高二下数学练习题6
高二数学下册充要条件单元训练题及答案
高二数学下册充要条件单元训练题及答案很多同学总是抱怨数学学不好，其实是因为试题没有做到位，数学需要大量的练习来帮助同学们理解知识点。
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高二数学下册充要条件单元训练题及答案一、选择题(每小题6分，共42分)1.已知A和B是两个命题，如果A是B的充分但不必要条件，那么 A是 B的( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：“A B” “ B A”,“B A”等价于“ A B”.2.(2010浙江杭州二中模拟，4)“a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：充分性显然，当a=5,b=1时，有a+b>4,ab>4,但“a>2且b>2”不成立.3.(2010北京西城区一模，5)设a、b∈R,则“a>b”是“a>|b|”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件答案：B解析：a>b并不能得到a>|b|.如2>-5,但2<|-5|,且a>|b| a>b.故选B.4.已知条件p:|x|=x,条件q:x2≥-x,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：p:A={0,1},q:B={x|x≤-1或x≥0}.∵A B，∴p是q的充分不必要条件.5.已知真命题：“a≥b是c>d的充分不必要条件”，和“aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：“a≥b是c>d的充分不必要条件”等价于“c≤d a6.(2010全国大联考，2)不等式10成立的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.?即不充分也不必要条件答案：A解析：当10,tanx>0,?即tan(x-1)tanx>0,但当x= 时，(x-1)tanx=( -1)×1>0,而 (1, ),故选A.7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R)则“关于x的不等式ax2+bx+cA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B解析：ax2+bx+c0,顶点(- )在直线y=x下方- (b-1)2>4ac+1,故选B.二、填空题(每小题5分，共15分)8.方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是______________.答案：0解析：其充要条件为 09.已知p:|x+1|>2和q: >0,则 p是 q的__________________.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要条件”“既不充分又不必要?条件”)答案：充分不必要解析：∵p:x<-3或x>1,q:x<-4或x>1,∴ p:-3≤x≤1, q:-4≤x≤1.∴ p是 q的充分不必要条件.10.给出下列各组p与q:(1)p:x2+x-2=0,q:x=-2;(2)p:x=5,q:x>-3;(3)p:内错角相等，q：两条直线互相平行;(4)p：两个角相等，q:两个角是对顶角;(5)p:x∈M,且x∈P,q:x∈M∪P(P,M≠ ).其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_____________________.答案：(2)(5)解析：(1)(4)中p是q的必要不充分条件;?(3)中p是q的充要条件;(2)(5)满足题意.三、解答题(11—13题每小题10分，14题13分，共43分)11.设x、y∈R,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.证明：充分性：如果xy=0,那么①x=0,y≠0;②y=0,x≠0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0.当x>0,y>0时，|x+y|=x+y=?|x|+|y|?;当x<0,y<0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,∴xy≥0.解法二：|x+y|=|x|+|y| (x+y)2=(|x|+|y|)2 x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy| xy=|xy| xy≥0.12.已知a,b是实数，求证：a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.证明：该条件是必要条件.当a2-b2=1即a2=b2+1时，a4-b4=(b2+1)2-b4=2b2+1.∴a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1又a4-b4=1+2b2,故a4=(b2+1)2.∴a2=b2+1，即a2-b2=1故该条件是必要条件.13.已知关于x的方程：(a-6)x2-(a+2)x-1=0.(a∈R),求方程至少有一负根的充要条件.解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=- .当a≠6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x1x2=- <0,即a>6.方程有两负根的充要条件是：即2≤a<6.∴方程至少有一负根的充要条件是：2≤a<6或a=6或a>6,即a≥2.14.(1)是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在，求出p的取值范围;(2)是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件?如果存在，求出p的取值范围.解析：(1)当x>2或x<-1时，x2-x-2>0,由4x+p<0得x<- ,故- ≤-1时,“x<- ” “x<-1” “x2-x-2>0”.∴p≥4时，“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件.(2)不存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件.。
高二下学期期末数学试题及答案
第1页（共4页） 第2页（共4页）密 封 线 内 不 要 答 题XXX 学年下学期期末考试高二数学试卷一、选择题（每题2分，共30分）1、sin450cos150-cos450sin150的值是 （ ） A.-23 B.21 C.-21 D.23 2、若cos α=-21,sin β=23,且α和β在第二象限，则sin(α+β)的值（ ）A.213-B.23C.-23D.213、x y 212-=的准线方程( )A. 21=yB. 81=xC. 41=xD. 161=x 4、由1,2,3可以组成多少个没有重复数字的三位数 （ ）A. 6个 B . 3个 C. 2个 D. 1个5、(nx )6-的展开式中第三项的系数等于6,那么n 的值（ ）A ． 2B ．3C ． 4D ．56、从放有7个黑球,5个白球的袋中,同时取出3个,那么3个球是同色的概率( ) A. 221 B. 447 C. 449 D. 221或447 7、x y 2=与抛物线2x y =的交点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++的结果是（ ）A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 9、已知△ABC 的三边分别为a=7, b=10, c=6,则△ABC 为( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 10、函数y x y 的图象可由函数)6sin(2π+==的图象x sin 2 而得到( ) A. 向右平移6π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移3π个单位11、椭圆155322=+y x 的焦点坐标为 （ ） A.)0,8(),0,8(- B.)8,0(),8,0(- C.)0,2(),0,2(- D.)2,0(),2,0(- 12、 61⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项是 （ ） A.C 36 B.C 46 C.C 06 D.C 56专业 班级 考场 座号第3页（共4页） 第4页（共4页）13、100件产品中,有10件一等品,20件二等品,任取一件是二等品的概率（ ） A. 51 B. 101 C. 301 D. 50114、下列点在1234+-=x x y 的曲线上的是（ ）A ．（1，0）B ．（—1，—6）C ．（—5，1）D ．（2，1）15、从8名男生和1名女生中选4人组成一个小组,必须要有女生参加的选法种数为（ ） A. 70 B. 56 C. 336 D. 126 二、填空题（每题2分，共30分） 1、长轴和短轴之和为18,焦距为6,且焦点在x 轴上的椭圆标准方程 2、双曲线1361622=-y x 的渐近线方程 3、过点M(-1,-2)的抛物线标准方程4、用1克,2克,4克的砝码在天平上能称出 种不同的物体的质量.5、长轴在y 轴，离心率为36，且过点(3,0)的椭圆的标准方程是 。
北京市北京交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中练习数学试题(含简单答案)
北京交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中练习数学说明：本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．一、选择题（每道题的四个选项中只有一个选项正确．每小题4分，一共40分）1. 在数列中，，若为等差数列，则（ ）A. B. C.D.2. 设等差数列的前项和为，若，，使的最小的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 4或53. 下列函数中，在上为增函数的是（ ）A. B. C. D.4. 函数的最小值为（ ）A. 0B. C. 1D. 5. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6. 数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（ ）A. B. C.D. 7. 已知函数，则“”是“函数在处有极值”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为，则下列结论错误的是（ ）A. B. {}n a 732,1a a ==1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5a =43322334{}n a n n S 23a =-510S =-n S n ()0,∞+()sin 2f x x=()xf x xe=()3f x x x=-()ln f x x x=-+()e e 1xf x x =--1-1e -()ln 3f x ax x =++()1,2a ()2,1--11,2⎛⎫--⎪⎝⎭11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭{}n a n aa n n=+{}n a (]0a ∈-∞，(]2a ∈-∞，()2a ∈-∞，()2a ∈+∞，322()f x x ax bx a =--+7a b +=()f x =1x 10a x (x)V 2()(0,)(2)2a V x x x a x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭22()128V x x ax a '=-+C. 在区间上单调递增D. 在时取得最大值9. 已知函数的定义域为，，为的导函数，已知的图象如图所示，则以下四种说法中正确的个数是（ ）①函数的图象关于对称②函数在区间上为增函数③函数在处的切线的倾斜角大于④关于的不等式的解集为A. 4B. 3C. 2D. 110. 已知数列满足：，则下列命题正确的是（ ）A. 若数列为常数列，则 B. 存在，使数列为递减数列C. 任意，都有为递减数列D. 任意，都有二、填空题（每小题5分，一共25分）11. 若等差数列和等比数列满足，，则_______.12. 曲线在点处的切线方程是_____________．13. 如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有，则其最小正方形的边长为________．(x)V (0,]4a (x)V 6ax =()f x R ()12f -=()f x '()f x ()y f x ='()f x 1x =()y f x =(),∞∞-+()f x =1x -π4x ()24f x x >+()1,∞-+{}n a 11420n n n n a a a a ++⋅+-+={}n a 11a =1(1,2)a ∈{}n a 1(0,1)a ∈{}n a 1(2,)a ∈+∞12n a a <≤{}n a {}n b 111a b ==-448a b ==22a b =()()2e1xf x xx =--()()0,0f 102314. 已知函数，（1）当时，函数的最大值是_____________；（2）若函数无最大值，写出一个满足条件的取值是_____________．15. 记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”.（1）以下函数与存在“点”的是___________①函数与；②函数与；③函数与（2）已知：，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为___________.三、解答题（一共85分）16. 已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=1，且a 1，a 2，a 6成等比数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n ，求数列{b n }的前n 项和S n .17. 已知数列，______.在①数列的前n 项和为，；②数列的前n 项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n 项和.18. 已知函数，当时，取得极值．（1）求的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）求在区间上最值．的.的33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩R a ∈0a =()f x ()f x a (),()f x g x ''(),()f x g x 0x R ∈00()()f x g x =00()()f x g x '='0x ()f x ()g x S ()f x ()g x S ()f x x =2()22g x x x =+-()1f x x =+()x g x e =()sin f x x =()cos g x x=,m n R ∈2()f x mx nx =+()ln g x x =S m 11n n a a +={}n a {}n a n S 22n n S a =-{}n a (1)22()n n n S n +*=∈N {}n a 2log n n n b a a =+{}n b n T 32()1(R)f x ax bx a =++∈2x =()f x 3-()f x ()f x ()f x []23-，19 已知函数（1）求函数极值；（2）当时，求证：函数有两个零点．20. 已知函数，（为常数）.（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；（2）若，且，证明：；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.21. 给定正整数，若项数为的正实数数列满足：，且，称数列为“数列”．如果“数列”存在分别是一个锐角三角形的三个边长，则称这个项数列为“数列”．（1）判断数列：2，2，2，2，2和数列：1，2，3，4，5是否为“数列”；（2）正数数列满足：．证明：数列是“数列”，但不是“数列”；（3）若任意的项“数列”均为“数列”，求出所有满足条件的整数．.的()()e R xf x ax a =-∈()f x e a >()f x ()2ln f x x x =2()(1)g x x λ=-λ()y f x =()y g x =1x =λ1λ=1x ≥()()f x g x ≤[1,)x ∈+∞()()f x g x ≤λ3m ≥m {}n a 12m a a a ≤≤≤ 1m a ma ≤{}n a M M {}n a ()1,,i j k a a a i j k m ≤<<≤m {}n a AT {}n a {}n b AT {}n a 22212211,1,2,10,,n n n a a a a a n ++===+=⋅⋅⋅{}n a M AT m M {}n a AT m北京交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中练习数学 简要答案一、选择题（每道题的四个选项中只有一个选项正确．每小题4分，一共40分）【1题答案】【答案】A 【2题答案】【答案】D 【3题答案】【答案】B 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】B 【8题答案】【答案】C 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】D二、填空题（每小题5分，一共25分）【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】121y x =--132【14题答案】【答案】①. 2②. （答案不唯一）【15题答案】【答案】①. ②②. 三、解答题（一共85分）【16题答案】【答案】（1）；（2）.【17题答案】【答案】（1）条件选择略， （2）【18题答案】【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3）最大值为1，最小值为【19题答案】【答案】（1）答案略 （2）证明略【20题答案】【答案】（1）；（2）证明略；（3）.【21题答案】【答案】（1）数列是“数列”，数列不是 “数列” （2）证明略（3）答案略2-31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭32n a n =-31n nS n =+2n n a =21222n n n n T ++=-+32()31f x x x =-+(,0),(2,)-∞+∞(0,2)19-1λ=1λ≥{}n a AT {}n b AT。
高二100个数学练习题
高二100个数学练习题1. 求下列方程的解:a) 2x + 5 = 17b) 3(2x - 4) = 21c) 4(x + 3) = 322. 化简下列代数表达式:a) 3x + 2y - 5x - 3yb) 2(x + y) - 3(2x - y)c) 5(x - y) - 2(3x + y)3. 计算下列等式的值:a) |7 - 12| + |-5|b) √(25 - 16) + 4^2c) 2^(3 + 1) - 54. 求下列函数的定义域:a) f(x) = √(3x - 2)b) g(x) = 1/(x^2 - 4)c) h(x) = √(2x - 1)/(x - 5)5. 解下列不等式:a) 2x - 5 < 3x + 2b) 4 - 3x > 7x + 2c) 2(3x - 1) ≥ 3(x + 4)6. 求下列函数的导数:a) f(x) = 3x^2 + 2x - 5b) g(x) = √(4x - 2)c) h(x) = (x^3 - 4x^2 + 5x) / x^27. 求下列函数的不定积分:a) ∫(4x^3 - 2x^2 + 5) dxb) ∫(2/x + 3x^2 - 4) dxc) ∫e^(2x) dx8. 计算下列三角函数的值:a) sin(30°)b) cos(45°)c) tan(60°)9. 解下列三角方程:a) sin(x) = 1/2b) cos(2x) = 0c) tan^2(x) = 310. 求下列数列的通项公式:a) 2, 4, 6, 8, ...b) 1, 4, 9, 16, ...c) 1, -2, 4, -8, ...11. 解下列数列的递推式:a) a_1 = 2, a_n = a_(n-1) + 3b) a_1 = 1, a_n = 2*a_(n-1)c) a_1 = 5, a_2 = 7, a_n = a_(n-1) + a_(n-2)12. 画出下列函数的图像:a) y = x^2 + 3x + 2b) y = 1/xc) y = |x - 3|13. 解下列数学问题:a) 如果一个三角形的两边长分别为5cm和9cm，夹角为60°，计算第三边长。
安徽省十校联盟2022-2023学年高二下学期6月联考数学试题及参考答案
安徽省十校联盟高二6月联考数学一、单选题（每小题5分，共40分）1. ，A. B. C. D.2. ( )A. 1B. D. e3. 通用技术结业课程上，老师带领大家设计一个圆台状的器皿材料的厚度忽略不计，该器皿下底面半径为3cm，上底面半径为18cm( )A. B. C. D.4.是由法国数学家棣莫佛发现的.( )A. B. C.5.，则的一个必要不充分条件是( )A. B. l，m共面 C. D. l，m无交点6. 音乐与数学在某些领域息息相关，比如在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦.已知某和弦可表示为函数在上的图象大致为( )A. B.C. D.7. 正多边形具有对称美的特点，很多建筑设计都围绕着这一特点展开.已知某公园的平面设计图2的等边三角形，四边形ABDE，AGFC，BCHI都是正方形，则( )A. B. C. D.8. 18世纪数学家欧拉在研究调和级数时得到了这样的成果：当n常数，a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D.二、多选题（每小题5分，共20分）9. 将函数2倍后，个单位长度，得到函数的图象，则( )A. 的周期为B.C. D. 上单调递减10. 某中学共有1000名学生，其中初中生600人，身高的平均数为160，方差为100，高中生400人，身高的平均数为170，方差为200，则下列说法正确的是( )A. 该中学所有学生身高的平均数为164B. 该中学所有学生身高的平均数为162C. 该中学所有学生身高的方差为162D. 该中学所有学生身高的方差为16411. 已知O为坐标原点，抛物线的焦点F到其准线的距离为4，过点F作直线l交C于M，N两点，则( )B.A. CC. 的最小值为8D.12. 在正方体中，点M，N分别是棱BC，的中点，，则( )A. 存在AMPB. 存在平面DMPC. 时，平面AMP截正方体所得的截面形状是五边形D. 时，异面直线AP与BC三、填空题（每小题5分，共20分）13. 公元前1800年，古埃及的“加罕纸草书”上有这样一个问题：将100德本德本是古埃及的重量单位的食物分成10德本，求各份的大小.在这个问题中，最小的一份是__________德本.14. 已知圆，，若以线段MN为直径的圆与圆C有公共点，则r的值可能为__________写出一个即可15. 某商场在过道上设有两排座位每排4座供顾客休息，小明、小红等四位同学去商场购物后坐在座位上休息，已知该时段座位上空无一人，则不同的坐法有__________种;若小明和小红坐在同一排，且每排都要有人坐，则不同的坐法有__________种用数字作答16. 已知椭圆的左焦点为F，点A在C上，O为坐标原点，且C的离心率是__________.四、解答题（共70分）17. A，B，C的对边分别是a，b，c求角B的大小;D为线段AC的中点，.18.设数列的前n项和为，.求及求数列的前20项和19. 为了检查新机器的生产情况，某公司对该机器生产的部分产品的质量指标进行检测，所得数据统计如图所示.求a的值以及被抽查产品的质量指标的平均值;以频率估计概率，若从所有产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数量为X，求X的分布列以及数学期望20.若点E是线段SC上靠近S的三等分点，求直线DE与平面SAB所成角的正弦值.21. 过定点A，双曲线过点A，且C的一条渐近线方程为求点A的坐标和C的方程;若直线C交于M，N两点，试探究：直线AM，AN的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由.22. 已知函数若上的单调性;若关于x的不等式上恒成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．【解答】解：∵AA={xx|xx2+16<10xx}={xx|2<xx<8}，BB={xx|xx>5}，∴AA∪BB={xx|xx>2}.故选AA.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.设出切点横坐标，求导，通过斜率得出横坐标方程，可得结果.【解答】解：设切点的横坐标为x，则yy′=2xx−1xx=−1，则xx=12(xx=−1舍去).故选BB.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆台的体积，是基础题.根据圆台的体积计算可得圆台的高.【解答】解：由题意得，13(9ππ+182ππ+54ππ)⋅ℎ=1935√ 3ππ，解得ℎ=15√ 3.故选CC.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的运算和诱导公式，考查学生应用公式的能力，属于基础题.根据棣莫佛公式化简[[√ 22(cos5ππ12+ii s in5ππ12)]4,即可求解.【解答】解：由题意得，zz=[√ 22(cos5ππ12+ii s in5ππ12)]4=14(cos5ππ3+ii s in5ππ3)=−cos2ππ34−sin2ππ34ii=18−√ 38ii，故所求虚部为−√ 38.故选CC.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了必要不充分条件的应用，线面平行的判定，属于基础题;根据线面平行的判定及必要不充分条件的定义判断即可.【解答】解：若“ll//ββ”，则“l，m无交点”，反之不成立;选项A是充分不必要条件;选项B，C是既不充分也不必要条件.故选DD.6.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用函数的奇偶性，单调性，零点得出函数图像，属于基础题.根据题意可知ff(xx)是奇函数，可排除选项C；根据函数的取值排除选项B，根据函数零点的个数可排除选项D，进而可得答案.【解答】解：易知函数ff(xx)为奇函数，图象关于原点中心对称，排除CC;当x从正方向趋于0时，ff(xx)<0，排除BB;令ff(xx)=0，可知该方程有5个解，排除DD.故选AA.7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于基础题.利用建系将向量坐标化求数量积即可.【解答】解：以I为原点，IH所在直线为x轴，IB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则II (0,0)，AA (1,2+√ 3)，HH (2,0)，FF (2+√ 3,3)， 则AAHH ������⃗=(1,−2−√ 3)，II FF ����⃗=(2+√ 3,3)， 则AAHH ������⃗⋅II FF����⃗=−4−2√ 3. 故选BB .8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查利用导数比较大小，属于一般题.由题意得aa =ln 43−43，bb =ln 65−65，cc =ln 97−97，构造函数ff (xx )=ln xx −xx ，利用导数即可比较大小. 【解答】解：由题意得，aa =∑1ii 40000ii=30001−43=∑1ii40000ii=1−∑1ii 3000ii=1−43=ln 43−43， 同理可得，bb =ln 65−65，cc =ln 97−97; 令ff (xx )=ln xx −xx ，则ff′(xx )=1xx −1，故当xx >1时，ff′(xx )<0，即函数()在(1,+∞)上单调递减，而43>97>65， ∴bb >cc >aa .故选DD .9.【答案】BC【解析】 【分析】本题主要考查函数yy =AA sin(ωωxx +φφ)的图象变换规律，正弦函数的性质，属于基础题．利用函数yy =AA sin(ωωxx +φφ)的图象变换规律得到gg (xx )的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论． 【解答】解：由题意得，gg (xx )=2sin[32(xx +ππ3)−ππ4]=2sin(32xx +ππ4)，则TT=2ππ32=4ππ3，故A 错误;gg (ππ)=2sin(32ππ+ππ4)=−2sin ππ4=−√ 2，故B 正确;∵gg (ππ6)=2sin(ππ4+ππ4)=2，∴xx =ππ6是gg (xx )图象的一条对称轴，故C 正确;∵xx∈[−ππ3,0]，∴32xx+ππ4∈[−ππ4,ππ4]，∴gg(xx)在[−ππ3,0]上单调递增，故D错误.故选BBCC.10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查了平均数和方差的概念，属于基础题；根据平均数和方差的概念求得结果即可.【解答】解：由题意得，所求平均数为160×600+170×4001000=164，故A正确，B错误;ss2=11000{600×[100+(160−164)2]+400×[200+(170−164)2]}=116×600+236×4001000=164，故D正确，C错误.故选AADD.11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查抛物线抛物线的焦点、准线，抛物线的几何性质，向量数量积的坐标运算，抛物线的定义，属于基础题.根据题意，利用抛物线的相关知识进行判断即可.【解答】解：由题意得，pp=4，则C的准线为xx=−2，故A正确;OOOO�������⃗⋅OOOO������⃗=xx MM xx NN+yy MM yy NN=pp24−pp2−34pp2<0，故B错误;|OOOO|=2pp sin2θθ=8sin2θθ≥8，故C正确;∵1|OOFF|+1|OOFF|=2pp=12，∴|OOFF||OOFF|=2(|OOFF|+|OOFF|)，故D正确.故选AACCDD.12.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查线面垂直的性质定理，考查线面平行的判定定理，考查异面直线所成的角，属于中档题.根据题意逐一判断选项即可.【解答】解：若OOOO⊥平面AMP，AAOO⊂平面AAOOAA，则OOOO⊥AAOO，即∠OOOOAA=90∘，而AAOO=AAOO，则∠OOOOAA=∠AAOOOO=90∘，显然不成立，故A错误;当λλ=12时，AAOO//AADD，AADD⊂平面DMP，AAOO⊄平面DMP，所以AAOO//平面DMP，故B正确; 作出图形如图所示，延长DDDD1至E，使得DD1EE=AACC1，连接AE交AA1DD1于点F，取线段CC1DD1的中点G，连接FG，PG，则五边形AMPGF为所求截面图形，故C正确;连接DP，则∠AAAADD即为异面直线AP与BC所成角，设正方体的棱长为2，则在RRRR△AADDAA中，AADD=2，DDAA=√ 5，AAAA=3，∴cos∠AAAADD=23，故D错误.故选BBCC.13-16.【答案】(1)254(2)1(2,3也可)(3)1680672(4)√ 3−1【解析】(1)【分析】本题主要考查了等差数列求和公式.由已知利用等差数列求和公式进行求解即可.【解答】由题意得，各份大小构成等差数列{aa nn}，且nn=10，dd=−56，SS10=100，∴10aa10+10×92×56=100，解得aa10=254.(2)【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系.由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.【解答】由题意得，圆xx2+yy2=1与圆CC:(xx−3)2+(yy−4)2=rr2+25有公共点，∴√rr2+25−1≤√ 32+42≤√rr2+25+1，∴{√rr2+25⩾4√rr2+25⩽6,解得0<rr⩽√11,rr>0.故rr=1，2，3均可.(3)【分析】本题主要考查了排列的运用.由已知利用排列公式进行求解.【解答】不同的坐法有AA84=1680种;若其他两个人在同一排，则不同的坐法有AA21(AA42AA42)=288种;若其他两个人不在同一排，则不同的坐法有AA21AA21(AA43AA41)=384种，故所有不同的坐法有288+384=672种.(4)【分析】本题主要考查了椭圆的定义及性质.由已知利用椭圆的定义及性质即可求解.【解答】设右焦点为FF′，连接AAFF′，由∠OOAAFF=∠OOFFAA=ππ6，知|OOAA|=12|FFFF′|，易得∠FFAAFF′=ππ2.在RRRR△AAFFFF′中，|AAFF|=2cc⋅cos∠AAFFOO=2cc⋅√ 32=√ 3cc，|AAFF′|=2cc⋅sin∠AAFFOO=2cc⋅12=cc.由椭圆的定义可得，|AAFF|+|AAFF′|=2aa，∴2aa=(√ 3+1)cc，故离心率ee=cc aa=2√ 3+1=√ 3−1.17.【答案】解：(1)由正弦定理得2sin BB cos CC=2sin AA+sin CC，又sin AA=sin(BB+CC)=sin BB cos CC+cos BB sin CC，代入上式可得2cos BB sin CC+sin CC=0，又CC∈(0,ππ)，∴sin CC≠0，∴cos BB=−12，又BB∈(0,ππ)，∴BB=2ππ3.(2)由题意得，BBDD������⃗=12(BBAA�����⃗+BBCC�����⃗)，BBDD������⃗2=14(BBAA�����⃗+BBCC�����⃗)2=14(BBAA�����⃗2+2BBAA�����⃗⋅BBCC�����⃗+BBCC�����⃗2)，即4=14(cc2+2aacc cos2ππ3+aa2)，整理得aa2+cc2−aacc=16.在△AABBCC中，由余弦定理得bb2=aa2+cc2−2aacc cos2ππ3，即aa2+cc2+aacc=48，联立�aa2+cc2−aacc=16aa2+cc2+aacc=48解得aacc=16，∴SS△AAAAAA=12aacc sin2ππ3=12×16×√ 32=4√ 3【解析】本题考查正弦定理，内角和定理，余弦定理，中线的向量公式，三角形面积公式.(1)利用正弦定理边化角，求出角BB.(2)利用中线的向量公式和余弦定理分别得出a，c的等量关系，解方程组得aacc=16，代入面积公式即可.18.【答案】解：(1)由点(aa nn+1,SS nn)在直线yy=xx−1，得SS nn=aa nn+1−1.当nn=1时，aa1=SS1=aa2−1，即aa2=2，当nn≥2时，由SS nn=aa nn+1−1得SS nn−1=aa nn−1，两式相减得aa nn=aa nn+1−aa nn，即aa nn+1aa nn=2，又aa2aa1=2，∴数列{aa nn}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴aa nn=2nn−1；(2)由(1)知，aa nn=2nn−1，∴bb nn={2nn2−1,nn为偶数,nn,nn为奇数,∴TT20=(bb1+bb3+⋯+bb19)+(bb2+bb4+⋯+bb20)=(1+3+⋯+19)+(aa1+aa2+⋯+aa10)=(1+3+⋯+19)+(1+2+⋯+29)=10×(1+19)2+�1−210�1−2=1123.【解析】本题考查由数列的递推关系以及等比数列求通项公式，等差数列和等比数列的前n项和，数列的求和方法：分组求和法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由递推关系可得数列{aa nn}为等差数列，即可得到答案；(2)由分组求和，结合利用等差数列、等比数列的求和公式即可得出答案．19.【答案】解：(1)由题意得，(0.02×2+0.03+0.05+0.06+aa+0.18)×2=1，解得aa=0.14;所求质量指标的平均值为2×0.04+4×0.12+6×0.28+8×0.36+10×0.1+12×0.06+ 14×0.04=7.4;(2)由题意得，X∽BB(4,25)，则AA(XX=0)=CC40(35)4=81625，AA(XX=1)=CC41(35)3(25)=216625，AA(XX=2)=CC42(35)2(25)2=216625，AA(XX=3)=CC43(35)(25)3=96625，AA (XX =4)=CC 44(25)4=16625; 故X 的分布列为： X 01 2 3 4 P 81625 216625 216625 96625 16625 ∴EE (XX )=4×25=85.【解析】本题考查了频率分布直方图、平均数、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题. (1)由频率和为1，可得a 的值；再根据频率分布直方图求解平均数即可； (2)由题意得，X ∽BB (4,25)，得出对应概率，可得X 的分布列以及数学期望EE (XX ).20.【答案】(1)证明：设点M 为BC 的中点，连接SM ，OOAA .不妨设BBCC =2，则BBOO =1， ∵∠CCBBAA =12∠BBAADD =43∠SSBBCC =60∘，∴∠SSBBCC =45∘，OOCC //AADD . 在△SSBBOO 中，由余弦定理得，SSOO =1，∴SSOO ⊥BBCC .在△AABBOO 中，由余弦定理得，OOAA =√ 3，易得OOAA ⊥BBCC ，又OOCC //AADD ，且OOCC =AADD =1，∴四边形AMCD 为矩形，∴AAOO //CCDD ，在△SSAAOO 中，∵SSAA 2=AAOO 2+SSOO 2，∴SSOO ⊥OOAA ，即SSOO ⊥CCDD .又BBCC ⊥CCDD ，SSOO ∩BBCC =OO ，SM 、BBCC ⊂平面SBC ，∴CCDD ⊥平面SSBBCC . 而CCDD ⊂平面SCD ，∴平面SSBBCC ⊥平面SSCCDD .(2)以M 为坐标原点，分别以MA ，MC ，MS 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系OOxxyyzz . 由题意得，AA (√ 3,0,0)，SS (0,0,1)，BB (0,−1,0)，DD (√ 3,1,0)，EE (0,13,23)， ∴SSAA �����⃗=(√ 3,0,−1)，SSBB �����⃗=(0,−1,−1)，DDEE ������⃗=(−√ 3,−23,23). 设平面SAB 的法向量为nn�⃗=(xx ,yy ,zz )， 则�nn �⃗⋅SSAA �����⃗=0nn �⃗⋅SSBB �����⃗=0，即�√ 3xx −zz =0−yy −zz =0， 令xx =1，则yy =−√ 3，zz =√ 3，∴nn �⃗=(1,−√ 3,√ 3).∴直线DE 与平面SAB 所成角的正弦值sin θθ=|cos <DDEE ������⃗，nn �⃗>|=|DDEE ������⃗⋅nn �⃗|DDEE ������⃗|⋅|nn �⃗||=√ 1535.【解析】本题考查了面面垂直的判定和直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.(1)设点M 为BC 的中点，连接SM ，MA ，再证明CCDD ⊥平面SBC ，由面面垂直的判定即可得证； (2)建立空间直角坐标系，得出平面SAB 的法向量，由空间向量求解即可.21.【答案】解：(1)由直线ll :mmxx +yy −2mm −3=0知，ll :mm (xx −2)+(yy −3)=0，得定点AA (2,3).则�4aa 2−9bb 2=1bb aa =√ 3，解得�aa 2=1bb 2=3， 故C 的方程为xx 2−yy 23=1. (2)由(1)知，AA (2,3)，设OO (xx 1,yy 1)(xx 2,yy 2). 联立�xx 2−yy 23=1yy =kkxx +1，整理得(3−kk 2xx −2kkxx −4=0， 则3−kk 2≠0，且ΔΔ=48−12kk 2>0，∴kk 2<4且kk 2≠3，∴xx 1+xx 2=2kk 3−kk 2，xx 1xx 2=−43−kk 2， ∴kk AAMM +kk AANN =yy 1−3xx 1−2+yy 2−3xx 2−2=kkxx 1−2xx 1−2+kkxx 2−2xx 2−2=2kk +(2kk −2)(1xx 1−2+1xx 2−2) =2kk +(2kk −2)(xx 1+xx 2−4)xx 1xx 2−2(xx 1+xx 2)+4=2kk +(2kk −2)(2kk 3−kk 2−4)−43−kk 2−2⋅2kk 3−kk 2+4 =2kk +(2kk−2)×2(2kk−3)(kk +2)−4(kk−1)(kk +2)=3.【解析】本题主要考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系以及圆锥曲线中的定值问题，属于较难题.(1)根据题意可直接算出a ，b 的值，进而可得出双曲线的标准方程； (2)设出交点坐标，将直线与双曲线方程联立方程组，再利用韦达定理并结合题意可得出结论.22.【答案】(1)ff′(xx)=ee1−xx(1−xx)+xx2−1=(1−xx)(ee1−xx−xx−1)，∵xx∈(−∞,0],∴1−xx>0,ee1−xx>1,∴ee1−xx−xx−1>0,∴当xx∈(−∞,0]时，ff′(xx)>0，∴函数ff(xx)在(−∞,0]上单调递增.(2)由题意得，xxee1−xx−xx ln xx+aaxx3−aa−xx≥0，xx≥1，则ee1−xx−ln xx+aaxx2−aa xx−1≥0.令FF(xx)=ee1−xx−ln xx+aaxx2−aa xx−1(xx≥1)，则FF′(xx)=−ee1−xx−1xx+2aaxx+aa xx2，∴FF(1)=0，FF′(1)=3aa−2.(ii)当3aa−2≥0，即aa≥23时，令gg(xx)=FF′(xx)=−ee1−xx−1xx+2aaxx+aa xx2gg′(xx)=ee1−xx+1xx2+2aa(1−1xx3)>0，∴FF′(xx)在[1,+∞)上单调递增，则FF′(xx)≥FF′(1)≥0，∴FF(xx)在[1,+∞)上单调递增，∴FF(xx)≥FF(1)=0，∴aa≥23符合题意;(ii ii)当3aa−2<0，即aa<23时，①当aa≤0时，FF′(xx)=−ee1−xx−1xx+2aaxx+aa xx2=−(ee1−xx+1xx)+aa(2xx+1xx2)<0，故FF(xx)在区间[1,+∞)上单调递减，∴FF(xx)≤FF(1)=0，这与题设矛盾;②当0<aa<23时，有FF′(1)<0，又xx→+∞，FF′(xx)→+∞，令gg(xx)=FF′(xx)=−ee1−xx−1xx+2aaxx+aa xx2gg′(xx)=ee1−xx+1xx2+2aa(1−1xx3)>0，∴FF′(xx)在[1,+∞)上单调递增，由零点存在性定理，知FF′(xx)在(1,+∞)上存在唯一零点xx0，∴当xx∈(1,xx0)时，FF′(xx)<0，此时FF(xx)<FF(1)=0，故与题设矛盾.综上所述，a的取值范围是[23,+∞).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数中的恒成立问题，属于较难题.(1)求出函数的导数，判段(1−xx)与(ee1−xx−xx−1)的正负，即可判定函数单调性；(2)求得FF(1)=0，FF′(1)=3aa−2，再分3aa−2≥0，3aa−2<0两种情况讨论求解即可.。
高二(下)期末数学试卷
高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数z 在复平面内对应点的坐标为(3,6)，则|2|(z i -= ) A ．3B ．4C ．5D ．62．（5分）5人排成一行，其中甲、乙两人相邻的不同排法共有( ) A ．24种B ．48种C ．72种D ．120种3．（5分）52()x x-的展开式中3x 的系数为( )66666666666666A ．10B ．10-C ．5D ．5-4．（5分）某铁球在0C ︒时，半径为1dm ．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为C t ︒时铁球的半径为(1)at dm +，其中a 为常数，则在0t =时，铁球体积对温度的瞬时变化率为( )（参考公式：34)3V R π=球A ．0B ．a πC ．43a πD ．4a π5．（5分）长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为( ) A ．0.125B ．0.25C ．0.375D ．0.46．（5分）正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( ) A ．33B ．63C ．22D ．237．（5分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位．若质点移动6次，则回到原点O 的概率为( )A ．0B ．14C ．516 D ．588．（5分）已知函数()f x xlnx =，()24g x x =-，若12()()f x g x =，则21x x -的最小值为()A ．22e -B ．3e -C ．2e -D ．1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）随机变量~(2,4)X N ，则( ) A ．()2E X =B ．()2D X =C ．(4)(1)P X P X >><D ．(1)(3)1P X P X >+>=10．（5分）已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则(A ．12()()f x f x <B ．32()()f x f x <C ．()f x 在(,)a b 内有2个极值点D ．()f x 的图象在点0x =处的切线斜率小于011．（5分）把4个编号为1，2，3，4的球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，则()A ．不同的放法有64种B ．每个盒子放一个球的不同放法有24种C ．每个盒子放一个球，且球的编号和盒子的编号都不相同的不同放法有9种D ．恰有一个盒子不放球的不同放法有72种12．（5分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别满足AE AB λ=，BF BC μ=，其中[0λ=，1]，[0μ∈，1]，则( )A ．当1μ=时，三棱锥11AB EF -的体积为定值 B ．当12λ=时，点A ，B 到平面1B EF 的距离相等C ．当12μ=时，存在λ使得1BD ⊥平面1B EF D ．当λμ=时，11A F C E ⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）若31iz i-=+，则z z += ． 14．（5分）已知(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0C ，0，1)，若点(P x ，1，1)在平面ABC 内，则x = ．15．（5分）由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数有 个．（用数字作答）16．（5分）函数,(),x xe x a f x x x a⎧=⎨>⎩，当0a =时，()f x 零点的个数是 ；若存在实数0x ，使得对于任意x R ∈，都有0()()f x f x ，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数32()f x x ax b =++在2x =处有极值2-． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[2-，3]上的最值．18．（12分）在国家政策扶持下，近几年我国新能源汽车产业迅速发展．某公司为了解职工购买新能源汽车的意愿，随机调查了30名职工，得到的部分数据如表所示：（1）请将上述22⨯列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为“该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别有关”；（2）为进一步了解职工不愿意购买新能源汽车的原因，从不愿意购买新能源汽车的被调查职工中随机抽取3人进行问卷调查，求至少抽到2名女职工的概率． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k0.100 0.050 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.82819．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PBC ∆是正三角形，AC BC ⊥，D 是AB 的中点． （1）证明：BC PD ⊥；（2）若2AC BC ==，22PA =，求二面角D PA C --的余弦值．20．（12分）为了解某地区未成年男性身高与体重的关系，对该地区12组不同身高i x （单位：)cm 的未成年男性体重的平均值i y （单位：)(1kg i =，2，，12)数据作了初步处理，得到下面的散点图和一些统计量的值．xyω1221()ii xx =-∑121()()ii i xx y y =--∑121()()ii i xx ωω=--∑11524.3582.95814300 6300 286表中(1i i lny i ω==，2，，12)，112i i ωω==∑．（1）根据散点图判断y ax b =+和cx d y e +=哪一个适宜作为该地区未成年男性体重的平均值y 与身高x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）． （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）如果体重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区的一位未成年男性身高为175cm ，体重为78kg ，他的体重是否正常？附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-，20.693ln ≈． 21．（12分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中随机地摸4个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数，Y 表示样本中黄球的比例． （1）若有放回摸球，求X 的分布列及数学期望；（2）（ⅰ）分别就有放回摸球和不放回摸球，求Y 与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过0.2的概率．（ⅱ）比较（ⅰ）中所求概率的大小，说明其实际含义． 22．（12分）已知函数()(1)()f x ln x ax a a R =++-∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()x a f x xe ax -+，求a 的取值范围．高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数212iz i=-的实部与虚部之和为( ) A ．25-B ．25C ．45D ．652．（5分）已知函数32()2f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则f '（2）(= ) A ．24B ．26C ．32D ．283．（5分）函数()23x f x x =-在[0，2]上的平均变化率为( ) A ．32 B ．32-C ．1D ．2-4．（5分）4(23)x -展开式中的第3项为( ) A ．216-B ．216x -C ．216D ．2216x5．（5分）某学校高三年级总共有800名学生，学校对高三年级的学生进行一次体能测试．这次体能测试满分为100分，已知测试结果ξ服从正态分布2(70,)N σ．若ξ在[60，70]内取值的概率为0.2，则估计该学校高三年级体能测试成绩在80分以上的人数为( ) A ．160B ．200C ．240D ．3206．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的数是偶数”，事件B 为“第二次取到的数是偶数”，则(|)(P B A = ) A ．12B ．25 C ．37D ．387．（5分）已知复数1cos sin ()z i R θθθ=+∈，2z i =，且12z z 在复平面内对应的点在第一，三象限的角平分线上，则tan (θ= )A ．2-B ．2-+CD ．8．（5分）某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有()A ．86种B ．100种C ．112种D ．134种二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）已知复数(2)(1)z i i =+-，则( ) A ．1z i =+B ．||z =C ．z 在复平面内对应的点在第四象限D ．13zi i=- 10．（5分）已知~(4X B ，)(01)p p <<，则下列结论正确的有( )A ．若13p =，则8()9E X =B ．若13p =，则16(0)81P X ==C ．()1maxD X =D ．若(1)()3P x P X =>=，则102p <<11．（5分）下面四个结论中正确的有( )A ．43)+展开式中各项的二项式系数之和为16B ．用4个0和3个1可以组成35个不同的七位数C ．0.290.251()x x+的展开式中不存在有理项D ．方程10x y z ++=有36组正整数解12．（5分）已知函数2()(2)(2)f x x x a a =->，若函数()(()1)g x f f x =+恰有4个零点，则a 的取值可以是( ) A ．52B ．3C ．4D ．92三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）若随机变量ξ的分布列为．ξ0 1 2 Pa0.2a +0.3则a = ．14．（5分）写出一个恰有1个极值点，且其图象经过坐标原点的函数()f x = ． 15．（5分）某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了1张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为 ．16．（5分）若221a lna c b d--==，则22()()a c b d -+-的最小值是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱．现随机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下： 跑步公里数 性别 [5，10) [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35]男 4 6 10 25 10 5 女2581762（1）分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5，15)，[15，25)，[25，35]的概率；（2）已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定级别”与“性别”有关．附：2K =，n a b c d =+++．2)k18．（12分）已知函数()f x 的导函数是()f x '，且21()(1)24f x f x f '=+（1）4x -． （1）求()f x 的解析式；（2）求经过点(0,6)-且与曲线()y f x =相切的直线方程． 19．（12分）已知6621201212(1)(1)x x a a x a x a x -+=+++⋯+．（1）求2221311a a a ++⋅⋅⋅+的值；（2）求2412a a a ++⋯+的值； （3）求46a a +的值．20．（12分）某小型企业在开春后前半年的利润情况如表所示：设第i 个月的利润为y 万元．（1）根据表中数据，求y 关于i 的回归方程ˆˆˆ(22)i yb i a =-+（系数精确到0.01)； （2）由（1）中的回归方程预测该企业第7个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如98.1万元~98万元）（3）已知y 关于i 的线性相关系数为0.8834．从相关系数的角度看，y 与i 的拟合关系式更适合用ˆˆˆypi q =+还是ˆˆˆ(22)i y b i a =-+，说明你的理由． 参考数据：62221()1933.5,22523188,1418.5259ii yy =-=+=⨯=∑，1140.96109.44⨯=，取2005.4=．附：样本(i x ，)(1i y i =，2，⋯，)n的相关系数()()nii xx y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的系数1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy b xx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 21．（12分）在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品．已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分． （1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X 表示游戏结束时所进行的取球次数，求X 的分布列及数学期望．22．（12分）已知函数234()sin 3f x x sin x m =-+．（1）求()f x 在[0，]π上的单调区间；（2）设函数4()2(2)(16)x g x x e ln x =--，若(0,)α∀∈+∞，[0β∀∈，]π，()()f g βα，求m 的取值范围．。
高二数学练习题及答案电子版
高二数学练习题及答案电子版下面是一份高二数学练习题及答案的电子版，供同学们参考和复习使用。
1. 线性方程组1.1 解线性方程组 2x + 3y = 7，3x - 4y = 6。
解答：先用第一个方程解出 x：2x = 7 - 3yx = (7 - 3y)/2将 x 的值代入第二个方程中：3(7 - 3y)/2 - 4y = 6化简得：21 - 9y - 8y = 12-17y = -9y = 9/17将 y 的值代入第一个方程中，求得 x：2x + 3(9/17) = 72x + 27/17 = 72x = 7 - 27/17 = 119/17 - 27/17 = 92/17x = 92/17 * 1/2 = 46/17所以，该线性方程组的解为 x = 46/17，y = 9/17。
2. 数列与数列求和2.1 求等差数列 2，5，8，11，... 的第 n 项公式和前 n 项和公式。
解答：等差数列的通项公式可以表示为 an = a1 + (n - 1)d，其中 a1 是首项，d 是公差。
首项 a1 = 2公差 d = 5 - 2 = 3第 n 项公式 an = 2 + (n - 1)3 = 3n - 1前 n 项和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2 + 3n - 1) = (n/2)(3n + 1)所以，该等差数列的第 n 项公式为 3n - 1，前 n 项和公式为 (n/2)(3n + 1)。
3. 函数与方程3.1 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 4 的极值点和拐点。
解答：首先，求函数的导数 f'(x)：f'(x) = 4x + 3令 f'(x) = 0，解得极值点 x = -3/4。
然后，求函数的二阶导数 f''(x)：f''(x) = 4由于二阶导数恒为正数，所以没有拐点。
所以，函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 4 的极值点为 (-3/4, f(-3/4))，没有拐点。
2024高二数学试题及答案
2024高二数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知圆的方程为(x-3)^2+(y+1)^2=16，该圆的半径为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B3. 若直线l的方程为y=2x+3，且与x轴交于点A，与y轴交于点B，则|AB|的长度为：A. 5B. √5C. √10D. √13答案：D4. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，求该数列的前n项和Sn：A. n^2+2nB. n^2+nC. n^2+2n+1D. n^2+n+1答案：A5. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最大值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 已知向量a=(2,-1)，b=(1,3)，则向量a与向量b的数量积为：A. 1B. -1C. 5D. -5答案：C7. 若复数z满足|z-1|=2，且|z|=3，则z的实部为：A. 1B. 2C. -1D. -2答案：B8. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且双曲线的渐近线方程为y=±(1/2)x，则a与b的关系为：A. a=2bB. a=b/2C. b=2aD. b=a/2答案：A9. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的单调递增区间：A. (-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,2)∪(2,+∞)D. (-∞,+∞)答案：B10. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式：A. -2B. 2C. -5D. 5答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则该数列的第10项a10为________。
答案：1912. 函数f(x)=x^2-6x+8的顶点坐标为________。
北京市2023-2024学年高二下学期期中练习数学试题含答案
北京2023-2024学年第二学期期中练习高二数学（答案在最后）命题人：2024．4说明：本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．一、选择题（每道题的四个选项中只有一个选项正确．每小题4分，一共40分）1.在数列{}n a 中，732,1a a ==，若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a =（）A.43B.32C.23 D.34【答案】A 【解析】【分析】利用等差中项求解即可．【详解】解：由1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列得53721113122a a a =+=+=，解得543a =.故选：A2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，使n S 的最小的n 值为（）A.4B.5C.6D.4或5【答案】D 【解析】【分析】设公差为d ，依题意得到方程组，求出1a 、d ，即可求出通项公式，再根据数列的单调性判断即可.【详解】设公差为d ，由23a =-，510S =-，所以11351010a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得141a d =-⎧⎨=⎩，所以5n a n =-，令0n a ≥，解得5n ≥，则数列{}n a 单调递增，且50a =，所以当4n =或5n =时n S 取得最小值.故选：D3.下列函数中，在()0,∞+上为增函数的是（）A.()sin 2f x x= B.() xf x xe= C.()3f x x x=- D.()ln f x x x=-+【答案】B 【解析】【分析】A 中根据正弦函数的单调性即可判断；B 中，利用导数判定()x f x xe =在(0,)+∞上是增函数；C 中，利用导数判定3()f x x x =-在1(0,)3上是减函数，在1(3，)∞+上是增函数；D 中，利用导数判定()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数．【详解】解：对于A ，()sin 2f x x =是周期函数，当32(,)22x ππ∈，即3(,)44x ππ∈时，函数是减函数，∴不满足题意；对于B ，()x f x xe = ，()(1)x f x x e ∴'=+，∴当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上是增函数；对于C ，3()f x x x =- ，2()31f x x ∴'=-，∴当1(0,)3x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数；1(3x ∈，)∞+时，()0f x '>，()f x 是增函数；∴不满足题意；对于D ，()ln f x x x =-+ ，11()1x f x x x-∴'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 是减函数，∴不满足题意．综上，在(0,)+∞上为增函数的是B ．故选：B ．4.函数()e e 1xf x x =--的最小值为（）A.0B.1- C.1D.1e -【答案】B 【解析】【分析】直接求导，令导函数为0，得到其极值点，分析其单调性即可得到最小值.【详解】函数()e e 1xf x x =--，求导得()e e x f x '=-，令()0f x '=，则1x =，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，则函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则()min (1)1f x f ==-.故选：B.5.已知函数()ln 3f x ax x =++在区间()1,2上不单调，则实数a 的取值范围是（）A.()2,1--B.11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】求出导函数()f x '，利用导数讨论()f x 的单调性，结合题意可得112a<-<运算求解即可.【详解】由()11ax f x a x x='+=+，函数定义域为()0,+∞，当0a ≥时，函数()f x 单调递增，不合题意；当0a <时，令()0f x '>，解得10x a<<-；令()0f x '<，解得1x a >-；可知()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内单调递减，若函数()f x 在区间()1,2不单调，则112a<-<，解得112a -<<-；综上所述：实数a 的取值范围是11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：B.6.数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则使得“数列{}n a 是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（）A.(]0a ∈-∞，B.(]2a ∈-∞，C.()2a ∈-∞， D.()2a ∈+∞，【答案】A 【解析】【分析】根据数列单调递增得到(1)a n n <+，再求出在*N n ∈上(1)n n +的最小值，即可求出a 的范围，再进行条件判断选出答案即可.【详解】因为数列{}n a 是单调递增数列，所以1n n a a +>，即11a an n n n++>++，化简得(1)a n n <+，所以min (1)a n n <+，令2211(1)()24t n n n n n =+=+=+-，则t 在*N n ∈上递增，所以min (1)2n n +=，所以2a <,所以使“数列{}n a 是单调递增数列”的充要条件是(,2)a ∈-∞，所以充分不必要条件是可以是(]0a ∈-∞，.故选：A.7.已知函数322()f x x ax bx a =--+，则“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意可得()()1=01=10f f ⎧'⎪⎨⎪⎩，即可得到方程组，解得a 、b 再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为322()f x x ax bx a =--+，所以2()32f x x ax b '=--，所以()()21=32=01=1+=10f a b f a b a ----⎧'⎪⎨⎪⎩，解得=3=3a b -⎧⎨⎩或=4=11a b -⎧⎨⎩；当=3=3a b -⎧⎨⎩时32()339f x x x x =-++，()22()363310f x x x x '=-+=-≥，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11a b -⎧⎨⎩时32()41116f x x x x =+-+，()()2()31131118f x x x x x '=++=--，当1x >或113x <-时()0f x '>，当1113x -<<时()0f x '<，满足函数在=1x 处取得极值，所以7a b +=，所以由7a b +=推不出函数()f x 在=1x 处有极值10，即充分性不成立；由函数()f x 在=1x 处有极值10推得出7a b +=，即必要性成立；故“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的必要不充分条件；故选：B8.将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为(x)V ，则下列结论错误．．的是（）A.2()(0,)(2)2a V x x x a x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭B.22()128V x x ax a '=-+C.(x)V 在区间(0,]4a 上单调递增D.(x)V 在6ax =时取得最大值【答案】C 【解析】【分析】求出容积(x)V ，利用导数确定其单调性．【详解】由题意2()(2)V x a x x =-，20a x ->，2a x <的，所以02a x <<，222()22(2)(2)128V x a x x a x x ax a '=-⨯-+-=-+，由()(2)(6)V x x a x a '=--得06a x <<时，()0V x '>，62a ax <<时，()0V x '<，即(x)V 在(0,)6a 上递增，在26,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，(x)V 在6a x =时取得极大值32627a V a ⎛⎫=⎪⎝⎭也是最大值．错误的只有C ，故选：C ．9.已知函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x ='的图象如图所示，则以下四种说法中正确的个数是（）①函数()f x 的图象关于1x =对称②函数()y f x =在区间(),∞∞-+上为增函数③函数()f x 在=1x -处的切线的倾斜角大于π4④关于x 的不等式()24f x x >+的解集为()1,∞-+A.4B.3C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】根据导函数的图象得到()2f x '>，即原函数是增函数可判断①②③；令()()24g x f x x =--，求()g x '判断()g x 在R 上单调性，利用单调性可解不等式可判断④.【详解】对于①②，因为函数()f x 的导函数()0f x '>，可知()f x 在(),∞∞-+上是单调递增函数，图象不关于1x =对称，故①错误，②正确；对于③，()f x '的图象都在2y =的上方，所以()2f x '>，设()f x 在=1x -处的切线的倾斜角为α，则()f x 在=1x -处切线的斜率πtan 21tan 4α>>=，因为正切函数tan y α=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增，所以倾斜角大于π4，故③正确；对于④，因为()2f x '>，令()()24g x f x x =--，不等式()24f x x >+等价于()0g x >，则()()20g x f x ''=->，可知()g x 在R 上单调递增，又因为()()1120g f -=--=，则不等式()0g x >的解集为()1,∞-+，所以关于x 的不等式()24f x x >+的解集为()1,∞-+，故④正确.故选：B.10.已知数列{}n a 满足：11420n n n n a a a a ++⋅+-+=，则下列命题正确的是（）A.若数列{}n a 为常数列，则11a =B.存在1(1,2)a ∈，使数列{}n a 为递减数列C.任意1(0,1)a ∈，都有{}n a 为递减数列D.任意1(2,)a ∈+∞，都有12na a <≤【答案】D 【解析】【分析】解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C.【详解】对A:若数列{}n a 为常数列，则2320n n a a -+=，解得1n a =或2n a =，故A 错误；对B:易得1421n n n a a a +-=+，若{}n a 为递减数列，则214232011n n n n n n n n a a a a a a a a +--+--=-=<++，解得2n a >或11n a -<<且0n a ≠，故不存在()11,2a ∈使得{}n a 递减数列，故B 错误；对C ,令112a =，则2340,2,10a a a ==-=，故{}n a 不是递减数列，故C 错误；对D ,用数学归纳法证明2n a >当1,n =1(2,)a ∈+∞显然成立，假设当()N n kk *=∈，2na>则1n k =+时，()1042212221k k k k k a a a a a +-=--+->+=，故当1n k =+时2n a >成立,由选项B 知，对任意2n a >则数列{}n a 为递减数列，故1n a a ≤故D 正确故选：D【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键.二、填空题（每小题5分，一共25分）11.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______.【答案】1【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件求出d 、q 的值，进而求出2a 和2b 的值，由此可得出22a b 的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2q =-，3d =，那么221312a b -+==，故答案为1.【考点】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.12.曲线()()2e1xf x xx =--在点()()0,0f 处的切线方程是_____________．【答案】21y x =--【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由斜截式求出切线方程.【详解】因为()()2e1xf x xx =--，所以()01f =-，()()2e 2x f x x x '=+-，则()02f '=-，即切点为()0,1-，切线的斜率为()02f '=-，所以切线方程为21y x =--.故答案为：21y x =--13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．【答案】132【解析】【详解】由题意，正方形的边长构成以2为首项，以 2为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有11221023n -++⋯+=，∴10n =，∴最小正方形的边长为912232⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为132.14.已知函数33,()2,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩R a ∈，（1）当0a =时，函数()f x 的最大值是_____________；（2）若函数()f x 无最大值，写出一个满足条件的a 的取值是_____________．【答案】①.2②.2-（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根据0a =，画出函数图象，即可求得最大值.（2）根据x a >时，()2f x x =-，可得a 的范围，再取一个满足条件的值即可.【详解】（1）当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则0x ≤时，2()33f x x '=-，当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,0]x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减.0x >时，()2f x x =-，在(0,)+∞上单调递减.所以，作出函数图象大致如下图所示，所以()f x 的最大值为(1)2f -=.（2）由（1）得，33y x x =-的导函数为2()33f x x '=-，所以当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,+)x ∈∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以函数33y x x =-与2y x =-的完整图象如下图所示.结合图象，当1a <-时，()f x 无最大值；当12a -≤≤时，max ()2f x =；当2a >时，3max ()3f x a a =-.所以a 可取2-.故答案为：2；2-（答案不唯一）.15.记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数.若存在0x R ∈，满足00()()f x g x =且00()()f x g x '='，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.（1）以下函数()f x 与()g x 存在“S 点”的是___________①函数()f x x =与2()22g x x x =+-；②函数()1f x x =+与()x g x e =；③函数()sin f x x =与()cos g x x =.（2）已知：,m n R ∈，若函数2()f x mx nx =+与()ln g x x =存在“S 点”，则实数m 的取值范围为___________.【答案】①.②②.31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】第一空根据()()00()()f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩是否有解即可判断；第二空由()()00()()f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩得到0201ln x m x -=，构造函数()()21ln 0xh x x x-=>，利用导数研究函数()h x 的图象与性质即可求出结果.【详解】①因为函数()f x x =与2()22g x x x =+-，所以()1f x '=，()22g x x '=+，由题意得2000022122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，无解，故不存在“S 点”；②函数()1f x x =+与()x g x e =，所以()1f x '=，()x g x e '=，由题意得011x x x e e⎧+=⎨=⎩，解得00x =，故0为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”；③函数()sin f x x =与()cos g x x =，所以()cos f x x '=，()sin g x x '=-，由题意得0000sin cos cos sin x x x x =⎧⎨=-⎩，无解，故不存在“S 点”；函数2()f x mx nx =+与()ln g x x =，则()2f x mx n '=+与1()g x x '=，由题意得200000ln 12mx nx x mx n x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，则0201ln x m x -=，令()()21ln 0x h x x x -=>，则()332ln x h x x -+'=，令()0h x '=，则32x e =，所以32,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，则()0h x '>，故()h x 单调递增；320,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()0h x '<，故()h x 单调递减；所以()h x 在32x e =处取得极小值，也是最小值，()332223min321ln 12e h x h e e e ⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭，且x →+∞时，()h x →+∞，所以实数m 的取值范围为31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,故答案为：②；31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．三、解答题（一共85分）16.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=1，且a 1，a 2，a 6成等比数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n 11n n a a +=，求数列{b n }的前n 项和S n .【答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项即可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），首项a 1=1，且a 1，a 2，a 6成等比数列，a 22=a 1a 6，可得（a 1+d ）2=a 1（a 1+5d ），可得d 2=3d ，即d =3（0舍去），可得a n =3n ﹣2；（2）由（1）知，b n ()()1132313n n ==-+（113231n n --+），数列{b n }的前n 项和S n 13=（1111114473231n n -+-++--+ ）13=（1131n -+）31n n =+.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项以及裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.17.已知数列{}n a ，______.在①数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-；②数列{}n a 的前n 项之积为(1)22()n n n S n +*=∈N ，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）条件选择见解析，2n n a =（2）21222n n n nT ++=-+【解析】【分析】（1）选①或②均可证明数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；（2）由分组求和法结合等差、等比的前n 项和公式求解即可.【小问1详解】选①，当1n =时，1122a a =-，即12a =，当2n ≥时，22n n S a =-（I ），1122n n S a --=-（II ），（I ）-（II ）得：122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =.选②，当1n =时，112a S ==，即12a =,当2n ≥时，(1)2(1)1222n n n n n n n S a S +--==，即(1)(1)2222n n n n n n a +--==,当1n =时，12a =符合上式.所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =【小问2详解】因为2log n n n b a a =+，所以2nn b n =+，所以()()1222212nn T n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+212(12)(1)221222n n n n n n n T +-++=+=-+-.18.已知函数32()1(R)f x ax bx a =++∈，当2x =时，()f x 取得极值3-．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）求()f x 在区间[]23-，上的最值．【答案】（1）32()31f x x x =-+（2）单调递增区间为(,0),(2,)-∞+∞，单调递减区间为(0,2)（3）最大值为1，最小值为19-【解析】【分析】（1）根据极值定义和函数值，求得,a b 的值，从而得到解析式；（2）利用导函数的正负，解出x 的范围，从而得到函数的单调性；（3）根据在区间[]23-，上单调性，求得最值即可.【小问1详解】依题意可得2()32f x ax bx '=+，又当2x =时，()f x 取得极值3-，所以(2)3(2)0f f '=-⎧⎨=⎩，即84131240a b a b ++=-⎧⎨+=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，所以32()31f x x x =-+.此时，2()363(2)f x x x x x '=-=-，(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在(,0),(2,)-∞+∞单调递增，在(0,2)单调递减.所以2x =时，()f x 取得极小值，极小值为(2)3f =-，符合题意，所以32()31f x x x =-+.【小问2详解】由（1）可知32()31f x x x =-+，2()363(2)f x x x x x '=-=-.令()0f x '>，解得0x <或2x >；令()0f x '<，解得02x <<.所以()f x 的单调递增区间为(,0),(2,)-∞+∞，单调递减区间为(0,2)【小问3详解】由（2）可知()f x 在[2,0],[2,3]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，因为(0)1,(3)1f f ==，所以在区间[]23-，最大值为1，因为(2)19,(2)3f f -=-=-，所以在区间[]23-，最小值为19-.所以()f x 在区间[]23-，上的最大值为1，最小值为19-.19.已知函数()()e R xf x ax a =-∈（1）求函数()f x 的极值；（2）当e a >时，求证：函数()f x 有两个零点．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分别得到函数的单调性与极值；（2）由（1）可知()()ln 0f x f a =<极小值，又()01f =，即可得到()f x 在(),ln a -∞上有且仅有一个零点，再利用导数说明()2e 0af a a =->()e a >恒成立，即可得到()f x 在()ln ,a +∞上有且仅有一个零点，从而得解.【小问1详解】函数()e x f x ax =-的定义域为R ，且()e xf x a '=-，当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x 在R 上单调递增，函数无极值；当0a >时，由()0f x '>可得ln x a >，由()0f x '<可得ln x a <，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，在(),ln a -∞上单调递减，所以()f x 在ln x a =处取得极小值点，即()()ln ln f x f a a a a ==-极小值，无极大值，综上可得：当0a ≤时无极值，当0a >时()ln f x a a a =-极小值，无极大值.【小问2详解】当e a >时ln ln e 1a >>，由（1）可得()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，且()()()ln ln 1ln 0f x f a a a a a a ==-=-<极小值，又()01f =，所以()f x 在(),ln a -∞上有且仅有一个零点1x ，且()10,ln x a ∈，又()2e af a a =-，令()2e x g x x=-()e x >，所以()e 2x g x x '=-，令()()e 2xm x g x x '==-()e x >，则()e 20xm x ='->，所以()m x （()g x '）在()e,+∞上单调递增，且()ee e 2e 0g '=->，即()0g x '>，所以()g x 在()e,+∞上单调递增，所以()()e2e e e 0g x g >=->，所以()0f a >，令()()ln e h x x x x =->，所以()110h x x'=->，所以()h x 在()e,+∞上单调递增，所以()()e e 10h x h >=->，所以当e a >时ln a a >，所以()f x 在()ln ,a +∞上有且仅有一个零点2x ，且()2ln ,x a a ∈，综上可得，当e a >时，函数()f x 有两个零点.20.已知函数()2ln f x x x =，2()(1)g x x λ=-（λ为常数）.（1）若函数()y f x =与函数()y g x =在1x =处有相同的切线，求实数λ的值；（2）若1λ=，且1x ≥，证明：()()f x g x ≤；（3）若对任意[1,)x ∈+∞，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）1λ=；（2）证明见解析；（3）1λ≥.【解析】【分析】(1)对函数()f x 和()g x 分别求导，根据导数的几何意义得到(1)(1)f g ''=，即可求出λ的值；(2)设函数()()22ln 1h x x x x =--，利用导数求出函数的最大值为0，即可证明；(3)设函数()()22ln 1H x x x x λ=--，分离参数，将问题转化为ln 1x xλ+≤恒成立，构造函数()ln 1x r x x+=，利用导数求出函数()max r x 即可.【详解】（1）()2ln 2(0)f x x x '=+>，则()12f '=且()10f =；()2g x x λ'=所以函数()y f x =在1x =处的切线方程为：22y x =-，从而(1)22g λ'==，即1λ=.（2）由题意知：设函数()()22ln 1h x x x x =--，则()()2ln 1h x x x '=+-.设()ln 1p x x x =+-，从而()110p x x'=-≤对任意[)1x ∈+∞，恒成立，所以()()ln 110p x x x p =+-≤=，即()0h x '≤，因此函数()()22ln 1h x x x x =--在[)1+∞，上单调递减，即()()10h x h ≤=，所以当1x ≥时，()()f x g x ≤成立.（3）设函数()()22ln 1(0)H x x x x x λ=-->，从而对任意[)1x ∈+∞，，不等式()()01H x H ≤=恒成立.又()2ln 22H x x x λ'=+-，当()2ln 220H x x x λ'=+-≤，即ln 1x xλ+≤恒成立时，函数()H x 单调递减.设()ln 1x r x x +=，则()2ln 0xr x x-'=≤，所以()()max 11r x r ==，即1λ≥，符合题意；当0λ≤时，()2ln 220H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增.于是，不等式()()10H x H ≥=对任意[)1x ∈+∞，恒成立，不符合题意；当01λ<<时，设()()2ln 22q x H x x x λ'==+-，则()21201q x x x λλ'=-=⇒=>当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()220q x x λ'=->，此时()()2ln 22q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()()2ln 221220H x x x H λλ''=+->=->，故当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()H x 单调递增.于是当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x >成立，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为：1λ≥.21.给定正整数3m ≥，若项数为m 的正实数数列{}n a 满足：12m a a a ≤≤≤ ，且1m a ma ≤，称数列{}n a 为“M 数列”．如果“M 数列”{}n a 存在()1,,i j k a a a i j k m ≤<<≤分别是一个锐角三角形的三个边长，则称这个m 项数列{}n a 为“AT 数列”．（1）判断数列{}n a ：2，2，2，2，2和数列{}n b ：1，2，3，4，5是否为“AT 数列”；（2）正数数列{}n a 满足：22212211,1,2,10,,n n n a a a a a n ++===+=⋅⋅⋅．证明：数列{}n a 是“M 数列”，但不是“AT 数列”；（3）若任意的m 项“M 数列”{}n a 均为“AT 数列”，求出所有满足条件的整数m ．【答案】（1）数列{}n a 是“AT 数列”，数列{}n b 不是“AT 数列”（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合“M 数列”和“AT 数列”的定义分析判断；（2）列举出{}n a 结合“M 数列”的定义分析判断，结合{}n a 的单调性分析可得222k j i b b b ≥+，即可判断；（3）设m 的最小值为0m ，结合“AT 数列”的定义分析求解.【小问1详解】对于数列{}n a ：可知*2,15,n a n n =≤≤∈N ，对任意*35,m m ≤≤∈N ，均有22m ≤，即1m a ma ≤，可知数列{}n a 是“M 数列”，且对(),,1i j k a a a i j k m ≤<<≤，以,,i j k a a a 为边长的三角形为等边三角形，即为锐角三角形，所以数列{}n a 是“AT 数列”；对于数列{}n b ，可知*,15,n b n n n =≤≤∈N ，可知数列{}n b 为正项递增数列对任意*35,m m ≤≤∈N ，均有m m ≤，即1m b mb ≤，可知数列{}n b 是“M 数列”，因为()()()()22222222121140n n n b b b n n n n ++⎡⎤-+=+-++=--+≥⎣⎦，即22221n n n b b b ++≥+，当且仅当3n =时，等号成立，即对(),,1i j k b b b i j k m ≤<<≤，则2,1i k j k ≤-≤-，均有2222212k k k j i b b b b b --≥+≥+，即不能构成锐角三角形；所以数列{}n b 不是“AT 数列”.【小问2详解】因为22221n n n a a a ++=+，121a a ==，可得34567101112a a a a a a a a ========对任意*312,m m ≤≤∈N ，均有满足1m a ma m ≤=，可知数列{}n a 是“M 数列”，由22221n n n a a a ++=+可得()()222212121n n n n n n n a a a a a a a ++++++-=+-=，且数列{}n a 为正项数列，可知2210,0n n n a a a +++>>，可得210n n a a ++->，且1231,a a a ===，可知数列{}n a 从第二项开始为递增的正项数列，对(),,1i j k a a a i j k m ≤<<≤，则2,1i k j k ≤-≤-，可知2222212k k k j i a a a a a --=+≥+，即不能构成锐角三角形；所以数列{}n a 不是“AT 数列”.【小问3详解】因为数列{}n a 为“M 数列”，这里的m 是任意的，若任意的m 项“M 数列”{}n a 均为“AT 数列”，设m 的最小值为0m ，可知存在()0,,1i j k a a a i j k m ≤<<≤分别是一个锐角三角形的三个边长，则对于任意0m m ≥，均存在()0,,1i j k a a a i j k m m ≤<<≤≤分别是一个锐角三角形的三个边长，即对于任意0m m ≥，m 项数列{}n a 均为“AT 数列”，所以0m m ≥均符合题意，其中m 的最小值为0m .。
浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期6月期末联考试题数学
绝密★考试结束前2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科试题考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320A xx x =++>∣，集合{}02024B x x =≤≤∣，则（ ） A.A B ⋂=∅ B.A B ⋃=R C.A B ⊆ D.B A ⊆2.已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，20232025MN a b =+，20242024,NP a b PQ a b =+=-+，则（ ）A.,,M N P 三点共线B.,,M N Q 三点共线C.,,M P Q 三点共线D.,,N P Q 三点共线3.已知复数z =z =（ ）C.2D. 4.若sin18m =，则sin63=（ ）)m B.12m +C.2m D.2m 5.如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点（不同于,A B ）且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为（ ）A.60B.30C.45D.156.已知函数()e 1,0,0x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ）A.(),1∞--B.(],1∞--C.()1,0-D.[)1,0-7.函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>，若()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，且()()ππ02f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，则ω的值为（ ）A.23 B.23或2 C.13 D.1或138.正项数列{}n a 中，1n n a ka +=（k 为实数），若2022202320243a a a ++=，则222202220232024a a a ++的取值范围是（ ）A.[)3,9B.[]3,9C.[)3,15D.[]3,15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,x y ∈R ，且123,124x y ==，则（ ） A.y x > B.1x y +>C.14xy << 10.高二年级安排甲､乙､丙三位同学到,,,,A B C D E 五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A.所有可能的方法有53种B.如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有61种C.如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有25种D.如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()f x 不是常函数，则下列说法中正确的有（ ）A.若2为()f x 的周期，则()f x 为奇函数B.若()f x 为奇函数，则2为()f x 的周期C.若4为()f x 的周期，则()f x 为偶函数D.若()f x 为偶函数，则4为()f x 的周期非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量()()23,,3,X B p Y N σ~~，若()10.657,(13)P X P Y p ≥=≤<=，则(5)P Y >=__________.13.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，若动点P 在以AB 为直径的半圆上（正方形ABCD 内部，含边界），则PC PD ⋅的取值范围为__________.14.已知函数()3e xf x x a =-，若函数()f x 有三个极值点()123123,,x x x x x x <<，若323x x ≥，则实数a的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2sin sin cos sin cos a b c A C B B C -=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 周长的最大值. 16.（本题满分15分）已知点30,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点M 在直线AB 上，且满足0,3PA AB AM AB ⋅==.（1）当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设Q 为（1）中的曲线C 上一点，直线l 过点Q 且与曲线C 在点Q 处的切线垂直，l 与曲线C 相交于另一点R ，当0OQ OR ⋅=（O 为坐标原点）时，求直线l 的方程.17.（本题满分15分）如图所示多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面,ABCD CF ⊥平面ABCD ，ADE 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，π2,3AB CF BAD ∠===.（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）求二面角E AF C --的正弦值.18.（本题满分17分）已知函数()(),xf x ag x ax ==，其中0a >且1a ≠. （1）若e a =，试证明：()(),x f x g x ∀∈≥R 恒成立；（2）若()0,x ∞∈+，求函数()()()ln g x h x f x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的单调区间；（3）请判断2e π与2πe ⋅的大小，并给出证明.（参考数据：20.736,e 2.718,π 3.1416,ln π 1.145e≈≈≈≈）19.（本题满分17分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行()*n n ∈N 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为n X ，恰有1个黑球的概率为n p ，恰有2个黑球的概率为n q ，恰有0个黑球的概率为n r .（1）求12,p p 的值；（2）根据马尔科夫链的知识知道111n n n n p a p b q c r ---=⋅+⋅+⋅，其中[],,0,1a b c ∈为常数，同时1n n n p q r ++=，请求出n p ；（3）求证：n X 的数学期望()n E X 为定值.2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案：0.2 13.答案：[]0,16 14.答案：(20,(ln3)⎤⎦四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）因为()2sin sin cossin cos A C B BC -=，即2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+， 可得()2sin cos sin sin A B B C A =+=，又因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠，可得1cos 2B =，且 0πB<<，可得π3B =. （2）法一：由正弦定理可得4sin sin sin a b c A B C ====，则4sin ,4sin a A c C ==， 可得24sin 4sin 4sin 4sin π3a b c AC A A ⎛⎫++=+=+-⎪⎝⎭π4sin 2sin 6sin 6A A A A A A ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，因为20π3A <<，则ππ5π666A <+<， 可得π6A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ABC 周长的最大值为法二：由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，可得22212()3()32a c a c ac a c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当a c ==解得a c +≤ABC周长的最大值为16.详解：（1）设()0,0A x ，则由射影定理，有2AO BO OP =⋅，故22002332x OB x ==，即2020,3B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由13AB AM =，易得()2002,2M x x -，故M 的轨迹方程为()2102y x x =≠. （2）设2001,,2Q x x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭点处的切线斜率为20012x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，故()200011:2QR l y x x x x =--+.代入拋物线方程，解得200200212,22R x x x x ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭.由0OQ OR ⋅=， 得220000************ x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅--+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得4004,x x ==所以l的方程为22y x =-+或22y x =+. 17.【详解】（1）证明：取AD 中点N ，连接NE NC ､，因为ADE 是正三角形，所以,2sin603EN AD EN ⊥=⋅= 因为平面ADE ⊥平面,ABCD EN ⊂平面ADE ， 平面ADE ⋂平面ABCD AD =所以EN ⊥平面ABCD ，又因为CF ⊥平面ABCD ，所以EN∥CF ，又因为EN CF =，所以四边形ENCF 是平行四边形，所以EF ∥NC ，又因为NC ⊂平面,ABCD EF ⊄平面ABCD ，所以EF∥平面ABCD .（2）连接AC BD ､交于O ，取AF 中点M ，连接OM ，所以OM∥CF ，因为CF ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，因为OA OB ⊂､平面ABCD ，所以,OM OA OM OB ⊥⊥，又因为四边形ABCD 是菱形，所以OA OB ⊥，所以OA OB OM ､､两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()(11,0,1,0,,0,1,0,,0,,22AB C D N E F ⎫---⎪⎪⎝⎭⎝， ()3123,0,3,22AF AE ⎛=-=-- ⎝，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，23031022AF m x AE m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩， 令()1,1,33,2x m ==，平面AFC 的法向量为()0,1,0n =， 设二面角E AF C --的大小为33,cos 88421m n m nθθθ⋅=====⋅⋅.所以二面角E AF C --. 18.证明：（1）设函数()()()x f x g x ϕ=-，则()e e xx ϕ'=-，当(),1x ∞∈-时()0x ϕ'<，当()1,x ∞∈+时()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min ()110x f g ϕ=-=， 所以()0x ϕ≥，即()(),x f x g x ∀∈≥R 恒成立. （2）已知()()1ln ln ln ,ln h x x a x a h x a x =+-⋅=-'，从而01ln x a=， 若()0,1a ∈，则()()1ln 0,h x a h x x=->'在()0,∞+单调递增； 若()1,a ∞∈+，当10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0h x '>，当1,ln x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0h x '<，所以()h x 在10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，在1,ln x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭单调递减.（3）由（2）可知()ln ln πln πh x x x =+-⋅在10,ln π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为11320.8730.736ln π 1.1454e≈≈>>≈ 从而由（2）知道()h x 在23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.所以23e 4h h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 计算33331ln ln πln πln ln π44444h ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭.比较4ln 3和1ln π4的大小，因为 44256 3.16π381⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以304h ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 由此可知230e 4h h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即222ln ln πln π0e e e h ⎛⎫=+-⋅< ⎪⎝⎭， 从而2e 222ln ln πln πln πln πe e e ⎛⎫⎛⎫+<⋅⇔⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2e 2ππe >⋅.19.详解：（1）设恰有2个黑球的概率为n q ，则恰有0个黑球的概率为1n n p q --.由题意知1111112211211111113333C C C C C C 52,C C 9C C 9p q +====， 所以()111111112332221121111111111333333C C C C C C C C 491C C C C C C 81p p q p q +=++--=. （2）因为()111111112332221111111111111333333C C C C C C C C 121C C C C C C 93n n n n n n p p q p q p -----+=++--=-+， 所以1313595n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又因为1320545p -=-≠，所以35n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以245-为首项，19-为 公比的等比数列.所以11321213,54594595n n n n p p --⎛⎫⎛⎫-=-⨯-=-⨯-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （3）因为11111321111111113333C C C C 21C C C C 93n n n n n q p q p q ----=+=+①，()()1111311211111111113333C C C C 21111C C C C 93n n n n n n n n q p p q p p q p --------=+--=+--②所以①②，得()11121213n n n n q p q p --+-=+-.又因为11210q p +-=，所以210n n q p +-=.所以1nn p q -=.所以n X 的概率分布列为：所以()110112122n n n n n p p E X p p --⎛⎫=⨯--+⨯+⨯= ⎪⎝⎭.所以n X 的数学期望()n E X 为定值1.。
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高二下数学练习题6
1、曲线ln(21)yx上的点到直线230xy的最短距离为 ( )
A 5 B 25 C 35 D 0
2、设函数fx的导函数为fx，且221fxxxf，则0f等于 ( )
A、0 B、4 C、2 D、2
3、已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范
围是( )
A．a≥0 B．a<－4 C．a ≥0或a ≤－4 D．a >0或a <－4
4、已知函数(),()yfxygx的导函数的图象如下图，那么(),()yfxygx图
象可能是 （ ）
5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．－1
6．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．sin2x B．x＋sinx C．x3－x D．－x＋ln(1＋x)
7．设函数1)1(3)(223kxkkxxf在区间（0，4）上是减函数，则k的取值
范围是 ( )
A.13k B.103k C.103k D.13k
8．过双曲线22221(0,0)xyabab左焦点1F且倾斜角为45的直线交双曲线右支
于点P，若线段1PF的中点Q落在y轴上，则此双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．1+3 C．2 D．1+2
9、.函数xxxfln)(的单调递减区间为_______________．
10、抛物线28yx上一点P到其焦点的距离为9，则其横坐标为___ ____。
11. 已知抛物线方程为24yx，直线l的方程为40xy，在抛物线上有一动
点P到y轴的距离为1d，P到直线l的距离为2d，则12dd的最小
12． 已知函数21()2sincos()2sin42fxxxx，直线212y与()fx
的图象交点之间的最短距离为2．
（1）求()fx的解析式及其图象的对称中心；
（2）设ABC的内角ABC、、的对边分别为abc、、，若3()282Af，
4,42cab
，求ABC的面积.
13. 如图正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边
的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E－DF－C的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．
14 已知xxxgexxaxxfln)(],,0(,ln)(，其中e是自然常数，.aR
（Ⅰ）当1a时, 求()fx的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2fxgx;
15．已知直线)0(1012222babyaxyx与椭圆相交于A、B两点，M是
线段AB上的一点，BMAM，且点M在直线1:2lyx上.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆122yx上，求椭圆的方程.