[配套K12]2018-2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平

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2018_2019学年度高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.3_2.1.4平面与平面之

)
解析:(1)当直线b(或a)平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时,则过P
与a,b都平行的平面不存在. (2)当直线b(或a)不平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时,过P有且只
有一个平面与a,b都平行.故选C.
4.(线面、线线关系)直线a⊂平面α ,直线b⊄平面α ,则a,b的位置关系
是
.
答案:平行、相交或异面
5.(线面、面面关系)下列命题:①若直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;②若直线l在平面α 外,则l∥α ;③若a⊂α ,α ∥β ,则β 内有无
数条直线与直线a平行,其中是真命题的序号是
.
解析:由直线与平面平行的定义可知①正确;由直线与平面的位置关系知②不正确;由平面与平面之间的位置关系可知③正确.
⑤当三个平面相交于三条直线,且三条交线相互平行时,将空间分成七
部分(如图(7)).
内部文件，请勿外传
答案:①③
课堂探究
题型一【思考】直线在平面外,包括几种情况? 直线与平面的位置关系
典例剖析·举一反三
提示:两种,平行与相交.
【例1】如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,试判定BC1与六个面的位置关系.
解:因为B∈面BCC1B1,C1∈面BCC1B1,所以BC1⊂面BCC1B1. 又因为BC1与面ADD1A1无公共点,所以BC1∥面ADD1A1. 因为C1∈面CDD1C1,B∉面CDD1C1,所以BC1与面CDD1C1相交, 同理BC1与面ABB1A相交, BC1与面ABCD相交,BC1与面A1B1C1D1相交.
误区警示致的分析.
解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的
特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直

2018-2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系检测新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系检测新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.1。

2 空间中直线与直线之间的位置关系A级基础巩固一、选择题1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝( ）A． 60°B．120°C．30°D．60°或120°解析:由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°。

答案：D2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1， OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ）A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：由于∠AOB与∠A1O1B1是空间角,不一定在同一平面上，如图①。

图①此时OB与O1B1不平行．若这两个角在同一平面上时,如图②，OB∥O1B1且方向相同；如图③,OB与O1B1不平行．图②图③综上所述,OB与O1B1不一定平行，故选D.答案:D3。

2018-2019学年度高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平

2.2.4 平面与平面平行的性质【选题明细表】1.下列命题中不正确的是( A )(A)两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面β(B)平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β(C)一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行(D)分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线解析:选项A中直线a可能与β平行,也可能在β内,故选项A不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行,所以选项C正确;依据平面与平面平行的性质定理可知,选项B,D也正确,故选A.2.已知两条直线l,m,α,β是两个平面,下列命题正确的是( D )(A)若α∥β,l∥α,则l∥β(B)若l∥α,m∥α,则l∥m(C)若α∥β,l∥α,m∥β,则l∥m(D)若α∥β,l⊂α,则l∥β解析:A,l可能在β内,B,l与m可能相交、平行、异面,C,与B一样的结论.D正确.3.已知平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则①a∥b;②a,b为异面直线;③a,b一定不相交;④a∥b或a,b异面,其中正确的是( C )(A)①② (B)②③(C)③④ (D)①②③④4.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的( C )(A)一个侧面平行(B)底面平行(C)仅一条棱平行(D)某两条相对的棱都平行解析:当平面α∥某一平面时,截面为三角形,故选项A,B错.当平面α∥SA时,如图截面是四边形DEFG,又SA⊂平面SAB,平面SAB∩α=DG,所以SA∥DG,同理SA∥EF,所以DG∥EF,同理当α∥BC时,GF∥DE,因为截面是梯形,所以四边形DEFG中仅有一组对边平行,故α仅与一条棱平行.故选C.5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中过BD1的平面,分别与AA1,CC1交于M,N,则四边形BND1M的形状为.解析:由题意知,平面A1ABB1∥平面C1CDD1,所以MB∥D1N,同理,D1M∥BN.所以四边形BND1M是平行四边形.答案:平行四边形6.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过P,M,N的平面与棱CD交于Q,则PQ=.解析:由线面平行的性质知MN∥PQ∥AC,所以=,又AC=a,所以PQ= a.答案: a7.如图所示,已知正三棱柱(底面是正三角形,侧面是矩形)ABC-A′ B′C′中,D是AA′上的点,E是B′C′的中点,且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置,并给出证明.解:D点为AA′的中点.证明如下:如图,取BC的中点F,连接AF,EF,设EF与BC′交于点O,连接DO,易证A′E∥AF,A′E=AF.易知四边形A′EFA为平行四边形.因为A′E∥平面DBC′,A′E⊂平面A′EFA,且平面DBC′∩平面A′EFA=DO,所以A′E∥DO.因为EC′∥BF,则EC′=BF,所以EO=OF.在平行四边形A′EFA中,因为O是EF的中点,所以D点为AA′的中点.能力提升8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是平面A1B1C1D1内一点,则BM∥平面ACD1,且tan ∠DMD1的最大值为( D )(A)(B)1(C)2 (D)解析:如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C1,B1D1,交于点O1,连接BD,交AC于点O,连接BO1,OD1,则A1A∥C1C,且A1A=C1C,所以四边形ACC1A1是平行四边形,所以AC∥A1C1.又AC⊂平面ACD1,且A1C1⊄平面ACD1,所以A1C1∥平面ACD1;同理BO1∥D1O,BO1∥平面ACD1,所以平面ACD1∥平面BA1C1,所以当M在直线A1C1上时,都满足BM∥ACD1;所以tan∠DMD1===是最大值.9.如图,已知平面α∥β∥γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C与D,E,F.已知AB=6,=,则AC= .解析:由题意可知=⇒AC=·AB=×6=15.答案:1510.如图,平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB与CD上,且=,求证:EF∥平面β.证明:(1)若直线AB和CD共面,因为α∥β,平面ABDC与α,β分别交于AC,BD两直线,所以AC∥BD.又因为=,所以EF∥AC∥BD,所以EF∥平面β.(2)若AB与CD异面,连接BC并在BC上取一点G,使得=,则在△BAC中,EG∥AC,AC⊂平面α,所以EG∥α,又因为α∥β,所以EG∥β.同理可得GF∥BD,而BD⊂β.所以GF∥β,因为EG∩GF=G,所以平面EGF∥β.又因为EF⊂平面EGF,所以EF∥β.综合(1)(2)得EF∥平面β.探究创新11.如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求PD的长;(3)若点P在α与β之间,试在(2)的条件下求CD的长.(1)证明:因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD确定一个平面,记为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,所以AC∥BD.解:(2)由(1)得AC∥BD,所以=,即=.所以CD=(cm),所以PD=PC+CD=(cm).(3)同(1)得AC∥BD,所以△PAC∽△PBD.所以=,即=.所以=,所以PD=(cm).所以CD=PC+PD=3+=(cm).。

【配套K12】高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.2.1直线与平面平行的判定知识导航学案

最新K12教育教案试题2.2.1 直线与平面平行的判定知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种,它们是:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.2.直线与平面平行是指直线与平面没有公共点.3.直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,符号表示为a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α.知识导学要学好本节内容,首先要复习直线与平面平行的定义.直线与平面平行的判定定理是通过“直观感知——操作确认”得出的.明确该定理成立的三个条件是正确使用该定理的关键.疑难突破1.如何理解直线和平面平行的判定定理？剖析:直线和平面平行的判定定理叙述为:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.可以用符号表示为a∥b,a⊄α,b⊂α⇒a∥α.用此判定定理判定直线a和平面α平行时,必须具备三个条件:(1)直线a在平面α外,即a⊄α;(2)直线b在平面α内,即b⊂α;(3)两直线a、b平行,即a∥b,这三个条件缺一不可.直线和平面平行的判定,可转化为直线和平面内的一条直线平行,即“若线线平行,则线面平行”.所谓线线平行,是指平面外的一直线和平面内的一直线平行;所谓线面平行,是指已知直线和这个平面平行.也就是说,要证平面外一条直线和这个平面平行,可转化为在这个平面内找出一条直线和已知直线平行,就可判断已知直线和这个平面平行.对于直线和平面平行的判定定理,为了便于记忆,也可用“线线平行,则线面平行”来叙述.定理告诉我们,可以通过直线间的平行,推证直线与平面平行,这是处理空间位置关系的一种常用方法,即将直线与平面平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题).使用该定理的关键是在这个面内找出一条直线与已知直线平行.已学过或即将学到的证明线线平行的方法有:公理4,即若a∥b,b∥c,则a∥c;②直线与平面平行的性质定理,即a∥α,α⊂β,α∩β=b,则a∥b;③两个平面平行的性质定理,即α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,则a∥b;④直线与平面垂直的性质定理,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.此外,在初中学过的用来证明线线平行的方法还有:三角形、梯形的中位线定理;平行四边形的对边;平行线分线段成比例定理;同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行等.2.判定直线与平面平行有哪些方法？剖析:(1)利用定义:证线面无公共点;(2)利用线面平行的判定定理,即如果平面外一条直线和这个平面的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行;(3)利用面面平行的性质,即两个平面平行,则一个平面内的直线必平行于另一个平面.其中方法(2)(3)应用较普遍.当正面思维受阻时,可考虑反证法.应用线面平行的判定定理证明线面平行时,关键是在平面内找一条直线与已知直线平行,由于两条直线首先要保证共面,因此,常常设过已知直线作一平面与已知平面相交,再说明已知直线与交线平行.其步骤为过直线作平面,得交线,若线线平行,则线面平行.。

[推荐学习]2018版高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.22.2.1直线与平面平行的判定2.

2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定目标定位 1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面平行的判定定理.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.自主预习1.直线与平面平行的判定定理即时自测1.判断题(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.(×)(2)若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.(√)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(×)(4)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(√)提示(1)直线l可以在平面α内.(3)如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行.2.三棱台ABC－A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是( )A.相交B.平行C.在平面内D.不确定解析AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，∴AB∥平面A1B1C1.答案 B3.点P是平面α外一点，过P作直线a∥α，过P作直线b∥α，且直线a，b确定一个平面β，则( )A.α∥βB.α与β相交C.α与β异面D.α与β的位置关系不确定解析a∩b＝P，a⊂β，b⊂β，b∥α，a∥α，∴α∥β.答案 A4.平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α与平面β的位置关系是________. 解析平面α内任意一条直线均平行于平面β，所以平面α与平面β无公共点，所以平面α与平面β平行.答案平行类型一线面平行判定定理的应用【例1】如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.证明(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.规律方法 1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.2.证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.【训练1】如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.证明连接AC交BD于点O，连接OM.∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA∵OM⊂平面MDB，SA⊄平面MDB，∴SA∥平面MDB.类型二面面平行判定定理的应用【例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綉DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綉BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綉B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綉A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.规律方法 1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.2.判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.【训练2】如图，三棱锥P－ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点.证明平面GFE∥平面PCB.证明因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂面PCB.所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.类型三线面平行、面面平行判定定理的综合应用(互动探究)【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC 的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.[思路探究]探究点一判定线面平行与面面平行的思路原则是什么？提示判定线面平行与面面平行的思路原则是找作一条直线与平面平行或在一个面内找作两条与另一个平面平行的相交直线，应遵循先找后作的原则，若找不到再作辅助线. 探究点二如何判定(2)中平面EFG ∥平面BDD 1B 1?提示根据面面平行的判定定理，结合(1)的结论，故在平面EFG 内找到另一条直线与平面BDD 1B 1平行即可.证明 (1)如图，连接SB ，∵E ，G 分别是BC ，SC 的中点，∴EG ∥SB . 又∵SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1， ∴EG ∥平面BDD 1B 1. (2)连接SD ，∵F ，G 分别是DC ，SC 的中点，∴FG ∥SD . 又∵SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， ∴FG ∥平面BDD 1B 1.又EG ∥平面BDD 1B 1，且EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.规律方法要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：【训练3】如图，S 是平行四边形ABCD 在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AMSM＝DN NB.求证：MN ∥平面SBC .证明连接AN 并延长交BC 于P ，连接SP ，因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝ANNP ，又因为AM SM ＝DN NB，所以AM SM ＝AN NP，所以MN ∥SP .又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ，所以MN ∥平面SBC . [课堂小结]1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化.2.证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行.3.准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键.1.能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A.b ⊂α，a ∥bB.b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC.b ⊂α，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，且AC ＝BDD.a ⊄α，b ⊂α，a ∥b解析 A 错误，若b ⊂α，a ∥b ，则a ∥α或a ⊂α；B 错误，若b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c ，则a ∥α或a ⊂α；C 错误，若满足此条件，则a ∥α或a ⊂α或a 与α相交；D 正确.答案 D2.在正方体EFGH －E 1F 1G 1H 1中，下列四对截面彼此平行的一对是( ) A.平面E 1FG 1与平面EGH 1 B.平面FHG 1与平面F 1H 1G C.平面F 1H 1H 与平面FHE 1 D.平面E 1HG 1与平面EH 1G解析如图，∵EG ∥E 1G 1，EG ⊄平面E 1FG 1，E 1G 1⊂平面E 1FG 1， ∴EG ∥平面E 1FG 1，又G 1F ∥H 1E ，同理可证H 1E ∥平面E 1FG 1，又H 1E ∩EG ＝E ，∴平面E 1FG 1∥平面EGH 1.答案 A3.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.解析因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.答案CD∥α4.如图所示，E，F分别为三棱锥A－BCD的棱BC，BA上的点，且BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3.求证：EF∥平面ACD.证明在△BEF和△BCA中，∵BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3，∴EF∥AC.又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD基础过关1.下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥β”的是( )解析A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β.D正确.答案 D2.已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )A.l∥α，l∥β，且l∥γB.l⊂γ，且l∥α，l∥βC.α∥γ，且β∥γD.l与α，β所成的角相等解析⎭⎪⎬⎪⎫α∥γ⇒α与γ无公共点β∥γ⇒β与γ无公共点⇒α与β无公共点⇒α∥β.答案 C3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.异面D.相交或平行解析如图，MC 1⊂平面DD 1C 1C ，而平面AA 1B 1B ∥平面DD 1C 1C ，故MC 1∥平面AA 1B 1B .答案 B4.若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________. 解析三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行. 答案平行或相交5.给出下列结论：①若直线a 上有无数个点不在平面α内，则a ∥α；②若直线a 与平面α内的无数条直线平行，则a ∥α；③若平面α，β都与直线a 平行，则α∥β；④若平面α内存在无数条直线平行于平面β，则α∥β.其中错误的是______(填序号). 解析 ①中直线a 与平面α可能相交；②中直线a ∥α或a ⊂α；③中，α∥β或α与β相交；④中，平面α内无数条直线互相平行时，α∥β或α与β相交 .故①②③④均错误.答案 ①②③④6.如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点，求证：DF ∥平面ABC .证明如图所示，取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别是BE ，AB 的中点， ∴FG ∥AE ，FG ＝12AE .又∵AE ＝2a ，CD ＝a ，∴CD ＝12AE .又AE ∥CD ，∴CD ∥FG ，CD ＝FG ，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴DF ∥CG .又CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ， ∴DF ∥平面ABC .7.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别为棱AB ，CC 1，AA 1，C 1D 1的中点.求证：平面CEM ∥平面BFN .证明因为E ，F ，M ，N 分别为其所在各棱的中点，如图连接CD 1，A 1B ，易知FN ∥CD 1. 同理，ME ∥A 1B .易证四边形A 1BCD 1为平行四边形，所以ME ∥NF . 连接MD 1，同理可得MD 1∥BF .又BF ，NF 为平面BFN 中两相交直线，ME ，MD 1为平面CEM 中两相交直线，故平面CEM ∥平面BFN .能力提升8.点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH 平行的条数是( )A.0B.1C.2D.3解析如图，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案 C9.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )A.l∥β，l⊂α⇒α∥βB.l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC.l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD.l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.答案 D10.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________.解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.答案 ①②③④11.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB ＝2EF ，M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE .证明因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，所以△ABC ∽△EFG ，由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .如图，连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ，因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM ∥平面ABFE .探究创新12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱A 1B 1的中点.(1)求证：A 1C ∥面BEC 1.(2)求异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角的正切值.(1)证明连接B 1C ，交BC 1于点O ，连接OE ，如图.因为几何体是正方体，所以O 是B 1C 的中点. 又点E 是棱A 1B 1的中点，所以OE ∥A 1C . 因为OE ⊂平面BEC 1，A 1C ⊄平面BEC 1，所以A 1C ∥平面BEC 1.(2)解连接A 1B ，因为BC ∥B 1C 1，所以异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为∠BCA 1. 因为几何体是正方体，所以BC ⊥A 1B ，所以tan ∠BCA 1＝A 1B BC ＝ 2.。

【推荐精选】2018-2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系A级基础巩固一、选择题1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝( )A． 60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.答案：D2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1， OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：由于∠AOB与∠A1O1B1是空间角，不一定在同一平面上，如图①.图①此时OB与O1B1不平行．若这两个角在同一平面上时，如图②，OB∥O1B1且方向相同；如图③，OB与O1B1不平行．图②图③综上所述，OB与O1B1不一定平行，故选D.答案：D3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF 所成的角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：连接BD ，B 1D 1，D 1C 知△D 1B 1C 是等边三角形，所以D 1B 1与B 1C 所成角为60°，故B 1C 与EF 所成角也是60°答案：C4．空间四边形ABCD 中，AB ，BC ，CD 的中点分别是P ，Q ，R ，且PQ ＝2，QR ＝5，PR ＝3，那么异面直线AC 和BD 所成的角是( )．A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：∠PQR (或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR ＝90°. 答案：A5．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．平行四边形D ．正方形解析：如图所示，因为BD ⊥AC ，且BD ＝AC ，又因为E ，F ，G ，H 分别为对应边的中点，所以FG 綊EH 綊12BD ，HG 綊EF 綊12AC .所以FG ⊥HG ，且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形．答案：D 二、填空题6．在四棱锥P ABCD 中，各棱所在的直线互相异面的有________对．解析：以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD 是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线．答案：87．如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．解析：如题干图①中，GH ∥MN ，因此，GH 与MN 共面．图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面．图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此，GH 与MN 共面．图④中，G ，M ，N 三点共面，但H ∉平面GMN ，所以GH 与MN 异面．所以图②，④中GH 与MN 异面．答案：②④8．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．解析：在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，所以AE 与AD 所成的角即为AE 与BC 所成的角，即是∠EAD .连接DE ，在Rt △ADE 中，设AD ＝a ，则DE ＝52a ，AE ＝AD 2＋DE 2＝32a ，故cos ∠EAD ＝23.所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为23.答案：23三、解答题9．如图，已知长方体的长和宽都是4 3 cm ，高是4 cm.(1)求BC 和A ′C ′所成的角的度数． (2)求AA ′和BC ′所成的角的度数．解：(1)在长方体中，BC ∥B ′C ′，所以∠A ′C ′B ′为BC 与A ′C ′所成的角．因为A ′B ′＝B ′C ′＝4 3 cm ，∠A ′B ′C ′＝90°，所以∠A ′C ′B ′＝45°，所以BC 和A ′C ′所成的角为45°.(2)在长方体中，AA ′∥BB ′，所以∠C ′BB ′为AA ′与BC ′所成的角．因为BB ′＝4 cm ，B ′C ′＝4 3 cm ，所以∠C ′BB ′＝60°，所以AA ′和BC ′所成的角为60°.10.如图，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 证明：如图，连接AC .因为在△ACD 中，M ，N 分别是CD ，AD 的中点，所以MN 是三角形的中位线，所以MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1，所以MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，所以四边形MNA 1C 1是梯形．(2)由(1)可知MN ∥A 1C 1，又ND ∥A 1D 1，所以∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角．所以∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.[B 级能力提升]1．如图所示，在等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，HG 与IJ 所成角的度数为( )A．90°B．60°C．45°D．0°解析：将三角形折成空间几何体，如图所示，HG与IJ是一对异面直线．由已知得IJ∥AD，HG∥DF，所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角，又∠ADF＝60°，所以HG与IJ所成的角的度数为60°.答案：B2.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________．解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③3.若空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成的角的余弦值．解：取BD的中点F，连接EF， AF，又E为BC的中点，所以EF 綊12CD ，所以∠AEF 或其补角为异面直线AE 与CD 所成的角，设空间四边形的棱长为a ，则AE ＝AF ＝32a ，EF ＝a2，所以cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22×AE ×EF＝34a 2＋14a 2－34a 22×32a ×12a ＝36.。

教育最新K122018版高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.22.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平

2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质目标定位 1.证明并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.2.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.3.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.自主预习1.判断题(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行.(√) (2)如果直线a ∥平面α，直线b ⊂α，则a 与b 平行.(×)(3)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(√) (4)过直线外一点，有且只有一个平面和已知直线平行.(×) 提示 (2)a 与b 平行或异面.(4)过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，但过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行.2.如图所示，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面CDD 1C 1于EE 1，则BB 1与EE 1的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.不确定解析BB1∥平面CDD1C1，平面BB1E1E∩平面CDD1C1＝E1E，BB1⊂平面BB1E1E，由线面平行的性质定理知，BB1∥EE1.答案 A3.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行C.存在无数多条直线与a平行D.存在唯一一条直线与a平行解析设点B与直线a确定一平面为γ，γ∩β＝b，∴a∥b.答案 D4.已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________. 解析由直线与平面平行的性质定理知l∥m.答案平行类型一线面平行性质定理的应用【例1】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行. 解已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.规律方法在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.【训练1】若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行. 解已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.类型二面面平行性质定理的应用【例2】已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.证明(1)若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.∵α∥β，∴AC∥BD.又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂平面α，MN⊄平面α，∴MN∥平面α.(2)若AB、CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE中点P，连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD.∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.又P、N分别为AE、CD的中点，∴PN∥ED，又ED⊂平面α，PN⊄平面α，∴PN∥平面α.同理可证MP∥BE，又MP⊄平面α，BE⊂平面α，∴MP∥平面α，∵AB、CD异面，∴MP、NP相交.∴平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.规律方法 1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交. 2.面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.【训练2】如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC ∥BD ；(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长.(1)证明 ∵PB ∩PD ＝P ，∴直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，∴AC ∥BD . (2)解由(1)得AC ∥BD ，∴PA AB ＝PC CD ，∴45＝3CD， ∴CD ＝154(cm)，∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm).类型三平行关系的综合应用(互动探究)【例3】如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：GH ∥平面PAD . [思路探究]探究点一证明平行关系的基本思路是什么？提示证明平行关系时，应综合应用线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化. 探究点二解本题的关键是什么？提示关键是连接AC 交BD 于O ，结合PC 中点M ，利用中位线，进行平行转化，进而作出判断.证明如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO .∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点， ∴PA ∥MO ，而AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， ∴PA ∥平面BMD ，又∵PA ⊂平面PAHG ，平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，∴PA ∥GH .又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD.规律方法 1.本题证明线面平行，利用了线面平行的性质定理和判定定理进行转化，即线线平行⇒线面平行⇒线线平行⇒线面平行.2.在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是否是性质定理中符合条件的平面. 【训练3】在长方体ABCD－A1B1C1D1，E为棱DD1上的点，试确定点E的位置，使B1D∥平面A1C1E.解如图，连接B1D1，设A1C1∩B1D1＝M，连接ME.若B1D∥平面A1C1E，则B1D平行于过B1D的平面与平面A1C1E的交线.由于B1D⊂平面B1DD1，平面B1DD1∩平面A1C1E＝ME，所以B1D∥ME.又因为M为B1D1的中点，所以E为DD1的中点.[课堂小结]1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.1.已知：α∩β＝b，a∥α，a∥β，则a与b的位置关系是( )A.a∥bB.a⊥bC.a，b相交但不垂直D.a，b异面解析利用结论：若一直线与两个相交平面平行则此直线与交线平行.答案 A2.已知a，b表示直线，α、β、γ表示平面，下列推理正确的是( )A.α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB.α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b解析由面面平行的性质定理知D正确.答案 D3.过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________. 解析两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以PA PB ＝ACBD，又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.答案 124.如图，已知E ，F 分别是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1、CC 1的中点，过D 1、E 、F 作平面D 1EGF 交BB 1于G .求证：EG ∥D 1F .证明在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，平面D 1EGF ∩平面ABB 1A 1＝EG ，平面D 1EGF ∩平面DCC 1D 1＝D 1F ，∴EG ∥D 1F .基础过关1.a ∥α，b ∥β，α∥β，则a 与b 位置关系是( ) A.平行 B.异面C.相交D.平行或异面或相交解析如图(1)，(2)，(3)所示，a 与b 的关系分别是平行、异面或相交.答案 D2.已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线( ) A.只有一条，不在平面α内 B.只有一条，在平面α内 C.有两条，不一定都在平面α内 D.有无数条，不一定都在平面α内解析如图所示，∵l ∥平面α，P ∈α，∴直线l 与点P 确定一个平面β， α∩β＝m ，∴P ∈m ，∴l ∥m 且m 是唯一的. 答案 B3.如图，四棱锥P －ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面PAD ，则( )A.MN ∥PDB.MN ∥PAC.MN ∥ADD.以上均有可能解析 ∵MN ∥平面PAD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAD ∩平面PAC ＝PA ，∴MN ∥PA . 答案 B4.过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________.解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的. 答案平行5.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.解析 ∵在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.答案26.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1，B ，C 1的平面与平面ABC 的交线为l ，试判断l 与直线A 1C 1的位置关系，并给以证明.解 l ∥A 1C 1证明在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC .又∵A 1C 1⊂平面A 1BC 1，且平面A 1BC 1∩平面ABC ＝l ， ∴A 1C 1∥l .7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP . ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB.∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB， ∴CP PB ＝DN NB，∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，∴NP ∥平面AA 1B 1B . ∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN ⊂平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B .能力提升8.下列说法正确的是( )A.平行于同一条直线的两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行D.若三直线a ，b ，c 两两平行，则在过直线a 的平面中，有且只有一个平面与b ，c 均平行解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A 错；B 正确；C 中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D 不正确，因为过直线a 的平面中，只要b ，c 不在其平面内，则与b ，c 均平行. 答案 B9.过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( ) A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点解析 ∵l ⊄α，∴l ∥α或l 与α相交.(1)若l ∥α，则由线面平行的性质可知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，… ∴a ，b ，c ，…这些交线都平行.(2)若l 与α相交，不妨设l ∩α＝A ，则A ∈l ，又由题意可知A ∈a ，A ∈b ，A ∈c ，…，∴这些交线交于同一点A .综上可知D 正确. 答案 D10.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′S △ABC＝________.解析由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′，由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′， ∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′，从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△PAB ∽△PA ′B ′，S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝425. 答案42511.如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.法一(1)证明因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)解平行.证明如下：取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形.所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD.法二(1)证明由AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD，l∥BC.(2)解平行.证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.探究创新12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.小学+初中+高中小学+初中+高中解能.取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1， ∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1，PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，A 1N 綉MC ， ∴四边形A 1MCN 是平行四边形，又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形. 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22，∴A 1H ＝ 3.∴S △A 1MN ＝12×22×3＝ 6. 故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.。

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2.2.3 直线与平面平行的性质

A级基础巩固
一、选择题
1．已知直线l∥平面α， P∈α，那么过点P且平行于l的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，在平面α内
C．有两条，不一定都在平面α内
D．有无数条，不一定都在平面α内
解析：如图所示，

因为l∥平面α，P∈α，
所以直线l与点P确定一个平面β，
α∩β＝m，
所以P∈m，所以l∥m且m是唯一的．
答案：B
2．过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交
线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：若l∥α，则l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…；若l∩α＝P，则a，b，c，…
交于点P.
答案：D
3．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面( )
A．有公共点 B．没有公共点
C．平行 D．平行或相交
答案：D
4.如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面
EFGH
分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
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A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
解析：因为E，F分别是AA1，BB1的中点，
所以EF∥AB.
又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH.
又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
所以AB∥GH.
答案：A
5.如图所示，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )

A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
解析：因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，
平面PAD∩平面PAC＝PA，
所以MN∥PA.
答案：B
二、填空题
6．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG.
则EH与BD的位置关系是______．

解析：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，
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平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.
答案：平行
7.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平
面AB1C，则线段EF的长度等于________．

解析：由于在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22.
又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，
所以F为DC的中点，

所以EF＝12AC＝2.
答案：2
8．如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则
l
与AC的关系是________．

解析：因为AC∥面A1B1C1D1，根据线面平行的性质知l∥AC.
答案：平行
三、解答题
9．如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点，求证
AM∶MC＝BN∶ND
.

证明：连接AD交α于点P，连接MP，NP，
因为CD∥α，面ACD∩α＝MP，
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所以CD∥MP，所以AMMC＝APPD.
同理可得NP∥AB，APPD＝BNND，
所以AMMC＝BNND.
10．如图，直三棱柱ABCA′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别
为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.

图①
证明：法一连接AB′，AC′，如图①所示由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABCA′B′C′
为直三棱柱，
所以M为AB′的中点．
又N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，
所以MN∥平面A′ACC′.
法二取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图②所示，因为M，N分别为AB′与B′C′
的中点，
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图②
所以MP∥AA′，PN∥A′C′，
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP＝P，
所以平面MPN∥平面A′ACC′.
而MN⊂平面MPN，
所以MN∥平面A′ACC′.
B级能力提升
1．下列命题中，正确的命题是( )
A．若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α
B．若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行
C．若a⊂α，则a与α有无数个公共点
D．若a⊄α，则a与α没有公共点
解析：对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线
a
可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，
所以D错．
答案：C
2．对于平面M与平面N，有下列条件：①M、N都垂直于平面Q；②M、N都平行于平面Q；③
M
内不共线的三点到N的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥M，m∥N；⑤l，m是异面直线，
且l∥M，m∥M；l∥N，m∥N，则可判定平面M与平面N平行的条件是________(填正确结论的序
号)．
解析：由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定M∥N.
答案：②⑤
3.如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面
PAD＝l
.

(1)求证：l∥BC.
(2)问：MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
证明：(1)因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，
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所以l∥BC.
(2)平行．

如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.
因为N是PC的中点，所以EN綊12CD.
因为M为▱ABCD边AB的中点，
所以AM綊12CD.
所以EN綊AM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.
又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，
所以MN∥平面PAD.