高中数学第三单元导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教B版选修1_1

2020版高中数学人教B版选修1-1课件：3.3.1 利用导数判断函数的单调性

(4)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x) ＝x3)． (5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如 f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．
1．函数的单调性与导数 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． (2)一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间． (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或 “和”字隔开．
◎求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x) ＞0，则f(x)在该区间上仍为增函数．
[特别提醒] 若无穷多个点使f′(x)＝0，那么这些点必须是离散的，不能构成区间．
2．求函数的单调区间的方法求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，这些不等式的解就是所求的单调区间．求函数单调区间的步骤如下： (1)求f(x)的定义域； (2)求出f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可得函数的增区间(或减区间)．
研究股票时，我们最关心的是股票曲线的发展趋势(走高或走低)，以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线图来看，股票有升有降．我们知道，可以用导数来研究股票走势曲线的变化趋势．
那么，如何用导数来研究函数的单调性呢？
用函数的导数判断函数单调性的法则设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数； (2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数．

高二人教B版数学选修1-1课件3-3-1利用导数判断函数的单调性 39张

3．3 导数的应用
第一页，编辑于星期一：点四十九分。
第二页，编辑于星期一：点四十九分。
第三页，编辑于星期一：点四十九分。
1．知识与技能借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 2．过程与方法通过对函数单调性与导数关系的研究，掌握用导数研究函数单调性的方法． 3．情感、态度与价值观通过实例探究函数的单调性与导数的关系，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力．
第二十三页，编辑于星期一：点四十九分。
解法2：依题意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1) ＝－x3＋x2＋tx＋t. f′(x)＝－3x2＋2x＋t. ∵函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数， ∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立．又∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线， ∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，即t≥5 时，f′(x)在区间(－1,1)上满足f′(x)＞0. 即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是t≥5.
第十九页，编辑于星期一：点四十九分。
∴当b>0时，f′(x)<0.∴函数f(x)在(0,1)上是减函数；当b<0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数．又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，所以可知：当b>0时，f(x)在(－1,1)上是减函数；当b<0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．
2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上 ( ) A．是增函数 B．是减函数 C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减 D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 [答案] A [解析] f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．

高中数学第三章导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函

令 f (x)＜0，解得 1 x 0或 0 x 1
∴单调减区间是(－1，0)和(0，1)
练习：求函数
的单调区间
小结
1、这节课你的收获是： 2、解题过程中有哪些问题需注意：
f (x) x 1 x
已知函数试讨论此函数的单调区间
解：f (x)
1
1 x2

x 1 x 1
x2
令 f (x) ＞0，
解得 x 1或 x 1
∴单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
的单调区间
f (x) x2 2x 3
利用导数讨论函数单调区间的步骤
（1）确定函数 y f (x) 的定义域；（2）求导数 f '( x) ；（3）解不等式 f '(x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间；
解不等式f '(x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间．
例2：求函数
y
y=f(x)
oa
f '(x)<0
bx
题型一：函数图像与其导函数图像之间的关系
D
例1：函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是( )
练习1：设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x) 的图象如图所示，则导函数 y＝f ′(x)的图像
可能为（ D）
总结：导函数f′(x)的图象看正负，原函数f(x)的图象看增减。
的单调区间
f (x) 2x3 6x2 7
f (x) x3 2x2 x
练习：求函数
的单调区间
例3：求函数
的单调区间
f (x) 1 x2 ln x 2
f (x) 3x2 ln x

2020学年高中数学3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性应用案巩固提升课件人教B版选修1_1

A．f(a)＞f(b)
B．f(a)＝f(b)
C．f(a)＜f(b)
D．f(a)f(b)＞1
第三章导数及其应用
解析：选 A.因为 f′(x)＝1x·x－x2 lnx＝1－xl2n x，当 x∈(e，＋∞)时，1－ln x＜0，所以 f′(x)＜0，所以 f(x)在(e，＋∞)内为单调递减函数．故 f(a)＞f(b)．故选 A.
ac＝4 又 a＝3，所以bc＝＝1－23. 所以 f(x)＝x3－3x2＋12x.
第三章导数及其应用
(2)因为 f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数．所以 f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立．又 a>0，由(1)知 2b＝9－5a，c＝4a，所以 Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)≤0，可得 a∈[1，9]，所以 a 的取值范围是[1，9]．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知 f′(x)在[0，1]上大于等于 0，在(－∞，0)，(1，＋∞)上小于 0，画出草图可知 x＝0，x ＝1 是 f′(x)＝0 的两根，即c3＝a＋02b＋c＝0，
c＝0 解得b＝－32a，
第三章导数及其应用
又 f′(12)＝32，即 f′(12)＝
第三章导数及其应用
[A 基础达标] 1．条件甲：对任意 x∈(a，b)，有 f′(x)>0；条件乙：f(x) 在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第三章导数及其应用
解析：选 A.如：f(x)＝x3 在(－1，1)内是单调递增的，但 f′(x) ＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件，故选 A.

高中数学第三章导数及其应用第16课时利用导数判断函数的单调性课件新人教B版选修1_1

2 新视点·名师博客类型一利用导函数的信息判断 f(x)的图象【例 1】设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数 y＝f′(x)的图象可能为( )
A
B
C
பைடு நூலகம்
D
思维启迪：由函数 y＝f(x)的图象可得到函数的单调情况，进而确定导数的正负．
解析：由 y＝f(x)的图象可知，在 y 轴左边，图象单调递增，因此导函数大于零，排除选项 A、C；在 y 轴右边 y＝f(x)的图象先增又减后又增，因此其导数先大于零紧接着小于零，最后又大于零，只有选项 D 符合．
解析：(1)函数的定义域为{x|x≠0}．
f′(x)＝x＋ax′＝1－xa2＝x12(x＋ a)(x－ a)．要求 f(x)的单调减区间，故不妨令 f′(x)＜0，则x12(x＋ a)·(x－ a)＜0，解得－ a＜x＜ a，且 x≠0， ∴函数的单调减区间为(－ a，0)和(0， a)．
讲重点对函数的单调性与导数关系的理解
(1)可以用曲线的切线的斜率来理解函数的单调性与其导函数的关系．我们知道，导数 f′(x0)表示函数 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 90°，函数曲线呈上升增加状态；当切线斜率为负值时，切线的倾斜角大于 90° 且小于 180°，函数曲线呈下降减少状态．
变式训练 1 已知函数 y＝xf′(x)的图象如图(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数)，下面四个图象中 y＝f(x)的图象大致是( )
A
B
C
D
解析：由题图知，当－2＜x＜－1 时，xf′(x)＜0， ∴f′(x)＞0.∴当－2＜x＜－1 时，函数 y＝f(x)单调递增；当－1＜x＜0 时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0. ∴当－1＜x＜0 时，函数 y＝f(x)单调递减；当 0＜x＜1 时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0. ∴当 0＜x＜1 时，函数 y＝f(x)单调递减；当 x＞1 时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0. ∴当 x＞1 时，y＝f(x)单调递增．答案：C

2020版高中数学人教B版选修1-1课件：3.3.1 利用导数判断函数的单调性 (2)

[解析] ∵f ′(x)＝3x2－1，
令 f ′(x)>0，得 x> 33或 x<－ 33，
令
f
′(x)<0，得－
3 3 <x<
3 3.
∴函数 f(x)的增区间为 33，＋∞和－∞，－ 33，减区间
为－ 33， 33.
[答案]

33，＋∞
题目类型三、已知函数的单调性，确定参数的取值范围
[例 3] 若函数 f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1 在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求 a 的取值范围．
解：解法一：f ′(x)＝x2－ax＋a－1，令 f ′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1. 当 a－1≤1，即 a≤2 时，函数 f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当 a－1>1，即 a>2 时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a －1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，所以 4≤a－1≤6，即 5≤a≤7.
b)内有( )
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)＝0
D．不能确定
[解析] ∵在区间(a，b)内有 f ′(x)>0，且 f(a)≥0， ∴函数 f(x)在区间(a，b)内是递增的，且 f(x)>f(a)≥0. [答案] A
5．函数 y＝ax3－1 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 a 的取值范围是________．
∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，12)，(2，＋∞)，单调递减区间为(12，2)．
[辨析] 错解的原因是忽视了函数的定义域而导致错误.