特征值与特征向量练习题
考研数学一矩阵的特征值与特征向量-试卷1_真题-无答案
考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）-试卷1(总分76,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. 设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则伴随矩阵A*的一个特征值是A. λ－1｜A｜n－1．B. λ－1｜A｜．C. λ｜A｜．D. λ｜A｜n－1．2. 设A=2是可逆矩阵A的一个特征值，则+E的一个特征值是A. B.C. D.3. 设A是3阶不可逆矩阵，α1，α2是Ax=0的基础解系，α3是属于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是A. α1+3α2．B. α1一α2．C. α1+α3．D. 2α3．4. 设α0是A属于特征值λ0的特征向量，则α0不一定是其特征向量的矩阵是A. (A+E)2．B. 一2A．C. A T．D. A*．5. 下列矩阵中不能相似对角化的是A. B.C. D.6. 设A是n阶非零矩阵，Am=0，下列命题中不一定正确的是A. A的特征值只有零．B. A必不能对角化．C. E+A+A2+…+Am－1必可逆．D. A只有一个线性无关的特征向量．2. 填空题1. 设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值__________，且其重数至少是__________．2. 设A是n阶可逆矩阵，A是A的特征值，则(A*)2+E必有特征值__________．3. 已知－2是A=的特征值，则x=__________．4. 设A是秩为2的3阶实对称矩阵，且A2+5A=0，则A的特征值是__________．5. 已知α=(1，1，一1)T是矩阵A=的特征向量，则x=__________．6. 设A是3阶矩阵，且各行元素之和都是5，则A必有特征向量__________．7. 设A是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α1=(1，2，1)T与α2=(1，一1，1)T，则λ=2的特征向量是__________．8. 已知A=相似，则x=__________，y=__________．9. 已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=__________．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第二十二讲特征值与特征向量典型题
特征值与特征向量典型题1、特征值与特征向量1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=，求A【分析】解本题的关键是注意A 为实对称矩阵，在已知A 的三个特征值和三个线性无关特征向量123,,ξξξ后，由公式123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=;可解出1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-= 【详解】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=，根据A 为实对称矩阵的假设知10T ξξ=，即230x x +=，解得23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==- 于是由123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=有11122331231(,,)(,,)010010100101101001101101010A λξλξλξξξξ--=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦2．（98，填4题，3分）设A 为n 阶矩阵，0A ≠，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值2()1Aλ+【分析】本题从特征值、特征向量的定义,0Ax x x λ=≠进行推导即可 【详解】设(0)Ax x x λ=≠，则 111,(0)AA x x A A x x x λλ--=⇒=≠即*AA x x λ=从而*22()()AA x x λ= *22[()][()1],0AA E x x x λ+=+≠可见*2()A E +必有特征值2()1Aλ+3．（99，填4题，3分）设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是1,0,,0n n -【分析】因为r(A)=1，所以1n n ii E A a λλλ--=-∑【详解】因为-1111111111111111111000n n n E A nnn λλλλλλλλλλλλλλ---------=---=-－－－－＝－－－－－＝（－）故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）因此本题应填1,0,,0n n -4．（99，十题，8分）设矩阵15310a c A b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1)T α=--，求a b c 、、和0λ的值【分析】利用*AA A E =，把*0A αλα=转化为0A λαα=-是本题的关键【详解】根据题设有*0A αλα=，又*,AA A E E ==-于是*00,AA A A αλαλα==即0A αλα-=;也即011153111011a c b c a λ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦由此可得 000(1)1(53)1(1)1a c b c a λλλ-++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩ 解此方程组，得01,3,b a c λ==-=又由1A a c =-=和，有1533110a cb a ca-=-=--- 故2,a c ==因此02,3,2,1a b c λ==-==5.（03，九题，10分）设矩阵322232223A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，010101001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1*B P A P -=，求B ＋2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵【分析】可先求出*1,A P -，进而确定1*B P A P -=及B ＋2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据B ＋2E 与*2A E +相似求出其特征值与特征向量。
3.1 矩阵的特征值和特征向量
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
5. 设λ0是n阶矩阵A的一个特征值 , 试证 (1) kλ0是kA的一个特征值 ( k为常数 );
m ( 2) λ0 是Am的一个特征值 ( m为常数 );
( 3) 若A可逆 , 则 ( 4) 若A可逆 , 则
1
λ0
A
是A−1的一个特征值; 是 A 的一个特征值;
习题二第11题 习题二第11题
设 n阶矩阵 A各行的元素之和均为零 , 且 r ( A ) = n − 1. 求齐次线性方程组 AX = O的全部解 .
练习2.5第 练习2.5第3题: 矩阵, 矩阵. 证明AB 设 A 为m × n 矩阵, B为 n × s 矩阵. 证明AB = O ⇔ B 的解. 的每一个列向量均为齐次线性方程组 AX = O 的解.
第三章
1. 设 A 是 n 阶矩阵，则 A 与 AT 具有相同的特征值. 阶矩阵， 具有相同的特征值. 3. 设 λ1 , λ2 , … λm 是方阵 A 的 m 个互异特征值, α1 , α2 , 个互异特征值, 依次是与之对应的特征向量, … , αm 依次是与之对应的特征向量, 则 α1 , α2 , … , αm 线性无关. 线性无关. 4. 设 n 阶矩阵 A 的互异特征值为 λ1 , λ2 , … λm . A 的属于 λi 的线性无关的特征向量为 则向量组
*
λ0
( 5) 对任意数 k , k − λ0是kE − A的一个特征值 .
P16P16-15
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
7. 设 λ1 , λ2是 n阶矩阵 A的两个不同特征值 , 对应的特征向量 分别为 α 1 , α 2 , 试证 c1α 1 + c 2α 2 ( c1 ≠ 0, c 2 ≠ 0 )不是 A的特征 向量 .
考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)-试卷3.doc
考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷3(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设三阶矩阵A的特征值是0，1，一1，则下列选项中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵A—E是不可逆矩阵。
B.矩阵A+E和对角矩阵相似。
C.矩阵A属于1与一1的特征向量相互正交。
D.方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。
3.设A为n阶可逆矩阵，A是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A *的特征值之一是( )（分数：2.00）A.λ一1｜A｜n。
B.λ一1｜A｜。
C.λ｜A｜。
D.λ｜A｜n。
4.已知A是四阶矩阵，A *是A的伴随矩阵，若A *的特征值是1，一1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.A—E。
B.2A—E。
C.A+2E。
D.A一4E。
5.已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T。
B.A 2。
C.A 一1。
D.A一E。
6.设λ=2是非奇异矩阵A 2.00）7.已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0( )（分数：2.00）A.必是A的二重特征值。
B.至少是A的二重特征值。
C.至多是A的二重特征值。
D.一重、二重、三重特征值都有可能。
8.三阶矩阵A的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩r(A)=0。
B.秩r(A)=1。
C.秩r(A)=2。
D.条件不足，不能确定。
9.已知α1 =(一1，1，a，4) T，α2 =(一2，1，5，a) T，α3 =(a，2，10，1) T是四阶方阵A的三个不同特征值对应的特征向量，则( )（分数：2.00）A.a≠5。
[考研类试卷]考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷21.doc
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[考研类试卷]考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷21一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 n阶方阵A有n个互不相同特征值是A与对角矩阵相似的（A）充分必要条件．（B）充分而非必要的条件．（C）必要而非充分条件．（D）既非充分也非必要条件．2 设A、B都是n阶矩阵，则A与B相似的一个充分条件是（A）r(A)=r(B)．（B）｜A｜=｜B｜．（C）A与B有相同的特征多项式．（D）A、B有相同的特征值λ1，…，λn，且λ1，…，λn互不相同．3 设n阶矩阵A与B相似，则（A）λE-A=λE-B．（B）A与B有相同的特征值和特征向量．（C）A和B都相似于同一个对角矩阵．（D）对任意常数t，tE-A与tE-B都相似．4 与矩阵D=相似的矩阵是二、填空题5 设α1=(1，0，-2)T和α2=(2，3，8)T都是A的属于特征值2的特征向量，又向量β=(0，-3，-10)T，则Aβ=_______.6 设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为，则行列式｜B-1-E｜=_______．7 设向量α=(1，0，-1)T，矩阵A=ααT，a为常数，n为正整数，则行列式｜aE-A n｜=_______．8 设可逆方阵A有一个特征值为2，则(A2)-1必有一个特征值为_______．9 设可逆方阵A有特征值λ，则(A*)2+E必有一个特征值为_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10 设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且x为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．11 设3阶方阵A的特征值为2，-1，0，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，若B=A3-2A2+4E，试求B-1的特征值与特征向量．12 已知向量α=(1，k，1)T是A=的伴随矩阵A*的一个特征向量，试求k 的值及与α对应的特征值λ．13 设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=，ξ2，ξ3=，又向量β=(1)将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；(2)求A nβ(n为正整数)．14 设矩阵A=，｜A｜=-1，A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(-1，-1，1)T．求a，b，c和λ0的值．15 已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量．(1)试确定a，b的值及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵?说明理由．16 设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．17 设A=有3个线性无关的特征向量，求x与y满足的关系．18 设3阶矩阵A的特征值为-1，1，1，对应的特征向量分别为α1=(1，-1，1)T，α2=(1，0，-1)T，α3=(1，2，-4)T，求A100．19 设3阶矩阵A与对角阵D=相似，证明：矩阵C=(A-λ1E)(A-λ2E)(A-λ3E)=O．20 设矩阵A=相似．(1)求a，b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=B．21 设A=，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．22 已知矩阵A=有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的2重特征值．试求可逆矩阵P，使P-1AP成为对角矩阵．23 下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?24 设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使A m=O，证明：A必不相似于对角矩阵．25 设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα-2A2α-A3α=0，令矩阵P=[α，Aα，A2α]， (1)求矩阵B，使AP=PB； (2)证明A相似于对角矩阵．26 设A为3阶矩阵，｜A｜=6，｜A+E｜=｜A-2E｜=｜A+3E｜=0，试判断矩阵(2A)*是否相似于对角矩阵，其中(2A)*是(2A)的伴随矩阵．27 设A、B均为n阶矩阵，且AB=A-B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明：(1)λi≠-1(i=1，2，…，n)； (2)AB=BA； (3)A的特征向量都是B的特征向量； (4)B可相似对角化．28 设A=已知线性方程组Ax=β有解但解不唯一．试求：(1)a 的值；(2)正交矩阵Q．使Q T AQ为对角矩阵．29 设矩阵A=，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．30 设矩阵A=的特征值之和为1，特征值之积为-12(b＞0)．(1)求a、b 的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．31 设矩阵A=可逆，向量α=是矩阵A*的一个特征向量，λ是α对应的特征值．其中A*是A的伴随矩阵．试求a、b和λ的值．32 设α=(a1，2，…，a n)T是R n中的非零向量，方阵A=ααT．(1)证明：对正整数m．存在常数t．使A m=t m-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．33 设n阶矩阵(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．34 设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A的属于特征值6的特征向量． (1)求A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵A．35 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，α3=2α2+3α3 (Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B； (Ⅱ)求矩阵A的特征值； (Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．36 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解，求出矩阵A及(A-E)6．。
《3.1.2 特征值与特征向量的求法》习题1
《3.1.2 特征值与特征向量的求法》习题1
1.已知1221M，17，试计算50M．
2．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（2，
0），C（2，1），求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的
图形的面积，这里矩阵：
3.请用逆矩阵的方法求下面二元一次方程组的解2332xyyx
4．已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45，再作关于x轴反射变
换，求这个变换的逆变换的矩阵．
5．已知矩阵111Aa，其中aR，若点(1,1)P在矩阵A 的变换下得到的点1(0,3)P
（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量.
6.学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，
凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20％改选B，而选B菜的，下周星期一则有
30％改选A，若用A、B分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数.
(1)若，请你写出二阶矩阵M；（2）求二阶矩阵M的逆矩阵
nn
nnnnBAMBA1
1
特征值和特征向量例题
特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）是线性代数中矩阵分析的重要概念。
如果一个非零向量v在乘以某个方阵A后只是被缩放，那么这个向量就被认为是A的特征向量。
在这种情况下，缩放因子被称为特征值。
例题：给定一个 2x2 矩阵A：| 2 1 || 1 2 |请找出矩阵A的特征值和特征向量。
解：step 1：设λ是特征值。
特征方程是：det(A - λI) = 0 ，其中I是单位矩阵，维度与A相同。
直接代入可得到特征方程。
det(A - λI) = det( | 2-λ 1 | ) = (2-λ)(2-λ) - 1×1 = λ^2 - 4λ + 3 = (λ-3)(λ-1). | 1 2-λ |step 2：求解特征值。
解特征方程可得特征值：λ1 = 3 和λ2 = 1。
step 3：根据特征值求对应的特征向量。
以λ1 = 3为例，使用方程 (A - λ1I)v = 0 ，求解特征向量v。
代入特征值：| 2-3 1 | |x1| |-1 1| |x1|| 1 2-3| |x2| = | 1 -1| |x2|可以看出，方程式有无穷多组解，任意倍数的解都是可行的。
我们取最简单位特征向量 v1 = | 1 |。
| 1 |对于特征值λ2 = 1, 同样使用方程 (A - λ2I)v = 0，求解特征向量：| 2-1 1 | |x1| | 1 1| |x1|| 1 2-1| |x2| = | 1 1| |x2|解之后取得另一个特征向量 v2 = | 1 |。
| -1 |答案：特征值λ1 = 3 和λ2 = 1，对应的特征向量为 v1 = | 1 | 和 v2 = | 1 |。
| 1 | | -1 |。
特征值特征向量练习
第五章综合练习1、设向量(1,2,0)T α=-，(2,,1)T t β=正交，那么t =。
2、设三阶矩阵A 的三个特征值为1,2,4，那么1A -的特征值为，*A 的特征值为。
3、设三阶矩阵A 的三个特征值为1,1,2-，那么22A A I -+=。
4、四阶矩阵A 相似于矩阵B ，A 的特征值为3,4,5,6， 那么B I -=。
5、(1,1,1)T x =-是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，那么a =，b =，特征向量x 所对应的特征值λ=。
6、矩阵400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的对应 的全部特征向量为，对应 的全部特征向量为，……。
7、设20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，那么x =，y =。
8、设3阶矩阵A 的特征值1231,1,3λλλ=-==，对应的特征向量依次为1231101,1,1011p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么A =。
9、设120020211A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭，那么100A =。
10、设矩阵1114335A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，A 有三个线性无关的特征向量，且2λ=是A 的二重特征值，那么a =，b =。
使得1P AP -为对角矩阵的可逆矩阵P =。
11、设A 是正交矩阵，那么行列式A 的值为。
12、设实对称矩阵A 还是幂等矩阵，那么A 的特征值为。
13、二次型2232428y z xy yz zx -+-+的对应矩阵A =。
14、设210120003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，使得T AT '为对角阵的一个正交矩阵T =。
15、设2225242f x y z axy yz zx =++++-为正定二次型，那么参数a 的取值范围是。
线性代数综合问答1、行列式与矩阵主要有哪些不同之处？2、除了行列式的定义和性质之外，列举出至少三个和行列式计算有关的 命题或定理。
第五章 方阵的特征值与特征向量练习 2
第五章 练习一 方阵的特征值与特征向量一、填空题1.设3=λ是n 阶方阵A 的一个特征值，则行列式=-E A 32. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100030002A 的特征值为3.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=x A 44174147的特征值12,3321===λλλ,则=x . 二、选择题1.设2=λ是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵E+13)21(-A 有一个特征值为( ) (A)41 (B)45 (C)5 (D)54 2．设A 为n 阶矩阵,则A 以0为一特征值是A 为不可逆矩阵的( )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)既非充分也非必要条件 (D)充分必要条件3.设A 为n 阶方阵,则下列结论正确的是( )(A)若A 可逆,则A 对应于λ 的特征向量也是1-A 对应于特征值λ1的特征向量 (B)A 的特征向量的任意线性组合仍为A 的特征向量(C)特征向量由特征值唯一确定(D)设λ是A 特征值,则0)(=-x E A λ的解向量都是A 的特征向量 三、求出矩阵201021111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量四、已知T -=)3,2,1(p 是矩阵3212231A a b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征向量,求a , b 和特征向量p 所对应的特征值λ。
五、已知122224242A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,求(1)的特征值和特征向量A ,(2)E A 21--的特征值. 第五章 练习 相似矩阵及对角化一、填空题1.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x 00130011与B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300020001相似，且有B AP P =-1则x = ;P= 2.设n 阶方阵A 有n 个特征值0,1,2,…n-1,且A 与B 相似,则|B+E|=3．设矩阵A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=12422421x 与对角阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似,则=x ，=y 二、选择题1. 矩阵A 与B 相似,下列说法正确的是( )(A) E B E A λλ-=- (B)A 与B 有相同的特征值和特征向量(C) A 与B 相似于同一个对角矩阵 (D)对于任意常数t ,A tE - 与B tE -相似2.下列说法错误的是 ( )(A) 矩阵A 与B 可相似对角化为同一个对角矩阵 ,则A 与B 相似(B) A 与B 有相同的特征值, 则A 与B 相似(C) A 所有的k 重特征值都有k 个线性无关的特征向量 ,则A 可对角化.(D ) n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是其可对角化的充分非必要条件三、判断下列矩阵能否对角化,若能,化为对角形矩阵(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212044010A (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6116100010A 四、设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----142252001,求n A五、设3阶矩阵A 的特征值为;1,2,2321=-==λλλ对应的特征向量依次为T =)1,1,0(1p T =)1,1,1(2p T =)0,1,1(3p ,求A六、已知3,6321===λλλ是3阶实对称矩阵A 的3个特征值,且对应于332==λλ 的特征向量是 TT -=-=)1,2,1(,)1,0,1(32αα,求A 的对应特征值6的所有特征向量. 七、求一正交相似变换矩阵,将对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A 对角化.八、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 131111的秩为2,当A 的特征值之和最小时,求正交矩阵P,使得AP P T 为对角矩阵.九、证明题1.已知矩阵A 相似于矩阵B,试证：A 可逆,则B 可逆,且1-A 相似于1B -2.已知A 可逆 ,证明: 矩阵AB 相似于BA3.证明:n 阶实对称矩阵A 和B 有相同的特征值,则A 和B 相似.。
线性代数同步练习册第五章(19题,10页)
第五章特征值与特征向量1、求下列矩阵的特征值以及特征向量.(1)310 22⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)100110232⎛⎫⎪-⎪⎪⎝⎭.(3)222254245-⎛⎫⎪-⎪⎪--⎝⎭.(4)212533102-⎛⎫⎪-⎪⎪--⎝⎭.２、已知矩阵 74147144A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的特征值为3（二重）和12，求a 的值及矩阵A 的特征向量.3、已知矩阵2253102x A y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的特征值为-1（三重），求,x y 的值及矩阵A 的特征向量.4、已知矩阵 111A a bc d e f ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 向量123(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)T T Tααα==-=-是A 的特征向量，求,,,,,a b c d e f 的值..5、已知矩阵15310ac A b c a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭.其行列式1A =-. 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征向量0λ，且属于0λ的特征向量为(1,1,1)T α=--，求0,,,a b c λ的值.6、设,A E 分别是三阶方阵和单位矩阵，且满足0E A -=，0E A +=以及20E A +=，求行列式2E A A ++的值..7、设123,,x x x 分别是1232210318x x x -+-=--的根，求123x x x ++的值.8、若n 阶方阵A 满足2A A =，则称A 是幂等矩阵. 证明幂等矩阵的特征值只能是0或1.9、若n 阶方阵A 满足0mA =，则称A 是幂零矩阵. 证明幂零矩阵的特征值只能是0.10、设向量(1,1,1)T α=-是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量.（1）求参数,a b 及特征向量α所对应的特征值；（2）判断A 是否可以相似对角化，并说明理由.11、设矩阵,A B 相似，其中11124233A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，20002000B b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求参数,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=.12、设矩阵3513A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求100A .13、设矩阵460350361A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，求mA （其中m 为正整数）.14、设矩阵320222021A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.求正交矩阵T ，使得1T AT -为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵.15、设3阶实对称矩阵A 的特征值是1，2，3，且属于特征值1，2的特征向量分别是12(1,1,1),(1,2,1).T T αα=--=-- （1）求A 的属于特征值3的一个特征向量； （2）根据（1）中的结果试求矩阵A .16、试证：若A是n阶实对称矩阵，且A是幂零矩阵，则0A=. 17、试证：若A是奇数阶实正交矩阵，且1A=，则1是A的一个特征值.18、试证：若A是n阶实正交矩阵，且1A=-，则-1是A的一个特征值. 19、设矩阵A是n阶矩阵，且满足2A A=. 证明存在可逆矩阵T，使得1(1,1,,1,0,,0)T AT diag-=.第五章 特征值与特征向量 自测题一、选择题1、设n 阶方阵A 满足2230A A E --= ，则下面选项错误的是 ( ). (A) 3是A 的特征值 (B) A 是可逆矩阵(C)A 可以相似对角化 (D) -1不是TA 的特征值2、已知矩阵A 与对角矩阵100010001D ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则2A =（ ）.(A) A (B)D (C) E (D) E -3、矩阵311131113--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 和100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的关系是（ ）. (A) 既合同又相似 （B ）相似但不合同(C) 合同但不相似 (D) 既不合同又不相似4、设n 阶实方阵A 满足120A =，则（ ）.(A)A E +可逆，但A E -不可逆 （B ）A E +、A E -都可逆 (C)A E +不可逆，但A E -可逆 (D) A E +、A E -都不可逆5、已知Q 是n 阶可逆方阵，T A Q Q =，λ为A 的特征值，则（ ）. (A) 0λ>； (B) 0λ=； (C)0λ< (D)前三个选项都有可能.二、填空题1、设3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，*A 为A 的伴随矩阵，则*2A E += .2、设123,,x x x 分别是1113110911x x x ---+-=---的根，则123x x x 的值= . 3、设126,2λλ==是实对称矩阵A 的特征值，向量(2,1,1),Tt α=-+(,1,2)T t β=-为分别属于6,2的特征向量，则t = .4、若矩阵01ac b c ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交矩阵，222)a b c ++= . 5、设,A E 分别是三阶方阵和单位阵，且E A -，,E A +2E A +均不可逆，则行列式2E A += .三、利用特征值、特征向量以及相似对角化等知识，计算100011210121103---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.四、设A 为三阶方阵，123,,ααα为线性无关的三维向量组，且满足1123,A αααα=++2232,A ααα=+32323A ααα=+.（1）求矩阵B ，使得123123(,,)(,,)A B αααααα=；（2）由（1）中结果，利用相似矩阵的性质，求矩阵A 的特征值； （3）由（1）、（2）中结果，利用相似矩阵的性质，求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵.五、当b为任意实数时，矩阵b bb bAb b⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭是否可以相似对角化？为什么？若能对角化，写出与矩阵A相似的对角形矩阵. 六、已知n阶实方阵1000010000010000Aλλλλ⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，求证A不能相似对角化.。
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特征值与特征向量练习题
§1 特征值与特征向量
1．求下列矩阵的特征值及对应的特征向量：
（1）200210311； （2）011101110。
2．求n阶矩阵111aaaaaaA的特征值（0a）。
3．已知12是矩阵44174147a的特征值，求a。
4．已知3阶矩阵A的三个特征值为1，2，3。
（1）求||A；
（2）求1A和*A的特征值；
（3）求IAA22的特征值。
5．已知n阶方阵A满足OIAk)(，求||A。
6．已知方阵A满足05322IAA，证明IA2可逆。
7．设4阶方阵A满足0|2|AI，IAA2T，0||A，求A的伴随矩阵*A的
一个特征值。
8．设矩阵1240011ba的特征值为1，2，3，求a，b。
9．已知矩阵0011100baA有三个线性无关的特征向量，问a与b应满足何种关
系？
10．已知211ξ是矩阵312212aabA的一个特征向量，求a，b和ξ对应的特
征值。
11．已知2是2214013baA的特征值，21ca是1A的特征值0对
应的特征向量，求a，b，c，0的值。
12．设3阶矩阵A的特征值为1，0，1，与之对应的特征向量分别为
Taaa)2,3,(1a，T
aa)1,1,2(2a
，
T
a)1,2,1(3a
。
若还有02533081085aaa，求a与A。
13．设a11121112A是可逆矩阵，Tb)1,,1(a是A的伴随矩阵*A的特征向量，
且是a对应的特征值，求a，b，。
14．已知3阶矩阵A的特征值为1，1，2，求矩阵1*1)(2AOOA的特征值。
15．设A是n阶矩阵，且每行元素之和均为a。证明：
（1）a是A的特征值，T)1,,1,1(是对应的特征向量；
（2）当A可逆且0a时，分别求1A和AA321的各行元素之和。
16．设A是对合矩阵，即满足IA2的方阵。证明：
（1）A的特征值只能是1或1；
（2）若A的特征值全为1，则IA。
17．已知4阶矩阵)(ijaA有二重特征值0，且1是A的单重特征值，求A的特
征多项式||IA。
18．设)(ijaA是n阶方阵。证明：若A的每行元素的绝对值之和小于1，则A的
特征值的模小于1。
19．设n阶矩阵)(ijaA的特征值为
n,,,21
，证明：
ninjjiijniiaa111
2
。
20．设A是n阶矩阵。证明：若每个非零n维列向量都是A的特征向量，则A是
数量矩阵，即nkIA（k是数）。
21．（1）设A是nm矩阵，B是mn矩阵，且nm。证明：
||||BAIABI
nnm
m
；
（2）设ia（ni,,2,1，3n）为实数，满足021naaa，求矩
阵
1111111112212221212121nnnnnaaaaa
aaaaa
aaaaa
A
的特征值。
21．设000acabcbA，证明OAA)(2223cba。
§2 方阵的相似化简
1．判断下列矩阵是否能与对角矩阵相似。若相似，求出可逆矩阵P，使得
APP
1
为对角矩阵：
（1）314020112A； （2）100010211A。
2．设
5000100011A， 5001100112A，
5000101012A
。
（1） 说明1A，2A和3A有相同特征值；
（2） 判别1A，2A和3A之间的相似关系。
3．设方阵11322002xA与y00020001B相似，求x，y。
4．已知3阶方阵A有特征值1，1，3，与之相对应的特征向量分别为
T)0,1,2(1a，T
)1,0,1(2a
，T)1,1,0(3a，
求矩阵A。
5．已知3阶方阵A有特征值1，2，3，与之相对应的特征向量分别为
T)1,1,1(1a，T
)4,2,1(2a
，T)9,3,1(3a。
设T)3,1,1(b。
（1） 将b用1a，2a，3a线性表示；
（2） 求bAn（1n）。
6．已知111ξ是矩阵2135212baA的特征向量。
（1）求a，b及ξ所对应的特征值；
（2）问A是否能对角化？
7．已知0是矩阵2142214kkkA的特征值。
（1）求k的值；（2）问A能否对角化？
8．已知矩阵5334111baA有3个线性无关的特征向量，且2是A的二重
特征值。
（1） 求a，b的值；
（2） 求可逆矩阵P使得APP1为对角矩阵。
9．设001010100B。若矩阵A与B相似，求rank)2(IArank)(IA。
10．已知60028022aA相似于对角矩阵Λ，求常数a，并找出可逆矩阵P，使
得ΛAPP1。
11．已知010100002A，260010001B，试判断A与B是否相似，若相似，
求出可逆矩阵P，使得APPB1。
12．设112020021A，求100A。
13．设1,0qp，5.00x，5.00y。数列}{nx和}{ny满足
,)1(,)1(11nnnnnnyqpxy
qyxpx
,1,0n。
求数列}{nx和}{ny的通项公式。
14．设A，B都是n阶矩阵，且A可逆，证明AB与BA相似。
15．已知n阶方阵A满足OIAA652，证明：A可对角化。
16．设A，B，C，D都是n阶矩阵。证明：若A与B相似，C与D相似，则
C
A
与DB相似。
17．设A，B，C都是n阶矩阵，且A，B各有n个不同特征值。记
||)(IAf
为A的特征多项式。证明：若)(Bf可逆，则
BOCAM
相似于对角矩阵，其中O为n阶零矩阵。
18．设A，B都是n阶非零矩阵，且OAA2，OBB2，OAB与
OBA
至少有一个成立。证明：（1）1必是A和B的特征值；
（2）若1a，2a分别是A和B对应于1的特征向量，则1a，2a线性无关。