求：(1)直线l的直角坐标方程；(2)直线l被曲线C截得的线段长．23.已知函数f(x)=|2x−1|+1．(1)解不等式f(x)≤6；(2)若存在实数n使f(n)+f(−n)≤m成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}={0,1，2}，则A∩B={0,2}．故选：B．根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与计算问题，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简答题．【解答】解：z=1−2i2+i +2=(1−2i)(2−i)(2−i)(2+i)+2=2−i，所以在复平面上对应点为(2,−1)，故选B．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的解析式，属于基础题．【解答】解：由f(x)=2f(1x )+1，得f(1x)=2f(x)+1，解得f(x)=−1，则f(10)=−1．故选B．4.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性的判定，属于基础题目．【解答】解：A ，函数y =e x 为非奇非偶函数，故A 选项不符．B ，y =tanx 为奇函数，但不是定义域内的增函数，故B 选项不符．C ，y =x 3−x ，y′=3x 2−1，不能得出y′>0恒成立，所以该函数在其定义域内不是增函数 ，故C 选项不符．D ，y =ln 2+x2−x 为奇函数且为定义域内的增函数.故D 选项符合． 综上只有D 符合题意． 故选D ．5.答案：A解析：解：∵sinθ+cosθ=15，θ∈(0,π )， ∴(sinθ+cosθ)2=125=1+2sinθ cosθ， ∴sinθcosθ=−1225<0.由根与系数的关系知，sinθ，cosθ是方程x 2−15x −1225=0的两根，解方程得x 1=45，x 2=−35．∵sinθ>0，∴sinθ=45，cosθ=−35． ∴tanθ=−43，故选：A ．本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意三角函数的各象限的三角函数的符号，考查计算能力．6.答案：B解析： 【分析】本题考查函数值的求法，根据f(a)=1得到2a +3=1，即可求出答案，属于基础题． 【解答】解：函数f(x)=2x +3，若f(a)=1，则2a +3=1， 解得a =−1． 故选B ． 7.答案：B解析：解：若关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立，则判别式△<0，即4a2−4×4<0，所以a2−4<0，解得−2<a<2.即甲：−2<a<2．若对数函数y=log(4−2a)x在(0,+∞)上递减，则0<4−2a<1，解得32<a<2.即乙：32<a<2．所以甲是乙的必要不充分条件．故选：B．先求出命题甲和乙成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用二次函数和对数函数的性质是解决本题的关键．8.答案：A解析：【分析】本题考查了由函数解析式判断函数图像，属于中档题．【解答】解：函数f(x)=sinxln(x+2)，x∈(−2,1)，f(x)>0，故排除C，D．且f(0)=0，故排除B，故选A．9.答案：B解析：因为tan(α+π4)=tan[(α−β)+(β+π4)]=tan(α−β)+tan(β+π4)1−tan(α−β)tan(β+π4)=1+21−1×2=−3，所以tan(α+π4)=tanα+tanπ4 1−tanαtanπ4=tanα+11−tanα=−3,解得tanα=2．10.答案：B解析：解：∵a=log43=lg3lg4=lg27lg64，c=log85=lg5lg8=lg25lg64；∴a>c；又log52<log5512=12，log85>log8812=12；∴c>b；∴a>c>b；∴b<c<a．故选：B．根据换底公式即可得出a=lg27lg64,c=lg25lg64，从而得出a>c，容易得出log52<12,log85>12，从而得出c>b，这样即可得出a，b，c的大小关系．考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．11.答案：A解析：解：f(x)=sin(ωx+π6)−cosωx=√32sinωx+12cosωx−cosωx=√32sinωx−12cosωx=sin(ωx−π6)，∵f(x)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2， ∴函数的周期T =2×π2=π，即2πω=π，∴ω=2， 则f(x)=sin(2x −π6)，由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z 解得：x ∈[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z ， 当k =0时，增区间为(−π6,π3)，故选：A ．根据两角和差的正弦公式以及三角函数的辅助角公式化简f(x)，结合函数的性质求出函数的周期和ω，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的单调性的判断，利用两角和差的正弦公式将函数进行化简求出函数f(x)的解析式是解决本题的关键． 12.答案：D解析：解：∵f(x)=lnx +1lnx (x >0且x ≠1)， ∴f′(x)=1x −1x(lnx)2=0，∴x =e ，或x =1e当x ∈(0,1e )时，f′(x)>0，；当x ∈(1e ,1)，x ∈(1,e)时，f′(x)<0；当x ∈(e,+∞)时，f′(x)>0． 故x =1e 和x =e 分别是函数f(x)的极大值点和极小值点，而函数f(x)在(1e ,e)上单调递减，故A 、B 错误；当0<x <1时，lnx <0，f(x)<0，不满足不等式，故C 错误； 只要x 0≥e ，f(x)在(x 0,+∞)上时增函数，故D 正确． 故选：D ．求导数，可得(1e ,e)上函数单调递减，(0,1e )，(e,+∞)上函数单调递增，即可判断． 本题考查命题的真假判断，考查导数知识的运用，正确求导是关键．13.答案：136解析： 【分析】本题考查微积分基本定理，属于基础题． 根据微积分基本定理即可直接求解． 【解答】解：∫(102x 2+3x)dx =(2x 33+3x 22)|01=23+32=136．故答案为136．14.答案：−4解析：解：a ⃗ +b ⃗ =(m +1,−1)；∵a ⃗ ⊥(a ⃗ +b⃗ )； ∴a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=m +1+3=0； ∴m =−4． 故答案为：−4． 可求出a ⃗ +b ⃗ =(m +1,−1)，根据a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )即可得出a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=0，进行数量积的坐标运算即可求出m 的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算． 15.答案：3x −y +1=0解析： 【分析】由导数的几何意义可知曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率k =f′(0)，从而可求切线方程 本题主要考查导数的几何意义：导数在某点的切线的斜率即为改点的导数值的应用，属于基本概念的简单应用． 【解答】解：∵f(x)=e 3x ， ∴f′(x)=3e 3x ， ∴f′(0)=3，∴曲线 f(x)=e 3x 在点(0,1)处的切线方程为y −1=3(x −0)，即3x −y +1=0． 故答案为3x −y +1=0． 16.答案：36解析：解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 为BC 中点， 由于A =π3且AD =3，则：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )2， 整理得：9=14(a 2+b 2−2abcos π3)， 所以：36=(b 2+c 2−bc)≥2bc −bc =bc ，故：bc 的最大值为36． 故答案为：36直接利用AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )和向量的数量积的应用及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.答案：解：(1)函数f(x)=4cosx⋅sin(x−π6)−1=4cosx(√32sinx−12cosx)−1=√3sin2x−cos2x−2 =2sin(2x−π6)−2；由于−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z；所以f(x)的增区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z；(2)由f(B)=2sin(2B−π6)−2=0得2B−π6=π2，所以B=π3；作C关于AB的对称点C′，连C′D，C′P，C′B，如图所示；(C′D)2=BD2+(BC′)2+BD⋅BC′=7；CP+PD=C′P+PD≥C′D=√7，C′，P，D三点共线时取得最小值√7．解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．(1)化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出f(x)的增区间；(2)由题意求得B的值，作C关于AB的对称点C′，利用对称关系求得CP+PD的最小值．18.答案：解：(1)取AC的中点O，连接OP，OB，则有∵PA=PC且O为AC的中点，∴OP⊥AC；同理，OB⊥AC．∴AC⊥平面POB，则有∠POB为平面P−AC−B的平面角，又∵在△POB中，OP=OB=1，BP=√2，则有OP2+OB2=BP2，∴∠POB=90°∴平面PAC⊥平面ABC．(2)由(1)可知，OP⊥平面ABC，则有OP⊥OC，OP⊥OB ，又∵OB ⊥OC ，所以，建立如右图所示的空间直角坐标系．则有，OA =OB =OC =OP =1，∴A(−1,0，0)，B(0,1，0)，C(1,0，0)，P(0,0，1)，∵M 是PC 的中点，∴M(12,0,12)，又∵PN =2NA ，∴N(−23,0,13)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−76,0,−16) 设平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则有{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，∴n⃗ =(−1,1,1)， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，sinθ=∣∣cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >∣=∣∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗⃗ ∣∣∣∣=√65． 故直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值为√65．解析：此题是一道立体几何中档题，第一小题用几何法，证明面面垂直；第二小题用向量法更为方便．(1)利用线面垂直来证面面垂直；(2)利用向量法来求直线与平面所成的角。
2020-2021学年抚州市临川二中实验学校高三上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年抚州市临川二中实验学校高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={−2,−1,0，1}，B ={x|x 2+x −2<0}，则A ∩B =( )A. {0}B. {0,1}C. {−1,0}D. {−2,−1,0，1}2.欧拉公式e ix =cosx +isinx(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将复数、指数函数与三角函数联系起来，将指数函数的定义域扩充为复数，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天骄”，根据欧拉公式可知，复数e −2i 所对应的点在复平面中位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知函数的定义域为，那么的定义域为( )A.B.C.D.4.已知函数f(x)=e x −e −x ，若f(log 12m)+f(1−2log 12m)<0，则实数m 的取值范围是( ) A. (−∞,12)B. (12,+∞)C. (12,2)D. (0,12)5.如果sin(π+a)=−12，那么cos(3π2−a)等于( )A. 12B. −12C. √32 D. −√326.下列两个函数相等的是( )A. y =与y =xB. y =与y =|x|C. y =|x|与y =D. y =与y =7.已知角A 、B 是△ABC 的内角，则“A <B ”是“sinA <sinB ”的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.下列函数f(x)中，其图象上任意一点P(x,y)的坐标都满足条件y ≤|x|的函数是( )A. f(x)=x 3B. f(x)=√xC. f(x)=e x −1D. f(x)=ln(x +1)9. 在△ABC 中，若，则△ABC 的形状是( )A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 不能确定10. 若集合A ={y|y =x 2+1}，B ={x|y =log 2(x +2)}，则∁B A =( )A. (−2,1)B. (−2,1]C. [−2,1)D. 以上都不对11. 已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0).若关于x 的方程f(x)=1在区间[0,π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 函数f(x)=x 2−2x+4x(x ∈[1,3])的值域为( )．A. [2,3]B. [2,5]C. [73,3]D. [73,4]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若∫(10x −k)dx =32，则实数k 的值为______． 14. 已知O 为ABC 的外心，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10√2,，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且，则|AO⃗⃗⃗⃗⃗ |=．15. 曲线y =2lnx 上的点到直线2x −y +1=0的最短距离是______ ． 16. 若△的内角的对边分别为，且成等比数列，，则的值为三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里⋅(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船⋅18. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．(1)求异面直线AD1与BD所成的角(2)求证：C1O//面AB1D1．19. 已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d>0，且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前3项．(Ⅰ)求数列{a n}与{b n}的通项公式；=(a n+3)⋅log3b n，求数列{c n}的前n项和．(Ⅱ)若数列{c n}对于任意自然数n均有1c n20. 如图所示，已知过抛物线x 2=4y 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．(1)求证：以AF 为直径的圆与x 轴相切；(2)设抛物线x 2=4y 在A ，B 两点处的切线的交点为M ，若点M 的横坐标为2，求△ABM 的外接圆方程：(3)设过抛物线x 2=4y 焦点F 的直线l 与椭圆3y 24+3x 22=1的交点为C 、D ，是否存在直线l 使得|AF|⋅|CF|=|BF|⋅|DF|，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=xe x −ax +1．(1)当a =1时，求y =f(x)在x ∈[0,1]上的值域； (2)试求y =f(x)零点个数，并证明你的结论．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：{x =1+45ty =1+35t.(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2sin(π2−θ)． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并指明C 是什么曲线； (2)设点P(1,1)，求|PA|·|PB|的值．23. 已知函数f(x)=|x +3|+|2x −4|．(Ⅰ)求不等式f(x)>8的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)+m >|x +3|−x 2的解集为R ，求实数m 的取值范围．。
江西省抚州市临川二中届高三数学上学期第二次月考试卷文(含解析)【含答案】
江西省抚州市临川二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}，则M∩N=( )A．[0，）B．（﹣，1] C．[﹣1，）D．（﹣，0]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解一元二次不等式求得N，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N．解答：解：集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，则M∩N={x|0≤x＜}，故选：A．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．在下列区间中函数f（x）=e x+2x﹣4的零点所在的区间为( )A．B．C．（1，2）D．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．解答：解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣2＞0，所以零点在区间（）上，故选B．点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )A．34 B．55 C．78 D．89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．专题：算法和程序框图．分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．解答：解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．4．已知f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2+3，则f（7）=( )A．﹣5 B．5 C．﹣101 D．101考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=﹣f（x），可得f（x）是以4为周期的周期函数，进而得f（7）=﹣f（1），由奇函数f（x）在x∈（0，2）时的解析式f（x）=2x2+3，可求f（1）的值．解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数；∴f（7）=f（8﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），∵x∈（0，2）时f（x）=2x2+3，∴f（1）=5，则f（7）=﹣5．故选：A．点评：本题考查函数的周期性的定义、应用，及函数的奇偶性，解题的关键是求出函数的周期，属于中档题．5．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确．解答：解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B点评：本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．6．已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=( ) A．3B．2C．D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得．解答：解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，解得||=3或||=﹣（舍），故选A．点评：本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．7．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是( ) A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得 y=，显然定义域为R，且过点（0，1），当x＞0时，y=，是减函数，从而得出结论．解答：解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则得 y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选B．点评：本题主要考查指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合应用，以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题，属于基础题．8．已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=•f，b=（ln2）•f（ln2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令g（x）=xf（x），得g（x）是偶函数，由x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，得函数g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，从而得g（x）在（0，+∞）上单调递增，再由﹣log2=3＞20.1＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大小．解答：解：∵f（x）=﹣f（﹣x），∴f（x）是奇函数，∴xf（x）是偶函数．设g（x）=xf（x），当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．∵﹣log2=3＞20.1＞1＞ln2＞0，∴g（log2）＞g＞g（ln2），故选：C．点评：本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识，解题的关键是构造函数g（x）并求导，属于易出错的题目．9．过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于( )A．﹣B．﹣C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．解答：解：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，设两个交点是A（x1，y1），B（x2，y2），则，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2=﹣1．∴k=且满足△＞0．故选：C．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．10．已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，） D．（﹣，）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，采用数形结合的方法可判断出a的取值范围．解答：解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，如图所示，当a＜0时，y=ln（﹣x+a）=ln[﹣（x﹣a）]的图象可由y=ln（﹣x）的图象向左平移a个单位得到，可发现此时e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根一定成立；当a＞0时，y=ln（﹣x+a）=ln[﹣（x﹣a）]的图象可由y=ln（﹣x）的图象向右平移a个单位得到，观察图象发现此时e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根的临界条件是函数y=ln（﹣x+a）经过点（0，），此时有lna=，解得a=，因此要保证e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根，则必须a＜．故选：B．点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．二、填空题（每题5分，共25分）11．已知，且，则的值为．考点：任意角的三角函数的定义；半角的三角函数．专题：计算题．分析：由θ的范围，确定的符号，求出它的平方的值，利用平方关系求出结果．解答：解：因为所以＞0，sinθ=﹣，又=1﹣=，所以=，故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，半角的三角函数，考查计算能力，是基础题．12．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为6π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是一个半圆柱，半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3，根据所给的数据作出底面积，乘以高，得到体积．解答：解：由三视图知几何体是一个半圆柱，半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3，故半圆柱的体积V=×π×22×3=6π，故答案为：6π点评：本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是理解三个视图高长宽之间的关系，进而判断出几何体的形状，本题是一个基础题．13．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．解答：解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向左至少平移个单位后，得到的图象解析式为y=Acosωx．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由函数的图象可得A=1，T=•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=cos2x 的图象，故答案为：．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．15．若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：分x=0和x≠0分析方程解的情况，x=0方程显然成立，不等于0时消掉x后利用数形结合的方法画图分析．解答：解：方程有四个不同的实数解，x=0是方程的1个根，当x≠0时方程变为①．要使方程①有3个不为0的实数根，则函数y=k|x|和y=应有3个不同的交点，如图，k＜0显然不成立，当k＞0时y=kx（x＞0）与有一个交点，只需y=﹣kx（x＜0）和有两个交点即可，联立，得kx2+4kx+1=0．由△=（4k）2﹣4k=0，得k=．∴k＞时y=﹣kx（x＜0）和有两个交点．综上，关于x的方程有四个不同的实数解的实数k的取值范围是．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了数形结合及分类讨论的数学思想方法，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．解答：解：（1）∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，∴由余弦定理49==（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），∴b+c≤14，∵b+c＞7，∴7＜b+c≤14，∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组[180，210） 5 0.1第二组[210，240）10 0.2第三组[240，270）12 0.24第四组[270，300） a b第五组[300，330） 6 c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，再求b、c的值；（2）先求抽取比例，根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数；（3）计算从5名学生中随机抽取2人的取法种数和恰好抽到1名男生和1名女生的取法种数，利用古典概型概率公式计算．解答：解：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，b==0，34，c==0.12；（2）∵分层抽样的抽取比例为，∴在第二组学生中应抽取10×=4人；（3）从5名学生中随机抽取2人共有=10种取法，恰好抽到1名男生和1名女生的取法有=6种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为=．点评：本题考查了古典概型的概率计算，考查了组合数公式的应用，解题的关键是读懂频率分布表．18．已知{a n}是等差数列，其前n项的和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：本题（1）利用数列的通项公式与前n项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项；（2）本小题是一个等差与等比的积形成的数列，可以利用错位相减法求和．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，S4=8+6d．…由条件a4+b4=21，S4+b4=30，得方程组解得所以a n=n+1，b n=2n，n∈N*．（2）由题意知，c n=（n+1）×2n．记T n=c1+c2+c3+…+c n．则T n=c1+c2+c3+…+c n=2×2+3×22+4×23+…+n×2n﹣1+（n+1）×2n，2 T n=2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n+（n+1）2n+1，所以﹣T n=2×2+（22+23+…+2n）﹣（n+1）×2n+1，即T n=n•2n+1，n∈N*．点评：本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式，以及错位相减法求和，有一定的综合性，计算量也较大，属于中档题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF 的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得BF∥平面ACE．（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．解答：解：（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．20．已知两定点E（﹣2，0），F（2，0），动点P满足，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（0，﹣2）作直线l与曲线C交于A、B两点，点N满足（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程．考点：圆锥曲线的综合．专题：综合题；向量与圆锥曲线．分析：（Ⅰ）先求出点P的轨迹方程，再利用PM⊥x轴，点M满足，确定P，M坐标之间的关系，即可求曲线C的方程；（Ⅱ）求得四边形OANB为平行四边形，则S OANB=2S△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）∵动点P满足，∴点P的轨迹是以EF为直径的圆∵E（﹣2，0），F（2，0），∴点P的轨迹方程x2+y2=4设M（x，y）是曲线C上任一点，∵PM⊥x轴，点M满足，∴P（x，2y）∵点P的轨迹方程x2+y2=4∴x2+4y2=4∴求曲线C的方程是；（Ⅱ）∵，∴四边形OANB为平行四边形当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx﹣2，l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0∴x1+x2=，由△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，可得或∵|x1﹣x2|=|x1﹣x2|∴S OANB=2S△OAB=2|x1﹣x2|==8令k2=t，则，当t＞，即4t﹣3＞0时，由基本不等式，可得≥16，当且仅当，即t=时，取等号，此时满足△＞0 ∴t=时，取得最小值∴k=时，四边形OANB面积的最大值为2，所求直线l的方程为和．点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n+1（x）=g（g n（x）），n∈N+，求g n（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．解答：解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．点评：本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．。
江西省抚州市临川二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)Word版含解析
江西省抚州市临川二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}，则M∩N=( )A．[0，）B．（﹣，1]C．[﹣1，）D．（﹣，0]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解一元二次不等式求得N，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N．解答：解：集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，则M∩N={x|0≤x＜}，故选：A．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．在下列区间中函数f（x）=e x+2x﹣4的零点所在的区间为( )A．B．C．（1，2）D．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．解答：解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣2＞0，所以零点在区间（）上，故选B．点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )A．34 B．55 C．78 D．89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．专题：算法和程序框图．分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．解答：解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．4．已知f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2+3，则f（7）=( )A．﹣5 B．5 C．﹣101 D．101考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=﹣f（x），可得f（x）是以4为周期的周期函数，进而得f（7）=﹣f（1），由奇函数f（x）在x∈（0，2）时的解析式f（x）=2x2+3，可求f（1）的值．解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数；∴f（7）=f（8﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），∵x∈（0，2）时f（x）=2x2+3，∴f（1）=5，则f（7）=﹣5．故选：A．点评：本题考查函数的周期性的定义、应用，及函数的奇偶性，解题的关键是求出函数的周期，属于中档题．5．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确．解答：解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B点评：本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．6．已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=( )A．3B．2C．D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得．解答：解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，解得||=3或||=﹣（舍），故选A．点评：本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．7．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是( )A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），当x＞0时，y=，是减函数，从而得出结论．解答：解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选B．点评：本题主要考查指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合应用，以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题，属于基础题．8．已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=•f，b=（ln2）•f（ln2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令g（x）=xf（x），得g（x）是偶函数，由x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，得函数g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，从而得g（x）在（0，+∞）上单调递增，再由﹣log2=3＞20.1＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大小．解答：解：∵f（x）=﹣f（﹣x），∴f（x）是奇函数，∴xf（x）是偶函数．设g（x）=xf（x），当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．∵﹣log2=3＞20.1＞1＞ln2＞0，∴g（log2）＞g＞g（ln2），故选：C．点评：本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识，解题的关键是构造函数g（x）并求导，属于易出错的题目．9．过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于( )A．﹣B．﹣C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．解答：解：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，设两个交点是A（x1，y1），B（x2，y2），则，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2=﹣1．∴k=且满足△＞0．故选：C．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．10．已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，采用数形结合的方法可判断出a的取值范围．解答：解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，如图所示，当a＜0时，y=ln（﹣x+a）=ln[﹣（x﹣a）]的图象可由y=ln（﹣x）的图象向左平移a个单位得到，可发现此时e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根一定成立；当a＞0时，y=ln（﹣x+a）=ln[﹣（x﹣a）]的图象可由y=ln（﹣x）的图象向右平移a个单位得到，观察图象发现此时e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根的临界条件是函数y=ln（﹣x+a）经过点（0，），此时有lna=，解得a=，因此要保证e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根，则必须a＜．故选：B．点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．二、填空题（每题5分，共25分）11．已知，且，则的值为．考点：任意角的三角函数的定义；半角的三角函数．专题：计算题．分析：由θ的范围，确定的符号，求出它的平方的值，利用平方关系求出结果．解答：解：因为所以＞0，sinθ=﹣，又=1﹣=，所以=，故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，半角的三角函数，考查计算能力，是基础题．12．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为6π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是一个半圆柱，半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3，根据所给的数据作出底面积，乘以高，得到体积．解答：解：由三视图知几何体是一个半圆柱，半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3，故半圆柱的体积V=×π×22×3=6π，故答案为：6π点评：本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是理解三个视图高长宽之间的关系，进而判断出几何体的形状，本题是一个基础题．13．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．解答：解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向左至少平移个单位后，得到的图象解析式为y=Acosωx．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由函数的图象可得A=1，T=•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=cos2x的图象，故答案为：．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．15．若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：分x=0和x≠0分析方程解的情况，x=0方程显然成立，不等于0时消掉x后利用数形结合的方法画图分析．解答：解：方程有四个不同的实数解，x=0是方程的1个根，当x≠0时方程变为①．要使方程①有3个不为0的实数根，则函数y=k|x|和y=应有3个不同的交点，如图，k＜0显然不成立，当k＞0时y=kx（x＞0）与有一个交点，只需y=﹣kx（x＜0）和有两个交点即可，联立，得kx2+4kx+1=0．由△=（4k）2﹣4k=0，得k=．∴k＞时y=﹣kx（x＜0）和有两个交点．综上，关于x的方程有四个不同的实数解的实数k的取值范围是．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了数形结合及分类讨论的数学思想方法，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．解答：解：（1）∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，∴由余弦定理49==（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），∴b+c≤14，∵b+c＞7，∴7＜b+c≤14，∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组[180，210） 5 0.1第二组[210，240）10 0.2第三组[240，270）12 0.24第四组[270，300） a b第五组[300，330） 6 c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，再求b、c的值；（2）先求抽取比例，根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数；（3）计算从5名学生中随机抽取2人的取法种数和恰好抽到1名男生和1名女生的取法种数，利用古典概型概率公式计算．解答：解：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，b==0，34，c==0.12；（2）∵分层抽样的抽取比例为，∴在第二组学生中应抽取10×=4人；（3）从5名学生中随机抽取2人共有=10种取法，恰好抽到1名男生和1名女生的取法有=6种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为=．点评：本题考查了古典概型的概率计算，考查了组合数公式的应用，解题的关键是读懂频率分布表．18．已知{a n}是等差数列，其前n项的和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：本题（1）利用数列的通项公式与前n项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项；（2）本小题是一个等差与等比的积形成的数列，可以利用错位相减法求和．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，S4=8+6d．…由条件a4+b4=21，S4+b4=30，得方程组解得所以a n=n+1，b n=2n，n∈N*．（2）由题意知，c n=（n+1）×2n．记T n=c1+c2+c3+…+c n．则T n=c1+c2+c3+…+c n=2×2+3×22+4×23+…+n×2n﹣1+（n+1）×2n，2 T n=2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n+（n+1）2n+1，所以﹣T n=2×2+（22+23+…+2n）﹣（n+1）×2n+1，即T n=n•2n+1，n∈N*．点评：本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式，以及错位相减法求和，有一定的综合性，计算量也较大，属于中档题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF 的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得BF∥平面ACE．（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．解答：解：（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．20．已知两定点E（﹣2，0），F（2，0），动点P满足，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（0，﹣2）作直线l与曲线C交于A、B两点，点N满足（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程．考点：圆锥曲线的综合．专题：综合题；向量与圆锥曲线．分析：（Ⅰ）先求出点P的轨迹方程，再利用PM⊥x轴，点M满足，确定P，M坐标之间的关系，即可求曲线C的方程；（Ⅱ）求得四边形OANB为平行四边形，则S OANB=2S△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）∵动点P满足，∴点P的轨迹是以EF为直径的圆∵E（﹣2，0），F（2，0），∴点P的轨迹方程x2+y2=4设M（x，y）是曲线C上任一点，∵PM⊥x轴，点M满足，∴P（x，2y）∵点P的轨迹方程x2+y2=4∴x2+4y2=4∴求曲线C的方程是；（Ⅱ）∵，∴四边形OANB为平行四边形当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx﹣2，l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0∴x1+x2=，由△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，可得或∵|x1﹣x2|=|x1﹣x2|∴S OANB=2S△OAB=2|x1﹣x2|==8令k2=t，则，当t＞，即4t﹣3＞0时，由基本不等式，可得≥16，当且仅当，即t=时，取等号，此时满足△＞0∴t=时，取得最小值∴k=时，四边形OANB面积的最大值为2，所求直线l的方程为和．点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n+1（x）=g（g n（x）），n∈N+，求g n（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．解答：解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．点评：本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．。
2015-2016学年江西省抚州市临川一中九年级(上)数学期中试卷带解析答案
2015-2016学年江西省抚州市临川一中九年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）关于方程y2+y+1=0的说法正确的是（）A．两实数根之和为﹣1 B．两实数根之积为1C．两实数根之和为1 D．无实数根2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=3．（3分）2014年底，我国核电装机容量大约为2000万千瓦，到2016年底我国核电装机容量将达到约3200万千瓦．若设平均每年的增长率为x，则可列方程为（）A．2000（1+x）=3200 B．2000（1+2x）=3200C．2000（1+x）2=3200 D．2000（1+x2）=32004．（3分）若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠25．（3分）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（）A．B．2 C．D．26．（3分）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（）A．B．5 C．D．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．（3分）一元二次方程x2+7x=0的解是．8．（3分）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，使得四边形ABCD是正方形还需加上一个条件．9．（3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22=．10．（3分）学校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院慰问老人，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为．11．（3分）如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF 相交于点G，FG=2，则CF的长为．12．（3分）如图是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该城墙高度CD=米．13．（3分）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为．14．（3分）如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE 沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．三．（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．（6分）先化简，再求值（1+），其中x是方程x2﹣3x﹣4=0的根．16．（6分）有两部不同型号的手机（分别记为A，B）和与之匹配的2个保护盖（分别记为a，b）（如图所示）散乱地放在桌子上．（1）若从手机中随机取一部，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．（2）若从手机和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．17．（6分）已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．18．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在BC上找点F，使点F是BC的中点；（2）如图2，在AC上取两点P，Q，使P，Q是AC的三等分点．四．（本大题共4小题，每题8分，共32分）19．（8分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．20．（8分）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．21．（8分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣3，），AB=1，AD=2．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．五．（本大题共1小题，本大题共10分）23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？六．（本大题共1小题，共12分）24．（12分）已知：l∥m∥n∥k，平行线与m、m与n、n之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线于点F．求正方形ABCD的边长．（2）如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k 于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、于点G、M．求证：EC=DF．（3）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，直接写出矩形ABCD的宽．2015-2016学年江西省抚州市临川一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）关于方程y2+y+1=0的说法正确的是（）A．两实数根之和为﹣1 B．两实数根之积为1C．两实数根之和为1 D．无实数根【解答】解：∵△=1﹣4=﹣3＜0，∴方程无实数根，∴D正确，A、B、C错误．故选：D．2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=时，△ABC∽△AED．故选：D．3．（3分）2014年底，我国核电装机容量大约为2000万千瓦，到2016年底我国核电装机容量将达到约3200万千瓦．若设平均每年的增长率为x，则可列方程为（）A．2000（1+x）=3200 B．2000（1+2x）=3200C．2000（1+x）2=3200 D．2000（1+x2）=3200【解答】解：依题意得：2015年的装机容量为：2000（1+x），则2016年的装机容量为：2000（1+x）2=3200．故选：C．4．（3分）若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，解得m＜3且m≠2．故选：C．5．（3分）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（）A．B．2 C．D．2【解答】解：如图1，∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，∴四边形ABCD是正方形，连接AC，则AB2+BC2=AC2，∴AB=BC===，如图2，∠B=60°，连接AC，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=BC=．6．（3分）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（）A．B．5 C．D．【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB，∴△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，则：，解得a+b=2，即△ABC的周长=OC+AC=2．故选：A．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．（3分）一元二次方程x2+7x=0的解是x1=0，x2=﹣7．【解答】解：∵x2+7x=0，∴x（x+7）=0，∴x=0或x+7=0，∴x1=0，x2=﹣7，故答案为x1=0，x2=﹣7．8．（3分）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，使得四边形ABCD是正方形还需加上一个AB=BC（答案不唯一）条件．【解答】解：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，使得四边形ABCD是正方形还需加上一个AB=BC条件．理由如下：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形，又∵AB=BC，∴矩形ABCD是正方形．故答案为AB=BC（答案不唯一）．9．（3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22=﹣3．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1•x2=﹣1，所以x12x2+x1x22=x1•x2•（x1+x2）=﹣1×3=﹣3．故答案为﹣310．（3分）学校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院慰问老人，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为．【解答】解：设3辆车分别为A，B，C，共有9种情况，小王与小菲在同一辆车的情况数有3种，所以坐同一辆车的概率为．故答案为：．11．（3分）如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF 相交于点G，FG=2，则CF的长为6．【解答】解：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，∴G为△ABC的重心，∴2FG=GC，∵FG=2，∴GC=4，∴CF=6．故答案为：6．12．（3分）如图是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该城墙高度CD= 8米．【解答】解：根据题意得∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴=，即=，∴CD=8（m）．故答案为8．13．（3分）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为9．【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），∴点D的坐标为（﹣3，2），把（﹣3，2）代入双曲线，可得k=﹣6，即双曲线解析式为y=﹣，∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4），∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y=﹣，y=1，即点C坐标为（﹣6，1），∴AC=3，又∵OB=6，∴S=×AC×OB=9．△AOC故答案为：9．14．（3分）如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为或．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．三．（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．（6分）先化简，再求值（1+），其中x是方程x2﹣3x﹣4=0的根．【解答】解：原式=•=x+1，解方程x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=4，x2=﹣1．由分式有意义的条件可知x=﹣1不合适，所以当x=4时，原式=5．16．（6分）有两部不同型号的手机（分别记为A，B）和与之匹配的2个保护盖（分别记为a，b）（如图所示）散乱地放在桌子上．（1）若从手机中随机取一部，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．（2）若从手机和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．【解答】解：（1）∵从手机中随机抽取一个，再从保护盖中随机取一个，有Aa，Ab，Ba，Bb四种情况．恰好匹配的有Aa，Bb两种情况，∴P（恰好匹配）==；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好匹配的有4种情况，∴P（恰好匹配）==．17．（6分）已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．【解答】解：由一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，得△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4k＞0，解得k＜4；（2）由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，当x=1时，把x=1代入x2+mx﹣1=0，得1+m﹣1=0，解得m=0，当x=3时，把x=3代入x2+mx﹣1=0，得9+3m﹣1=0，解得m=﹣，综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx ﹣1=0有一个相同的根，．18．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在BC上找点F，使点F是BC的中点；（2）如图2，在AC上取两点P，Q，使P，Q是AC的三等分点．【解答】解：（1）如图1，连接AC、BD交于点O，延长EO交BC于F，则点F即为所求；（2）如图2，BD交AC于O，延长EO交BC于F，连接EB交AC于P，连接DF交AC于Q，则P、Q即为所求．四．（本大题共4小题，每题8分，共32分）19．（8分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；（3）△A2B2C2的面积是10平方单位．【解答】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．20．（8分）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC=90°，∵CF=9，BF=12，∴BC==15，∴AD=BC=15，∴AD=DF=15，∴∠DAF=∠DFA，∵AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠FAB=∠DFA，∴AF平分∠DAB．21．（8分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？【解答】解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，解得：x1=220，x2=80．当x=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，∴x=220（不合题意，舍去）；当x=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，∴x=80．答：该校共购买了80棵树苗．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣3，），AB=1，AD=2．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=1，BC=AD=2，∵A（﹣3，），AD∥x轴，∴B（﹣3，），C（﹣1，），D（﹣1，）；（2）∵将矩形ABCD向右平移m个单位，∴A′（﹣3+m，），C（﹣1+m，），∵点A′，C′在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴（﹣3+m）=（﹣1+m），解得：m=4，∴A′（1，），∴k=，∴矩形ABCD的平移距离m=4，反比例函数的解析式为：y=．五．（本大题共1小题，本大题共10分）23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．∵CD⊥AB，∴S=BC•AC=AB•CD．△ABC∴CD===4.8．∴线段CD的长为4.8．（2）由题可知有两种情形，设DP=t，CQ=t．则CP=4.8﹣t．①当PQ⊥CD时，如图a∵△QCP∽△△ABC∴=，即=，∴t=3；②当PQ⊥AC，如图b．∵△PCQ∽△ABC∴=，即=，解得t=，∴当t为3或时，△CPQ与△△ABC相似；（3）①若CQ=CP，如图1，则t=4.8﹣t．解得：t=2.4．②若PQ=PC，如图2所示．∵PQ=PC，PH⊥QC，∴QH=CH=QC=．∵△CHP∽△BCA．∴=．∴=，解得t=．③若QC=QP，过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．同理可得：t=．综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．六．（本大题共1小题，共12分）24．（12分）已知：l∥m∥n∥k，平行线与m、m与n、n之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线于点F．求正方形ABCD的边长．（2）如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k 于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、于点G、M．求证：EC=DF．（3）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，直接写出矩形ABCD的宽．【解答】（1）解：∵l∥k，BE⊥l，∴∠BFC=∠BEA=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC．∴∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△AED与△DGC中，，∴△AED≌△GDC，∴AE=BF，∵d1=d3=1，d2=2，∴BE=3，AE=1，在直角△ABE中，AB===，即正方形的边长是；（2）证明：如解答图②，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，且∠ADC=60°，∴AC=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∵AE⊥k，∠AFD=90°，∴∠AEC=∠AFD=90°，在Rt△AEC与Rt△AFD中，，∴Rt△AEC≌Rt△AFD，∴EC=DF；（3）解：过B作BE⊥l于点E，反向延长BE交k于点F．则BE=1，BF=3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠FBC=∠EAB，∴△AEB∽△BFC，当AB是较短的边时，如图（a），AB=BC，则AE=BF=，在直角△ABE中，AB==；当AB是长边时，如图（b），同理可得：BC=；故答案为：或．。
【百强校】2015-2016学年江西省临川二中高一下期中数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年江西省临川二中高一下期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：157分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、数列中，是方程的两根，则数列的前项和（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知数列满足：，对于任意的，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3、中，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．1D ．4、在中，角所对的边分别为，且，那么的解的情况是（ ）A ．无解B ．一解C ．两解D ．一解或两解5、在上满足，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．6、已知，函数的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．8D ．67、一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（ ）A ．63B ．108C ．75D ．838、设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59、一元二次不等式的解集是，则的值是（ ）A ．10B ．-10C ．14D ．-1410、在中，如果，那么等于（ ）A ．B ．C ．D ．11、设，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．A．99 B．100 C．96 D．101第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、在中，，内心为，则的长度为________．14、两个等差数列，，，则________.15、点在直线的左上方，则的取值范围是_______.16、不等式的解集是________．三、解答题（题型注释）17、已知，点在函数的图像上，其中. （1）求的值；（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和.18、某矩形花坛长，宽，现将此花坛在原有基础上有拓展成三角形区域，分别延长至并使三点共线.（1）要使三角形的面积大于16平方米，则的长应在什么范围内？（2）当的长度是多少时，三角形的面积最小？并求出最小面积.19、如图所示，在中，.（1）求的值及的长度；（2）设的中点为，求中线的长.20、已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）解关于的不等式.21、在中，内角的对边分别是，且．（1）求；（2）若，求的周长.（2）设，求数列的前项和.参考答案1、D2、A3、B4、C5、D6、D7、A8、D9、D10、C11、C12、B13、14、15、16、17、（1）；（2）证明见解析，；（3）．18、（1）；（2）．19、（1）,；（2）．20、（1）；（2）当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为．21、（1）；（2）．22、（1）；（2）．【解析】1、试题分析：由题意可知，所以有，利用累加法可求得，即的奇数项为等差数列，可求得，代入中，有，所以通项为则，可知的前项和，故本题正确选项为D.考点：数列的通项及其前项和.【思路点睛】本题主要考察通过递推公式求数列的通项，首先根据是方程的两根，能够得到，将换作便可得到，从而可得到的关系，再结合首相就能够得到的通项，再利用求得的通项，从而得到的前项和．2、试题分析：将代入，可求得，同理将代入可求得，将代入求得，由此可知数列从第二项开始满足，所以，本题正确选项为A.考点：数列的通项.【思路点睛】解答本题中点在于通过递推公式求得，将首项代入递推公式并主次代入可求得，并从中发现数列从第项开始，是以交替的形式的出现的，由此便可求得数列的通项，从而得到．本题也可直接对递推公式进行变形整理，可证得，再结合，便可求得．3、试题分析：有正弦定理可求得,即,所以三角形为直角三角形，斜边为，另两条直角边为，则三角形面积为,本题正确选项为B.考点：正弦定理的运用.4、试题分析：有正弦定理结合已知数据可求得,可能为钝角，也可能为锐角，当为锐角时，显然满足条件，当为钝角时，因为,由函数的单调性可知，也满足，所以三角形由两个解，正确选项为C.考点：三角形解的情况.5、试题分析：在上满足，即函数的最大值小于，因函数中含有参数，先对其进行讨论：当时，恒成立；当时，为一元二次函数，且图像开口向上，不存在最大值，所以不满足恒成立；当时，为一元二次函数，且图像开口向下，存在最大值，则有，综上所述有，本题正确选项为D.考点：不等式恒成立的证明（求解）.6、试题分析：因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D.考点：重要不等式的运用.7、试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故本题正确选项为A.考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项.8、试题分析：由题意可知可行域是由直线围成的多边形，而目标函数是一直线，可知该目标函数在可行域的多边形顶点处取得最大值，由约束条件可求得顶点分别为分别代入目标函数中可求得，从中取最大的，股本体的正确选项为D.考点：线性约束条件的最值问题.【方法点睛】对于线性规划问题，共有两种情况：1,直线过定点时在可行域中旋转时的最大斜率，2，直线斜率一定而在可行域中平移时的截距的最值．可以再直角坐标系中画出可行域，然后在画出直线，通过观察求出待求量的最值；因为直线在可行域中的最值都是在围城可行域的顶点处取得，所以也可以先求得可行域顶点坐标，将这些坐标分别代入待求量的表达式中，从中选择最大值或最小值．9、试题分析：根据一元二次不等式的解与方程的根的关系可知，是方程的两根，所以有，，所以有，本题正确选项为D.考点：一元二次不等式的解与方程的根.10、试题分析：根据正弦定理有,可令，由余弦定理有，故本题正确选项为C.考点：正弦定理，余弦定理的运用.11、试题分析：因为，所以，所以有，对于A项，当，有，A项不成立，同理可证得B项也不成立；取，所以D项不成立，故正确选项为C.考点：不等式的基本性质.12、试题分析：根据等差数列的通项公式有，当时，即，可求得，故本题正确选项为B.考点：等差数列的通项.13、试题分析：如图，由余弦定理可求得,可求得，有三角形的面积有，从而求得，假设，则有，由勾股定理可求得.考点：三角形的内心.【方法点睛】已知三角形的三边长，可利用余弦定理先求得一个内角的余弦，再求得该角的正弦，从而求得三角形的面积，再利用求得内接圆半径，根据对称性，可先求得内心在三边上的投影到三角形顶点的距离，再求通过勾股定理求内心到顶点的距离，也可通过半角公式，如题中，可求得,再利用三角函数定义式求得斜边.14、试题分析：在等差数列中，，设，的前项和分别为，由题可知，所以有.考点：等差数列前项和的性质与运用.【思路点睛】本题主要考查等差数列的前项和的计算，当等差数列的项数为奇数时，由等差中项性质有正数第项与倒数第项的和都是最中间一项的倍，这样，奇数项等差数列的前项和便可用其项数与中间一项的乘积来表示，所以要求，先要求得，而题中所给已知条件正是两等差数列的前项和的比值，待值求，便可得到的比值．15、试题分析：将直线转化为，点在该直线左上方，所以有，所以的取值范围是.考点：不等式与可行域.16、试题分析：解分式不等式，可先将分式转化成整式在解不等式，方程的两根为，所以解集为，也即的解集为.考点：解不等式.17、试题分析：（1）将点代入函数中，可得递推公式，结合便可求得；（2）将代入比式中可求得为定值，且，所以等比数列，由首项及公比可求得通项，从而求得的通项公式；（3）对的递推公式进行变形整理可求得代入便可求得，从而可求得，便可得到的值．试题解析：（1）（2），所以是首项为，公比为2的等比数列，，（3），，考点：递推公式的运用，等比数列的证明，数列的通项及前项和.【方法点睛】先由点在函数图像上，可得出数列的递推公式，再结合首项便可逐一求得前几项；对于等比数列的证明，要注意等比数列必须满足，所以先要求得公比，其次求首项，均不能为，并能求得通项，同时也可求得数列的通项，然后在代入新的数列中，进行化简整理便可得到通项从而利用倒序，错位，拆项，分组等方法求得前项和．18、试题分析：（1）可假设，相似，可求得,从而求得，可得到三角形面积关于的函数关系，由题意列不等式，并求解不等式即可求得的范围；（2）三角形面积是关于的函数关系，所以可利用重要不等式（或函数的单调性）来求得面积的最小值．试题解析：（1）设，（2），当，即时取得最小.考点：解不等式，重要不等式的运用.【思路点睛】本题主要考察函数的构造以及数形结合的运用，矩形两边延长后所得的三角形是相似的，所以可假设其中一条边为，从而利用相似比求得延长后两直角边长，将三角形的面积转化为关于的函数，通过重要不等式求得三角形的最大面积及此时的的值，而对于面积不小于，可通过解不等式来确定的范围，在解不等式时，要注意先将分式不等式转化为一元二次不等式．19、试题分析：（1）已知，利用，及为锐角即可求得，再由三角恒等变换便可求得，利用正弦定理及便可求得的长度；（2）由余弦定理可知,代入已知数据便可求得．试题解析：（1）因为所以，则又即（2）. 考点：正余弦定理的运用.20、试题分析：（1）当时不等式等价为，可先求得方程的根，即零点，在求不等式的解；（2）函数，可知函数的两个零点为，分别对进行讨论，然后求得不等式的解．试题解析：（1）当时，，即方程的三根为；所以不等式的解集为（2）不等式可化为则，当时，解集为；当时，解集为；当时，则不等式的解集为考点：解不等式.21、试题分析：（1）题中就给一条件，所以考虑用余弦定理来求；（2）求三角形周长，关键要求的，因为已知，且有所以可利用正弦定理先求得，进而直接求，从而得到三角形的周长．试题解析：（1）中，由余弦定理有将代入上式可求得,即（2）由正弦定理可知又所以则，即所以周长为考点：正余弦定理得运用.22、试题分析：（1）在等差数列中，将转化成进而转化为从而求得公差，便可求得通项公式；（2）将代入，便可求得，即为等比数列，利用公式便可求得．试题解析：（1）假设数列的公差为，则即（2），即数列为等比数列所以.考点：数列的通项与前前项.。
【全国百强校】江西省抚州市临川区第一中学2016届高三上学期第一次月考理数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设{|{|ln(1)}A x y B y y x ====+，则AB =（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -<≤D ．∅ 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，可知(,1]A =-∞，B R =，所以A B ={|1}x x ≤，故选B.考点：集合的运算.2.已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域（ ） A ．[]-37，B ．[]-14，C ．[]-55，D ． []052， 【答案】D 【解析】试题分析：由[2,3]x ∈-得1[1,4]x +∈-，由21[1,4]x -∈-，解得5[0,]2x ∈，故选D. 考点：函数的定义域.3.命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：根据题意为240x ax a +-≥恒成立，即2160a a +≤，解得016≤≤-a ，所以为充要条件，故选A.考点：充要条件的判断.4.若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)21,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ）A ．02=-y xB ．02=+y xC ．0144=+-y xD ．0144=++y x 【答案】C 【解析】试题分析：根据函数a mx x f =)(为幂函数，所以1m =，根据图像经过点)21,41(A ，则有12α=，所以12()f x x =，'()f x =，1'()14f =，根据直线方程的点斜式，求得切线方程是0144=+-y x ，故选C.考点：幂函数解析式的求解，导数的几何意义，函数图像的切线方程. 5.将函数sin(4)6y x π=-图象上各点的横坐标伸长到原的2倍，再向左平移4π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） A 12x π=B. 6x π=C 3x π=D 12x π=-【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，变换以后的函数解析式为sin(2)3y x π=+，根据函数的性质，可知函数图象的一条对称轴的方程是12x π=，故选A.考点：函数图像的变换. 6.函数xxy 24cos =的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：根据函数解析式可知函数是非奇非偶函数，所以图像不关于y 轴对称，所以C,D 不正确，当x 趋向于正无穷时，2x趋向于正无穷，而余弦函数是有界的，所以y 趋向于0，故B 不对，只能选A. 考点：函数图像的选取.7.已知定义在R 上的偶函数，()f x 在0x ≥时，()ln(1)xf x e x =++，若()()1f a f a <-，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．1(,)2-∞ C ．1(,1)2D ．()1,+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0,)+∞上是增函数，根据偶函数图像的对称性，可知函数在(,0]-∞上是减函数，所以()()1f a f a <-等价于1a a <-，解得12a <，故选B. 考点：偶函数的性质. 8.下列四个命题： ○1∃x ∈(0, ＋∞), (12)x ＜(13)x ； ○2∃x ∈(0, 1), log 12x ＞log 13x ； ○3∀x ∈(0, ＋∞), (12)x＞log 12x ； ○4∀x ∈(0, 13), (12)x ＜log 13x. 其中真命题是（ ） A ．○1○3 B ．○2○3C ．○2○4D ．○3○4【答案】C考点：指对函数的图像和性质.9.已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,1,0,0,0,1)sgn(x x x x 则函数x x x f 2ln )sgn(ln )(-=的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可以求得函数的零点为,1e ，所以函数的零点的个数为2个，故选B.考点：函数的零点.10.设奇函数()x f 在[]1,1-上是增函数，且()11-=-f ，当[]1,1-∈a 时， ()122+-≤at t x f 对所有的[]1,1-∈x 恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．2t ≥或2t ≤-C ．2t >或2t <-或0t =D ． 2t ≥或2t ≤-或0t =【答案】D 【解析】试题分析：根据题意有2max ()21f x t at ≤-+，根据奇函数的性质，可知函数的最大值为(1)1f =，所以有220t at -≥对于[]1,1-∈a 恒成立，所以有2()20g a ta t =-+≥在[]1,1-∈a 恒成立，即22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-+≥⎩，解得2t ≥或2t ≤-或0t =，故选D. 考点：构造函数，恒成立问题. 11.已知函数)(x f 满足)1(11)(+=+x f x f ，当]1,0[∈x 时x x f =)(，函数m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]21,0(B ．]21,1(-C ．),21[+∞D ．]21,(-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在(1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，函数m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点，相当于函数()f x 的图像与直线(1)y m x =+有两个交点，而图像过点(1,1)，此时12m =，结合函数的图像，可知m 的取值范围是]21,0(，故选A.考点：函数的零点，数形结合思想.12.定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=， 使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 内有一个宽度为d 的通道. 定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =,②sin ()x f x x=，③()f x =，④()x f x e -=， 其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（ ）A. 1B.2C. 3D.4 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，结合函数图像，可知只有①没有，剩下三个都可以，所以选C. 考点：新定义.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数()xxk k x f 212⋅+-=在其定义域上为奇函数，则实数=k ． 【答案】1± 【解析】试题分析：根据奇函数的条件，当函数在0点有定义时，可知1(0)01k f k-==+，解得1k =，当函数在0点没有定义时，求得10k +=，解得1k =-，经验证函数是奇函数，故=k 1±. 考点：奇函数的定义.14.定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2014)2,2f x f x f -=+=则(1)f -= ． 【答案】2-考点：利用函数的周期性及奇偶性求函数值.15.已知命题p :关于x 的方程220x mx --=在[0,1]x ∈有解；命题221:()log (2)2q f x x mx =-+在[1,)x ∈+∞单调递增；若“p ⌝”为真命题，“p q ∨”是真命题，则实数m 的取值范围为 ．【答案】3(1,)4- 【解析】试题分析：根据题意，关于x 的方程220x mx --=在[0,1]x ∈有解，可得120m --≥，从而求得1m ≤-；221()log (2)2f x x mx =-+在[1,)x ∈+∞单调递增，可得111202m m ≤⎧⎪⎨-+>⎪⎩，解得34m <，根据“p ⌝”为真命题，“p q ∨”是真命题，可知p 假q 真，所以实数m 的取值范围为3(1,)4-. 考点：命题的真假判断，参数的取值范围.16.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0,)+∞上的最大值和最小值分别是1和1-，所以①对，()2(2)k f x f x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立，故②错，根据图像可知函()ln(1)y f x x =--有3个零点，故③对，根据图像，可以判断④正确，故答案为①③④. 考点：函数的性质，数形结合思想.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知集合}2733|{≤≤=xx A ，}1log |{B 2>=x x ． （1）分别求B A ，()R C B A ；（2）已知集合{}a x x C <<=1，若A C ⊆，求实数a 的取值集合． 【答案】（1）{}|23A B x x ⋂=<≤，{|3}R C B A x x ⋃=≤；（2）3a ≤. 【解析】试题分析：第一问结合指数函数和对数函数的单调性求解集合,A B ，再根据集合的交并补集中元素的特点，求得结果，第二问注意对集合C 是否为空集进行讨论，在非空的条件下，结合数轴来解决即可. 试题解析：（1）3327x ≤≤即13333x ≤≤，13x ∴≤≤，∴{}31≤≤=x x A ，2log 1x >，即22log log 2x >，2x ∴>∴{}2B x x =>，{}|23A B x x ∴⋂=<≤；{}2R C B x x =≤，{|3}R C B A x x ∴⋃=≤（2）由（1）知{}31≤≤=x x A ，当A C ⊆当C 为空集时，1a ≤当C 为非空集合时，可得 31≤<a 综上所述3a ≤考点：集合的运算，参数的取值范围，交并补集，子集.18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，xOA α∠=，且62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．（1）若11cos()313πα+=-，求1x 的值； （2）若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3AOB π∠=．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12fS S α=+，求函数()f α的最大值．【答案】（1）1126x =；（2）max ()3f παα==时， 【解析】试题分析：第一问根据题意可知1cos x α=，利用题中所给的条件，利用差角公式求得cos α的值，第二问利用三角函数的定义式，结合图形将三角形的面积用三角函数来表示，即将函数解析式转化为关于α的函数关系式，利用和差角公式，辅助角公式化简，结合自变量的取值范围，求得函数的最大值. 试题解析：（1）由三角函数的定义有1cos x α=， ∵11cos()()31362πππαα+=-∈，，，∴sin()3πα+=， ∴ 1cos cos ()33x ππαα⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦cos()cos sin()sin 3333ππππαα=+++111113226=-⋅+=． （2）由1sin y α=，得111111cos sin sin 2224S x y ααα===．由定义得2cos()3x πα=+，2sin()3y πα=+，又5()()62326πππππαα∈+∈由，，得，，于是， 22211cos()sin()2233S x y ππαα=-=-++12sin(2)43πα=-+∴ 12112()sin 2sin(2)443f S S πααα=+=-+=1122sin 2(sin 2cos cos 2sin )4433ππααα-+=3sin 228αα-12cos 2)2αα-)6πα-，5()2()62666πππππαα∈-∈由，，可得，，262ππα-=于是当，即max ()3f παα==时， 考点：三角函数和差角公式，三角函数的定义式，辅助角公式，三角函数的最值问题.19.（本小题满分12分）已知函数()x af x x b+=+（a 、b 为常数）． （1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<； （2）若1a =，当[]1,2x ∈-时，21()()f x x b ->+恒成立，求b 的取值范围．【答案】（1）1a <时，解集为：(0,1)a -， 1a =时，解集为：∅， 1>a 时，解集为：(1,0)a -， （2）1b >-. 【解析】试题分析：第一问不等式为10x ax-+<，将其转化为正式不等式(1)0x x a -+<，需要对1a -和0比较大小，从而求得结果，第二问式子为211()x x b x b +->++，等价于()(1)1x b x ++>-，能够发现x b ≠-，易知当1x =-时，不等式显然成立，所以式子转化为111(1)11b x x x x >--=-++++恒成立，转化为最值来处理，结合自变量的取值范围，利用基本不等式求得最值，从而求得结果. 试题解析：（1）∵()x a f x x b +=+，1=b ，∴()1x af x x +=+，∴()()11(1)11x a x a f x x x -+-+-==-+， ∵(1)0f x -<，∴10x ax-+<，等价于()10x x a --<⎡⎤⎣⎦， ①10a ->，即1a <时，不等式的解集为：(0,1)a -， ②当10a -=，即1a =时，不等式的解集为：∅， ③当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为：(1,0)a -， （2）∵1a =，21()()f x x b ->+， ∴211()(1)1()x x b x x b x b +->⇔++>-++ （※） 显然x b ≠-，易知当1x =-时，不等式（※）显然成立； 由[]1,2x ∈-时不等式恒成立，当12x -<≤时，111(1)11b x x x x >--=-++++，∵10x +>，∴()1121x x ++≥=+， 故1b >-． 综上所述，1b >-．考点：解不等式，恒成立问题，基本不等式.20.（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点． （Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60. 【解析】试题分析：第一问连结相应的线段，利用平行四边形的判定定理和性质定理，证得TH//DB ，利用线面平行的判定定理证得线面平行，第二问建立空间坐标系，求得平面的法向量，利用法向量所成的角的余弦求得二面角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T ．在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =则2,AC DF =而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,所以四边形DGCF 是平行四边形,T 是DC 的中点，又在BDC ∆,H 是BC 的中点，则TH//DB ，又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ；（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ,可得DG ⊥平面ABC 而,45,AB BC BAC ⊥∠=则GB AC ⊥,于是,,GB GA GD 两两垂直，以点G 为坐标原点，,,GA GB GD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =,则1,DE CF AC AG ====((B C F H ， 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =u r，设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，则2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu r u u r uuu r,即222200x y z =⎪+=⎩， 取21x =，则221,y z ==2n =u u r，121cos ,2n n <>==u r u u r ，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60．考点：线面平行的判定，二面角的余弦值.21.（本题满分12分）如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：)0(22>=p py x 的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：122=+y x 相切于点Q ．（Ⅰ）当直线PQ 的方程为02=--y x 时，求抛物线C 1的方程；（Ⅱ）当正数p 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求21S S 的最小值．【答案】（Ⅰ）y x 242=； （Ⅱ）223+.【解析】试题分析：第一问要求抛物线的方程，任务就是求p 的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得10=px ，再根据切点在切线上，得022200=--p x x ，从而求得22=p ，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于p 和切点横坐标的关系式，从而有424200001242200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-2220002200(2)4432(4)24x x x x x --==++--，利用基本不等式求得最值. 试题解析：（Ⅰ）设点)2,(200px x P ，由)0(22>=p py x 得，p x y 22=，求导p x y ='， ……2分 因为直线PQ 的斜率为1，所以10=px 且022200=--p x x ，解得22=p ，所以抛物线C 1 的方程为y x 242=．（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：)(20020x x px p x y -=-，即022200=--x py x x ， 根据切线又与圆相切，得r d =，即14422020=+-p x x ，化简得2204044p x x +=，由04420402>-=x x p ，得20>x ，由方程组200222201x x py x x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，解得)24,2(200p x x Q -，202)x ---， 点)2,0(p F 到切线PQ的距离是204x d =， 所以32010||1(2)216x S PQ d x p=⋅=-， 02221x p x OF S Q ==， 所以424200001242200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-32234424)4(2)2(2020202020+≥+-+-=--=x x x x x ， 当且仅当44242020-=-x x 时取“＝”号，即22420+=x ，此时，222+=p ， 所以21S S 的最小值为223+． 考点：导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式.22.（本小题满分12分）已知函数()()3221ln 2f x a x x a a x =+-+（R a ∈）， ()223ln 2g x x x x x =--．（Ⅰ）求证：()g x 在区间[]2,4上单调递增；（Ⅱ）若2a ≥，函数()f x 在区间[]2,4上的最大值为()G a ，求()G a 的解析式，并判断()G a 是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：0.69ln 20.7<<）【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）332321ln (24),()22ln 2448(4).a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩，()G a 有最小值，没有最大值．试题解析：（Ⅰ）证明：∵22()3ln 2g x x x x x =--，∴()6ln 1g x x x x '=--， 设()6ln 1h x x x x =--，则()6ln 5h x x '=+，∴当24x <<时，()0h x '>，∴()h x 在区间(2,4)上单调递增．∵(2)3(4ln 21)0h =->，∴当24x <<时，()(2)0h x h >>．∴()g x 在区间[2,4]上单调递增． （Ⅱ）∵3221()ln ()2f x a x x a a x =+-+(a ∈R )， ∴()f x 的定义域是(0,)+∞，且32()()a f x x a a x '=+-+，即2()()()x a x a f x x--'=． ∵a ≥2，∴2a a <，当x 变化时，()f x 、()f x '变化情况如下表：∴当24a ≤≤时，24a ≥，()f x 在区间[2,4]上的最大值是3321()ln 2f a a a a a =--． 当4a >时，()f x 在区间[2,4]上的最大值为32(4)2ln 2448f a a a =--+． 即 332321ln (24),()22ln 2448(4).a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩ （1）当24a <<时，22()3ln 2G a a a a a '=--．由（Ⅰ）知，()G a '在(2,4)上单调递增．又(2)2(6ln 25)0G '=-<，(4)12(8ln 23)0G '=->，∴存在唯一0(2,4)a ∈，使得0()0G a '=，且当02a a <<时，()0G a '<，()G a 单调递减，当04a a <<时()0G a '>，()G a 单调递增．∴当24a ≤≤时，()G a 有最小值0()G a ．（2）当4a >时，2228()6ln 2846ln 2()43ln 23ln 2G a a a a '=--=---， ∴()G a '在(4,)+∞单调递增．又(4)12(8ln 23)0G '=->，∴当4a >时，()0G a '>．∴()G a 在(4,)+∞上单调递增．综合（1）（2）及()G a 解析式可知，()G a 有最小值，没有最大值．考点：导数的应用.：。
2016届江西省临川区第一中学高三10月月考理科数学试卷及答案
临川一中2015—2016学年度高三第二次月考（理科）数学试卷卷面满分：150 分 考试时间： 120分钟 命题人：尤伟峰 审题人：艾志景一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则=⋂B C A R （ ）A ．(3,0)-B ．(3,1]--C ．(3,1)--D ．(3,3)- 2．设i 为虚数单位，复数3(),()(1)az a a i a R a =-+∈-为纯虚数，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1±D ．0 3.若R d c b a ∈,,,，则”“c b d a +=+是“a,b,c,d 依次成等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 设x x x f sin cos )(-=把)(x f y =的图象按向量)0,(ϕ=a (ϕ>0)平移后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为 ( ) A.2π B.43π C.π D.23π5.羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )A ．310B ．67C ．35D ．456．若函数322++=ax ax y 的值域为[)+∞,0，则a 的取值范围是( )A ．()+∞,3B ．[)+∞,3C ．(][)+∞⋃∞-,30, D ．()[)+∞⋃∞-,30, 7.能够把椭圆C :分的函数)(x f 称为椭圆C 的“亲和函数”，下列函数是椭圆C 的“亲和函数”的是（） A ．23)(x x x f += B ．x x x f cos sin )(+=D ．x x e e x f -+=)(8.函数x x y 2sin cos ⋅=的最小值为（ ） A ．-1 B ．934- C ．-2 D．932-9.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为( )A. B.10.设123,,e e e →→→为单位向量，且31212e e k e →→→=+，）（0>k ，若以向量12,e e →→为两边的三角形的面积为12，则k 的值为正视图222侧视图俯视图( )A B C D11.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B 2cosB －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35, a ＝42，b ＝5，则向量BA →在BC →方向上的投影为（ ） A ．22 B ．22-C ．53D ．53-12．设函数3()(33),(2)x x f x e x x ae x x =-+--≥-，若不等式()f x ≤0有解．则实数a 的最小值为（ ）A ．21e- B ．22e- C ．212e + D ．11e-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设D 为ABC ∆所在平面内一点，,,3→→→→→+==AC n AB m AD CD BC 则m n -= .14.设），（20πα∈，若,54)6cos(=+πα则=+)122sin(πα .15.函数[])1,0(22∈=x x y 的图像绕y 轴旋转所形成的几何体的体积为 .16. 设函数)0(,2)22()(23>-++=x x x m x x f ，若对于任意的[1,2]t ∈,函数)(x f 在区间(,3)t 上总不是单调函数,则m 的取值范围是为三、解答题：本大题共70分，其中17题为10分，18—22题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
【全国百强校】江西省临川区第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试文数试题(原卷版)
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试文数试题考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1．设集合22{|1}2x A x y =+=，2{|1}B y y x ==-，则A B ＝（ ）A ．[- B.11{()}22C.11{(),(),(0,1)}22- D ．[ 2．已知平面向量AB ()1,2=，AC ()3,4=，则向量CB =（ ）A ．(4,6)--B ．(4,6)C ．(2,2)--D ．(2,2)3. 3k >是方程17322=---k y k x 表示的曲线是椭圆的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4．一名小学生的年龄和身高（单位：cm ）的数据如下表：由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归方程为8.8y x a =+，则a 的值为（ ）A ．65B ．74C ．56D ．475. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：74,74,79,79,86,87,87,90,91,92. 若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加5后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差6. 下列说法中正确的是 ( )A.“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件；B ．若2000:,10p x x x ∃∈-->R .则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R ；C ．若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题；D ．“若6πα=,则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠,则1sin 2α≠”. 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 ( )ABD ．3 8. 已知点C 在直线AB 上，且对平面任意一点O ，0,0,>>+=y x y x则 yx 11+的最小值为（ ） A ． 2 B ．4 C ． 6 D ．89．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是 ( )A ．[3,3]-B ．11(,][,)33-∞-+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．11[,]33- 10. 在正方体为的中点，是棱中，O DD M D C B A ABCD 11111-底面ABCD 的中心，上为棱11B A P 任一点，则直线AM OP 与所成角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．不能确定11. 执行如图所示的程序框图，要使输出的S 的值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112. 已知数列{}n a 满足312ln ln ln ln 32258312n a a a a n n +⋅⋅⋅⋅=-（*n N ∈），则10a = （ ） A ． 29e B ． 26e C ．35e D ．32e第II 卷（非选择题)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知{}n a 为等差数列，472a a +=，则110a a += ．14. 已知抛物线方程22y x =，其焦点坐标为 .15．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 ．16. 若函数()b x f x +-=12有两个零点，则实数b 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且n n S 2=⑴求{}n a 的通项公式；⑵设n a b n n +=，求1021b b b +++ 的值。
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第1页（共28页） 2015-2016学年江西省抚州市临川二中高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题 1．（5分）已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={x|x2﹣4≤0}，则A∩B=（ ） A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x≤3} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2} 2．（5分）已知i是虚数单位，m，n∈R，则“m=n=1”是“m2﹣1﹣2ni=﹣2i”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）若平面向量、满足||=，||=2，（﹣）⊥，则与的夹角是（ ） A．π B． C． D． 4．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ） A． B． C． D． 5．（5分）下列积分值等于1的是（ ） A．xdx B．（﹣cosx）dx C．dx D．dx 6．（5分）运行程序框图，若输入x的值为1，则输出S的值为（ ） 第2页（共28页）
A．64 B．73 C．512 D．585 7．（5分）如图，在矩形ABCD中，，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD的侧视图的面积为（ ）
A． B． C． D． 8．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若ab=8，a+b=6，，则c=（ ） A．2 B．2 C．4 D．3 9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图
所示，则ω，φ的值分别为（ ） A．2，﹣ B．2，﹣ C．4，﹣ D．4， 第3页（共28页）
10．（5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（0，+∞）时，xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，a=f（1），b=，则a，b，c的大小关系为（ ） A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a 11．（5分）已知G，N，P在△ABC所在平面内，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且分别满足++=，sin2A•+sin2B•+sin2C•=，a+b+c=，则点G，N，P依次是△ABC的（ ） A．重心，外心，内心 B．重心，垂心，内心 C．重心，垂心，外心 D．内心，外心，重心
12．（5分）已知函数f（x）=，设方程f（x）=2﹣x+b（b∈R）的四个实根从小到大依次为x1，x2，x3，x4，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（ ） A．x1+x2=2 B．9＜x3•x4＜25 C．0＜（6﹣x3）•（6﹣x4）＜1 D．1＜x1•x2＜9
二、填空题 13．（5分）二项式的展开式中常数项的值为 ． 14．（5分）已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=lg（x+1），则f（﹣1）= ． 15．（5分）已知x，y满足﹣＜y＜0，且cos（+x）=，cos（
﹣）=，则cos（x+）= ． 16．（5分）{an}的通项公式为an=﹣n+p，{bn}的通项公式为，设
，若在数列{cn}中，c9＞cn，n∈N*，n≠9，则实数p的取值范围是 ．
三、解答题 第4页（共28页）
17．（12分）已知向量=（cos，cos），=（sin，cos），函数f（x）=•． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）在锐角△ABC中，已知A=，求f（B）的取值范围． 18．（12分）现有4名学生参加演讲比赛，有A、B两个题目可供选择．组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A题目，掷出其他的数则选择B题目． （Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率； （Ⅱ）用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数，记ξ=X•Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）． 19．（12分）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动． （1）证明：AD⊥C1E； （2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．
20．（12分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程． 第5页（共28页）
21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣b，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数． （I）当b=﹣a时，求f（x）的极小值； （Ⅱ）当f（x+1）+a≥0时，对x∈R恒成立，求ab的最大值； （Ⅲ）当a＞0，b=﹣a时，设f'（x）为f（x）的导函数，若函数f（x）有两个
不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（3lna）＞f′（）．
请考生从下面三题中任选其中一道作答. 22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F． （Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE； （Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．
23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数） （Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
不等式选讲 第6页（共28页）
24．已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值． 第7页（共28页） 2015-2016学年江西省抚州市临川二中高三（上）期中数
学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题 1．（5分）已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={x|x2﹣4≤0}，则A∩B=（ ） A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x≤3} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2} 【解答】解：集合A={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，B={x|x2﹣4≤0}={x|﹣2≤x≤2}， ∴A∩B={x|1＜x≤2}， 故选：C．
2．（5分）已知i是虚数单位，m，n∈R，则“m=n=1”是“m2﹣1﹣2ni=﹣2i”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由m，n∈R，m2﹣1﹣2ni=﹣2i，可得，解得n=1，m=±1． ∴“m=n=1”是“m2﹣1﹣2ni=﹣2i”的充分不必要条件． 故选：A．
3．（5分）若平面向量、满足||=，||=2，（﹣）⊥，则与的夹角是（ ） A．π B． C． D．
【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即﹣=0，∴=2=2， ∴cos＜＞==，∴的夹角是． 故选：D． 第8页（共28页）
4．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ） A． B． C． D． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， ∵S3=a2+10a1，a5=9，
∴，解得． ∴． 故选：C．
5．（5分）下列积分值等于1的是（ ） A．xdx B．（﹣cosx）dx C．dx D．dx 【解答】解：xdx==，（﹣cosx）dx=﹣sinx═﹣2，dx表式以原点为圆心以2为半径的圆的面积的一半，故dx=×4π=2π，=lnx=1． 故选：D．
6．（5分）运行程序框图，若输入x的值为1，则输出S的值为（ ） 第9页（共28页）
A．64 B．73 C．512 D．585 【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2， 执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4， 执行第三次循环得到S=13+23+43=73， 满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73． 故选：B．
7．（5分）如图，在矩形ABCD中，，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD的侧视图的面积为（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：由正视图和俯视图可知平面ABD⊥平面BCD． 三棱锥A﹣BCD侧视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过A和C向BD所做的垂线， 第10页（共28页）
由等面积可得直角边长为=， ∴侧视图面积为××=． 故选：C．
8．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若ab=8，a+b=6，，则c=（ ） A．2 B．2 C．4 D．3 【解答】解：∵，
∴由正弦定理可得：===1， ∴即有2cosC=1，可得C=60°， ∵ab=8， 又∵a+b=6， ∴由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12， ∴解得c=2． 故选：B．
9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图