1.4.1-1.4.3正余弦函数图象与性质、正切函数图象与性质
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1.4.3 正切函数的性质与图象
提示：－∞ ＋∞ R
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知识梳理 函数 y＝tan x 的性质. 定义域 值域
最小正周期 奇偶性
xx≠kπ＋π2，k∈Z R π
奇函数
单调性
在开区间__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π_k_∈__Z___内都是增函数
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(2)∵tan－114π＝－tan114π＝tanπ4， tan－135π＝－tan135π＝tan25π. 又 0<π4<25π<π2， 函数 y＝tan x，x∈－π2，π2是增函数， ∴tanπ4<tan25π， 即 tan－114π<tan－135π.
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角度 2 比较大小 [例 3] 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与 tan 173°； (2)tan－114π与 tan－133π. [解析] (1)∵90°<167°<173°<180°， 又 y＝tan x 在 90°<x<270°范围内是增函数， ∴tan 167°<tan 173°.
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探究二 正切函数的单调性问题 [阅读教材 P44 例 6] 角度 1 求正切函数的单调区间 [例 2] 求函数 y＝3tanπ6－x4的单调递减区间． [解析] y＝3tanπ6 －x4＝－3tanx4－π6， 由 kπ－π2<x4－π6<kπ＋π2，k∈Z，得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π，k∈Z， ∴y＝3tanπ6－x4的单调递减区间为4kπ－43π，4kπ＋83π，k∈Z.
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知识梳理 函数 y＝tan x 的性质. 定义域 值域
最小正周期 奇偶性
xx≠kπ＋π2，k∈Z R π
奇函数
单调性
在开区间__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π_k_∈__Z___内都是增函数
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(2)∵tan－114π＝－tan114π＝tanπ4， tan－135π＝－tan135π＝tan25π. 又 0<π4<25π<π2， 函数 y＝tan x，x∈－π2，π2是增函数， ∴tanπ4<tan25π， 即 tan－114π<tan－135π.
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角度 2 比较大小 [例 3] 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与 tan 173°； (2)tan－114π与 tan－133π. [解析] (1)∵90°<167°<173°<180°， 又 y＝tan x 在 90°<x<270°范围内是增函数， ∴tan 167°<tan 173°.
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探究二 正切函数的单调性问题 [阅读教材 P44 例 6] 角度 1 求正切函数的单调区间 [例 2] 求函数 y＝3tanπ6－x4的单调递减区间． [解析] y＝3tanπ6 －x4＝－3tanx4－π6， 由 kπ－π2<x4－π6<kπ＋π2，k∈Z，得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π，k∈Z， ∴y＝3tanπ6－x4的单调递减区间为4kπ－43π，4kπ＋83π，k∈Z.
1.4.3正切函数的性质与图象 课件(人教A版必修4)
预习测评 1．f(x)＝tan
1 2
x 是(
)
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】A
(
2．下列点中，不是函数 y＝tan 3x 的图象的对称中心的坐标为 )
π A. ，0 2 3π B. ，0 2 3π C. ，0 4 π D. ，0 3
π (2)由已知得，f5＝asin
π π ＋btan ＋1＝7， 5 5
2．已知函数 y＝tan ωx(ω≠0)在区间(－π，π)上是增函数，求 实数 ω 的取值范围．
解：由函数是增函数可知，ω＞0，由于正切函数 y＝tan x 在 π π － ， 上是增函数且周期为 π，所以由 y＝tan ωx 在区间(－π，π) 2 2 π 上是增函数，可知 y＝tan ωx 的周期大于 2π.于是ω＞2π，得到 0＜ 1 ω＜2.
思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
解：
7π 2π 2π (1)因为 tan－ 5 ＝tan－π－ 5 ＝tan－ 5 ， 12π 2π 2π tan － 7 ＝tan －2π＋ 7 ＝tan 7 .
x＋ 3＜0，
π π 而－ 3＜tan x＜1 的解集为 kπ－3＜x＜kπ＋4(k∈Z)，故所求 3π π π 2π 5π 函数的定义域为－4，－ 4 ∪－3，4∪ 3 ， 4 .
知识点 2 正切函数性质的应用 【例 2】
7π 12π (1)利用正切函数的单调性比较 tan－ 5 与 tan－ 7 的大小； π 99π (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 f ＝7，求 f 的值． 5 5
1.4正切函数的图像与性质
2
2
内是增函数
对称性：对称中心是(k , 0), k Z
2
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
(1) x (k , k )
2
kZ
y y tan x
(2) x k k Z (3) x ( k , k )
3
4
34
2
0
2
x
比较两个正切值大小，在同一单调区间内， 利用单调递增性解决。
（2）tan( )与tan 3
6
4
解: tan 3 tan( ) tan（ ）
4
4
4
∵
2 4 62
又∵ y tan x在内 2单,调2 递增
∴ tan( ) tan（ ） 即 tan( ) tan 3
1.4.3正切函数的性质 与图象
1.定义域和值域
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数 y sin x 定义域：R 值域：[-1，1] y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
| sin x |≤1 | cos x |≤1
例4.画函数 y tan(x ）的图象，并通过图象讨论其的性质
4
y tan x
y
7 4
3 2
5 4
1.4.3正切函数的图像与性质3
(7)对称中心
(kπ,0) ,
2
2
kZ
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
y
tan
x的单调增区间是
-
2Байду номын сангаас
k
,
2
k
,
k
Z
基础练习
1．关于正切函数 y tan x, 下列判断不正确的是
（ B）
4
解
:
设t
x
4
, 则y
tan
t的定义域为t
t
R且t
k
+
2
,
k
Z
x k , x k
4
2
4
因此，函数的定义域是
x
x
R且x
k
4
,k
Z
值域 : R
y
tan
t的单调增区间是
-
2
k ,
k
4
,
k
Z
3.
x
x
k
3
x
k
2
3
,
k
Z
提高练习
1.求函数
y
1.4.3正切函数的图像与性质
22
C.
(k
3
4
, k
4
)
k
z
D. (k , k 3 )
4
4
kz
第23页，共51页。
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图 象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
第25页，共51页。
[精解详析] 由题意得t1a－n txa＋n 1x≥>00，， 即－1≤tan x<1.
ππ
ππ
在(－ 2 ，2 )内，满足上述不等式的 x 的取值范围是[－ 4 ，4 )．
又 y＝tan x 的周期为π，
所以所求 x 的范围是
π
π
[kπ－ 4 ，kπ＋ 4 )，k∈Z.
即为此函数的定义域．
⑵ 值域： R
2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性： 在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ)， k Z 内都是增函数。
2
2
(7)渐近线方程： x k , k Z
2
第24页，共51页。
[例 1] 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． [思路点拨] 构建关于tan x的不等式组求解．
奇函数
5、周期性
最小正周期是
3
第22页，共51页。
高考链接：
1.（2007.江西，文）函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
[规律方法] 正切型函数单调性求法与正、余弦型函数求法一 样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区 间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调 区间内．
【活学活用 2】 (1)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调递减区间． (2)比较 tan 65π 与 tan－173π的大小．
课堂小结 1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z， 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的周期为 T＝|ωπ |. (3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区 间．正切函数无单调减区间.
xπ6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z
.
(3)令2x－π3＝0，则 x＝23π. 令2x－π3＝π2，则 x＝53π. 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3. ∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3， x＝53π.从而得函数 y＝f(x)在一个周期－π3，53π内的简图(如图)．
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x－π4 整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用 tan 2＝tan (2－π)， tan 3＝tan (3－π)，最后利用 y＝tan x 在－π2，π2上的单调性判 断大小关系．
推荐-高中数学人教A版必修4课件1.4.3 正切函数的性质与图象(1)
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Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练 1】
函数 y=tan
π 4
-������
的定义域是(
)
A.
������
������
≠
π 4
B.
������
������
≠
-
π 4
C.
������
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型三
求周期
【例 3】 求下列函数的最小正周期:
(1)y=-tan
π 3
������
+
3 5
;
(2)y=|tan x|.
分析:(1)利用
T=
π |������|
求解;(2)画出函数图象利用图象求解.
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-
1 3
������
+
π 6
的周期是___.
(2)已知函数 y=tan
������������
+
π 3
的周期是 6π, 则������ = ___.
解析:(1)函数的周期为 T=
π -13
= 3π.
(2)由
T=
π |������|
,
得6π=
π |������|
,
∴
|������|
=
1 6
,
������
.
再见
2019/11/23
������
≠
������π
余弦函数,正切函数的图象与性质
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
x x | x R且x k ，k Z 2
yR
在x k , k 上是增函数； 2 2
f ( x) tan( x) tan x f ( x)奇函数
f ( x ) tan( x ) tan x f ( x) 最小正周期是
解： （2）令t=2x,因为使函数y 3sin t , t R取最大值的t的集合是 {t | t 2k , k Z } 2 由 2 x t 2k 得 x k 2 4 所以使函数 y 3sin 2 x, x R取最大值的x的集合是
但T 0，） （
故T不存在
1、画出正切函数在一个周期 ， 内的图象 2 2
y
2
0
2
x
2、利用正切函数的周期性，把上述图象向x轴两边扩 展，得到正切曲线；
y
3 2
2
0
2
3 2
x
三、观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域 2、值域 3、单调性 4、奇偶性 5、周期性
﹣2π
●
﹣2
π
1●
﹣1 0
●﹣ 3π 2● Nhomakorabea●
1.4.3正切函数的图像与性质
单调区间：（ 5 2k，1 2k），k Z 33
对称中心：(k- 2 , 0), k Z 3
应用提升
例2.比较tan 13 与tan 17 的大小 ?
4 5
应用提升
练习1：试着画出y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性.
练习2.如果、
(
,
)且
tan
cot
,
2
那么必有（ ）
A.
B.
C. 3 D. 3
2
2
应用提升
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性
小结回顾
正切函数的基本性质
课后作业
1．书本P45练习，做书上. 2．P46习题A组6,7,8,9；B组2 做本子上 3.《作业本》同步练习
-6 -5 -6 -5
-4 -3 -4 -3
复习回顾
y y=sinx
1
-2 -
o
-1
2 3
y y=cosx
1
-2
- -1
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
四.单调性：
正弦函数在[ 2k , 2k ](k Z )上是单调递增的,从 1到1;
2
2
在[ 2k , 3 2k ](k Z )上是单调递减的,从1到 1
4 5
6 x
y y=cosx
1
-6 -5 -4 -3 -2
- -1
2 3 4
5
6 x
六.对称轴和对称(k ,0);
2
y cos x的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
1.4.3正切函数的图像与性质
课堂展示
探究1
展示：1组
独立思考， 独立审题 1.结合批阅情况，改正错误，找准错因。
探究2、3、4 展示：6组
2.明确自己的疑问，以备小组合作讨论解决。
3.学有余力的同学力争做好“拓展提升”。 要求：思维敏捷，手、脑、眼并用。
例1 展示：5组
例2 展示：2组
例3 展示：3组
激情点评
探究1
点评：9组 探究2、3、4 点评：8组
思考：在整个定义域内是增函数么？
正切函数的性质与图像
（五）定义域、值域:
k （六）关于对称点对称轴：从图象可以看出：无对称轴。 ( , 0) 直线 为渐近线,对称点为零点及函数值不存在的点，即 2 x k k Z 2
应用提升
• 例1
求函数y tan x 的定义域，值域，并指出它的周期性， 3 2 奇偶性，单调性，对称中心，作出它的大致草图
复习回顾
y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - o -1 y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - -1 2 3 4 5 6 x
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴：x k
2
, 对称点： ( k ,0);
学习目标：
1.会画出的 y tan x 图像； 2.掌握正切函数 y tan x 的性质；并能够熟练的应用。
[重点]： 画正切函数的图像，理解正切函数的性质。
[难点]：正切函数的性质及其应用。
合作学习：重点讨论：
探究1. 借助正切线，做出正切函数y=tanx的图像。 探究2.由正切函数的图像得到正切函数的定义域与值域。 探究3.由正切函数的图像得到正切函数的周期性、奇偶性。