第四章__几种重要的分布

第四章 几种重要的分布在这一章，我们要介绍几种重要的分布 首先介绍离散型随机变量的分布§4.1 常用的离散型随机变量的分布一、退化分布在所有分布中，最简单的分布是退化分布，即一个随机变量X 以概率1取一常数，即 ()1P X a == 则称X 服从a 处的退化分布。

,0E X E a a D X D a ====二、0-1分布前面我们学习了贝努力试验。

对于贝努力试验，只有两个结果：成功或失败（A 和A ），如抛一枚银币（正、反）；检查一件产品（合格、不合格）；一次射击（命中、不命中），都可看做一个贝努力试验。

在一次试验中，设成功的概率为p ，()PA p =，()1P A p q =-=，不同的p 表示不同的贝努力试验。

如检查一批产品中，)P （合格品=0.9，()P 不合格品=0.1。

用来描述贝努力试验的随机变量分布为0-1分布，0，1代表将试验的两个结果定义为0，1.即随机变量X 只可能取0，1两个值，它的分布律为1()(1)(0,1)i iP X i p p i -==-= (0)(1)P X p ==- (1)P X p == 称XE X p = (1)D X p p =-三、二项分布由n 个相同的独立的贝努力试验组成的随机试验称为n 重贝努力试验。

如抛硬币3次，检查7个产品，打100次靶等都属于多重贝努力试验。

1.定义：在n 重贝努力试验中，每次试验事件A 发生的概率都为(01)p p ≤≤，设X 为n 次试验中事件A 发生的次数，则X 的可能取值为0，1，2，,n L()(1),0,1,,k k n k nP X k C p p k n -==-=L不难验证（1）()0P X k =≥ （2）0()1nk P X k ===∑称随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，记作~(,)X B np()PX k =的值恰好是二项式n （p x +q ）展开式中第1k +项kx 的系数。

因此我们称该分布为二项分布。

其中，当1n =时，1()(1)(0,1)i iP X i p p i -==-=称X 服从（0-1）两点分布 事件Ａ至多出现m 次的概率是mk k n -knk =0P {0m }=C P q X ≤≤∑ 事件Ａ出现次数不小于l 不大于m 的概率是mk k n -k nk =l P {l m }=C P q X ≤≤∑ 例 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X 为所取的3个中的次品数，则~(3,0.05)X B 于是，所求概率为：223(2)(0.05)(0.95)0.007125P X C === 例：一个袋子中装有N 个球，其中1N 个白球，2N 个黑球（12N N N +=），每次从中任取一个球，查看完颜色后再放回去，一共取了n 次，求取到白球数X 的分布。

解：由于是放回试验，每次取球为1次试验，n 次取球可视为n 重贝努力试验，每次取到白球的概率为1N p N =，故1~(,)NX B n N 分布为 11()()(1),0,1,,k k n k nN N P X k C k n N N-==-=L 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；（2）每次试验只考虑两个互逆结果A 或A ,()PA p =，()1PA p q =-=(3）各次试验相互独立简单的说：二项分布描述的是n 重贝努里试验中出现“成功”次数X 的概率分布.例：某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.解: 设X 为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 ~(3,0.8)X B33()(0.8)(0.2),k k kP X kC -== (1)(0)(1)0.104P X P X P X ≤==+== 把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.82.二项分布的期望和方差期望：n k 0k k E (X )P {X }==?ån -knkk 0kp(1-p )k n C ==?å nk n -kk 0n !k p (1)k !(n k )!p ==?-åk -1(n -1)-(k -1)nk1n p (n 1)!pq (1)![(1)(1)]!k n k =-=----å k -1(n -1)-(k -1)nk1n p (n 1)!pq(1)![(1)(1)]!k n k =-=----å nk -1(n -1)-k -1k 1(1)!p q (1)![(1)(1)]!n n p k n k =-=----å（）111(1)(1)110(1)n k k n k n k n p Cp p --------==-å1p (pq )p .n n n -=+= 方差：220!()(1)!()!nk n k k n E X k p p knk -==--∑1!(1)(1)!()!nk nk k k n p p k n k -==---∑ 1(11)!(1)(1)!()!nk nk k k n p p k n k -=-+=---∑1(11)!(1)(1)!()!nk nk k k n p p k n k -=-+=---∑ 11(1)!!(1)(1)(1)!()!(1)!()!n nk n k k n kk k k n n p p p p k n k k n k --==-=-+-----∑∑ 21!!(1)(1)(2)!()!(1)!()!n nk n k k n kk k n n p p p p k n k k n k --===-+-----∑∑ 21221121(1)(1)(1)n n l l n lj j n jn n l j n nC p p n C p p --+--+----===--+-∑∑ 21221121(1)(1) (1)n n l l nl j j n jn n l j n n C p p n C p p --+--+----===--+-∑∑ 2122121=(1)(1)(1)n n l ln lj j n j n n l j n npC p p n p C p p --------==--+-∑∑2(1)n n p n p =-+ 222()(1)(1)D n n p n p n p n p p ξ=-+-=-3.二项分布最可能的值二项分布中X 可以取值0,1,2,,n L 。

使概率()PX k =取最大值的k ，记作0k ，称0k 为二项分布的最可能值。

000P (=k )1 (1)P (=k -1)P (=k )1 (2) P (=k +1)ξξξξ⎧≥⎪⎪⎪⎨⎪⎪≥⎪⎩ 00P(=k )1P(=k -1)ξξ≥ 000000k k nk 0n k1k 1nk 1n 0(n k 1)P C P q =1C P q k q ----+-+≥ 00(nk 1)p k q -+≥ 00n pk pp k q -+≥ 0 k n p p ∴≤+ 00P(=k )1P(=k +1)ξξ≥ 000000k k nk0n k1k 1nk 1n 0(k 1)q C Pq =1C P q (n -k )p -++--+≥ 00(k 1)q(n -k )p +≥ 0 k n p p -1∴≥+ 0 n p +p -1k np p ∴≤≤+ []0n ppn p +p -1 n p +p k =n p +p +⎧⎪∴⎨⎪⎩和当为整数时其他 而且从二项分布的图形特点也可以看出来：对于固定n 及p ，当k 增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.例：某批产品中有８０％的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出４个样品，求其中一等品数ξ的最可能值，并用贝努里公式验证。

解 X 服从二项分布，~(4,0.8)X B 3.20.84n p p +=+=是整数，所以0043k k ==和时0()PX k =为最大。

即取出４个样品时，一等品个数最可能是３或４。

例：某人进行射击，命中率为0.02，射击400次，至少击中2次的概率。

解：由题意。

设击中次数为X ， ~(400,0.02)XB 400400()(0.02)(0.98),0,1,2,,400k k kP X k C k -===L4001399400(2)1(0)(1)10.980.020.980.9972P X P X P X C ≥=-=-==--•≈ 可以看出计算量非常大。

因此必须寻求近似方法。

说明：尽管每一次射击的命中率非常小，但如果射击的次数很大，命中目标的概率就非常大。

四、普哇松分布在历史上普哇松分布是作为二项分布的近似函数，于1837年有法国数学家普哇松（Poisson ）首次提出。

1.定义如果随机变量X 的概率函数为k~{},0,1,2,...!X P X k e k k λλ-=== 其中0λ> ，则称X 服从普哇松(Poisson) 分布。

利用级数k k =0=e k !x x ∞∑，k kk =0k =0e =e =e e=1k !k!λλλλλλ∞∞---⋅∑∑ 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。

在实际中，许多随机现象服从或近似服从普哇松分布。

像某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;一匹布上的疵点个数；一本书中的错别字个数等等都可近似服从普哇松分布。

由此普哇松分布总与计数过程有关，且在一定时间内，一定区域内或一定单位内的前提下进行的。

普哇松分布的方便之处在于其概率的计算可以利用普哇松分布表。

查表练习。

2.普哇松定理：在n 重贝努力试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为n p （这里与n 有关），如果n →∞时，n n p λ→（λ为常数），则对任意的k ，有l i m(;,)!kn n bknp e k λλ-→∞= 定理的条件意味着当 n 很大时，n n p 必定很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式：(1)!k kk n kne Cp p k λλ---≈其中np λ=在实际中，当20,0.05n p ≥≤时，该近似公式适用。

当100,10n n p ≥≤效果比较好，可通过查表进行计算。