点赋权图上固定顶点的树划分问题
电子科技大学-图论第一次作业-
课本习题一：
4. 证明下面两图同构。
v1
u1
v2
v6
v10 v5
v7
v8 v9
v3
v4 (a)
u6 u5
u2
u8
u10
u3
u7
u9
u4
(b)
证明:作映射 f : vi ↔ ui (i=1,2….10)
容易证明，对vi v j E ((a)),有 f (v i vj,),,ui,uj,,E,((b))
中不
3.设 G 是阶大于 2 的连通图，证明下列命题等价：
（1）
G 是块
（2）
G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一
个圈上；
（3）
G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。
： 是块，任取 的一点 ，一边 ，在 边插入一点 ，使得 成为两条边，由此 得到新图 ，显然 的是阶数大于 的块，由定理 4， 中的 u,v 位于同一个 圈上，于是 中 u 与边 都位于同一个圈上。
件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图
有 11 个。
11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）
不是图序列。
证明：由于 7 个顶点的简单图的最大度不会超过 6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不
是图序列；
（6,6,5,4,3,3,1）是图序列
(G1) 2 最小边割{（6,5），（8,5）} {（6,7），（8,7）}{（6,9），（8,9）}
1j 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。
5.证明：四个顶点的非同构简单图有 11 个。
证明：设四个顶点中边的个数为 m，则有：
05第5讲 图论模型
4
目标函数是使得 z wij xij 最小化。
i 1 j 1
n
n
约束条件分成如下 4 类： （1）根 v1 至少有一条边连接到其他的顶点，
v1
4 2 4 5 3
v2
1 3 4 4 2
v3
v1
1
v8
1
v0
1
v4
1
v8
v7
2
v2 1
v0
1
v3 1 v4 v5
5
v7
2 v6 (a)
5
v5
2 3
v6
2
图 5.4 生成的最小生成树
v0 , v1 ,
求最小生成树的 Kruskal 算法的 MATLAB 程序如下（用 MATLAB 计算时，顶点 ： , v8 分别编号为 1, 2, ,9 ） clc, clear a=zeros(9); a(1,[2:9])=[2 1 3 4 4 2 5 4]; a(2,[3 9])=[4 1]; a(3,4)=1; a(4,5)=1; a(5,6)=5; a(6,7)=2; a(7,8)=3; a(8,9)=5; a=a'; %转成 MATLAB 需要的下三角元素 a=sparse(a); %转换为稀疏矩阵 b=graphminspantree(a,'Method','Kruskal') %注意要写 Kruskal 算法，否则使用 Prim 算法 L=sum(sum(b)) %求最小生成树的权重 view(biograph(b,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on')) %画最小生成树,
图论讲义1图路树
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流(高级课堂)
v4
v5
高等课堂 7
图与网络的基本概念与模型
环, 多重边, 简单图
e1
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 v2
e2
e4 v1e3
v3
之间多于一条，称为多重边，如右图
e5
中的e4和e5，对无环、无多重边的图
e6
e7
e8
称作简单图。
v4
v5
高等课堂 8
图与网络的基本概念与模型
的长度（单位：公里）。
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
43
10
4
4
2
v5
v6
解：这是一个求v3无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向图，
即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法来求解。
最短路问题
最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找 到一条从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小， 这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总 和被称为从Vs到Vt的距离。
• 求最短路有两种算法:
狄克斯屈拉(Dijkstra)（双标号）算法 逐次逼近算法
• 图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 • 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲
直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。
图的定义(P230)
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图 G可以定义为点和边的集合，记作：
数学建模图论模型
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树， 则称G’是图G 的生成树。
例 Ramsey问题
图1
图2
并且常记: V = v1, v2, … , vn, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}ek=vivj , |E | = m
称点vi , vj为边vivj的端点 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为n,m图
8
对于一个图G = V, E , 人们常用图形来表示它, 称其 为图解 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
4、P'代替P,T'代替T,重复步骤2,3
定理2 设 T为V的子集，P=V-T，设 (1)对P中的任一点p,存在一条从a到p的最短路径,这条路径仅有P中的
点构成, (2)对于每一点t,它关于P的指标为l(t),令x为最小指标所在的点, 即:
l(x)mli(tn )} t{ ,T
(3)令P’=P Ux,T’=T-{x},l’(t)表示T'中结点t关于P'的指标,则
解：用四维01向量表示人,狼,羊,菜例在过河西河岸问的题状态(在
岸则分量取1;否则取0)，共有24 =16 种状态; 在河东岸 态类似记作。
由题设，状态(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)是不允许的
其对应状态：(1,0,0,1)， (1,1,0,0)，(1,0,0,0)也是不允许
DM-专题8：带权图及其应用
∑ 若P(u,v)是赋权图G中从u到v的路,称 w(P) = w(e) e∈E ( P )
称为路P的权．
2) 在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小权
的路P*(u,v)，称为u到v的最短路．
固定起点的最短路
最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路． 假设在u0-ui的最短路中只取一条，则从u0到其 余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．
u1
u4
u6
u8
u3
u7
中国邮递员问题 (Chinese Postman Problem)
求邮递员走遍管区所有街道的最短回路
B5 C
3
5
A 8 14 10
D
4
9
F6 E
管梅谷(Guan Mei-gu), 1962, 中国
15
2013/4/25
是欧拉图吗?
B5 C
3
5
A 8 14 10
D
4
9
F6 E
26
2013/4/25
有效(efficient)算法
复杂度是多项式函数的算法 易解(tractable)问题: 有多项式复杂度算法的问题,如欧拉回
路,匹配,中国邮递员问题等
难解(intractable)问题: 没有多项式复杂度算法的问题, 如哈 密顿回路, 着色, 货郎问题等(目前还是猜想)
27
2013/4/25
16
2013/4/25
能变成欧拉图吗?
B5 C
3
5
A 8 14 10
D
4
9
F6 E
B5 C
3
图论
子图子图(subgraph) H ⊆ G ⇔ V(H) ⊆ V(G) , E(H) ⊆ E(G) 。
真子图 H ⊂ G 。
母图（super graph ）。
生成子图（spanning subg.） ⇔ H ⊆ G 且V(H) = V(G) 。
生成母图。
基础简单图 （underlying simple g.）。
导出子图（induced subg.）G[V’], (非空V’⊆ V ) ⇔ 以V’为顶点集，以G 中两端都在V’上的边全体为边集构成的G 的子图。
边导出子图 G[E’] 非空E’ ⊆ E ⇔ 以E’为边集，以E’中所有边的端点为顶点集的的子图。
G [{c, d, e}]G[{f, c]}例。
G =(V , E )G [{u ,w,x ,y }]G [{u ,w,x }]以上两种子图，其实，对应于取子图的两种基本运算。
下面是取子图的另两种基本运算： G - V’ ⇔ 去掉V’及与V’相关联的一切边所得的剩余子图。
⇔ 即 G[V \ V’]G - E’ ⇔ 从中去掉E’ 后所得的生成子图例。
G - {b, d, g}, ( = G[E \ {b, d, g}] ) G - {b, c, d, g}, ( ≠ G[E \ {b, c, d, g}] ) G - {a, e, f, g}. ( ≠ G[E \ {a, e, f, g}] ) 注意 G[E \ E’] 与G - E’ 虽有相同的边集，但两者不一定相等 ： 后者一定是生成子图，而前者则不然。
上述四种运算是最基本取子图运算，今后老要遇到，一定要认真掌握好。
关于子图的一些定义还有：G + E’ ⇔ 往G 上加新边集E’ 所得的（G 的母）图。
为简单计，今后将 G ± {e} 简计为 G ± e ；G - {v} 简计为 G - v 。
设 G 1, G 2 ⊆ G ，称G 1与G 2为 不相交的（disjiont ） ⇔ V(G 1) ⋂ V(G 2) = ∅ ( ∴ E(G 1) ⋂ E(G 2) = ∅ )边不相交 （edge-distjiont ）⇔ E(G 1) ⋂ E(G 2 ) = ∅ 。
图论基础知识汇总
图论基础知识汇总(总32页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
运筹学-第六章 图论1
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
【离散数学讲义】8.树与生成树53
2.弦:图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,
称为该生成树的补.
v1
定理2 :连通图G中至少有一棵生成树.
v2
v3
证明:如果G中无回路, 则G本身就是树. v4
v5
如果G中有回路,可以通过反复删去回路
中的边,使之既无回路,又连通.就得到生成树.
思考题:设G是有n个结点,m条边的连通图, 问要删去多少
为该结点的层次. 同一层次的结点称为兄弟结点.
7.树高:从树根到各个叶结点的路径中, 最长路径的长度,
称为该树的高度(树高).
三.举例: a)语法树
主语
句子
谓语短语
冠词 形容词 名词 动词
宾语
The little
b)算术表达式树 ((a+b)÷c)×(d－e)
19
42,58 24,34,42 19,23,24,34
17,17,19,23,24
11,13,17,17,19,23
7,10,11,13,17,19,23 5,5,7,11,13,17,19,23
2,3,5,7,11,13,17,19,23
23 24
34
11 13 17 17
7 10
55
23
5. 最优树的应用举例
34 6 6 v6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em
S=S∪{ai} j=j+1
|S|=n-1 Y 输出S 停 N
N
取ej使得
ai=ej i=i+1
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第１６卷第４期 ２００７年１０月 云南民族大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙｕｎｎａｎ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．１６ Ｎｏ．４
０ｃｔ．２００７
点赋权图上固定顶点的树划分问题 张同全 （１．云南民族大学数学与计算机科学学院，云南昆明６５００９１； ２．云南大学物理科学技术学院非线性中心，云南昆明６５００９１）
摘要考虑了点赋权图上固定后个顶点的树划分问题．首先证明了点赋树图上固定 个顶点的最小最大树划分问题是 ＮＰ一难的，然后给出了该问题的一个启发式算法，最后证明了该算法是点赋权完全图上固定ｋ个顶点的最小最大树划分问题 １ 的一个２一÷近似算法．
“
关键词反圈；启发式算法；导出子图；近似算法
【中图分类号】Ｏ１５７．５ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】１６７２－－８５１３（２００７）０４—０３０３—０３
Ｔｒｅｅ Ｐａｒｔｉｔｉｏｎ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｉｘｅｄ Ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｖｅｒｔｅｘ—Ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｇｒａｐｈｓ Ｚｈａｎｇ Ｔｏｎｇｑｕａｎ ’ （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｙｕｎｎａｎ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ ６５００３ １，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｓｙｓｔｅｍ Ｃｅｎｔｅｒ，Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ， Ｙｕｎｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ ６５００９ １，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ Ｍｉｎ——ｍａｘ ｔｒｅｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ—— ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｇｒａｐｈｓ．Ｔｈｅ ＮＰ—ｈａｒｄｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ．Ａ ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ｂｅ ａＩｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ａｌｇ。ｒｉｔｈｍ ｏｆ ｆａｃｔ０ｒ ２一 １ ｆ０ｒ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ。ｎ ｔｈｅ ｃ。ｍｐｌｅｔｅｄ ｇｒａｐｈｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ａｎｔｉ—ｃｙｃｌｅ；ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｉｎｄｕｃｅｄ ｓｕｂｇｒａｐｈ；ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．
１背景介绍 并行计算机系统处理器从网络上下载资料提出 这样一个问题：对于任何处理器都有自己固定的下 载能力，在固定的｜ｌ｝台处理器上各设置一套检测系 统，与某套检测系统所在的处理器属于同一子系统 的处理器的下载内容必须由该检测系统进行检测， 并行计算机系统处理器分成｜ｌ｝个子系统，保证每台 机器所下载的内容都能够得到检测，使得所有检测 系统所检测的内容最多者达到最小，此类问题归结 为图论问题便是点赋权图上固定｜ｌ｝个顶点的最小最 大｜ｌ｝树划分问题．下面给出此问题的具体定义． 定义１ 设给定的一个连通点赋权图为Ｇ＝
（Ｖ， ； ），这里 ： ｚ 为点赋权函数，固定的顶 点集合为Ｓ＝｛ ，， ：，…， ｝ｃ 固定｜ｌ｝个顶点的最 小最大｜ｌ｝树划分问题为求 的一个满足Ｓｎｖｉ≠ （ｉ ＝１，２…，｜ｌ｝），且 ｎ ＝ （对于任意ｉ≠ ）的划分
， ，… ，使得ｍａｘ｛ｗ（Ｇ［ ］）ｌｉ＝１，２，…，｜ｌ｝｝达 到最小． 其中：导出子图Ｇ［ｖｉ］是连通的，Ｗ（Ｇ［ ］）＝
∑ ｗ（ｖ），如果划分 使目标函数值达到最小，则 ｉ＝１ 称该划分为固定顶点的最小最大｜ｌ｝树划分问题的一
个最优划分． 文献［１］研究了点赋权树上无顶点限制（没有 点集．ｓ的限制）的最小最大｜ｌ｝树划分问题，并给出一
｛ 收稿日期：２００７—０３—２６． 基金项目：云南省教育厅科学研究基金资助项目． 作者简介：张同全（１９７９～），男，博士研究生，助教，主要研究方向：可计算性和计算复杂性、组合优化．
３０３
维普资讯 http://www.cqvip.com 云南民族大学学报（自然科学版） 第１６卷 个最优算法．文献［２］考虑了点赋权森林上无顶点 限制的 一树划分问题，并给出了一个最优算法．点 赋权图上无顶点限制的石一树划分问题为设给定的
一个连通点赋权图为Ｇ＝（ ，Ｅ； ）， ： ｚ 为点 赋权函数．求 的一个划分 ， ，…， ．其中：导
出子图Ｇ［ ］是连通的， ｃ Ｖ，ｕ ＝Ｖ，且 ｎ ＝ （对于任意ｉ≠ ），且对于任意的ｉ，都有 （Ｇ［ ］
，使得划分数．］｝达到最小．文献［３］研究了边赋 权图上固定顶点的树划分问题． 本文考虑了点赋权图上固定尼个顶点的最小最 大．］｝树划分问题．首先证明了该问题是ＮＰ一难的， 然后给出了该问题的一个启发式算法，最后证明了
该算法是点赋权完全图上该问题的一个（２一÷）一 近似算法．下面给出一个重要定义． 定义２设，是以正整函数ｃ为费用的一个最 优化（最小或者最大）问题，而Ａ是一个算法，使得 对于，的任意给定实例， ，它会得到可行解 （， ）， 用，（， ）表示， 的最优解，于是对于某个固定正数 ．］｝ １，我们称算法Ａ是，的．］｝一近似算法当且仅当对 于所有的实例， ， 都有ｍａｘ 琵 ， 参 后成立．并
且当．］｝的上界为无穷大或者不能确定时，我们称算 法Ａ是，的一个启发式算法． 本文所用到的其他记号和定义都可以在文献 ［４］中找到．
２主要结果 下面证明了点赋权图上固定．］｝个最小最大．］｝树 划分问题是ＮＰ一难的． 定理１ 固定．］｝个顶点的最小最大．］｝树划分问 题是ＮＰ一难的． 证明：我们把３一划分问题的任何一个实例多 项式归结到点赋权图上固定．］｝个顶点的最小最大．］｝ 树划分问题的一个实例． 考虑３一划分问题的一个实例Ｉ：给定了一个 由３Ｎ个正整数组成的集合＝｛。 ，。 ，…，。， ｝，正整 ｒ） ｎ 数Ｂ，并且 ＜Ⅱｉ＜等（１ ｉ＜＿３Ｎ），∑ Ⅱｉ＝ ．问
’ｔ 是否存在Ａ的一个划分Ａ ，Ａ ，…，Ａ
使得∑ａｅＡｉ￣ｌ＝Ｂ（ｉ＝１，２，…，Ⅳ）？ 构造固定Ⅳ个顶点的最小最大Ⅳ树划分问题 的实例， 如下：构造图Ｇ＝（ ，Ｅ； ），其中Ｖ： ，
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ｓ２，…，ｓⅣ； １， ２，…， ３Ⅳ｝，Ｅ＝ Ｉ ｉ＝１，２，…，３Ⅳ｝， （ ｉ）＝０， （ ）＝口，，Ｓ＝｛ １， ２，…， ｝． 下面我们将证明论断３一划分问题的实例，有 解的充分必要条件是固定Ⅳ个顶点的最小最大划 分问题的实例， 有目标函数值为Ｂ的最优解 必要性：设３一划分问题的实例，有解为Ａ ＝ ｛口１１，口１２，口１３｝，Ａ２＝｛口２１，口２２，口２３｝，…，Ａ ＝｛口加， 。胞，。们｝．下面构造， 的可行解 ， ，…， ． 取 ＝｛ｓ ， ， ｏ ｌ ｉ＝１，２，…，Ⅳ｝． 易知诱导子图Ｇ［ ］的子集合为 Ｅ ＝｛￥ｉＵｄ ｌ ＝１，２，３｝，则Ｇ［ ］（ｉ＝１，２，…，Ⅳ）是， 的一个可行解，并且有 （Ｇ［ ］）＝ｗ（ｓ ）＋ｗ（ｖｎ）＋ｗ（ｖ ）＋ （ｏ）
＝口ｎ＋Ⅱ ＋口Ｏ ＝Ｂ（ｉ＝１，２，…，Ⅳ）． 说明 ， ，…， 是， 的最优值为Ｂ的一个 解，并且该解为最优解． 充分性：设， 有最优解 ， ，…， ，使得ｍｓｘ ｛１，ｏ（Ｇ［ ］）ｌ ｉ＝１，２，…，Ｎ｝＝Ｂ．则每个分支必恰好 有三个权重不为０的点和一个权重为０的点．因此 不妨设 ＝｛ｓ １， 川， ， ｝，
＝｛ｓ ２， ２１， ２２， ２３｝，…，． ＝｛ｓ Ⅳ， 加， 胞， 们｝．其中： １， ２，…， Ⅳ是１，２，…，Ⅳ的一个排列． 由于 （Ｇ［ ］）＝ （ｓ ＋ （ ｎ）＋Ｗ（Ｖ ）＋ （ ｏ）＝ 口 ｎ＋口石；２＋口石ｏ＝Ｂ（ ＝１，２，…，Ⅳ）． 取Ａ ＝｛Ⅱ州Ⅱ Ⅱ ｏ｝，则∑。 Ⅱ＝Ｂ（ ｉ＝１， ２，…，Ⅳ），又因为 １， ２，…， Ⅳ是１，２，…，Ⅳ的一 个排列．说明３一划分问题有解． 由于３一划分问题是ＮＰ一难的［５］，说明点赋 权图上固定．］｝个顶点的最小最大 树划分问题也是 ＮＰ一难的．于是定理得证． 因为点赋权图上固定 个顶点的最小最大．］｝树 划分问题是ＮＰ一难的，所以只能在多项式时间内给 出此类问题的近似算法或者启发式算法，下面算法 是该问题的一个启发式算法． 算法１： ｉｎｐｕｔ：连通点赋权图Ｇ＝（ ，Ｅ； ）， ： ｚ 为点赋 权函数，固定的顶点集合为 Ｓ＝｛ ｌ， ２，…， ｝． ｏｕｐｕｔ：Ｇ［ ］，Ｇ［ ］，…，Ｇ［ ］． Ｂｅｇｉｎ 乍｛ ｝， （Ｇ［Ｖｉ］）＝ｗ（ｖ；），ｉ＝１，２，…，．］｝，
维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 张同全：点赋权图上固定顶点的树划分问题 ｖｏ＝． ，ｖｏＶ—ｖｏ． Ｗｈｉｔｅ：ｖｏ≠ ｄｏ 选取 ∈ｖｏ使得：ｎｆｉｎ｛Ｗ（Ｇ［ ］）＋ｗ（ｖ）Ｉｉ＝ １，２，…，ｋ｝＝Ｗ（Ｇ［ ］＋ （ ）． 其中，存在 ∈ ｃ ｖｏ，满足删∈Ｅ（ｖｏ ｖｏ）． 于是 Ｇ［ ］乍Ｇ［ ］ｕ｛ ｝， Ｗ（Ｇ［ ］仁 （Ｇ［ ］＋Ｗ（ ），ｖｏ＝Ｕ｛ ｝， ｖｏ＝ｖｏ一｛ ｝． Ｅｎｄ 因为上述算法的实质是在满足算法的条件下，
在 （ ）的反圈中加边，并且算法经过（ｎ—ｋ）次 循环停止（Ｉ ＶＩ＝ｎ），即，算法的输出解包含ｒ／，个顶 点，（ｒ／，一ｋ）条边，并且不含圈．由文献［４］知：该算法 的输出解是点赋权图上固定ｋ个顶点的最小最大ｋ 树划分问题的一个可行解．并且当上述算法在点赋 权完全图上运行时，可以分析其近似值． 定理２ 算法１是点赋权完全图上固定ｋ个顶点
的最小最大ｋ树划分问题的—个（２一÷）一近似算法． 证明：假设点赋权完全图上固定ｋ个顶点的最 小最大ｋ树划分问题的最优解为 Ｇ［ ］，Ｇ［ ］，…，Ｇ［ ］． 即ｍａｘ｛ｗ（Ｇ［ ］Ｉ ｉ＝１，２，…，ｋ｝是上述问题的 最优值，则有 ｍａｘ｛ｗ（Ｇ［ ’］）Ｉ ｉ＝１，２，…，ｋ｝≥ ｍａｘ｛ ，ｍａｘ｛ｗ（ ）・Ｉ ∈ （１） ｌ——— ～，｛Ｌ ∈ｙ｝｝・Ｌ ｌ 由上述算法得一组可行解Ｇ［Ｉ／１］，Ｇ［ ］，…， Ｇ［ ］，不妨设第（１７，一ｋ）次循环被加入的点为 。， 则ｗ（ｖ。）＝ｍａｘ｛ｗ（ ）Ｉ Ｅ Ｖ—Ｓ｝（否则与算法矛 盾）．注意到： ｍａｘ｛ｗ（ｖ）Ｉ Ｅ Ｖ—Ｓ｝＿＜ｍａｘ｛Ｗ（ ）Ｉ Ｅ Ｖ｝．因此 ｍａｘ｛ｗ（Ｇ［ｖ／］）Ｉ ｉ＝１，２，…，ｋ｝ 州 ）： ）５ — 一＋ Ｌ ０ ＋ ｍ戕 ） — 一十Ｔｍ戕ｌ Ｌ ｝ （２－ １）ｍａｘ｛ （Ｇ［ ＝ｌ，２…， ｝， 即ｍａｘ｛ｗ（Ｇ［ ］）ｌ ｉ＝１，２，…，ｋ｝ （２一÷） ｍａｘ｛ｗ（Ｇ［ ］）ｌ ｉ＝１，２，…，ｋ｝． （２） 由不等式（１）和（２）可得该算法的近似值为 ｍａｘ ｗ Ｇ ｌ ｉ １ ２ ｋ 』ｋ ｛（［ ］） ＝，，…，｝一 。 定理得证． ３算法分析 下面分析算法的复杂性：令ｎ＝Ｉ Ｉ是图Ｇ的顶 点数． 定理３算法１的时间复杂度为Ｏ（ｎ３ｌｏｇ“）． 证明：上述算法经过（ｎ—ｋ）次循环之后停止， 而算法第ｉ（１ ｉ ｎ—ｋ）次循环所需的时间复杂度 为０（（ｋ＋ｉ一１）（ｎ—ｋ—ｉ＋１）ｌｏｇ‘“一 一 ‘ －１））． 故这（ｎ—ｋ）次循环所需的时间复杂度为０（（ｎ—ｋ） （ｋ＋ｉ一１）（ｎ—ｋ—ｉ＋１）ｌｏｇ‘“一 一 ‘ 一 ）＝ Ｄ（ｎ ｌｏｇ“）．定理得证．